1Linguagem e expressões algébricas
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- As letras podem representar valores variáveis, incógnitas ou parâmetros. O contexto e o universo escolhido definem seu papel.
- Expressões indicam operações; equações apresentam condições de igualdade; identidades valem para todos os valores do domínio declarado.
- Na substituição, use parênteses para valores negativos e respeite prioridades. Base negativa e oposto de uma potência são coisas diferentes.
- Todo denominador deve ser não nulo; uma raiz quadrada real exige radicando não negativo. Todas as condições da expressão e do contexto valem juntas.
- Termos semelhantes têm a mesma parte literal com os mesmos expoentes. Some os coeficientes; em produtos de potências de mesma base, conte os fatores.
- A distributiva justifica reduções, retirada de parênteses, produtos e fator comum. Cancelamento só se aplica a fatores não nulos e preserva as restrições originais.
- Um modelo precisa de significado, domínio e unidades. Justifique um padrão pela construção; exemplos isolados não provam uma regra universal.
2Equações e inequações do primeiro grau
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- Resolver é descrever todos os valores admissíveis que satisfazem a condição original. Universo e domínio fazem parte da resposta.
- Equivalência exige preservar exatamente as soluções. Somar o mesmo valor e multiplicar por constante não nula são passos reversíveis; multiplicar por zero perde informação.
- Na forma ax + b = 0, a ≠ 0 dá x = −b/a. Se o coeficiente final de x for zero, avalie a afirmação constante: ela pode valer para todo o universo ou para nenhum valor.
- A mudança de sinal aparente ao reunir termos vem de operações nos dois membros. Parênteses, frações e decimais obedecem às mesmas propriedades.
- Em desigualdades, multiplicar ou dividir por número negativo inverte a relação. Somar um negativo não provoca essa inversão.
- Intervalos devem registrar extremos incluídos ou excluídos. Infinito não é um extremo real incluído. Respostas também podem ser o conjunto vazio ou um único ponto.
- “E” pede interseção; “ou” inclusivo pede união. Uma cadeia de desigualdades representa condições simultâneas.
- Parâmetros exigem casos quando podem zerar ou mudar o sinal de um divisor. Em problemas, verifique contagem inteira, medidas positivas, unidades e a pergunta original.
3Sistemas do primeiro grau
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- Uma solução é um par, tripla ou lista ordenada que satisfaz todas as condições, no domínio e universo declarados.
- Substituição, comparação e adição organizam as mesmas propriedades de igualdade. Escolha o método pela estrutura dos coeficientes.
- Ao eliminar, conserve informação suficiente para voltar às outras incógnitas. Uma consequência isolada pode aceitar pares que não resolvem o sistema.
- Nos reais, sistemas lineares são determinados, indeterminados ou impossíveis. Retas concorrentes, coincidentes e paralelas distintas representam os três casos de duas equações não degeneradas.
- 0 = 0 não impõe nova restrição; 0 = c, com c ≠ 0, torna o sistema impossível. Não confunda uma identidade produzida com liberdade total de todas as incógnitas.
- D = ad − bc ≠ 0 garante um único par real no sistema de duas equações; D = 0 exige analisar a compatibilidade. Não divida por um coeficiente ou parâmetro antes de discutir se pode ser zero.
- Escalonar elimina incógnitas por operações reversíveis. A quantidade de equações sozinha não decide a quantidade de soluções.
- Modelar exige traduzir cada dado, usar unidades coerentes e verificar admissibilidade. Mudanças de incógnitas exigem uma volta cuidadosa ao problema original.
4Potências e radicais
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- Uma potência de expoente inteiro positivo conta fatores iguais. Parênteses definem a base; o sinal fora da potência é aplicado depois.
- Expoente zero dá 1 apenas para base não nula; expoente negativo indica recíproco. Nesta aula, 0⁰ e expoentes negativos de zero não estão definidos.
- As leis de expoentes vêm de contar, agrupar e cancelar fatores. Mesma base, denominadores não nulos e domínio original precisam ser preservados.
- Notação científica normalizada usa um coeficiente de módulo entre 1 e 10, com 10 excluído, e potência inteira de dez. Para somar, primeiro iguale as potências.
- Raiz par real exige radicando não negativo e seleciona o valor não negativo. Raiz ímpar real aceita qualquer radicando. Um radical não representa todas as soluções de uma equação.
- A raiz de xⁿ é |x| se n é par e x se n é ímpar. Uma simplificação não pode descartar o sinal nem mudar o domínio.
- Produtos, quocientes, extrações e mudanças de índice exigem as hipóteses de sinal. Somar radicais semelhantes é usar a distributiva; a raiz não se distribui sobre soma.
- Racionalizar multiplica por um fator não nulo no numerador e no denominador. Verifique também se o conjugado pode zerar em um valor aceito pela expressão original.
- As leis gerais de expoentes racionais foram enunciadas para bases positivas. Bases negativas exigem fração irredutível e discussão própria; não transportar as regras automaticamente.
- Aproximações precisam ser indicadas por ≈ e justificadas pela precisão pedida. Nas aplicações, confira positividade de comprimentos, unidades e hipóteses do modelo.
5Polinômios
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- Polinômios são somas finitas de monômios com coeficientes reais e expoentes inteiros não negativos nas variáveis. Frações e radicais constantes podem ser coeficientes.
- Reduza os termos semelhantes antes de contar termos e determinar o grau. O grau não é a quantidade de termos. Coeficientes ausentes são registrados como zero para organizar cálculos.
- Constante não nula tem grau 0. O polinômio nulo tem todos os coeficientes zero e não recebe grau nesta convenção. Parâmetros podem anular os termos dominantes e mudar o grau.
- Em várias variáveis, o grau total soma os expoentes de cada monômio e toma o maior entre os termos reduzidos. Grau em uma variável e homogeneidade são conceitos distintos.
- Avaliar P(c) produz um número; P(0) é o termo constante. Uma raiz c satisfaz P(c) = 0, mas isso não torna P identicamente nulo.
- Uma identidade compara todos os coeficientes e vale para qualquer valor real da variável. Coincidir em alguns números não comprova identidade.
- Na soma e na diferença, opere coeficientes de partes literais iguais. Subtrair um polinômio troca todos os sinais dele. Na multiplicação, cada termo de um fator multiplica cada termo do outro.
- O grau de uma soma pode diminuir por cancelamento ou a soma pode ser nula. No produto de dois polinômios reais não nulos em uma variável, os graus se somam.
- Na divisão euclidiana por B não nulo, A = BQ + R, com R = 0 ou grau de R menor que o de B. A identidade e essa condição tornam Q e R únicos. Divisor constante não nulo tem resto zero.
- O método da chave cancela o termo dominante a cada etapa. Ordene, preencha graus ausentes com zeros, multiplique pelo divisor inteiro e subtraia todos os termos com atenção aos sinais.
- A identidade da divisão vale em todos os reais; a fração A(x)/B(x) só vale onde B(x) ≠ 0. Simplificar uma fração não remove as exclusões de seu domínio original.
6Produtos notáveis e fatoração
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- Produtos notáveis são identidades deduzidas pela distributiva. Expandir e fatorar reorganizam a mesma expressão, sem resolver automaticamente uma equação.
- Quadrados de binômios incluem o termo central ±2ab. No quadrado da diferença, o último termo é +b². Conjugados produzem a² − b².
- Cubos de binômios incluem dois termos mistos com coeficiente 3. Cubo de uma soma é diferente de soma de cubos. Com três termos, devem ser contados todos os produtos mistos.
- Se a + b + c = 0, então a³ + b³ + c³ = 3abc. A condição de soma zero precisa acompanhar a conclusão.
- Fator comum e agrupamento usam a distributiva no sentido inverso. As identidades continuam válidas quando o fator evidenciado vale zero.
- Um trinômio quadrado perfeito precisa conferir os dois quadrados e o termo central. Ter extremos quadrados não basta.
- Nos trinômios mônicos, procure os números que tenham soma e produto corretos. No método AC, separe o termo central com soma B e produto AC, mantendo A ≠ 0.
- Somas e diferenças de cubos se decompõem em um binômio e um trinômio, com cancelamento dos termos mistos. Examine os fatores depois das substituições.
- Substituições e adição/subtração da mesma parcela podem revelar identidades. Volte à variável original e confira a expansão.
- A fatoração depende do conjunto de coeficientes. Um quadrático sem raiz real não se divide em lineares reais. Não generalize isso para toda soma de quadrados.
- O princípio do produto nulo vale para fatores reais e produto igual a zero. Dividir por uma expressão que pode zerar pode eliminar soluções.
- Cancelar fatores em uma fração exige que sejam não nulos e não remove as exclusões do domínio original. Nas aplicações geométricas, preserve positividade e unidades.
7Frações algébricas e equações fracionárias
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- Frações algébricas seguem as regras das frações numéricas, mas exigem acompanhar os valores que anulam denominadores variáveis.
- O domínio original vem antes da simplificação. Numerador zero é permitido com denominador não nulo; 0/0 não é definido.
- Cancelar exige um fator não nulo que multiplique todo o numerador e todo o denominador. As exclusões do fator cancelado permanecem.
- Fatores e parcelas são diferentes. Podemos separar parcelas de um numerador sobre o mesmo denominador não nulo; não separar um denominador somado pela mesma regra.
- Para adicionar ou subtrair, construa um denominador comum e opere os numeradores inteiros. Os sinais e os fatores complementares precisam acompanhar todas as parcelas.
- Na multiplicação, opere numeradores e denominadores, mantendo o domínio de cada fração original. Potências negativas exigem que a fração também seja não nula.
- Na divisão, as duas frações precisam existir e a divisora precisa ser não nula. Inverter não apaga a restrição de um denominador original.
- Frações complexas exigem verificar os denominadores internos e o denominador principal inteiro. A barra principal agrupa numerador e denominador completos.
- Multiplicar uma equação por expressão não nula em seu domínio preserva equivalência. Todos os termos dos dois membros recebem o fator.
- Resolver a equação polinomial obtida fornece candidatos. O conjunto solução conserva apenas os que pertencem ao domínio e satisfazem a equação original.
- Uma equação pode ser impossível, ter uma ou mais soluções, ou ser identidade em seu domínio. Identidade não reinclui pontos proibidos.
- Parâmetros exigem separar casos antes de dividir: podem mudar o domínio, anular um denominador inteiro ou transformar uma equação em identidade ou impossibilidade.
- Nos problemas, acrescente as condições do modelo, como positividade e contagem inteira, e confira unidades, taxas e resultados no enunciado.
8Equações do segundo grau
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- O segundo grau é identificado depois da redução a ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Os coeficientes incluem seus sinais.
- Nos casos incompletos, fator comum e quadrado isolado costumam ser diretos. Dividir por uma incógnita pode perder a solução zero.
- O produto nulo exige produto igual a zero. Uma soma nula ou um produto igual a outro número não permite igualar parcelas ou fatores a zero.
- A raiz principal é não negativa; os dois sinais aparecem ao resolver u² = k com k > 0. Para k = 0 há um valor e, para k < 0, nenhum real.
- Completar quadrados acrescenta o quadrado da metade do coeficiente linear, depois de normalizar o coeficiente quadrático. A mesma parcela deve ser acrescentada aos dois membros.
- A equivalência (2ax + b)² = Δ, com Δ = b² − 4ac, justifica a fórmula geral e funciona também para a negativo.
- Δ > 0 dá duas raízes reais distintas; Δ = 0 dá uma raiz dupla; Δ < 0 não dá raízes reais. Raiz dupla é contada uma vez no conjunto solução.
- Soma e produto são −b/a e c/a, contando a raiz dupla duas vezes. Eles justificam a forma fatorada e a construção de uma equação pelas raízes.
- Combinações das raízes podem ser calculadas com identidades em S e P. Recíprocos exigem raízes não nulas; distâncias usam módulo.
- A classificação de sinais pressupõe existência de raízes reais. Discriminante positivo não significa duas raízes positivas.
- Parâmetros que anulam o coeficiente principal exigem separar os casos lineares, impossíveis ou identidades antes de usar a fórmula quadrática.
- Reduções de equações fracionárias conservam o domínio original e filtram os candidatos. As restrições não desaparecem depois de multiplicar denominadores.
- Em biquadradas, t = x² exige t ≥ 0. Retorne à incógnita: t positivo gera dois valores, t zero gera um e t negativo nenhum real.
- Outras substituições também exigem retorno e verificação dos valores que a expressão substituída pode assumir.
- Nas aplicações, use unidades e restrições do contexto. Uma ou ambas as raízes podem ser aceitas, conforme o problema.
9Inequações e estudo de sinais
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- Uma inequação descreve valores que tornam uma comparação verdadeira. Universo e domínio fazem parte da resposta; infinito nunca é incluído como um número real.
- Somar a mesma expressão preserva a ordem. Multiplicar ou dividir por negativo inverte a relação; por positivo, preserva. Divisores variáveis exigem conhecer o sinal ou separar casos.
- O sinal de ax + b, com a ≠ 0, vem de a(x − r), onde r = −b/a. Constantes e expressão nula exigem análise própria.
- Produtos combinam sinais no mesmo x. Fatores de mesmo sinal dão produto positivo; não é preciso que sejam todos positivos.
- O quadro usa os mesmos intervalos em todas as linhas. Ordene zeros e exclusões, justifique a constância dos sinais entre eles e examine os pontos separadamente.
- Multiplicidade ímpar troca o sinal e par o preserva, se o restante não zera. Uma raiz par permitida pode aparecer como ponto isolado numa relação não estrita.
- Com duas raízes reais distintas, o produto dos fatores lineares é positivo fora e negativo entre elas. O coeficiente principal pode inverter o sinal da quadrática.
- Com raiz dupla, a quadrática tem o sinal do coeficiente principal fora da raiz. Com Δ < 0, ela mantém esse sinal em toda a reta e nunca zera.
- Em quocientes, o denominador nunca pode zerar. Igualdade permitida pela relação não reinclui extremos proibidos; zero comum a numerador e denominador continua excluído.
- Antes de analisar uma comparação de frações, reúna a diferença em uma única fração comparada com zero. Os sinais devem corresponder à expressão inteira.
- Multiplicar pelo quadrado de um denominador é reversível e preserva a ordem somente onde ele é não nulo. O produto obtido ainda precisa respeitar o domínio original.
- Cancelar fatores facilita o quadro, mas conserva lacunas do domínio. Um fator zero não torna definido um produto que contém outra expressão indefinida.
- Condições ligadas por “e” e cadeias pedem interseção; “ou” inclusivo pede união. A inclusão de cada extremo depende de todas as condições e domínios.
- Parâmetros podem mudar sinais, ordem das raízes e grau. Separe os casos antes de dividir e justifique também exigências que valem para todo real.
- Nas aplicações, aplique positividade, unidades, limites do modelo e contagem inteira ao conjunto algébrico. Diferencie valor positivo de valor não negativo.
10Equações com radicais e módulo
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- Trabalhando nos reais, raiz par exige radicando não negativo e representa o resultado principal não negativo. Raiz par no denominador exige radicando positivo; raiz ímpar aceita radicando e resultado negativos.
- Elevar ao quadrado preserva uma igualdade no sentido de ida, mas pode acrescentar candidatos. Para ter equivalência, controle os sinais e mantenha o domínio; confira cada resultado na original.
- Isole a raiz antes de usar a potência. Com duas raízes, preserve o termo misto do quadrado da soma e reavalie as condições após cada transformação.
- Na substituição t = √x, imponha t ≥ 0 e volte a x = t². Em raízes compostas, examine a existência das operações de dentro para fora.
- Uma raiz principal não pode ficar abaixo de um limite negativo. Se o limite inferior for negativo, qualquer raiz definida já o supera; se ambos os membros forem não negativos, compare os quadrados.
- Módulo é distância até zero. Use |u| = u se u ≥ 0 e |u| = −u se u < 0. Em particular, √(u²) = |u|.
- Módulos de produto e quociente se separam, respeitando denominadores não nulos. O módulo da soma satisfaz a desigualdade triangular; não existe uma regra geral de igualdade com a soma dos módulos.
- |x − a| mede a distância entre x e a. Para raio positivo, uma equação de distância tem dois pontos, uma inequação interna escolhe um intervalo e uma externa escolhe dois lados.
- Para |A| = c com c > 0, resolva A = c ou A = −c. Com c = 0, exija A = 0; com c < 0, não há solução.
- Em |A| = B variável, imponha B ≥ 0 além dos dois ramos. Em |A| = |B|, os dois membros já são não negativos, então A = B ou A = −B basta dentro do domínio.
- Para somas de módulos, divida a reta pelos zeros dos conteúdos. Confira se cada resposta pertence ao caso utilizado; uma soma de distâncias pode ser constante em um intervalo inteiro.
- As relações |A| ≤ B e |A| < B são cadeias de condições simultâneas. As relações |A| ≥ B e |A| > B são uniões de ramos externos; analise também limite zero ou negativo.
- Compare dois módulos pelos quadrados sem alterar o sentido da desigualdade. Não apague as barras sem conhecer os sinais dos conteúdos.
- Em módulos aninhados, resolva de fora para dentro e descarte alvos internos negativos. Parâmetros podem mudar a existência e a quantidade de soluções; conte apenas valores distintos.
- Em aplicações, interseccione a solução algébrica com as condições do contexto e declare as unidades. Uma raiz negativa pode ser válida na equação e inválida como comprimento.
11Números complexos
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- A unidade imaginária satisfaz i² = −1. Os reais estão contidos nos complexos: a = a + 0i. Uma equação sem solução real pode ter soluções em ℂ.
- A forma a + bi usa a e b reais e é única. Re(z) = a e Im(z) = b; a parte imaginária é o coeficiente, não o termo bi.
- Igualdade de complexos significa igualdade simultânea das componentes. O número é real se b = 0; nesta aula, imaginário puro exige a = 0 e b ≠ 0.
- O afixo de a + bi é o ponto (a, b). Os eixos real e imaginário são perpendiculares e usam a mesma escala.
- As potências de i seguem o ciclo 1, i, −1, −i conforme o resto do expoente inteiro por 4; o ciclo inclui expoentes negativos.
- Para r > 0, z² = −r tem duas soluções ±i√r. O radical principal √(−r) indica apenas i√r; regras de radicais reais não se estendem automaticamente a todo ℂ.
- Some e subtraia componentes correspondentes. Multiplique pela distributiva e use i² = −1; as regras algébricas de um corpo continuam válidas, incluindo produto nulo e cancelamento por fator não nulo.
- O conjugado de a + bi é a − bi, reflexo no eixo real. Ele não é o oposto em geral. Conjugar duas vezes devolve z, e a conjugação preserva soma, produto e quociente definido.
- O produto de z por seu conjugado é a² + b², positivo se z ≠ 0. Para dividir por um complexo não nulo, multiplique os dois termos da fração pelo conjugado do denominador.
- Potências de expoente inteiro positivo permitem base zero. Expoentes zero ou negativos exigem base não nula nesta aula; não atribuímos valor a 0⁰.
- O módulo |z| = √(a² + b²) é uma distância real não negativa. Produtos e quocientes têm módulos multiplicados ou divididos, com divisor não nulo.
- |z − w| mede a distância entre os afixos. A condição |z − z₀| = r, para r > 0, descreve uma circunferência; ≤ descreve seu disco fechado. Equidistância no plano pode produzir uma reta inteira.
- Multiplicar por i transforma (a, b) em (−b, a), um giro anti-horário de 90°. Quatro desses giros devolvem o ponto; o módulo é preservado.
- Equações com conjugados podem ser resolvidas escrevendo z = a + bi e comparando as duas componentes reais. Pode haver uma, nenhuma ou infinitas soluções.
- Quadráticas de coeficientes reais com Δ < 0 têm duas raízes não reais conjugadas. Com coeficientes complexos, use uma raiz quadrada de Δ, sem classificar um Δ não real por positivo ou negativo.
- Para w² = a + bi, as componentes satisfazem u² − v² = a e 2uv = b. Se o alvo é não nulo, as duas raízes são opostas; se é zero, só há o valor zero.
- Soma, produto e fatoração da quadrática continuam válidos em ℂ, contando multiplicidades. A exigência de raízes não reais conjugadas depende de os coeficientes serem reais.
- Desigualdades entre módulos ou componentes são comparações reais. Não existe uma ordem de corpo em ℂ que permita usar i > 0 ou i < 0 como nos reais.
12Equações polinomiais
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- Uma raiz r satisfaz P(r) = 0 exatamente. Grau é calculado depois da redução, e o universo real ou complexo muda a resposta. Constantes e polinômio nulo precisam de análise própria.
- A identidade P = DQ + R, com D não nulo e resto de grau menor que o divisor ou nulo, continua válida com coeficientes complexos. A fração P/D conserva suas exclusões de domínio.
- O resto por x − c é P(c). Pelo teorema do fator, P(c) = 0 equivale à existência do fator x − c.
- Ruffini usa a base c do divisor x − c e todos os coeficientes em ordem decrescente. A linha final fornece coeficientes do quociente e, por último, o resto.
- Para divisor ax + b com a ≠ 0, use c = −b/a e divida por a o quociente obtido para x − c. O resto não muda.
- Cada raiz confirmada permite reduzir o grau por divisão exata. Mantenha o ramo da raiz retirada e não divida uma equação por um fator que pode zerar sem separar esse caso.
- A multiplicidade exata m exige P = (x − r)ᵐS e S(r) ≠ 0. Conjunto solução conta valores distintos; a contagem pelo grau considera multiplicidades.
- Um polinômio não nulo de grau n tem no máximo n raízes distintas. Concordância de dois polinômios de grau no máximo n em n + 1 pontos distintos prova a identidade.
- O TFA garante raiz complexa a todo polinômio não constante com coeficientes complexos. Sua demonstração geral não foi feita aqui; com o teorema do fator, ele fornece n raízes contando multiplicidades.
- Coeficientes reais obrigam pares de raízes não reais conjugadas com multiplicidades iguais. Cada par forma um quadrático real sem raiz real; grau real ímpar garante alguma raiz real.
- O teste racional exige coeficientes inteiros e fração reduzida. Numerador divide o termo constante, denominador divide o dominante. A lista contém candidatos; ausência de raízes racionais não exclui irracionais.
- Girard relaciona somas de produtos das raízes aos coeficientes, com sinais alternados e divisão pelo dominante. Raízes repetidas ocupam posições repetidas na lista.
- Combinações simétricas podem ser calculadas sem achar cada raiz. Recíprocos exigem raízes não nulas; soma de quadrados não é soma de módulos ao quadrado.
- Para construir um polinômio, use todos os fatores exigidos e determine a constante não nula por outro dado. Grau mínimo, coeficientes reais e multiplicidades podem obrigar fatores adicionais.
- Parâmetros podem anular o coeficiente dominante ou repetir raízes. Separe as mudanças de grau e use divisões sucessivas para testar repetição.
- Substituições exigem voltar à incógnita original e preservar suas restrições. Uma raiz negativa da equação em t = x² não retorna a x real.
- Resto por divisor quadrático pode ser linear. Duas raízes distintas do divisor fornecem duas avaliações; uma raiz dupla não fornece duas condições diferentes pela mesma avaliação.
- Descartes limita raízes positivas e negativas contando mudanças de sinal e multiplicidades. Ignore coeficientes zero e conte a raiz zero separadamente; possibilidades não são soluções confirmadas.
- Sinais opostos de um polinômio real em dois pontos garantem alguma raiz entre eles. Bissecção mantém um intervalo e controla seu comprimento; aproximação numérica não é igualdade exata.
- Em problemas, selecione as raízes compatíveis com medidas, unidades, contagem e domínio do modelo, e confira a resposta na condição original.
O registro de estudo é local e não exige cadastro.