Potências e radicais

1O significado das potências

Uma malha com quatro linhas de quatro quadradinhos contém 4·4 unidades de área. Em vez de escrever o mesmo fator várias vezes, usamos uma potência. Ela registra qual fator se repete e quantas vezes ele aparece. Essa ideia também ajuda a contar camadas, representar multiplicações sucessivas e trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos.

a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ fatores}}

a é real e n é inteiro positivo. A base é a e o expoente é n. Para n = 1, a¹ = a; para a = 0 e n > 0, 0ⁿ = 0. A definição por fatores repetidos não se aplica diretamente a expoentes zero, negativos ou não inteiros.

Em $a^n$ , a é a base e n é o expoente. O número obtido é o valor da potência. Por enquanto, n é inteiro positivo: $\mathbb N^*=\{1,2,3,\ldots\}$ . Usaremos $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ , $\mathbb Z$ para os inteiros e $\mathbb Q$ para os racionais, isto é, frações de inteiros com denominador não nulo. Não confunda $4^3=4\cdot4\cdot4$ com $4\cdot3$ .

Quatro linhas de quatro quadrados unitários formam uma área de 4² = 16 unidades quadradas.

A segunda potência é chamada quadrado e a terceira, cubo. Um quadrado de lado a positivo tem área a². Um cubo de aresta a positiva tem volume a³: cada camada tem a² unidades de área, e a altura acrescenta o terceiro fator. Para uma base negativa, a potência continua sendo uma operação algébrica, mas não representa um comprimento negativo de uma figura.

Um cubo de aresta 3 pode ser contado em três camadas, cada uma com nove cubos unitários: 3³ = 27.

Base negativa e paridade

Cada par de fatores negativos tem produto positivo. Assim, uma base negativa elevada a inteiro positivo par dá resultado positivo; elevada a inteiro positivo ímpar dá resultado negativo. Uma base positiva dá resultado positivo, e zero elevado a inteiro positivo dá zero.

Exemplo resolvido · Os parênteses decidem a base

Calcule $(-3)^4$ , $-3^4$ e $(-3)^3$ .

Resolução

Em $(-3)^4$ , a base inteira é −3. Os quatro fatores negativos formam dois pares, então o valor é 81.
Em $-3^4$ , a potência é calculada antes do sinal que está fora: $-(3^4)=-81$ . Sem parênteses, −3 não é a base dessa escrita.
Em $(-3)^3$ , sobra um fator negativo depois de agrupar um par: o resultado é −27.

Os valores são 81, −81 e −27, respectivamente.

2Expoentes zero e negativos

Zero e números negativos não contam uma quantidade positiva de fatores. Precisamos estender a definição de modo coerente com as operações. Com base não nula, dividir uma potência por ela mesma dá 1; para manter a subtração de expoentes, esse resultado recebe o expoente zero. Quando sobram fatores no denominador, aparece um expoente negativo.

a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}

\begin{aligned}a^0&=1\\a^{-n}&=\frac1{a^n}\end{aligned}

a é real não nulo e n é inteiro positivo. Expoente negativo indica o recíproco, não o oposto. Nesta aula, 0⁰ e potências de zero com expoente negativo não estão definidas.

Por exemplo, $a^3/a^3=1$ para a ≠ 0, o que motiva $a^{3-3}=a^0=1$ . Também $a^3/a^5=1/a^2$ , pois três fatores se cancelam de cada lado; por isso definimos $a^{-2}=1/a^2$ . A fração $1/u$ , com u ≠ 0, é o recíproco de u. O oposto seria −u: são operações diferentes.

Exemplo resolvido · Negativo no expoente não é negativo no resultado

Calcule $(-2)^{-3}$ e $(2/5)^{-2}$ .

Resolução

Pela definição, $(-2)^{-3}=1/(-2)^3=1/(-8)=-1/8$ . O sinal negativo do resultado vem da base negativa com expoente ímpar.
No segundo caso, $(2/5)^{-2}=1/(2/5)^2=1/(4/25)=25/4$ . Podemos também inverter a fração inteira e calcular $(5/2)^2$ .

Os resultados são $-1/8$ e $25/4$ .

Exemplo resolvido · A restrição continua existindo

Para quais reais x a expressão $(x-2)^0$ está definida nesta aula? Qual seu valor?

Resolução

A base precisa ser não nula: x − 2 ≠ 0, logo x ≠ 2.
Para qualquer x permitido, o valor é 1. Em x = 2, teríamos 0⁰, que não recebe valor nesta definição.

Vale 1 no domínio x ≠ 2.

3Propriedades e suas justificativas

Juntar ou cancelar fatores

a^m a^n=a^{m+n}

Para m e n inteiros positivos, a pode ser qualquer real. Para permitir quaisquer m e n inteiros, exigimos a ≠ 0. A mesma base é essencial; a soma dos expoentes não se aplica a uma soma de potências.

Com expoentes positivos, o primeiro produto tem m fatores iguais à base e o segundo tem n. Juntando-os, há m + n fatores. A base é mantida; não se multiplicam as bases nem se somam valores de potências. Para expoentes zero ou negativos e base não nula, a definição por recíprocos dá a mesma regra, cancelando os fatores comuns.

\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

a é real não nulo e m, n são inteiros. A restrição evita divisão por zero e deve ser mantida mesmo que a expressão simplificada pareça estar definida em a = 0.

Quando m ≥ n são positivos, cancelam-se n fatores, deixando m − n no numerador. Quando m < n, restam n − m no denominador, isto é, um expoente negativo. O caso de expoentes inteiros em geral se reduz a esses cancelamentos e às definições de zero e de recíproco. Nenhuma dessas passagens autoriza cancelar um fator zero.

Repetir um produto inteiro

(a^m)^n=a^{mn}

a é real não nulo e m, n são inteiros. Com m e n inteiros positivos, a = 0 também é permitido. Não transportar esta regra sem condições para bases negativas e expoentes fracionários.

Para m e n positivos, $(a^m)^n$ tem n grupos de m fatores: são mn fatores. Se algum expoente é zero ou negativo, usamos 1 e os recíprocos, mantendo a ≠ 0. É diferente de $a^{m^n}$ , em que uma potência inteira aparece no expoente.

(ab)^n=a^nb^n,\qquad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

\begin{aligned}(ab)^n&=a^nb^n\\\left(\frac ab\right)^n&=\frac{a^n}{b^n}\end{aligned}

Para qualquer expoente inteiro n, tomar a e b reais não nulos. Se n for inteiro positivo, o produto permite a ou b zero, e o quociente permite a = 0, mantendo b ≠ 0. Todos os fatores do produto recebem o expoente.

Repetir ab n vezes permite reagrupar os fatores: todas as ocorrências de a e todas as de b. O quociente segue o mesmo raciocínio, com os denominadores não nulos. Para expoente negativo, invertemos o produto ou o quociente antes de usar a contagem de fatores.

Exemplo resolvido · Expoentes diferentes na mesma base

Simplifique $(3^5\cdot3^{-2})/3$ .

Resolução

No numerador, $3^5\cdot3^{-2}=3^{5-2}=3^3$ . O denominador é $3^1$ .
Dividindo, obtemos $3^{3-1}=3^2=9$ . A base 3 é não nula, então as regras usadas são válidas.

O valor é 9.

Exemplo resolvido · Simplificar sem ampliar o domínio

Simplifique $\dfrac{(2a^2b^{-1})^3}{4a^{-1}b^2}$ , com a e b reais não nulos.

Resolução

Elevando cada fator do numerador: $(2a^2b^{-1})^3=2^3(a^2)^3(b^{-1})^3=8a^6b^{-3}$ . Os expoentes internos são multiplicados por 3.
Dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes da mesma base: $8/4=2$ , $a^{6-(-1)}=a^7$ e $b^{-3-2}=b^{-5}$ .
Escrevemos $2a^7/b^5$ . Embora esta última expressão aceite a = 0, a original contém a⁻¹ e não aceita esse valor. Preservamos a ≠ 0 e b ≠ 0.

$2a^7/b^5$ , com a ≠ 0 e b ≠ 0.

4Prioridades e regras que não existem

Os agrupamentos e as potências vêm antes das multiplicações e adições, respeitando os parênteses. Se houver uma potência no expoente, calcule o expoente conforme seu agrupamento. Escreva parênteses quando quiser elevar o resultado de uma potência a outra; não deixe duas operações diferentes com a mesma aparência.

Exemplo resolvido · Potência no expoente ou potência de potência?

Compare $2^{3^2}$ e $(2^3)^2$ .

Resolução

Na primeira, o expoente é $3^2=9$ , então $2^{3^2}=2^9=512$ .
Na segunda, elevamos 2³ ao quadrado, então $(2^3)^2=2^{3\cdot2}=2^6=64$ .

As expressões têm valores diferentes: 512 e 64.

Potência não se distribui sobre uma soma: $(2+3)^2=25$ , enquanto $2^2+3^2=13$ . Somar potências também não é somar expoentes: $2^3+2^3=16$ , mas $2^{3+3}=64$ . Nesse exemplo, a distributiva fornece a regra correta: duas parcelas iguais a 2³ somam $2\cdot2^3=2^4$ .

Exemplo resolvido · Uma expressão com três tipos de sinal

Calcule $-2^2+(-2)^2+2^{-1}$ .

Resolução

O primeiro termo é −4, pois o sinal está fora da potência. O segundo é 4, pois a base é −2 e o expoente é par.
O terceiro é $1/2$ . Somando, $-4+4+1/2=1/2$ .

O resultado é $1/2$ .

5Potências de dez e notação científica

Multiplicar um número por 10 desloca seu valor para dez vezes o anterior; dividir por 10 dá um décimo dele. Potências de dez contam essas mudanças. Para expoente positivo k, 10ᵏ é 1 seguido de k zeros; 10⁰ = 1. Para n inteiro positivo, 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ, como 10⁻³ = 0,001.

N=c\cdot10^k,\qquad 1\leq|c|<10

\begin{gathered}N=c\cdot10^k\\1\leq|c|<10\end{gathered}

N é real não nulo, c é real e k é inteiro. O módulo |c| é a distância de c até zero. O sinal de c é o de N. Para N = 0, escrevemos simplesmente 0; não há representação normalizada com 1 ≤ |c| < 10.

Normalizar significa deixar o tamanho do coeficiente entre 1, incluído, e 10, excluído. O módulo |c| considera a distância do coeficiente até zero, desconsiderando seu sinal. Ao deslocar a vírgula do coeficiente uma casa para a esquerda, multiplicamos a potência de dez por 10 para compensar; ao deslocá-la para a direita, fazemos a compensação inversa. A posição da vírgula muda, mas o número representado permanece igual.

Exemplo resolvido · Números pequenos e coeficientes negativos

Escreva 0,000072 e −5 400 000 em notação científica normalizada.

Resolução

Para obter 7,2 a partir do primeiro número, deslocamos a vírgula cinco casas à direita. Logo $0{,}000072=7{,}2\cdot10^{-5}$ .
Para o segundo, preservamos o sinal: $-5\,400\,000=-5{,}4\cdot10^6$ . O módulo de −5,4 é 5,4, que está no intervalo permitido.

$7{,}2\cdot10^{-5}$ e $-5{,}4\cdot10^6$ .

Exemplo resolvido · Multiplicar e dividir

Calcule $(3\cdot10^{-4})(6\cdot10^7)$ e $(9\cdot10^8)/(3\cdot10^{-2})$ .

Resolução

No produto, os coeficientes dão 18 e os expoentes somam −4 + 7 = 3. Obtemos $18\cdot10^3=1{,}8\cdot10^4$ depois de normalizar.
No quociente, 9/3 = 3 e o expoente é $8-(-2)=10$ . Portanto o valor é $3\cdot10^{10}$ .

Os resultados normalizados são $1{,}8\cdot10^4$ e $3\cdot10^{10}$ .

Exemplo resolvido · Para somar, igualar as potências

Some $5{,}4\cdot10^7$ e $8\cdot10^7$ , e compare $9\cdot10^5$ com $1{,}2\cdot10^6$ .

Resolução

Na soma, a potência é a mesma; somamos os coeficientes: $13{,}4\cdot10^7=1{,}34\cdot10^8$ . Se as potências fossem diferentes, primeiro reescreveríamos uma parcela na potência da outra.
Na comparação, $1{,}2\cdot10^6=12\cdot10^5$ . Como 9 < 12, $9\cdot10^5$ é menor. Comparar apenas 9 e 1,2 daria uma conclusão errada.

A soma é $1{,}34\cdot10^8$ ; o segundo número da comparação é maior.

6O que uma raiz real significa

Elevar a uma potência parte de um número e produz outro. Extrair uma raiz pergunta qual número pode ter produzido o radicando por aquela potência. No radical, o índice indica o expoente procurado e o radicando é o número dentro do símbolo. O índice deve ser inteiro pelo menos 2; quando é 2, costumamos omiti-lo.

\sqrt[2k]{a}=r\iff\begin{cases}r^{2k}=a\\r\geq0\end{cases}

k é inteiro positivo e a ≥ 0. A raiz indicada pelo radical é o único valor real não negativo cujo expoente 2k produz a. Se a < 0, não há raiz real de índice par. O índice 2 costuma ser omitido.

Todo número real elevado a uma potência par é não negativo. Por isso uma raiz par real exige radicando não negativo. Quando o radicando é positivo, dois números opostos têm aquela potência; o símbolo de radical escolhe o não negativo. Essa escolha se chama raiz principal. Para radicando zero, a raiz é zero.

\sqrt[2k+1]{a}=r\iff r^{2k+1}=a

k é inteiro positivo e a é real. Há um único r real, com o mesmo sinal de a quando a ≠ 0. Por exemplo, a raiz cúbica de um número negativo é negativa. O índice é pelo menos 3.

Uma potência ímpar preserva o sinal da base: valores positivos produzem positivos, negativos produzem negativos. Há uma única raiz real de índice ímpar para cada radicando real. A existência dessas raízes e a unicidade da raiz não negativa no caso par são propriedades dos números reais que usaremos; não exigimos que a raiz seja racional.

Exemplo resolvido · Índices diferentes, condições diferentes

Calcule $\sqrt{144}$ , $\sqrt[3]{-125}$ e $\sqrt[4]{81}$ ; verifique se $\sqrt[4]{-16}$ é real.

Resolução

12² = 144 e 12 ≥ 0, então a primeira raiz é 12. Não colocamos ± no valor do radical.
Como (−5)³ = −125, a raiz cúbica é −5. Como 3⁴ = 81 e 3 ≥ 0, a raiz quarta é 3.
Nenhuma quarta potência real é negativa. Portanto a última expressão não tem valor no conjunto dos reais.

Os valores reais são 12, −5 e 3; a raiz quarta de −16 não é real.

7Raiz principal, módulo e equações

−3 e 3 têm quadrado 9. A raiz principal √9 é 3; resolver x² = 9 pede os dois valores.

O módulo |x| de um real x é sua distância até zero. Vale x quando x ≥ 0 e −x quando x < 0, portanto é sempre não negativo. Isso permite desfazer uma potência par sem escolher um sinal indevido: a raiz principal do quadrado de x é |x|. Para índice ímpar, a raiz desfaz a potência mantendo o próprio x.

\sqrt[n]{x^n}=\begin{cases}|x|,&n\text{ par}\\x,&n\text{ ímpar}\end{cases}

x é real e n é inteiro, n ≥ 2. O módulo |x| vale x se x ≥ 0 e −x se x < 0. Para índice par, a saída do radical precisa ser não negativa, mesmo quando x é negativo.

Exemplo resolvido · A letra pode ser negativa

Simplifique $\sqrt{(-7)^2}$ , $\sqrt{(x-4)^2}$ e $\sqrt[3]{(-2)^3}$ .

Resolução

A primeira é $|-7|=7$ . O fato de −7 ter produzido o quadrado não muda a convenção do radical.
A segunda é $|x-4|$ : vale x − 4 para x ≥ 4 e 4 − x para x < 4. A expressão original está definida para todo x real.
A terceira tem índice ímpar e vale −2. Não é necessário módulo nesse caso.

Os resultados são $7$ , $|x-4|$ e $-2$ .

x^{2k}=a\iff x=\pm\sqrt[2k]{a}

\begin{gathered}x^{2k}=a\\\Updownarrow\\x=\pm\sqrt[2k]{a}\end{gathered}

k é inteiro positivo e a > 0. A equação tem duas soluções reais opostas. Para a = 0, a única solução é x = 0; para a < 0, não há solução real. O radical isolado representa apenas a raiz não negativa.

O símbolo ± reúne duas alternativas: um valor positivo e seu oposto. Ele aparece ao descrever soluções de uma equação par com termo positivo, não no valor de um radical principal. Para uma equação ímpar xⁿ = a, há uma única solução real, a raiz de índice n de a.

Exemplo resolvido · Ler radical e equação separadamente

Compare $\sqrt[4]{16}$ com as soluções de $x^4=16$ , $x^4=0$ e $x^4=-1$ .

Resolução

O radical vale 2. Na primeira equação, tanto 2 quanto −2 têm quarta potência 16, então há duas soluções.
Para x⁴ = 0, só x = 0 serve. Para x⁴ = −1, não há solução real, porque a potência é sempre não negativa.

O radical é 2; as equações têm, respectivamente, duas, uma e nenhuma solução real.

8Raízes exatas, irracionais e estimativas

Uma raiz pode ser inteira, racional não inteira ou irracional. Por exemplo, √9 = 3 e √(1/4) = 1/2 são racionais. Um irracional é um real que não pode ser escrito como fração de inteiros com denominador não nulo. √2 é irracional: ter radicando inteiro não garante que a raiz seja inteira nem racional.

Exemplo resolvido · Por que √2 não é uma fração?

Demonstre que não existem inteiros p e q, com q ≠ 0, tais que √2 = p/q.

Resolução

Se existisse tal fração, poderíamos reduzi-la até p e q não terem fator comum maior que 1. Ao elevar ao quadrado, $p^2=2q^2$ .
Assim p² seria par e p também seria par: o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar. Escrevemos p = 2r, com r inteiro.
Substituindo, $4r^2=2q^2$ , então $q^2=2r^2$ . Isso faria q par também.
p e q teriam o fator comum 2, contrariando a escolha da fração reduzida. Portanto a suposta fração não existe.

√2 é irracional.

Para localizar uma raiz positiva, podemos comparar potências de números positivos. Como 2² < 7 < 3², temos 2 < √7 < 3. Refinamos o intervalo testando casas decimais, sem trocar uma expressão exata por um decimal incompleto.

Exemplo resolvido · Uma aproximação com justificativa

Localize √7 entre dois centésimos consecutivos e arredonde-a a duas casas decimais.

Resolução

Temos $2{,}64^2=6{,}9696$ e $2{,}65^2=7{,}0225$ . Logo 2,64 < √7 < 2,65.
Para decidir o arredondamento, comparamos com o meio do intervalo: $2{,}645^2=6{,}996025<7$ . Portanto √7 > 2,645 e o arredondamento aos centésimos é 2,65.

√7 ≈ 2,65; o valor exato continua sendo √7.

Um triângulo retângulo de catetos 2 e 1 tem hipotenusa √5. O arco transporta esse comprimento para a reta, entre 2 e 3.

No desenho, a relação de Pitágoras fornece o quadrado da hipotenusa: 2² + 1² = 5. Transportar o comprimento por um arco de centro na origem marca o ponto √5 na mesma escala. O ponto é exato na construção ideal; o traço e as coordenadas digitais são aproximações visuais.

9Propriedades dos radicais e domínio

\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}

n é inteiro, n ≥ 2. Para n par, exigir a ≥ 0 e b ≥ 0; para n ímpar, a e b podem ser quaisquer reais. Não separar um produto sob raiz par em fatores negativos, mesmo se o produto for positivo.

A prova usa a caracterização da raiz. Se r é a raiz de a e s é a de b, então (rs)ⁿ = rⁿsⁿ = ab. No caso par, r e s são não negativos e seu produto também: ele é a raiz principal de ab. No caso ímpar, a unicidade da raiz real permite o mesmo raciocínio com quaisquer sinais.

\sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

n é inteiro, n ≥ 2. Para n par, exigir a ≥ 0 e b > 0; para n ímpar, a é real e b ≠ 0. As condições valem para as expressões separadas; um quociente positivo formado por dois negativos não permite separação em raízes pares reais.

Se s é não nulo, a potência de r/s é a/b. No caso par, as condições da fórmula garantem que r/s seja não negativo. Não basta o quociente original ser positivo: as raízes que aparecem depois da separação também precisam existir nos reais.

Exemplo resolvido · Usar a propriedade onde ela vale

Calcule $\sqrt{12}\sqrt3$ , $\sqrt{9/16}$ e $\sqrt[3]{-54}/\sqrt[3]2$ .

Resolução

Os radicandos do primeiro produto são não negativos: $\sqrt{12}\sqrt3=\sqrt{36}=6$ .
No quociente dentro da raiz quadrada, $\sqrt{9/16}=\sqrt9/\sqrt{16}=3/4$ .
Para o índice ímpar, o radicando negativo é permitido: $\sqrt[3]{-54}/\sqrt[3]2=\sqrt[3]{-27}=-3$ . O denominador não é zero.

Os valores são $6$ , $3/4$ e $-3$ .

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}

m e n são inteiros, ambos pelo menos 2. Se a ≥ 0, a igualdade sempre vale. Se a < 0, as expressões reais só existem quando m e n são ambos ímpares; nesse caso a igualdade também vale.

Se r é a raiz m-ésima da raiz n-ésima de a, então rᵐ é a raiz n-ésima de a, e (rᵐ)ⁿ = a. Assim r elevado a mn dá a. A condição de sinal seleciona a raiz principal quando o índice composto é par; quando a é negativo, os dois índices precisam ser ímpares. Por exemplo, a raiz quadrada da raiz cúbica de 64 é √4 = 2, igual à raiz sexta de 64.

10Simplificar radicais e extrair fatores

Simplificar é reconhecer potências perfeitas dentro do radicando. Um inteiro positivo pode ser decomposto em fatores primos: inteiros maiores que 1 cujos únicos divisores positivos são 1 e eles mesmos. Agrupamos os fatores em blocos do tamanho do índice. Cada bloco completo sai como um fator; os fatores que sobram permanecem sob o radical.

\sqrt[n]{c^n b}=c\sqrt[n]{b}

n é inteiro, n ≥ 2. Para n par, c ≥ 0 e b ≥ 0. Se c for negativo e b ≥ 0, usar |c| no lado direito. Para n ímpar, c e b podem ser quaisquer reais. Exigir que as expressões apresentadas estejam definidas.

Essa regra vem da propriedade do produto e da raiz de cⁿ. Para uma raiz par, a saída é |c|; escrevemos c apenas quando sabemos que c ≥ 0. Para uma raiz ímpar, o fator sai com seu próprio sinal. Para radicandos inteiros positivos, podemos usar divisões por quadrados ou cubos perfeitos em vez de escrever toda a fatoração prima.

Exemplo resolvido · Quadrados e cubos perfeitos como fatores

Simplifique $\sqrt{72}$ e $\sqrt[3]{-250}$ .

Resolução

Como $72=36\cdot2$ , a primeira é $\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2$ . Na fatoração prima, os pares em $2^3\cdot3^2$ deixam um único fator 2 dentro da raiz.
Como $-250=(-5)^3\cdot2$ , a segunda é $-5\sqrt[3]2$ . O índice ímpar permite a saída do fator negativo.

$6\sqrt2$ e $-5\sqrt[3]2$ .

Um quadrado de área 50 pode ser dividido em 25 quadrados de área 2. Seu lado contém cinco lados de comprimento √2, portanto mede 5√2.

Exemplo resolvido · Letras sem hipótese de positividade

Simplifique $\sqrt{18x^2}$ para x real.

Resolução

Escrevemos $18x^2=9\cdot x^2\cdot2$ . Como os fatores são não negativos, podemos separar suas raízes.
Separando, $\sqrt9\sqrt{x^2}\sqrt2=3|x|\sqrt2$ . Em x = −1, o resultado é 3√2, não −3√2. O módulo é necessário para preservar a raiz principal.

$3|x|\sqrt2$ , definida para todo x real.

\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[kn]{a^{km}}

a ≥ 0; m e k são inteiros positivos e n é inteiro, n ≥ 2. Para reduzir, o fator k deve dividir o índice e o expoente e o novo índice deve ser pelo menos 2, ou ser interpretado como a própria potência quando for 1. A condição de sinal impede trocas incorretas de raízes pares por ímpares.

Ampliar ou reduzir simultaneamente índice e expoente conserva a proporção entre eles sob as condições indicadas. Para base não negativa, a prova pode ser feita elevando a raiz original ao novo índice e usando a unicidade da raiz não negativa. Por exemplo, a raiz sexta de 5⁴ é a raiz cúbica de 5²: dividimos 6 e 4 por 2.

Exemplo resolvido · Por que não cortar os números sem olhar a base?

Compare $\sqrt[6]{(-1)^2}$ com $\sqrt[3]{-1}$ .

Resolução

A primeira é a raiz sexta de 1, portanto vale 1. A segunda tem índice ímpar e vale −1.
Dividir o índice 6 e o expoente 2 por 2 teria mudado o valor. A base negativa não satisfaz a condição a ≥ 0 da regra. Em particular, $\sqrt[4]{x^2}=\sqrt{|x|}$ para x real, e não √x em geral: $\sqrt{|x|}$ é não negativa e sua quarta potência é $|x|^2=x^2$ .

As expressões valem 1 e −1; a simplificação indiscriminada é inválida.

11Somar, multiplicar e usar conjugados

u\sqrt[n]{a}+v\sqrt[n]{a}=(u+v)\sqrt[n]{a}

u e v são reais, n é inteiro e n ≥ 2, e a raiz é real. Os dois radicais precisam ter o mesmo índice e o mesmo radicando, possivelmente depois de simplificar. A igualdade é uma aplicação da distributiva.

A raiz comum funciona como um fator: a distributiva permite somar seus coeficientes. Radicais diferentes podem se tornar semelhantes depois de simplificar. Se não tiverem o mesmo índice e radicando após uma transformação válida, não existe essa redução por soma de coeficientes.

Exemplo resolvido · Simplificar antes de somar

Reduza $\sqrt{48}+2\sqrt{27}-\sqrt{75}$ .

Resolução

Como $48=16\cdot3$ , $27=9\cdot3$ e $75=25\cdot3$ , extraímos os quadrados perfeitos: $\sqrt{48}=4\sqrt3$ , $\sqrt{27}=3\sqrt3$ e $\sqrt{75}=5\sqrt3$ .
A expressão vira $4\sqrt3+6\sqrt3-5\sqrt3$ . Somamos os coeficientes: 4 + 6 − 5 = 5.

O resultado é $5\sqrt3$ .

Não se soma dentro do radical: $\sqrt{1+3}=2$ , enquanto $\sqrt1+\sqrt3=1+\sqrt3>2$ , pois √3 > 1. A igualdade entre a raiz de uma soma e a soma das raízes não é uma propriedade geral.

(u+v)(u-v)=u^2-v^2

u e v são reais. Os termos conjugados diferem apenas no sinal entre as parcelas. A distributiva produz os termos −uv e +uv, que se cancelam. Quando u = √a e v = √b, exigir a e b não negativos.

Pela distributiva, o produto tem as parcelas u² − uv + vu − v². Como uv = vu, as duas parcelas do meio se cancelam. Essa identidade será retomada nos produtos notáveis; aqui já podemos justificá-la e utilizá-la sem decorar um procedimento de sinais.

Exemplo resolvido · Um produto que elimina as raízes

Calcule $(\sqrt{13}+2)(\sqrt{13}-2)$ .

Resolução

As expressões são conjugadas, com u = √13 e v = 2. O produto é $(\sqrt{13})^2-2^2=13-4$ .
A raiz √13 é real e maior que 2, pois 13 > 4. Assim os dois fatores também podem representar comprimentos positivos no desenho.

O produto vale 9.

Retirando um quadrado de lado 2 de outro de lado √13, sobra área 9. As duas peças podem formar um retângulo de lados √13 + 2 e √13 − 2.

12Racionalizar sem perder o domínio

Racionalizar o denominador é reescrever uma fração equivalente deixando o denominador sem os radicais considerados. Multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo fator não nulo; isso equivale a multiplicar por 1. O valor da fração não muda, e suas restrições originais precisam continuar valendo.

\frac1{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}{a}

a > 0. Multiplicamos numerador e denominador por √a, que é não nulo. O mesmo procedimento vale para um numerador real e para fatores racionais não nulos no denominador.

Exemplo resolvido · Um único radical no denominador

Racionalize $3/\sqrt{12}$ .

Resolução

Primeiro, $\sqrt{12}=2\sqrt3$ . Multiplicamos $3/(2\sqrt3)$ por $\sqrt3/\sqrt3$ , que vale 1.
Obtemos $3\sqrt3/6=\sqrt3/2$ . O denominador original é positivo e o fator escolhido é não nulo.

A forma racionalizada é $\sqrt3/2$ .

\frac1{\sqrt[n]{a}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}

a > 0 e n é inteiro, n ≥ 2. O fator escolhido completa n fatores de a sob o radical. Casos com a < 0 podem ser tratados para índice ímpar, preservando os sinais e a condição a ≠ 0.

Exemplo resolvido · Completar o expoente do radicando

Racionalize $1/\sqrt[3]5$ .

Resolução

Falta completar três fatores 5 sob o radical. Multiplicamos por $\sqrt[3]{25}/\sqrt[3]{25}$ .
O denominador fica $\sqrt[3]{125}=5$ . O numerador fica $\sqrt[3]{25}$ .

$1/\sqrt[3]5=\sqrt[3]{25}/5$ .

\frac1{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}

a ≥ 0, b ≥ 0 e a ≠ b. Essas condições garantem que o denominador original e o fator conjugado sejam não nulos. Se a = b > 0, a fração original existe, mas esta transformação específica não vale: é preciso usar outro procedimento.

Quando o denominador tem uma soma ou diferença, o conjugado pode produzir uma diferença de quadrados. Ele precisa ser não nulo: não é suficiente o denominador original existir. Na versão com diferença no denominador, trocamos por soma no fator conjugado e mantemos as condições que tornam as duas operações válidas.

Exemplo resolvido · Denominador com uma diferença

Racionalize $5/(\sqrt7-2)$ .

Resolução

A raiz √7 é maior que 2, pois 7 > 4; logo o denominador não zera. O conjugado √7 + 2 também é positivo.
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado. Embaixo, $(\sqrt7-2)(\sqrt7+2)=7-4=3$ . Em cima, fica $5(\sqrt7+2)$ .

A forma obtida é $5(\sqrt7+2)/3$ .

Exemplo resolvido · O conjugado pode zerar sem a original zerar

Analise a racionalização de $1/(\sqrt{x}+2)$ para x real.

Resolução

A expressão original exige x ≥ 0; o denominador é pelo menos 2 e nunca zera.
Se x ≠ 4, o conjugado √x − 2 é não nulo e obtemos $(\sqrt{x}-2)/(x-4)$ .
Em x = 4, o conjugado é zero e essa transformação não é válida. A original vale 1/4. Não podemos apagar esse valor do domínio original nem calcular 0/0.

A forma com conjugado vale para x ≥ 0 e x ≠ 4; o caso x = 4 conserva o valor original 1/4.

13Potências com expoentes racionais

Uma raiz também pode ser escrita como uma potência de expoente fracionário. Para base positiva, o denominador do expoente indica o índice da raiz e o numerador indica uma potência. Essa definição permite manter as leis anteriores sem ambiguidade de sinal.

a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m

a > 0, m é inteiro e n é inteiro positivo; para a notação de radical, n ≥ 2, e para n = 1 usamos a potência inteira. Para a = 0 e expoente racional positivo, o valor é 0; para expoente zero ou negativo, zero não é uma base admitida nesta aula.

A caracterização justifica a definição: elevar a raiz n-ésima de a à potência m produz um número positivo cuja potência n é aᵐ. A unicidade da raiz positiva dá a igualdade. Para m negativo, usamos o recíproco. Frações equivalentes representam o mesmo expoente porque podemos ampliar índice e expoente na base positiva; isso também permite reduzir a fração antes de calcular.

Exemplo resolvido · Raiz e potência em uma única escrita

Calcule $16^{3/4}$ e $27^{-2/3}$ .

Resolução

Na primeira, a raiz quarta de 16 é 2. Elevando ao cubo, $16^{3/4}=2^3=8$ .
Na segunda, o expoente negativo pede o recíproco: $27^{-2/3}=1/(\sqrt[3]{27})^2$ . A raiz cúbica de 27 é 3; seu quadrado é 9. Logo $27^{-2/3}=1/9$ .

Os valores são $8$ e $1/9$ .

\begin{aligned}a^ra^s&=a^{r+s}\\(a^r)^s&=a^{rs}\\\left(\frac ab\right)^r&=\frac{a^r}{b^r}\end{aligned}

a > 0, b > 0 e r, s são racionais. O quociente de potências de base a também satisfaz aʳ/aˢ = aʳ⁻ˢ, e (ab)ʳ = aʳbʳ. Para bases negativas e expoentes não inteiros, não usar estas leis sem verificar a definição e as condições de cada expressão.

Podemos levar os expoentes a um denominador comum e aplicar as propriedades de radicais não negativos e de potências inteiras. Isso demonstra a regra de somar expoentes no produto e de subtraí-los no quociente. Para potência de potência, a definição por raiz dá o expoente produto; para produto e quociente de bases positivas, usamos as propriedades das respectivas raízes. A base positiva garante que todas as raízes intermediárias sejam reais e positivas.

A justificativa com um denominador comum

Para ver o produto em detalhe, escreva r = M/L e s = N/L, com M e N inteiros e um denominador comum L ≥ 2. Podemos ampliar frações para obter esse L. Defina $t=\sqrt[L]{a}>0$ . Pela definição, $a^r=t^M$ e $a^s=t^N$ . As leis inteiras dão $t^Mt^N=t^{M+N}$ , que é $a^{(M+N)/L}=a^{r+s}$ . Dividir os mesmos termos troca a soma M + N pela diferença M − N.

Para a potência de potência, escreva r = p/u e s = q/v, com p e q inteiros e u e v inteiros positivos. Se $z=(a^r)^s$ , então z > 0 e $z^v=(a^r)^q$ . Elevando a u e usando as leis de expoentes inteiros, obtemos $z^{uv}=a^{pq}$ , pois $(a^r)^u=a^p$ . Pela unicidade do valor positivo que satisfaz essa potência, $z=a^{pq/(uv)}=a^{rs}$ . Assim a regra resulta da definição, inclusive para numeradores negativos.

Exemplo resolvido · Trabalhar com frações no expoente

Simplifique $a^{1/2}a^{1/3}$ e $(a^{3/4})^{2/3}$ para a > 0.

Resolução

No produto, $1/2+1/3=3/6+2/6=5/6$ , então obtemos $a^{5/6}$ .
Na potência de potência, $(3/4)(2/3)=1/2$ , então obtemos $a^{1/2}=\sqrt a$ .

As formas são $a^{5/6}$ e $\sqrt a$ , mantendo a > 0.

Zero e bases negativas exigem cuidado

Para base zero e expoente racional positivo, definimos o valor como zero. Não usamos zero com expoente zero nem negativo. Para base negativa, adotamos a extensão real em que primeiro reduzimos o expoente a uma fração irredutível com denominador positivo: se esse denominador for ímpar, usamos a raiz ímpar e a potência inteira; se for par, não há valor real nessa convenção.

Exemplo resolvido · O motivo da hipótese de base positiva

Analise $(-32)^{2/5}$ e a diferença entre $(-8)^{2/6}$ e $\sqrt[6]{(-8)^2}$ .

Resolução

Em $(-32)^{2/5}$ , o denominador 5 é ímpar e a fração já é irredutível. A raiz quinta de −32 é −2 e o quadrado é 4.
Como $2/6=1/3$ , a potência $(-8)^{2/6}$ vale a raiz cúbica de −8, isto é, −2, na extensão adotada.
Mas $\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2$ . Aplicar mecanicamente a fórmula de base positiva teria mudado o sinal. Também $((-8)^2)^{1/2}=8$ , enquanto $(-8)^{2\cdot(1/2)}=-8$ : a regra de potência de potência não se estende indiscriminadamente.

As leis foram enunciadas com base positiva para evitar essas trocas inválidas.

14Índice comum e comparação de valores

0\leq a<b\Longrightarrow\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}

n é inteiro, n ≥ 2. Para índice ímpar, a comparação continua válida para quaisquer reais a < b. Para comparar raízes de índices diferentes, não comparar apenas os radicandos: pode-se elevar as duas quantidades não negativas à mesma potência inteira positiva.

Nos não negativos, elevar a um mesmo inteiro positivo preserva a ordem. Se A < B e A > 0, a razão B/A é maior que 1, e sua potência também é maior que 1; se A = 0, a comparação é imediata. Isso permite comparar raízes por suas potências. Para índices ímpares, a ordem também se mantém no ramo negativo, usando os sinais e os módulos.

Exemplo resolvido · Radicandos maiores não decidem entre índices diferentes

Compare $\sqrt[3]5$ e $\sqrt3$ .

Resolução

As duas quantidades são positivas. Escolhemos a potência 6, que é múltipla dos índices 3 e 2.
A sexta potência da primeira é $5^2=25$ e a da segunda é $3^3=27$ . Como 25 < 27, a primeira quantidade é menor.
Outra escrita usa índice comum: $\sqrt[3]5=\sqrt[6]{25}$ e $\sqrt3=\sqrt[6]{27}$ . As bases são não negativas, então a ampliação dos índices é válida.

$\sqrt[3]5<\sqrt3$ .

Para uma mesma base positiva a e expoentes racionais r < s, a comparação depende da base. Se a > 1, aˢ/aʳ = aˢ⁻ʳ > 1 e aʳ < aˢ. Se 0 < a < 1, aˢ⁻ʳ < 1 e aʳ > aˢ. Com a = 1, todas as potências valem 1. Para justificar o sinal de aˢ⁻ʳ, escrevemos o expoente positivo como uma fração e usamos uma raiz positiva de uma potência inteira.

Exemplo resolvido · Uma base entre zero e um inverte a comparação

Compare $(1/4)^{-1}$ e $(1/4)^{-1/2}$ .

Resolução

O primeiro valor é 4. O segundo é o recíproco da raiz quadrada de 1/4, portanto $1/(1/2)=2$ .
Embora −1 < −1/2, o primeiro valor é maior. A base está entre zero e um, caso em que aumentar o expoente diminui a potência.

$(1/4)^{-1}>(1/4)^{-1/2}$ .

15Aplicações, escalas e unidades

Exemplo resolvido · Recuperar um comprimento pela área

Um quadrado tem área de 200 cm². Determine seu lado e seu perímetro, sem arredondar.

Resolução

Se l é o lado, l > 0 e $l^2=200$ . Escolhemos a raiz positiva: $l=\sqrt{200}=10\sqrt2$ cm.
O perímetro é quatro vezes o lado, portanto $40\sqrt2$ cm. A unidade passou de área em cm² para comprimento em cm.
Conferindo o lado, (10√2)² = 100·2 = 200. A raiz negativa da equação não representa o lado do quadrado.

Lado $10\sqrt2$ cm e perímetro $40\sqrt2$ cm.

Exemplo resolvido · Da contagem de cubos ao comprimento da aresta

Um cubo tem volume de 54 cm³. Qual é sua aresta?

Resolução

Para aresta a > 0, o volume é $a^3=54$ . Assim $a=\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]2$ cm, porque 54 = 27·2.
O índice 3 corresponde ao número de fatores de comprimento no volume. Não usamos uma raiz quadrada para desfazer um cubo.

A aresta mede $3\sqrt[3]2$ cm.

Exemplo resolvido · Multiplicações sucessivas em um modelo

Uma cultura começa com $3{,}2\cdot10^6$ células e, no modelo adotado, dobra a cada ciclo. Quantas há depois de quatro ciclos?

Resolução

Cada ciclo multiplica a quantidade por 2. Após quatro ciclos, o fator é $2^4=16$ , e não 2·4.
Multiplicamos $3{,}2\cdot16=51{,}2$ , mantendo 10⁶. Normalizando, $51{,}2\cdot10^6=5{,}12\cdot10^7$ .
O resultado é exato para os dados e a regra desse modelo. Dobrar em todos os ciclos é uma hipótese, não uma afirmação sobre qualquer cultura real.

Depois de quatro ciclos, $5{,}12\cdot10^7$ células.

16Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Identifique a base, o expoente ou o índice, registre as restrições e justifique as propriedades usadas. Nas discursivas, escreva o raciocínio antes de abrir a resolução comentada. As questões são autorais, sem atribuição a bancas.

Questão 1 de 400 conferidas

Fixação · Objetiva

Qual é o valor de $4^3$ ?

A12.B64.C81.D7.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

17O que levar desta aula

Uma potência de expoente inteiro positivo conta fatores iguais. Parênteses definem a base; o sinal fora da potência é aplicado depois.
Expoente zero dá 1 apenas para base não nula; expoente negativo indica recíproco. Nesta aula, 0⁰ e expoentes negativos de zero não estão definidos.
As leis de expoentes vêm de contar, agrupar e cancelar fatores. Mesma base, denominadores não nulos e domínio original precisam ser preservados.
Notação científica normalizada usa um coeficiente de módulo entre 1 e 10, com 10 excluído, e potência inteira de dez. Para somar, primeiro iguale as potências.
Raiz par real exige radicando não negativo e seleciona o valor não negativo. Raiz ímpar real aceita qualquer radicando. Um radical não representa todas as soluções de uma equação.
A raiz de xⁿ é |x| se n é par e x se n é ímpar. Uma simplificação não pode descartar o sinal nem mudar o domínio.
Produtos, quocientes, extrações e mudanças de índice exigem as hipóteses de sinal. Somar radicais semelhantes é usar a distributiva; a raiz não se distribui sobre soma.
Racionalizar multiplica por um fator não nulo no numerador e no denominador. Verifique também se o conjugado pode zerar em um valor aceito pela expressão original.
As leis gerais de expoentes racionais foram enunciadas para bases positivas. Bases negativas exigem fração irredutível e discussão própria; não transportar as regras automaticamente.
Aproximações precisam ser indicadas por ≈ e justificadas pela precisão pedida. Nas aplicações, confira positividade de comprimentos, unidades e hipóteses do modelo.

A próxima aula será Polinômios: conceitos, grau, igualdade e operações, incluindo a divisão. Produtos notáveis e fatoração terá uma aula própria em seguida. Equações polinomiais será desenvolvida numa etapa posterior do percurso de Álgebra.