Produtos notáveis e fatoração

1Expandir e fatorar: duas leituras

Na aula anterior, multiplicamos polinômios e reunimos termos semelhantes. Agora vamos reconhecer estruturas que se repetem e fazer o caminho inverso: escrever uma soma como produto. A escrita mais útil depende da pergunta. A forma expandida facilita ler coeficientes; a forma fatorada pode revelar dimensões, fatores comuns e valores que anulam uma expressão.

Um produto notável é uma identidade algébrica recorrente, que podemos deduzir pelas propriedades das operações. Uma identidade vale para todos os valores do domínio declarado. Fatorar um polinômio é escrevê-lo como produto de polinômios. Isso reorganiza a mesma expressão; não significa escolher um valor para a variável nem resolver automaticamente uma equação.

Exemplo resolvido · Reconstruir para conferir

Compare $x^2+7x+10$ com $(x+2)(x+5)$ .

Resolução

Pela distributiva, os quatro produtos são x², 5x, 2x e 10. A redução produz x² + 7x + 10.
As escritas representam o mesmo polinômio para qualquer real x. Da forma em produto para a soma, expandimos; da soma para esse produto, fatoramos.
Conferir apenas em x = 1 não bastaria para demonstrar uma identidade. A expansão confere todos os coeficientes de uma vez.

$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$ .

2Quadrado da soma e da diferença

Elevar uma soma ao quadrado significa multiplicar a soma inteira por ela mesma. Cada termo de uma cópia multiplica cada termo da outra. Os dois produtos mistos são iguais e precisam ser contados duas vezes.

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

a e b são reais, ou expressões reais definidas no domínio considerado. O termo central é duas vezes o produto dos dois termos completos. A dedução por áreas exige comprimentos não negativos; a identidade algébrica vale para quaisquer a e b reais.

A distributiva dá $(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2$ . Como ab = ba, os termos mistos somam 2ab. O quadrado de um produto, como (2x)² = 4x², precisa ser calculado sobre o termo completo, incluindo o coeficiente.

O quadrado de lado a + b se divide em a², dois retângulos ab e b². A figura usa a = 4 e b = 2 na mesma escala e supõe comprimentos positivos.

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a e b são reais. O último termo é não negativo porque (−b)² = b²; ele vale zero se b = 0. O sinal de subtração aparece no termo central −2ab. No desenho por recortes, supor a > b > 0. A identidade algébrica independe dessa restrição geométrica.

Para a diferença, substituímos b por −b: $[a+(-b)]^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2$ . Obtemos o termo central −2ab e o último termo +b². O quadrado final não é negativo só porque há uma subtração dentro do agrupamento.

Do quadrado de lado a, retiram-se uma faixa vertical e uma horizontal, ambas de área ab. A região b² foi retirada duas vezes e precisa ser devolvida uma vez. A figura usa a = 5 e b = 2.

Exemplo resolvido · Identificar os dois termos completos

Desenvolva $(3x+2y)^2$ e $(x-4)^2$ .

Resolução

No primeiro, a = 3x e b = 2y. Seus quadrados são 9x² e 4y², e o dobro do produto é $2\cdot3x\cdot2y=12xy$ .
No segundo, a = x e b = 4. Usamos x² − 2·x·4 + 4². O resultado é $x^2-8x+16$ .

$9x^2+12xy+4y^2$ e $x^2-8x+16$ .

Exemplo resolvido · Coeficientes fracionários e radicais

Expanda $(\frac23x+\frac12)^2$ e $(\sqrt7-2)^2$ .

Resolução

No primeiro quadrado, a = 2x/3 e b = 1/2. Os termos extremos são $(4/9)x^2$ e 1/4. O termo central é $2\cdot(2x/3)\cdot(1/2)=2x/3$ .
No segundo, a = √7 e b = 2. Os quadrados são 7 e 4, e o termo central é −2·√7·2 = −4√7. Logo o resultado é 11 − 4√7. A raiz é de uma constante positiva; não há restrição nova sobre x na primeira expressão.

$\frac49x^2+\frac23x+\frac14$ e $11-4\sqrt7$ .

3Conjugados e diferença de quadrados

Expressões conjugadas têm os mesmos dois termos, com soma em uma e diferença na outra. Ao multiplicá-las, os produtos mistos se cancelam. A mesma identidade será usada depois no sentido inverso para fatorar.

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

a e b são reais. A distributiva cancela os termos −ab e +ab. Lendo da direita para a esquerda, fatoramos uma diferença de quadrados. Para representar uma diferença de áreas por recorte, exigir a > b ≥ 0.

Pela distributiva, $(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$ . O cancelamento acontece entre parcelas opostas obtidas da expansão; não é uma permissão para eliminar parcelas arbitrariamente de uma fração.

Retirando b² de a², sobram duas peças que podem formar um retângulo de lados a + b e a − b. A figura usa a = 5 e b = 2; a peça B é girada sem alterar sua área.

Exemplo resolvido · Reconhecer um agrupamento inteiro como termo

Simplifique $(x+2+y)(x+2-y)$ .

Resolução

Os termos conjugados são a = x + 2 e b = y. Assim, o produto é (x + 2)² − y².
Expandindo o quadrado, obtemos $x^2+4x+4-y^2$ . Não é x² + 4 − y²: o termo central de (x + 2)² precisa permanecer.

$x^2+4x+4-y^2$ .

Exemplo resolvido · Cálculo numérico sem duas multiplicações longas

Calcule 103·97 e 51² − 49².

Resolução

103·97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991.
51² − 49² = (51 + 49)(51 − 49) = 100·2 = 200. A escolha de expandir ou fatorar depende do cálculo que fica mais simples.

Os resultados são 9991 e 200.

4Cubo da soma e da diferença

Elevar um binômio ao cubo é multiplicá-lo por seu quadrado. Isso produz termos mistos que não podem ser descartados. O padrão dos expoentes acompanha a quantidade de fatores escolhidos de cada tipo.

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

\begin{aligned}(a+b)^3={}&a^3+3a^2b\\&+3ab^2+b^3\end{aligned}

a e b são reais. A expansão resulta de multiplicar (a + b) pelo quadrado da soma. Os termos mistos têm coeficientes 3; a³ + b³, isoladamente, é outra expressão.

Multiplique a + b por a² + 2ab + b². Os produtos da parcela a são a³, 2a²b e ab²; os da parcela b são a²b, 2ab² e b³. Reduzindo, aparecem três parcelas a²b e três parcelas ab². Também podemos agrupar os termos mistos como $3ab(a+b)$ .

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

\begin{aligned}(a-b)^3={}&a^3-3a^2b\\&+3ab^2-b^3\end{aligned}

a e b são reais. Substituir b por −b na identidade do cubo da soma. O termo com b² aparece como +3ab² e o termo com b³ como −b³; esses sinais na escrita não determinam o sinal numérico de cada termo quando a ou b são negativos. A identidade também vale nesses casos.

Substituir b por −b explica os sinais na escrita do cubo da diferença: os termos são −3a²b, +3ab² e −b³. O sinal numérico de cada termo ainda depende dos valores de a e b. Não se obtém o cubo da diferença trocando o sinal de todos os termos da expansão da soma.

Exemplo resolvido · Aplicar os coeficientes 1, 3, 3 e 1

Desenvolva $(2x+3)^3$ .

Resolução

Identificamos a = 2x e b = 3. O primeiro e o último cubos são 8x³ e 27.
O primeiro termo misto é 3·(2x)²·3 = 36x². O segundo é 3·(2x)·3² = 54x.
Somando as quatro partes, temos 8x³ + 36x² + 54x + 27. Em x = 0, sobra 27, coerente com o cubo de 3.

$8x^3+36x^2+54x+27$ .

Exemplo resolvido · Os sinais de um cubo da diferença

Expanda $(x-2y)^3$ .

Resolução

Tomamos a = x e b = 2y. O segundo termo é −3x²·2y = −6x²y.
O terceiro é +3x·(2y)² = +12xy². O último é −(2y)³ = −8y³.

$x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3$ .

Exemplo resolvido · Reconhecer um cubo perfeito no sentido inverso

Fatore $64x^3-144x^2+108x-27$ .

Resolução

Os extremos sugerem a = 4x e b = 3. Seus cubos são 64x³ e 27.
Confira os dois termos mistos: −3·(4x)²·3 = −144x² e +3·4x·3² = +108x. Todos os termos e sinais conferem.

$(4x-3)^3$ .

5Identidades com três termos

As identidades anteriores podem ser aplicadas a agrupamentos maiores. Para três parcelas, primeiro agrupamos duas delas, usamos a fórmula de dois termos e só então expandimos os agrupamentos internos. Isso evita esquecer produtos mistos.

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

\begin{gathered}(a+b+c)^2\\=a^2+b^2+c^2\\+2ab+2ac+2bc\end{gathered}

a, b e c são reais. Além dos três quadrados, aparecem duas vezes os três produtos entre termos distintos. Uma subtração é tratada incluindo o sinal no termo correspondente.

Escreva [a + (b + c)]² = a² + 2a(b + c) + (b + c)². A distributiva produz 2ab + 2ac e o último quadrado produz b² + 2bc + c². Estão presentes os três quadrados e os três produtos mistos em dobro.

Exemplo resolvido · Incluir o sinal no terceiro termo

Desenvolva $(x+y-2)^2$ .

Resolução

Use a = x, b = y e c = −2. Os três quadrados são x², y² e 4.
Os produtos em dobro são 2xy, −4x e −4y. O resultado é x² + y² + 4 + 2xy − 4x − 4y.

$x^2+y^2+4+2xy-4x-4y$ .

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)

\begin{gathered}(a+b+c)^3\\=a^3+b^3+c^3\\+3(a+b)(a+c)(b+c)\end{gathered}

a, b e c são reais. O produto final contém os seis termos mistos com uma variável ao quadrado e duas ocorrências de abc; multiplicar por 3 produz os coeficientes mistos 3 e o coeficiente 6 de abc.

Para deduzir a forma agrupada do cubo, expanda [a + (b + c)]³. Aparecem a³, b³, c³, os seis termos a²b, a²c, ab², ac², b²c e bc² com coeficiente 3, e abc com coeficiente 6. Por outro lado, expandir (a + b)(a + c)(b + c) dá esses seis termos uma vez e abc duas vezes. Multiplicar esse produto por 3 justifica a identidade.

a+b+c=0\ \Longrightarrow\ a^3+b^3+c^3=3abc

\begin{gathered}a+b+c=0\\\Downarrow\\a^3+b^3+c^3=3abc\end{gathered}

a, b e c são reais e a + b + c = 0. Essa hipótese é suficiente para garantir a conclusão, que é obtida substituindo c = −(a + b) e usando o cubo da soma. Não se pode afirmar a conclusão para quaisquer trios reais sem uma hipótese adequada.

Se a + b + c = 0, então c = −(a + b). Logo a³ + b³ + c³ = a³ + b³ − (a + b)³. Pela fórmula do cubo, isso vale −3ab(a + b) = 3abc. Essa dedução destaca a hipótese suficiente para esta aplicação, em vez de tratar a conclusão como uma identidade sem hipótese.

Exemplo resolvido · Usar uma soma nula sem desenvolver todos os cubos

Fatore $(2x)^3+y^3-(2x+y)^3$ .

Resolução

Como o cubo é uma potência ímpar, −(2x + y)³ = (−2x − y)³. Os três termos que serão elevados ao cubo são 2x, y e −2x − y. Sua soma é zero para qualquer x e y reais.
A soma dos cubos vale três vezes o produto desses termos: 3·2x·y·(−2x − y).

$-6xy(2x+y)$ .

6Fator comum em evidência

Fatorar por fator comum é reconhecer um multiplicador presente em todas as parcelas e usar a distributiva ao contrário. O que fica dentro dos parênteses precisa reconstruir cada parcela ao ser multiplicado pelo fator externo. A justificativa é uma identidade, não uma divisão numérica por uma expressão que talvez seja zero.

AB+AC=A(B+C)

A, B e C são reais ou polinômios. Esta é a distributiva lida no sentido inverso. Não precisamos dividir por A para justificar a identidade, por isso os valores em que A = 0 continuam permitidos.

Com coeficientes inteiros, podemos escolher o maior divisor comum positivo dos coeficientes e, para cada variável, o menor expoente presente em todas as parcelas. Esse expoente mínimo permite que os quocientes de monômios ainda tenham expoentes não negativos. Se uma variável faltar em alguma parcela, seu expoente ali é zero e ela não entra no fator comum de todas.

Exemplo resolvido · Coeficientes e expoentes mínimos

Fatore $18x^4y^2-24x^3y^3+6x^2y^2$ .

Resolução

O maior divisor comum positivo de 18, 24 e 6 é 6. Os menores expoentes de x e y são 2 e 2.
Evidenciamos $6x^2y^2$ . As parcelas internas são 3x², −4xy e 1. A última é 1, não zero: multiplicar o fator comum por 1 recupera a terceira parcela.
A expansão do produto confere os três termos, inclusive quando x = 0 ou y = 0. Não criamos exclusões ao fatorar.

$6x^2y^2(3x^2-4xy+1)$ .

Duas áreas 6x² e 9x têm altura comum 3x. Juntas formam a área 3x(2x + 3). Na ilustração, x = 2 e as dimensões são positivas.

Exemplo resolvido · Evidenciar um sinal negativo pode ajudar

Fatore $-3x^2+12x-12$ .

Resolução

Evidenciamos −3 e obtemos −3(x² − 4x + 4). Ao multiplicar de volta, −3·(−4x) produz +12x.
O polinômio interno é (x − 2)², pois o termo central é −2·x·2 e o último termo é 2².

$-3(x-2)^2$ .

Exemplo resolvido · Um polinômio inteiro como fator comum

Fatore $5x(x-3)-2(x-3)$ .

Resolução

O fator x − 3 aparece nos dois produtos. Colocando-o em evidência, o que resta das parcelas é 5x − 2.
Em x = 3, ambos os lados valem zero. A fatoração não exige x ≠ 3, pois sua justificativa é a distributiva.

$(x-3)(5x-2)$ .

7Fatoração por agrupamento

Às vezes não há um fator comum evidente em todas as parcelas, mas há fatores comuns dentro de grupos. Fatoramos cada grupo e buscamos uma expressão que se repita. Reordenar parcelas pode ajudar; os sinais precisam acompanhar cada uma delas.

AB+AC+DB+DC=(A+D)(B+C)

\begin{aligned}AB+AC+DB+DC\\=(A+D)(B+C)\end{aligned}

A, B, C e D são reais ou polinômios. Primeiro, AB + AC = A(B + C) e DB + DC = D(B + C); depois se evidencia o fator B + C. A identidade não exige que os fatores sejam não nulos.

Exemplo resolvido · Encontrar o mesmo binômio em dois grupos

Fatore $3x^2-5x+6x-10$ .

Resolução

No primeiro par, 3x² − 5x = x(3x − 5). No segundo, 6x − 10 = 2(3x − 5).
Agora 3x − 5 é o fator comum dos dois produtos. Evidenciando-o, obtemos (x + 2)(3x − 5).
A expansão produz 3x² − 5x + 6x − 10 e, depois da redução, 3x² + x − 10.

$(x+2)(3x-5)$ .

Os quatro produtos da tabela recompõem 3x² − 5x + 6x − 10. A leitura por linhas mostra os dois grupos com fator comum 3x − 5.

Exemplo resolvido · Ajustar os sinais dos grupos

Fatore $x^2-xy-3x+3y$ .

Resolução

Agrupamos (x² − xy) + (−3x + 3y). O primeiro grupo é x(x − y).
No segundo, evidenciar −3 dá −3(x − y). É preciso conservar os dois sinais: −3·(−y) = +3y.
Os grupos têm o mesmo fator x − y; o resultado é (x − 3)(x − y).

$(x-3)(x-y)$ .

8Reconhecer um trinômio quadrado perfeito

Agora lemos as fórmulas dos quadrados no sentido inverso. Dois termos quadrados não bastam: o termo central precisa ser exatamente o dobro do produto dos termos que foram elevados ao quadrado, com o sinal correspondente.

Assim, $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ e $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ . Essa fatoração produz dois fatores iguais. O termo central pode ter sinal positivo ou negativo; os termos extremos são os quadrados completos.

Exemplo resolvido · Conferir as três partes

Fatore $16x^2-40xy+25y^2$ .

Resolução

Os extremos são (4x)² e (5y)². O dobro do produto de 4x por 5y é 40xy.
Como o termo central é −40xy, usamos a diferença. A expansão de (4x − 5y)² recupera o polinômio.

$(4x-5y)^2$ .

Exemplo resolvido · Um termo central diferente muda a conclusão

Compare $x^2+10x+25$ e $x^2+8x+25$ . São ambos quadrados de binômios reais?

Resolução

Os extremos sugerem x e 5. O termo central exigido é 2·x·5 = 10x, então o primeiro é (x + 5)².
No segundo, o termo central é 8x. Um quadrado (ux + v)² exigiria u² = 1 e v² = 25, logo 2uv seria 10 ou −10, nunca 8.
Portanto o segundo não é um quadrado de um binômio real linear. Essa conclusão não autoriza substituir seu termo central nem inventar uma fatoração.

O primeiro é (x + 5)²; o segundo não é quadrado de binômio linear real.

9Fatorar diferenças de quadrados

Identifique a expressão inteira que está ao quadrado em cada parcela e use a soma vezes a diferença. O quadrado pode estar numa potência maior ou num agrupamento. Uma soma de dois quadrados não recebe automaticamente a mesma fórmula com sinais trocados.

Exemplo resolvido · Os quadrados podem conter várias letras

Fatore $25x^4-9y^2$ .

Resolução

As duas parcelas são (5x²)² e (3y)². Aplicamos a² − b² = (a − b)(a + b).
O resultado é (5x² − 3y)(5x² + 3y). Ao expandir, os termos mistos cancelam e restam 25x⁴ − 9y².

$(5x^2-3y)(5x^2+3y)$ .

Exemplo resolvido · Repetir o método quando um fator ainda permite

Fatore $x^4-81$ em fatores lineares e quadráticos com coeficientes inteiros, sem fatores quadráticos ainda redutíveis nesse conjunto.

Resolução

Primeiro, x⁴ − 81 = (x² − 9)(x² + 9). O fator x² − 9 é outra diferença de quadrados.
Fatorando de novo, x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Já x² + 9 não tem raiz real, porque é positivo para todo real x. Um produto de dois polinômios lineares reais teria uma raiz real, portanto esse fator quadrático não se divide em lineares reais.

$(x-3)(x+3)(x^2+9)$ .

10Trinômios: soma e produto

Um trinômio de grau 2 nem sempre é um quadrado perfeito. Quando o coeficiente dominante é 1, o produto de dois binômios fornece uma estratégia: os números que completam os fatores precisam ter a soma e o produto certos ao mesmo tempo.

x^2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)

\begin{aligned}x^2+(m+n)x+mn\\=(x+m)(x+n)\end{aligned}

x, m e n são reais. Para fatorar x² + px + q dessa forma, procurar m + n = p e mn = q. A busca apenas por inteiros pode falhar mesmo quando existem fatores com coeficientes reais.

A distributiva produz x² + nx + mx + mn. A redução explica por que o coeficiente de x é m + n e o termo constante é mn. Se o produto é positivo, os dois números têm o mesmo sinal; se é negativo, têm sinais opostos. O sinal da soma ajuda a decidir qual módulo é maior.

Exemplo resolvido · Produto positivo e soma negativa

Fatore $x^2-9x+20$ .

Resolução

Procuramos dois números cuja soma é −9 e cujo produto é 20. Como o produto é positivo e a soma negativa, os dois precisam ser negativos.
Os números −4 e −5 atendem às duas condições. Assim o produto é (x − 4)(x − 5).

$(x-4)(x-5)$ .

Exemplo resolvido · Produto negativo

Fatore $x^2+x-12$ .

Resolução

Precisamos de soma 1 e produto −12. Os sinais são opostos. Os números 4 e −3 atendem: 4 − 3 = 1 e 4·(−3) = −12.
A expansão de (x + 4)(x − 3) dá x² − 3x + 4x − 12 = x² + x − 12.

$(x+4)(x-3)$ .

11Trinômios com coeficiente dominante diferente de 1

Em Ax² + Bx + C, com A ≠ 0, não podemos ignorar A ao procurar fatores. Podemos comparar dois fatores lineares ou separar o termo central para criar um agrupamento. A dedução explica por que se procura um produto AC.

(ux+v)(wx+z)=uwx^2+(uz+vw)x+vz

\begin{gathered}(ux+v)(wx+z)\\=uwx^2\\+(uz+vw)x+vz\end{gathered}

u, v, w e z são reais. Para representar Ax² + Bx + C, exigir uw = A, uz + vw = B e vz = C. Quando A ≠ 0, u e w são não nulos. A igualdade resulta dos quatro produtos da distributiva.

\begin{gathered}Ax^2+Bx+C\\=Ax^2+mx+nx+C\end{gathered}

A, B e C são reais, A ≠ 0, e escolhemos m e n com m + n = B e mn = AC. A igualdade escrita usa a soma; a condição de produto permite o agrupamento que produz fatores. Não supor que sempre exista um par inteiro, nem dividir por um coeficiente que possa ser zero.

Se m + n = B e mn = AC, escrevemos Ax² + mx + nx + C. Agrupe os dois primeiros e os dois últimos termos. Como C = mn/A, vale $Ax^2+mx+nx+C=x(Ax+m)+(n/A)(Ax+m)=(Ax+m)(x+n/A)$ . Expandir esse produto verifica a fórmula: os termos centrais são nx e mx. O passo exige A ≠ 0, mas não exige dividir por x, m ou n. Os exemplos com coeficientes inteiros abaixo permitem organizar os fatores sem frações.

Exemplo resolvido · Separar e agrupar

Fatore $6x^2+x-2$ .

Resolução

Aqui A = 6, B = 1 e C = −2. Assim A·C = 6·(−2) = −12. Procuramos soma 1 e produto −12: escolhemos 4 e −3.
Escreva $6x^2+4x-3x-2$ . Os grupos dão $2x(3x+2)-1(3x+2)$ .
Evidenciamos 3x + 2, obtendo (2x − 1)(3x + 2). A expansão confere 6x² + x − 2.

$(2x-1)(3x+2)$ .

Exemplo resolvido · Fator comum antes do trinômio

Fatore $-4x^2+4x+24$ .

Resolução

Evidenciar −4 deixa −4(x² − x − 6). O coeficiente dominante interno é 1.
Para o trinômio, procuramos soma −1 e produto −6: −3 e 2. Assim x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2).

$-4(x-3)(x+2)$ .

12Fatorar somas e diferenças de cubos

As expressões a³ + b³ e a³ − b³ podem ser transformadas em produtos de um binômio por um trinômio. Aqui não estamos elevando uma soma inteira ao cubo. É importante distinguir as duas estruturas antes de escolher uma fórmula.

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

\begin{gathered}a^3+b^3\\=(a+b)(a^2-ab+b^2)\end{gathered}

a e b são reais ou polinômios. A expansão cancela os termos mistos. O sinal do termo ab no segundo fator é negativo. Esta é uma fatoração de a³ + b³, que não deve ser confundida com (a + b)³.

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

\begin{gathered}a^3-b^3\\=(a-b)(a^2+ab+b^2)\end{gathered}

a e b são reais ou polinômios. A expansão cancela os termos mistos. O sinal do termo ab no segundo fator é positivo. É possível que os fatores obtidos ainda admitam decomposição após uma substituição: examinar cada fator.

Para conferir a soma, multiplique a por a² − ab + b², produzindo a³ − a²b + ab². Multiplique b pelo mesmo trinômio, produzindo a²b − ab² + b³. Os termos mistos se cancelam. Para a diferença, multiplique a por a² + ab + b² e depois −b pelo mesmo trinômio: os termos mistos novamente se cancelam e sobra a³ − b³. Isso demonstra as duas identidades.

Exemplo resolvido · Uma soma de cubos com coeficientes

Fatore $8x^3+27$ .

Resolução

As parcelas são (2x)³ e 3³. O primeiro fator é 2x + 3.
No segundo, calculamos (2x)² − (2x)·3 + 3². Assim ele é 4x² − 6x + 9.
Esse fator quadrático é (2x − 3/2)² + 27/4, sempre positivo. Portanto não se decompõe em dois fatores lineares reais.

$(2x+3)(4x^2-6x+9)$ .

Exemplo resolvido · Potências maiores podem esconder cubos

Encontre uma forma fatorada para $x^6-64y^3$ .

Resolução

O primeiro cubo é (x²)³ e o segundo é (4y)³. Tomamos a = x² e b = 4y.
Na diferença de cubos, o segundo fator é a² + ab + b² = (x²)² + x²·4y + (4y)². O resultado é (x² − 4y)(x⁴ + 4x²y + 16y²). Ao expandir, os termos mistos se cancelam.
Foi obtida uma forma fatorada em polinômios de x e y. Não devemos afirmar automaticamente que todo fator resultante é irredutível em qualquer conjunto ou depois de qualquer substituição.

$(x^2-4y)(x^4+4x^2y+16y^2)$ .

13Substituições e combinação de métodos

Uma expressão pode ter a estrutura de um trinômio em uma potência ou em um agrupamento. Uma letra auxiliar facilita enxergar isso, mas precisa ser substituída de volta no final. Depois de encontrar fatores, examine cada um: uma primeira fatoração pode não ser a última etapa.

Exemplo resolvido · Um trinômio em x²

Fatore $x^4-13x^2+36$ em fatores lineares reais.

Resolução

Faça u = x². A expressão se torna u² − 13u + 36. Os números −4 e −9 têm soma −13 e produto 36.
Portanto ela vale (u − 4)(u − 9). Volte a x: (x² − 4)(x² − 9).
Cada fator é diferença de quadrados. O produto final é (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3). A identidade vale para todo real x; não estamos tomando u como uma nova variável independente no resultado.

$(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$ .

Exemplo resolvido · Do fator comum às diferenças de quadrados

Fatore $2x^4-32$ sobre os reais.

Resolução

Comece por 2(x⁴ − 16). O fator interno é (x² − 4)(x² + 4).
O primeiro fator quadrático se decompõe em (x − 2)(x + 2). O segundo é positivo para todo real e não tem fator linear real.

$2(x-2)(x+2)(x^2+4)$ .

A decomposição de 2x⁴ − 32 segue até os fatores 2, x − 2, x + 2 e x² + 4. O último quadrático é positivo para todo real x.

14Completar quadrados e criar uma identidade

Às vezes uma identidade está quase presente. Podemos somar e subtrair a mesma expressão, sem mudar o polinômio, para criar um quadrado perfeito. Cada parcela acrescentada precisa ter uma compensação exata; não é permitido alterar a expressão só para encaixá-la numa fórmula.

x^2+px+q=\left(x+\frac p2\right)^2+q-\frac{p^2}{4}

\begin{aligned}x^2+px+q={}&\left(x+\frac p2\right)^2\\&+q-\frac{p^2}{4}\end{aligned}

x, p e q são reais. Somamos e subtraímos (p/2)² sem mudar a expressão. A identidade permite reconhecer uma diferença de quadrados ou mostrar positividade. A resolução geral das equações quadráticas será desenvolvida na aula própria.

O quadrado (x + p/2)² se expande para x² + px + p²/4. Para recuperar x² + px + q, subtraímos p²/4 e acrescentamos q. Essa dedução funciona com p e q reais, inclusive negativos. Para um coeficiente dominante A ≠ 0, podemos primeiro evidenciá-lo.

Exemplo resolvido · Criar uma diferença de quadrados

Fatore $x^2+6x+5$ completando um quadrado.

Resolução

Metade de 6 é 3 e seu quadrado é 9. Escrevemos x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4.
Agora aplicamos a diferença de quadrados: [(x + 3) − 2][(x + 3) + 2]. Simplificando, obtemos (x + 1)(x + 5).

$(x+1)(x+5)$ .

a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)

\begin{gathered}a^4+4b^4\\=(a^2+2b^2-2ab)\\\quad\cdot(a^2+2b^2+2ab)\end{gathered}

a e b são reais. Escrever a⁴ + 4b⁴ = (a² + 2b²)² − (2ab)² demonstra a fatoração. A técnica mostra que uma soma de quadrados pode admitir fatores; não se deve generalizar a impossibilidade de fatorar x² + 1 para toda soma de quadrados.

A soma a⁴ + 4b⁴ pode ser reescrita acrescentando e retirando 4a²b². Os três termos a⁴ + 4a²b² + 4b⁴ formam (a² + 2b²)², e a parcela retirada é (2ab)². A diferença de quadrados demonstra a identidade registrada.

Exemplo resolvido · Uma soma de quadrados que admite fatores

Fatore $x^4+4$ em polinômios com coeficientes inteiros.

Resolução

Some e subtraia 4x²: x⁴ + 4x² + 4 − 4x² = (x² + 2)² − (2x)².
O produto é (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2). Os fatores são (x − 1)² + 1 e (x + 1)² + 1, ambos positivos para todo x real e sem fatores lineares reais.
Portanto a frase “uma soma de quadrados nunca pode ser fatorada” é falsa. A análise depende da expressão e do conjunto de coeficientes.

$(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ .

15Escolher o método e saber quando parar

Não existe uma receita curta que fatore todo polinômio por inspeção. Para os tipos estudados aqui, uma sequência de perguntas organiza o trabalho. Primeiro reduza os termos e identifique o conjunto de coeficientes; depois procure estruturas que possam ser justificadas por uma identidade.

Há fator comum em todas as parcelas, incluindo um possível sinal negativo?
Há diferença de quadrados, trinômio quadrado perfeito, soma ou diferença de cubos?
Há grupos que geram um fator comum, ou um trinômio que permita soma e produto ou o método AC?
Uma substituição por uma potência ou um agrupamento ajuda? Somar e subtrair a mesma parcela pode revelar um quadrado?
Algum fator obtido ainda admite decomposição no conjunto pedido? A expansão do produto final recupera todos os coeficientes?

Uma fatoração não trivial separa um polinômio em fatores de graus positivos; multiplicá-lo apenas por 1 não resolve essa tarefa. Dizemos que um polinômio de grau positivo é irredutível em um conjunto de coeficientes quando ele não admite tal decomposição nesse conjunto. A ordem dos fatores e a distribuição de constantes não nulas podem mudar sem alterar o produto.

Exemplo resolvido · Racional e real não são o mesmo conjunto

Compare as possibilidades de fatorar $x^2-2$ e $x^2+1$ em fatores lineares reais ou racionais.

Resolução

Nos reais, $x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$ . Os fatores não têm coeficientes racionais, pois √2 é irracional, como foi demonstrado na aula de Potências e radicais.
Se existisse uma fatoração em dois lineares racionais, um desses fatores seria ux + v, com u e v racionais e u ≠ 0. Sua raiz seria o racional −v/u. Essa raiz teria quadrado 2, contradizendo a irracionalidade de √2. Portanto x² − 2 é irredutível nos racionais.
Já x² + 1 é positivo para qualquer real, logo não tem raiz real e não se divide em dois lineares reais. Números complexos permitirão outra discussão, na aula própria.

x² − 2 se fatora em lineares reais; x² + 1 não. Nos racionais, ambos são irredutíveis.

Exemplo resolvido · Conferir a expansão e a conclusão

Uma pessoa escreveu $x^2+4=(x+2)(x-2)$ . O que está errado?

Resolução

Expandir o produto dá x² − 4. A identidade usada é de diferença de quadrados, e o sinal do termo constante não confere.
Além disso, x² + 4 é sempre positivo, por isso não admite fatores lineares reais. A presença de dois quadrados, sozinha, não autoriza a fatoração proposta.

O produto proposto representa x² − 4, não x² + 4.

16Aplicações, equações e restrições

\begin{aligned}a^2+b^2&=(a+b)^2-2ab\\a^3+b^3&=(a+b)^3-3ab(a+b)\end{aligned}

\begin{aligned}a^2+b^2&=(a+b)^2-2ab\\a^3+b^3&=(a+b)^3\\&\quad-3ab(a+b)\end{aligned}

a e b são reais. A primeira expressão vem do quadrado da soma. Na segunda, 3a²b + 3ab² = 3ab(a + b). Conhecer a soma e o produto pode bastar para calcular essas expressões sem determinar a e b.

Exemplo resolvido · Conhecer soma e produto pode ser suficiente

Dois números reais têm soma 6 e produto 5. Calcule a soma dos quadrados e a soma dos cubos sem determinar cada número.

Resolução

Chame os números de a e b: a + b = 6 e ab = 5. A soma dos quadrados é (a + b)² − 2ab = 6² − 2·5 = 36 − 10 = 26.
A soma dos cubos é (a + b)³ − 3ab(a + b) = 216 − 3·5·6 = 126. As fórmulas foram deduzidas das expansões, não exigem adivinhar os números.

As somas são 26 e 126.

Exemplo resolvido · Área de uma faixa ao redor de um quadrado

Um quadrado tem lado x metros, com x > 0. Uma faixa externa de largura 2 metros é colocada ao redor dele. Qual é a área da faixa?

Resolução

O lado externo aumenta 2 metros de cada lado, ficando x + 4. A área da faixa é (x + 4)² − x².
Por diferença de quadrados, a área é [(x + 4) − x][(x + 4) + x] = 4(2x + 4) = 8x + 16 m².
A expansão do quadrado dá a mesma conclusão. Em x = 3, as áreas são 49 m² e 9 m², e a faixa tem 40 m², coerente com 8·3 + 16.

A área da faixa é 8x + 16 m² para x > 0.

UV=0\iff U=0\ \text{ou}\ V=0

\begin{gathered}UV=0\\\Updownarrow\\U=0\ \text{ou}\ V=0\end{gathered}

U e V são reais. Se U ≠ 0, dividir UV = 0 por U força V = 0; a volta é imediata. Em equações com vários fatores reais, pelo menos um deles deve zerar. Não vale substituir zero por outro número e aplicar a mesma regra.

Exemplo resolvido · Fatorar pode preparar a resolução de uma equação

Resolva $x^2-5x=0$ nos reais sem perder nenhuma solução.

Resolução

Fatore x(x − 5) = 0. Se x ≠ 0, poderíamos dividir por x e obter x = 5; mas isso exigiria tratar antes o caso x = 0.
O princípio do produto nulo já reúne os casos: x = 0 ou x − 5 = 0. Assim as soluções são 0 e 5. Ambas conferem na equação original.
Dividir imediatamente por x descartaria a solução zero. A fatoração não fez essa exclusão. Métodos completos de equações quadráticas e de grau maior terão suas aulas próprias.

O conjunto solução é {0, 5}.

\frac{AB}{AC}=\frac BC

A, B e C são expressões reais. Para a fração original existir, exigir A ≠ 0 e C ≠ 0. As exclusões de A continuam no domínio mesmo que esse fator desapareça da escrita simplificada. Cancelar fatores de um produto é diferente de eliminar parcelas de uma soma.

Exemplo resolvido · A fatoração não elimina as restrições da fração

Simplifique $(x^2-9)/(x^2-3x)$ e registre o domínio original.

Resolução

O denominador é x(x − 3), então exige x ≠ 0 e x ≠ 3. O numerador é (x − 3)(x + 3).
No domínio permitido, o fator x − 3 é não nulo e pode ser cancelado. Obtemos (x + 3)/x, mantendo as duas exclusões.
A escrita simplificada, isoladamente, aceitaria x = 3, mas a fração original não. Em frações, cancelamos fatores de produtos; não apagamos parcelas de somas.

A forma é (x + 3)/x, com x ≠ 0 e x ≠ 3.

Exemplo resolvido · Uma desigualdade explicada por um quadrado

Justifique $a^2+b^2\ge2ab$ para a e b reais e identifique a igualdade.

Resolução

O quadrado (a − b)² é não negativo para quaisquer reais. Sua expansão é a² − 2ab + b², logo a² − 2ab + b² ≥ 0.
Somando 2ab aos dois membros da desigualdade, obtemos a² + b² ≥ 2ab.
A igualdade ocorre exatamente quando (a − b)² = 0, isto é, a = b. Não há necessidade de supor que ambos sejam positivos.

A desigualdade vale para todos os reais; a igualdade ocorre se e somente se a = b.

17Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Identifique a estrutura antes de aplicar a fórmula, confira os termos mistos e multiplique os fatores para verificar o resultado. Registre hipóteses, conjunto de coeficientes e exclusões de domínio. Nas discursivas, escreva a justificativa antes de abrir a resolução. Todas as questões são autorais, sem atribuição a bancas.

Questão 1 de 400 conferidas

Fixação · Objetiva

Desenvolva $(2x+5)^2$ .

A

4x^2+25

.B

4x^2+20x+25

.C

2x^2+10x+25

.D

4x^2+10x+25

.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

18O que levar desta aula

Produtos notáveis são identidades deduzidas pela distributiva. Expandir e fatorar reorganizam a mesma expressão, sem resolver automaticamente uma equação.
Quadrados de binômios incluem o termo central ±2ab. No quadrado da diferença, o último termo é +b². Conjugados produzem a² − b².
Cubos de binômios incluem dois termos mistos com coeficiente 3. Cubo de uma soma é diferente de soma de cubos. Com três termos, devem ser contados todos os produtos mistos.
Se a + b + c = 0, então a³ + b³ + c³ = 3abc. A condição de soma zero precisa acompanhar a conclusão.
Fator comum e agrupamento usam a distributiva no sentido inverso. As identidades continuam válidas quando o fator evidenciado vale zero.
Um trinômio quadrado perfeito precisa conferir os dois quadrados e o termo central. Ter extremos quadrados não basta.
Nos trinômios mônicos, procure os números que tenham soma e produto corretos. No método AC, separe o termo central com soma B e produto AC, mantendo A ≠ 0.
Somas e diferenças de cubos se decompõem em um binômio e um trinômio, com cancelamento dos termos mistos. Examine os fatores depois das substituições.
Substituições e adição/subtração da mesma parcela podem revelar identidades. Volte à variável original e confira a expansão.
A fatoração depende do conjunto de coeficientes. Um quadrático sem raiz real não se divide em lineares reais. Não generalize isso para toda soma de quadrados.
O princípio do produto nulo vale para fatores reais e produto igual a zero. Dividir por uma expressão que pode zerar pode eliminar soluções.
Cancelar fatores em uma fração exige que sejam não nulos e não remove as exclusões do domínio original. Nas aplicações geométricas, preserve positividade e unidades.

A próxima aula será Frações algébricas e equações fracionárias: domínio, operações com denominadores variáveis, simplificação por fatores, equivalência e conferência de soluções. Equações do segundo grau e Equações polinomiais mantêm seus núcleos posteriores.