Equações do segundo grau

1Reconhecer e reduzir uma equação do segundo grau

Resolver uma equação é encontrar todos os valores permitidos que tornam seus dois membros iguais. Cada solução também é chamada raiz da equação. Uma equação do segundo grau, ou quadrática, reduz-se a um polinômio de grau dois igual a zero. O expoente dois precisa permanecer depois de desenvolver os produtos e reunir os termos semelhantes.

ax^2+bx+c=0

a, b e c são constantes reais e a ≠ 0. A forma é obtida após desenvolver e reduzir os dois membros. b e c podem ser zero. Nesta aula, a incógnita e as soluções procuradas são reais; restrições da equação original permanecem.

A letra x é a incógnita. As letras a, b e c representam números fixos: a é o coeficiente de x², b é o de x e c é o termo constante. Um coeficiente inclui seu sinal. A condição a ≠ 0 garante o segundo grau; b ou c podem ser zero. Quando ambos são não nulos, a equação é chamada completa; se ao menos um deles é zero, é incompleta.

Exemplo resolvido · Os coeficientes vêm da forma reduzida

Identifique os coeficientes de $3x(x-2)=x+4$ .

Resolução

Desenvolva o primeiro membro: 3x² − 6x = x + 4. Subtraia x + 4 dos dois membros.
A forma padrão é 3x² − 7x − 4 = 0. Assim a = 3, b = −7 e c = −4. A equação é completa.

a = 3, b = −7, c = −4.

Exemplo resolvido · Aparência quadrática não garante grau dois

Compare $x(x+2)=x^2+6$ e $2x^2=8x$ .

Resolução

Na primeira, desenvolver dá x² + 2x = x² + 6. Os termos quadráticos se cancelam e resta 2x = 6, de primeiro grau, com solução 3.
Na segunda, a forma é 2x² − 8x = 0. O termo quadrático permanece: a = 2, b = −8, c = 0. Ela é do segundo grau e incompleta.

O grau é identificado após a redução.

2Casos incompletos sem perder soluções

Quando faltam termos, podemos usar diretamente fatoração ou uma igualdade de quadrados. Esses caminhos mostram o que acontece com a solução zero e por que nem toda equação quadrática tem duas soluções reais distintas.

ax^2+bx=0\iff x=0\ \text{ou}\ x=-\frac ba

\begin{gathered}ax^2+bx=0\\\Updownarrow\\x=0\ \text{ou}\ x=-\frac ba\end{gathered}

a ≠ 0 e b real. Fatorar x(ax + b) evita perder a solução zero. Se b = 0, as duas expressões indicam o mesmo valor: há somente uma solução distinta, zero.

Exemplo resolvido · Não dividir por uma incógnita que pode ser zero

Resolva $3x^2-12x=0$ .

Resolução

Colocando 3x em evidência, obtemos 3x(x − 4) = 0. Um produto real é zero quando ao menos um fator é zero.
Portanto x = 0 ou x = 4. Dividir a equação original por x excluiria previamente x = 0 e perderia uma solução.
Conferindo: para 0, ambos os termos são zero; para 4, 3·16 − 12·4 = 48 − 48 = 0.

𝒮 = {0, 4}.

x^2=-\frac ca

Esta é a redução de ax² + c = 0, com a ≠ 0. Se −c/a > 0, existem duas soluções opostas; se −c/a = 0, somente zero; se −c/a < 0, não existe solução real. Não extrair raiz real de um número negativo.

Exemplo resolvido · Dois valores opostos

Resolva $2x^2-18=0$ .

Resolução

Somando 18 e dividindo por 2, temos x² = 9. Tanto 3 quanto −3 têm quadrado 9.
As duas soluções conferem: 2·9 − 18 = 0. A raiz principal √9 é 3, mas a equação x² = 9 tem os dois valores ±3.

𝒮 = {−3, 3}.

Exemplo resolvido · Um único valor ou nenhum valor real

Resolva $5x^2=0$ e $4x^2+12=0$ .

Resolução

A primeira equivale a x² = 0. O único número real com quadrado zero é 0; não existem duas soluções distintas nesse caso.
A segunda equivale a x² = −3. Como quadrados reais são não negativos, não há solução real.

Na primeira, 𝒮 = {0}; na segunda, 𝒮 = ∅.

3Resolver por fatoração e produto nulo

Fatorar permite substituir uma equação quadrática por equações lineares. Primeiro precisamos ter um produto igual a zero. Se o produto fosse igual a um número não nulo, não poderíamos simplesmente igualar cada fator a zero.

UV=0\iff U=0\ \text{ou}\ V=0

\begin{gathered}UV=0\\\Updownarrow\\U=0\ \text{ou}\ V=0\end{gathered}

U e V são expressões reais definidas no domínio considerado. Se U ≠ 0, dividir por U obriga V = 0; se U = 0, o produto já é zero. Para usar a propriedade, é preciso ter produto igual a zero, não uma soma igual a zero.

Exemplo resolvido · Reconhecer os fatores

Resolva $x^2-7x+10=0$ .

Resolução

Os números −5 e −2 somam −7 e têm produto 10. Portanto x² − 7x + 10 = (x − 5)(x − 2).
A equação é (x − 5)(x − 2) = 0, logo x = 5 ou x = 2. Em cada caso, um dos fatores zera.

𝒮 = {2, 5}.

Exemplo resolvido · Primeiro tornar um dos membros zero

Resolva $(x-1)(x+2)=4$ .

Resolução

Não se pode concluir x = 1 ou x = −2: nesses valores o produto seria 0, não 4. Desenvolvemos: (x − 1)(x + 2) = x² + 2x − x − 2 = x² + x − 2. A equação fica x² + x − 2 = 4.
Subtraindo 4 dos dois membros, obtemos x² + x − 6 = 0, isto é, (x + 3)(x − 2) = 0. Os candidatos são −3 e 2.
Na original, para −3 o produto é (−4)(−1) = 4; para 2 é 1·4 = 4. Ambos conferem.

𝒮 = {−3, 2}.

4Quadrado isolado e os dois sinais

Se uma expressão inteira está ao quadrado, procure isolá-la. Uma igualdade u² = k tem soluções reais u = ±√k se k ≥ 0. Isso não afirma que a raiz principal tenha dois valores: são dois números possíveis cujo quadrado pode ser k.

(x-h)^2=k\iff x=h\pm\sqrt{k}

\begin{gathered}(x-h)^2=k\\\Updownarrow\\x=h\pm\sqrt{k}\end{gathered}

h e k são reais, com k ≥ 0. Para k > 0, os sinais dão duas soluções; para k = 0, um único valor h. Se k < 0, o conjunto solução real é vazio. A raiz √k é a principal, não negativa; o símbolo ± considera os dois valores possíveis do termo elevado ao quadrado.

Exemplo resolvido · Deslocar o centro das soluções

Resolva $(x-2)^2=9$ .

Resolução

Temos x − 2 = 3 ou x − 2 = −3. Somando 2 em cada equação, obtemos x = 5 ou x = −1.
As duas soluções ficam à mesma distância 3 do ponto 2. Substituindo, os termos x − 2 são 3 e −3, ambos com quadrado 9.

𝒮 = {−1, 5}.

As raízes −1 e 5 estão à distância 3 do centro 2 na mesma escala da reta. A simetria vem de (x − 2)² = 9.

Exemplo resolvido · Raízes irracionais também são exatas

Resolva $2(x+1)^2=12$ .

Resolução

Dividindo por 2, (x + 1)² = 6. Logo x + 1 = ±√6 e x = −1 ± √6.
Não é necessário arredondar √6. Na conferência, o termo x + 1 é ±√6, cujo quadrado é 6, e o primeiro membro vale 12.

𝒮 = {−1 − √6, −1 + √6}.

5Completar quadrados e entender o método

Completar o quadrado é acrescentar a parcela que falta para reconhecer um quadrado perfeito. Em x² + px, o termo do meio de (x + h)² é 2hx. Assim escolhemos 2h = p, ou h = p/2, e a parcela que falta é h². Essa escolha funciona também quando p é negativo ou fracionário.

x^2+px+\left(\frac p2\right)^2=\left(x+\frac p2\right)^2

\begin{gathered}x^2+px+\left(\frac p2\right)^2\\=\left(x+\frac p2\right)^2\end{gathered}

p e x reais. A igualdade vem da expansão do quadrado da soma. Ao acrescentar (p/2)² a um membro de uma equação, acrescentar o mesmo ao outro. Se o coeficiente de x² não for 1, dividir primeiro por esse coeficiente não nulo.

Na figura ilustrativa, x = 4: a área x² e duas faixas de área 3x completam um quadrado de lado x + 3 ao acrescentar o canto de área 9. A identidade algébrica vale para todo real x; a leitura de comprimentos usa x > 0.

Exemplo resolvido · Acrescentar o mesmo aos dois membros

Resolva $x^2+6x=7$ .

Resolução

A metade de 6 é 3, cujo quadrado é 9. Somamos 9 aos dois membros: x² + 6x + 9 = 16.
O primeiro membro é (x + 3)². Portanto x + 3 = ±4, dando x = 1 ou x = −7.
Na original, 1 + 6 = 7 e 49 − 42 = 7. A figura ajuda a enxergar a identidade, mas não limita as soluções a comprimentos positivos.

𝒮 = {−7, 1}.

Exemplo resolvido · Coeficiente principal diferente de um

Resolva $2x^2-4x-3=0$ por completar quadrados.

Resolução

Divida a equação por 2, não nulo: x² − 2x = 3/2. A metade de −2 é −1, e seu quadrado é 1.
Somando 1 aos dois membros, x² − 2x + 1 = 3/2 + 1 = 5/2. Portanto (x − 1)² = 5/2 e x − 1 = ±√(5/2).
Para simplificar o radical, escrevemos 5/2 = 10/4: √(5/2) = √10/√4 = √10/2. Somando 1 aos dois membros, x = 1 ± √10/2.
Para conferir sem aproximar, escreva 2x² − 4x − 3 = 2(x − 1)² − 5. Substituir (x − 1)² = 5/2 faz essa expressão valer zero.

𝒮 = {1 − √10/2, 1 + √10/2}.

6Dedução da fórmula geral

Um método geral deve funcionar mesmo quando não enxergamos uma fatoração simples. Vamos completar um quadrado usando os coeficientes a, b e c, sem supor que a seja positivo. Todas as passagens abaixo são reversíveis porque a ≠ 0.

Parta de $ax^2+bx+c=0$ e subtraia c: $ax^2+bx=-c$ .
Multiplique os dois membros por $4a$ : $4a^2x^2+4abx=-4ac$ .
Some $b^2$ aos dois membros. Pela identidade do quadrado, $(2ax+b)^2=b^2-4ac$ .
Chame b² − 4ac de Δ, lido “delta”. Se Δ ≥ 0, temos 2ax + b = ±√Δ; se Δ < 0, nenhum real satisfaz esse quadrado.
Para Δ ≥ 0, subtraia b e divida por 2a, não nulo. Assim x = (−b ± √Δ)/(2a).

\begin{gathered}ax^2+bx+c=0\\\Updownarrow\\(2ax+b)^2=\Delta\end{gathered}

a ≠ 0, a, b, c e x reais e Δ = b² − 4ac. Multiplicar a primeira equação por 4a e completar o quadrado é reversível. Esta equivalência justifica a classificação pelo discriminante sem supor a positivo.

\Delta=b^2-4ac

a, b e c são os coeficientes reais da forma padrão, com a ≠ 0. Δ > 0 significa duas raízes reais distintas; Δ = 0 significa uma raiz real dupla; Δ < 0 significa ausência de raízes reais. O sinal de Δ não determina sozinho os sinais das raízes.

x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

a ≠ 0 e Δ = b² − 4ac ≥ 0 para soluções reais. Calcular separadamente os dois sinais; ambos os termos do numerador são divididos por 2a. Se Δ = 0, os sinais produzem o mesmo valor. A fórmula também é válida para a negativo.

O símbolo ± representa duas contas, uma com adição e outra com subtração. Quando a < 0, a conta com +√Δ não precisa dar a maior raiz, pois o denominador é negativo. A expressão inteira −b ± √Δ está no numerador. No Brasil, essa fórmula é usualmente chamada fórmula de Bhaskara; a dedução acima é a justificativa usada nesta aula.

Exemplo resolvido · Aplicação com os sinais registrados

Resolva $2x^2+x-6=0$ pela fórmula geral.

Resolução

Identificamos a = 2, b = 1, c = −6. O discriminante é Δ = 1² − 4·2·(−6) = 1 − (−48) = 49.
Substituindo os valores na fórmula, x = (−1 ± √49)/(2·2) = (−1 ± 7)/4. As duas contas são x = (−1 + 7)/4 = 6/4 = 3/2 e x = (−1 − 7)/4 = −8/4 = −2.
Conferindo: em 3/2, 2·9/4 + 3/2 − 6 = 0; em −2, 8 − 2 − 6 = 0.

𝒮 = {−2, 3/2}.

Exemplo resolvido · Coeficiente a negativo

Resolva $-2x^2+4x+6=0$ .

Resolução

Aqui a = −2, b = 4 e c = 6. Δ = 16 − 4·(−2)·6 = 64, e 2a = −4.
Com o sinal +, x = (−4 + 8)/(−4) = −1. Com o sinal −, x = (−4 − 8)/(−4) = 3.
Ambos conferem: −2 − 4 + 6 = 0 e −18 + 12 + 6 = 0. Também poderíamos multiplicar a original por −1 antes de resolver.

𝒮 = {−1, 3}; o sinal + na fórmula deu a menor raiz.

7Discriminante e número de raízes reais

O discriminante diferencia os três comportamentos porque é igual a um quadrado na equação equivalente. Se Δ > 0, existem dois valores opostos não nulos para 2ax + b e, portanto, duas raízes distintas. Se Δ = 0, existe somente o valor zero para essa expressão. Se Δ < 0, nenhum quadrado real pode igualá-lo.

\Delta=0\ \Longrightarrow\ r=-\frac b{2a}

a ≠ 0 e coeficientes reais. Nesse caso ax² + bx + c = a(x − r)². O valor r tem multiplicidade dois na fatoração, mas o conjunto solução contém um único elemento.

Exemplos na reta real: x² − 4 = 0 tem duas raízes distintas; x² = 0 tem uma raiz dupla; x² + 4 = 0 não tem raiz real. Cada reta usa a mesma escala; não são gráficos de funções.

Exemplo resolvido · Raiz dupla não significa dois elementos no conjunto

Resolva $9x^2-12x+4=0$ .

Resolução

Δ = (−12)² − 4·9·4 = 0. A fórmula dá x = 12/18 = 2/3.
A expressão é (3x − 2)², ou 9(x − 2/3)². O fator linear aparece duas vezes; por isso a raiz tem multiplicidade dois.
O conjunto solução é {2/3}, com um único elemento. Ao falar em soma e produto das duas raízes, contaremos essa raiz duas vezes.

𝒮 = {2/3}; raiz dupla.

Exemplo resolvido · Discriminante negativo nos reais

Analise $x^2-2x+5=0$ .

Resolução

Δ = 4 − 20 = −16, então a fórmula não produz raízes reais.
Completando o quadrado, a equação é (x − 1)² + 4 = 0, ou (x − 1)² = −4. Isso confirma a impossibilidade nos reais.

𝒮 = ∅ em ℝ. A análise em ℂ ficará para Números complexos.

8Escolher o método e conferir o resultado

A fórmula geral resolve qualquer quadrática real com raízes reais, mas reconhecer a estrutura pode tornar o caminho mais claro. Procure fator comum quando c = 0, quadrado isolado quando b = 0 ou há um binômio ao quadrado, e fatoração quando os fatores são visíveis. Completar quadrados e a fórmula geral cobrem os demais casos.

Exemplo resolvido · Eliminar apenas denominadores numéricos

Resolva $x^2/2-x/3-1/3=0$ .

Resolução

Multiplique todos os termos por 6, constante não nula. A equação equivalente é 3x² − 2x − 2 = 0.
Na equação reduzida, a = 3, b = −2 e c = −2. Assim Δ = (−2)² − 4·3·(−2) = 4 + 24 = 28, e a fórmula dá x = (2 ± √28)/6.
Como √28 = √(4·7) = 2√7, temos x = (2 ± 2√7)/6. Cancelar o fator 2 de todo o numerador e do denominador dá x = (1 ± √7)/3. Essas são formas exatas.
Na conferência, multiplicar a expressão original por 6 dá o polinômio que acabamos de zerar. Como o multiplicador nunca é zero, as soluções são preservadas.

𝒮 = {(1 − √7)/3, (1 + √7)/3}.

x=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}a

a ≠ 0, b = 2k e k² − ac ≥ 0 para raízes reais. Substituir b = 2k na fórmula geral, usar √(4(k² − ac)) = 2√(k² − ac) e simplificar por 2. k pode ser qualquer real; em cálculos com b inteiro par, reduz a aritmética.

Exemplo resolvido · O termo linear tem coeficiente par

Resolva $3x^2-6x-2=0$ usando b = 2k.

Resolução

Aqui a = 3, b = −6 e c = −2. Como b = 2k, k = −3. Temos k² − ac = (−3)² − 3·(−2) = 9 + 6 = 15.
Substituindo na fórmula reduzida, x = [−(−3) ± √15]/3 = (3 ± √15)/3 = 1 ± √15/3. Ela vem da mesma fórmula geral, sem uma nova hipótese sobre os sinais.
A expressão original é 3(x − 1)² − 5. Para os candidatos, x − 1 = ±√15/3, cujo quadrado é 5/3; o resultado é zero.

𝒮 = {1 − √15/3, 1 + √15/3}.

Reduza a equação e copie os coeficientes com seus sinais.
Registre o universo e as restrições originais.
Escreva as duas contas do símbolo ± quando elas forem diferentes.
Conserve a forma exata; arredonde somente se o enunciado pedir, indicando a aproximação.
Substitua na equação original e escreva o conjunto solução, sem repetir a raiz dupla.

9Soma, produto e construção pelas raízes

Algumas perguntas pedem relações entre as raízes, sem precisar de cada uma separadamente. Chamaremos sua soma de S e seu produto de P; o conjunto solução será escrito 𝒮 para não confundir os dois usos. As duas raízes são contadas com repetição quando há uma raiz dupla.

S=r_1+r_2=-\frac ba

a ≠ 0 e Δ ≥ 0 para raízes reais r₁ e r₂. Se Δ = 0, considerar a raiz duas vezes nesta soma. S aqui representa a soma; o conjunto solução será chamado 𝒮 nos trechos que usam os dois conceitos.

P=r_1r_2=\frac ca

a ≠ 0 e Δ ≥ 0 para raízes reais, contando duas vezes a raiz dupla. Produto positivo exige raízes de mesmo sinal; produto negativo exige sinais opostos; produto zero significa ao menos uma raiz zero. Verificar a existência real antes de interpretar sinais.

Na soma das expressões (−b + √Δ)/(2a) e (−b − √Δ)/(2a), os radicais se anulam, restando −b/a. No produto, os numeradores conjugados dão b² − Δ = 4ac; o denominador é 4a², dando c/a. Como a ≠ 0, essas divisões são válidas. Estamos supondo Δ ≥ 0 para trabalhar com raízes reais.

ax^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)

\begin{gathered}ax^2+bx+c\\=a(x-r_1)(x-r_2)\end{gathered}

a ≠ 0, coeficientes reais e Δ ≥ 0. Os valores r₁ e r₂ são as raízes, repetidas se Δ = 0. Expandir o produto e usar soma e produto justifica a identidade. Com Δ < 0, não há fatoração em dois fatores lineares reais.

Ao expandir a(x − r₁)(x − r₂), o coeficiente linear é −a(r₁ + r₂) = b, e o termo constante é ar₁r₂ = c. Isso justifica a forma fatorada e permite também o caminho inverso: construir uma equação com raízes dadas.

x^2-Sx+P=0

Para duas raízes reais dadas r₁ e r₂, S = r₁ + r₂ e P = r₁r₂. Esta é a equação mônica que as tem como raízes, contando repetição. Multiplicar seus dois membros por constante não nula gera outras equações com o mesmo conjunto solução.

Uma equação quadrática é mônica quando o coeficiente de x² é 1. A forma x² − Sx + P = 0 tem essa característica; o sinal de menos diante de S faz parte da construção e precisa ser mantido mesmo quando a soma das raízes é negativa.

Exemplo resolvido · Soma e produto com a diferente de um

Encontre as raízes de $2x^2-5x+2=0$ usando soma e produto.

Resolução

Com a = 2, b = −5 e c = 2, a soma precisa ser S = −(−5)/2 = 5/2 e o produto P = 2/2 = 1. Os números 2 e 1/2 atendem às duas condições: 2 + 1/2 = 5/2 e 2·(1/2) = 1.
A identidade é 2(x − 2)(x − 1/2) = 2x² − 5x + 2. Portanto os únicos zeros são os dois valores indicados.
A busca por um par é útil quando o par é reconhecido; não encontrar inteiros não prova ausência de raízes reais.

𝒮 = {1/2, 2}.

Exemplo resolvido · Uma equação com raízes prescritas

Construa uma equação mônica com raízes −3 e 4 e outra com as mesmas raízes e a = 2.

Resolução

A soma é S = 1 e o produto P = −12. A equação mônica é x² − x − 12 = 0, equivalente a (x + 3)(x − 4) = 0.
Multiplicando por 2, obtemos 2x² − 2x − 24 = 0. O fator constante não nulo não altera as raízes.

x² − x − 12 = 0 e 2x² − 2x − 24 = 0.

10Combinações, ponto médio e distância das raízes

Identidades já estudadas transformam outras combinações em contas com S e P. Antes de usar recíprocos, verifique se nenhuma raiz é zero. Para expressar distâncias, use módulos: o resultado deve ser não negativo, inclusive quando a é negativo.

r_1^2+r_2^2=S^2-2P

r₁ e r₂ são raízes reais, S = r₁ + r₂ e P = r₁r₂. Expandir S² = r₁² + 2r₁r₂ + r₂². A relação evita resolver individualmente as raízes quando só se pede essa combinação.

\frac1{r_1}+\frac1{r_2}=\frac SP

As raízes são reais e ambas não nulas: P ≠ 0, equivalentemente c ≠ 0 para a ≠ 0. A soma usa denominador comum r₁r₂. Não dividir por P antes de conferir essa condição.

Exemplo resolvido · Calcular sem encontrar as raízes individuais

Se r₁ e r₂ são raízes de $x^2-6x+7=0$ , calcule a soma de seus quadrados e a soma de seus recíprocos.

Resolução

Δ = 36 − 28 = 8 > 0 garante raízes reais. A soma é S = 6 e o produto é P = 7.
A soma dos quadrados é S² − 2P = 36 − 14 = 22.
Como P ≠ 0, ambas as raízes são não nulas. A soma dos recíprocos é S/P = 6/7.

r₁² + r₂² = 22; 1/r₁ + 1/r₂ = 6/7.

m=\frac{r_1+r_2}2=-\frac b{2a}

a ≠ 0 e Δ ≥ 0. m é o ponto médio na reta real; com raiz dupla, coincide com ela. Esta afirmação não pressupõe uma ordem entre as duas expressões obtidas pelos sinais da fórmula geral.

|r_1-r_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

a ≠ 0 e Δ ≥ 0 para raízes reais. A distância é não negativa; o módulo de a é indispensável se a < 0. A distância de cada raiz ao ponto médio é √Δ/(2|a|).

O ponto médio é metade da soma. Para a distância, subtraia as duas expressões da fórmula: a diferença, conforme a ordem escolhida, é √Δ/a ou seu oposto. Tomar o módulo fornece √Δ/|a|. Não se deve retirar o módulo de a sem saber que a é positivo.

Exemplo resolvido · Distância com coeficiente principal negativo

Determine o ponto médio e a distância entre as raízes de $-2x^2+4x+6=0$ .

Resolução

O discriminante é 64, e a = −2. O ponto médio é −4/[2·(−2)] = 1.
A distância é √64/|−2| = 8/2 = 4. As raízes −1 e 3 confirmam: a média é 1 e a diferença em módulo é 4.

Ponto médio 1; distância 4.

11O que soma e produto dizem sobre os sinais

Primeiro verifique se existem raízes reais. Só depois use produto e soma para discutir seus sinais. Δ positivo informa que as raízes são distintas; ele não garante que sejam positivas. Para incluir uma raiz dupla na análise, use Δ ≥ 0.

Com raízes reais e P < 0, as duas têm sinais opostos. Nesse caso são necessariamente distintas.
Com raízes reais, P > 0 e S > 0, ambas são positivas. Com P > 0 e S < 0, ambas são negativas.
Com raízes reais e P = 0, ao menos uma raiz é zero; a outra é S. Se S = 0 também, zero é raiz dupla.
Se P > 0 e S = 0, não pode haver duas raízes reais: dois números reais de soma zero têm produto não positivo.

Exemplo resolvido · Duas raízes positivas sem calculá-las

Analise os sinais das raízes de $2x^2-7x+3=0$ .

Resolução

Δ = 49 − 24 = 25 > 0, então há duas raízes reais distintas. S = 7/2 > 0 e P = 3/2 > 0.
Produto positivo significa mesmo sinal; soma positiva determina que ambas são positivas. De fato, as raízes são 3 e 1/2.

Duas raízes reais distintas e positivas.

Exemplo resolvido · A condição de existência não pode ser omitida

A soma e o produto formais de $x^2-2x+5=0$ são positivos. Isso prova raízes reais positivas?

Resolução

Não. Δ = −16, portanto não há raízes reais. As regras de sinais de números reais não podem ser usadas como se a existência já estivesse garantida.
Para comparação, em x² + x − 6 = 0 temos P = −6. A fatoração (x + 3)(x − 2) confirma raízes opostas em sinal, −3 e 2.

É necessário conferir a existência real antes de classificar os sinais.

12Parâmetros e mudança de grau

Um parâmetro é fixado antes de resolver na incógnita. Se ele participa do coeficiente a, uma escolha pode eliminar o termo quadrático. Separe esse caso antes de dividir por a ou usar a fórmula geral. Uma análise pelo discriminante só vale nos casos que continuam sendo de segundo grau.

Exemplo resolvido · Discutir todos os valores do parâmetro

Classifique as soluções reais de $mx^2-2x+1=0$ para m real.

Resolução

Se m = 0, a equação é −2x + 1 = 0, de primeiro grau, com uma solução x = 1/2.
Se m ≠ 0, Δ = 4 − 4m. Para m < 1 e m ≠ 0, Δ > 0 e há duas raízes reais distintas.
Para m = 1, Δ = 0 e a equação (x − 1)² = 0 tem raiz dupla 1. Para m > 1, Δ < 0 e não há raiz real.

m = 0: linear; m < 1, m ≠ 0: duas raízes; m = 1: raiz dupla; m > 1: nenhuma raiz real.

Exemplo resolvido · Impor uma raiz conhecida e encontrar a outra

Determine k para que 2 seja raiz de $x^2-kx+6=0$ . Depois encontre a outra raiz.

Resolução

Substitua x = 2: 4 − 2k + 6 = 0, então k = 5.
Com k = 5, o produto das raízes é 6. Como uma delas é 2, a outra é 3. A fatoração (x − 2)(x − 3) confirma as duas.

k = 5; a outra raiz é 3.

Exemplo resolvido · Impor raiz dupla sem perder a condição do parâmetro

Para quais valores de t a equação $x^2-2tx+9=0$ tem raiz dupla real?

Resolução

O coeficiente principal é sempre 1, então o grau não muda. A condição é Δ = 4t² − 36 = 0.
Temos t² = 9, logo t = 3 ou t = −3. A raiz dupla é −b/(2a) = t: 3 no primeiro caso e −3 no segundo.

t = ±3; a raiz dupla é x = t.

13Quadráticas obtidas de equações fracionárias

A aula anterior mostrou que eliminar denominadores fornece candidatos dentro de um domínio já declarado. Se a equação obtida for quadrática, os métodos atuais a resolvem. Os pontos proibidos continuam excluídos e a conferência deve voltar à escrita original.

\mathcal S=\{x\in\mathcal D:ax^2+bx+c=0\}

\begin{gathered}\mathcal S=\{x\in\mathcal D:\\ax^2+bx+c=0\}\end{gathered}

𝒟 é o domínio da equação original, incluindo as restrições do enunciado. A redução a ax² + bx + c = 0 deve ser equivalente em 𝒟, com a ≠ 0. Resolver a quadrática em ℝ fornece candidatos, que só permanecem se pertencem a 𝒟 e conferem na original.

Exemplo resolvido · Uma raiz da quadrática é proibida na original

Resolva $(x^2-3x-4)/(x-4)=2$ .

Resolução

O domínio exige x ≠ 4. Multiplicar por x − 4, não nulo nesse domínio, dá x² − 3x − 4 = 2x − 8.
A quadrática reduzida é x² − 5x + 4 = 0, com fatores (x − 1)(x − 4). Os candidatos são 1 e 4.
Excluímos 4. Para x = 1, a fração original vale (1 − 3 − 4)/(1 − 4) = (−6)/(−3) = 2.

𝒮 = {1}.

Exemplo resolvido · Duas raízes permitidas após a redução

Resolva $x+2/x=4$ .

Resolução

O domínio é x ≠ 0. Multiplicando todos os termos por x, temos x² − 4x + 2 = 0.
Com a = 1, b = −4 e c = 2, Δ = (−4)² − 4·1·2 = 16 − 8 = 8. A fórmula dá x = (4 ± √8)/2. Como √8 = 2√2, as raízes são (4 ± 2√2)/2 = 2 ± √2, ambas não nulas.
Os candidatos satisfazem x² + 2 = 4x e x ≠ 0. Dividir essa igualdade por x devolve x + 2/x = 4, confirmando a original.

𝒮 = {2 − √2, 2 + √2}.

14Equações biquadradas e retorno à incógnita

Uma equação biquadrada contém x⁴, x² e uma constante, sem termos de graus três e um. Ela não é de segundo grau em x; é de quarto grau. A ideia é enxergar x⁴ como (x²)² e chamar x² de uma nova incógnita t. Como estamos nos reais, t precisa ser não negativo.

\begin{gathered}ax^4+bx^2+c=0\\t=x^2\ge0\\at^2+bt+c=0\end{gathered}

a ≠ 0 e coeficientes reais. Para cada solução t > 0, retornar a x = ±√t; para t = 0, retornar somente x = 0; para t < 0, não há x real correspondente. A equação original é de quarto grau, quadrática apenas na nova incógnita t.

No retorno de t = x², um valor positivo gera dois valores reais de x, zero gera um e um valor negativo não gera nenhum. Cada candidato precisa passar pela condição t ≥ 0.

Exemplo resolvido · Duas soluções em t podem produzir quatro em x

Resolva $x^4-13x^2+36=0$ .

Resolução

Faça t = x², com t ≥ 0. A equação é t² − 13t + 36 = 0, ou (t − 4)(t − 9) = 0.
Para t = 4, x = ±2. Para t = 9, x = ±3. Os quatro valores são distintos.
Na original, x² = 4 dá 16 − 52 + 36 = 0 e x² = 9 dá 81 − 117 + 36 = 0. Os dois sinais de x preservam x².

𝒮 = {−3, −2, 2, 3}.

Exemplo resolvido · Uma solução de t é descartada

Resolva $x^4-3x^2-4=0$ .

Resolução

Com t = x² ≥ 0, obtemos t² − 3t − 4 = (t − 4)(t + 1) = 0.
O candidato t = −1 não corresponde a x real. Para t = 4, x = ±2. Substituindo, 16 − 12 − 4 = 0.

𝒮 = {−2, 2}.

Exemplo resolvido · Zero não produz duas soluções distintas

Resolva $x^4-4x^2=0$ .

Resolução

A equação em t é t(t − 4) = 0. Para t = 0, apenas x = 0; para t = 4, x = −2 ou x = 2.
O conjunto solução tem três elementos. A fatoração x²(x − 2)(x + 2) confirma as raízes e a repetição do fator x.

𝒮 = {−2, 0, 2}.

15Outras reduções à forma quadrática

A mesma estratégia serve quando uma expressão inteira aparece e o seu quadrado também. Depois de resolver na nova letra, é indispensável retornar a x e conferir se os valores encontrados podem ser assumidos pela expressão substituída. Nem toda troca de letra permite qualquer valor real.

Exemplo resolvido · Um binômio como nova incógnita

Resolva $(x-1)^2-5(x-1)+6=0$ .

Resolução

Faça t = x − 1, que pode assumir qualquer real. A equação é t² − 5t + 6 = (t − 2)(t − 3) = 0.
Para t = 2, x = 3; para t = 3, x = 4. Na original, os valores do binômio são 2 e 3, que zeram t² − 5t + 6.

𝒮 = {3, 4}.

\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+2+\frac1{x^2}

x real e x ≠ 0. Se t = x + 1/x, cada candidato t deve permitir soluções reais de x² − tx + 1 = 0; isso exige t² − 4 ≥ 0. Substituir não autoriza aceitar automaticamente todo t real obtido.

Exemplo resolvido · Uma substituição com domínio restrito

Resolva $x^2+1/x^2-3(x+1/x)+4=0$ .

Resolução

O domínio exige x ≠ 0. Faça t = x + 1/x. Pela identidade, x² + 1/x² = t² − 2.
A equação passa a t² − 3t + 2 = 0, então t = 1 ou t = 2. Ainda precisamos descobrir quais vêm de um x real permitido.
Para t = 1, x + 1/x = 1. Multiplicar por x, não nulo no domínio, dá x² + 1 = x, ou x² − x + 1 = 0. Seu Δ = (−1)² − 4·1·1 = −3, portanto não há x real.
Para t = 2, x + 1/x = 2 passa a x² + 1 = 2x pela mesma multiplicação. Reunindo os termos, x² − 2x + 1 = (x − 1)² = 0, então x = 1.
A conferência na original dá 1 + 1 − 3(1 + 1) + 4 = 0. O valor 1 é não nulo e permitido.

𝒮 = {1}.

A restrição do segundo exemplo também pode ser descrita por |t| ≥ 2: multiplicar t = x + 1/x por x dá x² − tx + 1 = 0, que tem x real exatamente se t² − 4 ≥ 0. Suas raízes têm produto 1 e são não nulas. Essa justificativa mostra por que rejeitar t = 1 não é um detalhe opcional.

16Modelar problemas e interpretar as raízes

Uma equação pode ter duas raízes reais e o problema aceitar só uma. Defina a incógnita com sua unidade, escreva o domínio contextual e só então monte a relação. Ao terminar, confira a situação descrita, não apenas a equação já reduzida.

Exemplo resolvido · Dimensões de um retângulo

Um retângulo tem área de 54 m², e seu comprimento excede sua largura em 3 m. Determine as dimensões.

Resolução

Se x é a largura em metros, x > 0 e o comprimento é x + 3. A área fornece x(x + 3) = 54.
A quadrática x² + 3x − 54 = 0 se fatora como (x + 9)(x − 6) = 0. Os candidatos são −9 e 6.
A largura não pode ser negativa. Com x = 6, o comprimento é 9 e 6·9 = 54 m², com diferença de 3 m.

Largura 6 m; comprimento 9 m.

Retângulo de 6 m por 9 m desenhado na mesma escala nas duas direções. A faixa adicional de 3 m torna o comprimento igual à largura mais 3.

Exemplo resolvido · Contagens inteiras e números consecutivos

O produto de dois inteiros positivos consecutivos é 156. Quais são eles?

Resolução

Chame o menor de n, inteiro positivo. O outro é n + 1, então n(n + 1) = 156.
A equação n² + n − 156 = 0 é (n + 13)(n − 12) = 0. Os candidatos são −13 e 12.
A condição de positividade exclui −13. Os números são 12 e 13, cujo produto é 156. Sem a palavra “positivos”, −13 e −12 também formariam um par inteiro consecutivo.

12 e 13.

Exemplo resolvido · Tempo e velocidades em um trajeto

Um percurso de 24 km é feito a v km/h. Se a velocidade aumentar 2 km/h, o tempo diminui 1 hora. Determine v, supondo velocidades constantes e positivas.

Resolução

O domínio físico é v > 0. Os tempos, em horas, são 24/v e 24/(v + 2). A redução dá 24/v − 24/(v + 2) = 1.
Multiplicando por v(v + 2), positivo no domínio, temos 24(v + 2) − 24v = v(v + 2). Assim v² + 2v − 48 = (v + 8)(v − 6) = 0.
O candidato −8 não é velocidade positiva. Para v = 6, os tempos são 4 h e 3 h; a diferença é 1 h.

Velocidade inicial 6 km/h.

Exemplo resolvido · Um modelo fornecido pode ter dois instantes válidos

Um modelo de altura, em metros, é $h(t)=-t^2+6t$ , válido para $0\le t\le6$ , com t em segundos. Em quais instantes a altura é 8 m?

Resolução

Igualamos a expressão fornecida a 8: −t² + 6t = 8. Multiplicando por −1 e reduzindo, t² − 6t + 8 = 0.
A fatoração é (t − 2)(t − 4) = 0. Ambos os candidatos pertencem ao intervalo do modelo.
Em t = 2, −4 + 12 = 8; em t = 4, −16 + 24 = 8. Os dois instantes atendem ao enunciado; não devemos descartar automaticamente a segunda raiz.

t = 2 s e t = 4 s, dentro da validade do modelo fornecido.

Gráficos, vértice e estudo completo de funções quadráticas terão lugar na matéria Funções. Aqui usamos uma expressão fornecida para montar uma equação; as inequações e o estudo de sinais de produtos e quocientes serão o próximo núcleo de Álgebra.

17Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Escolha o método, registre as condições e confira cada candidato na equação original. Nas discursivas, escreva a justificativa antes de abrir a resolução. As questões são autorais, sem atribuição a bancas.

Questão 1 de 440 conferidas

Fixação · Objetiva

Na forma padrão de $2x(x-3)=x+5$ , quais são a, b e c?

A2, −6 e −5.B2, −7 e −5.C2, −5 e 5.D2, 7 e 5.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

18O que levar desta aula

O segundo grau é identificado depois da redução a ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Os coeficientes incluem seus sinais.
Nos casos incompletos, fator comum e quadrado isolado costumam ser diretos. Dividir por uma incógnita pode perder a solução zero.
O produto nulo exige produto igual a zero. Uma soma nula ou um produto igual a outro número não permite igualar parcelas ou fatores a zero.
A raiz principal é não negativa; os dois sinais aparecem ao resolver u² = k com k > 0. Para k = 0 há um valor e, para k < 0, nenhum real.
Completar quadrados acrescenta o quadrado da metade do coeficiente linear, depois de normalizar o coeficiente quadrático. A mesma parcela deve ser acrescentada aos dois membros.
A equivalência (2ax + b)² = Δ, com Δ = b² − 4ac, justifica a fórmula geral e funciona também para a negativo.
Δ > 0 dá duas raízes reais distintas; Δ = 0 dá uma raiz dupla; Δ < 0 não dá raízes reais. Raiz dupla é contada uma vez no conjunto solução.
Soma e produto são −b/a e c/a, contando a raiz dupla duas vezes. Eles justificam a forma fatorada e a construção de uma equação pelas raízes.
Combinações das raízes podem ser calculadas com identidades em S e P. Recíprocos exigem raízes não nulas; distâncias usam módulo.
A classificação de sinais pressupõe existência de raízes reais. Discriminante positivo não significa duas raízes positivas.
Parâmetros que anulam o coeficiente principal exigem separar os casos lineares, impossíveis ou identidades antes de usar a fórmula quadrática.
Reduções de equações fracionárias conservam o domínio original e filtram os candidatos. As restrições não desaparecem depois de multiplicar denominadores.
Em biquadradas, t = x² exige t ≥ 0. Retorne à incógnita: t positivo gera dois valores, t zero gera um e t negativo nenhum real.
Outras substituições também exigem retorno e verificação dos valores que a expressão substituída pode assumir.
Nas aplicações, use unidades e restrições do contexto. Uma ou ambas as raízes podem ser aceitas, conforme o problema.

A próxima aula será Inequações e estudo de sinais: fatores lineares e quadráticos, produtos, quocientes, intervalos, pontos excluídos e condições simultâneas. A teoria de funções quadráticas e os números complexos permanecem em seus núcleos próprios.