Números complexos

1Por que ampliar os números reais?

Nos reais, nenhum número elevado ao quadrado vale −1: o quadrado de qualquer real é não negativo. Isso não impede que estudemos um conjunto maior no qual exista um número com esse quadrado. O conjunto dos números complexos, indicado por ℂ, amplia os reais preservando as regras de adição e multiplicação.

i^2=-1

i é a unidade imaginária, um número não real. Seu oposto −i também tem quadrado −1. A identidade define as contas com i; não significa que um quadrado real possa ser negativo.

Chamamos esse novo número de unidade imaginária e o escrevemos i. A palavra “imaginária” é um nome matemático, não uma ordem para adivinhar um valor real. O número i não pertence a ℝ; ele pertence a ℂ e satisfaz i² = −1. Seu oposto −i também satisfaz essa igualdade.

Exemplo resolvido · A equação muda de resposta quando muda o universo

Resolva z² + 16 = 0 primeiro em ℝ e depois em ℂ.

Resolução

A equação equivale a z² = −16. Em ℝ, isso é impossível porque um quadrado real não é negativo.
Em ℂ, (4i)² = 16i² = −16 e (−4i)² = 16i² = −16. A fatoração z² + 16 = (z − 4i)(z + 4i) mostra que esses são os dois valores.

Em ℝ: ∅. Em ℂ: {−4i, 4i}.

Todo real continuará sendo um complexo. Portanto “não tem solução real” e “não tem solução complexa” são afirmações diferentes. Ao resolver uma equação, sempre declare o universo. Aqui usamos z para lembrar que a incógnita pode ser complexa, mas a letra por si só não determina o conjunto.

2Forma algébrica, igualdade e classificação

Um complexo reúne duas componentes reais: uma sem i e outra multiplicada por i. Sua forma algébrica é a + bi, em que a e b são números reais. Não somamos a e b como se a + bi fosse (a + b)i: a escrita guarda duas informações diferentes.

\begin{gathered}z=a+bi,\quad a,b\in\mathbb R\\\operatorname{Re}(z)=a,\quad\operatorname{Im}(z)=b\end{gathered}

Cada complexo tem uma única escrita a + bi com a e b reais. A parte imaginária é o coeficiente b, não o termo bi. Identificamos o real a com a + 0i, de modo que ℝ está contido em ℂ.

Exemplo resolvido · Ler as duas componentes sem trocar o sinal

Identifique as partes real e imaginária de z = −2 − 3i, de w = 5 e de v = −i.

Resolução

Em z = −2 + (−3)i, a parte real é −2 e a imaginária é −3. O termo imaginário inteiro é −3i; a parte imaginária, por definição, é o coeficiente real −3.
Escrevemos w = 5 + 0i, então Re(w) = 5 e Im(w) = 0. Escrevemos v = 0 + (−1)i, então Re(v) = 0 e Im(v) = −1.

As partes imaginárias são −3, 0 e −1, respectivamente.

a+bi=c+di\iff(a=c\ \text{e}\ b=d)

\begin{gathered}a+bi=c+di\\\Updownarrow\\a=c\ \text{e}\ b=d\end{gathered}

a, b, c e d reais. As duas igualdades precisam valer simultaneamente. Em particular, a + bi = 0 se e somente se a = 0 e b = 0.

A unicidade da forma algébrica pode ser entendida assim: se a + bi = c + di e b ≠ d, então i = (c − a)/(b − d), que seria real, uma contradição. Logo b = d e, em seguida, a = c. As duas igualdades precisam valer ao mesmo tempo.

Exemplo resolvido · Uma igualdade gera duas condições reais

Determine x e y reais em $(x+2)+(2y-1)i=5+7i$ .

Resolução

Igualamos as partes reais: x + 2 = 5, então x = 3. Igualamos os coeficientes de i: 2y − 1 = 7, então y = 4.
Substituindo os dois valores no primeiro membro, obtemos 5 + 7i, como exigido.

x = 3 e y = 4.

\begin{gathered}z\in\mathbb R\iff b=0\\z\text{ imaginário puro}\\\Updownarrow\\a=0\ \text{e}\ b\ne0\end{gathered}

z = a + bi com a, b reais. Nesta aula, imaginário puro exclui zero. O número zero é real e tem ambas as componentes nulas. Um complexo não real exige b ≠ 0; ele pode ter parte real não nula.

Exemplo resolvido · Um parâmetro controla se o número é real

Para t real, classifique $z=(t-2)+(t^2-9)i$ : quando é real e quando é imaginário puro?

Resolução

Para z ser real, seu coeficiente de i deve zerar: t² − 9 = 0, dando t = −3 ou t = 3. Os valores de z são −5 e 1.
Para z ser imaginário puro, exigimos t − 2 = 0 e t² − 9 ≠ 0. Com t = 2, o coeficiente é −5 ≠ 0, então z = −5i.
Nesta aula, o zero não recebe o nome de imaginário puro. Se uma expressão tiver ambas as componentes nulas, ela será o real zero.

Real para t = ±3; imaginário puro para t = 2.

3Cada complexo ocupa um ponto do plano

Uma reta guarda apenas uma coordenada. Para representar as duas componentes de a + bi, usamos dois eixos perpendiculares na mesma escala: horizontal para a parte real e vertical para a parte imaginária. O ponto (a, b) que representa z é chamado de seu afixo; o desenho é o plano complexo, ou plano de Argand–Gauss.

Exemplo resolvido · Ir do número ao ponto e voltar

Represente z = 3 + 2i e w = −2 − i. Que número corresponde ao ponto (0, 4)?

Resolução

O afixo de z é (3, 2): três unidades à direita e duas acima da origem. O de w é (−2, −1): duas à esquerda e uma abaixo.
No ponto (0, 4), a parte real é zero e a imaginária é 4. Portanto o número é 4i.

z ↔ (3, 2), w ↔ (−2, −1) e (0, 4) ↔ 4i.

Os eixos usam a mesma unidade. Os números reais ficam no eixo horizontal; os imaginários puros ficam no vertical, fora da origem.

4Potências de i: um ciclo de quatro passos

Depois de i² = −1, as próximas potências vêm da multiplicação: i³ = i²i = −i e i⁴ = i²i² = 1. Multiplicar novamente por i reinicia a mesma sequência. Um expoente grande pode ser reduzido pelo resto de sua divisão por 4.

\begin{gathered}i^{4k}=1,\quad i^{4k+1}=i\\i^{4k+2}=-1,\quad i^{4k+3}=-i\end{gathered}

k é qualquer inteiro. Como i ≠ 0 e i⁴ = 1, o ciclo vale também para expoentes inteiros negativos. Para reduzir um expoente n, escreva n = 4k + r com r em {0, 1, 2, 3}.

Exemplo resolvido · Expoente grande sem multiplicar milhares de vezes

Calcule $i^{2026}$ e $i^{2027}$ .

Resolução

Como 2026 = 4 · 506 + 2, temos i²⁰²⁶ = (i⁴)⁵⁰⁶i² = −1.
Já 2027 = 4 · 506 + 3, então i²⁰²⁷ = i³ = −i. Não precisamos calcular as potências intermediárias.

$i^{2026}=-1$ e $i^{2027}=-i$ .

Exemplo resolvido · Expoentes zero e negativos

Calcule $i^0$ , $i^{-1}$ e $i^{-7}$ .

Resolução

Como i ≠ 0, i⁰ = 1. O inverso de i é −i, pois i(−i) = −i² = 1; assim i⁻¹ = −i.
Podemos escrever −7 = 4 · (−2) + 1. Portanto i⁻⁷ = (i⁴)⁻²i = i. A decomposição usa resto 1, dentro de {0, 1, 2, 3}.

$i^0=1$ , $i^{-1}=-i$ e $i^{-7}=i$ .

Multiplicar por i leva de 1 a i, depois a −1, a −i e de volta a 1. No plano, cada passo é um quarto de volta anti-horário.

5Raízes de reais negativos e cuidado com as regras

A equação z² = −r, com r real positivo, tem as duas soluções opostas i√r e −i√r. Quando usamos o radical √(−r) como um único valor, adotamos a convenção principal i√r. Essa escolha e o conjunto das soluções da equação são objetos diferentes.

\sqrt{-r}=i\sqrt r\quad(r\ge0)

r real não negativo. Aqui o radical de −r denota o valor principal indicado; a equação z² = −r tem soluções ±i√r, que coincidem em zero se r = 0. As regras de produto de raízes reais não se estendem automaticamente a radicandos complexos.

Exemplo resolvido · Simplificar o radical e resolver a equação

Escreva $\sqrt{-20}$ na convenção indicada e resolva $z^2=-20$ .

Resolução

A raiz real √20 se simplifica como 2√5. Pela convenção, √(−20) = 2√5 i.
A equação pede todos os números com quadrado −20: z = 2√5 i ou z = −2√5 i. Os dois quadrados são 20i² = −20.

Radical principal: $2\sqrt5\,i$ . Soluções: $z=\pm2\sqrt5\,i$ .

Exemplo resolvido · Por que não transportar toda regra de radicais

Compare $\sqrt{-1}\sqrt{-1}$ com $\sqrt{(-1)(-1)}$ .

Resolução

Na convenção indicada, o primeiro produto é i · i = −1. O segundo radical é √1 = 1.
Os resultados são diferentes. A identidade √A√B = √(AB), ensinada com A e B reais não negativos, não pode ser estendida a quaisquer complexos sem outras condições.

O primeiro valor é −1 e o segundo é 1.

6Somar e subtrair por componentes

Somar complexos é combinar os deslocamentos horizontais e verticais separadamente. Na subtração, trocamos os sinais das duas componentes do número subtraído. As contas são as mesmas da redução de termos semelhantes, com i mantido como unidade.

\begin{gathered}z+w=(a+c)+(b+d)i\\z-w=(a-c)+(b-d)i\end{gathered}

z = a + bi e w = c + di, com componentes reais. Soma-se ou subtrai-se cada componente correspondente. O oposto de z é −a − bi; o zero é 0 + 0i.

Exemplo resolvido · Soma e diferença com sinais

Para z = 4 − 3i e w = −1 + 5i, calcule z + w e z − w.

Resolução

Na soma: (4 − 1) + (−3 + 5)i = 3 + 2i.
Na diferença: (4 − 3i) − (−1 + 5i) = 4 − 3i + 1 − 5i = 5 − 8i. O sinal de menos alcança as duas parcelas de w.

z + w = 3 + 2i e z − w = 5 − 8i.

Exemplo resolvido · Interpretar uma soma no desenho

Some z = 2 + i e w = 1 + 2i.

Resolução

As componentes dão (2 + 1) + (1 + 2)i = 3 + 3i.
No plano, podemos sair da origem até (2, 1) e, a partir daí, andar mais uma unidade à direita e duas para cima. Chegamos ao afixo (3, 3).

z + w = 3 + 3i.

Os deslocamentos de z e w formam os lados de um paralelogramo. A diagonal que parte da origem representa z + w.

7Multiplicação e as regras algébricas

Multiplicamos pela distributiva, como em produtos de binômios. A diferença é que i² deve ser substituído por −1 ao final. Assim, o produto volta a ter a forma a + bi, com duas componentes reais.

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

\begin{gathered}(a+bi)(c+di)\\=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{gathered}

a, b, c e d reais. Aplicar a distributiva e substituir i² por −1. As propriedades associativa, comutativa e distributiva continuam válidas em ℂ.

A expansão é ac + adi + bci + bdi². O termo bdi² vira −bd; os termos com i se juntam em (ad + bc)i. Em ℂ continuam válidas comutatividade, associatividade, distributividade e as regras de cancelamento por número não nulo. Não há produto de dois complexos não nulos que resulte em zero: se zw = 0 e z ≠ 0, multiplicar pelo inverso de z dá w = 0. Construiremos esse inverso adiante.

Um conjunto numérico com essas regras, com os elementos neutros distintos 0 e 1, um oposto para cada número e um inverso multiplicativo para cada número não nulo, é chamado de corpo. Os reais e os complexos são exemplos. Esse termo descreve as operações; não exige que exista uma comparação de maior ou menor entre quaisquer de seus elementos.

Exemplo resolvido · Produto de dois binômios

Calcule $(3+2i)(1-4i)$ .

Resolução

A distributiva produz 3 − 12i + 2i − 8i².
Como −8i² = 8, a parte real é 3 + 8 = 11. A parte imaginária é −12 + 2 = −10.

O produto é 11 − 10i.

Exemplo resolvido · O quadrado da soma preserva o termo misto

Calcule $(2-i)^2$ .

Resolução

Pelo produto notável: (2 − i)² = 4 − 4i + i².
Substituindo i² = −1, obtemos 3 − 4i. Somar apenas os quadrados teria omitido −4i.

(2 − i)² = 3 − 4i.

8Conjugado: reflexão e identidades úteis

O conjugado troca apenas o sinal da componente imaginária. Se z = a + bi, seu conjugado é a − bi, indicado por uma barra sobre z. No plano, o ponto é refletido no eixo real: a coordenada horizontal fica igual e a vertical muda de sinal.

\begin{gathered}\overline z=a-bi\\\overline{\overline z}=z\end{gathered}

z = a + bi, com a e b reais. A conjugação preserva a parte real e troca o sinal da parte imaginária. No plano, reflete o ponto no eixo real. z = conjugado de z se e somente se z é real.

Exemplo resolvido · Conjugado não é o oposto

Para z = 3 + 2i, encontre seu conjugado e seu oposto.

Resolução

O conjugado é 3 − 2i, com afixo (3, −2). O oposto é −3 − 2i, com afixo (−3, −2).
Conjugar novamente 3 − 2i devolve 3 + 2i. O conjugado coincide com o próprio número exatamente quando a parte imaginária é zero.

Conjugado: 3 − 2i. Oposto: −3 − 2i.

O conjugado é o reflexo no eixo real. Os dois pontos ficam à mesma distância da origem, como será calculado pelo módulo.

\begin{gathered}z+\overline z=2a\\z-\overline z=2bi\\z\overline z=a^2+b^2\end{gathered}

z = a + bi, a e b reais. O produto é real não negativo, e só é zero quando z = 0. Soma e diferença permitem recuperar as componentes.

\begin{gathered}\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline z}{2}\\\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}\end{gathered}

z é qualquer complexo. As duas expressões resultam em números reais. Na segunda, dividir por 2i remove a unidade imaginária do termo 2bi.

Exemplo resolvido · Produto e soma que eliminam a unidade imaginária

Para z = −1 + 4i, calcule z vezes seu conjugado e z mais seu conjugado.

Resolução

O conjugado é −1 − 4i. O produto (−1 + 4i)(−1 − 4i) = (−1)² − (4i)² = 1 + 16 = 17.
A soma é (−1 + 4i) + (−1 − 4i) = −2. A diferença seria 8i; dividir essa diferença por 2i recupera a parte imaginária 4.

Produto = 17; soma = −2.

\begin{gathered}\overline{z+w}=\overline z+\overline w\\\overline{zw}=\overline z\,\overline w\\\overline{z/w}=\overline z/\overline w\end{gathered}

z e w complexos; a igualdade do quociente exige w ≠ 0. A regra da subtração também vale. Para expoentes inteiros n ≥ 1, o conjugado de zⁿ é (conjugado de z)ⁿ, inclusive se z = 0. Para n ≤ 0, exigimos z ≠ 0, mantendo 0⁰ sem valor nesta aula.

Essas regras podem ser verificadas pelas componentes. Por exemplo, se zw = (ac − bd) + (ad + bc)i, seu conjugado é (ac − bd) − (ad + bc)i. Multiplicar (a − bi)(c − di) produz exatamente a mesma escrita. Para o quociente, conjugue a identidade z = (z/w)w, usando w ≠ 0, e isole o conjugado de z/w.

9Divisão, inverso e domínio

Dividir por w é procurar o número que, multiplicado por w, devolve o numerador. Isso funciona para qualquer complexo w não nulo, inclusive um imaginário puro. Para obter a resposta na forma algébrica, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i

\begin{gathered}\frac{a+bi}{c+di}\\=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\\{}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\end{gathered}

a, b, c e d reais, com c + di ≠ 0, equivalente a c² + d² > 0. Basta que pelo menos um de c ou d seja não nulo. Multiplicar numerador e denominador por c − di preserva o quociente.

\frac1z=\frac{\overline z}{a^2+b^2}

z = a + bi ≠ 0, a e b reais. O denominador é estritamente positivo. O inverso é o único complexo que, multiplicado por z, produz 1. Em particular, 1/i = −i.

O denominador se transforma em c² + d², positivo sempre que c + di ≠ 0. Não é necessário que c e d sejam ambos diferentes de zero: basta que não sejam simultaneamente zero. Essa construção também prova a existência do inverso usado nas regras de cancelamento.

Exemplo resolvido · Uma divisão com resultado simples

Calcule $\dfrac{5+i}{2-i}$ .

Resolução

O denominador 2 − i é não nulo. Multiplicamos em cima e embaixo por 2 + i.
O numerador vira (5 + i)(2 + i) = 10 + 7i + i² = 9 + 7i. O denominador é 2² + 1² = 5.
Assim o resultado é 9/5 + (7/5)i. Conferindo, multiplicar esse número por 2 − i produz 5 + i.

$\dfrac95+\dfrac75i$ .

Exemplo resolvido · Divisor imaginário puro e uma exclusão

Calcule $\dfrac{6-2i}{i}$ e determine quando $\dfrac1{z-1-i}$ existe.

Resolução

Como 1/i = −i, a primeira expressão é (6 − 2i)(−i) = −6i + 2i² = −2 − 6i. Dividir por i é permitido porque i ≠ 0.
Na segunda, precisamos de z − 1 − i ≠ 0, isto é, z ≠ 1 + i. Cancelamentos posteriores não tornam esse ponto permitido.

Quociente = −2 − 6i. Domínio da segunda expressão: ℂ sem o ponto 1 + i.

10Potências de um complexo e expressões combinadas

As leis de potências inteiras usam as mesmas hipóteses algébricas: para n ≥ 1 inteiro, zⁿ é um produto de n fatores; para z ≠ 0, z⁰ = 1 e z⁻ⁿ = 1/zⁿ. Nesta aula não atribuímos valor a 0⁰ e não dividimos por zero. Em potências de a + bi, podemos expandir ou calcular quadrados sucessivos e reduzir i².

Exemplo resolvido · Usar um quadrado intermediário

Calcule $(1+i)^4$ .

Resolução

Primeiro (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i.
Então (1 + i)⁴ = ((1 + i)²)² = (2i)² = 4i² = −4. O resultado é real, embora a base não seja real.

(1 + i)⁴ = −4.

Exemplo resolvido · Uma potência negativa

Calcule $(1-i)^{-2}$ .

Resolução

A base é não nula. Temos (1 − i)² = 1 − 2i + i² = −2i.
Logo (1 − i)⁻² = 1/(−2i). Multiplicar por i em cima e embaixo dá i/2. A conferência é (i/2)(−2i) = 1.

$(1-i)^{-2}=i/2$ .

11Módulo: distância real de um número complexo

O módulo do complexo é o comprimento do segmento que liga seu afixo à origem. Como os eixos são perpendiculares, o teorema de Pitágoras dá a raiz da soma dos quadrados das componentes. O resultado é sempre real e não negativo, mesmo que o número original não seja real.

\begin{gathered}|z|=\sqrt{a^2+b^2}\\z\overline z=|z|^2\end{gathered}

z = a + bi, com a e b reais. O módulo é a distância do ponto (a, b) à origem: real não negativo, e zero somente em z = 0. Se b = 0, a fórmula se reduz ao módulo real |a|, não necessariamente a.

Exemplo resolvido · Um triângulo retângulo no plano

Calcule o módulo de z = 3 + 4i e de w = −6.

Resolução

Para z, o quadrado da distância é 3² + 4² = 25; a distância é √25 = 5.
Para w = −6 + 0i, o módulo é √36 = 6. A fórmula complexa coincide com o valor absoluto real quando a componente imaginária é zero.

|3 + 4i| = 5 e |−6| = 6.

Os catetos medem 3 e 4 unidades, e a distância até a origem é 5. Os dois eixos mantêm a mesma escala.

\begin{gathered}|zw|=|z||w|\\|z/w|=|z|/|w|\\|\overline z|=|-z|=|z|\end{gathered}

z e w complexos; o quociente exige w ≠ 0. Para inteiro n ≥ 1, |zⁿ| = |z|ⁿ; para n ≤ 0, essa regra exige z ≠ 0, usando z⁰ = 1. As igualdades se justificam por z vezes seu conjugado e pela raiz real não negativa.

Podemos justificar |zw| = |z||w| sem trigonometria: |zw|² = zw vezes seu conjugado = z vezes seu conjugado vezes w vezes seu conjugado = |z|²|w|². Tomar as raízes reais não negativas dá a identidade. Para o quociente, use z = (z/w)w e divida por |w| > 0. O conjugado e o oposto preservam a soma a² + b².

Exemplo resolvido · Calcular o módulo sem expandir uma potência longa

Se $z=1+2i$ e $w=2-i$ , calcule $|zw|$ e $|z/w|$ .

Resolução

Ambos têm módulo √5. A propriedade do produto dá |zw| = √5 · √5 = 5.
Como w ≠ 0, a propriedade do quociente dá |z/w| = √5/√5 = 1. Isso não afirma que z/w = 1: de fato, z = iw e z/w = i.

|zw| = 5 e |z/w| = 1.

\begin{gathered}|z+w|\le|z|+|w|\\\bigl||z|-|w|\bigr|\le|z-w|\end{gathered}

z e w são quaisquer complexos. As comparações são entre módulos reais. A primeira é a desigualdade triangular; a segunda é sua forma reversa, obtida aplicando a primeira a (z − w) + w e depois trocando z e w.

A desigualdade triangular também vale no plano. Para demonstrá-la algebricamente, ponha q = z vezes o conjugado de w. Temos Re(q) ≤ |Re(q)| ≤ |q|: a distância até a origem não é menor que o módulo da coordenada horizontal. Como |q| = |z||w|, expandir |z + w|² dá |z|² + 2Re(q) + |w|² ≤ (|z| + |w|)². Os dois lados a comparar são não negativos, então podemos tirar a raiz real. A forma reversa decorre de |z| ≤ |z − w| + |w| e da mesma relação com z e w trocados.

12Distâncias, circunferências e regiões

Subtrair dois complexos produz o deslocamento entre seus afixos. O módulo dessa diferença mede a distância entre eles. Aqui as desigualdades comparam distâncias reais; não estamos dizendo que um complexo não real é maior ou menor que outro.

\begin{gathered}d(z,w)=|z-w|\\=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\end{gathered}

z = a + bi e w = c + di, com componentes reais na mesma escala nos dois eixos. A distância é simétrica, não negativa e só é zero se z = w.

Exemplo resolvido · Distância entre dois pontos

Calcule a distância entre z = 1 + 2i e w = 4 − 2i.

Resolução

A diferença é z − w = −3 + 4i. Seu módulo é √(9 + 16) = 5.
Subtrair na ordem contrária daria 3 − 4i, com o mesmo módulo. A distância não depende da ordem dos pontos.

A distância é 5 unidades.

\begin{gathered}|z-z_0|=r\\\Updownarrow\\(a-h)^2+(b-k)^2=r^2\end{gathered}

z = a + bi e z₀ = h + ki, com a, b, h, k reais, e r ≥ 0. Para r > 0, descreve a circunferência de centro (h, k) e raio r; para r = 0, apenas o centro. Substituir = por ≤ descreve o disco fechado; < descreve o disco aberto. Raio negativo não serve.

Exemplo resolvido · Ler uma condição geométrica

Descreva os conjuntos $|z-(1+2i)|=3$ e $|z-(1+2i)|\le3$ .

Resolução

Escrevendo z = a + bi, a diferença tem componentes a − 1 e b − 2. A igualdade equivale a (a − 1)² + (b − 2)² = 9: circunferência de centro (1, 2) e raio 3.
A versão ≤ inclui os pontos da circunferência e todo seu interior, formando o disco fechado. Com <, a fronteira seria excluída. Para raio zero, apenas o centro satisfaz a igualdade; um raio negativo não é uma distância possível.

Igualdade: circunferência. Desigualdade ≤: disco fechado, ambos de centro 1 + 2i e raio 3.

A borda representa a distância exatamente 3 ao centro 1 + 2i. A borda junto com a região preenchida representa a distância menor ou igual a 3.

Exemplo resolvido · Equidistância entre dois afixos reais

Determine todos os complexos z tais que $|z-1|=|z-5|$ .

Resolução

Escreva z = a + bi. Comparar as distâncias equivale a (a − 1)² + b² = (a − 5)² + b², porque ambas são não negativas.
Cancelando b² e expandindo, −2a + 1 = −10a + 25. Logo a = 3, enquanto b pode ser qualquer real.
Na reta real haveria apenas o ponto médio 3. No plano complexo, toda a reta vertical que passa por esse ponto fica à mesma distância de 1 e 5.

z = 3 + bi, com b ∈ ℝ.

13Multiplicar por i é girar um quarto de volta

A multiplicação por i tem uma leitura geométrica simples, sem precisar de seno e cosseno. Desenvolvendo i(a + bi), obtemos ai + bi² = −b + ai. Portanto as coordenadas (a, b) passam a (−b, a), um giro anti-horário de 90° em torno da origem.

i(a+bi)=-b+ai

a e b reais. O ponto (a, b) passa a (−b, a): giro de 90° no sentido anti-horário em torno da origem. O módulo é preservado. Multiplicar por −1 corresponde a um giro de 180°.

Exemplo resolvido · Quatro giros devolvem o ponto

Comece em z = 2 + i e multiplique sucessivamente por i.

Resolução

O primeiro resultado é iz = −1 + 2i; o segundo, i²z = −2 − i.
O terceiro é i³z = 1 − 2i; o quarto é i⁴z = 2 + i, de volta ao início. Todos têm módulo √5.

Os afixos percorrem (2, 1), (−1, 2), (−2, −1), (1, −2) e retornam.

Multiplicar por um real positivo t amplia ou reduz as duas coordenadas pelo fator t e multiplica o módulo por t. Multiplicar por um real negativo também inverte o sentido em relação à origem. Para um complexo geral como fator, a descrição completa em termos de módulo e ângulo será desenvolvida com a forma trigonométrica, depois dos pré-requisitos dessa trilha.

14Equações com z e com seu conjugado

Uma equação linear Az + B = 0, com A não nulo, se resolve dividindo por A. Quando aparece o conjugado de z, uma estratégia segura é escrever z = a + bi e seu conjugado como a − bi. As partes real e imaginária viram condições simultâneas sobre os reais a e b.

Az+B=0\iff z=-B/A

\begin{gathered}Az+B=0\\\Updownarrow\\z=-B/A\end{gathered}

A e B complexos fixos, com A ≠ 0. Há uma única solução em ℂ. Se A = 0 e B = 0, todos os complexos resolvem; se A = 0 e B ≠ 0, não há solução. Em equações com conjugados, z e seu conjugado estão vinculados: não são duas incógnitas independentes.

Exemplo resolvido · Uma equação linear em ℂ

Resolva $(1+i)z=3-i$ .

Resolução

Como 1 + i ≠ 0, z = (3 − i)/(1 + i). Multiplicamos por 1 − i em cima e embaixo.
O numerador é 3 − 4i + i² = 2 − 4i e o denominador é 2. Portanto z = 1 − 2i. Conferindo: (1 + i)(1 − 2i) = 3 − i.

𝒮 = {1 − 2i}.

Exemplo resolvido · Uma equação com conjugado

Resolva $z+2\overline z=6-i$ .

Resolução

Faça z = a + bi. Então z + 2 vezes seu conjugado = (a + bi) + 2(a − bi) = 3a − bi.
Igualar as componentes dá 3a = 6 e −b = −1. Logo a = 2 e b = 1. Na original, (2 + i) + 2(2 − i) = 6 − i.

𝒮 = {2 + i}.

Exemplo resolvido · Condições insuficientes ou incompatíveis

Compare $z+\overline z=4$ com $z+\overline z=4+i$ .

Resolução

O primeiro membro é 2a, sempre real. Na primeira equação, a = 2 e b fica livre: toda a reta z = 2 + bi, com b real, resolve.
Na segunda, a comparação das partes imaginárias exigiria 0 = 1, impossível. Portanto não há solução, apesar de podermos igualar as partes reais.

Primeira: infinitas soluções z = 2 + bi. Segunda: ∅.

15Quadráticas reais com raízes não reais

Na aula de segundo grau, discriminante negativo significava ausência de raízes reais. Em ℂ, ele produz duas raízes não reais. Para coeficientes reais a, b, c com a ≠ 0 e Δ < 0, usamos i√(−Δ) no lugar do radical principal de Δ e mantemos os dois sinais da fórmula.

\Delta=b^2-4ac<0\implies z=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}

\begin{gathered}\Delta=b^2-4ac<0\\z=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i\end{gathered}

a, b e c reais, a ≠ 0. Há duas raízes não reais distintas e conjugadas. Como √(−Δ) é uma raiz real positiva, a expressão está definida. O conjunto das duas raízes independe do sinal de a.

Exemplo resolvido · Um par conjugado de soluções

Resolva $z^2-6z+13=0$ em ℂ.

Resolução

O discriminante é (−6)² − 4 · 1 · 13 = 36 − 52 = −16. Portanto z = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i.
Conferindo por completar quadrados: z² − 6z + 13 = (z − 3)² + 4. Para z = 3 ± 2i, o quadrado vale −4 e a soma vale zero.
As raízes 3 + 2i e 3 − 2i são conjugadas. Sua soma é 6 e seu produto é 9 + 4 = 13, de acordo com os coeficientes.

𝒮 = {3 − 2i, 3 + 2i}.

Exemplo resolvido · Distinguir raiz dupla de duas raízes conjugadas

Compare z² + 4z + 4 = 0 e z² + 4z + 8 = 0.

Resolução

A primeira é (z + 2)² = 0 e tem o único valor z = −2, contado duas vezes como raiz dupla.
A segunda equivale a (z + 2)² = −4 e tem dois valores distintos: −2 + 2i e −2 − 2i. Seu discriminante é negativo, não zero.

Primeira: raiz dupla −2. Segunda: raízes distintas −2 ± 2i.

Se Δ > 0, continuam existindo duas raízes reais distintas; se Δ = 0, uma raiz real dupla. Todo esse enunciado usa coeficientes reais. Para um discriminante complexo não real, a classificação por “positivo” ou “negativo” não se aplica.

16Raízes quadradas de um complexo pela álgebra

Para encontrar todos os w tais que w² = a + bi, escreva w = u + vi, com u e v reais, e compare componentes. Ao contrário do caso real negativo, o resultado pode ter as duas componentes não nulas. Se w é uma raiz não nula, −w é a outra; qualquer raiz t satisfaz (t − w)(t + w) = 0, então não existem outras.

\begin{gathered}(u+vi)^2=a+bi\\\Updownarrow\\\begin{cases}u^2-v^2=a\\2uv=b\end{cases}\\u^2+v^2=\sqrt{a^2+b^2}\end{gathered}

a, b, u e v reais. A última igualdade decorre de (u² + v²)² = a² + b² e u² + v² ≥ 0. Para um número não nulo, há duas raízes quadradas opostas; para zero, só zero. Não confundir a lista das raízes com a escolha de um radical principal.

Exemplo resolvido · Encontrar duas raízes por um sistema real

Encontre todos os w tais que $w^2=3+4i$ .

Resolução

A igualdade das componentes fornece u² − v² = 3 e 2uv = 4. Além disso, (u² + v²)² = 3² + 4² = 25, logo u² + v² = 5.
Somando e subtraindo as duas relações dos quadrados: 2u² = 8 e 2v² = 2. Assim u = ±2 e v = ±1.
A condição 2uv = 4 exige sinais iguais. Portanto w = 2 + i ou w = −2 − i. Os outros pareamentos produziriam 3 − 4i.
Conferindo: (2 + i)² = 4 + 4i − 1 = 3 + 4i, e o oposto tem o mesmo quadrado.

As raízes são 2 + i e −2 − i.

\begin{gathered}\rho=\sqrt{a^2+b^2}\\u=\sqrt{\frac{\rho+a}{2}},\quad v=\frac b{2u}\\w=u+vi\ \text{ou}\ w=-u-vi\end{gathered}

\begin{gathered}\rho=\sqrt{a^2+b^2}\\u=\sqrt{\frac{\rho+a}{2}}\\v=\frac b{2u}\\w=u+vi\\\text{ou}\ w=-u-vi\end{gathered}

a e b reais, com b ≠ 0; procuramos w² = a + bi. Então ρ > |a|, garantindo u > 0 e divisão por 2u válida. O sinal de v é o de b. Se b = 0, tratar separadamente: a > 0 dá ±√a, a < 0 dá ±i√(−a) e a = 0 dá zero.

A construção geral vem das mesmas contas: ponha ρ = √(a² + b²), que é um real não negativo. Então u² = (ρ + a)/2 e v² = (ρ − a)/2. Quando b ≠ 0, temos ρ > |a|, então podemos escolher u > 0 e obter v = b/(2u); o oposto dá a segunda raiz. Para b = 0, voltamos aos casos reais positivo, negativo ou zero, sem dividir por um u que poderia zerar.

Exemplo resolvido · O sinal da componente imaginária importa

Encontre todos os w tais que $w^2=-5-12i$ .

Resolução

O alvo tem a = −5 e b = −12. Substituímos em ρ = √(a² + b²): ρ = √((−5)² + (−12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Logo u² = (13 + (−5))/2 = 4 e v² = (13 − (−5))/2 = 9.
Escolhendo u = 2, a condição v = −12/(2 · 2) dá v = −3. As raízes são 2 − 3i e −2 + 3i.
O quadrado de 2 − 3i é 4 − 12i + 9i² = −5 − 12i. Os dois sinais de u e v não são escolhas independentes: seu produto precisa respeitar 2uv = −12.

As raízes são 2 − 3i e −2 + 3i.

17Quadráticas com coeficientes complexos

A dedução por completar quadrados continua válida em ℂ. Para A ≠ 0, multiplicamos Az² + Bz + C = 0 por 4A: 4A²z² + 4ABz + 4AC = 0. Subtraímos 4AC e somamos B² nos dois membros, obtendo 4A²z² + 4ABz + B² = B² − 4AC. O primeiro membro é o quadrado de 2Az + B, então (2Az + B)² = B² − 4AC. Basta encontrar uma raiz quadrada w do segundo membro e resolver 2Az + B = w ou 2Az + B = −w.

Az^2+Bz+C=0\implies z=\frac{-B\pm w}{2A},\quad w^2=B^2-4AC

\begin{gathered}\Delta=B^2-4AC\\w^2=\Delta\\z=\frac{-B+w}{2A}\\\text{ou}\ z=\frac{-B-w}{2A}\end{gathered}

A, B e C complexos, A ≠ 0. Escolha uma raiz quadrada w de Δ; o sinal ± cobre ambas as raízes da equação. Se Δ = 0, há um único valor, raiz dupla. Se Δ ≠ 0, há dois valores distintos. Não se compara Δ complexo com zero por < ou >.

Exemplo resolvido · A fórmula com discriminante não real

Resolva $z^2-(1+i)z+i=0$ .

Resolução

Temos A = 1, B = −1 − i e C = i. O discriminante é (−1 − i)² − 4i = 2i − 4i = −2i.
Uma raiz quadrada de −2i é w = 1 − i, porque (1 − i)² = −2i. A outra é −1 + i.
A fórmula dá z = (1 + i + 1 − i)/2 = 1 ou z = (1 + i − 1 + i)/2 = i. A fatoração (z − 1)(z − i) confirma a equação e os dois resultados.

𝒮 = {1, i}.

\begin{gathered}z_1+z_2=-B/A\\z_1z_2=C/A\\Az^2+Bz+C\\=A(z-z_1)(z-z_2)\end{gathered}

A, B e C complexos com A ≠ 0; z₁ e z₂ são as raízes, contando duas vezes uma raiz dupla. A expansão dos fatores justifica as relações. Para coeficientes reais, raízes não reais formam um par conjugado; com coeficientes complexos gerais, isso não é obrigatório.

Exemplo resolvido · O par conjugado depende dos coeficientes reais

Uma quadrática mônica de coeficientes reais tem a raiz 2 + 3i. Encontre a outra raiz e o polinômio.

Resolução

Conjugar uma igualdade polinomial com coeficientes reais preserva esses coeficientes e transforma cada z em seu conjugado. Portanto 2 − 3i também é raiz.
A soma das raízes é 4 e o produto é 2² + 3² = 13. Expandir os fatores dá z² − 4z + 13.
Na quadrática anterior, os coeficientes não eram todos reais e as raízes 1 e i não formavam um par conjugado. Não se pode exigir conjugação nesse caso geral.

Outra raiz: 2 − 3i. Polinômio: z² − 4z + 13.

Se o discriminante complexo é zero, os dois sinais da fórmula dão o mesmo valor, uma raiz dupla. Se não é zero, qualquer raiz quadrada dele é não nula e os dois valores são distintos. A fatoração, a soma e o produto são válidos contando a raiz dupla duas vezes.

18Parâmetros, modelos e limites das comparações

Parâmetros e condições geométricas podem ser resolvidos pelas componentes, mas a variável de cada etapa precisa estar clara. Um parâmetro real obedece à ordem dos reais; um módulo é real não negativo. Isso permite inequações reais mesmo dentro de um problema com números complexos.

Exemplo resolvido · Quociente real e domínio do parâmetro

Para t real, determine quando $z=\dfrac{t+i}{1+ti}$ é real.

Resolução

O denominador nunca é zero para t real: sua parte real é 1. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1 − ti. No numerador, (t + i)(1 − ti) = t − t²i + i − ti². Como i² = −1, isso se reduz a 2t + (1 − t²)i.
No denominador, (1 + ti)(1 − ti) = 1 − t²i² = 1 + t², que é positivo para todo t real. Assim z = 2t/(1 + t²) + [(1 − t²)/(1 + t²)]i.
Para o resultado ser real, o coeficiente imaginário deve ser zero: 1 − t² = 0. Logo t = ±1. Em t = 1, z = 1; em t = −1, z = −1.

O quociente é real exatamente para t = −1 ou t = 1.

Exemplo resolvido · Um modelo fornecido usa a mesma álgebra

Em um modelo de circuito, a corrente complexa J, em ampères, é dada por $J=\dfrac VZ$ , com V em volts e Z em ohms. Para V = 12 e Z = 3 + 3i nessas unidades, encontre J e seu módulo.

Resolução

A relação é um dado do modelo; Z ≠ 0 garante a divisão. Substituímos V = 12 e Z = 3 + 3i: J = 12/(3 + 3i). Multiplicando numerador e denominador por 3 − 3i, obtemos J = 12(3 − 3i)/[(3 + 3i)(3 − 3i)].
O denominador é 3² + 3² = 18 e o numerador é 36 − 36i. Logo J = (36 − 36i)/18 = 2 − 2i, em ampères.
Seu módulo é √(2² + (−2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2 ampères. A componente imaginária −2 não é o módulo e não representa uma magnitude negativa de corrente. Pelo modelo fornecido, volts divididos por ohms resultam em ampères.

$J=2-2i$ ampères e $|J|=2\sqrt2$ ampères.

Nesta etapa estudamos o núcleo algébrico e a leitura cartesiana. Argumento, forma trigonométrica, fórmulas de De Moivre e raízes de ordem geral dependem do desenvolvimento de ângulos e trigonometria e serão conectados a esta aula nessa trilha. A próxima aula de Álgebra será Equações polinomiais: raízes, fatores, multiplicidades e coeficientes.

19Agora é com você

Escreva os resultados na forma a + bi quando isso for solicitado. Nas divisões, confira o denominador; nas equações, declare o universo e substitua as soluções. Nas questões de módulo, lembre que o resultado da distância é real, e nas raízes quadradas confira os sinais das duas componentes.

Questão 1 de 440 conferidas

Fixação · Objetiva

Qual identidade define a unidade imaginária i?

Ai = −1.Bi² = −1.Ci² = 1.Di = 0.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

20O que levar desta aula

A unidade imaginária satisfaz i² = −1. Os reais estão contidos nos complexos: a = a + 0i. Uma equação sem solução real pode ter soluções em ℂ.
A forma a + bi usa a e b reais e é única. Re(z) = a e Im(z) = b; a parte imaginária é o coeficiente, não o termo bi.
Igualdade de complexos significa igualdade simultânea das componentes. O número é real se b = 0; nesta aula, imaginário puro exige a = 0 e b ≠ 0.
O afixo de a + bi é o ponto (a, b). Os eixos real e imaginário são perpendiculares e usam a mesma escala.
As potências de i seguem o ciclo 1, i, −1, −i conforme o resto do expoente inteiro por 4; o ciclo inclui expoentes negativos.
Para r > 0, z² = −r tem duas soluções ±i√r. O radical principal √(−r) indica apenas i√r; regras de radicais reais não se estendem automaticamente a todo ℂ.
Some e subtraia componentes correspondentes. Multiplique pela distributiva e use i² = −1; as regras algébricas de um corpo continuam válidas, incluindo produto nulo e cancelamento por fator não nulo.
O conjugado de a + bi é a − bi, reflexo no eixo real. Ele não é o oposto em geral. Conjugar duas vezes devolve z, e a conjugação preserva soma, produto e quociente definido.
O produto de z por seu conjugado é a² + b², positivo se z ≠ 0. Para dividir por um complexo não nulo, multiplique os dois termos da fração pelo conjugado do denominador.
Potências de expoente inteiro positivo permitem base zero. Expoentes zero ou negativos exigem base não nula nesta aula; não atribuímos valor a 0⁰.
O módulo |z| = √(a² + b²) é uma distância real não negativa. Produtos e quocientes têm módulos multiplicados ou divididos, com divisor não nulo.
|z − w| mede a distância entre os afixos. A condição |z − z₀| = r, para r > 0, descreve uma circunferência; ≤ descreve seu disco fechado. Equidistância no plano pode produzir uma reta inteira.
Multiplicar por i transforma (a, b) em (−b, a), um giro anti-horário de 90°. Quatro desses giros devolvem o ponto; o módulo é preservado.
Equações com conjugados podem ser resolvidas escrevendo z = a + bi e comparando as duas componentes reais. Pode haver uma, nenhuma ou infinitas soluções.
Quadráticas de coeficientes reais com Δ < 0 têm duas raízes não reais conjugadas. Com coeficientes complexos, use uma raiz quadrada de Δ, sem classificar um Δ não real por positivo ou negativo.
Para w² = a + bi, as componentes satisfazem u² − v² = a e 2uv = b. Se o alvo é não nulo, as duas raízes são opostas; se é zero, só há o valor zero.
Soma, produto e fatoração da quadrática continuam válidos em ℂ, contando multiplicidades. A exigência de raízes não reais conjugadas depende de os coeficientes serem reais.
Desigualdades entre módulos ou componentes são comparações reais. Não existe uma ordem de corpo em ℂ que permita usar i > 0 ou i < 0 como nos reais.

A próxima aula, Equações polinomiais, encerra o percurso inicial de doze aulas de Álgebra. Vamos relacionar raízes a fatores, deduzir os teoremas do resto e do fator, trabalhar Briot–Ruffini, multiplicidades, relações entre coeficientes e raízes e o enunciado do teorema fundamental da Álgebra.