Linguagem e expressões algébricas

1Por que usar letras?

Se cada caderno custa 3 reais, quanto custam dois, cinco ou dez cadernos? Poderíamos escrever uma conta para cada compra. A álgebra permite descrever todas essas situações com uma única expressão: se q é a quantidade de cadernos, o preço dos cadernos é 3q. A letra guarda o lugar de um número e permite raciocinar antes de escolher seu valor.

Para acompanhar, usamos as quatro operações com inteiros e frações. Retomaremos sinais, prioridades, potências inteiras simples e raiz quadrada antes de aplicá-los às letras. O objetivo desta primeira aula é ler, construir e transformar expressões; os métodos gerais de resolução de equações virão depois.

Uma expressão algébrica combina números e letras por uma quantidade finita de operações. Por exemplo, $3q+5$ representa o preço dos cadernos acrescido de uma taxa fixa de 5 reais. A expressão, sozinha, não é uma pergunta nem uma igualdade: ela indica como obter uma quantidade.

• Uma variável pode assumir valores de um conjunto indicado: em $3q+5$, q pode variar entre as quantidades de cadernos permitidas.
• Uma incógnita é uma quantidade que buscamos determinar numa condição: em $3q+5=20$, procuramos a quantidade que torna a igualdade verdadeira.
• Um parâmetro é tratado como fixo em uma situação, mas pode mudar de uma situação para outra. Em $C=pq+5$, p pode ser o preço fixado por caderno enquanto q varia. Alterar o preço p produz outro modelo de custo.

2Quais números podem entrar?

Antes de substituir uma letra, precisamos saber que tipo de número ela pode representar. Uma quantidade de pessoas exige inteiros não negativos; uma temperatura pode ser negativa; uma medida pode ter parte fracionária. O conjunto escolhido para procurar ou admitir valores chama-se universo de trabalho.

• Adotamos $\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}$ para os naturais e $\mathbb N^*=\{1,2,3,\ldots\}$ para os naturais positivos. Algumas fontes não incluem zero em ℕ; por isso declaramos a convenção.
• Os inteiros formam $\mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$.
• Os racionais, $\mathbb Q$, são os números que podem ser escritos como $p/q$, com $p,q\in\mathbb Z$ e $q\ne0$. Incluem inteiros, frações, decimais finitos e dízimas periódicas.
• Os reais, $\mathbb R$, reúnem os racionais e os irracionais, que não admitem aquela escrita como razão de inteiros. São exemplos de irracionais $\sqrt2$ e $\pi$. Seus decimais são infinitos e não periódicos.

Esses conjuntos se incluem: $\mathbb N\subset\mathbb Z$, $\mathbb Z\subset\mathbb Q$ e $\mathbb Q\subset\mathbb R$. O símbolo $\in$ significa “pertence”; $\subset$ indica inclusão entre conjuntos. A escrita $x\in\mathbb R$ informa que x é real. Nesta aula trabalhamos nos reais, salvo quando uma condição ou um contexto restringir os valores.

A classificação dos números ajuda a ler os enunciados; não faremos aqui a construção dos reais nem as provas de irracionalidade. Retomaremos potências, raízes e suas propriedades no núcleo correspondente de Álgebra.

3Ler e traduzir expressões

Em $3x$, o produto $3\cdot x$ fica indicado sem o ponto. Também podemos escrever $ab$ para $a\cdot b$ e $2(x+1)$ para o dobro de toda a soma. Entre números escritos em algarismos, mantemos o sinal de multiplicação: 23 é vinte e três, não o produto de 2 por 3.

A divisão pode ser escrita como $x/2$ ou $\frac x2$. A barra da fração agrupa todo o numerador e todo o denominador. A potência $x^2$ significa $x\cdot x$, e não $2x$. Em geral, $x^n$ com n inteiro positivo reúne n fatores iguais a x. A raiz quadrada $\sqrt A$ representa o número não negativo cujo quadrado é A, quando ele existe nos reais.

• O dobro de um número, mais cinco: $2x+5$. O dobro da soma do número com cinco: $2(x+5)$.
• A diferença entre x e sete: $x-7$. Sete menos x: $7-x$. A ordem importa na subtração.
• A metade da soma de x com seis: $(x+6)/2$. A soma da metade de x com seis: $x/2+6$.
• O produto de x por y: $xy$. A soma dos quadrados: $x^2+y^2$. O quadrado da soma: $(x+y)^2$.

Algarismos também podem ser letras

Se a e b são os algarismos de um número de duas casas, a vale dezenas e b vale unidades. Não usamos o produto ab para representar esse número:

4Operações, sinais e prioridades

As regras numéricas continuam valendo quando há letras. Primeiro resolvemos os agrupamentos internos; depois potências e raízes; depois multiplicações e divisões; por fim adições e subtrações. Multiplicações e divisões têm a mesma prioridade entre si e são feitas da esquerda para a direita quando não houver outro agrupamento; o mesmo vale entre adições e subtrações. Em potências encadeadas, os expoentes precisam de seu agrupamento próprio: use parênteses para deixar a estrutura explícita. A barra de fração delimita dois grupos: o de cima e o de baixo.

• Em $2+3\cdot4$, o produto vem primeiro: o resultado é 14. Em $(2+3)\cdot4$, o grupo vem primeiro: o resultado é 20.
• Em $12/3\cdot2$, a ordem da esquerda para a direita dá 8. Já $12/(3\cdot2)$ vale 2. Evite escritas lineares ambíguas com divisões sucessivas.
• Em $-3^2$, a potência é calculada antes do oposto: o resultado é −9. Em $(-3)^2$, a base inteira é −3 e o resultado é 9.
• Somar o oposto de b é o mesmo que subtrair b: $a+(-b)=a-b$. Isso vale para qualquer b real, positivo, negativo ou zero. Por exemplo, $5-(-2)=5+2=7$.

O valor absoluto, ou módulo, de um número real é sua distância até zero: por exemplo, 3 e −3 têm módulo 3. Na multiplicação, fatores não nulos de mesmo sinal produzem produto positivo; fatores de sinais contrários produzem produto negativo. Um produto com zero é zero. Na divisão por um número não nulo, vale a mesma regra de sinais. Essas regras não substituem a conta dos valores absolutos.

Os sinais podem ser justificados pela distributiva, que multiplica cada parcela de uma soma: $a(b+c)=ab+ac$. Como $b+(-b)=0$, temos $ab+a(-b)=0$, de modo que $a(-b)=-(ab)$. Trocando a ordem dos fatores, também $(-a)b=-(ab)$. Como o oposto do oposto retorna ao número inicial, $-(-a)=a$. Assim, $(-a)(-b)=-[(-a)b]=-[-(ab)]=ab$.

5Substituir e calcular valores

Calcular o valor numérico de uma expressão é escolher valores permitidos para suas letras, substituí-los em todas as ocorrências e resolver a expressão numérica que resulta. Coloque valores negativos entre parênteses e respeite as potências antes de multiplicar pelos coeficientes, isto é, pelos fatores numéricos que acompanham as letras.

Podemos nomear uma expressão por $E(x)$ ou $E(x,y)$ para indicar de quais letras ela depende. Escrever $E(-2,3)$ significa substituir x por −2 e y por 3; não é multiplicar E pelos números nem trocar as posições das variáveis.

6Condições de existência

Uma regra pode funcionar para certos valores e falhar para outros. Chamamos domínio, ou conjunto de valores admissíveis, o conjunto das entradas para as quais todas as operações da expressão fazem sentido no universo escolhido. Em várias variáveis, o domínio é formado pelos pares, trios ou demais combinações permitidas.

Divisão por zero não existe

Nas condições, o símbolo ⇔ é lido “se e somente se”: liga duas afirmações equivalentes. Já ≠ significa “diferente de”, ≥ significa “maior ou igual a” e > significa “maior que”.

Se $A/B=c$, então o produto $Bc$ deve ser A. Quando B = 0 e A ≠ 0, nenhum c funciona. Quando A = B = 0, qualquer c teria produto zero, sem determinar um quociente único. Por isso $0/0$ também não está definido: não vale 0 nem 1.

Raiz quadrada nos reais

O quadrado de um real é não negativo. Por isso, $\sqrt{x+1}$ exige $x+1\geq0$, ou seja, $x\geq-1$. O sinal da raiz indica a raiz principal: $\sqrt9=3$, enquanto a equação $z^2=9$ admite duas soluções, 3 e −3. São perguntas diferentes.

Uma classificação das expressões

Na classificação escolar, expressões racionais são construídas por somas, diferenças, produtos e quocientes de polinômios. Um polinômio é uma soma finita de números multiplicados por potências de variáveis com expoentes inteiros não negativos, como $3x^2-x+1/2$; detalharemos seus termos na próxima seção. As expressões racionais são inteiras quando não há variável em denominador, como nesse exemplo, e fracionárias quando há, como $1/(x+2)$. A presença de um coeficiente fracionário, sozinha, não torna a expressão fracionária.

Expressões com radicais sobre variáveis são usualmente chamadas irracionais nessa classificação, como $\sqrt{x+1}$. Isso descreve sua forma e não significa que todo valor numérico seja irracional: em x = 3, esse exemplo vale 2. De modo semelhante, $\sqrt2\,x$ é um polinômio com coeficiente real irracional; o radical não atua sobre x. Ao simplificar uma escrita, sua forma pode mudar, mas o domínio original deve continuar registrado.

7Termos, monômios e polinômios

Uma soma algébrica pode ser lida como uma soma de parcelas com seus sinais. Em $4x^2-3xy+7$, os termos são $4x^2$, $-3xy$ e 7. O sinal de menos faz parte do segundo termo. Dentro de um produto, seus componentes são fatores: em $-3xy$, os fatores podem ser −3, x e y.

Um monômio é um produto de um coeficiente numérico por potências de variáveis com expoentes inteiros não negativos. Na parte literal, escrevemos apenas as variáveis que aparecem, com expoentes positivos. Em $-5x^2y$, o coeficiente é −5 e a parte literal é $x^2y$. Em $x$, o coeficiente implícito é 1; em $-x$, é −1.

• Um número real constante, como 7 ou $\sqrt2$, também pode ser um monômio: não tem variável na parte literal.
• Na representação de um monômio, um expoente zero significa que a variável não aparece naquele termo. Essa convenção de escrita não atribui um valor à forma $0^0$.
• O grau de um monômio não nulo é a soma dos expoentes das variáveis. Assim, $-5x^2y$ tem grau 3; $4x^3y^2$ tem grau 5. Uma constante não nula tem grau zero.
• Adotamos a convenção de não atribuir grau ao monômio zero. Também não atribuímos grau ao polinômio nulo nesta aula.
• As expressões $1/x$ e $\sqrt x$ não são monômios, pois não satisfazem a condição sobre expoentes inteiros não negativos das variáveis.

Um polinômio é uma soma finita de monômios. Depois de juntar os termos semelhantes e eliminar termos de coeficiente zero, seu grau, se ele não for nulo, é o maior grau dos termos restantes. Por exemplo, $x^2-3x+2$ tem grau 2 e $x^2+xy^2+1$ tem grau 3. Um, dois ou três termos não nulos, após a redução, dão os nomes monômio, binômio ou trinômio.

8Juntar termos semelhantes

Três parcelas iguais a x somadas a duas parcelas iguais a x formam cinco parcelas iguais a x. Assim, $3x+2x=5x$. Não estamos somando x com outro tipo de quantidade: contamos quantas vezes a mesma parte literal aparece.

Dois monômios são semelhantes quando têm a mesma parte literal, incluindo os expoentes. $3x^2y$ e $-5yx^2$ são semelhantes, porque a ordem dos fatores não altera o produto. Já $x^2y$ e $xy^2$ não são: os expoentes associados às variáveis mudam. Também não juntamos $x^2$ e x em um único monômio.

9Distribuir e retirar parênteses

Multiplicar uma soma significa multiplicar cada parcela pelo fator externo e somar os resultados. Essa propriedade, chamada distributiva, explica a redução de termos semelhantes e muitas transformações usadas em equações.

Ler $ab+ac=a(b+c)$ faz o caminho inverso: evidencia o fator comum a. Chamamos esse processo de fatoração. Aqui começamos com fator comum; produtos notáveis e outros métodos serão desenvolvidos no núcleo de Polinômios e fatoração.

Um sinal diante do grupo

Um sinal de mais conserva as parcelas: $+(a-b)=a-b$. Um sinal de menos equivale ao fator −1 e troca o sinal de cada parcela. Só retiramos os parênteses depois de levar esse fator a todos os termos. Em grupos encaixados, podemos começar pelos mais internos.

Produtos e quocientes de monômios

O motivo é a contagem de fatores: $x^2x^3$ reúne dois fatores x e mais três fatores x, dando $x^5$. Por exemplo, $(2x^2y)(-3xy^2)=-6x^3y^3$. Multiplicamos os coeficientes e tratamos cada variável separadamente.

No quociente, cancelamos fatores iguais não nulos. Para x ≠ 0, $x^3/x^2=x$. Se os expoentes são iguais, todos os fatores x desaparecem e a razão é 1; nesse domínio escrevemos $x^0=1$. Expoentes negativos e as demais leis de potência serão retomados em Potências e radicais.

Multiplicar duas somas

Aplicamos a distributiva duas vezes. Em $(x+3)(x+2)$, podemos primeiro obter $x(x+2)+3(x+2)$. Distribuindo novamente, aparecem os quatro produtos $x^2$, $2x$, $3x$ e 6. Juntando semelhantes, o resultado é $x^2+5x+6$. A área abaixo torna visível cada parcela, mas a identidade também vale quando x é zero ou negativo.

10Simplificar preservando o domínio

Expressões equivalentes no mesmo domínio fornecem o mesmo valor para cada entrada permitida. Simplificar é encontrar uma escrita mais conveniente com essa propriedade; não é escolher um valor particular da letra nem apagar uma restrição que incomode.

Em $(x+2)/x$, não há um fator x em todo o numerador: há uma soma. Com x ≠ 0, podemos separar a fração como $1+2/x$. Não podemos “cortar” o x e concluir que o resultado é 2, 3 ou x + 2. Com x = 2, a fração vale 2, mas com x = 4 vale $3/2$.

11Expressão, identidade e equação

A expressão $2x+3$ indica uma quantidade. A sentença $2x+3=11$ afirma uma igualdade que pode ser verdadeira ou falsa conforme x. Uma sentença sem valores livres, como $2+3=5$, já tem valor lógico determinado; uma sentença aberta depende dos valores atribuídos às letras.

Uma equação é uma igualdade em que buscamos valores das incógnitas que a tornem verdadeira dentro do universo e do domínio indicados. Esses valores são suas soluções. Por exemplo, em $2x+3=11$, x = 4 funciona, pois $2\cdot4+3=11$. x = 3 não funciona, pois dá 9 no lado esquerdo.

Uma identidade é uma igualdade válida para todos os valores do domínio declarado. Assim, $2(x+3)=2x+6$ é uma identidade nos reais, justificada pela distributiva. Já $x+1=x+2$ não tem solução real: subtrair x dos dois membros exigiria 1 = 2. Uma igualdade pode ter nenhuma, uma, várias ou todas as entradas admissíveis como soluções; não basta haver uma letra para garantir uma única resposta.

12Modelos e padrões com justificativa

Montar uma expressão para uma situação é construir um modelo. Começamos definindo as letras, seus valores permitidos e suas unidades. Depois escrevemos as relações descritas e verificamos se a expressão representa a situação. Fazer algumas contas ajuda a detectar erros, mas explicar a construção é o que sustenta a regra geral.

Contar sem escolher um caso particular

Inteiros consecutivos podem ser escritos como n, $n+1$ e $n+2$, com $n\in\mathbb Z$. Pares consecutivos diferem por 2: $2n$ e $2n+2$. Ímpares consecutivos podem ser $2n+1$ e $2n+3$. A escolha do universo faz parte da representação; um x real qualquer não garante que 2x seja um inteiro par.

O primeiro quadrado usa quatro palitos. Cada novo quadrado aproveita um lado já existente e acrescenta exatamente três. Para n quadrados, há n − 1 acréscimos após o primeiro. Portanto, a quantidade de palitos é 4 + 3(n − 1), que simplifica para 3n + 1:

13Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Defina o papel das letras, confira os valores admissíveis e preserve os sinais. Nas discursivas, escreva seu raciocínio antes de comparar com a resolução comentada.

14O que levar desta aula

• As letras podem representar valores variáveis, incógnitas ou parâmetros. O contexto e o universo escolhido definem seu papel.
• Expressões indicam operações; equações apresentam condições de igualdade; identidades valem para todos os valores do domínio declarado.
• Na substituição, use parênteses para valores negativos e respeite prioridades. Base negativa e oposto de uma potência são coisas diferentes.
• Todo denominador deve ser não nulo; uma raiz quadrada real exige radicando não negativo. Todas as condições da expressão e do contexto valem juntas.
• Termos semelhantes têm a mesma parte literal com os mesmos expoentes. Some os coeficientes; em produtos de potências de mesma base, conte os fatores.
• A distributiva justifica reduções, retirada de parênteses, produtos e fator comum. Cancelamento só se aplica a fatores não nulos e preserva as restrições originais.
• Um modelo precisa de significado, domínio e unidades. Justifique um padrão pela construção; exemplos isolados não provam uma regra universal.

A próxima aula do percurso será Equações e inequações do primeiro grau: vamos usar esta linguagem para encontrar valores que satisfazem igualdades e desigualdades, justificando cada transformação. A teoria de potências, polinômios e fatoração terá desenvolvimento próprio no planejamento de Álgebra.