Equações e inequações do primeiro grau

1Igualdade, universo e solução

Uma loja informa um preço final, mas você quer descobrir o preço antes do desconto. Um orçamento estabelece um limite, e você quer saber quantas unidades cabem nele. Equações e inequações transformam essas condições em relações entre números. Nesta aula, usamos a linguagem algébrica, a distributiva e operações com sinais e frações da aula anterior.

Uma equação afirma que duas expressões têm o mesmo valor. O que está à esquerda do sinal de igualdade é o primeiro membro; à direita, o segundo. Na equação $3x+2=17$ , buscamos os valores de x que tornam a afirmação verdadeira. Ao substituir x = 5, obtemos $3\cdot5+2=17$ ; portanto 5 é solução, também chamada raiz da equação.

Chamamos U de conjunto universo e D de domínio das operações. O conjunto solução S reúne os valores de $U\cap D$ que satisfazem a condição original. O símbolo $\cap$ indica os elementos comuns aos dois conjuntos. Nesta aula, as formas lineares com denominadores numéricos não nulos estão definidas para todo real; o contexto ainda pode restringir U.

Exemplo resolvido · A resposta depende do universo

Resolva 2x = 5 primeiro nos reais e depois nos inteiros.

Resolução

Dividir os dois membros por 2 produz $x=5/2=2{,}5$ . Nos reais, esse valor é permitido e verifica a igualdade.
Nos inteiros, 2,5 não é admissível. Não se arredonda uma raiz para “fazê-la caber”: 2 e 3 não satisfazem 2x = 5.

Em $\mathbb R$ , $S=\{5/2\}$ ; em $\mathbb Z$ , $S=\varnothing$ .

2Transformações equivalentes

Duas equações são equivalentes no mesmo universo e domínio quando têm exatamente as mesmas soluções. Para resolver uma equação, procuramos substituí-la por outra mais simples, mantendo esse conjunto. Um passo pode ser desfeito quando a operação utilizada tem uma inversa válida nas condições do problema.

A balança representa uma igualdade de quantidades positivas: uma peça de valor x e duas unidades equilibram cinco unidades. Retirar duas unidades de cada prato conserva o equilíbrio e deixa x = 3.

Somar e subtrair dos dois lados

A=B\!\iff\! A+c=B+c

A, B e c são valores reais definidos. Somar o mesmo valor aos dois membros preserva a igualdade e pode ser desfeito subtraindo esse valor. Para expressões, a equivalência vale no domínio em que todas estão definidas.

A justificativa tem dois sentidos: se A = B, somar c produz valores iguais; se $A+c=B+c$ , subtrair c recupera A = B. O símbolo $\iff$ significa “se e somente se”, indicando essa equivalência. A balança ajuda a visualizar quantidades positivas; o princípio algébrico também vale para números negativos.

Multiplicar e dividir com uma condição

A=B\iff kA=kB

A e B são reais e k é um real não nulo. A multiplicação pode ser desfeita dividindo por k. Com k = 0, a transformação não é equivalente em geral.

A condição k ≠ 0 é indispensável, pois a volta exige divisão por k. Multiplicar uma igualdade verdadeira por zero continua produzindo uma igualdade verdadeira, mas isso pode acrescentar soluções e perder a equivalência. É preciso distinguir uma consequência válida de uma transformação reversível.

Exemplo resolvido · Por que não multiplicar por zero?

A equação x = 4 foi multiplicada por zero, tornando-se 0x = 0. As duas têm as mesmas soluções?

Resolução

A equação original exige x = 4. A nova igualdade é verdadeira para todo real x.
Por exemplo, x = 1 satisfaz 0x = 0, mas não satisfaz x = 4. A transformação perdeu informação.
Não podemos desfazer o passo dividindo por zero.

Não são equivalentes: a segunda admite valores que a primeira não admite.

3A forma ax + b = 0 e seus casos

Depois de distribuir e reduzir termos, uma equação do primeiro grau em uma incógnita pode ser escrita como $ax+b=0$ , com a e b reais fixos e $a\ne0$ . O número a é o coeficiente de x, e b é o termo independente. O maior expoente efetivo de x é 1.

Se partimos de $ax+b=cx+d$ , subtrair cx e b dos dois membros reúne os termos em x e os termos constantes. A mudança aparente de sinal é o resultado dessas operações; não é uma troca arbitrária ao “passar de lado”.

\begin{aligned}ax+b&=cx+d\\\iff (a-c)x&=d-b\end{aligned}

a, b, c e d são parâmetros reais fixos; x é a incógnita real. A equivalência vem de subtrair cx e b dos dois membros. Se a = c, é preciso analisar a igualdade constante, sem dividir por zero.

ax+b=0\iff x=-\frac ba

a e b são reais fixos, com a ≠ 0. Essa é uma equação do primeiro grau em x. A solução real é −b/a; em universo U mais restrito, ela só é solução se pertencer a U.

Exemplo resolvido · Incógnita nos dois membros

Resolva 5x − 7 = 2x + 11 nos reais.

Resolução

Subtraímos 2x dos dois membros: $3x-7=11$ .
Somamos 7 aos dois membros: $3x=18$ . Dividimos por 3, que é não nulo: $x=6$ .
Conferência: $5\cdot6-7=23$ e $2\cdot6+11=23$ .

$S=\{6\}$ .

Quando o coeficiente de x desaparece

Uma expressão inicialmente cheia de letras pode se reduzir a uma igualdade constante. Se o coeficiente final de x for zero, não dividimos por ele. Avaliamos se a afirmação restante é verdadeira ou falsa. Esses são casos degenerados da forma linear, e não equações de grau um após a redução.

0x+0=0\quad\Longrightarrow\quad S=U

U é o universo de valores reais admissíveis e S é o conjunto solução. Todos os valores de U satisfazem essa igualdade. Ela é um caso degenerado da forma linear, e não uma equação de grau um após a redução.

0x+b=0\quad\Longrightarrow\quad S=\varnothing

b é real e b ≠ 0. A igualdade exigiria b = 0, portanto não há solução em nenhum universo U contido nos reais. O símbolo ∅ representa o conjunto vazio.

Exemplo resolvido · Todos os reais ou nenhum

Compare 3(x + 2) − x = 2x + 6 com 5x + 2 = 5x − 1.

Resolução

A primeira reduz-se a $2x+6=2x+6$ , depois a 0 = 0. É verdadeira para todo x real.
A segunda, ao subtrair 5x, exige 2 = −1. É falsa para todo x real.
Se o universo fosse outro subconjunto U dos reais, a primeira teria S = U e a segunda continuaria sem solução.

Na primeira, $S=\mathbb R$ ; na segunda, $S=\varnothing$ .

4Parênteses, frações e decimais

Uma estratégia segura é desenvolver os agrupamentos, reduzir termos semelhantes, reunir a incógnita em um membro e isolá-la por operações reversíveis. Não há obrigação de seguir sempre a mesma ordem; escolhemos passos que simplifiquem a escrita sem modificar as soluções.

Exemplo resolvido · Distribuir antes de reunir

Resolva 4(2x − 3) − 2 = 3(x + 2) + 5.

Resolução

A distributiva dá $8x-12-2=3x+6+5$ . Reduzimos para $8x-14=3x+11$ .
Subtraímos 3x e somamos 14: $5x=25$ . Dividindo por 5, obtemos $x=5$ .
Na original, o primeiro membro vale $4(10-3)-2=26$ e o segundo vale $3(5+2)+5=26$ .

$S=\{5\}$ .

Eliminar denominadores numéricos

Quando as frações têm denominadores numéricos não nulos, podemos multiplicar toda a igualdade por um múltiplo comum não nulo deles. O mínimo múltiplo comum, MMC, costuma deixar os coeficientes menores. Qualquer múltiplo comum não nulo funciona. Cada parcela de ambos os membros precisa receber o fator.

Exemplo resolvido · Cada parcela recebe o fator

Resolva $(x-1)/3+(x+2)/2=4$ .

Resolução

Um múltiplo comum de 3 e 2 é 6. Multiplicando tudo por 6, obtemos $2(x-1)+3(x+2)=24$ .
Distribuindo: $2x-2+3x+6=24$ . Logo $5x+4=24$ , então $5x=20$ e $x=4$ .
Na original, $(4-1)/3+(4+2)/2=1+3=4$ .

$S=\{4\}$ .

Exemplo resolvido · Decimais sem arredondamento

Um produto recebe desconto de 20% e depois uma entrega de 12 reais. O total é 92 reais. Qual era o preço P antes do desconto?

Resolução

O preço após o desconto é $0{,}8P$ . A condição é $0{,}8P+12=92$ , com P > 0, em reais.
Subtraindo 12, $0{,}8P=80$ . Podemos multiplicar por 10: $8P=800$ , portanto $P=100$ .
Conferimos: 20% de 100 reais são 20 reais; 100 − 20 + 12 = 92 reais. Não foi necessário aproximar nenhum valor.

O preço original era 100 reais.

5Parâmetros e fórmulas literais

Em uma equação com parâmetro, uma letra é tratada como fixa em cada situação e outra é a incógnita. A resposta pode mudar conforme o parâmetro. Antes de dividir por uma expressão que o contém, precisamos separar os valores em que essa expressão é zero.

Exemplo resolvido · Um valor muda a existência da solução

Para cada m real, resolva mx + 2 = 4x + 6 nos reais.

Resolução

Subtraindo 4x e 2, obtemos $(m-4)x=4$ .
Se $m\ne4$ , dividimos por m − 4 e encontramos $x=4/(m-4)$ . Há uma única solução real.
Se m = 4, a equação reduz-se a 0x = 4, impossível. Esse valor deve ser analisado antes da divisão.

Para $m\ne4$ , $S=\{4/(m-4)\}$ ; para m = 4, $S=\varnothing$ .

Exemplo resolvido · O caso que vira identidade

Para cada m real, resolva (m − 2)x = m − 2.

Resolução

Se $m\ne2$ , o fator m − 2 é não nulo. Dividi-lo dos dois membros dá x = 1.
Se m = 2, os dois membros são zero. Todo real x satisfaz a igualdade.

Se $m\ne2$ , $S=\{1\}$ ; se m = 2, $S=\mathbb R$ .

Escolher qual letra isolar

y=ax+b\!\iff\! x=\frac{y-b}{a}

a, b e y são reais definidos e a ≠ 0. Ao isolar x, subtraímos b e dividimos por a. Se a = 0, a condição passa a ser y = b e deve ser analisada separadamente.

Uma fórmula literal é uma relação entre grandezas indicadas por letras. Isolar uma delas consiste em escrever uma relação equivalente em que ela apareça sozinha, respeitando os divisores e as condições do contexto. Não é necessário que todas as letras tenham valores numéricos conhecidos.

Exemplo resolvido · Recuperar a altura de um trapézio

Na fórmula $S=(B+b)h/2$ , isole h, sabendo que B > b > 0 e S > 0.

Resolução

Multiplicamos os dois membros por 2: $2S=(B+b)h$ .
Como $B+b>0$ , podemos dividir por essa soma: $h=2S/(B+b)$ .
Se as bases estão em centímetros e a área em centímetros quadrados, a altura resultante está em centímetros. As medidas precisam ser coerentes.

$h=2S/(B+b)$ .

6Traduzir problemas em equações

Um enunciado fornece relações, não necessariamente a equação pronta. Defina a incógnita e seu universo; escreva as outras quantidades em função dela; traduza a condição; resolva; depois volte à pergunta. Uma raiz algébrica pode ser incompatível com uma contagem ou medida, e a quantidade pedida pode não ser a própria incógnita escolhida.

Exemplo resolvido · Inteiros consecutivos

A soma de três inteiros consecutivos é 84. Quais são eles?

Resolução

Se x é o primeiro inteiro, os próximos são x + 1 e x + 2. A equação é $x+(x+1)+(x+2)=84$ .
Reduzimos: $3x+3=84$ , depois $3x=81$ e x = 27.
Os números são 27, 28 e 29, que são consecutivos e somam 84.

Os inteiros são 27, 28 e 29.

Exemplo resolvido · Idade no passado e no futuro

O dobro da idade que Lia terá daqui a 5 anos é igual ao triplo da idade que ela tinha há 3 anos. Qual é sua idade atual, em anos?

Resolução

Se x é a idade atual, as outras são x + 5 e x − 3. Exigimos x ≥ 3 no modelo. A condição é $2(x+5)=3(x-3)$ .
Distribuindo, $2x+10=3x-9$ , portanto x = 19.
Há três anos Lia tinha 16 anos, e daqui a cinco terá 24. O triplo de 16 e o dobro de 24 são ambos 48.

Lia tem 19 anos no modelo apresentado.

Exemplo resolvido · A fração incide sobre qual total?

Uma pessoa usa um terço do salário no aluguel e um quarto do salário nas demais despesas. Sobram 500 reais. Qual é o salário?

Resolução

Se s é o salário positivo, ambas as frações incidem sobre s. Escrevemos $s-s/3-s/4=500$ .
Multiplicando cada parcela por 12: $12s-4s-3s=6000$ . Logo $5s=6000$ e s = 1200.
Um terço de 1200 é 400, e um quarto é 300. As despesas somam 700 e deixam 500. Se a segunda fração incidisse sobre o restante, o modelo seria outro.

O salário é 1 200 reais.

7Desigualdades e ordem

Uma igualdade seleciona valores que produzem exatamente um resultado. Uma desigualdade pode descrever um limite ou uma faixa inteira: gastar no máximo 50 reais permite valores menores e também exatamente 50. Uma inequação é uma condição escrita com desigualdade e incógnita; sua solução reúne os valores admissíveis que a tornam verdadeira.

u < v significa que u é menor que v; u > v significa que u é maior que v. São relações estritas, que excluem a igualdade.
u ≤ v significa menor ou igual; u ≥ v significa maior ou igual. Incluem a possibilidade de igualdade.
“No máximo” e “não ultrapassa” correspondem a ≤; “pelo menos” e “no mínimo”, a ≥. “Menor que” e “maior que” indicam relações estritas.

Nos reais, u < v equivale a dizer que $v-u>0$ . Na reta, u fica à esquerda de v. Essa interpretação explica as regras de transformação da ordem.

u<v\iff u+t<v+t

u, v e t são reais. Somar ou subtrair o mesmo valor mantém a ordem. A propriedade também vale com ≤, > e ≥, preservando o tipo da relação.

Somar 3 desloca −2 para 1 e 1 para 4. As duas posições avançam igualmente na reta e preservam sua ordem.

A diferença entre os valores deslocados é $(v+t)-(u+t)=v-u$ , que não mudou. Por isso, somar ou subtrair o mesmo número dos dois membros preserva a desigualdade. O raciocínio vale tanto para relações estritas quanto para relações com igualdade.

8Multiplicar e dividir desigualdades

O efeito depende do sinal do multiplicador. Um fator positivo preserva a ordem; um fator negativo a inverte. Dividir por um número não nulo tem o mesmo efeito de multiplicar por seu inverso, cujo sinal é o mesmo do divisor.

u<v\iff ku<kv

u e v são reais e k > 0. A multiplicação e a divisão por um mesmo número positivo preservam o sentido da desigualdade. O mesmo vale para as relações não estritas.

u<v\iff ku>kv

u e v são reais e k < 0. Multiplicar ou dividir pelo mesmo número negativo inverte o sentido da desigualdade. Uma relação ≤ passa a ≥ e vice-versa.

Antes, −1 < 2. Ao multiplicar por −2, obtemos 2 e −4: a primeira imagem fica à direita da segunda. Por isso, 2 > −4.

Se u < v, a diferença v − u é positiva. Com k > 0, o produto $k(v-u)$ continua positivo, logo kv > ku. Com k < 0, o produto fica negativo, portanto kv < ku. Essa é a razão da inversão, não uma convenção para decorar. Para relações com igualdade, valores iguais continuam iguais em qualquer multiplicação.

Exemplo resolvido · Divisor negativo

Resolva −4x + 3 ≥ 15 nos reais.

Resolução

Subtraímos 3: $-4x\geq12$ .
Dividimos por −4 e invertemos ≥ para ≤: $x\leq-3$ .
No limite x = −3, o primeiro membro vale 15 e a igualdade é permitida. Em x = −4, ele vale 19 e satisfaz a condição; em x = 0, vale 3 e não satisfaz.

$S=\{x\in\mathbb R:x\leq-3\}$ .

9Intervalos e representação na reta

Quando há uma faixa inteira de soluções reais, listar números não dá conta de todos os valores. Usamos condições ou intervalos. Um círculo preenchido inclui o extremo; um círculo vazio o exclui. O traço destacado representa todos os pontos entre ou além dos limites, conforme a condição.

x\in(a,b)\iff a<x<b

a e b são reais, a < b. Os dois extremos são excluídos; representam-se por círculos vazios na reta. A notação ]a,b[ é uma alternativa usada por algumas fontes.

x\in[a,b]\iff a\leq x\leq b

a e b são reais, a ≤ b. Os extremos são incluídos, com círculos preenchidos na reta. Quando a = b, o intervalo contém um único ponto: {a}.

\begin{aligned}x\in[a,b)&\iff a\leq x<b\\x\in(a,b]&\iff a<x\leq b\end{aligned}

a e b são reais, com a < b. Colchete inclui o extremo e parêntese o exclui. As notações [a,b[ e ]a,b] são alternativas equivalentes.

Os quatro intervalos têm extremos −1 e 3. Colchetes correspondem a pontos preenchidos, e parênteses, a pontos vazios. A faixa numérica é a mesma, mas a inclusão de cada extremo muda.

Adotaremos parênteses para extremos abertos e colchetes para fechados. Algumas fontes usam colchetes voltados para fora no lugar dos parênteses; a interpretação é a mesma. Quando os extremos coincidem em um intervalo fechado, resta um único ponto. Se as condições se contradizem, a solução é vazia.

\begin{aligned}x>a&\iff x\in(a,+\infty)\\x\leq a&\iff x\in(-\infty,a]\end{aligned}

a é real. Os símbolos −∞ e +∞ indicam ausência de limite finito, não números reais; por isso sempre recebem parênteses. Para ≥, incluir a; para <, excluir a.

Na primeira reta, x ≤ −1 inclui −1 e todos os pontos à esquerda. Na segunda, x > 2 exclui 2 e inclui todos os pontos à direita.

Escrevemos $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$ . Os símbolos de infinito expressam que os valores continuam sem um extremo real final; não são números que possam ser incluídos. Por isso, uma extremidade com infinito sempre fica aberta.

Exemplo resolvido · Ler e testar os extremos

Descreva $S=(-2,5]$ e diga se −2, 0 e 5 pertencem a S.

Resolução

O intervalo reúne os reais maiores que −2 e menores ou iguais a 5.
−2 fica de fora, pois o extremo esquerdo é aberto. O zero está entre os limites e pertence ao intervalo. O 5 também pertence, pois o extremo direito é fechado.

$S=\{x\in\mathbb R:-2<x\leq5\}$ .

10Resolver inequações lineares

Uma inequação linear em x pode ser reduzida a uma comparação de $ax+b$ com zero. Quando a ≠ 0, isolamos x e observamos o sinal de a antes de dividir. Se a é negativo, a relação se inverte; se é positivo, se mantém.

ax+b<0\iff x<-\frac ba

a e b são reais fixos, com a > 0. Subtrair b e dividir por a preserva a relação <. Trocando < por ≤ na expressão original, usa-se ≤ na resposta.

ax+b<0\iff x>-\frac ba

a e b são reais fixos, com a < 0. A divisão por a inverte < para >. Trocando < por ≤ na expressão original, a resposta usa ≥. Quando a = 0, analisar a afirmação constante.

Exemplo resolvido · Parênteses e limite incluído

Resolva 3(2 − x) ≤ 2x − 9.

Resolução

A distributiva produz $6-3x\leq2x-9$ . Somamos 3x e 9 nos dois membros: $15\leq5x$ .
Dividir por 5 preserva a ordem: $3\leq x$ , isto é, $x\geq3$ .
Escrever 3 ≤ x ou x ≥ 3 expressa a mesma comparação. O ponto 3 é incluído.

$S=[3,+\infty)$ .

Exemplo resolvido · Frações com denominadores constantes

Resolva $(2x-1)/3-(x+2)/2>1$ .

Resolução

Multiplicamos todos os termos por 6, que é positivo. A relação > se mantém: $2(2x-1)-3(x+2)>6$ .
Distribuindo: $4x-2-3x-6>6$ , portanto $x-8>6$ e $x>14$ .
Em x = 14, os membros originais são iguais a 1, o que não satisfaz a relação estrita. Esse ponto precisa ficar de fora.

$S=(14,+\infty)$ .

Quando a incógnita desaparece

Se a = 0 após a redução, a condição é uma afirmação entre números. Se ela for verdadeira, todo valor admissível resolve; se for falsa, nenhum resolve. Isso também exige distinguir < de ≤: 0 < 0 é falso, mas 0 ≤ 0 é verdadeiro.

Exemplo resolvido · Duas afirmações constantes

Compare 2(x + 1) ≤ 2x + 3 com 3x + 5 < 3(x + 1).

Resolução

A primeira reduz-se a 2 ≤ 3, verdadeira para todo real x.
A segunda reduz-se a 5 < 3, falsa para todo real x.

Na primeira, $S=\mathbb R$ ; na segunda, $S=\varnothing$ .

11Condições com “e” ou “ou”

Um problema pode exigir duas condições ao mesmo tempo. Resolver cada uma separadamente é apenas parte do trabalho: a resposta final deve conter os valores que atendem a ambas. Esse é um sistema de inequações na mesma incógnita; sistemas de equações com duas ou mais incógnitas serão a próxima aula.

S=S_1\cap S_2

S₁ e S₂ são conjuntos de valores admissíveis para duas condições ligadas por “e”. A solução comum deve satisfazer ambas. A interseção pode ser vazia ou conter um único valor.

A condição x > 2 destaca a faixa à direita de 2. A condição x ≤ 5 destaca a faixa à esquerda de 5, incluindo 5. A interseção é a parte comum: maior que 2 e menor ou igual a 5.

Exemplo resolvido · Dois limites simultâneos

Resolva 2x − 1 > 3 e 3x + 2 ≤ 17.

Resolução

A primeira condição dá $2x>4$ , portanto $x>2$ .
A segunda dá $3x\leq15$ , portanto $x\leq5$ .
A resposta comum inclui os valores entre os dois limites: 2 é excluído e 5 é incluído.

$S=(2,5]$ .

Uma cadeia como $-2<3x+1\leq10$ já expressa duas exigências simultâneas. Subtrair 1 de todas as partes dá $-3<3x\leq9$ ; dividir as três partes por 3, positivo, dá $-1<x\leq3$ . Se preferir, separe as duas inequações, resolva e faça a interseção.

Condições simultâneas podem não ter parte comum: x ≤ 1 e x > 4 dão $S=\varnothing$ . Também podem deixar um único ponto: x ≤ 2 e x ≥ 2 dão $S=\{2\}$ . Não é obrigatório que a resposta seja uma faixa de comprimento positivo.

Quando basta uma das condições

S=S_1\cup S_2

S₁ e S₂ são conjuntos de soluções de condições ligadas por “ou” inclusivo. Basta satisfazer pelo menos uma; quem satisfaz ambas também pertence à união.

Para x ≤ −1 ou x > 3, basta estar em uma das duas faixas destacadas. O intervalo entre −1 e 3 não é acrescentado automaticamente.

Se as condições são x ≤ −1 ou x > 3, a união é $(-\infty,-1]$ com $(3,+\infty)$ . Podemos escrever $S=(-\infty,-1]\cup(3,+\infty)$ . O “ou” é inclusivo: quem satisfaz as duas condições também conta, quando houver sobreposição.

12Parâmetros em inequações

Quando um parâmetro multiplica a incógnita, não conhecemos automaticamente o sinal do divisor. Dividimos o estudo em casos: positivo, negativo e zero. A mesma escrita pode representar faixas orientadas para lados diferentes ou uma condição constante.

Exemplo resolvido · O sinal do parâmetro decide a resposta

Para cada real m, resolva mx ≤ 6 nos reais.

Resolução

Se m > 0, dividir por m preserva a relação: $x\leq6/m$ .
Se m < 0, a divisão inverte a relação: $x\geq6/m$ .
Se m = 0, avaliamos 0 ≤ 6, que é verdadeiro. Todo real x resolve nesse caso.
Por exemplo, para m = −2, a resposta é x ≥ −3. Não podemos escrever x ≤ 6/m sem conhecer o sinal de m.

Se m > 0: $S=(-\infty,6/m]$ ; se m < 0: $S=[6/m,+\infty)$ ; se m = 0: $S=\mathbb R$ .

O mesmo raciocínio resolve mx ≤ c, com m e c fixos. No caso m = 0, a resposta depende de a afirmação 0 ≤ c ser verdadeira. Nenhuma expressão c/m deve ser calculada nesse caso.

S=\begin{cases}(-\infty,c/m],&m>0\\{[c/m,+\infty)},&m<0\end{cases}

m e c são parâmetros reais fixos; a incógnita x tem universo ℝ. A expressão acima trata de m ≠ 0. Se m = 0, verifica-se 0 ≤ c: S = ℝ quando c ≥ 0 e S = ∅ quando c < 0. Em outro universo U, intersectar a resposta com U.

13Problemas com limites e restrições

Após resolver uma inequação nos reais, volte ao universo do contexto. Se x conta objetos, a resposta final precisa ser inteira; se mede tempo ou comprimento, pode ser real, mas deve respeitar positividade e unidades. “No máximo” inclui o orçamento exato; “menor que” o exclui.

Exemplo resolvido · Uma quantidade precisa ser inteira

Um contrato cobra uma taxa fixa de 18 reais, mesmo sem uso, mais 7 reais por unidade utilizada. Há 58 reais disponíveis. Qual é o maior número inteiro de unidades que cabe no orçamento?

Resolução

Com q inteiro não negativo, exigimos $18+7q\leq58$ . Subtraindo 18, $7q\leq40$ ; dividindo por 7, $q\leq40/7$ .
O limite real é aproximadamente 5,714. Os inteiros permitidos são 0, 1, 2, 3, 4 e 5; o máximo é 5.
Conferimos: cinco unidades custam 53 reais; seis custariam 60 reais e ultrapassariam o limite. Arredondar para o inteiro mais próximo daria uma quantidade inviável.

O máximo é 5 unidades.

Exemplo resolvido · Comparar dois planos

O plano A custa 15 + 2t reais e o plano B custa 5 + 3t reais, para t ≥ 0 horas de uso. Quando A custa no máximo o mesmo que B?

Resolução

Escrevemos $15+2t\leq5+3t$ . Subtraindo 2t e 5, obtemos $10\leq t$ , portanto $t\geq10$ .
Em t = 10, os dois custam 35 reais. Para t > 10, A é estritamente mais barato. Para 0 ≤ t < 10, B é mais barato.
A condição “no máximo o mesmo” inclui o empate; pedir “mais barato” exigiria uma desigualdade estrita.

$t\in[10,+\infty)$ , em horas.

O retângulo tem lados x − 1 e 7 − x. As duas medidas devem ser positivas para formar um retângulo não degenerado.

Exemplo resolvido · Condições de uma figura

Para quais reais x os lados x − 1 e 7 − x, em centímetros, formam um retângulo não degenerado?

Resolução

A primeira medida exige $x-1>0$ , isto é, x > 1.
A segunda exige $7-x>0$ . Subtraindo 7 e dividindo por −1, obtemos x < 7.
Precisamos das duas condições ao mesmo tempo. Os extremos 1 e 7 produziriam um lado zero e ficam excluídos.

$S=(1,7)$ .

14Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Registre o universo, justifique divisões e confira os extremos dos intervalos. Nas discursivas, escreva sua solução antes de abrir a resolução comentada. As questões são autorais e não são atribuídas a uma banca de concurso.

Questão 1 de 400 conferidas

Fixação · Objetiva

Qual valor satisfaz 3x − 4 = 11?

Ax = 3.Bx = 5.Cx = 7.Dx = −5.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

15O que levar desta aula

Resolver é descrever todos os valores admissíveis que satisfazem a condição original. Universo e domínio fazem parte da resposta.
Equivalência exige preservar exatamente as soluções. Somar o mesmo valor e multiplicar por constante não nula são passos reversíveis; multiplicar por zero perde informação.
Na forma ax + b = 0, a ≠ 0 dá x = −b/a. Se o coeficiente final de x for zero, avalie a afirmação constante: ela pode valer para todo o universo ou para nenhum valor.
A mudança de sinal aparente ao reunir termos vem de operações nos dois membros. Parênteses, frações e decimais obedecem às mesmas propriedades.
Em desigualdades, multiplicar ou dividir por número negativo inverte a relação. Somar um negativo não provoca essa inversão.
Intervalos devem registrar extremos incluídos ou excluídos. Infinito não é um extremo real incluído. Respostas também podem ser o conjunto vazio ou um único ponto.
“E” pede interseção; “ou” inclusivo pede união. Uma cadeia de desigualdades representa condições simultâneas.
Parâmetros exigem casos quando podem zerar ou mudar o sinal de um divisor. Em problemas, verifique contagem inteira, medidas positivas, unidades e a pergunta original.

A próxima aula de Álgebra será Sistemas do primeiro grau: duas ou mais equações que precisam ser satisfeitas simultaneamente. Frações com denominador variável e inequações de produtos e quocientes terão seus próprios desenvolvimentos posteriores no percurso.

1Igualdade, universo e solução

Exemplo resolvido · A resposta depende do universo

Resolução

2Transformações equivalentes

Somar e subtrair dos dois lados

Multiplicar e dividir com uma condição

Exemplo resolvido · Por que não multiplicar por zero?

Resolução

3A forma ax + b = 0 e seus casos

Exemplo resolvido · Incógnita nos dois membros

Resolução

Quando o coeficiente de x desaparece

Exemplo resolvido · Todos os reais ou nenhum

Resolução

4Parênteses, frações e decimais

Exemplo resolvido · Distribuir antes de reunir

Resolução

Eliminar denominadores numéricos

Exemplo resolvido · Cada parcela recebe o fator

Resolução

Exemplo resolvido · Decimais sem arredondamento

Resolução

5Parâmetros e fórmulas literais

Exemplo resolvido · Um valor muda a existência da solução

Resolução

Exemplo resolvido · O caso que vira identidade

Resolução

Escolher qual letra isolar

Exemplo resolvido · Recuperar a altura de um trapézio

Resolução

6Traduzir problemas em equações

Exemplo resolvido · Inteiros consecutivos

Resolução

Exemplo resolvido · Idade no passado e no futuro

Resolução

Exemplo resolvido · A fração incide sobre qual total?

Resolução

7Desigualdades e ordem

8Multiplicar e dividir desigualdades

Exemplo resolvido · Divisor negativo

Resolução

9Intervalos e representação na reta

Exemplo resolvido · Ler e testar os extremos

Resolução

10Resolver inequações lineares

Exemplo resolvido · Parênteses e limite incluído

Resolução

Exemplo resolvido · Frações com denominadores constantes

Resolução

Quando a incógnita desaparece

Exemplo resolvido · Duas afirmações constantes

Resolução

11Condições com “e” ou “ou”

Exemplo resolvido · Dois limites simultâneos

Resolução

Quando basta uma das condições

12Parâmetros em inequações

Exemplo resolvido · O sinal do parâmetro decide a resposta

Resolução

13Problemas com limites e restrições

Exemplo resolvido · Uma quantidade precisa ser inteira

Resolução

Exemplo resolvido · Comparar dois planos

Resolução

Exemplo resolvido · Condições de uma figura

Resolução

14Agora é com você

Qual valor satisfaz 3x − 4 = 11?

Qual é o conjunto solução de 2x = 5 quando o universo é o conjunto dos inteiros?

Qual transformação é equivalente a 5x + 4 = 19?

Por que multiplicar a equação x = 7 por zero não é uma transformação equivalente?

Resolva 7x − 5 = 30 nos reais.

Qual é a solução de −3x + 7 = 19?

Resolva 5x − 8 = 2x + 13.

Qual é a solução de 2(3x − 4) = 4x + 10?

Resolva 4x − (2x + 3) = 9.

Resolva (x−2)/3+(x+1)/2=4(x-2)/3+(x+1)/2=4(x−2)/3+(x+1)/2=4.

Qual é a solução de 0,3x + 1,2 = 3,6?

Nos reais, qual é o conjunto solução de 4(x − 1) + 2 = 4x − 2?

Qual é o conjunto solução real de 3x + 1 = 3(x + 2)?

Resolva $(x-2)/3+(x+1)/2=4$ .

Resolva $(x-1)/2\leq(x+2)/3$ .

Uma pessoa resolveu $3(x-2)=x+4$ escrevendo $3x-2=x+4$ e concluiu x = 3. Identifique o erro, resolva corretamente e confira a resposta na equação original.