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Equações com radicais e módulo

Resolva equações e inequações com raízes e valores absolutos. Entenda o domínio, confira candidatos e use distâncias, casos e parâmetros para justificar cada solução.

1Antes de calcular: onde a expressão existe

Uma equação com radicais pode esconder a incógnita dentro de uma raiz. Antes de tentar retirá-la, precisamos saber quais entradas fazem a escrita original existir. Nesta aula procuramos soluções reais; a restrição imposta pela expressão é seu domínio. Depois, dentre essas entradas, selecionamos as que tornam a igualdade ou desigualdade verdadeira.

O radicando é a expressão dentro da raiz; o índice diz qual potência estamos desfazendo. Uma raiz de índice par representa o resultado principal, sempre não negativo. Por exemplo, √9 = 3, embora a equação y² = 9 tenha as soluções 3 e −3. Raízes de índice ímpar aceitam números negativos: a raiz cúbica de −8 é −2.

A2n=B  ⟺  {A=B2nB≥0\sqrt[2n]{A}=B\iff\begin{cases}A=B^{2n}\\B\ge0\end{cases}
A2n=B⇕{A=B2nB≥0\begin{gathered}\sqrt[2n]{A}=B\\\Updownarrow\\\begin{cases}A=B^{2n}\\B\ge0\end{cases}\end{gathered}

n é inteiro positivo, e A e B são expressões reais definidas no domínio considerado. A raiz par existe nos reais somente para A ≥ 0 e seu valor é não negativo. Na equivalência, A = B²ⁿ já garante A ≥ 0. Restrições de outras expressões originais continuam válidas.

A2n+1=B  ⟺  A=B2n+1\sqrt[2n+1]{A}=B\iff A=B^{2n+1}
A2n+1=B⇕A=B2n+1\begin{gathered}\sqrt[2n+1]{A}=B\\\Updownarrow\\A=B^{2n+1}\end{gathered}

n é inteiro positivo; A e B são reais definidos. Raízes de índice ímpar aceitam radicando e resultado negativos. A potência ímpar é injetiva nos reais: números diferentes não produzem a mesma potência ímpar, permitindo a equivalência sem exigir B ≥ 0.

1A2n existe em R  ⟺  A>0\frac1{\sqrt[2n]{A}}\ \text{existe em }\mathbb R\iff A>0
1A2n existe em R⇕A>0\begin{gathered}\frac1{\sqrt[2n]{A}}\text{ existe em }\mathbb R\\\Updownarrow\\A>0\end{gathered}

n é inteiro positivo e A é real definido. A ≥ 0 faz a raiz par existir; A ≠ 0 evita denominador zero. As duas condições juntas exigem A > 0. Outras restrições da escrita original também devem ser aplicadas.

Exemplo resolvido · Uma raiz e uma divisão na mesma escrita

Determine o domínio real de x−1x−4\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-4}.

Resolução

  1. A raiz quadrada exige x − 1 ≥ 0, isto é, x ≥ 1. O denominador exige x − 4 ≠ 0, ou seja, x ≠ 4.
  2. As condições são simultâneas. O valor 1 é permitido, porque o numerador pode ser zero; o valor 4 é proibido, porque o denominador não pode ser zero.

D = [1, 4) ∪ (4, +∞).

Exemplo resolvido · O denominador torna a desigualdade estrita

Compare os domínios de 15−x\dfrac1{\sqrt{5-x}} e x−73\sqrt[3]{x-7}.

Resolução

  1. Na primeira expressão, precisamos de 5 − x ≥ 0 para a raiz existir e de 5 − x ≠ 0 para ela não zerar o denominador. Assim, 5 − x > 0 e x < 5.
  2. Na segunda, o índice 3 é ímpar: x − 7 pode ser positivo, nulo ou negativo. Não há denominador nem outra restrição, então o domínio é ℝ.

Primeira expressão: (−∞, 5). Segunda expressão: ℝ.

2Elevar ao quadrado: soluções ou candidatos?

Transformações equivalentes preservam exatamente as soluções nos dois sentidos. Uma implicação conserva apenas um sentido: toda solução antiga resolve a nova equação, mas a nova pode aceitar valores extras. Isso acontece porque o quadrado apaga o sinal: 2 e −2 têm o mesmo quadrado.

u2=v2  ⟺  (u=v ou u=−v)u^2=v^2\iff(u=v\ \text{ou}\ u=-v)
u2=v2⇕u=v ou u=−v\begin{gathered}u^2=v^2\\\Updownarrow\\u=v\ \text{ou}\ u=-v\end{gathered}

u e v reais. A identidade u² − v² = (u − v)(u + v) justifica os dois casos. De u = v segue u² = v², mas a volta isolada pode aceitar o caso de sinais opostos. Se ambos os membros forem não negativos, u² = v² equivale a u = v.

Exemplo resolvido · Uma operação que aumenta o conjunto de candidatos

Compare x = 2 com x² = 4.

Resolução

  1. Se x = 2, então x² = 4. Mas x² = 4 também é verdadeira para x = −2, que não resolve x = 2.
  2. Portanto, escrever x = 2 ⇔ x² = 4 seria falso sem a condição x ≥ 0. Com os dois membros não negativos, o quadrado preserva a igualdade e permite voltar.

Elevar ao quadrado sem controlar os sinais pode introduzir uma solução estranha.

A=B  ⟺  {A=B2B≥0\sqrt A=B\iff\begin{cases}A=B^2\\B\ge0\end{cases}

A e B reais definidos no domínio original. A condição B ≥ 0 é essencial porque √A é a raiz principal. Se apenas elevar ao quadrado sem registrar o sinal, os resultados serão candidatos que precisam ser conferidos na original. A = B² implica A ≥ 0, mas não remove outras exclusões.

Exemplo resolvido · A condição do segundo membro filtra o resultado

Resolva x+4=x−2\sqrt{x+4}=x-2.

Resolução

  1. O domínio da raiz é x ≥ −4. Como ela nunca é negativa, a igualdade também exige x − 2 ≥ 0, portanto x ≥ 2.
  2. Elevando ao quadrado: x + 4 = (x − 2)² = x² − 4x + 4. Subtraímos x + 4 dos dois membros: 0 = x² − 4x + 4 − x − 4 = x² − 5x.
  3. Colocamos o fator comum x em evidência: x(x − 5) = 0. Pelo produto nulo, x = 0 ou x − 5 = 0, dando os candidatos 0 e 5.
  4. O candidato 0 viola x ≥ 2: na original, √4 = 2, mas 0 − 2 = −2. O valor 5 produz √9 = 3 e 5 − 2 = 3, e é aceito.

𝒮 = {5}.

√(x + 4) = x − 2x = 0√4 = 20 − 2 = −2descartadox = 5√9 = 35 − 2 = 3solução
Os dois candidatos resolvem a equação elevada ao quadrado. Somente x = 5 torna os dois membros originais iguais.

Mesmo quando todas as passagens foram feitas com equivalência, substituir o resultado na original ajuda a encontrar erros de cálculo. Quando alguma passagem não foi reversível, essa conferência é indispensável. Potências ímpares são diferentes: preservam o sinal e são injetivas nos reais, isto é, entradas distintas têm saídas distintas.

3Uma raiz isolada e a conferência final

Para resolver uma equação com uma raiz quadrada, primeiro isole essa raiz em um membro. Registre o domínio e o sinal necessário do outro membro. Só então eleve ao quadrado, resolva a equação resultante e confira os candidatos.

Exemplo resolvido · Uma raiz e uma incógnita fora dela

Resolva 3x+4=x\sqrt{3x+4}=x.

Resolução

  1. O radicando exige x ≥ −4/3. A igualdade exige ainda x ≥ 0, porque x é o resultado da raiz principal.
  2. Temos 3x + 4 = x², ou x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) = 0. Os candidatos são 4 e −1.
  3. O valor −1 dá √1 = 1 no primeiro membro e −1 no segundo, então é descartado. Em x = 4, ambos valem 4.

𝒮 = {4}.

Exemplo resolvido · Existir no domínio não basta

Resolva 2x+9=x+3\sqrt{2x+9}=x+3.

Resolução

  1. O domínio é x ≥ −9/2, mas a igualdade exige x + 3 ≥ 0, portanto x ≥ −3.
  2. Elevando ao quadrado: 2x + 9 = x² + 6x + 9. Assim x² + 4x = x(x + 4) = 0, com candidatos 0 e −4.
  3. Embora −4 pertença ao domínio da raiz, ele dá 1 = −1 na original e não serve. O valor 0 dá 3 = 3.

𝒮 = {0}.

Exemplo resolvido · Reconhecer a impossibilidade antes das contas

Resolva 4x+1+1=0\sqrt{4x+1}+1=0.

Resolução

  1. No domínio x ≥ −1/4, a raiz é não negativa. Logo o primeiro membro é pelo menos 1 e não pode valer zero.
  2. Isolar a raiz daria √(4x + 1) = −1, deixando a incompatibilidade explícita. Não há motivo para elevar ao quadrado.

𝒮 = ∅.

4Duas raízes: isolar e preservar o termo misto

Quando aparecem duas raízes, elevar tudo ao quadrado não faz cada raiz simplesmente desaparecer. O quadrado de uma soma tem um termo misto. Em geral isolamos uma raiz, elevamos ao quadrado e isolamos o radical que restou; cada nova potência pede um novo exame dos sinais.

(A+B)2=A+B+2AB(\sqrt A+\sqrt B)^2=A+B+2\sqrt{AB}
(A+B)2=A+B+2AB\begin{gathered}(\sqrt A+\sqrt B)^2\\=A+B+2\sqrt{AB}\end{gathered}

A e B reais não negativos. O termo misto 2√A√B não pode ser omitido. A regra √A√B = √(AB) usa as duas condições A ≥ 0 e B ≥ 0; AB ≥ 0 isoladamente não faz duas raízes reais negativas existirem.

Exemplo resolvido · Diferença de duas raízes

Resolva x+5−x−1=2\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}=2.

Resolução

  1. As duas raízes exigem x ≥ 1. Isolamos √(x + 5) = 2 + √(x − 1); os dois membros são não negativos nesse domínio.
  2. O quadrado dá x + 5 = 4 + 4√(x − 1) + x − 1. Subtraindo x + 3, obtemos 2 = 4√(x − 1).
  3. Logo √(x − 1) = 1/2 e x − 1 = 1/4, de onde x = 5/4. Na original, as raízes são 5/2 e 1/2: a diferença é 2.

S={5/4}\mathcal S=\{5/4\}.

Exemplo resolvido · Soma de duas raízes

Resolva x+4+x=4\sqrt{x+4}+\sqrt x=4.

Resolução

  1. O domínio é x ≥ 0. Isolamos √(x + 4) = 4 − √x. O novo segundo membro precisa ser não negativo, exigindo x ≤ 16.
  2. Elevando ao quadrado: x + 4 = 16 − 8√x + x. Assim 8√x = 12 e √x = 3/2.
  3. Voltamos a x = 9/4, que pertence a [0, 16]. Na original, √(25/4) + √(9/4) = 5/2 + 3/2 = 4.

S={9/4}\mathcal S=\{9/4\}.

5Outros índices e a substituição da raiz

O índice determina a operação inversa e as condições de sinal. Para um índice par, o resultado principal precisa ser não negativo. Para um índice ímpar, elevar os dois membros àquela potência é reversível nos reais, mantendo eventuais restrições de denominadores e outras expressões.

Exemplo resolvido · Resultado negativo numa raiz ímpar

Resolva 2x−13=−3\sqrt[3]{2x-1}=-3.

Resolução

  1. A raiz cúbica existe para todo real x, e o resultado −3 é permitido. Elevamos ao cubo: 2x − 1 = −27.
  2. Obtemos 2x = −26 e x = −13. A conferência dá a raiz cúbica de −27, que é −3.

𝒮 = {−13}.

Exemplo resolvido · Raiz quarta principal

Resolva 3x+74=2\sqrt[4]{3x+7}=2.

Resolução

  1. O domínio é x ≥ −7/3. Como 2 é não negativo, elevar à quarta potência preserva a igualdade: 3x + 7 = 16.
  2. Assim x = 3. A raiz quarta principal de 16 é 2, sem acrescentar −2 como resultado dessa raiz.

𝒮 = {3}.

t=x  ⟺  {x=t2t≥0t=\sqrt x\iff\begin{cases}x=t^2\\t\ge0\end{cases}

x real não negativo. Cada candidato da equação em t precisa respeitar t ≥ 0 antes de voltar a x. No retorno, x = t²; a condição t ≥ 0 impede aceitar um valor negativo como saída da raiz principal.

Exemplo resolvido · Transformar a raiz na nova incógnita

Resolva x−4x+3=0x-4\sqrt x+3=0.

Resolução

  1. O domínio é x ≥ 0. Definimos t = √x, com t ≥ 0, e escrevemos x = t².
  2. A equação vira t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) = 0. Os valores t = 1 e t = 3 respeitam a restrição.
  3. Voltando a x, obtemos 1 e 9. A conferência é 1 − 4 + 3 = 0 e 9 − 12 + 3 = 0. Os valores de t não são automaticamente os valores de x.

𝒮 = {1, 9}.

6Raízes compostas e domínio comum

Um radical dentro de outro pede uma leitura de dentro para fora: primeiro a expressão interna precisa existir; depois seu resultado precisa permitir a operação externa. Uma igualdade entre duas raízes quadradas também deve ser resolvida no domínio comum, em que ambas existem.

Exemplo resolvido · A raiz interna sugere uma substituição

Resolva x+2x−1=3\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=3.

Resolução

  1. A raiz interna exige x ≥ 1. Nesse intervalo, x + 2√(x − 1) ≥ 1, então a raiz externa também existe.
  2. Como o segundo membro é 3 ≥ 0, o quadrado é reversível: x + 2√(x − 1) = 9. Isso já exige x ≤ 9.
  3. Faça t = √(x − 1) ≥ 0, de modo que x = t² + 1. A equação fica t² + 2t + 1 = 9, isto é, (t + 1)² = 9.
  4. Temos t + 1 = 3 ou t + 1 = −3, dando t = 2 ou t = −4. Somente 2 é não negativo; logo x = 5. Na original, √(5 + 2√4) = √9 = 3.

𝒮 = {5}.

A=B  ⟺  A=B\sqrt A=\sqrt B\iff A=B

A ≥ 0 e B ≥ 0, com todas as expressões definidas no domínio comum. Ambos os membros são não negativos, então elevar ao quadrado é reversível. Não usar a igualdade A = B para aceitar entradas em que as raízes originais não existam.

Exemplo resolvido · Igualar os radicandos dentro do domínio

Resolva x−2=5−x\sqrt{x-2}=\sqrt{5-x}.

Resolução

  1. Precisamos de x ≥ 2 e x ≤ 5 simultaneamente. O domínio comum é [2, 5].
  2. Ambas as raízes são não negativas. Portanto a igualdade equivale a x − 2 = 5 − x, que dá 2x = 7 e x = 7/2.
  3. O candidato pertence ao domínio. Ambos os radicandos valem 3/2, confirmando a igualdade.

S={7/2}\mathcal S=\{7/2\}.

x ≥ 225x ≤ 5252 ≤ x ≤ 5257/2
O domínio comum vai de 2 a 5, com os dois extremos permitidos. A solução 7/2 fica no interior desse intervalo.

7Inequações com raízes e o sinal do limite

Comparar uma raiz com outra expressão exige olhar o sinal dessa expressão. O quadrado preserva a ordem entre números não negativos, mas não em todos os reais: −3 < 2 e, ainda assim, 9 > 4. Por isso uma inequação radical não se resolve elevando tudo ao quadrado sem condições.

A≤B  ⟺  {A≥0B≥0A≤B2\sqrt A\le B\iff\begin{cases}A\ge0\\B\ge0\\A\le B^2\end{cases}

A e B são expressões reais definidas. Para a versão estrita √A < B, exigir A ≥ 0, B > 0 e A < B². O caso B < 0 não tem solução em nenhuma das duas versões; para B = 0, somente a versão não estrita pode aceitar A = 0.

A>B  ⟺  {A≥0B<0 ou (B≥0 e A>B2)\sqrt A>B\iff\begin{cases}A\ge0\\B<0\ \text{ou}\ (B\ge0\ \text{e}\ A>B^2)\end{cases}
A>B⇕{A≥0B<0 ou(B≥0 e A>B2)\begin{gathered}\sqrt A>B\\\Updownarrow\\\begin{cases}A\ge0\\\begin{gathered}B<0\ \text{ou}\\(B\ge0\ \text{e}\ A>B^2)\end{gathered}\end{cases}\end{gathered}

A e B são expressões reais definidas. Quando B < 0, qualquer raiz principal definida já é maior que B. Quando B ≥ 0, ambos os membros são não negativos e a comparação equivale à dos quadrados. Na versão ≥, o caso B ≤ 0 aceita todo A ≥ 0; para B > 0, exigir A ≥ B².

Exemplo resolvido · Um limite superior positivo

Resolva x+2<3\sqrt{x+2}<3.

Resolução

  1. O domínio é x ≥ −2, e o limite 3 é positivo. Podemos comparar os quadrados: x + 2 < 9, ou x < 7.
  2. A interseção é [−2, 7). O extremo −2 dá 0 < 3 e entra; o extremo 7 dá 3 < 3 e sai.

𝒮 = [−2, 7).

Exemplo resolvido · Limite superior variável

Resolva x+2≤x\sqrt{x+2}\le x.

Resolução

  1. Além de x ≥ −2 para a raiz, precisamos de x ≥ 0 para que o segundo membro possa ser maior ou igual à raiz.
  2. Nessa faixa, elevar ao quadrado é equivalente: x + 2 ≤ x². Subtraindo x + 2 dos dois membros, obtemos 0 ≤ x² − x − 2, ou (x − 2)(x + 1) ≥ 0.
  3. Os fatores zeram em 2 e −1. Para x < −1, ambos são negativos e o produto é positivo; entre −1 e 2, têm sinais contrários; para x > 2, ambos são positivos. Incluindo os zeros, o produto é não negativo para x ≤ −1 ou x ≥ 2.
  4. Intersectando com x ≥ 0, resta x ≥ 2. O extremo 2 produz √4 ≤ 2, uma igualdade verdadeira.

𝒮 = [2, +∞).

Exemplo resolvido · Limite inferior negativo não pede quadrados

Resolva x+2>x\sqrt{x+2}>x.

Resolução

  1. O domínio continua x ≥ −2. Se −2 ≤ x < 0, a raiz é não negativa e já é maior que o segundo membro negativo: toda essa faixa serve.
  2. Se x ≥ 0, podemos elevar ao quadrado: x + 2 > x², ou (x − 2)(x + 1) < 0. Isso dá −1 < x < 2; dentro do caso x ≥ 0, ficamos com [0, 2).
  3. A resposta é a união [−2, 0) ∪ [0, 2) = [−2, 2). Elevar ao quadrado desde o início teria perdido valores como x = −2.

𝒮 = [−2, 2).

8Parâmetros: quando a quantidade de soluções muda

Um parâmetro é uma letra cujo valor fica fixo enquanto resolvemos a equação na incógnita. Para cada valor do parâmetro podemos ter um conjunto solução diferente. As condições de sinal e os valores mínimos das expressões revelam os casos antes das contas.

Exemplo resolvido · A saída da raiz limita o parâmetro

Discuta x+1=m\sqrt{x+1}=m para m real.

Resolução

  1. O domínio da incógnita é x ≥ −1. Se m < 0, a igualdade é impossível porque a raiz principal não é negativa.
  2. Se m ≥ 0, podemos elevar ao quadrado: x + 1 = m² e x = m² − 1. Esse valor sempre pertence ao domínio e produz √(m²) = m, pois m ≥ 0.

m < 0: nenhuma solução. m ≥ 0: a única solução é x = m² − 1.

Exemplo resolvido · Um mínimo mais forte que a simples não negatividade

Quantas soluções reais tem x2+1=m\sqrt{x^2+1}=m?

Resolução

  1. Como x² ≥ 0, o radicando é pelo menos 1 e a raiz é pelo menos 1. Portanto m < 1 não permite solução, inclusive quando 0 ≤ m < 1.
  2. Para m ≥ 1, elevar ao quadrado dá x² = m² − 1. Em m = 1, temos apenas x = 0.
  3. Para m > 1, o segundo membro é positivo e há dois valores distintos: x = √(m² − 1) e x = −√(m² − 1). Ambos satisfazem a original.

m < 1: zero soluções; m = 1: uma; m > 1: duas.

9Módulo: valor absoluto e distância

O módulo de um número mede sua distância até zero na reta. Como distância não tem sinal negativo, |−5| = 5 e |5| = 5. As barras indicam módulo, também chamado valor absoluto; não são parênteses que podem ser apagados sem examinar o sinal do conteúdo.

∣u∣={u,u≥0−u,u<0|u|=\begin{cases}u,&u\ge0\\-u,&u<0\end{cases}

u real. O módulo é a distância de u até zero, sempre não negativa. A escrita −u não é necessariamente negativa: no segundo caso, u é negativo e −u é positivo. |u| = 0 ocorre exatamente quando u = 0.

Para uma expressão, a mesma definição vale em cada entrada: |x − 2| = x − 2 quando x ≥ 2 e |x − 2| = 2 − x quando x < 2. O sinal vem da expressão inteira dentro das barras, e não apenas do sinal de x.

u2=∣u∣\sqrt{u^2}=|u|

u real. A raiz principal precisa ser não negativa. O resultado é u se u ≥ 0 e −u se u < 0; substituir por u sem examinar seu sinal pode alterar a equação ou criar uma identidade falsa.

Exemplo resolvido · Raiz de quadrado e ordem das operações

Calcule ∣3−7∣|3-7| e (−6)2\sqrt{(-6)^2}.

Resolução

  1. Primeiro 3 − 7 = −4; sua distância até zero é 4. Logo |3 − 7| = 4.
  2. O quadrado de −6 é 36, cuja raiz principal é 6. Portanto √((−6)²) = |−6| = 6, e não −6.

Os resultados são 4 e 6.

∣uv∣=∣u∣∣v∣∣uv∣=∣u∣∣v∣\begin{gathered}|uv|=|u||v|\\\left|\frac uv\right|=\frac{|u|}{|v|}\end{gathered}

u e v reais; a igualdade do produto permite zeros, e a do quociente exige v ≠ 0. Além disso, |−u| = |u| e |u|² = u². As propriedades são justificadas pelos sinais e pelos quadrados; não afirmar que |u + v| = |u| + |v| para quaisquer reais.

As regras de produto e quociente seguem dos sinais: o módulo elimina o sinal do resultado, enquanto o produto dos módulos calcula sua magnitude. Também |−u| = |u| e |u|² = u². Porém o módulo de uma soma não é sempre a soma dos módulos: |3 + (−5)| = 2, enquanto |3| + |−5| = 8.

∣u+v∣≤∣u∣+∣v∣|u+v|\le|u|+|v|

u e v reais. A soma de dois deslocamentos tem módulo no máximo igual à soma dos módulos. Somar −|u| ≤ u ≤ |u| e −|v| ≤ v ≤ |v| e usar a definição de módulo demonstra a desigualdade. Não transformar essa desigualdade em igualdade sem uma condição adicional.

Podemos demonstrar a desigualdade triangular usando −|u| ≤ u ≤ |u| e −|v| ≤ v ≤ |v|. Somando as comparações, obtemos −(|u| + |v|) ≤ u + v ≤ |u| + |v|. Isso diz que u + v está entre o oposto e o próprio número não negativo |u| + |v|; logo seu módulo não o ultrapassa.

d(x,a)=∣x−a∣d(x,a)=|x-a|

x e a reais na mesma escala. A distância é não negativa e não depende da ordem: |x − a| = |a − x|. Na reta, |x − a| = r, com r > 0, corresponde aos dois pontos a − r e a + r; para r = 0, apenas a.

Exemplo resolvido · Duas posições com a mesma distância

Que pontos ficam a distância 3 do número 2?

Resolução

  1. A condição é |x − 2| = 3. Andando 3 unidades à esquerda de 2 chegamos a −1; andando 3 à direita chegamos a 5.
  2. As verificações são |−1 − 2| = |−3| = 3 e |5 − 2| = |3| = 3. Não importa o lado do ponto, mas sua distância.

Os pontos são −1 e 5.

|x − 2| = 3−12533
Na mesma escala, −1 e 5 ficam três unidades afastados de 2, um de cada lado.

10Equação modular com valor constante

Se um módulo vale um número positivo c, o conteúdo das barras pode ser c ou −c. Esses são dois casos alternativos, unidos por “ou”. Se c = 0, os dois casos coincidem; se c < 0, não existe solução real.

∣A∣=c  ⟺  (A=c ou A=−c)|A|=c\iff(A=c\ \text{ou}\ A=-c)
∣A∣=c⇕A=c ou A=−c\begin{gathered}|A|=c\\\Updownarrow\\A=c\ \text{ou}\ A=-c\end{gathered}

A é real definido e c é constante real não negativa. Para c > 0, os dois valores possíveis de A são distintos; para c = 0, ambos indicam A = 0. Se c < 0, o conjunto solução é vazio, e não se aplica a separação de casos como se o módulo pudesse ser negativo.

Exemplo resolvido · Dois ramos lineares

Resolva ∣2x−1∣=5|2x-1|=5.

Resolução

  1. O conteúdo pode valer 5 ou −5. No primeiro caso, 2x − 1 = 5 dá x = 3. No segundo, 2x − 1 = −5 dá x = −2.
  2. Em x = 3, o módulo é |5| = 5. Em x = −2, é |−5| = 5. Como o conteúdo é linear não constante e os alvos são distintos, obtemos dois pontos distintos.

𝒮 = {−2, 3}.

Exemplo resolvido · Zero e um valor negativo

Resolva |x + 3| = 0 e |x + 3| = −2.

Resolução

  1. Módulo zero significa conteúdo zero: x + 3 = 0 e x = −3. Não há dois pontos diferentes a distância zero.
  2. Na segunda equação, um número não negativo precisaria valer −2. A igualdade é impossível, sem abrir ramos.

Primeira: 𝒮 = {−3}. Segunda: 𝒮 = ∅.

11Segundo membro variável e igualdade de módulos

Se o segundo membro também depende de x, sua não negatividade faz parte da resolução. Os dois ramos sozinhos podem aceitar valores que tornam esse membro negativo. Já uma igualdade entre dois módulos tem os dois lados automaticamente não negativos.

∣A∣=B  ⟺  {B≥0A=B ou A=−B|A|=B\iff\begin{cases}B\ge0\\A=B\ \text{ou}\ A=-B\end{cases}
∣A∣=B⇕{B≥0A=B ou A=−B\begin{gathered}|A|=B\\\Updownarrow\\\begin{cases}B\ge0\\A=B\ \text{ou}\ A=-B\end{cases}\end{gathered}

A e B são expressões reais definidas. Resolver cada ramo e manter apenas os valores que também satisfazem B ≥ 0 e o domínio original. Elevar ao quadrado sem verificar B ≥ 0 pode aceitar candidatos de sinal incompatível.

Exemplo resolvido · Um ramo produz um candidato incompatível

Resolva ∣x−1∣=2x+1|x-1|=2x+1.

Resolução

  1. A igualdade exige 2x + 1 ≥ 0, ou x ≥ −1/2. O domínio das expressões, sem essa condição de igualdade, seria todo ℝ.
  2. O ramo x − 1 = 2x + 1 produz x = −2, que viola a condição. Na original, ele daria 3 = −3.
  3. O ramo x − 1 = −(2x + 1) dá 3x = 0 e x = 0. Esse valor é permitido e confirma |−1| = 1.

𝒮 = {0}.

∣A∣=∣B∣  ⟺  (A=B ou A=−B)|A|=|B|\iff(A=B\ \text{ou}\ A=-B)
∣A∣=∣B∣⇕A=B ou A=−B\begin{gathered}|A|=|B|\\\Updownarrow\\A=B\ \text{ou}\ A=-B\end{gathered}

A e B reais definidos no domínio comum. Os dois membros são não negativos; a igualdade equivale a A² = B², que se fatora em (A − B)(A + B) = 0. Nenhuma hipótese de que A ou B seja positivo é necessária.

Exemplo resolvido · Dois módulos podem ser comparados sem supor sinais

Resolva ∣2x+1∣=∣x−2∣|2x+1|=|x-2|.

Resolução

  1. Podemos escrever 2x + 1 = x − 2 ou 2x + 1 = −(x − 2). O primeiro ramo dá x = −3; o segundo dá 3x = 1, então x = 1/3.
  2. Para −3, os módulos são |−5| = |−5| = 5. Para 1/3, são |5/3| = |−5/3| = 5/3. Ambos os valores servem.

S={−3,1/3}\mathcal S=\{-3,1/3\}.

A justificativa algébrica é A² = B² ⇔ (A − B)(A + B) = 0. Esse produto se anula se A = B ou A = −B, incluindo os casos em que algum conteúdo é zero.

12Vários módulos: dividir a reta em regiões

Quando uma soma contém módulos diferentes, cada conteúdo pode mudar de sinal em um ponto diferente. Marque os zeros desses conteúdos, divida a reta nas regiões correspondentes e use a definição do módulo em cada região. Toda resposta de um caso precisa permanecer dentro da região usada.

Exemplo resolvido · Soma de distâncias igual a seis

Resolva ∣x+1∣+∣x−3∣=6|x+1|+|x-3|=6.

Resolução

  1. Os conteúdos zeram em −1 e 3. Para x < −1, ambos são negativos: a soma é −(x + 1) − (x − 3) = 2 − 2x. Igualar a 6 dá x = −2, válido nessa região.
  2. Para −1 ≤ x ≤ 3, o primeiro conteúdo é não negativo e o segundo não positivo. A soma é x + 1 + 3 − x = 4, que nunca vale 6.
  3. Para x > 3, ambos são positivos. A soma é x + 1 + x − 3 = 2x − 2. Igualar a 6 dá x = 4, válido nessa região.
  4. Conferindo: em −2, as distâncias são 1 e 5; em 4, são 5 e 1. As duas somas valem 6.

𝒮 = {−2, 4}.

∣x−a∣+∣x−b∣≥b−aigualdade  ⟺  a≤x≤b\begin{gathered}|x-a|+|x-b|\ge b-a\\\text{igualdade}\iff a\le x\le b\end{gathered}

a, b e x reais, com a < b. A desigualdade triangular fornece o limite inferior b − a. A igualdade ocorre em todo o intervalo fechado entre os dois pontos, não apenas no ponto médio. Fora dele, a soma cresce linearmente ao se afastar dos pontos.

Exemplo resolvido · Um intervalo inteiro de soluções

Agora resolva ∣x+1∣+∣x−3∣=4|x+1|+|x-3|=4.

Resolução

  1. Entre −1 e 3, a soma já foi calculada: vale 4 em todos os pontos, inclusive os extremos. Fora desse intervalo, ela é maior que 4.
  2. Pela desigualdade triangular, |x + 1| + |x − 3| ≥ |(x + 1) − (x − 3)| = |4| = 4. A análise dos casos mostra exatamente onde essa igualdade ocorre.

𝒮 = [−1, 3]. Há infinitas soluções reais, não apenas o ponto médio.

|x + 1| + |x − 3|soma = 4−2−134x = −2: 1 + 5x = 4: 5 + 1soma = 6 nos dois pontos
A soma das distâncias a −1 e 3 vale 4 em todo o trecho entre eles. Nos dois pontos externos destacados, a soma vale 6.

13Módulos de polinômios e frações

O conteúdo do módulo pode ser uma expressão quadrática, um produto ou uma fração. A regra dos dois ramos continua valendo para um alvo positivo, mas cada ramo deve ser resolvido com os métodos já estudados e com o domínio original.

Exemplo resolvido · O conteúdo não precisa ser linear

Resolva ∣x2−4∣=5|x^2-4|=5.

Resolução

  1. O domínio é ℝ. O primeiro ramo é x² − 4 = 5, que dá x² = 9 e x = ±3.
  2. O segundo ramo é x² − 4 = −5, que dá x² = −1. Esse ramo não tem solução real. Em x = ±3, o módulo original é |9 − 4| = 5.

𝒮 = {−3, 3}.

Exemplo resolvido · O módulo não torna denominador zero permitido

Resolva ∣x+1x−2∣=2\left|\dfrac{x+1}{x-2}\right|=2.

Resolução

  1. A fração exige x ≠ 2. O primeiro ramo é (x + 1)/(x − 2) = 2. Multiplicando por x − 2 dentro do domínio: x + 1 = 2x − 4, então x = 5.
  2. O segundo ramo é (x + 1)/(x − 2) = −2. Assim x + 1 = −2x + 4 e x = 1.
  3. Nenhum candidato é 2. Para 5, a fração vale 2; para 1, vale −2. Os módulos valem 2 nos dois casos.

𝒮 = {1, 5}.

Multiplicar uma igualdade por um denominador não nulo é permitido qualquer que seja seu sinal. Em uma inequação com frações, o sinal do denominador decide se a orientação deve mudar; use o estudo de sinais ou uma transformação com sinal conhecido.

14Inequações modulares: região interna ou externa

Uma distância menor que um raio positivo fica dentro da região delimitada pelos extremos; uma distância maior fica fora. “Menor ou igual” inclui a fronteira, e “maior ou igual” também. Na álgebra, a região interna usa duas condições simultâneas; a externa usa alternativas.

∣A∣≤B  ⟺  −B≤A≤B∣A∣<B  ⟺  −B<A<B\begin{gathered}|A|\le B\iff -B\le A\le B\\|A|<B\iff -B<A<B\end{gathered}
∣A∣≤B⇕−B≤A≤B∣A∣<B⇕−B<A<B\begin{gathered}|A|\le B\\\Updownarrow\\-B\le A\le B\\[8pt]|A|<B\\\Updownarrow\\-B<A<B\end{gathered}

A e B são expressões reais definidas. As cadeias representam duas condições simultâneas: usar interseção. Se B < 0, ambas são impossíveis; se B = 0, a primeira exige A = 0 e a segunda é impossível. Para limite constante positivo, representam a região interna entre os extremos.

∣A∣>B  ⟺  A>B ou A<−B∣A∣≥B  ⟺  A≥B ou A≤−B\begin{gathered}|A|>B\iff A>B\ \text{ou}\ A<-B\\|A|\ge B\iff A\ge B\ \text{ou}\ A\le-B\end{gathered}
∣A∣>B⇕A>B ou A<−B∣A∣≥B⇕A≥B ou A≤−B\begin{gathered}|A|>B\\\Updownarrow\\A>B\ \text{ou}\ A<-B\\[8pt]|A|\ge B\\\Updownarrow\\A\ge B\ \text{ou}\ A\le-B\end{gathered}

A e B reais definidos. Cada linha é uma união de dois ramos. As equivalências valem inclusive para B negativo: nesse caso a união aceita todo o domínio. Para B = 0, > exige A ≠ 0, enquanto ≥ aceita todo o domínio. Para B > 0, as regiões são externas aos extremos −B e B.

Exemplo resolvido · Uma faixa fechada de distâncias

Resolva ∣x−2∣≤3|x-2|\le3.

Resolução

  1. A condição equivale a −3 ≤ x − 2 ≤ 3. Somando 2 nas duas comparações, obtemos −1 ≤ x ≤ 5.
  2. Os extremos ficam exatamente a distância 3 do centro 2 e são aceitos por ≤. Para a versão <, seriam excluídos.

𝒮 = [−1, 5].

Exemplo resolvido · Duas regiões externas e extremidades abertas

Resolva ∣2x+1∣>5|2x+1|>5.

Resolução

  1. O conteúdo deve ser maior que 5 ou menor que −5. O primeiro ramo, 2x + 1 > 5, dá x > 2.
  2. O segundo, 2x + 1 < −5, dá x < −3. Usamos união, porque basta satisfazer um dos ramos. Os extremos não entram, pois neles o módulo vale 5.

𝒮 = (−∞, −3) ∪ (2, +∞).

|x − 2| ≤ 3−15|x − 2| > 3−15
Para o mesmo centro 2 e raio 3, ≤ escolhe o trecho interno fechado; > escolhe as duas partes externas abertas.

Os limites zero e negativo merecem atenção. Para qualquer conteúdo A definido: |A| < 0 é impossível; |A| ≤ 0 exige A = 0; |A| > 0 exige A ≠ 0; |A| ≥ 0 aceita todo o domínio. Se c < 0, |A| < c e |A| ≤ c são impossíveis, enquanto |A| > c e |A| ≥ c aceitam todo o domínio.

15Inequações com limite variável

As cadeias e uniões também funcionam quando o limite é uma expressão B(x). Elas já incorporam os casos em que esse limite é zero ou negativo. Ainda assim, explicitar esses sinais ajuda a interpretar o resultado e evita elevar ao quadrado uma comparação sem equivalência.

Exemplo resolvido · Limite superior dependente de x

Resolva ∣x−2∣≤x|x-2|\le x.

Resolução

  1. Pela cadeia, −x ≤ x − 2 ≤ x. A primeira condição dá 2x ≥ 2, isto é, x ≥ 1. A segunda é −2 ≤ 0, sempre verdadeira.
  2. A interseção é x ≥ 1. Esse resultado já garante que o limite x é não negativo. Em x = 1, a comparação é 1 ≤ 1.

𝒮 = [1, +∞).

Exemplo resolvido · Limite inferior e união dos ramos

Resolva ∣x−2∣>x|x-2|>x.

Resolução

  1. A equivalência externa dá x − 2 > x ou x − 2 < −x. A primeira condição seria −2 > 0, impossível. A segunda dá 2x < 2, então x < 1.
  2. Para x < 0, a resposta faz sentido: um módulo não negativo é sempre maior que x negativo. Para 0 ≤ x < 1, o conteúdo é negativo e o módulo é 2 − x > x. Em x = 1 ocorre igualdade, então o extremo sai.

𝒮 = (−∞, 1).

∣A∣≤∣B∣  ⟺  A2≤B2|A|\le|B|\iff A^2\le B^2

A e B reais definidos. Ambos os módulos são não negativos e a potência quadrada preserva a ordem nessa faixa. A mesma equivalência vale com <, > ou ≥. Não substituir os módulos por A e B sem conhecer seus sinais.

Se a comparação for entre dois módulos, podemos comparar os quadrados porque ambos são não negativos. Por exemplo, |x − 2| ≤ |x + 1| equivale a (x − 2)² ≤ (x + 1)². Expandindo, x² − 4x + 4 ≤ x² + 2x + 1. Subtraímos x² + 2x + 4 dos dois membros e obtemos −6x ≤ −3. Ao dividir por −6, invertemos o sentido: x ≥ 1/2. Não é correto apagar as barras e comparar apenas x − 2 ≤ x + 1.

16Raiz e módulo na mesma equação

Raízes de quadrados e módulos se encontram naturalmente, pois √(u²) = |u|. Em uma igualdade entre uma raiz principal e um módulo, ambos os membros são não negativos; no domínio da raiz, elevar ao quadrado é reversível.

Exemplo resolvido · O quadrado não autoriza apagar o sinal

Resolva (x−1)2=3\sqrt{(x-1)^2}=3.

Resolução

  1. O radicando é um quadrado e existe para todo real x. Sua raiz é |x − 1|, não simplesmente x − 1.
  2. A igualdade vira |x − 1| = 3, dando x − 1 = 3 ou x − 1 = −3. Portanto x = 4 ou x = −2. Nos dois casos, o radicando é 9 e a raiz vale 3.
  3. A identidade √((x − 1)²) = x − 1 só valeria na faixa x ≥ 1; usá-la em todo ℝ teria perdido a solução −2.

𝒮 = {−2, 4}.

Exemplo resolvido · Dois resultados não negativos permitem a equivalência

Resolva x+3=∣x−1∣\sqrt{x+3}=|x-1|.

Resolução

  1. O domínio é x ≥ −3. Ambos os membros são não negativos, então x + 3 = (x − 1)² é equivalente à original dentro desse domínio.
  2. Expandimos (x − 1)² = x² − 2x + 1 e subtraímos x + 3: 0 = x² − 2x + 1 − x − 3 = x² − 3x − 2.
  3. Na forma ax² + bx + c = 0, temos a = 1, b = −3 e c = −2. O discriminante é Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4 · 1 · (−2) = 9 + 8 = 17.
  4. Substituindo na fórmula x = (−b ± √Δ)/(2a), obtemos x = (−(−3) ± √17)/(2 · 1) = (3 ± √17)/2.
  5. Os dois candidatos pertencem ao domínio: como √17 < 5, até o menor é maior que −1, portanto maior que −3. Para cada um, x + 3 = (x − 1)²; a raiz principal desse quadrado é exatamente |x − 1|.

As soluções são x=3−172x=\dfrac{3-\sqrt{17}}2 e x=3+172x=\dfrac{3+\sqrt{17}}2.

17Módulos aninhados e discussão de parâmetros

Em um módulo dentro de outro, resolvemos de fora para dentro. Primeiro o módulo externo fornece ramos para seu conteúdo; depois cada ramo interno precisa ter um segundo membro não negativo. A contagem final usa valores distintos, pois ramos podem coincidir.

∣∣A∣−c∣=m  ⟺  {∣A∣=c+mou ∣A∣=c−m\bigl||A|-c\bigr|=m\iff\begin{cases}|A|=c+m\\\text{ou }|A|=c-m\end{cases}
∣∣A∣−c∣=m⇕∣A∣=c+mou ∣A∣=c−m\begin{gathered}\bigl||A|-c\bigr|=m\\\Updownarrow\\\begin{gathered}|A|=c+m\\\text{ou }|A|=c-m\end{gathered}\end{gathered}

A real definido, c ≥ 0 e m ≥ 0 constantes. Depois de retirar o módulo externo, cada segundo membro de um ramo interno precisa ser não negativo. Se m < 0, a equação original é impossível. Quando os ramos coincidirem, não repetir elementos no conjunto solução.

Exemplo resolvido · Uma equação que pode ter zero, duas, três ou quatro soluções

Discuta ∣∣x∣−2∣=m\bigl||x|-2\bigr|=m para m real.

Resolução

  1. Se m < 0, não há solução. Se m ≥ 0, o módulo externo dá |x| − 2 = m ou |x| − 2 = −m, isto é, |x| = 2 + m ou |x| = 2 − m.
  2. Em m = 0, os ramos coincidem: |x| = 2, dando apenas −2 e 2. Para 0 < m < 2, os dois alvos são positivos e diferentes, gerando quatro soluções distintas: ±(2 + m) e ±(2 − m).
  3. Em m = 2, os alvos são 4 e 0. Surgem três valores distintos: −4, 0 e 4.
  4. Se m > 2, o alvo 2 − m é negativo e seu ramo é impossível; sobram apenas −(2 + m) e 2 + m. Essas substituições satisfazem o módulo externo porque sua distância a 2 é m.

m < 0: nenhuma; m = 0: duas; 0 < m < 2: quatro; m = 2: três; m > 2: duas.

Exemplo resolvido · Um parâmetro que produz infinitas soluções

Discuta ∣x+1∣+∣x−3∣=m|x+1|+|x-3|=m.

Resolução

  1. Já vimos que a soma mínima é 4 e ocorre em todo [−1, 3]. Se m < 4, não há solução; se m = 4, todos os pontos desse intervalo resolvem.
  2. Se m > 4, a região central não serve. À esquerda, 2 − 2x = m dá x = 1 − m/2, que é menor que −1 porque m > 4.
  3. À direita, 2x − 2 = m dá x = 1 + m/2, que é maior que 3. As duas soluções externas são distintas e válidas.

m < 4: ∅. m = 4: [−1, 3]. m > 4: {1 − m/2, 1 + m/2}.

18Medidas, tolerâncias e posições na reta

Uma solução algébrica só responde ao problema quando respeita as unidades e o significado das variáveis. Comprimentos não podem ser negativos; tolerâncias costumam incluir a fronteira; posições numa reta podem ser negativas, conforme a origem escolhida.

Exemplo resolvido · O comprimento de uma placa retangular

Uma placa tem largura 5 cm, comprimento x e diagonal 13 cm. Resolva x2+25=13\sqrt{x^2+25}=13 para encontrar o comprimento.

Resolução

  1. O teorema de Pitágoras dá diagonal² = comprimento² + largura². A expressão da raiz existe para todo real x, mas o contexto exige x > 0.
  2. Os dois membros são não negativos. Elevando ao quadrado, x² + 25 = 169, então x² = 144 e x = ±12.
  3. O valor −12 satisfaz a equação abstrata, mas não representa um comprimento. Com x = 12 cm, temos √(144 + 25) = 13 cm.

O comprimento da placa é 12 cm.

51213medidas em cm
A diagonal de 13 cm forma um triângulo retângulo com os lados de 5 cm e 12 cm. O desenho mantém a proporção entre essas medidas.

Exemplo resolvido · Tolerância de fabricação

Uma peça deve medir 12,5 cm, com erro máximo de 0,2 cm para mais ou para menos. Quais medidas L são aceitas?

Resolução

  1. O erro em magnitude é a distância entre L e 12,5, isto é, |L − 12,5|. A expressão “máximo de 0,2” permite a igualdade.
  2. A condição |L − 12,5| ≤ 0,2 equivale a −0,2 ≤ L − 12,5 ≤ 0,2. Somando 12,5, temos 12,3 ≤ L ≤ 12,7.

São aceitas as medidas de 12,3 cm a 12,7 cm, inclusive os extremos.

Exemplo resolvido · Uma posição equidistante

Duas estações estão nas posições 2 km e 10 km de uma estrada reta. Em que posição x um ponto fica à mesma distância das duas?

Resolução

  1. As distâncias, medidas na mesma escala, são |x − 2| e |x − 10|. Logo precisamos resolver |x − 2| = |x − 10|.
  2. O ramo x − 2 = x − 10 é impossível. O ramo x − 2 = −(x − 10) dá 2x = 12 e x = 6.
  3. Na posição 6 km, as distâncias são |6 − 2| = 4 km e |6 − 10| = 4 km. Na reta, esse é o ponto médio entre as estações.

O ponto está na posição 6 km.

19Agora é com você

Em cada questão, registre o domínio antes de transformar a expressão. Diferencie um candidato de uma solução conferida, e indique se as condições devem ser unidas ou satisfeitas ao mesmo tempo. Nas questões abertas, compare sua justificativa com a resolução comentada.

Questão 1 de 440 conferidas

Fixação · Objetiva

Qual é o domínio real de x−2x−5\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-5}?

Escolha uma alternativa

20O que levar desta aula

  • Trabalhando nos reais, raiz par exige radicando não negativo e representa o resultado principal não negativo. Raiz par no denominador exige radicando positivo; raiz ímpar aceita radicando e resultado negativos.
  • Elevar ao quadrado preserva uma igualdade no sentido de ida, mas pode acrescentar candidatos. Para ter equivalência, controle os sinais e mantenha o domínio; confira cada resultado na original.
  • Isole a raiz antes de usar a potência. Com duas raízes, preserve o termo misto do quadrado da soma e reavalie as condições após cada transformação.
  • Na substituição t = √x, imponha t ≥ 0 e volte a x = t². Em raízes compostas, examine a existência das operações de dentro para fora.
  • Uma raiz principal não pode ficar abaixo de um limite negativo. Se o limite inferior for negativo, qualquer raiz definida já o supera; se ambos os membros forem não negativos, compare os quadrados.
  • Módulo é distância até zero. Use |u| = u se u ≥ 0 e |u| = −u se u < 0. Em particular, √(u²) = |u|.
  • Módulos de produto e quociente se separam, respeitando denominadores não nulos. O módulo da soma satisfaz a desigualdade triangular; não existe uma regra geral de igualdade com a soma dos módulos.
  • |x − a| mede a distância entre x e a. Para raio positivo, uma equação de distância tem dois pontos, uma inequação interna escolhe um intervalo e uma externa escolhe dois lados.
  • Para |A| = c com c > 0, resolva A = c ou A = −c. Com c = 0, exija A = 0; com c < 0, não há solução.
  • Em |A| = B variável, imponha B ≥ 0 além dos dois ramos. Em |A| = |B|, os dois membros já são não negativos, então A = B ou A = −B basta dentro do domínio.
  • Para somas de módulos, divida a reta pelos zeros dos conteúdos. Confira se cada resposta pertence ao caso utilizado; uma soma de distâncias pode ser constante em um intervalo inteiro.
  • As relações |A| ≤ B e |A| < B são cadeias de condições simultâneas. As relações |A| ≥ B e |A| > B são uniões de ramos externos; analise também limite zero ou negativo.
  • Compare dois módulos pelos quadrados sem alterar o sentido da desigualdade. Não apague as barras sem conhecer os sinais dos conteúdos.
  • Em módulos aninhados, resolva de fora para dentro e descarte alvos internos negativos. Parâmetros podem mudar a existência e a quantidade de soluções; conte apenas valores distintos.
  • Em aplicações, interseccione a solução algébrica com as condições do contexto e declare as unidades. Uma raiz negativa pode ser válida na equação e inválida como comprimento.

A próxima aula é Números complexos. Vamos ampliar o conjunto numérico para resolver equações como x² = −1, estudar a unidade imaginária, operações, conjugado e módulo. O módulo de um complexo também será uma distância, agora em um plano; as representações trigonométricas serão relacionadas aos conhecimentos de Trigonometria quando forem necessárias.

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