Equações polinomiais

1O que significa resolver uma equação polinomial?

Uma equação polinomial pede os valores que tornam um polinômio igual a zero. Esses valores são suas raízes. O trabalho começa levando os termos para um membro, reduzindo termos semelhantes e declarando onde procurar: nos reais, nos complexos ou em um conjunto determinado pelo problema.

\begin{gathered}P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\\P(x)=0,\quad a_n\ne0\end{gathered}

\begin{gathered}P(x)=a_nx^n+\cdots\\{}+a_1x+a_0\\P(x)=0,\quad a_n\ne0\end{gathered}

n é inteiro positivo; os coeficientes são complexos fixos, ou reais quando indicado. O grau é n depois da redução. O universo das soluções deve ser declarado. Constante não nula não tem raiz; o polinômio identicamente nulo se anula em todo o universo e não recebe grau nesta aula.

r\text{ é raiz de }P\iff P(r)=0

\begin{gathered}r\text{ é raiz de }P\\\Updownarrow\\P(r)=0\end{gathered}

r pertence ao universo considerado e P é um polinômio. Ser raiz exige substituição com resultado exatamente zero, não apenas pequeno. Uma aproximação decimal deve ser identificada como aproximação.

Exemplo resolvido · A mesma escrita em dois universos

Resolva x⁴ − 1 = 0 em ℝ e em ℂ.

Resolução

Fatoramos x⁴ − 1 = (x² − 1)(x² + 1) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1).
Em ℝ, x² + 1 nunca zera, então as soluções são −1 e 1. Em ℂ, esse fator também zera em i e −i.
As substituições confirmam: (±1)⁴ = 1 e (±i)⁴ = 1. Um conjunto solução lista valores distintos, sem repetir uma raiz por aparecer em mais de um fator.

Em ℝ: {−1, 1}. Em ℂ: {−1, 1, −i, i}.

Exemplo resolvido · Reduzir antes de declarar o grau

Compare x³ + x = x³ + 4, 3 = 0 e 0 = 0.

Resolução

A primeira equação se reduz a x − 4 = 0: é de primeiro grau, apesar dos termos cúbicos na escrita inicial, e tem solução 4.
A constante não nula 3 nunca é zero, então 3 = 0 não tem solução. Já o polinômio identicamente nulo se anula em todos os pontos do universo: 0 = 0 aceita todos eles.

Grau depende da forma reduzida. Os casos constantes não seguem a contagem de um polinômio de grau positivo.

Os coeficientes podem ser reais ou complexos. Um polinômio de coeficientes reais pode ter raízes não reais, como vimos na aula anterior. Aqui x é apenas o nome da incógnita: não significa automaticamente que ela seja real.

2Da divisão aos teoremas do resto e do fator

Na divisão de polinômios, o dividendo é divisor vezes quociente, mais resto. Se o divisor tem grau um, o resto é constante. Substituir a raiz do divisor nessa identidade elimina o produto e revela esse resto sem exigir a divisão completa.

\begin{gathered}P=DQ+R\\R=0\ \text{ou}\ \deg R<\deg D\end{gathered}

P e D são polinômios em uma variável com coeficientes complexos; D é não nulo. Q e R são únicos. Para divisor linear, R é constante, inclusive zero. A identidade é polinomial; a fração P(x)/D(x) continua exigindo D(x) ≠ 0.

\begin{gathered}P(x)=(x-c)Q(x)+P(c)\\\text{resto por }x-c=P(c)\end{gathered}

\begin{gathered}P(x)=(x-c)Q(x)\\{}+P(c)\\\text{resto}=P(c)\end{gathered}

c é complexo e P tem coeficientes complexos. O resultado vem de substituir x = c na identidade da divisão. Para x + c, substituir −c. O valor c não precisa ser raiz de P para que a divisão seja feita.

A prova é direta: em P(x) = (x − c)Q(x) + R, faça x = c. Obtemos P(c) = (c − c)Q(c) + R = R. Isso vale mesmo quando c não é raiz de P. Para o divisor x + c, sua raiz é −c, e esse é o valor a substituir.

Exemplo resolvido · Calcular apenas o resto

Calcule o resto de $P(x)=2x^3-x^2+3x-4$ na divisão por x + 1.

Resolução

A raiz do divisor x + 1 é −1. Pelo teorema do resto, R = P(−1).
Calculamos 2(−1)³ − (−1)² + 3(−1) − 4 = −2 − 1 − 3 − 4 = −10. O resto pode ser negativo.

O resto é −10.

P(c)=0\iff P(x)=(x-c)Q(x)

\begin{gathered}P(c)=0\\\Updownarrow\\P(x)=(x-c)Q(x)\end{gathered}

P é um polinômio com coeficientes complexos e c é complexo. O resto da divisão por x − c é zero exatamente quando c é raiz. Se P é não nulo de grau n ≥ 1, Q tem grau n − 1. A escrita de fator não é uma divisão por x − c na equação original.

Se P(c) = 0, a identidade da divisão fica P(x) = (x − c)Q(x), logo x − c é fator. No sentido contrário, se existe essa fatoração, substituir x = c dá P(c) = 0. Essa equivalência é o teorema do fator, também chamado de teorema de D’Alembert.

Exemplo resolvido · Um parâmetro determinado pela divisibilidade

Determine k para que $P(x)=x^3-3x^2+k$ seja divisível por x − 2.

Resolução

Divisibilidade por x − 2 equivale a P(2) = 0. Logo 8 − 12 + k = 0 e k = 4.
Com esse valor, x³ − 3x² + 4 = (x − 2)(x² − x − 2). Expandir os fatores reconstrói o dividendo e confirma resto zero.

k = 4.

3Briot–Ruffini explicado pelos coeficientes

O dispositivo de Briot–Ruffini organiza a divisão por x − c usando apenas os coeficientes. Escreva-os em ordem decrescente, incluindo um zero para cada potência ausente. Baixe o primeiro; multiplique o valor baixado por c, some ao coeficiente seguinte e repita. O último resultado é o resto; os anteriores são os coeficientes do quociente.

\begin{gathered}b_n=a_n\\b_k=a_k+cb_{k+1}\\k=n-1,n-2,\ldots,0\\R=b_0\end{gathered}

P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀, com n ≥ 1, e divisor x − c. Listar todos os coeficientes, inclusive os nulos. Q(x) tem coeficientes bₙ, bₙ₋₁, …, b₁, nessa ordem, nos graus n − 1 até 0; b₀ é o resto. Os símbolos b são novos valores calculados, não os coeficientes originais.

Exemplo resolvido · Divisão exata com quociente quadrático

Divida $2x^3-3x^2-5x+6$ por x − 2.

Resolução

A base é 2 e a lista é 2, −3, −5, 6. Baixamos 2. Multiplicamos 2 · 2 = 4 e somamos a −3, obtendo 1.
Multiplicamos 1 · 2 = 2 e somamos a −5, obtendo −3. Multiplicamos −3 · 2 = −6 e somamos a 6, obtendo 0.
A linha final é 2, 1, −3, 0. Portanto Q(x) = 2x² + x − 3 e R = 0. A identidade é P(x) = (x − 2)(2x² + x − 3).

Quociente: 2x² + x − 3. Resto: 0.

Cada coluna combina o coeficiente original com o produto anterior pela base 2. O último resultado é resto, não mais um coeficiente do quociente.

Exemplo resolvido · Uma potência ausente e resto não nulo

Divida $x^3-4x+2$ por x + 1.

Resolução

O divisor é x − (−1), então a base é −1. A lista completa é 1, 0, −4, 2; o zero representa o termo x² ausente.
Baixamos 1; 0 + (−1) · 1 = −1; −4 + (−1)(−1) = −3; 2 + (−1)(−3) = 5.
Logo Q(x) = x² − x − 3 e R = 5. Expandir (x + 1)(x² − x − 3) + 5 dá x³ − 4x + 2. O método funciona mesmo quando o resto não é zero.

Quociente: x² − x − 3. Resto: 5.

\begin{gathered}P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\=((ax+b)x+c)x+d\end{gathered}

\begin{gathered}P(x)=ax^3+bx^2\\{}+cx+d\\=((ax+b)x+c)x\\{}+d\end{gathered}

a, b, c e d são complexos fixos. A identidade segue da distributiva. Na avaliação em r, multiplicar por r e somar o coeficiente seguinte reproduz a linha final de Ruffini; seu último número é P(r). A forma se generaliza a qualquer grau finito.

Por que funciona? Para uma cúbica ax³ + bx² + cx + d e divisor x − r, comparar coeficientes em (x − r)(ux² + vx + w) + R fornece u = a, v = b + ru, w = c + rv e R = d + rw. Essas são exatamente as multiplicações e somas do dispositivo. A mesma comparação, grau a grau, demonstra a recorrência geral. A forma de Horner explica também por que o último resultado é P(r).

4Divisores não mônicos e números complexos

Mônico significa ter coeficiente dominante igual a 1. Se o divisor é ax + b com a ≠ 0, escreva-o como a(x − c), com c = −b/a. Ruffini calcula primeiro a divisão por x − c. Para voltar ao divisor original, ajuste apenas o quociente.

\begin{gathered}D(x)=ax+b=a(x-c)\\c=-b/a\\P=(x-c)H+R\\P=D(H/a)+R\end{gathered}

a e b complexos, a ≠ 0. Ruffini com c produz H para o divisor x − c. Para o divisor original ax + b, dividir H por a; o resto permanece R = P(c). Não dividir também o resto por a.

Exemplo resolvido · O quociente muda, o resto não

Divida $P(x)=2x^3+x^2-5x+4$ por 2x − 2.

Resolução

Temos 2x − 2 = 2(x − 1). Em Ruffini, usamos base 1 e lista 2, 1, −5, 4. Baixamos 2; depois calculamos 1 + 1 · 2 = 3, −5 + 1 · 3 = −2 e 4 + 1 · (−2) = 2. A linha final é 2, 3, −2, 2.
Assim P = (x − 1)(2x² + 3x − 2) + 2. Como o divisor original é o dobro de x − 1, seu quociente é a metade: x² + (3/2)x − 1. O resto continua 2.
A conferência é P = (2x − 2)(x² + (3/2)x − 1) + 2. Não se deve dividir o resto por 2.

$Q(x)=x^2+\frac32x-1$ e R = 2.

Exemplo resolvido · Ruffini com base não real

Divida $P(x)=x^3+2x+1$ por x − i.

Resolução

A base é i e a lista é 1, 0, 2, 1. Baixamos 1; 0 + i · 1 = i; 2 + i · i = 1; 1 + i · 1 = 1 + i.
O quociente é x² + ix + 1, e o resto é 1 + i. Pela substituição, P(i) = i³ + 2i + 1 = 1 + i, confirmando o resto.

Q(x) = x² + ix + 1 e R = 1 + i.

5Usar uma raiz para reduzir o grau

Quando uma raiz r foi confirmada, o fator x − r pode ser retirado por divisão exata. Resolva o quociente e mantenha também a raiz r. Isso reduz o grau e transforma uma equação longa em equações menores.

\begin{gathered}P(x)=(x-r)Q(x)\\P(x)=0\iff x=r\ \text{ou}\ Q(x)=0\end{gathered}

\begin{gathered}P(x)=(x-r)Q(x)\\P(x)=0\\\Updownarrow\\x=r\ \text{ou}\ Q(x)=0\end{gathered}

P é não nulo e r é uma raiz confirmada. O produto nulo vale em ℝ e em ℂ. Dividir a equação por x − r só é permitido para x ≠ r e pode perder a solução r; mantenha o ramo separado. Restrições do problema original continuam valendo.

Exemplo resolvido · Completar uma resolução a partir da divisão

Resolva $2x^3-3x^2-5x+6=0$ em ℝ.

Resolução

Já confirmamos a raiz 2 e o quociente 2x² + x − 3. Logo a equação é (x − 2)(2x² + x − 3) = 0.
O quadrático se fatora como (2x + 3)(x − 1). Cada fator fornece um ramo: x = 2, x = −3/2 ou x = 1.
A fatoração completa é (x − 2)(2x + 3)(x − 1). Seus três fatores anulam-se exatamente nos valores encontrados.

𝒮 = {−3/2, 1, 2}.

Exemplo resolvido · Não perder a raiz zero

Resolva $x^3-4x=0$ em ℝ.

Resolução

Coloque x em evidência: x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2) = 0.
O produto nulo fornece x = 0, x = 2 ou x = −2. Dividir a equação por x desde o começo teria imposto x ≠ 0 e perdido uma solução.

𝒮 = {−2, 0, 2}.

6Raízes repetidas e multiplicidade exata

Uma raiz pode aparecer mais de uma vez na fatoração. Sua multiplicidade conta quantos fatores iguais x − r podem ser retirados antes de o quociente deixar de se anular em r. Isso é diferente de contar elementos do conjunto solução.

\begin{gathered}P(x)=(x-r)^mS(x)\\S(r)\ne0\end{gathered}

P é não nulo de grau n ≥ 1; m é inteiro com 1 ≤ m ≤ n. A condição S(r) ≠ 0 torna a multiplicidade exatamente m, e não apenas pelo menos m. Dividir repetidamente por x − r até obter quociente não nulo em r determina m.

Exemplo resolvido · Contar fatores e valores distintos

Em $P(x)=(x-2)^3(x+1)^2$ , identifique grau, raízes e multiplicidades.

Resolução

O grau é 3 + 2 = 5. O fator x − 2 aparece três vezes e o fator x + 1 aparece duas.
Em 2, o fator restante (x + 1)² vale 9 ≠ 0, então a multiplicidade de 2 é exatamente 3. Em −1, o fator restante (x − 2)³ vale −27 ≠ 0, então a multiplicidade é exatamente 2.

Duas raízes distintas: 2, de multiplicidade 3, e −1, de multiplicidade 2. Contando multiplicidades, são cinco.

Exemplo resolvido · Dividir novamente pela mesma base

Determine a multiplicidade de 2 em $P(x)=x^3-3x^2+4$ .

Resolução

Na primeira divisão por x − 2, usamos a lista 1, −3, 0, 4, incluindo o zero do termo x ausente. Baixamos 1; depois −3 + 2 · 1 = −1, 0 + 2 · (−1) = −2 e 4 + 2 · (−2) = 0. O quociente é x² − x − 2, com resto zero.
Dividimos esse quociente por x − 2 usando 1, −1, −2: baixamos 1, calculamos −1 + 2 · 1 = 1 e −2 + 2 · 1 = 0. Obtemos x + 1, novamente com resto zero.
Agora o quociente vale 3 em x = 2, não zero. Portanto P(x) = (x − 2)²(x + 1), e a multiplicidade exata de 2 é 2.

A raiz 2 é dupla; −1 é simples.

Duas divisões exatas retiram dois fatores x − 2. O quociente final x + 1 não zera em 2, encerrando a contagem.

A relação com os sinais já estudada permanece: para uma raiz real, um fator de multiplicidade par não troca seu próprio sinal ao atravessar a raiz; um de multiplicidade ímpar troca. O estudo completo do gráfico pertence à matéria Funções.

7Quantas raízes distintas um polinômio pode ter?

Cada raiz distinta fornece um fator linear. Depois de retirar um fator correspondente à raiz r, outra raiz s ≠ r continua sendo raiz do quociente: 0 = (s − r)Q(s), e s − r é não nulo. Podemos repetir o argumento, diminuindo o grau em um por raiz distinta.

\#\{r:P(r)=0\}\le n

P é não nulo de grau n ≥ 0, em ℂ ou em qualquer subconjunto de ℂ. Cada raiz distinta retira um fator linear e diminui o grau em um. O símbolo # conta elementos distintos. A afirmação não vale para o polinômio identicamente nulo.

Um polinômio não nulo de grau n não pode perder mais que n fatores lineares. Se tivesse n + 1 raízes distintas, chegaríamos a uma constante não nula que ainda precisaria ter uma raiz, impossível. Essa prova dá um limite; não garante ainda a existência de alguma raiz.

Exemplo resolvido · Um grau grande não exige raízes distintas

Quantas raízes distintas tem $P(x)=(x-3)^6$ ?

Resolução

O grau é 6, mas todos os seis fatores se anulam no mesmo valor 3.
O conjunto solução é {3}. A raiz tem multiplicidade 6, sem contradizer o limite de no máximo seis raízes distintas.

Uma raiz distinta, contada seis vezes pela multiplicidade.

\begin{gathered}P(c_j)=Q(c_j)\ (j=0,\ldots,n)\\\Longrightarrow P\equiv Q\end{gathered}

\begin{gathered}P(c_j)=Q(c_j)\\j=0,\ldots,n\\\Longrightarrow P\equiv Q\end{gathered}

n é inteiro não negativo e c₀, …, cₙ são n + 1 números complexos distintos. P e Q são nulos ou têm grau no máximo n. Se P − Q fosse não nulo, teria grau no máximo n e não poderia ter n + 1 raízes distintas. Menos pontos não garantem a conclusão em geral.

Exemplo resolvido · Uma identidade provada por valores suficientes

P e Q têm grau no máximo 2 e coincidem em três números distintos. Isso garante P ≡ Q?

Resolução

A diferença P − Q tem grau no máximo 2, se não for nula. Nos três pontos dados, ela vale zero.
Um polinômio não nulo de grau no máximo 2 não tem três raízes distintas. Portanto a diferença é identicamente nula, e os polinômios são iguais.
Dois pontos não bastariam em geral: o polinômio x(x − 1) coincide com zero em 0 e 1, mas não em todos os pontos.

Sim, três pontos distintos bastam para esse limite de grau.

8Teorema fundamental da Álgebra e fatoração completa

O limite anterior diz “no máximo”. Para saber que todo polinômio não constante realmente possui alguma raiz em ℂ, usamos o teorema fundamental da Álgebra. Aqui o enunciamos; sua demonstração geral exige ferramentas além desta aula. Vamos, porém, demonstrar a consequência usada na contagem.

\deg P=n\ge1\implies\exists r\in\mathbb C:\ P(r)=0

\begin{gathered}\deg P=n\ge1\\\Longrightarrow\exists r\in\mathbb C\\P(r)=0\end{gathered}

P tem coeficientes complexos e coeficiente dominante não nulo. O enunciado garante ao menos uma raiz complexa, que pode ser real. A demonstração geral não é feita nesta aula. Com o teorema do fator, ele implica exatamente n raízes em ℂ contando multiplicidades, sem prometer uma fórmula prática para encontrá-las.

\begin{gathered}P(x)=a_n\prod_{j=1}^{s}(x-r_j)^{m_j}\\m_1+\cdots+m_s=n\end{gathered}

P é não nulo de grau n ≥ 1; aₙ ≠ 0; r₁, …, rₛ são as raízes complexas distintas; cada mⱼ é inteiro positivo e sua soma é n. O produto reúne todos os fatores. Listando cada raiz repetidamente, são n fatores lineares, e aₙ preserva o coeficiente dominante.

Pelo teorema, P tem uma raiz r₁. Pelo teorema do fator, P = (x − r₁)Q₁, e o grau diminui em um. Se o quociente não é constante, aplicamos novamente o teorema. Após n passos, resta o coeficiente dominante aₙ. Assim P é aₙ vezes n fatores lineares, com possíveis repetições. Agrupá-las fornece as multiplicidades cuja soma é n.

Exemplo resolvido · Grau quatro com raízes não reais e uma repetição

Fatorem completamente em ℂ $P(x)=(x-2)^2(x^2+1)$ .

Resolução

Em ℂ, x² + 1 = (x − i)(x + i). Portanto P = (x − 2)²(x − i)(x + i).
As raízes distintas são 2, i e −i; as multiplicidades são 2, 1 e 1. A soma é 4, igual ao grau.
Em ℝ, só há a solução real 2, dupla. A contagem de quatro não significa quatro valores reais nem quatro valores distintos.

Em ℂ: 2 é dupla, i e −i são simples.

9Coeficientes reais e pares conjugados

Conjugar uma soma ou produto conjuga cada parcela ou fator. Como um coeficiente real não muda ao ser conjugado, para P real temos P(conjugado de z) = conjugado de P(z). Assim uma raiz não real traz consigo seu conjugado.

P(\overline z)=\overline{P(z)}

P tem coeficientes reais e z é complexo. Se z é raiz, seu conjugado também é raiz, com a mesma multiplicidade. Raízes não reais vêm em pares; raízes reais são seus próprios conjugados. A conclusão não é obrigatória para coeficientes complexos não reais.

As multiplicidades também são iguais. Se P(x) = (x − r)ᵐS(x), com S(r) ≠ 0, conjugue os coeficientes dessa identidade. Como os coeficientes de P são reais, a nova identidade tem o fator (x − conjugado de r)ᵐ; o fator restante avaliado nesse conjugado é o conjugado de S(r), portanto não nulo.

(x-a-bi)(x-a+bi)=(x-a)^2+b^2

\begin{gathered}(x-a-bi)(x-a+bi)\\=(x-a)^2+b^2\end{gathered}

a e b são reais e b ≠ 0. O quadrático tem coeficientes reais, discriminante −4b² < 0 e não possui raiz real. Todo polinômio real não nulo se decompõe, em ℝ, em constante não nula, fatores lineares reais e quadráticos desse tipo, com suas multiplicidades.

Exemplo resolvido · Completar as raízes de uma cúbica real

Um polinômio real de grau 3 tem raízes 1 e 2 + i. Determine a terceira e construa o polinômio mônico.

Resolução

A raiz não real 2 + i obriga a raiz 2 − i. As três raízes já completam o grau.
O par produz (x − 2)² + 1 = x² − 4x + 5. Multiplicamos esse fator por x − 1, que corresponde à raiz real.
Pela distributividade, (x − 1)(x² − 4x + 5) = x³ − 4x² + 5x − x² + 4x − 5. Reunindo os termos semelhantes, obtemos x³ − 5x² + 9x − 5.

Terceira raiz: 2 − i. Polinômio: x³ − 5x² + 9x − 5.

Exemplo resolvido · Uma consequência para graus ímpares

Por que um polinômio real de grau ímpar tem ao menos uma raiz real?

Resolução

Pelo TFA, o total de raízes complexas, contando multiplicidades, é o grau ímpar.
As raízes não reais podem ser agrupadas em pares conjugados de mesmas multiplicidades, contribuindo com um total par. Não podem ocupar sozinhas uma quantidade ímpar; sobra ao menos uma raiz real.

Todo polinômio real de grau ímpar possui raiz real. Para grau par, isso não é garantido.

A fatoração completa em ℝ usa fatores lineares para raízes reais e quadráticos sem raízes reais para os pares não reais. Por exemplo, x⁴ + 1 não tem raiz real, mas o TFA ainda garante quatro raízes complexas contando multiplicidades. Sem coeficientes reais, a regra dos pares conjugados não é obrigatória.

10De onde vêm os candidatos racionais?

Para um polinômio de coeficientes inteiros, não precisamos testar todas as frações. Um teorema restringe os numeradores e denominadores de uma raiz racional. A fração deve estar reduzida, com denominador positivo; só assim a conclusão sobre divisibilidade tem a forma correta.

\begin{gathered}P(p/q)=0\\\Longrightarrow p\mid a_0,\quad q\mid a_n\end{gathered}

P tem coeficientes inteiros, grau n ≥ 1, aₙ ≠ 0 e a₀ ≠ 0. p e q são inteiros coprimos, q > 0, e p/q está reduzida. O símbolo | indica divisibilidade. As condições geram candidatos, não garantem raízes. Se a₀ = 0, retire primeiro a potência de x correspondente à raiz zero. Para coeficientes racionais, elimine denominadores antes.

A justificativa começa em P(p/q) = 0. Multiplicando por qⁿ, obtemos aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + … + a₁pqⁿ⁻¹ + a₀qⁿ = 0. Isolar o primeiro termo mostra que q divide aₙpⁿ; como p e q são coprimos, q divide aₙ. Isolar o último mostra que p divide a₀qⁿ; pelo mesmo motivo, p divide a₀. Para p ≠ 0, podemos aplicar a divisibilidade usando seu valor absoluto.

Exemplo resolvido · Uma lista finita, não uma lista de soluções

Liste os candidatos racionais de $P(x)=2x^3-3x^2-2x+3$ .

Resolução

O numerador reduzido divide 3, e o denominador positivo divide 2. Os candidatos distintos são ±1, ±3, ±1/2 e ±3/2.
Eles ainda precisam ser testados. Por exemplo, P(1) = 2 − 3 − 2 + 3 = 0, mas P(3) = 54 − 27 − 6 + 3 = 24 ≠ 0.

Candidatos: ±1, ±3, ±1/2 e ±3/2; apenas a avaliação confirma quais são raízes.

11Confirmar candidatos e terminar a fatoração

Depois de encontrar uma raiz, use o quociente para continuar a busca. Cada divisão exata reduz o grau e geralmente encurta a lista de candidatos. Se uma base já usada ainda zerar o quociente, ela se repete na fatoração.

Exemplo resolvido · Uma raiz inteira e outra fracionária

Resolva $2x^3-3x^2-2x+3=0$ em ℂ.

Resolução

Já confirmamos a raiz 1. Ruffini com lista 2, −3, −2, 3 dá 2, −1, −3, 0; portanto P = (x − 1)(2x² − x − 3).
O quadrático se fatora como (2x − 3)(x + 1). Assim as outras raízes são 3/2 e −1.
A fatoração completa (x − 1)(2x − 3)(x + 1) tem coeficiente dominante 2 e três raízes simples. Todas são reais, então a resposta em ℝ é a mesma.

𝒮 = {−1, 1, 3/2}.

Exemplo resolvido · Sem raiz racional, mas com raízes reais

O que o teste racional permite concluir sobre $x^2-3=0$ ?

Resolução

Como o polinômio é mônico com termo constante −3, os candidatos racionais são ±1 e ±3. Nenhum zera x² − 3.
Isso prova apenas que não há raiz racional. A equação possui as raízes reais irracionais √3 e −√3. Ausência de candidatos confirmados não significa ausência de solução real.

As duas raízes são irracionais; o teste racional não as encontra.

12Girard: raízes e coeficientes na mesma identidade

Expandir a forma fatorada relaciona as raízes aos coeficientes. O termo logo abaixo do dominante escolhe uma raiz por vez; o seguinte escolhe pares; depois vêm trios, e assim por diante. Essa organização fornece as relações de Girard, sem exigir encontrar cada raiz separadamente.

\begin{gathered}s_k=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}r_{i_1}\cdots r_{i_k}\\s_k=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}\end{gathered}

P tem grau n ≥ 1 e coeficiente dominante aₙ ≠ 0; r₁, …, rₙ são suas raízes complexas listadas com multiplicidade. k é inteiro de 1 a n. sₖ soma todos os produtos de k posições distintas da lista, uma vez cada; valores iguais ainda podem ocupar posições distintas. A fórmula vem da expansão dos n fatores.

Na fórmula, s₁ é a soma das raízes, s₂ a soma dos produtos em pares de posições, s₃ a soma dos produtos em trios. O símbolo de soma reúne todas as escolhas indicadas pelos índices em ordem crescente. As raízes são listadas com multiplicidade: duas posições podem conter o mesmo valor. Cada escolha de k raízes contribui com sinal (−1)ᵏ e com aₙ, justificando a fórmula.

\begin{gathered}r_1+r_2+r_3=-b/a\\r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=c/a\\r_1r_2r_3=-d/a\end{gathered}

P(x) = ax³ + bx² + cx + d, com a ≠ 0 e coeficientes complexos. As três raízes são contadas com multiplicidade. Os sinais alternam; a soma dos produtos em pares não é a soma dos quadrados das raízes.

\begin{gathered}s_1=-b/a,\quad s_2=c/a\\s_3=-d/a,\quad s_4=e/a\end{gathered}

P(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, a ≠ 0. s₁ é a soma das quatro raízes; s₂ soma os seis produtos em pares; s₃ soma os quatro produtos em trios; s₄ é o produto das quatro raízes. Contar multiplicidades.

Exemplo resolvido · Ler três informações de uma cúbica

As raízes de $2x^3-8x^2+10x-4$ são r, s e t. Encontre r + s + t, rs + rt + st e rst.

Resolução

A soma é −(−8)/2 = 4. A soma dos produtos em pares é 10/2 = 5.
O produto é −(−4)/2 = 2. A lista 1, 1, 2 confirma esses valores; a repetição de 1 entra nas três posições da contagem.

Soma = 4; soma dos pares = 5; produto = 2.

Exemplo resolvido · Os sinais alternam também no grau quatro

Para $3x^4-6x^3+9x^2+12x-15$ , encontre s₁, s₂, s₃ e s₄.

Resolução

Dividimos cada coeficiente pertinente pelo dominante 3 e alternamos os sinais: s₁ = 2 e s₂ = 3.
O termo linear fornece s₃ = −12/3 = −4; o termo constante fornece s₄ = −15/3 = −5. Não é necessário calcular as quatro raízes para responder.

s₁ = 2, s₂ = 3, s₃ = −4 e s₄ = −5.

Na expansão de três fatores, os termos em x² somam as raízes com sinal negativo; os termos em x somam os produtos em pares; o termo constante é o oposto do produto das três.

13Combinações das raízes sem resolvê-las uma a uma

Nem toda pergunta pede a lista de raízes. Uma expressão simétrica, que não muda quando trocamos a ordem das raízes, muitas vezes pode ser reescrita usando as somas de Girard. Antes de dividir por raízes, confira se alguma pode ser zero.

\sum_{j=1}^n r_j^2=s_1^2-2s_2

P tem grau n ≥ 2 e raízes listadas com multiplicidade. s₁ e s₂ são a soma das raízes e dos produtos em pares. A identidade é algébrica e também vale para raízes complexas; quadrados complexos não são módulos ao quadrado.

\sum_{j=1}^n\frac1{r_j}=-\frac{a_1}{a_0}

P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ tem grau n ≥ 1, aₙ ≠ 0 e a₀ ≠ 0. Assim nenhuma raiz é zero. Dividir a soma dos produtos de n − 1 raízes pelo produto total produz a soma dos recíprocos; para n = 1, o numerador desse quociente é 1. Contar multiplicidades.

Exemplo resolvido · Quadrados e recíprocos numa mesma cúbica

Para as raízes r, s e t de $x^3-5x^2+7x-3$ , calcule $r^2+s^2+t^2$ e $1/r+1/s+1/t$ .

Resolução

Por Girard, s₁ = 5, s₂ = 7 e s₃ = 3. Expandir (r + s + t)² dá r² + s² + t² + 2(rs + rt + st). Logo a soma dos quadrados é 25 − 14 = 11.
Como o produto é 3 ≠ 0, todas as raízes são não nulas. A soma dos recíprocos é (rs + rt + st)/(rst) = 7/3, também igual a −a₁/a₀.

Soma dos quadrados = 11. Soma dos recíprocos = $7/3$ .

Exemplo resolvido · Uma soma de cubos deduzida por identidade

Nas mesmas condições, calcule $r^3+s^3+t^3$ .

Resolução

Para conferir a identidade, chame M a soma dos seis termos mistos r²s + r²t + rs² + s²t + rt² + st². Expandir o cubo da soma dá (r + s + t)³ = r³ + s³ + t³ + 3M + 6rst.
Pela distributividade, (r + s + t)(rs + rt + st) = M + 3rst. Ao subtrair três vezes esse produto do cubo da soma, os termos 3M se cancelam e 6rst − 9rst = −3rst.
Somando 3rst, obtemos a identidade r³ + s³ + t³ = (r + s + t)³ − 3(r + s + t)(rs + rt + st) + 3rst.
Substituindo s₁ = 5, s₂ = 7 e s₃ = 3, a soma dos cubos é 5³ − 3 · 5 · 7 + 3 · 3 = 125 − 105 + 9 = 29.

A soma dos cubos é 29.

Essas identidades são algébricas e valem também para raízes complexas. Não confunda r² com |r|². A soma dos quadrados de raízes complexas não precisa ser positiva.

14Construir um polinômio a partir das raízes

Uma lista completa de raízes e multiplicidades determina os fatores, mas ainda permite multiplicar tudo por uma constante não nula. Para fixar essa constante, usamos o coeficiente dominante ou um valor numérico fornecido. Sem o grau ou a informação de que a lista é completa, pode haver outros fatores.

Exemplo resolvido · Um valor adicional determina a constante

Construa o polinômio de grau 3 com raiz 1 dupla, raiz −2 simples e P(0) = 4.

Resolução

A forma é P(x) = A(x − 1)²(x + 2), com A ≠ 0. Substituindo zero, P(0) = 2A = 4, então A = 2.
Primeiro (x − 1)² = x² − 2x + 1. Pela distributividade, (x² − 2x + 1)(x + 2) = x³ + 2x² − 2x² − 4x + x + 2 = x³ − 3x + 2.
Multiplicamos pelo valor A = 2: P(x) = 2(x³ − 3x + 2) = 2x³ − 6x + 4.

P(x) = 2(x − 1)²(x + 2) = 2x³ − 6x + 4.

Exemplo resolvido · Coeficientes reais exigem completar o par

Encontre o polinômio real mônico de menor grau que tenha raízes 2 e 1 + i.

Resolução

A raiz 1 − i é obrigatória pelos coeficientes reais. As três raízes são distintas, então o menor grau é 3.
O polinômio mônico é (x − 2)((x − 1)² + 1) = (x − 2)(x² − 2x + 2) = x³ − 4x² + 6x − 4.

Grau mínimo 3; P(x) = x³ − 4x² + 6x − 4.

Q(y)=y^nP(1/y)

P tem grau n ≥ 1, aₙ ≠ 0 e a₀ ≠ 0. A expressão é inicialmente escrita para y ≠ 0 e, ao expandir, define um polinômio de grau n com coeficientes em ordem invertida. Suas raízes são os recíprocos das raízes de P, com as mesmas multiplicidades. O termo constante de Q é aₙ ≠ 0, então y = 0 não é raiz.

Exemplo resolvido · Construir uma equação para os recíprocos

As raízes de $P(x)=2x^3-3x^2-2x+3$ são não nulas. Construa uma equação cujas raízes sejam seus recíprocos.

Resolução

Se y = 1/x, então x = 1/y e y ≠ 0. Substituindo no polinômio, P(1/y) = 0 fica 2/y³ − 3/y² − 2/y + 3 = 0.
Multiplicamos cada termo por y³, não nulo: y³ · (2/y³) − y³ · (3/y²) − y³ · (2/y) + 3y³ = 0. Cancelando as potências comuns, obtemos 2 − 3y − 2y² + 3y³ = 0.
A nova equação é 3y³ − 2y² − 3y + 2 = 0. Seu termo constante é 2, logo y = 0 não foi acrescentado. As raízes são −1, 1 e 2/3, recíprocas de −1, 1 e 3/2.

Uma equação é 3y³ − 2y² − 3y + 2 = 0.

15Parâmetros, grau e raízes repetidas

Um parâmetro pode alterar o grau ou fazer raízes coincidirem. Antes de usar uma relação que divide pelo coeficiente dominante, separe os valores que o anulam. Para exigir uma raiz repetida sem usar derivadas, imponha divisões sucessivas pelo mesmo fator.

Exemplo resolvido · Raiz dupla por duas divisões

Determine a e b reais para que 1 seja raiz de multiplicidade pelo menos 2 em $P(x)=x^3+ax+b$ .

Resolução

A primeira condição é P(1) = 1 + a + b = 0. Em Ruffini com base 1, a lista é 1, 0, a, b. Baixamos 1; depois 0 + 1 · 1 = 1, a + 1 · 1 = a + 1 e b + 1 · (a + 1) = a + b + 1. O último valor é o resto, que deve ser zero; o quociente é x² + x + a + 1.
Para retirar outro fator x − 1, o quociente também deve zerar em 1: 1 + 1 + a + 1 = a + 3 = 0. Logo a = −3 e b = 2.
O resultado é x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2). Como o fator restante vale 3 em 1, a multiplicidade é exatamente 2.

a = −3 e b = 2; a raiz 1 é dupla.

Exemplo resolvido · O parâmetro pode retirar um grau

Discuta o grau e a contagem de raízes complexas de $(t-1)x^3+x^2-4=0$ , para t real.

Resolução

Se t ≠ 1, o coeficiente cúbico é não nulo: a equação tem grau 3 e, pelo TFA, três raízes complexas contando multiplicidades. Isso não informa quantas são distintas ou reais.
Se t = 1, a equação vira x² − 4 = 0, com as duas raízes simples −2 e 2. Não usamos uma fórmula cúbica que divide por t − 1 nesse caso.

t ≠ 1: grau 3. t = 1: grau 2, raízes −2 e 2.

16Substituições e equações recíprocas

Algumas equações têm um padrão que permite trocar uma potência ou uma expressão por outra incógnita. A substituição reduz o grau aparente, mas a volta à variável original faz parte da solução. O universo define quais retornos são aceitos.

P(x)=Q(x^m),\quad t=x^m

m é inteiro com m ≥ 2. Resolva Q(t) = 0 e depois cada xᵐ = t. Em ℝ, m par exige t ≥ 0 e dá dois retornos para t > 0, um para t = 0 e nenhum para t < 0; m ímpar dá um retorno real. Em ℂ, a existência e contagem seguem o TFA; os casos aqui usam quadrados e fatoração.

Exemplo resolvido · Biquadrada nos reais e nos complexos

Resolva $x^4+3x^2-4=0$ .

Resolução

Faça t = x². Obtemos t² + 3t − 4 = (t − 1)(t + 4) = 0, então t = 1 ou t = −4.
Em ℝ, x² = −4 é impossível, e x² = 1 fornece ±1. Em ℂ, o ramo x² = −4 também fornece ±2i.

Em ℝ: {−1, 1}. Em ℂ: {−1, 1, −2i, 2i}.

Exemplo resolvido · Coeficientes simétricos sugerem x + 1/x

Resolva $x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0$ em ℂ.

Resolução

O termo constante é 1, então x = 0 não é raiz. Podemos dividir por x²: x² + 1/x² − 3(x + 1/x) + 4 = 0.
Faça t = x + 1/x. Como t² = x² + 2 + 1/x², temos x² + 1/x² = t² − 2. Substituindo, t² − 2 − 3t + 4 = 0, ou t² − 3t + 2 = (t − 1)(t − 2) = 0. Portanto t = 1 ou t = 2.
Para t = 1, x + 1/x = 1. Multiplicamos por x, não nulo: x² + 1 = x, isto é, x² − x + 1 = 0. Seu discriminante é (−1)² − 4 · 1 · 1 = −3. Pela fórmula quadrática em ℂ, x = (1 ± i√3)/2.
Para t = 2, multiplicar x + 1/x = 2 por x dá x² − 2x + 1 = (x − 1)² = 0, com raiz dupla 1.
A fatoração original é (x² − x + 1)(x − 1)². Assim as duas raízes não reais são simples, e em ℝ resta apenas a raiz 1.

Em ℂ: raiz dupla 1 e raízes simples $\frac{1+i\sqrt3}{2}$ e $\frac{1-i\sqrt3}{2}$ .

17Restos de grau maior e raízes repetidas do divisor

Se o divisor tem grau dois, o resto pode ser linear, e não apenas um número. Substituir raízes distintas do divisor na identidade P = DQ + R fornece condições sobre o resto. Raízes repetidas exigem outro cuidado: repetir a mesma avaliação não cria informação nova.

\begin{gathered}P(x)=D(x)Q(x)+ux+v\\D(\alpha)=D(\beta)=0\\u\alpha+v=P(\alpha)\\u\beta+v=P(\beta)\end{gathered}

\begin{gathered}P(x)=D(x)Q(x)\\{}+ux+v\\D(\alpha)=D(\beta)=0\\u\alpha+v=P(\alpha)\\u\beta+v=P(\beta)\end{gathered}

D tem grau dois e duas raízes distintas α e β. O resto tem grau no máximo um, incluindo o nulo; u e v são determinados pelo sistema. Se α = β, as duas avaliações repetem a mesma condição e não bastam para determinar u e v; use divisão ou expansão em potências de x − α.

Exemplo resolvido · Duas avaliações determinam um resto linear

Calcule o resto de $x^5+2x^2+3$ na divisão por x² − 1.

Resolução

O resto tem forma ux + v. As raízes do divisor são 1 e −1. Em 1, P(1) = 6, então u + v = 6. Em −1, P(−1) = 4, então −u + v = 4.
Somando as duas equações, v = 5; em seguida u = 1. Logo R(x) = x + 5. Podemos conferir usando x² = 1 nos restos: x⁵ deixa resto x e 2x² deixa resto 2.

R(x) = x + 5.

Exemplo resolvido · Um divisor com raiz dupla

Calcule o resto de x⁴ na divisão por (x − 1)².

Resolução

A condição em x = 1 só informa R(1) = 1 e não basta para determinar um resto linear. Faça y = x − 1, então x = y + 1.
Expandindo, x⁴ = (y + 1)⁴ = y⁴ + 4y³ + 6y² + 4y + 1. Os três primeiros termos são múltiplos de y²; o resto é 4y + 1.
Voltando a x, R(x) = 4(x − 1) + 1 = 4x − 3. A identidade x⁴ = (x − 1)²(x² + 2x + 3) + 4x − 3 confere o resultado.

R(x) = 4x − 3.

18Descartes: possibilidades para os sinais das raízes

Para coeficientes reais, existe uma regra que limita a quantidade de raízes positivas e negativas pelos sinais dos coeficientes. Ela não calcula seus valores. Escreva os coeficientes em ordem decrescente dos graus e ignore os nulos ao contar mudanças de sinal.

\begin{gathered}N_+=V(P)-2k\\N_-=V(P(-x))-2\ell\end{gathered}

P é real não nulo. V conta trocas de sinal na lista de coeficientes não nulos em ordem decrescente dos graus; coeficientes zero são ignorados. N₊ e N₋ contam raízes reais positivas e negativas com multiplicidade. k e ℓ são inteiros não negativos e os resultados não podem ser negativos. Zero é contado separadamente. A regra fornece possibilidades e não obriga cada combinação possível a ocorrer.

Enunciamos a regra sem sua demonstração geral. Conte as mudanças de sinal de P(x): a quantidade de raízes positivas, contando multiplicidades, é esse número ou um número menor por uma diferença par. Faça o mesmo com P(−x) para raízes negativas. A raiz zero, se existir, é registrada separadamente.

Exemplo resolvido · Uma única raiz positiva e nenhuma negativa

Aplique a regra a $P(x)=x^3+x^2-2$ .

Resolução

Os coeficientes não nulos de P são 1, 1, −2: há uma mudança de sinal. Portanto existe exatamente uma raiz positiva, contando multiplicidade.
Em P(−x) = −x³ + x² − 2, a lista −1, 1, −2 tem duas mudanças: há duas ou nenhuma raiz negativa. A regra sozinha não decide entre elas.
Fatorando P = (x − 1)(x² + 2x + 2), vemos que a raiz positiva é 1 e que não há raiz negativa, pois o quadrático tem discriminante −4.

A regra admite duas ou nenhuma raiz negativa; a fatoração confirma nenhuma.

Exemplo resolvido · Três mudanças não garantem três raízes positivas

Compare $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$ e $Q(x)=x^3-x^2+x-1$ .

Resolução

Os dois têm sinais alternados +, −, +, −: três mudanças. A regra permite três ou uma raiz positiva, contando multiplicidades.
P = (x − 1)(x − 2)(x − 3) tem três raízes positivas. Já Q = (x − 1)(x² + 1) tem só uma positiva e duas não reais. Isso mostra por que possibilidades não são uma contagem já confirmada.

A informação de sinais restringe a busca, mas precisa ser combinada com outros métodos.

19Localizar e aproximar uma raiz real

Nem toda raiz se deixa encontrar pelo teste racional. Para um polinômio real, valores de sinais opostos em dois pontos garantem ao menos uma raiz entre eles. O resultado usa a continuidade: polinômios não saltam de um valor negativo para um positivo sem passar por zero. Aqui usamos esse caso do teorema do valor intermediário sem desenvolver toda a teoria de continuidade.

\begin{gathered}a<b,\quad P(a)P(b)<0\\\Longrightarrow\exists c\in(a,b):P(c)=0\end{gathered}

P é polinômio de coeficientes reais. O resultado usa a continuidade dos polinômios, um caso do teorema do valor intermediário. Garante ao menos uma raiz entre os pontos, sem provar unicidade. Sinais iguais não provam ausência de raízes; se um extremo já zera P, ele é raiz e deve ser registrado.

Exemplo resolvido · Um intervalo que contém uma raiz irracional

Localize a raiz real de $P(x)=x^3-2$ .

Resolução

P(1) = −1 e P(2) = 6, então há ao menos uma raiz em (1, 2). O teste racional examina ±1 e ±2 e não encontra nenhuma, portanto essa raiz real não é racional.
Ela é única: se u > v ≥ 0, então u³ − v³ = (u − v)(u² + uv + v²) > 0. Assim duas entradas não negativas distintas não têm o mesmo cubo. Uma entrada negativa tem cubo negativo e não resolve x³ = 2.

A única raiz real é a raiz cúbica de 2, entre 1 e 2.

L_k=\frac{b-a}{2^k}

P é real e os extremos iniciais a < b têm valores de sinais opostos. Em cada passo, avaliar o ponto médio e manter uma metade cujos extremos conservem sinais opostos; se o ponto médio for raiz, parar. k é inteiro não negativo. Enquanto o processo continuar, o intervalo contém uma raiz e tem comprimento Lₖ; o erro do ponto médio como aproximação de uma raiz desse intervalo é no máximo Lₖ/2.

Exemplo resolvido · Bissecção com uma garantia de erro

Aproxime a mesma raiz usando três divisões sucessivas do intervalo [1, 2].

Resolução

O primeiro ponto médio é (1 + 2)/2 = 1,5. Calculamos P(1,5) = 1,5³ − 2 = 3,375 − 2 = 1,375 > 0. Como P(1) < 0, mantemos [1; 1,5].
O segundo ponto médio é (1 + 1,5)/2 = 1,25. Agora P(1,25) = 1,25³ − 2 = 1,953125 − 2 = −0,046875 < 0. Como P(1,5) > 0, mantemos [1,25; 1,5].
O terceiro ponto médio é (1,25 + 1,5)/2 = 1,375. Seu cubo é 2,599609375, então P(1,375) = 2,599609375 − 2 = 0,599609375 > 0. Mantemos [1,25; 1,375], cujos extremos conservam sinais opostos.
Após três passos, o comprimento é (2 − 1)/2³ = 1/8 = 0,125. O ponto médio final é (1,25 + 1,375)/2 = 1,3125. Como ele fica no centro do intervalo, seu erro em relação à raiz é no máximo 0,125/2 = 0,0625. Mais passos refinam a aproximação; 1,3125 não é apresentado como raiz exata.

Após três passos: raiz em [1,25; 1,375]; aproximação pelo ponto médio 1,3125, com erro ≤ 0,0625.

Os intervalos são metades sucessivas na mesma escala. Cada trecho mantido tem extremos cujos valores do polinômio possuem sinais opostos.

20Medidas, modelos e condições do problema

Uma equação encontrada num problema é apenas parte da resolução. As raízes precisam respeitar dimensões positivas, unidades e o domínio do modelo. Fatorar com exatidão permite verificar todas as possibilidades antes de escolher a que responde à pergunta.

Exemplo resolvido · Volume de uma caixa retangular

Uma caixa tem largura x cm, comprimento (x + 1) cm, altura (x + 2) cm e volume 60 cm³. Determine suas dimensões.

Resolução

As medidas exigem x > 0. A equação é x(x + 1)(x + 2) = 60, ou x³ + 3x² + 2x − 60 = 0.
O candidato x = 3 produz 3 · 4 · 5 = 60. Para dividir por x − 3, Ruffini usa a lista 1, 3, 2, −60: baixamos 1, depois 3 + 3 · 1 = 6, 2 + 3 · 6 = 20 e −60 + 3 · 20 = 0. O quociente é x² + 6x + 20.
O discriminante do quociente é Δ = 6² − 4 · 1 · 20 = 36 − 80 = −44. Como é negativo, esse fator não fornece outras raízes reais.
Logo a única raiz real é 3, compatível com as medidas positivas. A conferência do volume é 3 cm · 4 cm · 5 cm = 60 cm³.

Largura 3 cm, comprimento 4 cm e altura 5 cm.

A caixa está indicada com as três dimensões do modelo. Em x = 3, elas medem 3, 4 e 5 cm; o volume é o produto dessas medidas.

Exemplo resolvido · Soluções da equação versus soluções do contexto

Um modelo fornecido exige $q^3-5q^2+4q=0$ , em que q é uma quantidade inteira positiva. Determine os valores aceitos.

Resolução

Fatoramos q(q² − 5q + 4) = q(q − 1)(q − 4). As soluções da equação nos reais são 0, 1 e 4.
O contexto pede inteiro positivo: zero é excluído e os valores 1 e 4 são aceitos. A restrição vem do enunciado, não de uma regra para apagar o fator q.

Os valores aceitos são q = 1 e q = 4.

21Agora é com você

Antes de resolver, declare o universo e reduza a expressão. Nos dispositivos, preserve coeficientes nulos; nas raízes repetidas, confirme a multiplicidade; nas questões de contagem, diferencie raízes distintas de raízes contadas com repetição. Nas discursivas, escreva a identidade ou a justificativa que valida o método.

Questão 1 de 480 conferidas

Fixação · Objetiva

Qual é o grau de x⁴ + 2x² = x⁴ + 7 depois da redução?

A4.B2.C1.D0.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

22O que levar desta aula

Uma raiz r satisfaz P(r) = 0 exatamente. Grau é calculado depois da redução, e o universo real ou complexo muda a resposta. Constantes e polinômio nulo precisam de análise própria.
A identidade P = DQ + R, com D não nulo e resto de grau menor que o divisor ou nulo, continua válida com coeficientes complexos. A fração P/D conserva suas exclusões de domínio.
O resto por x − c é P(c). Pelo teorema do fator, P(c) = 0 equivale à existência do fator x − c.
Ruffini usa a base c do divisor x − c e todos os coeficientes em ordem decrescente. A linha final fornece coeficientes do quociente e, por último, o resto.
Para divisor ax + b com a ≠ 0, use c = −b/a e divida por a o quociente obtido para x − c. O resto não muda.
Cada raiz confirmada permite reduzir o grau por divisão exata. Mantenha o ramo da raiz retirada e não divida uma equação por um fator que pode zerar sem separar esse caso.
A multiplicidade exata m exige P = (x − r)ᵐS e S(r) ≠ 0. Conjunto solução conta valores distintos; a contagem pelo grau considera multiplicidades.
Um polinômio não nulo de grau n tem no máximo n raízes distintas. Concordância de dois polinômios de grau no máximo n em n + 1 pontos distintos prova a identidade.
O TFA garante raiz complexa a todo polinômio não constante com coeficientes complexos. Sua demonstração geral não foi feita aqui; com o teorema do fator, ele fornece n raízes contando multiplicidades.
Coeficientes reais obrigam pares de raízes não reais conjugadas com multiplicidades iguais. Cada par forma um quadrático real sem raiz real; grau real ímpar garante alguma raiz real.
O teste racional exige coeficientes inteiros e fração reduzida. Numerador divide o termo constante, denominador divide o dominante. A lista contém candidatos; ausência de raízes racionais não exclui irracionais.
Girard relaciona somas de produtos das raízes aos coeficientes, com sinais alternados e divisão pelo dominante. Raízes repetidas ocupam posições repetidas na lista.
Combinações simétricas podem ser calculadas sem achar cada raiz. Recíprocos exigem raízes não nulas; soma de quadrados não é soma de módulos ao quadrado.
Para construir um polinômio, use todos os fatores exigidos e determine a constante não nula por outro dado. Grau mínimo, coeficientes reais e multiplicidades podem obrigar fatores adicionais.
Parâmetros podem anular o coeficiente dominante ou repetir raízes. Separe as mudanças de grau e use divisões sucessivas para testar repetição.
Substituições exigem voltar à incógnita original e preservar suas restrições. Uma raiz negativa da equação em t = x² não retorna a x real.
Resto por divisor quadrático pode ser linear. Duas raízes distintas do divisor fornecem duas avaliações; uma raiz dupla não fornece duas condições diferentes pela mesma avaliação.
Descartes limita raízes positivas e negativas contando mudanças de sinal e multiplicidades. Ignore coeficientes zero e conte a raiz zero separadamente; possibilidades não são soluções confirmadas.
Sinais opostos de um polinômio real em dois pontos garantem alguma raiz entre eles. Bissecção mantém um intervalo e controla seu comprimento; aproximação numérica não é igualdade exata.
Em problemas, selecione as raízes compatíveis com medidas, unidades, contagem e domínio do modelo, e confira a resposta na condição original.

Esta aula completa o roteiro inicial de doze aulas de Álgebra. Isso não esgota todos os aprofundamentos possíveis. Pelo planejamento geral, a próxima frente de autoria é Matemática Básica, começando por Números e operações; o aprofundamento de Geometria permanece para depois, e a forma trigonométrica dos complexos depende da trilha de Trigonometria.