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Inequações e estudo de sinais

Investigue onde expressões são positivas, negativas ou nulas. Resolva produtos, quocientes e inequações quadráticas, preservando o domínio e combinando condições em intervalos.

1O que uma inequação pede e como escrever a resposta

Uma equação procura igualdades; uma inequação compara valores por <, >, ≤ ou ≥. Resolver significa descrever todos os valores permitidos que tornam a comparação verdadeira. A resposta pode ser um intervalo, vários intervalos, um ponto isolado, todo o universo ou nenhum valor.

O universo declara onde procuramos soluções, como os reais ou os inteiros. O domínio elimina entradas em que a expressão original não existe. Começaremos nos reais; problemas de contagem e medidas acrescentarão suas condições. O conjunto solução será escrito 𝒮.

a<x≤b  ⟺  x∈(a,b]a<x\le b\iff x\in(a,b]

a e b são reais, com a < b. Parêntese exclui o extremo; colchete inclui. Infinito e menos infinito não são números reais incluídos: os lados correspondentes de intervalos infinitos usam parênteses.

Exemplo resolvido · Dois tipos de extremo na mesma resposta

Escreva em intervalos a condição −2<x≤3-2<x\le3. Depois restrinja-a aos inteiros.

Resolução

  1. Nos reais, a resposta é (−2, 3]: o ponto −2 está excluído e o ponto 3 está incluído.
  2. Nos inteiros, a mesma condição admite apenas −1, 0, 1, 2 e 3. Não se deve arredondar o extremo e perder a condição estrita.

Em ℝ: (−2, 3]. Em ℤ: {−1, 0, 1, 2, 3}.

U<V  ⟺  U+W<V+WU<V\iff U+W<V+W
U<V⇕U+W<V+W\begin{gathered}U<V\\\Updownarrow\\U+W<V+W\end{gathered}

U, V e W são expressões reais definidas no domínio considerado. Somar a mesma quantidade aos dois membros preserva a relação, mesmo se W for negativa. A regra vale também para >, ≤ e ≥. Todas as expressões originais precisam continuar definidas.

M>0: U<V  ⟺  MU<MVM<0: U<V  ⟺  MU>MV\begin{gathered}M>0:\ U<V\iff MU<MV\\M<0:\ U<V\iff MU>MV\end{gathered}
M>0:U<V  ⟺  MU<MVM<0:U<V  ⟺  MU>MV\begin{gathered}M>0:\\U<V\iff MU<MV\\M<0:\\U<V\iff MU>MV\end{gathered}

M, U e V são reais definidos em cada entrada do domínio. Para M > 0, preservar a orientação; para M < 0, inverter. Dividir por M segue a mesma regra quando M ≠ 0. Se M puder mudar de sinal, separar casos; se M = 0, a multiplicação não é uma equivalência. As versões não estritas seguem o mesmo princípio.

Exemplo resolvido · Inverter a orientação exige uma multiplicação negativa

Resolva −3x+6>0-3x+6>0.

Resolução

  1. Subtrair 6 dos dois membros preserva a comparação: −3x > −6. Dividir por −3 inverte a relação, dando x < 2.
  2. O valor 2 produz zero e não atende ao sinal >. O número 1 satisfaz a original, e 3 não satisfaz, confirmando o lado escolhido.

𝒮 = (−∞, 2).

2O sinal de um fator linear

Estudar o sinal é descobrir onde uma expressão vale mais que zero, menos que zero ou exatamente zero. Um fator linear ax + b, com a ≠ 0, tem apenas um zero. Sua fatoração mostra por que o sinal fica constante de cada lado desse ponto.

ax+b=a(x−r),r=−baax+b=a(x-r),\qquad r=-\frac ba
ax+b=a(x−r)r=−ba\begin{gathered}ax+b=a(x-r)\\r=-\frac ba\end{gathered}

a e b reais, a ≠ 0. À esquerda de r, x − r é negativo; à direita, positivo; em r, zero. Multiplicar pelo sinal de a determina o sinal de ax + b. Se a = 0, a expressão é a constante b e precisa de análise própria.

Exemplo resolvido · Coeficiente principal positivo

Estude o sinal de 2x−62x-6.

Resolução

  1. O zero é 3, e 2x − 6 = 2(x − 3). Para x < 3, x − 3 é negativo e o fator 2 preserva esse sinal.
  2. Em x = 3 a expressão é zero; para x > 3 ela é positiva. Logo 2x − 6 ≥ 0 equivale a x ≥ 3.

Negativo antes de 3, zero em 3 e positivo depois de 3.

Exemplo resolvido · Coeficiente negativo e caso constante

Compare os sinais de 5−x5-x, 0x−40x-4 e 0x0x.

Resolução

  1. Temos 5 − x = −(x − 5). O sinal é positivo para x < 5, zero em 5 e negativo para x > 5.
  2. A expressão 0x − 4 é a constante −4, sempre negativa. Já 0x vale zero em todos os reais, sem uma troca de sinal localizada.
  3. Por exemplo, −4 < 0 aceita todos os reais, enquanto 0x > 0 não aceita nenhum. A fórmula r = −b/a não se aplica quando a = 0.

O sinal de a decide os lados; a = 0 precisa de análise constante.

3Produtos: combinar os sinais dos fatores

O sinal do produto depende dos sinais dos fatores no mesmo valor de x. Fatores de mesmo sinal dão produto positivo; sinais opostos dão produto negativo. Antes de incluir um zero, todas as expressões que formam o produto precisam existir.

UV>0  ⟺  (U>0 e V>0)ou (U<0 e V<0)\begin{gathered}UV>0\iff\\(U>0\ \text{e}\ V>0)\\\text{ou}\ (U<0\ \text{e}\ V<0)\end{gathered}

U e V são valores reais definidos. Produto positivo exige fatores de mesmo sinal e não nulos. Produto negativo exige sinais opostos. Um produto de vários fatores não nulos é negativo se a quantidade de fatores negativos é ímpar, e positivo se é par.

UV=0  ⟺  U=0 ou V=0\begin{gathered}UV=0\iff\\U=0\ \text{ou}\ V=0\end{gathered}

U e V reais definidos no domínio original. Um fator zero torna o produto zero apenas se todos os outros fatores estiverem definidos. Na relação ≥ ou ≤, zeros permitidos podem ser incluídos; nas relações > ou <, não.

Exemplo resolvido · Um produto não exige que todos os fatores sejam positivos

Resolva (x−1)(x−4)>0(x-1)(x-4)>0.

Resolução

  1. Os zeros são 1 e 4. Para x < 1, ambos os fatores são negativos, então o produto é positivo.
  2. Entre 1 e 4, o primeiro fator é positivo e o segundo negativo: produto negativo. Depois de 4, ambos são positivos.
  3. Os zeros ficam fora porque a relação é estrita. A resposta reúne os dois intervalos de produto positivo, não apenas o trecho em que ambos os fatores são positivos.

𝒮 = (−∞, 1) ∪ (4, +∞).

P = (x − 1)(x − 4)14x − 1−++x − 4−−+P+−+P > 014
As raízes 1 e 4 separam os intervalos do quadro. O produto é positivo fora delas e negativo entre elas. Na reta de solução, as bolinhas abertas excluem as raízes porque a condição é P > 0.

Exemplo resolvido · Uma relação não estrita pode incluir os zeros

Resolva (x−1)(x−4)≤0(x-1)(x-4)\le0.

Resolução

  1. O produto é negativo somente entre 1 e 4 e é zero em 1 e 4. A relação ≤ aceita as duas situações.
  2. Como não há denominador nem outra exclusão, ambos os extremos podem ser incluídos. A condição x < 1 não serve, pois ali o produto é positivo.

𝒮 = [1, 4].

4Construir e justificar o quadro de sinais

Um quadro de sinais organiza a reta em regiões separadas pelos zeros e pelos pontos proibidos. Chamaremos esses valores de pontos críticos da análise: o termo aqui indica fronteiras de sinal ou de domínio, sem usar cálculo diferencial. Ordená-los é essencial, inclusive quando são frações ou radicais.

  • Declare o domínio original e transforme a comparação em uma expressão comparada com zero.
  • Fatore e encontre os zeros reais do numerador e do denominador, preservando restrições já existentes.
  • Ordene os pontos críticos e use os mesmos intervalos em todas as linhas.
  • Determine o sinal de cada fator em cada intervalo e combine os sinais.
  • Selecione os intervalos pedidos; examine os pontos críticos separadamente e aplique o domínio.

Nos fatores lineares, a expressão a(x − r) justifica o sinal em cada intervalo. Quadráticos sem raízes terão seu sinal justificado adiante por completar quadrados. Por isso, quando esses fatores não têm zeros dentro de um intervalo, seu sinal já é conhecido e não muda nele. Testar um número de cada intervalo é uma maneira de conferir esse sinal; testar pontos isolados, sem essa justificativa, não prova uma afirmação sobre qualquer expressão arbitrária.

Exemplo resolvido · Três fatores lineares

Resolva (x+3)(x−1)(x−4)≥0(x+3)(x-1)(x-4)\ge0.

Resolução

  1. Os zeros ordenados são −3, 1 e 4. Na ordem dos quatro intervalos, os sinais dos fatores dão produto negativo, positivo, negativo e positivo.
  2. Por exemplo, em x = −4 há três fatores negativos; em x = 0 há dois negativos; em x = 2 há um; em x = 5 não há nenhum.
  3. Selecionamos o trecho entre −3 e 1 e o trecho depois de 4. Todos os zeros pertencem ao domínio e são aceitos por ≥.

𝒮 = [−3, 1] ∪ [4, +∞).

Exemplo resolvido · Uma constante negativa afeta a linha final

Resolva −2(x+1)(x−2)<0-2(x+1)(x-2)<0.

Resolução

  1. Dividir por −2, constante negativa, inverte a relação: (x + 1)(x − 2) > 0.
  2. O produto dos binômios é positivo fora de −1 e 2. Os extremos estão excluídos pela relação estrita.

𝒮 = (−∞, −1) ∪ (2, +∞).

5Raízes repetidas e pontos isolados

Uma raiz repetida aparece em mais de uma cópia do mesmo fator. Essa quantidade de cópias é sua multiplicidade. Uma potência par preserva o sinal ao atravessar o zero; uma potência ímpar troca o sinal. Essas afirmações consideram que os outros fatores são não nulos naquele ponto.

(x−r)2n>0(x≠r)(r−r)2n=0\begin{gathered}(x-r)^{2n}>0\quad(x\ne r)\\(r-r)^{2n}=0\end{gathered}

r e x reais e n inteiro positivo. A potência par é positiva dos dois lados de r, portanto não troca o sinal ao atravessar r. Se estiver no denominador, r é sempre excluído; no numerador, pode ser um zero permitido.

{(x−r)2n+1<0,x<r(x−r)2n+1=0,x=r(x−r)2n+1>0,x>r\begin{cases}(x-r)^{2n+1}<0,&x<r\\(x-r)^{2n+1}=0,&x=r\\(x-r)^{2n+1}>0,&x>r\end{cases}

x e r reais e n inteiro não negativo. Uma potência ímpar tem o mesmo sinal de sua base. Na fatoração de um polinômio, a quantidade de cópias do fator x − r é a multiplicidade do zero; multiplicidade ímpar troca o sinal e par o preserva, se o restante for não nulo nesse ponto.

Exemplo resolvido · Uma raiz par pode entrar como ponto isolado

Resolva (x+2)2(x−1)≥0(x+2)^2(x-1)\ge0.

Resolução

  1. Fora de x = −2, o fator (x + 2)² é positivo e o produto tem o sinal de x − 1: negativo antes de 1 e positivo depois.
  2. Em x = −2, o produto é zero e a relação ≥ aceita esse ponto, embora seus vizinhos próximos tenham produto negativo. Em x = 1 também temos um zero permitido.
  3. Por isso a solução é o ponto isolado −2 unido à semirreta que começa em 1. Se a relação fosse > 0, a solução seria apenas (1, +∞).

𝒮 = {−2} ∪ [1, +∞).

P = (x + 2)²(x − 1)−−+−21−21P ≥ 0
O fator par não troca o sinal em −2. Na condição ≥ 0, esse zero entra como ponto isolado; o intervalo positivo começa depois de 1 e inclui 1 por ser zero permitido.

Exemplo resolvido · Uma potência ímpar mantém a troca de sinal

Resolva (x−3)3(x+1)>0(x-3)^3(x+1)>0.

Resolução

  1. O cubo de x − 3 tem o mesmo sinal de x − 3. Assim a seleção de sinais é a mesma de (x − 3)(x + 1) > 0.
  2. Antes de −1, os dois fatores são negativos; entre −1 e 3, os sinais são opostos; depois de 3, ambos são positivos. Os zeros não entram.

𝒮 = (−∞, −1) ∪ (3, +∞).

6Quadráticas com duas raízes reais distintas

A aula anterior fornece as raízes de Q(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Se Δ > 0, ordene-as como r₁ < r₂ e escreva a forma fatorada. Os sinais vêm do produto de dois fatores lineares, sem precisar decorar uma regra de desenho de parábola.

Q(x)=a(x−r1)(x−r2)Q(x)=a(x-r_1)(x-r_2)

Q(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0 e Δ = b² − 4ac > 0. As raízes são ordenadas como r₁ < r₂. O produto dos fatores é positivo fora do intervalo entre elas, negativo dentro e zero nos extremos. Para obter o sinal de Q, considerar também o sinal de a.

Q(x)/a>0  ⟺  x<r1 ou x>r2Q(x)/a<0  ⟺  r1<x<r2\begin{gathered}Q(x)/a>0\iff\\x<r_1\ \text{ou}\ x>r_2\\Q(x)/a<0\iff r_1<x<r_2\end{gathered}
Q(x)/a>0  ⟺  x<r1 ou x>r2Q(x)/a<0  ⟺  r1<x<r2\begin{gathered}Q(x)/a>0\iff\\x<r_1\ \text{ou}\ x>r_2\\Q(x)/a<0\iff\\r_1<x<r_2\end{gathered}

a ≠ 0, Δ > 0 e r₁ < r₂ são as raízes reais de Q. Q é zero em r₁ e r₂. Se a > 0, Q tem os sinais indicados; se a < 0, os sinais de Q são os opostos. Acrescentar os zeros permitidos nas desigualdades não estritas.

Exemplo resolvido · Coeficiente quadrático positivo

Resolva x2−x−6≥0x^2-x-6\ge0.

Resolução

  1. A fatoração é (x + 2)(x − 3), com raízes −2 e 3. O coeficiente principal é positivo.
  2. A expressão é positiva fora das raízes, negativa entre elas e zero nos extremos. Como pedimos ≥, incluímos os dois zeros.

𝒮 = (−∞, −2] ∪ [3, +∞).

Exemplo resolvido · Coeficiente quadrático negativo

Resolva −x2+x+6>0-x^2+x+6>0.

Resolução

  1. Multiplicar por −1 inverte a comparação: x² − x − 6 < 0.
  2. O produto (x + 2)(x − 3) é negativo entre −2 e 3. A desigualdade estrita exclui as raízes.

𝒮 = (−2, 3).

Exemplo resolvido · Extremos irracionais permanecem exatos

Resolva x2−4x+1≤0x^2-4x+1\le0.

Resolução

  1. Com a = 1, b = −4 e c = 1, Δ = (−4)² − 4·1·1 = 16 − 4 = 12. Pela fórmula, x = (4 ± √12)/2 = (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3, pois √12 = √(4·3) = 2√3. As raízes ordenadas são 2 − √3 e 2 + √3.
  2. Com a = 1 > 0, a expressão é negativa entre elas e nula nos extremos. A resposta usa os valores exatos, sem arredondar os limites.

𝒮 = [2 − √3, 2 + √3].

7Quadráticas com raiz dupla

Com Δ = 0, a expressão é um múltiplo de um quadrado. Ela zera na raiz dupla e tem o sinal de a em todo o restante da reta. A solução depende de qual comparação foi pedida; não é obrigatório obter um intervalo com comprimento positivo.

Q(x)=a(x−r)2Q(x)=a(x-r)^2

Q(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 e Δ = 0; r = −b/(2a). Fora de r, Q tem o sinal de a; em r, é zero. Portanto não há troca de sinal em r. Algumas inequações dão somente {r}, outras excluem r, aceitam todos os reais ou não têm solução.

Exemplo resolvido · Quatro comparações do mesmo quadrado

Compare as soluções de (x−2)2<0(x-2)^2<0, (x−2)2≤0(x-2)^2\le0, (x−2)2>0(x-2)^2>0 e (x−2)2≥0(x-2)^2\ge0.

Resolução

  1. Um quadrado real nunca é negativo: a relação < 0 tem conjunto solução vazio.
  2. A relação ≤ 0 aceita somente o zero do quadrado, x = 2. A relação > 0 aceita todos os reais diferentes de 2.
  3. A relação ≥ 0 vale para todo real. As respostas são, respectivamente, ∅, {2}, (−∞, 2) ∪ (2, +∞) e ℝ.

A raiz dupla pode ser isolada, excluída ou incluída junto de toda a reta.

Exemplo resolvido · Um quadrado com sinal externo negativo

Resolva −3(x+1)2≥0-3(x+1)^2\ge0.

Resolução

  1. Dividir por −3 inverte a relação: (x + 1)² ≤ 0.
  2. O quadrado precisa ser zero, então x = −1. Para qualquer outro real, a expressão original é estritamente negativa.

𝒮 = {−1}.

8Quadráticas sem raízes reais

Com Δ < 0, não há raízes que dividam a reta. Ainda assim precisamos saber se a expressão é positiva ou negativa. Completar o quadrado mostra que seu sinal é sempre o do coeficiente a.

Q(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]Q(x)=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]
Q(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]\begin{gathered}Q(x)=\\a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]\end{gathered}

a ≠ 0 e Δ < 0, com coeficientes reais. O termo entre colchetes é estritamente positivo para todo x real, pois o quadrado é não negativo e −Δ/(4a²) é positivo. Logo Q tem sempre o sinal de a e nunca zera.

Exemplo resolvido · Sempre positiva, mas nunca nula

Analise x2−2x+5>0x^2-2x+5>0 e x2−2x+5≤0x^2-2x+5\le0.

Resolução

  1. A expressão é (x − 1)² + 4, sempre pelo menos 4. Logo é positiva para todo real e nunca é zero.
  2. A primeira inequação admite todos os reais; a segunda não admite nenhum. O fato de a equação correspondente não ter raiz não decide, sozinho, qual dessas respostas corresponde a cada relação.

Para > 0: ℝ. Para ≤ 0: ∅.

Exemplo resolvido · Sempre negativa

Resolva −2x2−4x−6<0-2x^2-4x-6<0.

Resolução

  1. Colocando −2 em evidência e completando o quadrado, obtemos −2[(x + 1)² + 2].
  2. Os colchetes são estritamente positivos. Multiplicar por −2 deixa o resultado estritamente negativo em todos os reais.

𝒮 = ℝ.

A análise completa de uma quadrática distingue Δ > 0, Δ = 0 e Δ < 0, junto do sinal de a. Não basta procurar duas raízes e parar quando elas não aparecem. Gráficos e a teoria da função quadrática ficam na matéria Funções; aqui a justificativa é algébrica.

9Quocientes: sinal e denominador não nulo

Uma fração tem sinal positivo quando numerador e denominador têm o mesmo sinal, e negativo quando têm sinais opostos. O numerador pode zerar; o denominador não pode. Por isso, raízes do numerador e pontos proibidos recebem tratamentos diferentes nos extremos.

ND=0  ⟺  N=0\frac ND=0\iff N=0

N e D reais definidos e D ≠ 0. Zeros do denominador não são zeros do quociente. Um zero comum ao numerador e ao denominador permanece excluído, inclusive em relações ≥ ou ≤.

Exemplo resolvido · Um extremo aberto e outro fechado

Resolva (x−2)/(x+1)≤0(x-2)/(x+1)\le0.

Resolução

  1. O domínio exclui x = −1. O numerador zera em 2. Os intervalos são (−∞, −1), (−1, 2) e (2, +∞).
  2. Antes de −1, numerador e denominador são negativos: quociente positivo. Entre −1 e 2, seus sinais são opostos: quociente negativo. Depois de 2, ambos são positivos.
  3. Selecionamos o intervalo central e o zero permitido 2. O ponto −1 permanece excluído, mesmo que a relação aceite igualdade.

𝒮 = (−1, 2].

Q = (x − 2)/(x + 1)−12x − 2−−+x + 1−++Q+−+Q ≤ 0−12
O quociente é negativo entre −1 e 2. Na reta de solução, a bolinha aberta exclui −1, onde o denominador zera; a bolinha fechada inclui 2, onde o numerador zera e a relação ≤ permite igualdade.

Exemplo resolvido · O denominador não muda de lado sem uma condição

Por que multiplicar 1/x>01/x>0 por x e concluir 1>01>0 não resolve a inequação?

Resolução

  1. O domínio é x ≠ 0. Para x > 0, multiplicar por x preserva a relação e resulta em 1 > 0, verdadeira.
  2. Para x < 0, a multiplicação deve inverter a relação, dando 1 < 0, falsa. Logo apenas x > 0 serve.
  3. Multiplicar mantendo sempre o mesmo símbolo apagaria a diferença entre os dois casos e aceitaria valores negativos incorretamente.

𝒮 = (0, +∞); é necessário considerar o sinal de x.

10Reunir os termos antes de analisar o sinal

Quando o segundo membro não é zero, primeiro subtraia-o dos dois lados. Se houver frações, reúna a diferença em uma única fração. O quadro deve representar o sinal da expressão inteira que realmente está sendo comparada com zero.

AB−CD=AD−BCBD\frac AB-\frac CD=\frac{AD-BC}{BD}

A, B, C e D são expressões reais definidas, B ≠ 0 e D ≠ 0. Para comparar A/B com C/D, subtrair o segundo membro dos dois lados e estudar o sinal desta diferença. Não multiplicar por BD sem saber seu sinal ou separar casos.

Exemplo resolvido · Comparar uma fração com uma constante

Resolva (2x+1)/(x−2)≥1(2x+1)/(x-2)\ge1.

Resolução

  1. O domínio exige x ≠ 2. Nele, escrevemos 1 = (x − 2)/(x − 2). Subtrair 1 dá [(2x + 1) − (x − 2)]/(x − 2) ≥ 0. O numerador é 2x + 1 − x + 2 = x + 3, portanto (x + 3)/(x − 2) ≥ 0.
  2. Os pontos críticos são −3 e 2. O quociente é positivo antes de −3 e depois de 2, negativo entre eles.
  3. Incluímos −3 por zerar o numerador e excluímos 2 pelo denominador. Em −3, a fração original vale (−5)/(−5) = 1, confirmando a igualdade.

𝒮 = (−∞, −3] ∪ (2, +∞).

Exemplo resolvido · Comparar duas frações

Resolva 1/(x−1)>1/(x+1)1/(x-1)>1/(x+1).

Resolução

  1. O domínio exclui −1 e 1. A diferença é [(x + 1) − (x − 1)]/[(x − 1)(x + 1)] = 2/(x² − 1).
  2. O numerador é sempre positivo. Para a diferença ser positiva, o denominador precisa ser positivo, o que ocorre fora de −1 e 1.
  3. Os extremos são proibidos e ficam fora. Entre −1 e 1 o denominador é negativo e a comparação original não vale.

𝒮 = (−∞, −1) ∪ (1, +∞).

11Uma multiplicação que preserva a orientação

Há um modo seguro de transformar quociente em produto sem conhecer o sinal do denominador: multiplicar pelo seu quadrado, que é positivo onde o denominador não zera. A restrição de domínio precisa ser mantida, pois fora dele o quadrado poderia ser zero.

ND≥0  ⟺  ND≥0\frac ND\ge0\iff ND\ge0

N e D reais definidos, com D ≠ 0. Multiplicar a inequação por D², estritamente positivo nesse domínio, preserva a orientação e transforma N/D em ND. A mesma equivalência vale com >, < ou ≤ no lugar de ≥, sempre mantendo D ≠ 0.

Exemplo resolvido · Usar o quadrado de um denominador

Resolva 1/(x−1)>21/(x-1)>2 por uma transformação em produto.

Resolução

  1. O domínio é x ≠ 1. Primeiro subtraímos 2. Escrevendo 2 = 2(x − 1)/(x − 1), a diferença é [1 − 2(x − 1)]/(x − 1). Pela distributiva, 1 − 2x + 2 = 3 − 2x, então (3 − 2x)/(x − 1) > 0.
  2. Multiplicar por (x − 1)², positivo nesse domínio, dá (3 − 2x)(x − 1) > 0. Os zeros relevantes são 1 e 3/2.
  3. O produto é positivo entre 1 e 3/2 e negativo fora. A desigualdade estrita exclui os dois extremos; x = 1 também já era proibido.
  4. Conferindo um ponto permitido, x = 5/4 dá 1/(1/4) = 4 > 2. Em x = 2, a comparação seria 1 > 2, falsa.

𝒮 = (1, 3/2).

Exemplo resolvido · Por que a restrição precisa acompanhar o produto

Transforme (x−2)/(x+1)≥0(x-2)/(x+1)\ge0 em produto e explique o extremo proibido.

Resolução

  1. No domínio x ≠ −1, multiplicar por (x + 1)² dá (x − 2)(x + 1) ≥ 0.
  2. A inequação polinomial isolada aceitaria (−∞, −1] ∪ [2, +∞). O ponto −1, porém, não pertence ao domínio original e deve ser retirado.

𝒮 = (−∞, −1) ∪ [2, +∞).

12Cancelamentos e potências no denominador

Simplificar antes do quadro pode facilitar a conta, mas não muda o domínio original. Um ponto excluído pode deixar de ser raiz do denominador simplificado e continuar como uma lacuna na resposta. Potências pares no denominador preservam o sinal ao atravessar seu zero, que ainda assim é proibido.

KAKB=AB\frac{KA}{KB}=\frac AB

K, A e B reais definidos no domínio original, K ≠ 0 e B ≠ 0. O cancelamento preserva os valores nesse domínio; os zeros do fator cancelado continuam proibidos. No quadro de sinais da forma simplificada, marcar esses pontos excluídos separadamente.

S=D∩T\mathcal S=\mathcal D\cap T

𝒟 é o domínio da escrita original, incluindo as condições do contexto; T reúne os intervalos e pontos escolhidos na análise equivalente dos sinais. A solução 𝒮 aceita apenas os elementos comuns. Extremo onde um denominador original zera nunca é incluído.

Exemplo resolvido · Uma lacuna depois de cancelar

Resolva (x2−1)/(x−1)≥0(x^2-1)/(x-1)\ge0.

Resolução

  1. O domínio exclui 1. A fatoração (x − 1)(x + 1) permite simplificar para x + 1 somente nesse domínio.
  2. A relação x + 1 ≥ 0 exige x ≥ −1. Retirar o ponto proibido 1 divide essa semirreta em dois intervalos.
  3. O ponto −1 é permitido e zera a fração original. O ponto 1 produziria 0/0 e não volta por ter desaparecido da escrita final.

𝒮 = [−1, 1) ∪ (1, +∞).

(x² − 1)/(x − 1) ≥ 0x + 1 ≥ 0, com x ≠ 1−11a exclusão original permanece
Depois de cancelar, a seleção é x ≥ −1, mas o domínio original mantém o ponto 1 excluído. O ponto −1 é fechado e a lacuna em 1 é aberta.

Exemplo resolvido · Denominador par não troca o sinal

Resolva (x−2)/(x+1)2≤0(x-2)/(x+1)^2\le0.

Resolução

  1. O domínio exclui −1. Em todos os outros reais, (x + 1)² é positivo; o sinal da fração é o de x − 2.
  2. A condição seria x ≤ 2, mas −1 precisa ser retirado. O zero 2 é permitido e incluído.

𝒮 = (−∞, −1) ∪ (−1, 2].

Exemplo resolvido · Um produto não existe só porque um fator é zero

Resolva (x−2)2⋅[1/(x−2)]≥0(x-2)^2\cdot[1/(x-2)]\ge0.

Resolução

  1. A expressão original exige x ≠ 2. Nesse domínio, o produto simplifica para x − 2.
  2. A relação x − 2 ≥ 0 selecionaria x ≥ 2, mas o ponto 2 é proibido. A escrita 0·(1/0) não tem valor definido.

𝒮 = (2, +∞).

13Produtos e quocientes com fatores quadráticos

Se um fator quadrático tem raízes reais, use sua fatoração ou seu sinal por regiões. Se não tem raízes reais, seu sinal constante pode simplificar a análise. Em um quociente, registre os zeros de todo o denominador original antes de simplificar.

Exemplo resolvido · Um fator sempre positivo não altera a seleção

Resolva (x2−4)(x2+1)≤0(x^2-4)(x^2+1)\le0.

Resolução

  1. O fator x² + 1 é estritamente positivo para todo real. Dividir por ele preserva a relação e não perde zeros.
  2. Resta x² − 4 ≤ 0, ou (x − 2)(x + 2) ≤ 0. O produto é negativo entre −2 e 2 e zero nos extremos.

𝒮 = [−2, 2].

Exemplo resolvido · Quatro pontos críticos em um quociente

Resolva (x2−1)/(x2−4)>0(x^2-1)/(x^2-4)>0.

Resolução

  1. O domínio exclui −2 e 2. O numerador zera em −1 e 1. Ordenamos os pontos: −2 < −1 < 1 < 2.
  2. O numerador é positivo fora de [−1, 1] e negativo entre suas raízes. O denominador é positivo fora de [−2, 2] e negativo entre suas raízes.
  3. Na ordem dos cinco intervalos, o quociente tem sinais +, −, +, −, +. Selecionamos os três intervalos positivos.
  4. As raízes do numerador não entram porque a relação é estrita. As do denominador nunca entram.

𝒮 = (−∞, −2) ∪ (−1, 1) ∪ (2, +∞).

Q = N/D−2−112N++−++D+−−−+Q+−+−+Q > 0−2−112
N = x² − 1 é o numerador, D = x² − 4 é o denominador e Q = N/D. Os pontos −2 e 2 são proibidos pelo denominador. Como pedimos Q > 0, os zeros −1 e 1 também ficam fora: todas as bolinhas da reta são abertas.

14Condições simultâneas, cadeias e alternativas

Resolver cada condição separadamente é só parte do trabalho. Se o enunciado exige as duas ao mesmo tempo, tomamos a interseção. Se aceita pelo menos uma, tomamos a união. Essas operações também precisam respeitar o domínio comum quando o enunciado o impõe.

S=A∩B\mathcal S=A\cap B

A e B são os conjuntos que resolvem separadamente as duas condições no mesmo universo e respeitando todos os domínios originais. A interseção contém os valores que atendem às duas: a ligação é “e”. Uma cadeia de desigualdades também pede interseção.

S=A∪B\mathcal S=A\cup B

A e B são conjuntos de soluções no universo declarado. A união aceita os valores que atendem a pelo menos uma condição: a ligação é “ou” inclusivo. Se o enunciado impõe um domínio comum adicional, ele ainda deve ser respeitado.

Exemplo resolvido · Interseção de duas inequações

Resolva simultaneamente x2−5x+6≤0x^2-5x+6\le0 e (x+1)/(x−2)>0(x+1)/(x-2)>0.

Resolução

  1. A primeira equivale a (x − 2)(x − 3) ≤ 0, cuja solução é [2, 3].
  2. A segunda exclui 2 e tem solução (−∞, −1) ∪ (2, +∞). Precisamos dos valores comuns aos dois conjuntos.
  3. O trecho comum é (2, 3]. O ponto 2 sai pelo domínio da fração; o ponto 3 satisfaz as duas condições.

𝒮 = (2, 3].

α≤F(x)<β  ⟺  (F(x)≥α e F(x)<β)\begin{gathered}\alpha\le F(x)<\beta\\\iff\bigl(F(x)\ge\alpha\ \text{e}\ F(x)<\beta\bigr)\end{gathered}
α≤F(x)<β⇕F(x)≥αe F(x)<β\begin{gathered}\alpha\le F(x)<\beta\\\Updownarrow\\F(x)\ge\alpha\\\text{e }F(x)<\beta\end{gathered}

α e β são reais fixos, com α < β, e F está definida no domínio considerado. Resolver as duas inequações e tomar a interseção; não a união. A inclusão de cada extremo depende da relação correspondente e do domínio.

Exemplo resolvido · Uma comparação encadeada

Resolva 0≤(x−1)/(x+1)<20\le(x-1)/(x+1)<2.

Resolução

  1. O domínio exclui −1. A primeira condição, (x − 1)/(x + 1) ≥ 0, admite (−∞, −1) ∪ [1, +∞).
  2. A segunda é (x − 1)/(x + 1) − 2 < 0. No mesmo denominador, o numerador é (x − 1) − 2(x + 1) = x − 1 − 2x − 2 = −x − 3. Portanto (−x − 3)/(x + 1) < 0.
  3. Multiplicar por −1 inverte < e equivale a (x + 3)/(x + 1) > 0. Numerador e denominador têm o mesmo sinal antes de −3 e depois de −1; assim essa condição admite (−∞, −3) ∪ (−1, +∞).
  4. A interseção é (−∞, −3) ∪ [1, +∞). O ponto −3 daria exatamente 2, proibido pela comparação estrita; 1 dá zero e é aceito.

𝒮 = (−∞, −3) ∪ [1, +∞).

Exemplo resolvido · Uma alternativa usa união

Resolva x2−1≤0x^2-1\le0 ou x>3x>3.

Resolução

  1. A primeira condição tem solução [−1, 1], e a segunda (3, +∞). O conectivo “ou” aceita qualquer valor de pelo menos uma delas.
  2. Unimos os dois conjuntos. Se o conectivo fosse “e”, a interseção seria vazia, pois as faixas não se encontram.

𝒮 = [−1, 1] ∪ (3, +∞).

15Parâmetros: sinal, ordem das raízes e casos especiais

Um parâmetro é fixado antes de resolver na incógnita. Seu sinal pode inverter uma inequação; seu valor pode trocar a ordem de raízes, uni-las ou fazer a expressão inteira se tornar constante. Separe esses casos antes de dividir ou usar uma regra quadrática.

Exemplo resolvido · Multiplicador positivo, negativo ou zero

Para cada m real, resolva m(x2−1)≤0m(x^2-1)\le0.

Resolução

  1. Se m > 0, dividir por m preserva ≤ e resta x² − 1 ≤ 0, com solução [−1, 1].
  2. Se m < 0, dividir por m inverte a relação e resta x² − 1 ≥ 0, com solução (−∞, −1] ∪ [1, +∞).
  3. Se m = 0, a original é 0 ≤ 0, verdadeira para todo real. Não existe divisão por m nesse caso.

m > 0: [−1, 1]; m < 0: (−∞, −1] ∪ [1, +∞); m = 0: ℝ.

(x−m)(x−r)≤0  ⟺  min⁡(m,r)≤x≤max⁡(m,r)\begin{gathered}(x-m)(x-r)\le0\\\iff\min(m,r)\le x\le\max(m,r)\end{gathered}
(x−m)(x−r)≤0⇕min⁡(m,r)≤xe x≤max⁡(m,r)\begin{gathered}(x-m)(x-r)\le0\\\Updownarrow\\\min(m,r)\le x\\\text{e }x\le\max(m,r)\end{gathered}

m e r são reais fixos; min indica o menor e max o maior. Se m = r, a solução é somente {r}; se forem diferentes, é o intervalo fechado entre eles. Para a relação estrita < 0, o intervalo é aberto quando m ≠ r e vazio quando m = r.

Exemplo resolvido · A raiz móvel pode ficar antes, depois ou coincidir

Resolva (x−m)(x−2)≤0(x-m)(x-2)\le0 em função de m real.

Resolução

  1. Se m < 2, as raízes ordenadas são m e 2, e a solução é [m, 2].
  2. Se m > 2, a ordem é 2 e m, dando [2, m]. Se m = 2, a inequação é (x − 2)² ≤ 0 e admite somente {2}.
  3. A escrita [min(m, 2), max(m, 2)] reúne os três casos, entendendo [2, 2] como o conjunto com apenas o ponto 2.

Intervalo fechado entre m e 2; em m = 2, somente {2}.

Q(x)≥0 para todo x∈R  ⟺  a>0 e Δ≤0\begin{gathered}Q(x)\ge0\ \text{para todo }x\in\mathbb R\\\iff a>0\ \text{e}\ \Delta\le0\end{gathered}

Q(x) = ax² + bx + c é quadrática real, com a ≠ 0. Com Δ = 0, há um único zero; com Δ < 0, Q é sempre positiva. Para exigir Q > 0 em todos os reais, é necessário e suficiente a > 0 e Δ < 0. Os casos a = 0 são lineares ou constantes e ficam fora desta equivalência.

Exemplo resolvido · Uma condição deve valer para todo real

Para quais t reais vale x2−4x+t≥0x^2-4x+t\ge0 para todo x real?

Resolução

  1. Completando o quadrado, x² − 4x + t = (x − 2)² + t − 4.
  2. Se t ≥ 4, as duas parcelas são não negativas para todo x. Se t < 4, basta escolher x = 2 para obter t − 4 < 0, refutando a exigência.
  3. Logo t ≥ 4. Pelo discriminante, a mesma condição é Δ = 16 − 4t ≤ 0, com a = 1 positivo. Para exigir > 0 em todos os reais, seria necessário t > 4.

t ≥ 4 para a relação não estrita em todos os reais.

16Aplicações com medidas, contagens e custos

A seleção de sinais fornece uma resposta algébrica; o problema ainda pode exigir medidas positivas, quantidades inteiras ou limites de validade do modelo. Expresse essas restrições no início e tome sua interseção com os intervalos obtidos.

Exemplo resolvido · Área mínima e retângulo não degenerado

Um retângulo tem lados x e 10 − x metros. Para quais x reais sua área é pelo menos 21 m²?

Resolução

  1. Para os dois lados serem positivos, 0 < x < 10. A área exige x(10 − x) ≥ 21.
  2. Reunindo os termos e multiplicando por −1, x² − 10x + 21 ≤ 0. A fatoração é (x − 3)(x − 7) ≤ 0, dando [3, 7].
  3. Esse intervalo já está dentro de (0, 10). Nos extremos, as dimensões 3 e 7 produzem exatamente 21 m²; entre eles a área é maior.

x ∈ [3, 7], em metros.

Exemplo resolvido · Lucro não negativo e quantidades inteiras

Um modelo de lucro é L(q)=−q2+14q−40L(q)=-q^2+14q-40, em reais, para q inteiro com 0≤q≤120\le q\le12. Quais quantidades dão lucro não negativo?

Resolução

  1. A condição L(q) ≥ 0 equivale a q² − 14q + 40 ≤ 0, isto é, (q − 4)(q − 10) ≤ 0.
  2. Nos reais, a resposta é [4, 10]. No universo do modelo, ficam as quantidades inteiras 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.
  3. Os extremos dão lucro zero e são aceitos por “não negativo”. Para exigir lucro estritamente positivo, restariam apenas 5, 6, 7, 8 e 9.

q ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Exemplo resolvido · Custo médio e divisão por quantidade positiva

Produzir q unidades custa 60 + 4q reais. A produção pode variar de 1 a 30 unidades inteiras. Quando o custo médio por unidade é no máximo 10 reais?

Resolução

  1. O custo médio é (60 + 4q)/q, com q inteiro e 1 ≤ q ≤ 30. Como q é positivo nesse domínio, podemos multiplicar por q preservando ≤.
  2. A condição dá 60 + 4q ≤ 10q, portanto q ≥ 10. Intersectando com o domínio, aceitamos os inteiros de 10 a 30.
  3. Em q = 10, o custo médio é 100/10 = 10 reais. Em q = 9 seria 96/9 > 10, confirmando a fronteira. A multiplicação seria injustificada sem a hipótese de q positivo.

De 10 a 30 unidades, em quantidades inteiras.

17Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Declare o domínio, justifique os sinais em cada intervalo e examine os extremos. Nas discursivas, apresente os casos e o raciocínio antes de abrir a resolução. As questões são autorais, sem atribuição a bancas.

Questão 1 de 440 conferidas

Fixação · Objetiva

Qual intervalo representa −3<x≤2-3<x\le2?

Escolha uma alternativa

18O que levar desta aula

  • Uma inequação descreve valores que tornam uma comparação verdadeira. Universo e domínio fazem parte da resposta; infinito nunca é incluído como um número real.
  • Somar a mesma expressão preserva a ordem. Multiplicar ou dividir por negativo inverte a relação; por positivo, preserva. Divisores variáveis exigem conhecer o sinal ou separar casos.
  • O sinal de ax + b, com a ≠ 0, vem de a(x − r), onde r = −b/a. Constantes e expressão nula exigem análise própria.
  • Produtos combinam sinais no mesmo x. Fatores de mesmo sinal dão produto positivo; não é preciso que sejam todos positivos.
  • O quadro usa os mesmos intervalos em todas as linhas. Ordene zeros e exclusões, justifique a constância dos sinais entre eles e examine os pontos separadamente.
  • Multiplicidade ímpar troca o sinal e par o preserva, se o restante não zera. Uma raiz par permitida pode aparecer como ponto isolado numa relação não estrita.
  • Com duas raízes reais distintas, o produto dos fatores lineares é positivo fora e negativo entre elas. O coeficiente principal pode inverter o sinal da quadrática.
  • Com raiz dupla, a quadrática tem o sinal do coeficiente principal fora da raiz. Com Δ < 0, ela mantém esse sinal em toda a reta e nunca zera.
  • Em quocientes, o denominador nunca pode zerar. Igualdade permitida pela relação não reinclui extremos proibidos; zero comum a numerador e denominador continua excluído.
  • Antes de analisar uma comparação de frações, reúna a diferença em uma única fração comparada com zero. Os sinais devem corresponder à expressão inteira.
  • Multiplicar pelo quadrado de um denominador é reversível e preserva a ordem somente onde ele é não nulo. O produto obtido ainda precisa respeitar o domínio original.
  • Cancelar fatores facilita o quadro, mas conserva lacunas do domínio. Um fator zero não torna definido um produto que contém outra expressão indefinida.
  • Condições ligadas por “e” e cadeias pedem interseção; “ou” inclusivo pede união. A inclusão de cada extremo depende de todas as condições e domínios.
  • Parâmetros podem mudar sinais, ordem das raízes e grau. Separe os casos antes de dividir e justifique também exigências que valem para todo real.
  • Nas aplicações, aplique positividade, unidades, limites do modelo e contagem inteira ao conjunto algébrico. Diferencie valor positivo de valor não negativo.

A próxima aula será Equações com radicais e módulo, com restrições, transformações, conferência na expressão original e divisão em casos. Gráficos e estudo completo de funções permanecem na matéria Funções.

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