Fórmulas de Álgebra

a, b e c são números reais. O fator a multiplica cada termo da soma. A propriedade também pode ser lida no sentido inverso, colocando a em evidência.

a, b e c são reais. Subtrair c significa somar seu oposto; o sinal de cada produto deve ser preservado, inclusive quando a é negativo.

a e b são números reais. O sinal negativo diante do grupo equivale a multiplicar todo o grupo por −1, e não apenas o primeiro termo.

a, b e u são reais. Na aplicação a monômios, a e b são coeficientes e u é exatamente a mesma parte literal, com as mesmas variáveis e expoentes. Não usar para juntar partes literais diferentes.

a, b e x são reais; m e n são inteiros positivos. Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes dos fatores de mesma base. Os termos constantes são tratados como fatores numéricos.

a e b são reais, b ≠ 0 e x ≠ 0; m e n são inteiros positivos com m ≥ n. Se m = n, a potência x⁰ vale 1 no domínio x ≠ 0. A restrição do denominador original permanece após a simplificação.

A e B já devem representar valores reais definidos. Não se divide por zero, mesmo quando A também é zero. Em uma expressão com várias operações, todas as restrições precisam ser satisfeitas simultaneamente.

A é real. A raiz quadrada indicada é a raiz principal, não negativa; por exemplo, √9 = 3. Quando A < 0, não há raiz quadrada real. Raízes de índice ímpar têm outra condição, tratada na aula de Potências e radicais.

Trabalha-se nos reais. Exige-se A ≥ 0 para a raiz e √A ≠ 0 para a divisão. Juntas, as condições equivalem a A > 0.

A, B e C são valores reais definidos, com B ≠ 0 e C ≠ 0. Cancela-se um fator de todo o numerador e de todo o denominador, nunca uma parcela de uma soma. Os valores excluídos da expressão original continuam excluídos.

n é inteiro, positivo, negativo ou zero. Essas formas representam todos os inteiros pares e todos os ímpares. Se o contexto exigir contagens ou números positivos, ajustar o conjunto permitido para n.

a é o algarismo das dezenas, inteiro de 1 a 9, e b é o das unidades, inteiro de 0 a 9. A escrita algébrica ab representa um produto; para o número formado pelos algarismos, usamos 10a + b.

a > 0 e b > 0 são comprimentos de lados consecutivos do retângulo na mesma unidade. P é perímetro em unidades de comprimento e S é área na unidade quadrada correspondente.

n é inteiro e n ≥ 1. São n quadrados em uma única fileira, cada vizinho compartilhando exatamente um lado, sem sobreposição e sem outras ligações. Pₙ conta os palitos distintos; não é uma regra para qualquer desenho de n quadrados.

A, B e c são valores reais definidos. Somar o mesmo valor aos dois membros preserva a igualdade e pode ser desfeito subtraindo esse valor. Para expressões, a equivalência vale no domínio em que todas estão definidas.

A e B são reais e k é um real não nulo. A multiplicação pode ser desfeita dividindo por k. Com k = 0, a transformação não é equivalente em geral.

a, b, c e d são parâmetros reais fixos; x é a incógnita real. A equivalência vem de subtrair cx e b dos dois membros. Se a = c, é preciso analisar a igualdade constante, sem dividir por zero.

a e b são reais fixos, com a ≠ 0. Essa é uma equação do primeiro grau em x. A solução real é −b/a; em universo U mais restrito, ela só é solução se pertencer a U.

U é o universo de valores reais admissíveis e S é o conjunto solução. Todos os valores de U satisfazem essa igualdade. Ela é um caso degenerado da forma linear, e não uma equação de grau um após a redução.

b é real e b ≠ 0. A igualdade exigiria b = 0, portanto não há solução em nenhum universo U contido nos reais. O símbolo ∅ representa o conjunto vazio.

a, b e y são reais definidos e a ≠ 0. Ao isolar x, subtraímos b e dividimos por a. Se a = 0, a condição passa a ser y = b e deve ser analisada separadamente.

u, v e t são reais. Somar ou subtrair o mesmo valor mantém a ordem. A propriedade também vale com ≤, > e ≥, preservando o tipo da relação.

u e v são reais e k > 0. A multiplicação e a divisão por um mesmo número positivo preservam o sentido da desigualdade. O mesmo vale para as relações não estritas.

u e v são reais e k < 0. Multiplicar ou dividir pelo mesmo número negativo inverte o sentido da desigualdade. Uma relação ≤ passa a ≥ e vice-versa.

a e b são reais fixos, com a > 0. Subtrair b e dividir por a preserva a relação <. Trocando < por ≤ na expressão original, usa-se ≤ na resposta.

a e b são reais fixos, com a < 0. A divisão por a inverte < para >. Trocando < por ≤ na expressão original, a resposta usa ≥. Quando a = 0, analisar a afirmação constante.

a e b são reais, a < b. Os dois extremos são excluídos; representam-se por círculos vazios na reta. A notação ]a,b[ é uma alternativa usada por algumas fontes.

a e b são reais, a ≤ b. Os extremos são incluídos, com círculos preenchidos na reta. Quando a = b, o intervalo contém um único ponto: {a}.

a e b são reais, com a < b. Colchete inclui o extremo e parêntese o exclui. As notações [a,b[ e ]a,b] são alternativas equivalentes.

a é real. Os símbolos −∞ e +∞ indicam ausência de limite finito, não números reais; por isso sempre recebem parênteses. Para ≥, incluir a; para <, excluir a.

S₁ e S₂ são conjuntos de valores admissíveis para duas condições ligadas por “e”. A solução comum deve satisfazer ambas. A interseção pode ser vazia ou conter um único valor.

S₁ e S₂ são conjuntos de soluções de condições ligadas por “ou” inclusivo. Basta satisfazer pelo menos uma; quem satisfaz ambas também pertence à união.

m e c são parâmetros reais fixos; a incógnita x tem universo ℝ. A expressão acima trata de m ≠ 0. Se m = 0, verifica-se 0 ≤ c: S = ℝ quando c ≥ 0 e S = ∅ quando c < 0. Em outro universo U, intersectar a resposta com U.

a, b, c, d, p e q são reais fixos; x e y são as incógnitas. Cada equação não degenerada tem pelo menos um coeficiente de incógnita não nulo. Casos com ambos nulos exigem analisar a igualdade constante.

S₁ e S₂ são conjuntos de pares ordenados admissíveis que satisfazem cada equação. Uma solução do sistema deve pertencer aos dois conjuntos, na mesma ordem de incógnitas e no universo declarado.

a, b e p são reais fixos e b ≠ 0. Se b = 0 e a ≠ 0, isolar x. Se a = b = 0, a equação é uma condição constante e não permite isolar uma incógnita.

f(x) e g(x) indicam expressões definidas no domínio original. Aqui são expressões lineares. É necessário conservar uma das relações para recuperar y; a igualdade f(x) = g(x), sozinha, não determina o par.

A e B representam expressões reais definidas nas incógnitas; p, q e k são reais fixos. Conservar A = p permite desfazer a operação subtraindo k vezes essa equação. Não é preciso k ≠ 0 nesta operação de soma.

Para ax + by = p e cx + dy = q, com coeficientes reais. D ≠ 0 garante uma única solução real. Se D = 0, analisar a compatibilidade; não dividir por D. D será chamado determinante de ordem dois na matéria de Matrizes.

D = ad − bc ≠ 0, para ax + by = p e cx + dy = q, com coeficientes reais. Em um universo mais restrito que ℝ², verificar se o par encontrado é admissível.

a e b não são ambos zero, c e d não são ambos zero e k é real não nulo. Esta igualdade entre triplas significa c = ka, d = kb e q = kp: as equações representam a mesma reta, com infinitas soluções reais. Proporcionalidade só dos coeficientes, sem a das constantes, produz retas paralelas distintas.

c é real fixo e o universo é ℝ². Esta é a solução de x + y = c: t é um parâmetro livre, não uma terceira incógnita independente. Restrições adicionais do problema devem ser impostas ao par.

M > 0 é a massa total; x e y são massas não negativas na mesma unidade; r₁, r₂ e r são preços por unidade de massa. O modelo supõe valor aditivo, sem perdas nem custos extras. Para r₁ ≠ r₂, uma mistura admissível exige r entre os dois preços.

Todos os coeficientes são reais e o universo é ℝ². O par (0,0) é sempre solução. Se D = ad − bc ≠ 0, é a única. Se D = 0, há infinitas soluções reais, inclusive quando aparecem equações 0 = 0.

a é real e n é inteiro positivo. A base é a e o expoente é n. Para n = 1, a¹ = a; para a = 0 e n > 0, 0ⁿ = 0. A definição por fatores repetidos não se aplica diretamente a expoentes zero, negativos ou não inteiros.

a é real não nulo e n é inteiro positivo. Expoente negativo indica o recíproco, não o oposto. Nesta aula, 0⁰ e potências de zero com expoente negativo não estão definidas.

Para m e n inteiros positivos, a pode ser qualquer real. Para permitir quaisquer m e n inteiros, exigimos a ≠ 0. A mesma base é essencial; a soma dos expoentes não se aplica a uma soma de potências.

a é real não nulo e m, n são inteiros. A restrição evita divisão por zero e deve ser mantida mesmo que a expressão simplificada pareça estar definida em a = 0.

a é real não nulo e m, n são inteiros. Com m e n inteiros positivos, a = 0 também é permitido. Não transportar esta regra sem condições para bases negativas e expoentes fracionários.

Para qualquer expoente inteiro n, tomar a e b reais não nulos. Se n for inteiro positivo, o produto permite a ou b zero, e o quociente permite a = 0, mantendo b ≠ 0. Todos os fatores do produto recebem o expoente.

N é real não nulo, c é real e k é inteiro. O módulo |c| é a distância de c até zero. O sinal de c é o de N. Para N = 0, escrevemos simplesmente 0; não há representação normalizada com 1 ≤ |c| < 10.

k é inteiro positivo e a ≥ 0. A raiz indicada pelo radical é o único valor real não negativo cujo expoente 2k produz a. Se a < 0, não há raiz real de índice par. O índice 2 costuma ser omitido.

k é inteiro positivo e a é real. Há um único r real, com o mesmo sinal de a quando a ≠ 0. Por exemplo, a raiz cúbica de um número negativo é negativa. O índice é pelo menos 3.

x é real e n é inteiro, n ≥ 2. O módulo |x| vale x se x ≥ 0 e −x se x < 0. Para índice par, a saída do radical precisa ser não negativa, mesmo quando x é negativo.

k é inteiro positivo e a > 0. A equação tem duas soluções reais opostas. Para a = 0, a única solução é x = 0; para a < 0, não há solução real. O radical isolado representa apenas a raiz não negativa.

n é inteiro, n ≥ 2. Para n par, exigir a ≥ 0 e b ≥ 0; para n ímpar, a e b podem ser quaisquer reais. Não separar um produto sob raiz par em fatores negativos, mesmo se o produto for positivo.

n é inteiro, n ≥ 2. Para n par, exigir a ≥ 0 e b > 0; para n ímpar, a é real e b ≠ 0. As condições valem para as expressões separadas; um quociente positivo formado por dois negativos não permite separação em raízes pares reais.

m e n são inteiros, ambos pelo menos 2. Se a ≥ 0, a igualdade sempre vale. Se a < 0, as expressões reais só existem quando m e n são ambos ímpares; nesse caso a igualdade também vale.

n é inteiro, n ≥ 2. Para n par, c ≥ 0 e b ≥ 0. Se c for negativo e b ≥ 0, usar |c| no lado direito. Para n ímpar, c e b podem ser quaisquer reais. Exigir que as expressões apresentadas estejam definidas.

a ≥ 0; m e k são inteiros positivos e n é inteiro, n ≥ 2. Para reduzir, o fator k deve dividir o índice e o expoente e o novo índice deve ser pelo menos 2, ou ser interpretado como a própria potência quando for 1. A condição de sinal impede trocas incorretas de raízes pares por ímpares.

u e v são reais, n é inteiro e n ≥ 2, e a raiz é real. Os dois radicais precisam ter o mesmo índice e o mesmo radicando, possivelmente depois de simplificar. A igualdade é uma aplicação da distributiva.

u e v são reais. Os termos conjugados diferem apenas no sinal entre as parcelas. A distributiva produz os termos −uv e +uv, que se cancelam. Quando u = √a e v = √b, exigir a e b não negativos.

a > 0. Multiplicamos numerador e denominador por √a, que é não nulo. O mesmo procedimento vale para um numerador real e para fatores racionais não nulos no denominador.

a > 0 e n é inteiro, n ≥ 2. O fator escolhido completa n fatores de a sob o radical. Casos com a < 0 podem ser tratados para índice ímpar, preservando os sinais e a condição a ≠ 0.

a ≥ 0, b ≥ 0 e a ≠ b. Essas condições garantem que o denominador original e o fator conjugado sejam não nulos. Se a = b > 0, a fração original existe, mas esta transformação específica não vale: é preciso usar outro procedimento.

a > 0, m é inteiro e n é inteiro positivo; para a notação de radical, n ≥ 2, e para n = 1 usamos a potência inteira. Para a = 0 e expoente racional positivo, o valor é 0; para expoente zero ou negativo, zero não é uma base admitida nesta aula.

a > 0, b > 0 e r, s são racionais. O quociente de potências de base a também satisfaz aʳ/aˢ = aʳ⁻ˢ, e (ab)ʳ = aʳbʳ. Para bases negativas e expoentes não inteiros, não usar estas leis sem verificar a definição e as condições de cada expressão.

n é inteiro, n ≥ 2. Para índice ímpar, a comparação continua válida para quaisquer reais a < b. Para comparar raízes de índices diferentes, não comparar apenas os radicandos: pode-se elevar as duas quantidades não negativas à mesma potência inteira positiva.

Os coeficientes a₀, a₁, …, aₙ são reais fixos e n é inteiro positivo. Os expoentes da variável são inteiros não negativos. A escrita representa uma soma finita; quando n = 1, é apenas a₁x + a₀. Polinômios constantes são escritos P(x) = a₀. O coeficiente do termo constante não é calculado como 0⁰ em x = 0.

P é não nulo e está reduzido em uma variável; k percorre os expoentes de 0 até um limite inteiro finito da escrita. max significa o maior elemento do conjunto. O coeficiente desse maior expoente é o dominante. Constante não nula tem grau 0; nesta aula o polinômio nulo não tem grau definido.

a é real não nulo; m e n são inteiros não negativos. Para mais variáveis, somam-se todos os expoentes. O grau em relação a x é m e em relação a y é n. Uma constante não nula tem grau total zero. Uma variável com expoente zero não precisa aparecer na escrita.

c é qualquer real e os coeficientes são reais fixos. A soma tem a mesma organização da definição de P, com n inteiro positivo; constantes são avaliadas como o próprio coeficiente. Substituir x por c em todas as ocorrências e usar parênteses quando c for negativo. Em particular, P(0) = a₀.

P e Q estão reduzidos na mesma variável, com coeficientes reais aₖ e bₖ e um limite comum n para os expoentes. Completar coeficientes ausentes com zero. A identidade compara todos os coeficientes; ela implica valores iguais para todo x real. Coincidir apenas em alguns valores não comprova a identidade.

A forma de P está reduzida, com todos os coeficientes reais identificados. Ser nulo significa que todos os coeficientes se anulam, não apenas que P(c) = 0 em algum c. Um número c com P(c) = 0 é chamado de zero ou raiz de P.

aₖ e bₖ são os coeficientes de x elevado a k em P e Q, completando os ausentes com zero; cₖ é o coeficiente correspondente em P + Q e dₖ em P − Q. k é inteiro não negativo. Somam-se ou subtraem-se somente termos com a mesma parte literal.

P e Q são polinômios nas mesmas variáveis, com coeficientes reais. O oposto −Q troca o sinal de cada coeficiente de Q. O sinal de subtração antes de um agrupamento atua em todos os termos desse agrupamento.

a e b são reais; m e n são inteiros não negativos. Expoente zero na notação de monômios representa a parte constante, sem exigir o cálculo de 0⁰. Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da mesma variável; em várias variáveis, fazer isso separadamente para cada uma.

P, Q e R são polinômios com coeficientes reais. Cada termo de um fator multiplica cada termo do outro; depois se reduzem os semelhantes. Os resultados permanecem polinômios. A propriedade também vale quando há mais parcelas ou parcelas negativas.

P, Q e P + Q são não nulos. Se os graus dos dois polinômios somados forem distintos, o resultado tem o maior deles. Com graus iguais, o termo dominante pode cancelar e diminuir o grau, ou a soma pode ser nula; no último caso esta fórmula com grau não é usada.

P e Q são polinômios não nulos em uma variável com coeficientes reais. O produto dos coeficientes dominantes é não nulo e acompanha o termo de maior expoente. O produto também é não nulo. Se um fator for o polinômio nulo, o produto é nulo e não se usa a fórmula de graus.

a é real, b é real não nulo e m, n são inteiros não negativos. Como fração numérica, exigir x ≠ 0 se n > 0 e preservar essa exclusão depois de simplificar. Se m ≥ n, o lado direito é um monômio; se m < n e a ≠ 0, o expoente negativo não fornece um polinômio. Divisão euclidiana é uma operação diferente, com quociente e resto.

A e B são polinômios em uma variável com coeficientes reais, e B é um polinômio não nulo. Existem únicos polinômios Q e R com esta identidade e com R = 0 ou deg R < deg B. A é o dividendo, B o divisor, Q o quociente e R o resto. B não nulo não significa que B(x) seja diferente de zero em todo x.

A e B são não nulos, deg A ≥ deg B, e Q é o quociente da divisão euclidiana de A por B nos reais. Nesse caso Q é não nulo. Se A é nulo, Q = R = 0; se A é não nulo de grau menor que B, Q = 0 e R = A, sem atribuir grau ao quociente nulo.

A = BQ + R é a identidade da divisão euclidiana e a igualdade de frações vale somente nos reais x para os quais B(x) ≠ 0. Se R = 0, a fração coincide com Q no domínio original; os zeros de B continuam excluídos da fração, embora a identidade polinomial seja válida neles.

a e b são reais, ou expressões reais definidas no domínio considerado. O termo central é duas vezes o produto dos dois termos completos. A dedução por áreas exige comprimentos não negativos; a identidade algébrica vale para quaisquer a e b reais.

a e b são reais. O último termo é não negativo porque (−b)² = b²; ele vale zero se b = 0. O sinal de subtração aparece no termo central −2ab. No desenho por recortes, supor a > b > 0. A identidade algébrica independe dessa restrição geométrica.

a e b são reais. A distributiva cancela os termos −ab e +ab. Lendo da direita para a esquerda, fatoramos uma diferença de quadrados. Para representar uma diferença de áreas por recorte, exigir a > b ≥ 0.

a e b são reais. A expansão resulta de multiplicar (a + b) pelo quadrado da soma. Os termos mistos têm coeficientes 3; a³ + b³, isoladamente, é outra expressão.

a e b são reais. Substituir b por −b na identidade do cubo da soma. O termo com b² aparece como +3ab² e o termo com b³ como −b³; esses sinais na escrita não determinam o sinal numérico de cada termo quando a ou b são negativos. A identidade também vale nesses casos.

a, b e c são reais. Além dos três quadrados, aparecem duas vezes os três produtos entre termos distintos. Uma subtração é tratada incluindo o sinal no termo correspondente.

a, b e c são reais. O produto final contém os seis termos mistos com uma variável ao quadrado e duas ocorrências de abc; multiplicar por 3 produz os coeficientes mistos 3 e o coeficiente 6 de abc.

a, b e c são reais e a + b + c = 0. Essa hipótese é suficiente para garantir a conclusão, que é obtida substituindo c = −(a + b) e usando o cubo da soma. Não se pode afirmar a conclusão para quaisquer trios reais sem uma hipótese adequada.

A, B e C são reais ou polinômios. Esta é a distributiva lida no sentido inverso. Não precisamos dividir por A para justificar a identidade, por isso os valores em que A = 0 continuam permitidos.

A, B, C e D são reais ou polinômios. Primeiro, AB + AC = A(B + C) e DB + DC = D(B + C); depois se evidencia o fator B + C. A identidade não exige que os fatores sejam não nulos.

x, m e n são reais. Para fatorar x² + px + q dessa forma, procurar m + n = p e mn = q. A busca apenas por inteiros pode falhar mesmo quando existem fatores com coeficientes reais.

u, v, w e z são reais. Para representar Ax² + Bx + C, exigir uw = A, uz + vw = B e vz = C. Quando A ≠ 0, u e w são não nulos. A igualdade resulta dos quatro produtos da distributiva.

A, B e C são reais, A ≠ 0, e escolhemos m e n com m + n = B e mn = AC. A igualdade escrita usa a soma; a condição de produto permite o agrupamento que produz fatores. Não supor que sempre exista um par inteiro, nem dividir por um coeficiente que possa ser zero.

a e b são reais ou polinômios. A expansão cancela os termos mistos. O sinal do termo ab no segundo fator é negativo. Esta é uma fatoração de a³ + b³, que não deve ser confundida com (a + b)³.

a e b são reais ou polinômios. A expansão cancela os termos mistos. O sinal do termo ab no segundo fator é positivo. É possível que os fatores obtidos ainda admitam decomposição após uma substituição: examinar cada fator.

x, p e q são reais. Somamos e subtraímos (p/2)² sem mudar a expressão. A identidade permite reconhecer uma diferença de quadrados ou mostrar positividade. A resolução geral das equações quadráticas será desenvolvida na aula própria.

a e b são reais. Escrever a⁴ + 4b⁴ = (a² + 2b²)² − (2ab)² demonstra a fatoração. A técnica mostra que uma soma de quadrados pode admitir fatores; não se deve generalizar a impossibilidade de fatorar x² + 1 para toda soma de quadrados.

U e V são reais. Se U ≠ 0, dividir UV = 0 por U força V = 0; a volta é imediata. Em equações com vários fatores reais, pelo menos um deles deve zerar. Não vale substituir zero por outro número e aplicar a mesma regra.

A, B e C são expressões reais. Para a fração original existir, exigir A ≠ 0 e C ≠ 0. As exclusões de A continuam no domínio mesmo que esse fator desapareça da escrita simplificada. Cancelar fatores de um produto é diferente de eliminar parcelas de uma soma.

a e b são reais. A primeira expressão vem do quadrado da soma. Na segunda, 3a²b + 3ab² = 3ab(a + b). Conhecer a soma e o produto pode bastar para calcular essas expressões sem determinar a e b.

P e Q são polinômios reais em uma variável, e Q não é o polinômio nulo. O domínio 𝒟 reúne os valores reais em que o denominador é não nulo. Em várias variáveis, exigir todas as condições correspondentes. Um numerador zero é permitido quando o denominador não zera.

A, B e k são valores de expressões reais no domínio considerado; B ≠ 0 e k ≠ 0. Multiplicamos por k/k = 1. Se k depender da variável, seus zeros não podem ser acrescentados ao domínio da nova fração; a equivalência é afirmada apenas onde ambas existem.

B ≠ 0 e D ≠ 0, com todas as expressões reais definidas. Multiplicar a igualdade por BD, não nulo, é reversível nesse domínio. A equação AD = BC, isoladamente, pode aceitar valores excluídos pelas frações originais.

K ≠ 0 e B ≠ 0 no domínio original. O fator K precisa multiplicar todo o numerador e todo o denominador. Seus zeros continuam excluídos mesmo que desapareça da escrita simplificada. Cancelamento não se aplica a parcelas isoladas de somas.

A e B são expressões reais definidas e B ≠ 0. Um único sinal negativo pode ser colocado no numerador, no denominador ou fora da fração; dois sinais negativos se anulam. Em particular, a − x = −(x − a).

B ≠ 0 e as expressões são reais definidas. O denominador comum é mantido; apenas os numeradores são somados ou subtraídos. Na subtração de um numerador com várias parcelas, o sinal atua no agrupamento inteiro.

B ≠ 0 e D ≠ 0. Multiplicar por D/D e B/B dá um denominador comum BD; ele é válido, mas pode ter fatores repetidos desnecessários. Para subtrair, trocar o sinal entre AD e BC. Conservar todas as exclusões originais.

M é um múltiplo polinomial de B e E é o fator complementar, com BE = M. A igualdade de frações vale onde B ≠ 0 e E ≠ 0. Ao escolher um denominador comum, declarar seu domínio; nos exemplos, os fatores escolhidos não introduzem zeros além dos já excluídos.

B ≠ 0 e D ≠ 0, com as expressões reais definidas. Os numeradores podem ser zero. Fatorar antes da multiplicação pode facilitar o cancelamento, mas as restrições dos dois denominadores originais permanecem.

A ≠ 0 e B ≠ 0. B precisa ser não nulo para a fração original existir; A precisa ser não nulo para que ela tenha recíproco. O produto da fração por seu recíproco é 1 nesse domínio.

B ≠ 0, D ≠ 0 e C ≠ 0. As duas frações devem existir e a fração divisora C/D deve ser não nula. A pode ser zero. Inverter a segunda fração não autoriza esquecer que D já era um denominador original.

B ≠ 0, D ≠ 0 e C ≠ 0. A barra principal indica divisão da fração superior pela inferior. Se houver somas dentro do numerador ou do denominador principal, simplificá-las com seus agrupamentos antes de aplicar esta forma.

n é inteiro positivo, B ≠ 0 e A é real. A regra vem de repetir o produto n vezes. Ela permite numerador zero e mantém as restrições de todas as expressões originais.

n é inteiro positivo e A ≠ 0, B ≠ 0. A fração original precisa existir e ser não nula. Aplicar o recíproco antes da potência positiva; a restrição B ≠ 0 permanece mesmo se B passar ao numerador.

B ≠ 0 e todas as expressões estão definidas no domínio original. Os zeros do numerador que também anulam o denominador não são soluções da equação fracionária. 0 dividido por um número não nulo é zero; 0/0 não é definido.

U e V estão definidos no domínio comum 𝒟 e M(x) ≠ 0 em todo x de 𝒟. A volta exige dividir por M, por isso a condição é essencial. Para eliminar denominadores, multiplicar todos os termos dos dois membros pelo mesmo M, conservando 𝒟.

Se uma equação fracionária foi reduzida, de modo equivalente em seu domínio 𝒟, a N(x) = 0, seu conjunto solução S contém apenas os zeros de N que pertencem a 𝒟. Candidatos excluídos pelo domínio não se tornam soluções por satisfazerem a equação polinomial.

B ≠ 0 e as expressões são reais definidas. A barra atua sobre todo o numerador agrupado. Esta propriedade não permite separar um denominador somado: em geral A/(B + C) é diferente de A/B + A/C.

t₁ e t₂ são tempos positivos para completar separadamente a mesma tarefa inteira. As taxas são constantes, os trabalhos se somam e não há interferência. T é o tempo conjunto, na mesma unidade. Somam-se taxas de trabalho, não os tempos individuais.

d > 0 é a distância, v > 0 é a velocidade constante e t > 0 é o tempo. Usar unidades compatíveis, como km e km/h para obter horas. Em etapas sucessivas, somar os tempos de cada etapa; o domínio físico pode restringir mais que os denominadores algébricos.

a, b e c são constantes reais e a ≠ 0. A forma é obtida após desenvolver e reduzir os dois membros. b e c podem ser zero. Nesta aula, a incógnita e as soluções procuradas são reais; restrições da equação original permanecem.

U e V são expressões reais definidas no domínio considerado. Se U ≠ 0, dividir por U obriga V = 0; se U = 0, o produto já é zero. Para usar a propriedade, é preciso ter produto igual a zero, não uma soma igual a zero.

a ≠ 0 e b real. Fatorar x(ax + b) evita perder a solução zero. Se b = 0, as duas expressões indicam o mesmo valor: há somente uma solução distinta, zero.

Esta é a redução de ax² + c = 0, com a ≠ 0. Se −c/a > 0, existem duas soluções opostas; se −c/a = 0, somente zero; se −c/a < 0, não existe solução real. Não extrair raiz real de um número negativo.

h e k são reais, com k ≥ 0. Para k > 0, os sinais dão duas soluções; para k = 0, um único valor h. Se k < 0, o conjunto solução real é vazio. A raiz √k é a principal, não negativa; o símbolo ± considera os dois valores possíveis do termo elevado ao quadrado.

p e x reais. A igualdade vem da expansão do quadrado da soma. Ao acrescentar (p/2)² a um membro de uma equação, acrescentar o mesmo ao outro. Se o coeficiente de x² não for 1, dividir primeiro por esse coeficiente não nulo.

a ≠ 0, a, b, c e x reais e Δ = b² − 4ac. Multiplicar a primeira equação por 4a e completar o quadrado é reversível. Esta equivalência justifica a classificação pelo discriminante sem supor a positivo.

a, b e c são os coeficientes reais da forma padrão, com a ≠ 0. Δ > 0 significa duas raízes reais distintas; Δ = 0 significa uma raiz real dupla; Δ < 0 significa ausência de raízes reais. O sinal de Δ não determina sozinho os sinais das raízes.

a ≠ 0 e Δ = b² − 4ac ≥ 0 para soluções reais. Calcular separadamente os dois sinais; ambos os termos do numerador são divididos por 2a. Se Δ = 0, os sinais produzem o mesmo valor. A fórmula também é válida para a negativo.

a ≠ 0 e coeficientes reais. Nesse caso ax² + bx + c = a(x − r)². O valor r tem multiplicidade dois na fatoração, mas o conjunto solução contém um único elemento.

a ≠ 0, b = 2k e k² − ac ≥ 0 para raízes reais. Substituir b = 2k na fórmula geral, usar √(4(k² − ac)) = 2√(k² − ac) e simplificar por 2. k pode ser qualquer real; em cálculos com b inteiro par, reduz a aritmética.

a ≠ 0 e Δ ≥ 0 para raízes reais r₁ e r₂. Se Δ = 0, considerar a raiz duas vezes nesta soma. S aqui representa a soma; o conjunto solução será chamado 𝒮 nos trechos que usam os dois conceitos.

a ≠ 0 e Δ ≥ 0 para raízes reais, contando duas vezes a raiz dupla. Produto positivo exige raízes de mesmo sinal; produto negativo exige sinais opostos; produto zero significa ao menos uma raiz zero. Verificar a existência real antes de interpretar sinais.

a ≠ 0, coeficientes reais e Δ ≥ 0. Os valores r₁ e r₂ são as raízes, repetidas se Δ = 0. Expandir o produto e usar soma e produto justifica a identidade. Com Δ < 0, não há fatoração em dois fatores lineares reais.

Para duas raízes reais dadas r₁ e r₂, S = r₁ + r₂ e P = r₁r₂. Esta é a equação mônica que as tem como raízes, contando repetição. Multiplicar seus dois membros por constante não nula gera outras equações com o mesmo conjunto solução.

r₁ e r₂ são raízes reais, S = r₁ + r₂ e P = r₁r₂. Expandir S² = r₁² + 2r₁r₂ + r₂². A relação evita resolver individualmente as raízes quando só se pede essa combinação.

As raízes são reais e ambas não nulas: P ≠ 0, equivalentemente c ≠ 0 para a ≠ 0. A soma usa denominador comum r₁r₂. Não dividir por P antes de conferir essa condição.

a ≠ 0 e Δ ≥ 0. m é o ponto médio na reta real; com raiz dupla, coincide com ela. Esta afirmação não pressupõe uma ordem entre as duas expressões obtidas pelos sinais da fórmula geral.

a ≠ 0 e Δ ≥ 0 para raízes reais. A distância é não negativa; o módulo de a é indispensável se a < 0. A distância de cada raiz ao ponto médio é √Δ/(2|a|).

a ≠ 0 e coeficientes reais. Para cada solução t > 0, retornar a x = ±√t; para t = 0, retornar somente x = 0; para t < 0, não há x real correspondente. A equação original é de quarto grau, quadrática apenas na nova incógnita t.

x real e x ≠ 0. Se t = x + 1/x, cada candidato t deve permitir soluções reais de x² − tx + 1 = 0; isso exige t² − 4 ≥ 0. Substituir não autoriza aceitar automaticamente todo t real obtido.

𝒟 é o domínio da equação original, incluindo as restrições do enunciado. A redução a ax² + bx + c = 0 deve ser equivalente em 𝒟, com a ≠ 0. Resolver a quadrática em ℝ fornece candidatos, que só permanecem se pertencem a 𝒟 e conferem na original.

U, V e W são expressões reais definidas no domínio considerado. Somar a mesma quantidade aos dois membros preserva a relação, mesmo se W for negativa. A regra vale também para >, ≤ e ≥. Todas as expressões originais precisam continuar definidas.

M, U e V são reais definidos em cada entrada do domínio. Para M > 0, preservar a orientação; para M < 0, inverter. Dividir por M segue a mesma regra quando M ≠ 0. Se M puder mudar de sinal, separar casos; se M = 0, a multiplicação não é uma equivalência. As versões não estritas seguem o mesmo princípio.

a e b são reais, com a < b. Parêntese exclui o extremo; colchete inclui. Infinito e menos infinito não são números reais incluídos: os lados correspondentes de intervalos infinitos usam parênteses.

a e b reais, a ≠ 0. À esquerda de r, x − r é negativo; à direita, positivo; em r, zero. Multiplicar pelo sinal de a determina o sinal de ax + b. Se a = 0, a expressão é a constante b e precisa de análise própria.

U e V são valores reais definidos. Produto positivo exige fatores de mesmo sinal e não nulos. Produto negativo exige sinais opostos. Um produto de vários fatores não nulos é negativo se a quantidade de fatores negativos é ímpar, e positivo se é par.

U e V reais definidos no domínio original. Um fator zero torna o produto zero apenas se todos os outros fatores estiverem definidos. Na relação ≥ ou ≤, zeros permitidos podem ser incluídos; nas relações > ou <, não.

r e x reais e n inteiro positivo. A potência par é positiva dos dois lados de r, portanto não troca o sinal ao atravessar r. Se estiver no denominador, r é sempre excluído; no numerador, pode ser um zero permitido.

x e r reais e n inteiro não negativo. Uma potência ímpar tem o mesmo sinal de sua base. Na fatoração de um polinômio, a quantidade de cópias do fator x − r é a multiplicidade do zero; multiplicidade ímpar troca o sinal e par o preserva, se o restante for não nulo nesse ponto.

Q(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0 e Δ = b² − 4ac > 0. As raízes são ordenadas como r₁ < r₂. O produto dos fatores é positivo fora do intervalo entre elas, negativo dentro e zero nos extremos. Para obter o sinal de Q, considerar também o sinal de a.

a ≠ 0, Δ > 0 e r₁ < r₂ são as raízes reais de Q. Q é zero em r₁ e r₂. Se a > 0, Q tem os sinais indicados; se a < 0, os sinais de Q são os opostos. Acrescentar os zeros permitidos nas desigualdades não estritas.

Q(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 e Δ = 0; r = −b/(2a). Fora de r, Q tem o sinal de a; em r, é zero. Portanto não há troca de sinal em r. Algumas inequações dão somente {r}, outras excluem r, aceitam todos os reais ou não têm solução.

a ≠ 0 e Δ < 0, com coeficientes reais. O termo entre colchetes é estritamente positivo para todo x real, pois o quadrado é não negativo e −Δ/(4a²) é positivo. Logo Q tem sempre o sinal de a e nunca zera.

Q(x) = ax² + bx + c é quadrática real, com a ≠ 0. Com Δ = 0, há um único zero; com Δ < 0, Q é sempre positiva. Para exigir Q > 0 em todos os reais, é necessário e suficiente a > 0 e Δ < 0. Os casos a = 0 são lineares ou constantes e ficam fora desta equivalência.

N e D reais definidos e D ≠ 0. Zeros do denominador não são zeros do quociente. Um zero comum ao numerador e ao denominador permanece excluído, inclusive em relações ≥ ou ≤.

N e D reais definidos, com D ≠ 0. Multiplicar a inequação por D², estritamente positivo nesse domínio, preserva a orientação e transforma N/D em ND. A mesma equivalência vale com >, < ou ≤ no lugar de ≥, sempre mantendo D ≠ 0.

A, B, C e D são expressões reais definidas, B ≠ 0 e D ≠ 0. Para comparar A/B com C/D, subtrair o segundo membro dos dois lados e estudar o sinal desta diferença. Não multiplicar por BD sem saber seu sinal ou separar casos.

K, A e B reais definidos no domínio original, K ≠ 0 e B ≠ 0. O cancelamento preserva os valores nesse domínio; os zeros do fator cancelado continuam proibidos. No quadro de sinais da forma simplificada, marcar esses pontos excluídos separadamente.

𝒟 é o domínio da escrita original, incluindo as condições do contexto; T reúne os intervalos e pontos escolhidos na análise equivalente dos sinais. A solução 𝒮 aceita apenas os elementos comuns. Extremo onde um denominador original zera nunca é incluído.

A e B são os conjuntos que resolvem separadamente as duas condições no mesmo universo e respeitando todos os domínios originais. A interseção contém os valores que atendem às duas: a ligação é “e”. Uma cadeia de desigualdades também pede interseção.

A e B são conjuntos de soluções no universo declarado. A união aceita os valores que atendem a pelo menos uma condição: a ligação é “ou” inclusivo. Se o enunciado impõe um domínio comum adicional, ele ainda deve ser respeitado.

m e r são reais fixos; min indica o menor e max o maior. Se m = r, a solução é somente {r}; se forem diferentes, é o intervalo fechado entre eles. Para a relação estrita < 0, o intervalo é aberto quando m ≠ r e vazio quando m = r.

α e β são reais fixos, com α < β, e F está definida no domínio considerado. Resolver as duas inequações e tomar a interseção; não a união. A inclusão de cada extremo depende da relação correspondente e do domínio.