Sistemas do primeiro grau

1Duas condições, uma solução comum

Conhecer o total de dois produtos não costuma revelar quanto há de cada um. Uma segunda informação, como o valor da compra, pode determinar as duas quantidades. Um sistema reúne condições que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Vamos usar as operações equivalentes da aula anterior para combiná-las sem perder soluções.

Em duas incógnitas, a resposta é um par ordenado: $(x,y)$ indica primeiro o valor de x e depois o de y. Assim, (3,1) e (1,3) são pares diferentes. Em três incógnitas, escrevemos uma tripla $(x,y,z)$. Resolver é encontrar todas as listas de valores que satisfazem todas as equações, respeitando a ordem e o universo.

A chave à esquerda agrupa as equações e significa que exigimos a primeira e a segunda. Os números a, b, c e d são os coeficientes das incógnitas; p e q são os termos independentes. As letras desses coeficientes representam dados fixos, não outras incógnitas a determinar.

2Linearidade, domínio e universo

Uma equação linear é uma soma de constantes multiplicadas por incógnitas, igual a uma constante. Após reduzir, x e y aparecem com expoente 1, sem produtos entre elas. Em duas incógnitas, a forma é $ax+by=p$. Coeficiente zero é permitido; pelo menos um entre a e b deve ser não nulo para que essa equação represente uma reta.

• $3x-2y=7$ e $x=4$ são lineares; a última também pode ser escrita $x+0y=4$.
• $xy=6$, $x^2+y=5$ e $1/x+y=2$ não são equações lineares em x e y. Algumas podem ser reduzidas a sistemas lineares com novas incógnitas, como veremos ao fim da aula.
• Se todos os coeficientes das incógnitas forem zero, resta uma igualdade constante: 0 = 0 é sempre verdadeira; 0 = 5 é impossível. São casos degenerados da forma linear.

Por padrão, procuramos pares reais, isto é, elementos de $\mathbb R^2$. O símbolo significa pares de reais, não elevar cada número ao quadrado. Em uma contagem, o universo pode exigir inteiros não negativos. Primeiro resolvemos as equações e depois conferimos se a resposta pertence ao universo original; uma solução fracionária não pode ser arredondada para contar objetos.

3Método da substituição

Se uma condição já expressa uma incógnita em termos da outra, podemos usar essa expressão na segunda condição. A ideia é trocar uma quantidade por outra que sabemos ser igual a ela. Assim, chegamos a uma equação em uma única incógnita; depois voltamos à relação guardada para recuperar a outra.

Escolher uma incógnita de coeficiente 1 ou −1 costuma reduzir as frações. Ao substituir uma expressão que contém uma soma ou diferença, use parênteses: eles garantem que o fator multiplique a expressão inteira. A relação usada para isolar deve continuar fazendo parte da resposta.

4Método da comparação

Quando as duas condições fornecem expressões para a mesma incógnita, essas expressões precisam ter o mesmo valor. A comparação é uma forma organizada de substituição. Não confunda comparar duas expressões de y com igualar uma expressão de x a outra de y sem justificativa.

Se as incógnitas ainda não estiverem isoladas, podemos preparar ambas as equações, respeitando coeficientes não nulos. O método não muda o conjunto solução; escolhemos a organização que torna a conta mais clara.

5Método da adição e equivalência

Podemos combinar equações para fazer uma incógnita desaparecer. Isso é eliminação, também chamada método da adição ou combinação linear. Multiplicamos equações por constantes adequadas e somamos os membros correspondentes. Coeficientes opostos produzem zero na soma.

A regra conserva a primeira equação e troca apenas a segunda. Para desfazer, subtraímos k vezes a primeira da nova segunda. Por isso a operação é reversível para qualquer k real, inclusive zero. Já multiplicar uma equação inteira e substituí-la por seu múltiplo exige um multiplicador não nulo.

• Trocar a ordem das equações não altera as exigências.
• Multiplicar uma equação por uma constante não nula preserva suas soluções.
• Substituir uma equação pela soma dela com um múltiplo de outra, conservando esta outra, preserva o sistema. A subtração é a soma de um múltiplo negativo.

6Frações, decimais e escolha do método

Antes de eliminar, distribua fatores, reduza termos e coloque as incógnitas na mesma ordem. Para remover denominadores numéricos não nulos, multiplique todos os termos de cada equação por um múltiplo comum adequado. Equações diferentes podem usar multiplicadores diferentes.

• Substituição: útil quando uma incógnita já está isolada ou tem coeficiente 1 ou −1.
• Comparação: útil quando a mesma incógnita está isolada nas duas relações.
• Adição: útil quando os coeficientes já são opostos ou podem ser preparados facilmente. Os métodos podem ser combinados e devem produzir o mesmo conjunto solução.

7Pares e retas no plano cartesiano

Um par também indica uma posição. No plano cartesiano, dois eixos perpendiculares se cruzam na origem O. O eixo horizontal é x, chamado eixo das abscissas; o vertical é y, eixo das ordenadas. Com a escala fixada, x indica o deslocamento horizontal e y o vertical, com sinais. O ponto (3,1) fica três unidades à direita e uma acima da origem.

O desenho de uma equação reúne todos os pontos cujas coordenadas a satisfazem. Em $x+y=4$, por exemplo, (0,4), (2,2) e (4,0) pertencem ao desenho. Dois pontos distintos determinam a reta; um terceiro pode servir de conferência. Um traço na figura representa apenas a parte visível de uma reta que continua indefinidamente.

Por que uma equação linear representa uma reta?

Se b ≠ 0, podemos escrever $y=-(a/b)x+p/b$. Quando x aumenta uma quantidade h, y varia sempre $-(a/b)h$; a direção entre os pontos é constante. Essa relação de variações caracteriza uma reta no plano cartesiano. Se b = 0 e a ≠ 0, a equação fixa x = p/a e permite todo y: uma reta vertical. Se a = 0 e b ≠ 0, fixa y = p/b: uma reta horizontal.

8Uma, nenhuma ou infinitas soluções

Nos reais, um sistema linear pode ser possível e determinado, abreviado SPD, quando tem uma única solução; possível e indeterminado, SPI, quando tem infinitas; ou impossível, SI, quando não tem nenhuma. Para duas equações não degeneradas em duas incógnitas, isso corresponde às posições de duas retas.

Retas concorrentes: SPD

Uma reta pode cruzar a outra em apenas um ponto. O ponto de interseção satisfaz as duas equações; qualquer outro ponto deixa de pertencer a pelo menos uma delas. O primeiro exemplo da aula já conferiu algebricamente o par (3,1).

Retas paralelas distintas: SI

Retas coincidentes: SPI

Equações degeneradas e universos restritos

A classificação acima usa o universo real completo. Por exemplo, $x+y=4$ tem infinitas soluções reais, mas, com x e y inteiros não negativos, admite apenas (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e (4,0). Restrições do contexto podem deixar um número finito de pares; isso não contradiz a classificação dos sistemas lineares em $\mathbb R^2$.

9Critério geral sem dividir por zero

A eliminação permite reconhecer quando existe solução única sem resolver vários exemplos separados. Partimos do sistema geral ax + by = p e cx + dy = q. Todos os coeficientes são reais fixos. Esta dedução não exige conhecer matrizes nem determinantes.

Multiplicar a primeira por d e subtrair b vezes a segunda fornece $d(ax+by)-b(cx+dy)=dp-bq$. Os termos dby e bdy se cancelam, restando $(ad-bc)x=Dx=dp-bq$. Do mesmo modo, $a(cx+dy)-c(ax+by)=aq-cp$ elimina x e fornece $Dy=aq-cp$. Essas igualdades são consequências válidas mesmo quando algum multiplicador é zero. Para obter x e y por divisão, precisamos de D ≠ 0.

Além da necessidade, há existência: substituímos os valores nas originais e reunimos as frações de denominador D. No numerador de ax + by, os termos −abq e +abq se cancelam, restando $(ad-bc)p=Dp$. No de cx + dy, +cdp e −dcp se cancelam, restando $(ad-bc)q=Dq$. Dividir por D recupera p e q. Todo par solução tinha de ter esses valores; logo a solução existe e é única.

Se D é zero

Antes de comparar proporções, trate as equações cujos dois coeficientes são zero. Se cada equação for não degenerada e D = 0, seus pares de coeficientes são proporcionais: existe um k não nulo com c = ka e d = kb. Para ver isso, se a ≠ 0, tome k = c/a e use ad = bc; se a = 0, então b ≠ 0, c = 0, e podemos tomar k = d/b. A não degeneração da segunda garante k ≠ 0.

Subtrair k vezes a primeira da segunda deixa 0 = q − kp. Se q = kp, resta uma única reta e há infinitas soluções reais. Se q ≠ kp, aparece uma contradição e não há solução. Evite decorar razões a/c ou b/d: elas podem envolver divisão por zero. A comparação por múltiplos trata os coeficientes nulos corretamente.

Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes são zero. A origem é sempre solução, porque toda soma de coeficientes multiplicados por zero resulta em zero. Com D = 0 e alguma equação não degenerada, fica uma reta pela origem; com todas degeneradas, fica todo o plano. Nos dois casos há infinitas soluções reais.

10Sistemas com parâmetros

Um parâmetro é um dado que ainda não recebeu um número específico. Em vez de adivinhar seu valor, separamos os casos em que uma divisão é permitida daqueles em que o divisor zera. A quantidade de soluções pode mudar justamente nesses valores especiais.

11Três incógnitas e escalonamento

Um sistema pode ter m equações e n incógnitas, com m e n inteiros positivos. Cada equação linear é uma soma de coeficientes reais fixos multiplicados pelas incógnitas, igual a uma constante. Uma solução é uma lista ordenada de n reais que verifica as m igualdades. Não é necessário que m seja igual a n. Vamos desenvolver a técnica em três incógnitas; a mesma lógica se estende a quantidades finitas maiores.

As operações de eliminação também servem para sistemas maiores. Chamamos de escalonamento a organização em etapas que elimina incógnitas e deixa as equações como uma escada. Quando há solução única, a última equação não trivial permite achar uma incógnita; voltando de baixo para cima, recuperamos as anteriores. Se não houver contradição e restarem incógnitas livres, escolhemos seus valores e expressamos as outras em função delas. Um pivô é o coeficiente não nulo escolhido para eliminar uma incógnita das outras equações.

Se o coeficiente desejado for zero, podemos trocar equações e escolher outro pivô não nulo. Não se divide por zero. Se todos os coeficientes disponíveis de uma incógnita forem zero, passamos a outra; pode restar uma incógnita livre ou aparecer uma contradição. As mesmas operações reversíveis preservam o conjunto de triplas.

12Modelagem e aplicações

Comece dizendo o que cada incógnita mede e em qual unidade. Traduza cada informação em uma igualdade, resolva e volte à pergunta original. Além da conferência nas contas, verifique inteiros, sinais, unidades e condições do contexto. Uma resposta algébrica pode revelar que os dados não descrevem uma situação viável.

O preço por quilograma da mistura é o valor total dividido pela massa total: uma média ponderada pelas massas. Com massas não negativas, ele fica entre os preços dos dois produtos. Se os dois preços forem iguais, qualquer divisão admissível da massa mantém esse preço; exigir outro preço torna o modelo impossível.

13Sistemas que se tornam lineares

Às vezes as expressões que se repetem podem receber novas letras. O sistema passa a ser linear nessas novas incógnitas, mas ainda é preciso voltar às antigas e respeitar a transformação. Essa etapa pode gerar mais de uma resposta ou excluir um candidato. Os exemplos abaixo introduzem a ideia; o tratamento geral de equações com frações e potências pertence às próximas aulas.

14Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Indique a ordem das incógnitas, mantenha uma relação ao eliminar e confira a resposta em todas as equações. Nas discursivas, escreva seu raciocínio antes de abrir a resolução. As questões são originais, sem atribuição a bancas.

15O que levar desta aula

• Uma solução é um par, tripla ou lista ordenada que satisfaz todas as condições, no domínio e universo declarados.
• Substituição, comparação e adição organizam as mesmas propriedades de igualdade. Escolha o método pela estrutura dos coeficientes.
• Ao eliminar, conserve informação suficiente para voltar às outras incógnitas. Uma consequência isolada pode aceitar pares que não resolvem o sistema.
• Nos reais, sistemas lineares são determinados, indeterminados ou impossíveis. Retas concorrentes, coincidentes e paralelas distintas representam os três casos de duas equações não degeneradas.
• 0 = 0 não impõe nova restrição; 0 = c, com c ≠ 0, torna o sistema impossível. Não confunda uma identidade produzida com liberdade total de todas as incógnitas.
• D = ad − bc ≠ 0 garante um único par real no sistema de duas equações; D = 0 exige analisar a compatibilidade. Não divida por um coeficiente ou parâmetro antes de discutir se pode ser zero.
• Escalonar elimina incógnitas por operações reversíveis. A quantidade de equações sozinha não decide a quantidade de soluções.
• Modelar exige traduzir cada dado, usar unidades coerentes e verificar admissibilidade. Mudanças de incógnitas exigem uma volta cuidadosa ao problema original.

A próxima aula será Potências e radicais. Ela desenvolverá as propriedades e condições de expoentes e raízes usadas na simplificação de expressões e nas próximas técnicas de Álgebra.