Polinômios

1O que é um polinômio?

Um polinômio organiza uma soma de quantidades como x, x² e x³, cada uma multiplicada por um número fixo. Isso permite representar medidas, custos e padrões, comparar expressões e fazer cálculos sem escolher imediatamente um valor para a letra. A linguagem já apareceu nas primeiras aulas; agora vamos estudar sua estrutura e suas operações com mais cuidado.

Um monômio é um produto de um coeficiente real por potências de variáveis com expoentes inteiros não negativos. O coeficiente é a parte numérica; a parte literal reúne as variáveis e seus expoentes. Monômios semelhantes têm exatamente a mesma parte literal. Um polinômio é uma soma finita desses termos; constantes e o polinômio zero também são admitidos.

P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0

\begin{aligned}P(x)={}&a_nx^n+\cdots\\&+a_1x+a_0\end{aligned}

Os coeficientes a₀, a₁, …, aₙ são reais fixos e n é inteiro positivo. Os expoentes da variável são inteiros não negativos. A escrita representa uma soma finita; quando n = 1, é apenas a₁x + a₀. Polinômios constantes são escritos P(x) = a₀. O coeficiente do termo constante não é calculado como 0⁰ em x = 0.

O símbolo P dá um nome ao polinômio. A escrita P(x) indica que sua variável é x; não é um produto entre P e x. Em $3x^2-2x+7$ , os coeficientes são 3, −2 e 7. O sinal acompanha o coeficiente: o termo −2x tem coeficiente −2. Em x e −x, os coeficientes não escritos são 1 e −1. Os pontos na forma geral indicam os termos intermediários até o termo constante, não uma soma infinita.

Exemplo resolvido · Reconhecer a estrutura, não a aparência

Quais destas expressões são polinômios em x: $\sqrt3x^2-\frac12x+4$ , $1/x+2$ , $\sqrt x+1$ e $x^3+7$ ?

Resolução

Na primeira, √3 e −1/2 são coeficientes reais fixos. Os expoentes de x são 2, 1 e 0, portanto ela é polinomial. Fração ou radical apenas no coeficiente não a impede de ser um polinômio.
Em 1/x + 2, o primeiro termo contém x⁻¹ e só existe para x ≠ 0. O expoente negativo não atende à definição de polinômio em x.
Em √x + 1, x tem expoente 1/2 e o domínio real é x ≥ 0. Também não atende à definição. Já x³ + 7 é um polinômio.

A primeira e a quarta são polinômios em x.

2Forma reduzida, grau e casos especiais

Antes de identificar o grau ou contar termos, reúna os semelhantes e elimine os termos de coeficiente zero. Essa é a forma reduzida. Na forma ordenada decrescente, começamos pelo maior expoente e seguimos até o termo constante. A ordem não muda o polinômio, mas ajuda a evitar erros nas operações. A notação deg P significa grau de P; para P não nulo, ele é o maior expoente que permanece com coeficiente não nulo.

\deg P=\max\{k:a_k\ne0\}

P é não nulo e está reduzido em uma variável; k percorre os expoentes de 0 até um limite inteiro finito da escrita. max significa o maior elemento do conjunto. O coeficiente desse maior expoente é o dominante. Constante não nula tem grau 0; nesta aula o polinômio nulo não tem grau definido.

O termo de maior grau é o dominante; seu coeficiente é o coeficiente dominante. Um polinômio não nulo é mônico quando esse coeficiente vale 1. Uma constante diferente de zero tem grau 0. O polinômio nulo tem todos os coeficientes zero e, nesta aula, não recebe grau. Assim não dizemos que o grau de zero é 0.

Exemplo resolvido · O maior expoente escrito pode desaparecer

Reduza $P(x)=5x^4-2x^2+3x-5x^4+7x^2-8$ e determine seu grau.

Resolução

Os termos de grau 4 se cancelam: 5 − 5 = 0. Os termos de grau 2 resultam em −2 + 7 = 5.
A forma reduzida é $P(x)=5x^2+3x-8$ . Restam três termos não nulos, portanto é um trinômio.
Seu grau é 2 e seu coeficiente dominante é 5. O termo constante é −8. O grau não é 4, porque o coeficiente correspondente ficou zero.

$P(x)=5x^2+3x-8$ , de grau 2.

Em 2x³ − 3x + 5, a coluna de x² tem coeficiente zero. A organização registra também o termo ausente.

Dizemos que um polinômio de grau n em uma variável é completo quando todos os graus de n até 0 aparecem com coeficientes não nulos. Se faltar algum, é incompleto. Podemos registrar os termos ausentes com coeficiente zero para calcular; isso não transforma o polinômio em completo. Monômio, binômio e trinômio indicam um, dois e três termos não nulos depois da redução; esses nomes não indicam o grau.

Exemplo resolvido · Constante, nulo e incompleto

Classifique $A(x)=9$ , $B(x)=4x-4x$ e $C(x)=x^5-2x+1$ .

Resolução

A é constante não nulo, com um termo e grau 0. Seu valor é 9 em qualquer x, inclusive em zero: não precisamos calcular 0⁰.
B se reduz ao polinômio nulo. Não possui termo dominante nem grau definido nesta convenção.
C é um trinômio de grau 5, mônico e incompleto: faltam os termos de graus 4, 3 e 2. A quantidade de termos é diferente do grau.

A tem grau 0; B é nulo; C tem grau 5 e é incompleto.

3Polinômios com mais de uma variável

Uma expressão pode depender de mais de uma medida. Em um monômio com várias variáveis, o grau total soma seus expoentes. Em um polinômio reduzido não nulo, o grau total é o maior grau total dos termos. O grau em relação a uma variável considera apenas os expoentes dela. É preciso dizer qual dessas medidas está sendo usada.

\deg(ax^my^n)=m+n

a é real não nulo; m e n são inteiros não negativos. Para mais variáveis, somam-se todos os expoentes. O grau em relação a x é m e em relação a y é n. Uma constante não nula tem grau total zero. Uma variável com expoente zero não precisa aparecer na escrita.

Exemplo resolvido · Grau total e grau em cada letra

Determine os graus de $P(x,y)=3x^2y^3-4xy^4+6$ .

Resolução

O primeiro termo tem grau total 2 + 3 = 5. O segundo tem grau total 1 + 4 = 5. O termo constante tem grau 0, portanto o grau total de P é 5.
O maior expoente de x é 2 e o maior de y é 4. São os graus em relação a cada variável. Não somamos 2 + 4: esses expoentes máximos aparecem em termos diferentes.
Um polinômio não nulo é homogêneo quando todos os seus termos não nulos têm o mesmo grau total. P não é homogêneo: os termos não nulos têm graus totais 5, 5 e 0.

Grau total 5; grau em x igual a 2 e em y igual a 4.

Exemplo resolvido · Mesmo grau não significa termos semelhantes

Reduza $2x^2y-5xy^2+4x^2y+xy^2$ e examine a homogeneidade.

Resolução

Os termos em x²y são semelhantes e somam 2 + 4 = 6. Os termos em xy² somam −5 + 1 = −4.
O resultado é $6x^2y-4xy^2$ . Os dois termos têm grau total 3, mas partes literais diferentes, portanto não se reduzem a um único termo.
O polinômio é homogêneo de grau 3, pois todos os termos não nulos têm esse grau total.

$6x^2y-4xy^2$ , homogêneo de grau 3.

Adição e multiplicação também serão ilustradas com várias variáveis. A divisão euclidiana com quociente e resto únicos, apresentada adiante, será formulada em uma única variável com coeficientes reais; não vamos transportar esse teorema automaticamente para várias variáveis.

4Parâmetros podem mudar o grau

Um parâmetro representa um coeficiente que será fixado. Antes de anunciar o grau, verifique se o coeficiente do maior expoente pode zerar. Se zerar, passe ao próximo expoente. Continue até encontrar o primeiro coeficiente não nulo ou concluir que o polinômio é nulo.

Exemplo resolvido · Testar os coeficientes em ordem

Discuta o grau de $P(x)=(a-2)x^3+(a+1)x^2+5$ , para a real.

Resolução

Se a ≠ 2, o coeficiente de x³ é não nulo e o grau é 3. Isso inclui a = −1: zerar o coeficiente de x² não elimina o termo de grau 3.
Se a = 2, o coeficiente de x³ desaparece, mas o de x² vale 3. Nesse caso o grau é 2.
Não há parâmetro que produza grau menor que 2: para isso os coeficientes de x³ e x² teriam que zerar simultaneamente, exigindo a = 2 e a = −1, o que é impossível.

Grau 3 se a ≠ 2; grau 2 se a = 2; nenhum outro grau ocorre.

Exemplo resolvido · Ser constante não significa necessariamente grau zero

Classifique $Q(x)=(t-3)x^2+(t-3)x+b$ , com t e b reais.

Resolução

Para t ≠ 3, o coeficiente de x² não zera e o grau é 2. Para t = 3, ambos os termos com x desaparecem e Q(x) = b.
Se t = 3 e b ≠ 0, Q é constante não nulo e tem grau 0. Se t = 3 e b = 0, Q é nulo e não tem grau definido.
Não aparece um caso de grau 1: o mesmo fator t − 3 controla os coeficientes de x² e x.

Grau 2, grau 0 ou polinômio nulo, conforme os parâmetros.

5Valor numérico, zeros e domínio

Avaliar um polinômio é trocar todas as ocorrências da variável pelo mesmo número e executar as operações. O valor obtido é um número; o polinômio continua sendo a expressão que pode ser avaliada em diferentes entradas. Um polinômio em x com coeficientes reais aceita qualquer x real.

P(c)=a_nc^n+\cdots+a_1c+a_0

\begin{aligned}P(c)={}&a_nc^n+\cdots\\&+a_1c+a_0\end{aligned}

c é qualquer real e os coeficientes são reais fixos. A soma tem a mesma organização da definição de P, com n inteiro positivo; constantes são avaliadas como o próprio coeficiente. Substituir x por c em todas as ocorrências e usar parênteses quando c for negativo. Em particular, P(0) = a₀.

Exemplo resolvido · Substituir um número negativo

Se $P(x)=2x^3-3x^2+4x-5$ , calcule P(−2) e P(0).

Resolução

Usando parênteses, $P(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2+4(-2)-5$ . As potências são −8 e 4.
Os quatro termos valem −16, −12, −8 e −5. A soma é −41. O coeficiente −3 continua negativo ao multiplicar o quadrado positivo.
Em x = 0, todos os termos com potência positiva de x se anulam e sobra −5. Portanto P(0) é o termo constante.

P(−2) = −41 e P(0) = −5.

Exemplo resolvido · Um zero não torna o polinômio nulo

Para $Q(x)=x^2-5x+6$ , verifique Q(2), Q(3) e Q(0).

Resolução

Q(2) = 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 e Q(3) = 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Um zero, também chamado raiz, de Q é um número que faz seu valor ser zero; portanto 2 e 3 são raízes.
Q(0) = 6, que é diferente de zero. Q não é o polinômio nulo; seus coeficientes 1, −5 e 6 também mostram isso.
Verificar números candidatos é diferente de desenvolver métodos para encontrar todas as raízes. Equações quadráticas e equações polinomiais terão seus núcleos próprios.

2 e 3 são raízes, mas Q não é identicamente nulo.

Um radical constante como $\sqrt2$ pode ser coeficiente sem restringir x. Já a fração $(x^2-1)/(x-1)$ tem domínio x ≠ 1. Mesmo que ela coincida com x + 1 nesse domínio, a fração original não passa a aceitar x = 1. A identidade entre polinômios e a igualdade entre expressões em um domínio restrito precisam ser distinguidas.

6Igualdade e comparação de coeficientes

Dois polinômios na mesma variável são idênticos quando, depois de reduzir, seus coeficientes correspondentes são iguais. Usamos P ≡ Q para destacar uma identidade. Isso garante os mesmos valores em qualquer x real. Uma equação P(x) = Q(x), por sua vez, pode pedir apenas os valores específicos de x que a tornam verdadeira.

P\equiv Q\iff a_k=b_k\ (0\le k\le n)

\begin{gathered}P\equiv Q\\\Updownarrow\\a_k=b_k\quad(0\le k\le n)\end{gathered}

P e Q estão reduzidos na mesma variável, com coeficientes reais aₖ e bₖ e um limite comum n para os expoentes. Completar coeficientes ausentes com zero. A identidade compara todos os coeficientes; ela implica valores iguais para todo x real. Coincidir apenas em alguns valores não comprova a identidade.

P\equiv0\iff a_0=a_1=\cdots=a_n=0

\begin{gathered}P\equiv0\\\Updownarrow\\a_0=a_1=\cdots=a_n=0\end{gathered}

A forma de P está reduzida, com todos os coeficientes reais identificados. Ser nulo significa que todos os coeficientes se anulam, não apenas que P(c) = 0 em algum c. Um número c com P(c) = 0 é chamado de zero ou raiz de P.

Exemplo resolvido · Determinar coeficientes de uma identidade

Encontre a, b e c para que $(a+1)x^2+(b-2)x+c\equiv4x^2-3x+8$ .

Resolução

Compare os coeficientes de x²: a + 1 = 4, portanto a = 3.
Compare os coeficientes de x: b − 2 = −3, portanto b = −1. Nos termos constantes, c = 8.
Substituindo os três valores, o lado esquerdo se torna 4x² − 3x + 8 em toda a expressão, não apenas em um valor escolhido de x.

a = 3, b = −1 e c = 8.

Exemplo resolvido · Dois testes não bastam para uma identidade

Compare $P(x)=x^2$ e $Q(x)=x$ . Eles são idênticos porque coincidem em x = 0 e x = 1?

Resolução

P(0) = Q(0) = 0 e P(1) = Q(1) = 1. Esses dois testes estão corretos.
Porém P(2) = 4 e Q(2) = 2. Os coeficientes também são diferentes: em P o coeficiente de x² é 1 e em Q é 0.
A equação $x^2=x$ não é uma identidade. Encontrar alguns valores que a satisfazem não permite comparar os coeficientes como se a igualdade valesse para qualquer x.

Não são idênticos; a coincidência nos dois testes não prova igualdade.

Por que igualdade em todos os reais força os coeficientes?

Uma direção já está clara: coeficientes iguais dão os mesmos cálculos. Para a volta, considere a diferença H = P − Q. Se algum coeficiente de H não fosse zero, H teria um termo dominante. Para valores positivos suficientemente grandes de x, esse termo não poderia ser cancelado pela soma dos termos de menor grau.

Para tornar a justificativa precisa, suponha grau n ≥ 1, coeficiente dominante $a_n\ne0$ , e chame de C a soma dos módulos dos coeficientes de graus menores. Para x ≥ 1, a soma dos módulos desses termos é no máximo $Cx^{n-1}$ . Escolha x também maior que $C/|a_n|$ . Então $Cx^{n-1}<|a_n|x^n$ : o módulo do termo dominante supera a soma de todos os demais. Mesmo que estes se oponham ao dominante, $|H(x)|\ge |a_n|x^n-Cx^{n-1}>0$ , logo H(x) não pode ser zero. Um H constante não nulo também nunca vale zero.

Logo, se H(x) = 0 para todo real x, todos os seus coeficientes precisam ser zero. Isso justifica a comparação de coeficientes em identidades reais. Não precisamos supor que conferir uma quantidade pequena de exemplos substitui essa justificativa.

7Adição, oposto e subtração

Para somar, reúna os termos que têm exatamente a mesma parte literal. Isso funciona pela distributiva: três cópias de x² com mais duas cópias de x² são cinco cópias de x². Não se somam expoentes nessa operação. Organizar por colunas ajuda a enxergar os termos ausentes.

\begin{aligned}c_k&=a_k+b_k\\d_k&=a_k-b_k\end{aligned}

aₖ e bₖ são os coeficientes de x elevado a k em P e Q, completando os ausentes com zero; cₖ é o coeficiente correspondente em P + Q e dₖ em P − Q. k é inteiro não negativo. Somam-se ou subtraem-se somente termos com a mesma parte literal.

Exemplo resolvido · Somar com cancelamento do maior grau

Some $P(x)=2x^3-4x+1$ e $Q(x)=-2x^3+3x^2+5x-7$ .

Resolução

Complete mentalmente P com 0x². Na coluna de x³, 2 + (−2) = 0; na de x², 0 + 3 = 3.
Na coluna de x, −4 + 5 = 1; nos constantes, 1 + (−7) = −6.
Portanto $P+Q=3x^2+x-6$ . O grau caiu de 3 para 2 porque os termos dominantes se cancelaram.

$P+Q=3x^2+x-6$ .

P-Q=P+(-Q)

P e Q são polinômios nas mesmas variáveis, com coeficientes reais. O oposto −Q troca o sinal de cada coeficiente de Q. O sinal de subtração antes de um agrupamento atua em todos os termos desse agrupamento.

O oposto é o polinômio que, somado ao original, produz zero. Cada coeficiente é multiplicado por −1. Por isso, subtrair um polinômio é somar o seu oposto. Uma subtração antes de parênteses muda todos os sinais internos, inclusive o de um termo que já era negativo.

Exemplo resolvido · O sinal de menos atua em todos os termos

Calcule $(3x^2-x+4)-(x^2+2x-5)$ .

Resolução

O oposto do segundo polinômio é $-x^2-2x+5$ . Escrevemos a soma $3x^2-x+4-x^2-2x+5$ .
Agrupando, o coeficiente de x² é 3 − 1 = 2; o de x é −1 − 2 = −3; o constante é 4 + 5 = 9.
Uma conferência em x = 0 dá 4 − (−5) = 9. É uma checagem útil do sinal, mas a distributiva e a redução justificam o resultado para todos os reais.

$2x^2-3x+9$ .

Exemplo resolvido · Uma diferença com duas variáveis

Reduza $(4x^2y-xy^2+3)-(x^2y+2xy^2-1)$ .

Resolução

O oposto do segundo agrupamento é −x²y − 2xy² + 1.
Os termos em x²y dão 3x²y; os de xy² dão −3xy²; os constantes dão 4. O resultado é $3x^2y-3xy^2+4$ .

$3x^2y-3xy^2+4$ .

8Multiplicação e organização dos produtos

Na multiplicação, cada termo do primeiro fator precisa multiplicar cada termo do segundo. Multiplique os coeficientes, use as leis de expoentes para a mesma variável e, somente depois, reúna os termos semelhantes. Uma tabela pode funcionar como uma lista dos produtos que não podem ser esquecidos.

(ax^m)(bx^n)=abx^{m+n}

a e b são reais; m e n são inteiros não negativos. Expoente zero na notação de monômios representa a parte constante, sem exigir o cálculo de 0⁰. Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da mesma variável; em várias variáveis, fazer isso separadamente para cada uma.

P(Q+R)=PQ+PR

P, Q e R são polinômios com coeficientes reais. Cada termo de um fator multiplica cada termo do outro; depois se reduzem os semelhantes. Os resultados permanecem polinômios. A propriedade também vale quando há mais parcelas ou parcelas negativas.

Exemplo resolvido · Um monômio multiplicando um polinômio

Desenvolva $-2x^2(3x^3-x+4)$ .

Resolução

O fator −2x² multiplica as três parcelas, com seus sinais.
Os produtos são $(-2\cdot3)x^{2+3}=-6x^5$ , $(-2)(-1)x^{2+1}=+2x^3$ e $(-2\cdot4)x^2=-8x^2$ . Os expoentes se somam apenas nas multiplicações da mesma base.

$-6x^5+2x^3-8x^2$ .

Exemplo resolvido · Quatro partes de uma mesma área

Desenvolva $(x+3)(x+2)$ .

Resolução

Pela distributiva, $(x+3)(x+2)=x(x+2)+3(x+2)$ .
Os quatro produtos são x², 2x, 3x e 6. Os dois termos de grau 1 são semelhantes e somam 5x.
O desenho interpreta esses produtos como áreas quando x > 0. A identidade algébrica obtida pela distributiva vale para todo x real, mesmo quando a interpretação por comprimentos não é possível.

$(x+3)(x+2)=x^2+5x+6$ .

As quatro regiões representam x², 3x, 2x e 6. Para ilustrar a escala, o desenho usa x = 4; a dedução algébrica vale para qualquer x real.

Exemplo resolvido · Dois termos vezes três termos

Multiplique $(2x-1)(x^2+3x+2)$ .

Resolução

O termo 2x produz $2x^3+6x^2+4x$ . O termo −1 produz $-x^2-3x-2$ .
Reunindo os seis produtos, obtemos $2x^3+(6-1)x^2+(4-3)x-2$ .
As seis posições da tabela representam os 2·3 pares possíveis de termos. Não basta multiplicar apenas os primeiros e os últimos termos dos fatores.

$2x^3+5x^2+x-2$ .

Cada posição da tabela é o produto do termo da linha pelo termo da coluna. Reduzindo os seis resultados, obtemos 2x³ + 5x² + x − 2.

Com várias variáveis, a regra não muda: $(2x-y)(x+3y)=2x^2+6xy-xy-3y^2=2x^2+5xy-3y^2$ . As leis comutativa e associativa da multiplicação permitem reorganizar os fatores; a distributiva justifica a expansão. As identidades recorrentes chamadas produtos notáveis e as técnicas de fatoração serão desenvolvidas na próxima aula.

9O grau depois das operações

O grau ajuda a prever o tamanho de um resultado e a detectar erros. Na soma, podem ocorrer cancelamentos; no produto de dois polinômios não nulos em uma variável real, o termo de maior grau tem uma origem única e não desaparece.

\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)

\begin{gathered}\deg(P+Q)\\\le\max(\deg P,\deg Q)\end{gathered}

P, Q e P + Q são não nulos. Se os graus dos dois polinômios somados forem distintos, o resultado tem o maior deles. Com graus iguais, o termo dominante pode cancelar e diminuir o grau, ou a soma pode ser nula; no último caso esta fórmula com grau não é usada.

Na soma, não há como criar expoentes maiores que os já presentes. Se os graus forem diferentes, só um dos polinômios tem o termo de maior grau e ele permanece. Se os graus forem iguais, seus coeficientes dominantes podem somar zero. A diferença segue a mesma análise, usando o oposto.

Exemplo resolvido · Três comportamentos possíveis de uma soma

Considere $P=x^3+x$ e some, separadamente, $Q_1=x^2$ , $Q_2=-x^3+2$ e $Q_3=-x^3-x$ .

Resolução

P + Q₁ = x³ + x² + x, de grau 3, o maior dos graus 3 e 2.
P + Q₂ = x + 2, de grau 1, depois de cancelar os termos cúbicos.
P + Q₃ é o polinômio nulo, que não tem grau definido nesta convenção. Não devemos aplicar a fórmula de grau ao resultado nulo.

A soma pode manter o maior grau, diminuí-lo ou ser nula.

\deg(PQ)=\deg P+\deg Q

P e Q são polinômios não nulos em uma variável com coeficientes reais. O produto dos coeficientes dominantes é não nulo e acompanha o termo de maior expoente. O produto também é não nulo. Se um fator for o polinômio nulo, o produto é nulo e não se usa a fórmula de graus.

Se os graus de P e Q são m e n, seus termos dominantes são $a_mx^m$ e $b_nx^n$ , com coeficientes não nulos. O produto deles é $a_mb_nx^{m+n}$ . Qualquer outro par de termos tem pelo menos um expoente menor e produz grau menor que m + n. Como o produto de dois reais não nulos não é zero, o termo dominante não cancela. Isso demonstra a fórmula e também que PQ não é nulo.

Exemplo resolvido · Prever o grau sem expandir tudo

Determine o grau e o coeficiente dominante de $(3x^4-x+2)(-2x^3+5)$ e o grau da terceira potência do primeiro fator.

Resolução

Os graus dos fatores são 4 e 3. O produto tem grau 7 e coeficiente dominante 3·(−2) = −6.
A terceira potência significa três fatores não nulos de grau 4. Aplicando a regra duas vezes, o grau é 4 + 4 + 4 = 12.
Nenhuma expansão completa é necessária para essas perguntas. Se algum fator fosse o polinômio nulo, a fórmula não se aplicaria.

O produto tem grau 7 e coeficiente dominante −6; a terceira potência tem grau 12.

10Dividir por um monômio: expressão e domínio

Podemos dividir cada parcela por um mesmo denominador não nulo. Na divisão de monômios, dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes da mesma variável. Mas o resultado nem sempre é um polinômio: expoentes negativos podem permanecer. Além disso, uma fração numérica continua excluindo os valores que anulam seu denominador original.

\frac{ax^m}{bx^n}=\frac ab x^{m-n}

a é real, b é real não nulo e m, n são inteiros não negativos. Como fração numérica, exigir x ≠ 0 se n > 0 e preservar essa exclusão depois de simplificar. Se m ≥ n, o lado direito é um monômio; se m < n e a ≠ 0, o expoente negativo não fornece um polinômio. Divisão euclidiana é uma operação diferente, com quociente e resto.

Exemplo resolvido · Uma simplificação que conserva uma exclusão

Simplifique $(12x^4-6x^3+3x^2)/(3x^2)$ como expressão real.

Resolução

O denominador original exige x ≠ 0. Dividimos os três termos separadamente por 3x².
Dividimos coeficientes e subtraímos expoentes: $(12/3)x^{4-2}=4x^2$ , $(-6/3)x^{3-2}=-2x$ e $(3x^2)/(3x^2)=1$ . Logo a expressão coincide com $4x^2-2x+1$ para x ≠ 0.
O polinômio do resultado pode ser avaliado em zero, mas a fração original não. Simplificar não recupera o valor excluído.

$4x^2-2x+1$ , mantendo x ≠ 0.

Exemplo resolvido · O quociente como fração pode não ser polinomial

Analise $(x^2+1)/x$ e $12x^3y^2/(3xy^4)$ nos seus domínios.

Resolução

A primeira expressão é $x+1/x$ para x ≠ 0. O termo x⁻¹ não é polinomial. Não descartamos o resto 1 só porque um termo foi dividido exatamente.
Na segunda, exigimos x ≠ 0 e y ≠ 0. Obtemos $(12/3)x^{3-1}y^{2-4}=4x^2y^{-2}=4x^2/y^2$ . O expoente de y no numerador é menor que o do denominador, por isso o resultado não é um polinômio nas variáveis x e y.
Na próxima seção, a divisão euclidiana dará um quociente polinomial e um resto para a primeira situação: x² + 1 = x·x + 1.

Uma divisão de expressões existe no domínio indicado, mas pode produzir uma expressão fracionária.

11Divisão euclidiana: quociente e resto

Na divisão inteira, 29 = 4·7 + 1 registra divisor, quociente e resto. Para polinômios, também procuramos um produto e uma sobra. A condição de parada agora envolve graus: o resto precisa ser zero ou ter grau menor que o divisor. Essa condição, junto da identidade, determina uma única resposta.

A=BQ+R

A e B são polinômios em uma variável com coeficientes reais, e B é um polinômio não nulo. Existem únicos polinômios Q e R com esta identidade e com R = 0 ou deg R < deg B. A é o dividendo, B o divisor, Q o quociente e R o resto. B não nulo não significa que B(x) seja diferente de zero em todo x.

A divisão ocorre entre polinômios em uma variável com coeficientes reais. B não nulo significa que pelo menos um de seus coeficientes é não nulo. Um divisor como x − 1 é permitido, embora se anule em x = 1. Não se divide pelo polinômio que tem todos os coeficientes zero.

Por que o procedimento sempre termina?

Se o resto atual tem termo dominante $ax^r$ e B tem termo dominante $bx^s$ , com r ≥ s e b ≠ 0, acrescente $(a/b)x^{r-s}$ ao quociente e subtraia o produto desse termo por todo o divisor B do resto atual. O termo de grau r se cancela. Nenhum grau maior aparece, porque os outros termos de B têm grau menor que s. O novo resto é zero ou tem grau estritamente menor.

O grau é um inteiro não negativo e não pode diminuir indefinidamente. O processo para com resto zero ou de grau menor que B. Somando todos os múltiplos subtraídos, recuperamos a identidade A = BQ + R. Isso demonstra a existência; dividir os coeficientes reais por b ≠ 0 é o que permite cada etapa.

Por que o quociente e o resto são únicos?

Suponha duas respostas válidas: $A=BQ_1+R_1$ e $A=BQ_2+R_2$ . Subtraindo, $B(Q_1-Q_2)=R_2-R_1$ . Se os quocientes fossem diferentes, a diferença deles seria não nula e o produto do lado esquerdo teria grau pelo menos igual ao de B. O lado direito, se não nulo, teria grau menor que B. Se fosse nulo, também não poderia igualar um produto de polinômios não nulos. Há uma contradição.

Portanto os quocientes são iguais e a identidade força restos iguais. Se B for constante não nulo, o único resto possível é zero, e o mesmo argumento se aplica: a diferença dos restos é zero. A condição sobre o resto é essencial para essa conclusão.

Exemplo resolvido · Quando não é preciso executar a chave

Divida $A=x+4$ por $B=x^2+1$ ; depois divida $C=6x^2-3x+9$ por 3.

Resolução

Na primeira divisão, o grau de A já é menor que o de B. Escolhemos Q = 0 e R = x + 4: a identidade e a condição do resto estão satisfeitas.
Na segunda, dividimos todos os coeficientes por 3: $Q=2x^2-x+3$ e R = 0. Um resto não nulo não poderia ter grau menor que o grau 0 do divisor.
Se o dividendo for o polinômio zero e o divisor for não nulo, Q = R = 0. A divisão pelo polinômio zero não é definida.

Grau menor: quociente zero. Divisor constante não nulo: resto zero.

\deg Q=\deg A-\deg B

A e B são não nulos, deg A ≥ deg B, e Q é o quociente da divisão euclidiana de A por B nos reais. Nesse caso Q é não nulo. Se A é nulo, Q = R = 0; se A é não nulo de grau menor que B, Q = 0 e R = A, sem atribuir grau ao quociente nulo.

Exemplo resolvido · Grau esperado e grau permitido

Um dividendo de grau 6 é dividido por um divisor de grau 2. O que se pode afirmar sobre quociente e resto?

Resolução

Os dois polinômios são não nulos e o dividendo tem grau maior. O quociente tem grau 6 − 2 = 4.
O resto é zero ou tem grau 0 ou 1. Não podemos afirmar seu valor só pelos graus.
Q não pode ser nulo: isso daria A = R, de grau menor que B, contrariando os dados. Assim BQ tem grau deg B + deg Q e o resto, de grau menor que B, não cancela esse termo dominante. A identidade fornece 6 = 2 + deg Q.

Quociente de grau 4; resto nulo ou de grau menor que 2.

12Método da chave, passo a passo

O método da chave organiza o procedimento que acabamos de justificar. Escreva dividendo e divisor em ordem decrescente, reserve lugares para graus ausentes, divida os termos dominantes, multiplique pelo divisor inteiro e subtraia. Repita até satisfazer a condição do resto. Subtrair exige trocar o sinal de todo o produto, não apenas do primeiro termo.

Exemplo resolvido · Divisor linear e termo ausente

Divida $A=x^3-5x+6$ por $B=x-1$ .

Resolução

Organize $A=x^3+0x^2-5x+6$ . O primeiro termo do quociente é x², porque x³ dividido por x é x². Subtraia $x^2(x-1)=x^3-x^2$ . Sobra $x^2-5x+6$ .
Agora x² dividido por x é x. Subtraia $x(x-1)=x^2-x$ do resto atual. Sobra $-4x+6$ .
Divida −4x por x, obtendo −4. O produto é $-4(x-1)=-4x+4$ . Subtraindo, $(-4x+6)-(-4x+4)=2$ .
O resto 2 tem grau 0, menor que 1. O quociente reúne os três termos encontrados: x² + x − 4. Não procuramos tornar o resto numericamente menor que algum valor de x − 1.

$Q=x^2+x-4$ e R = 2.

As colunas mostram os coeficientes dos restos sucessivos. A cada etapa, um múltiplo do divisor cancela o termo dominante do resto atual.

Exemplo resolvido · Divisor quadrático e resto linear

Divida $A=2x^4+3x^3-x^2+4x+7$ por $B=x^2+1$ .

Resolução

O primeiro termo é $2x^4/x^2=2x^2$ . Subtraia $2x^2(x^2+1)=2x^4+2x^2$ . O novo resto é $3x^3-3x^2+4x+7$ .
O próximo termo é 3x. Subtraia $3x(x^2+1)=3x^3+3x$ . Sobra $-3x^2+x+7$ .
O próximo termo é −3. Subtraia $-3(x^2+1)=-3x^2-3$ . Sobra x + 10, de grau 1, menor que o grau 2 do divisor.
Assim $Q=2x^2+3x-3$ e R = x + 10. Conferindo, $(x^2+1)(2x^2+3x-3)+(x+10)=2x^4+3x^3+(-3+2)x^2+(3+1)x+(-3+10)$ , que recupera o dividendo original.

$Q=2x^2+3x-3$ e R = x + 10.

Exemplo resolvido · O coeficiente dominante do divisor pode ser diferente de 1

Divida $A=3x^2+x+1$ por $B=2x+1$ .

Resolução

A divisão dos termos dominantes dá $(3/2)x$ . Multiplicando o divisor, obtemos $3x^2+(3/2)x$ . Subtraindo de A, sobra $-(1/2)x+1$ .
O próximo termo vem de $[-(1/2)x]/(2x)=-1/4$ . Seu produto pelo divisor é $-(1/2)x-1/4$ . Subtraindo o produto inteiro, $[-(1/2)x+1]-[-(1/2)x-1/4]=5/4$ .
O quociente é $Q=(3/2)x-1/4$ e R = 5/4. Coeficientes fracionários são permitidos: estamos dividindo nos reais.

$Q=\frac32x-\frac14$ e $R=\frac54$ .

13Conferir a divisão e preservar o domínio

Uma divisão fica conferida quando reconstruímos o dividendo pela identidade e verificamos a condição do resto. Calcular os dois lados em um ou dois números pode revelar um erro, mas não substitui a expansão e a comparação completa de coeficientes. O quociente euclidiano não é, sozinho, o valor da fração quando o resto é não nulo.

\frac{A(x)}{B(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{B(x)}

A = BQ + R é a identidade da divisão euclidiana e a igualdade de frações vale somente nos reais x para os quais B(x) ≠ 0. Se R = 0, a fração coincide com Q no domínio original; os zeros de B continuam excluídos da fração, embora a identidade polinomial seja válida neles.

Exemplo resolvido · Identidade válida onde a fração não existe

Considere $A=x^2-1$ e B = x − 1. Compare a divisão euclidiana com a fração A(x)/B(x).

Resolução

A divisão produz Q = x + 1 e R = 0. A multiplicação (x − 1)(x + 1) = x² − 1 confere a identidade em qualquer real, inclusive em x = 1.
Como fração, A(x)/B(x) só existe para x ≠ 1. Nesse domínio, ela vale x + 1. Em x = 1 a fração é 0/0, não definida; o polinômio Q, isoladamente, vale 2.
Na divisão anterior de $x^3-5x+6$ por x − 1, o resto 2 fornece a fração $x^2+x-4+2/(x-1)$ , também só para x ≠ 1. Descartar esse último termo mudaria o valor da expressão.

A identidade polinomial vale em todos os reais; a fração conserva os zeros do divisor como exclusões.

14Aplicações e interpretação dos resultados

Exemplo resolvido · Uma moldura aumenta uma área

Um retângulo tem lados x + 3 e x + 2 metros, com x > 0. Uma faixa externa de 1 metro aumenta cada dimensão total em 2 metros. Determine a área acrescentada.

Resolução

A área original é $(x+3)(x+2)=x^2+5x+6$ m². Uma faixa externa de largura 1 em ambos os lados aumenta os comprimentos para x + 5 e x + 4.
A área externa é $(x+5)(x+4)=x^2+9x+20$ m². A diferença é $(x^2+9x+20)-(x^2+5x+6)=4x+14$ m².
Em x = 2, as áreas são 20 m² e 42 m², com acréscimo de 22 m². A expressão 4x + 14 também dá 22. Essa conferência apoia a modelagem; a distributiva justifica a expressão geral.

A área acrescentada é 4x + 14 m² para x > 0.

Exemplo resolvido · Recuperar uma dimensão por divisão

Uma placa retangular tem área $2x^2+7x+3$ cm² e largura 2x + 1 cm, com x > 0. Determine o comprimento.

Resolução

Dividimos $2x^2+7x+3$ por 2x + 1. O primeiro termo do quociente é x, e a subtração de $x(2x+1)$ deixa 6x + 3.
O próximo termo é 3, porque 6x dividido por 2x é 3. Subtraindo 3(2x + 1), o resto fica zero. O quociente é x + 3.
No domínio x > 0, largura e comprimento são positivos e o divisor não zera. Multiplicar (2x + 1)(x + 3) recupera a área, em cm². O quociente tem unidade de comprimento, em cm.

O comprimento mede x + 3 cm, para x > 0.

Polinômios ajudam a escrever e reorganizar modelos, mas um resultado algébrico precisa ser interpretado no problema: comprimentos não podem ser negativos e contagens podem exigir inteiros. Os domínios dos modelos podem ser menores que o conjunto de todos os reais aceito pelo polinômio.

15Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Reduza antes de identificar o grau, registre as condições dos coeficientes e confira divisões reconstruindo o dividendo e examinando o resto. Nas discursivas, escreva o raciocínio antes de abrir a resolução. As questões são autorais, sem atribuição a bancas.

Questão 1 de 360 conferidas

Fixação · Objetiva

Qual expressão é um polinômio em x?

A

\sqrt x+2

.B

\sqrt5x^3-\frac13x+2

.C

1/x+2

.D

x^{-2}+1

.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

16O que levar desta aula

Polinômios são somas finitas de monômios com coeficientes reais e expoentes inteiros não negativos nas variáveis. Frações e radicais constantes podem ser coeficientes.
Reduza os termos semelhantes antes de contar termos e determinar o grau. O grau não é a quantidade de termos. Coeficientes ausentes são registrados como zero para organizar cálculos.
Constante não nula tem grau 0. O polinômio nulo tem todos os coeficientes zero e não recebe grau nesta convenção. Parâmetros podem anular os termos dominantes e mudar o grau.
Em várias variáveis, o grau total soma os expoentes de cada monômio e toma o maior entre os termos reduzidos. Grau em uma variável e homogeneidade são conceitos distintos.
Avaliar P(c) produz um número; P(0) é o termo constante. Uma raiz c satisfaz P(c) = 0, mas isso não torna P identicamente nulo.
Uma identidade compara todos os coeficientes e vale para qualquer valor real da variável. Coincidir em alguns números não comprova identidade.
Na soma e na diferença, opere coeficientes de partes literais iguais. Subtrair um polinômio troca todos os sinais dele. Na multiplicação, cada termo de um fator multiplica cada termo do outro.
O grau de uma soma pode diminuir por cancelamento ou a soma pode ser nula. No produto de dois polinômios reais não nulos em uma variável, os graus se somam.
Na divisão euclidiana por B não nulo, A = BQ + R, com R = 0 ou grau de R menor que o de B. A identidade e essa condição tornam Q e R únicos. Divisor constante não nulo tem resto zero.
O método da chave cancela o termo dominante a cada etapa. Ordene, preencha graus ausentes com zeros, multiplique pelo divisor inteiro e subtraia todos os termos com atenção aos sinais.
A identidade da divisão vale em todos os reais; a fração A(x)/B(x) só vale onde B(x) ≠ 0. Simplificar uma fração não remove as exclusões de seu domínio original.

A próxima aula será Produtos notáveis e fatoração, com deduções das identidades, métodos de decomposição e aplicações. Equações polinomiais terá uma aula própria na etapa posterior a Números complexos, incluindo os teoremas do resto e do fator, multiplicidades e Briot–Ruffini.

1O que é um polinômio?

Exemplo resolvido · Reconhecer a estrutura, não a aparência

Resolução

2Forma reduzida, grau e casos especiais

Exemplo resolvido · O maior expoente escrito pode desaparecer

Resolução

Exemplo resolvido · Constante, nulo e incompleto

Resolução

3Polinômios com mais de uma variável

Exemplo resolvido · Grau total e grau em cada letra

Resolução

Exemplo resolvido · Mesmo grau não significa termos semelhantes

Resolução

4Parâmetros podem mudar o grau

Exemplo resolvido · Testar os coeficientes em ordem

Resolução

Exemplo resolvido · Ser constante não significa necessariamente grau zero

Resolução

5Valor numérico, zeros e domínio

Exemplo resolvido · Substituir um número negativo

Resolução

Exemplo resolvido · Um zero não torna o polinômio nulo

Resolução

6Igualdade e comparação de coeficientes

Exemplo resolvido · Determinar coeficientes de uma identidade

Resolução

Exemplo resolvido · Dois testes não bastam para uma identidade

Resolução

Por que igualdade em todos os reais força os coeficientes?

7Adição, oposto e subtração

Exemplo resolvido · Somar com cancelamento do maior grau

Resolução

Exemplo resolvido · O sinal de menos atua em todos os termos

Resolução

Exemplo resolvido · Uma diferença com duas variáveis

Resolução

8Multiplicação e organização dos produtos

Exemplo resolvido · Um monômio multiplicando um polinômio

Resolução

Exemplo resolvido · Quatro partes de uma mesma área

Resolução

Exemplo resolvido · Dois termos vezes três termos

Resolução

9O grau depois das operações

Exemplo resolvido · Três comportamentos possíveis de uma soma

Resolução

Exemplo resolvido · Prever o grau sem expandir tudo

Resolução

10Dividir por um monômio: expressão e domínio

Exemplo resolvido · Uma simplificação que conserva uma exclusão

Resolução

Exemplo resolvido · O quociente como fração pode não ser polinomial

Resolução

11Divisão euclidiana: quociente e resto

Por que o procedimento sempre termina?

Por que o quociente e o resto são únicos?

Exemplo resolvido · Quando não é preciso executar a chave

Resolução

Exemplo resolvido · Grau esperado e grau permitido

Resolução

12Método da chave, passo a passo

Exemplo resolvido · Divisor linear e termo ausente

Resolução

Exemplo resolvido · Divisor quadrático e resto linear

Resolução

Exemplo resolvido · O coeficiente dominante do divisor pode ser diferente de 1

Resolução

13Conferir a divisão e preservar o domínio

Exemplo resolvido · Identidade válida onde a fração não existe

Resolução

14Aplicações e interpretação dos resultados

Exemplo resolvido · Uma moldura aumenta uma área

Resolução

Exemplo resolvido · Recuperar uma dimensão por divisão

Resolução

15Agora é com você

Qual expressão é um polinômio em x?

Qual é o coeficiente do termo −x em P(x)=3x2−x+7P(x)=3x^2-x+7P(x)=3x2−x+7?

Qual é o grau de 7x3−2x+1−7x3+5x7x^3-2x+1-7x^3+5x7x3−2x+1−7x3+5x, depois de reduzir?

Qual é o grau do polinômio P(x) = −8?

Qual é o coeficiente do termo −x em $P(x)=3x^2-x+7$ ?

Qual é o grau de $7x^3-2x+1-7x^3+5x$ , depois de reduzir?

Como classificar o grau de $P(x)=2x^2-2x^2$ , na convenção desta aula?

Qual termo está ausente em $x^3-4x+1$ para que ele seja completo de grau 3?

Qual é o grau total do monômio $-4x^3y^2$ ?

Para qual t real o polinômio $(t-4)x^3+2x+1$ tem grau 1?

Quais valores tornam $(a-1)x^2+(a-1)x+b$ identicamente nulo?

Se $P(x)=2x^2-3x+1$ , quanto vale P(−2)?

Se $P(x)=4x^5+2x^2-6$ , qual é o valor de P(0)?

Para $P(x)=x^2-7x+12$ , o número 3 é uma raiz?

Para que $(a-2)x^2+(b+1)x+4\equiv3x^2-x+4$ , quais são a e b?

Os polinômios $P=x^2$ e Q = x coincidem em x = 0 e x = 1. O que se pode concluir?

Some $(4x^2+x-2)+(-x^2+3x+5)$ .

Qual é o oposto de $-3x^2+2x-1$ ?

Calcule $(2x^2-3x+4)-(-x^2+x-2)$ .

Reduza $(3x^2y+2xy^2)+(-x^2y+5xy^2)$ .

Multiplique $(-3x^2y)(2xy^3)$ .

Desenvolva $2x(x^2-4x+3)$ .

Calcule $(x-2)(x+5)$ .

Qual é o grau e o coeficiente dominante de $(2x^5+1)(-x^2+3)$ ?

Qual é o grau de $(x^4+2x)+(-x^4+1)$ ?

Simplifique $(8x^3-4x^2)/(4x^2)$ preservando o domínio.

Na divisão euclidiana de A = 2x + 3 por $B=x^2+2$ , quais são Q e R?

Divida $x^2+3x+1$ por x + 1.

Na divisão de $2x^2+5x+4$ por 2x + 1, quais são Q e R?

Divida $4x^3-6x+2$ pelo polinômio constante 2.

Um retângulo tem área $3x^2+10x+3$ m² e largura 3x + 1 m, com x > 0. Qual é seu comprimento?

Discuta todos os casos do grau de $P(x)=(t-2)x^2+(t-2)x+(s-1)$ , com t e s reais. Identifique também o caso de polinômio nulo.

Uma divisão de $A=x^2+1$ por B = x + 1 foi apresentada com Q = x e R = 1 − x. Verifique a identidade, explique por que não é a resposta euclidiana e encontre a resposta correta.

Encontre Q e R na divisão de $A=x^4+2x^3+2x^2+x+3$ por $B=x^2+1$ . Mostre as subtrações e confira o resultado.

Divida $A=x^3-8$ por B = x − 2 e use o resultado para analisar a expressão A(x)/B(x). Um colega diz que a fração original vale 12 em x = 2. A afirmação é válida?