1Plano cartesiano e estudo do ponto
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- Geometria Analítica relaciona posições e figuras com números e equações. Um ponto é descrito por um par ordenado no referencial escolhido.
- x é a abscissa e y é a ordenada. A origem é (0,0); y=0 caracteriza Ox e x=0 caracteriza Oy. Os eixos não fazem parte dos quadrantes.
- As variações são final menos inicial e têm sinal. Distâncias são não negativas; comprimentos horizontais e verticais usam módulos.
- A distância entre pontos vem de Pitágoras e exige eixos perpendiculares com unidades de comprimento compatíveis. A raiz escolhida é não negativa.
- Refletir em Ox troca o sinal de y; em Oy, o de x; na origem, os dois. Pontos sobre o eixo de reflexão permanecem fixos.
- Ponto médio usa a média de cada coordenada e pertence ao segmento. Para recuperar um extremo, desfaça cada média.
- Um único parâmetro t percorre o segmento com 0≤t≤1. Valores fora desse intervalo representam pontos externos na mesma reta, para extremos distintos.
- Na divisão interna com AP/PB=r, a fração do percurso é r/(1+r). Na externa, r/(r−1), com r>0 e r≠1. As condições fazem parte das fórmulas.
- O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo não degenerado. Suas coordenadas são as médias das três coordenadas correspondentes; ele divide a mediana em 2:1 a partir do vértice.
- Um trajeto por ruas não precisa coincidir com a distância em linha reta. Converta a escala e confira o domínio do modelo.
2Reta
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- Uma equação da reta seleciona pares (x,y). Um ponto pertence quando suas duas coordenadas satisfazem a igualdade.
- Dois pontos distintos determinam uma única reta. Um ponto repetido não fornece uma direção; reta e segmento são conjuntos diferentes.
- A reta horizontal é y=k e tem m=0. A vertical é x=h e não tem coeficiente angular real.
- Em uma reta não vertical, m=Δy/Δx, com Δx≠0. A mesma ordem nas duas diferenças conserva o sinal correto.
- A inclinação está em 0°≤θ<180°. Para θ≠90°, m=tan θ; escala visual e unidade influenciam a leitura geométrica do ângulo.
- A forma ponto-angular é y−y₀=m(x−x₀); a reduzida é y=mx+n, com n=y₀−mx₀ e interseção (0,n) em Oy.
- A forma geral ax+by+c=0 exige (a,b)≠(0,0). Ela inclui as verticais. Coeficientes de x e y ambos nulos produzem plano inteiro ou conjunto vazio.
- Produtos cruzados dos deslocamentos dão uma forma geral por dois pontos e a condição de alinhamento, sem dividir por diferenças que podem ser zero.
- Multiplicar os três coeficientes por um mesmo real não nulo conserva a reta. Multiplicar por uma variável pode alterar o conjunto de soluções.
- Interceptos vêm de y=0 ou x=0. A forma segmentária exige os dois interceptos reais e não nulos; ela representa a reta completa.
- As paramétricas usam um ponto, uma direção não nula e o mesmo t nas duas coordenadas. Seu domínio distingue reta, segmento e semirreta.
- A forma simétrica exige duas componentes não nulas. Conversões devem conservar os domínios; interseções exigem resolver as duas condições simultaneamente.
- Parâmetros precisam de separação de casos antes de dividir. Modelos afins declaram taxa constante, unidades e domínio físico.
3Posições relativas e distâncias
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- No plano, duas retas válidas coincidem, são paralelas distintas ou têm um único ponto comum. Perpendiculares são concorrentes com ângulo reto.
- D=a₁b₂−a₂b₁ não nulo permite uma interseção única; D=0 exige comparar também os termos constantes.
- Paralelas conservam a direção. A reta de mesma direção por um ponto da reta original coincide com ela.
- Para duas retas não verticais, perpendicularidade equivale a m₁m₂=−1. Na forma geral, equivale a a₁a₂+b₁b₂=0.
- O menor ângulo está entre 0° e 90°; seu suplemento pode ser o ângulo interno indicado. Fórmulas com tangente exigem denominador não nulo.
- A projeção ortogonal é o pé da perpendicular. Pitágoras mostra que ela produz a menor distância à reta.
- A distância é |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²), em eixos ortogonais com mesma unidade. Ela é não negativa e não depende de um fator não nulo multiplicando a equação.
- Uma reflexão deixa a projeção como ponto médio do par de pontos simétricos.
- A distância entre paralelas usa |c₂−c₁|/√(a²+b²) só depois de igualar a e b nas duas equações.
- Uma distância positiva fixa de uma reta produz duas paralelas. Equidistância de concorrentes produz duas bissetrizes; de paralelas distintas, a reta média.
- A mediatriz de AB exige A≠B e reúne os pontos equidistantes de A e B. Ela passa pelo ponto médio e é perpendicular a AB.
- A altura de um triângulo é distância à reta suporte da base. A área pelas coordenadas usa módulo; zero significa alinhamento.
- Distância ao segmento exige que a projeção pertença ao trecho; caso contrário, o ponto mais próximo é um extremo.
- Modelos reais precisam de unidades compatíveis e de hipóteses sobre os pontos e trajetos permitidos.
4Circunferência
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- Circunferência é o lugar dos pontos a distância exatamente r>0 do centro. O disco fechado inclui interior e contorno.
- A equação reduzida é (x−a)²+(y−b)²=r², com centro (a,b). Os sinais internos são opostos aos das coordenadas do centro.
- Extremos de diâmetro determinam centro pelo ponto médio e raio pela metade do comprimento.
- Isolar y fornece duas semicircunferências, com domínio a−r≤x≤a+r. A circunferência completa não é uma única função y de x.
- Na forma normalizada x²+y²+Dx+Ey+F=0, completar quadrados fornece centro (−D/2,−E/2) e ρ=(D²+E²)/4−F.
- ρ>0 dá raio √ρ; ρ=0 dá um ponto; ρ<0 dá conjunto vazio real. Coeficientes quadráticos precisam ser normalizados antes dessas fórmulas.
- Compare CP² com r² para classificar um ponto. Três pontos distintos não colineares determinam uma única circunferência.
- Reta secante tem distância do centro menor que r; tangente, igual; exterior, maior. A interseção exige resolver e conferir as duas equações.
- A tangente em T é perpendicular ao raio CT. Por ponto externo há duas tangentes; uma delas pode ser vertical.
- Potência é CP²−r², um número com sinal e unidade de comprimento ao quadrado. O segmento tangente externo mede a raiz dessa potência.
- Uma corda a distância δ do centro mede 2√(r²−δ²), com 0≤δ<r para dois extremos distintos.
- Duas circunferências próprias são comparadas por d, R+r e |R−r|. Centros e raios iguais significam coincidência, não tangência interna.
- Subtrair duas equações normalizadas de centros distintos fornece o eixo radical; ele não garante interseções reais sozinho.
- Um parâmetro angular usa x=a+r cos t e y=b+r sen t. O mesmo t deve gerar ambas as coordenadas.
- A distância ao contorno é |CP−r|. Até a região fechada, a distância é zero no interior e CP−r no exterior.
5Parábola
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- Parábola é o lugar dos pontos equidistantes de um foco e de uma reta diretriz que não contém o foco.
- O vértice é o ponto médio entre o foco e sua projeção na diretriz. O eixo passa por eles e é perpendicular à diretriz.
- Nesta convenção, p é um deslocamento com sinal. VF=|p| e a distância foco-diretriz é 2|p|; p≠0.
- Para eixo vertical: (x−h)²=4p(y−k), F=(h,k+p), diretriz y=k−p. Para eixo horizontal: (y−k)²=4p(x−h), F=(h+p,k), diretriz x=h−p.
- O sinal de p determina o sentido da abertura. O caso p=0 nas formas reduzidas produz uma reta, não uma parábola própria.
- A corda focal perpendicular ao eixo mede 4|p| e tem o foco como ponto médio.
- Parábola vertical é função y de x para todo x real, com mínimo ou máximo no vértice. A horizontal tem dois ramos de y para cada x além do vértice no lado permitido.
- Para y=ax²+bx+c, a≠0, h=−b/(2a), k=c−b²/(4a) e p=1/(4a). O coeficiente a não é o próprio p.
- Nas formas gerais, o termo quadrático e o termo na coordenada do eixo precisam dos coeficientes não nulos indicados; complete quadrados e trate os casos excluídos.
- A excentricidade é PF/d(P,ℓ)=1. O denominador é positivo numa parábola própria.
- Para retas não paralelas ao eixo, o discriminante da interseção distingue duas raízes, tangência e ausência de encontro real. Retas paralelas ao eixo têm um encontro e não são tangentes.
- A tangente descreve a direção da curva no ponto; a normal é sua perpendicular. No vértice, a tangente é perpendicular ao eixo e a normal coincide com ele.
- As parametrizações polinomiais usam o mesmo t real nas duas coordenadas. Restringir t restringe o trecho da curva.
- A propriedade refletora vem da igualdade de distâncias e da geometria da tangente. No perfil x²=4py, largura W e profundidade d dão p=W²/(16d), com W,d>0.
- Modelos físicos precisam declarar hipótese parabólica, unidades compatíveis e domínio do trecho usado.
6Elipse
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- Elipse é o contorno em que PF₁+PF₂=2a. Para focos distintos separados por 2c, a>c>0.
- Soma igual à separação dos focos produz o segmento entre eles; soma menor não produz pontos. Focos coincidentes e a>0 dão circunferência.
- a e b são semieixos, c é a distância centro-foco; eixos inteiros medem 2a e 2b. A relação é a²=b²+c².
- O maior denominador acompanha o eixo maior: no caso horizontal, x²/a²+y²/b²=1; no vertical, x²/b²+y²/a²=1.
- C=(h,k) desloca as coordenadas para x−h e y−k. Os focos variam ao longo do eixo maior, a uma distância c do centro.
- Complete quadrados e normalize antes de ler elementos. Coeficientes e lado direito precisam das condições de sinal; podem ocorrer ponto, vazio ou circunferência.
- O teste normalizado S distingue contorno S=1, interior S<1 e exterior S>1; a região fechada usa S≤1.
- A curva inteira tem dois ramos de y para abscissas internas ao intervalo horizontal. As raízes precisam de domínio e os extremos são incluídos.
- e=c/a está entre zero e um para focos distintos. Em e=0 temos circunferência; e=1 não é elipse própria.
- As diretrizes são perpendiculares ao eixo maior e ficam a distância a/e do centro. Emparelhe cada foco com a diretriz do mesmo lado.
- A corda focal perpendicular ao eixo maior mede 2b²/a. A área da região é πab, usando semieixos e unidades quadradas.
- x=h+A cos t e y=k+B sen t percorrem a curva uma vez em 0≤t<2π, com A,B como raios horizontal e vertical.
- Uma reta pode ter duas interseções, um contato tangente ou nenhum encontro. Tangentes verticais precisam de análise própria quando se usa y=mx+n.
- A normal é perpendicular à tangente no contato e não passa sempre pelo centro. No espelho ideal, a reflexão liga um foco ao outro.
- Modelos semielípticos mantêm a metade e o trecho físico; modelos orbitais medem a±c desde um foco, não desde o centro.
7Hipérbole
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- A definição é |PF₁−PF₂|=2a, com focos distintos separados por 2c e 0<a<c. O módulo inclui os dois ramos.
- Diferença zero produz a mediatriz; igual à separação dos focos produz duas semirretas exteriores ao segmento; maior produz vazio.
- O centro é o ponto médio dos focos. O eixo transverso mede 2a; o conjugado, 2b. a pode ser menor que b.
- A relação métrica é c²=a²+b². Extremos conjugados não são pontos da hipérbole.
- Com lado direito um, o termo positivo indica a orientação: (x−h)²/a²−(y−k)²/b²=1 é horizontal; a forma com y positivo é vertical.
- As assíntotas passam pelo centro: y−k=±(b/a)(x−h) no caso horizontal e ±(a/b)(x−h) no vertical.
- A curva própria se aproxima de suas assíntotas sem encontrá-las. As diagonais do retângulo auxiliar orientam o esboço.
- Na equação geral sem xy, sinais opostos e lado direito não nulo dão hipérbole; após completar quadrados, lado direito zero dá duas retas.
- O caso horizontal exclui a faixa h−a<x<h+a; o vertical exclui k−a<y<k+a. As escolhas de sinais das raízes precisam ser interpretadas pela orientação.
- e=c/a>1. Diretrizes do mesmo sinal são emparelhadas com os focos e ficam a distância a/e=a²/c do centro.
- A corda focal perpendicular ao eixo transverso mede 2b²/a. Para a=b, a hipérbole é equilátera e suas assíntotas são perpendiculares.
- Produto constante (x−h)(y−k)=K, K≠0, dá uma hipérbole equilátera em orientação oblíqua; sua forma fracionária exige x≠h.
- A parametrização por cosseno e tangente exclui os zeros do cosseno. O mesmo parâmetro entra nas duas coordenadas e não é automaticamente tempo.
- Antes de usar Δ, confira se a interseção ainda é quadrática. Uma paralela a assíntota pode ter um encontro sem tangência.
- Tangentes preservam os vértices; normais são perpendiculares no contato. Na família horizontal por m, |m|>b/a é uma condição estrita.
- Modelos de atraso usam diferença de percursos e podem selecionar um ramo. Perfis físicos conservam intervalo de alturas e distinguem raio de diâmetro.
O registro de estudo é local e não exige cadastro.