Plano cartesiano e estudo do ponto

1Descrever uma posição antes de usar uma fórmula

A Geometria Analítica usa números e equações para estudar posições e figuras. Imagine localizar uma mesa em um salão: informar somente quanto ela está à direita não diz se está perto da entrada ou no fundo. Duas referências independentes permitem descrever a posição no plano.

Vamos começar pela leitura das referências. Depois construiremos as fórmulas de distância, ponto médio e divisão de segmentos. Retomaremos números negativos, módulo, potências, raízes e as equações necessárias antes de cada uso. Não é preciso conhecer as equações das retas ou das cônicas para iniciar esta aula.

Exemplo resolvido · Duas medidas, duas funções

Em uma malha, uma posição fica três unidades à direita e duas acima da origem. Outra fica duas à direita e três acima. São a mesma posição?

Resolução

Não. Na primeira, a separação horizontal é três e a vertical é duas; na segunda, esses papéis se invertem.
Duas posições só coincidem se suas duas medidas correspondentes coincidirem, usando as mesmas referências.

A ordem das informações faz parte da localização.

2Eixos, origem, sentidos e unidade

Trace duas retas perpendiculares, isto é, que formam ângulos retos. O eixo horizontal será Ox, ou eixo x; o vertical será Oy, ou eixo y. O encontro é a origem O. Adotamos o sentido positivo para a direita em Ox e para cima em Oy; os sentidos contrários recebem números negativos.

Uma unidade fixa a medida de cada passo. Dentro de cada eixo, intervalos numéricos iguais têm espaçamentos iguais. Para medir comprimentos geométricos com as fórmulas desta aula, os eixos usarão a mesma unidade de comprimento. As setas indicam continuação; a borda do desenho não é o fim do plano.

Eixos perpendiculares com a mesma escala: uma unidade tem o mesmo comprimento visual nas duas direções. As marcas são de uma em uma; os rótulos numéricos aparecem de duas em duas para facilitar a leitura.

Exemplo resolvido · Ler o valor das marcas

Um eixo mostra 0, 2, 4 e 6 em marcas consecutivas igualmente espaçadas. Cada intervalo entre essas marcas vale uma unidade?

Resolução

As marcas numeradas consecutivas diferem de dois, portanto cada intervalo entre elas representa duas unidades.
O número um fica no meio do intervalo de zero a dois; não se deve contar cada espaço como uma unidade sem ler a escala.

Leia os números da escala antes de contar espaços.

3Par ordenado: primeiro a abscissa, depois a ordenada

Escrevemos P=(x,y). P é o nome do ponto; x, chamado abscissa, indica sua coordenada horizontal; y, chamado ordenada, indica a vertical. Os parênteses registram um par ordenado. As coordenadas são números reais, podendo ser negativas, nulas, fracionárias ou irracionais.

P=(x,y),\quad x,y\in\mathbb R

P nomeia o ponto. x é a abscissa, lida no eixo horizontal; y é a ordenada, lida no vertical. ℝ é o conjunto dos reais e ∈ significa pertence. O par é ordenado: a primeira coordenada e a segunda têm funções diferentes. Com decimais, podemos separar as coordenadas por ponto e vírgula.

Exemplo resolvido · Marcar um ponto com uma coordenada negativa

Como localizar P=(−3,2)?

Resolução

Partindo da origem, avance três unidades para a esquerda, pois a abscissa é −3.
Da posição alcançada, avance duas para cima, paralelamente ao eixo vertical. A posição final é P. Fazer primeiro o deslocamento vertical e depois o horizontal chega ao mesmo lugar; os papéis de x e y continuam fixos.

P fica três unidades à esquerda e duas acima da origem.

Exemplo resolvido · Frações também localizam posições

Localize Q=(1/2,−3/2).

Resolução

A abscissa 1/2 equivale a meia unidade: marque a posição no meio de zero e um, à direita.
A ordenada −3/2 equivale a −1,5: desça uma unidade e meia. O ponto não precisa coincidir com um cruzamento de linhas inteiras da malha.

Q fica meia unidade à direita e uma unidade e meia abaixo.

Com decimais, use ponto e vírgula para separar as coordenadas: P=(1,5;2,5) tem x=1,5 e y=2,5. Nesta aula, também usaremos frações para evitar confundir a vírgula decimal com o separador do par.

4Quadrantes e pontos que estão sobre os eixos

Os eixos dividem o restante do plano em quatro regiões, os quadrantes. Começamos pelo superior direito, I, e seguimos no sentido anti-horário: II, III e IV. Os sinais das duas coordenadas identificam cada região.

\begin{array}{c|cc}&x&y\\I&+&+\\II&-&+\\III&-&-\\IV&+&-\end{array}

Os quadrantes são numerados a partir da região superior direita, no sentido anti-horário. + significa estritamente positivo e −, estritamente negativo. Coordenada zero coloca o ponto em um eixo, e não no interior de um quadrante.

\begin{gathered}O=(0,0)\\P\in Ox\iff y=0\\P\in Oy\iff x=0\end{gathered}

Ox é o eixo horizontal e Oy, o vertical; O é a origem. ∈ significa pertence e ⇔ significa se, e somente se. A origem pertence aos dois eixos. Pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.

A=(3,2) está no I; B=(−3,2), no II; C=(−3,−2), no III; D=(3,−2), no IV. E=(0,3) pertence ao eixo vertical e não a um quadrante.

Exemplo resolvido · Zero muda a classificação

Classifique A=(−4,2), B=(0,−3), C=(5,0) e O=(0,0).

Resolução

A tem x negativo e y positivo: II quadrante.
B tem x=0, então está em Oy; C tem y=0, então está em Ox. A origem tem as duas coordenadas zero e pertence aos dois eixos.

Somente A pertence a um quadrante; B, C e O estão nos eixos.

Exemplo resolvido · Um parâmetro pode determinar o quadrante

Para quais reais t o ponto P=(t−2,3) está no I quadrante?

Resolução

No I quadrante, as duas coordenadas são estritamente positivas. A ordenada três já atende à condição.
Exigimos t−2>0. Somar dois aos dois lados dá t>2. Em t=2, P=(0,3) está no eixo, por isso o extremo não entra.

P está no I quadrante exatamente quando t>2.

5Igualdade de pontos: conferir as duas coordenadas

Compare pontos no mesmo sistema de referência. Não podemos trocar a origem ou a unidade de um dos pares e continuar comparando os números como se nada tivesse mudado. Com o referencial fixado, a igualdade exige duas condições simultâneas.

(a,b)=(c,d)\iff a=c\text{ e }b=d

As letras são coordenadas reais no mesmo sistema. Compare primeira com primeira e segunda com segunda. As duas igualdades precisam valer ao mesmo tempo; trocar as coordenadas não preserva um ponto em geral.

Exemplo resolvido · Encontrar dois valores desconhecidos

Se P=(2a−1,b+3) e Q=(7,−2) são o mesmo ponto, encontre a e b.

Resolução

As abscissas dão 2a−1=7. Somando um, 2a=8; dividindo por dois, a=4.
As ordenadas dão b+3=−2. Subtraindo três, b=−5. Conferindo: P=(2·4−1,−5+3)=(7,−2)=Q.

a=4 e b=−5.

Exemplo resolvido · Uma condição verdadeira não basta

Existe t real que faça (t+1,2t)=(4,8)?

Resolução

A primeira coordenada exige t+1=4, portanto t=3. A segunda exige 2t=8, portanto t=4.
Um mesmo t não pode ser três e quatro ao mesmo tempo. Testar somente uma coordenada perderia a incompatibilidade.

Não existe esse valor de t.

6Projeções e distâncias aos eixos

A projeção perpendicular é o ponto em que chegamos ao seguir de P até um eixo por um segmento perpendicular a ele. Para chegar ao eixo horizontal, conservamos a posição horizontal e zeramos a vertical. Para chegar ao vertical, fazemos o contrário.

\begin{gathered}P=(x,y)\\P_x=(x,0),\quad P_y=(0,y)\end{gathered}

Pₓ e Pᵧ nomeiam os pés das perpendiculares aos eixos, não são os valores numéricos x e y. Na projeção sobre Ox, conserve x e zere y; sobre Oy, conserve y e zere x. Os eixos são perpendiculares.

Distância é medida de comprimento e não pode ser negativa. O módulo de um real é seu tamanho sem sinal: |−4|=4, |4|=4 e |0|=0. A distância até Ox mede a separação vertical, e a distância até Oy mede a horizontal.

d(P,Ox)=|y|,\quad d(P,Oy)=|x|

P=(x,y) em um sistema cartesiano ortogonal com a mesma unidade de comprimento nos dois eixos. | | é o módulo: o valor não negativo da medida. A distância ao eixo horizontal usa a coordenada vertical; a distância ao vertical usa a horizontal.

Exemplo resolvido · A coordenada usada é a perpendicular ao eixo

Para P=(−4,3), encontre as projeções e as distâncias aos dois eixos.

Resolução

Sobre Ox, a projeção é (−4,0); o segmento vertical mede |3−0|=3.
Sobre Oy, a projeção é (0,3); o segmento horizontal mede |−4−0|=4. A abscissa negativa indica o lado, não uma distância negativa.

Projeções (−4,0) e (0,3); distâncias 3 até Ox e 4 até Oy.

7Variação tem sinal; distância não

Para ir de A a B, calculamos coordenada final menos inicial em cada direção. Δ é a letra grega delta e indica essa variação. Os índices A e B dizem de qual ponto vem o número; não são potências.

\begin{gathered}A=(x_A,y_A),\ B=(x_B,y_B)\\\Delta x=x_B-x_A\\\Delta y=y_B-y_A\end{gathered}

Δ, lido delta, indica variação: valor final menos inicial. Os índices A e B identificam os pontos, não potências. As variações têm sinal e podem ser zero. Ao inverter o percurso, ambas trocam de sinal, mas a distância entre os pontos não muda.

Exemplo resolvido · Subtrair uma coordenada negativa

Encontre as variações de A=(−2,4) para B=(3,−1).

Resolução

Na horizontal, Δx=3−(−2)=3+2=5: cinco unidades para a direita.
Na vertical, Δy=−1−4=−5: cinco para baixo. Ao voltar de B para A, obtemos −5 e 5. Os sinais mudam, mas a separação entre os pontos permanece a mesma.

De A para B, Δx=5 e Δy=−5.

Não some variações de direções diferentes para obter automaticamente um comprimento. No exemplo, 5+(−5)=0 não diz que os pontos coincidem; as duas mudanças se referem a eixos distintos.

8Distâncias horizontais e verticais

Um segmento é a parte da reta entre dois extremos, incluindo-os. Se as ordenadas dos extremos coincidem, ele é horizontal; se as abscissas coincidem, é vertical. Nesses casos basta a separação na direção em que houve mudança.

y_A=y_B\Longrightarrow d(A,B)=|x_B-x_A|

A e B têm a mesma ordenada, no mesmo referencial. O módulo impede uma medida negativa e dá zero se os pontos coincidirem. Sem a hipótese de mesma ordenada, a expressão mede somente a separação horizontal.

x_A=x_B\Longrightarrow d(A,B)=|y_B-y_A|

A e B têm a mesma abscissa. Se ambas as coordenadas coincidem, a distância é zero. Sem a hipótese de mesma abscissa, a expressão mede somente a separação vertical.

Exemplo resolvido · Usar o módulo depois da subtração

Encontre as distâncias de A=(−3,2) a B=(4,2) e de C=(1,5) a D=(1,−2).

Resolução

A e B têm a mesma ordenada. A distância é |4−(−3)|=|7|=7.
C e D têm a mesma abscissa. A distância é |−2−5|=|−7|=7. Inverter os extremos troca o sinal da diferença, mas o módulo continua sete.

Os dois segmentos medem 7 unidades.

9Construir a distância com o teorema de Pitágoras

Quando as duas coordenadas mudam, construa um caminho horizontal seguido de um vertical. Com a ligação direta entre os extremos, surge um triângulo retângulo. Seus catetos medem |Δx| e |Δy|; a hipotenusa é a distância d que procuramos.

O teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Assim, d²=|Δx|²+|Δy|²=(Δx)²+(Δy)². Como d≥0, escolhemos a raiz não negativa. Se um dos deslocamentos for zero, a expressão se reduz à distância horizontal ou vertical já estudada.

d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

\begin{gathered}d(A,B)=\\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\end{gathered}

A e B são pontos reais em eixos perpendiculares com a mesma unidade de comprimento. A raiz é a principal, não negativa. O radicando é sempre não negativo; a distância é zero exatamente quando A=B. A fórmula vem de Pitágoras e também vale nos casos horizontal e vertical.

Exemplo resolvido · Da substituição aos quadrados

Calcule a distância entre A=(−2,1) e B=(4,9).

Resolução

As variações são Δx=4−(−2)=6 e Δy=9−1=8.
Substituindo, $d=\sqrt{[4-(-2)]^2+(9-1)^2}=\sqrt{6^2+8^2}$ . Calculamos os quadrados: $d=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ .
O valor −10 não é outra resposta: embora (−10)²=100, uma distância não pode ser negativa.

AB mede 10 unidades.

H=(4,1) forma o ângulo reto. AH mede 6, HB mede 8 e AB mede 10. As escalas horizontal e vertical são iguais; a diagonal é o comprimento procurado, não a soma 6+8.

10Sinais, raízes e coordenadas fracionárias

Subtraia primeiro e depois eleve o resultado inteiro ao quadrado, com parênteses. Um quadrado é não negativo; isso não significa que a diferença antes dele fosse positiva. Quando a raiz não é exata, a resposta exata pode continuar escrita como radical.

Exemplo resolvido · Um comprimento que não é inteiro

Encontre a distância entre A=(−4,−1) e B=(1,3).

Resolução

Δx=1−(−4)=5 e Δy=3−(−1)=4.
Logo $d=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$ . Como $6^2<41<7^2$ , a distância fica entre seis e sete. Não é necessário arredondar para dar a resposta exata.

A distância é $\sqrt{41}$ unidades.

Exemplo resolvido · Uma fração em cada etapa

Calcule a distância entre A=(1/2,−1) e B=(2,1).

Resolução

A variação horizontal é 2−1/2=4/2−1/2=3/2; a vertical é 1−(−1)=2.
Assim $d=\sqrt{(3/2)^2+2^2}=\sqrt{9/4+4}=\sqrt{9/4+16/4}=\sqrt{25/4}=5/2$ . A última igualdade usa a raiz não negativa do numerador e do denominador positivos.

A distância é 5/2, isto é, 2,5 unidades.

Se A e B coincidem, as duas diferenças são zero e a distância é zero. Reciprocamente, uma soma de dois quadrados reais só é zero se cada um for zero; portanto distância zero obriga igualdade das duas coordenadas.

11Distância à origem e pontos equidistantes

d(O,P)=\sqrt{x^2+y^2}

O=(0,0) e P=(x,y), no mesmo sistema ortogonal e com unidades compatíveis. O resultado é não negativo. Apenas uma coordenada, ou a soma de seus módulos, não fornece em geral essa distância em linha reta.

Exemplo resolvido · A origem também entra na substituição

Qual é a distância de P=(−6,8) até O=(0,0)?

Resolução

Usamos $d=\sqrt{(-6-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{36+64}=10$ .
O módulo da abscissa, seis, mede somente a separação horizontal. Ele não inclui a mudança de oito na vertical.

P está a 10 unidades da origem.

Equidistante significa à mesma distância. Para comparar duas distâncias, podemos comparar seus quadrados, pois ambas são não negativas. Isso costuma eliminar duas raízes sem perder a equivalência.

d(P,A)=d(P,B)\iff d(P,A)^2=d(P,B)^2

As distâncias são reais e não negativas, por isso elevar ao quadrado conserva a equivalência. Uma equação geral com expressões de qualquer sinal exige outras verificações. Equidistante significa estar à mesma distância dos pontos indicados, sem garantir que P seja o ponto médio.

Exemplo resolvido · Igualar distâncias e resolver a equação

P=(t,0) está à mesma distância de A=(0,0) e B=(6,0). Encontre t.

Resolução

Os quadrados das distâncias são t² e (t−6)². Igualamos: t²=(t−6)².
Expandimos o quadrado: t²=t²−12t+36. Subtraindo t² dos dois lados, 0=−12t+36. Somando 12t e dividindo por doze, t=3.
Conferindo, P=(3,0) fica a três unidades de cada extremo.

t=3.

12Uma distância pode deixar duas posições ou nenhuma

Exemplo resolvido · A distância não escolhe automaticamente um lado

O ponto P=(x,2) está a quatro unidades de A=(1,2). Quais valores de x servem?

Resolução

As ordenadas coincidem, então |x−1|=4. Um número de módulo quatro pode ser quatro ou −4.
Se x−1=4, somar um dá x=5. Se x−1=−4, somar um dá x=−3. Ambos dão distância quatro na conferência.

x=5 ou x=−3; são dois pontos possíveis.

Exemplo resolvido · Conferir se o pedido é possível

Existe ponto P=(t,4) a três unidades da origem?

Resolução

A separação vertical já mede quatro, maior que a distância pedida. Pela fórmula, seria necessário t²+4²=3².
Isso dá t²+16=9, portanto t²=−7. Nenhum real tem quadrado negativo. Não existe posição real que atenda ao pedido.

Não existe esse ponto real.

13Simetrias: saber qual coordenada muda de sinal

Refletir em um eixo mantém a distância a ele e troca o lado em que o ponto está, quando está fora do eixo. Em Ox, muda a posição vertical; em Oy, a horizontal. Já a simetria central de centro O coloca o ponto na direção oposta a partir da origem, à mesma distância.

\begin{array}{c|c}P=(x,y)&\text{imagem}\\Ox&(x,-y)\\Oy&(-x,y)\\O&(-x,-y)\end{array}

A reflexão em Ox preserva a coordenada horizontal e troca o sinal da vertical; em Oy ocorre o contrário. A simetria central de centro O troca os dois sinais. Um ponto sobre o eixo de reflexão fica fixo; na simetria central, somente O fica fixo.

Exemplo resolvido · Aplicar as três regras ao mesmo ponto

Encontre os simétricos de P=(−3,2) em relação a Ox, Oy e O.

Resolução

Em Ox, conservamos −3 e trocamos o sinal de 2: (−3,−2).
Em Oy, trocamos o sinal de −3 e conservamos 2: (3,2). Em O, trocamos ambos: (3,−2). Cada regra responde a uma reflexão diferente.

As imagens são (−3,−2), (3,2) e (3,−2), respectivamente.

P=(−3,2) tem imagem A=(−3,−2) em Ox, B=(3,2) em Oy e C=(3,−2) na origem. As linhas pontilhadas ajudam a comparar coordenadas; não são trajetos obrigatórios.

Exemplo resolvido · Pontos que não mudam ao refletir

Quais pontos permanecem iguais depois de uma reflexão em Ox?

Resolução

A igualdade (x,y)=(x,−y) exige y=−y. Somando y, 2y=0, então y=0.
A coordenada x pode ser qualquer real. São exatamente os pontos do eixo horizontal, incluindo a origem.

Todos os pontos (x,0), com x real.

14Ponto médio: metade do caminho nas duas coordenadas

O ponto médio M divide o segmento AB em duas partes de mesmo comprimento: AM=MB. Ele precisa estar no próprio segmento. Para chegar à metade, some à posição inicial metade de cada variação: $x_M=x_A+(x_B-x_A)/2$ e $y_M=y_A+(y_B-y_A)/2$ .

Na primeira expressão, escreva $x_A=2x_A/2$ . O numerador fica $2x_A+x_B-x_A=x_A+x_B$ . O mesmo raciocínio vale para y. Assim surgem duas médias separadas: não misturamos x de um extremo com y do outro.

M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)

M pertence ao segmento AB e satisfaz AM=MB. Calcule separadamente a média das abscissas e a média das ordenadas. Para A=B, a expressão ainda dá o próprio ponto. Ser equidistante dos extremos sem pertencer ao segmento não caracteriza o ponto médio.

Exemplo resolvido · Somar as coordenadas correspondentes

Encontre o ponto médio entre A=(−4,3) e B=(6,−1).

Resolução

A abscissa é (−4+6)/2=2/2=1. A ordenada é [3+(−1)]/2=2/2=1. Logo M=(1,1).
De A a M as variações são (5,−2); de M a B também. Os dois comprimentos são $\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{29}$ , confirmando a divisão em metades.

M=(1,1).

A=(−4,3), M=(1,1) e B=(6,−1) estão no mesmo segmento. As duas metades têm a mesma variação horizontal e vertical, portanto o mesmo comprimento.

Exemplo resolvido · O resultado pode ficar entre as marcas inteiras

Calcule o ponto médio de A=(1/2,0) e B=(3/2,3).

Resolução

Na horizontal, (1/2+3/2)/2=(4/2)/2=2/2=1.
Na vertical, (0+3)/2=3/2. Não arredondamos a ordenada: a posição fracionária faz parte da resposta.

M=(1,3/2).

15Estar à mesma distância não basta para ser o ponto médio

Exemplo resolvido · Uma condição que faltava na comparação

A=(−2,0), B=(2,0) e P=(0,3). P é o ponto médio de AB por estar à mesma distância dos dois?

Resolução

As distâncias são $PA=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$ e $PB=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$ . Portanto P é equidistante.
Mas o segmento AB está no eixo horizontal, com ordenada zero em todos os seus pontos. P tem ordenada três e não pertence a esse segmento.
A média das coordenadas dá M=(0,0), o verdadeiro ponto médio. A exigência de pertencer ao segmento não pode ser descartada.

P é equidistante, mas o ponto médio é M=(0,0).

16Recuperar um extremo a partir do ponto médio

Se A e M são conhecidos, escreva as duas equações do ponto médio e isole as coordenadas de B. Multiplicar cada igualdade por dois elimina o denominador; subtrair a coordenada conhecida deixa a procurada.

\begin{gathered}x_B=2x_M-x_A\\y_B=2y_M-y_A\end{gathered}

A e M são conhecidos e M é o ponto médio de AB. As igualdades resultam de multiplicar cada média por dois e subtrair a coordenada de A. Não multiplique apenas uma parcela do numerador por dois.

Exemplo resolvido · Desfazer as duas médias

A=(−1,5) e M=(2,1) é o ponto médio de AB. Encontre B.

Resolução

Na horizontal, $2=(-1+x_B)/2$ . Multiplicando por dois, $4=-1+x_B$ ; somando um, $x_B=5$ .
Na vertical, $1=(5+y_B)/2$ dá $2=5+y_B$ , portanto $y_B=-3$ . Conferindo as médias: (−1+5)/2=2 e (5−3)/2=1.

B=(5,−3).

17Percorrer um segmento usando uma única fração

Vamos chamar de t a fração do percurso de A até B. Para percorrer metade, usamos t=1/2; para um quarto, t=1/4. Multiplicar as duas variações pelo mesmo t mantém o ponto na direção do segmento. A palavra parâmetro indica um número que escolhe uma posição.

\begin{gathered}P=(x_A+t(x_B-x_A),\\y_A+t(y_B-y_A))\\0\le t\le1\end{gathered}

t é um parâmetro real que representa a fração do percurso: t=0 dá A e t=1 dá B. Para A≠B, 0<t<1 dá pontos internos; t fora de [0,1] dá pontos da reta fora do segmento. O mesmo t deve funcionar nas duas coordenadas. Se A=B, a expressão é sempre A.

Exemplo resolvido · O mesmo parâmetro precisa servir nas duas coordenadas

A=(1,−2) e B=(7,4). Encontre o ponto a um quarto do percurso e verifique se Q=(4,2) pertence ao segmento.

Resolução

As variações são (6,6). A um quarto do percurso, x=1+6/4=1+3/2=5/2 e y=−2+6/4=−2+3/2=−1/2.
Para Q, a abscissa exige 4=1+6t, portanto 6t=3 e t=1/2. Mas nesse t a ordenada seria −2+6·(1/2)=1, diferente de dois.
Não há um mesmo t para as duas coordenadas de Q, então ele não pertence ao segmento. Estar dentro das faixas de x e de y isoladamente não basta.

O ponto do primeiro pedido é (5/2,−1/2); Q não pertence ao segmento.

Para extremos distintos, t=0 dá A e t=1 dá B; 0<t<1 dá pontos internos. Se t<0 ou t>1, a mesma expressão continua na reta, mas fora do segmento. A fórmula não exige divisão por uma diferença de coordenadas, podendo ser usada também nos casos horizontal e vertical.

18Divisão interna: razão de duas partes não é fração do todo

Dizer AP:PB=1:2 significa que AP mede uma parte e PB, duas partes iguais. O segmento todo tem três dessas partes; portanto AP corresponde a um terço de AB, e não à metade. Usaremos AP e PB como medidas de comprimento, sem sinal.

Em geral, chame r=AP/PB>0. Se PB mede k>0, AP mede rk e AB=(r+1)k. Logo a fração do percurso é t=AP/AB=r/(1+r).

Substitua esse t na abscissa do segmento: $x_P=x_A+\frac{r}{1+r}(x_B-x_A)$ . Com denominador comum, $x_P=\frac{(1+r)x_A+rx_B-rx_A}{1+r}$ . Expandir $(1+r)x_A=x_A+rx_A$ cancela os termos opostos, deixando $x_P=\frac{x_A+rx_B}{1+r}$ . A mesma conta vale para y.

\begin{gathered}\frac{AP}{PB}=r>0\\t=\frac{r}{1+r}\\P=\left(\frac{x_A+rx_B}{1+r},\frac{y_A+ry_B}{1+r}\right)\end{gathered}

A≠B, P é interno ao segmento e AP,PB indicam comprimentos positivos. r é AP dividido por PB, nessa ordem; não é a fração do percurso inteiro. t=AP/AB. O denominador 1+r é positivo; r=1 fornece o ponto médio.

Exemplo resolvido · Distribuir um segmento na razão um para dois

A=(−2,1) e B=(10,7). P é interno e AP:PB=1:2. Encontre P.

Resolução

A razão é r=1/2. A fração do percurso é t=(1/2)/(1+1/2)=(1/2)/(3/2)=1/3.
As variações de A a B são (12,6). Assim $x_P=-2+12/3=2$ e $y_P=1+6/3=3$ .
De A a P as variações são (4,2); de P a B, (8,4), o dobro. Pela distância, $AP=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$ e $PB=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}$ . Como $80=4\cdot20$ , temos $PB=2\sqrt{20}$ ; logo $AP/PB=1/2$ , confirmando a razão 1:2.

P=(2,3).

P=(2,3) está a um terço do percurso de A=(−2,1) para B=(10,7). AP:PB=1:2; o trecho PB mede o dobro de AP. O desenho usa a mesma escala nos dois eixos.

19Divisão externa: continuar além de um dos extremos

Agora P estará na reta AB, mas fora do segmento. Pela parametrização, AP=|t|AB e PB=|t−1|AB. Para t>1, a razão r=AP/PB é t/(t−1); para t<0, é (−t)/(1−t)=t/(t−1). Nos dois casos, r(t−1)=t, então (r−1)t=r.

Como r≠1, podemos dividir e obter t=r/(r−1). Substituir na coordenada horizontal dá $x_P=x_A+\frac r{r-1}(x_B-x_A)$ . Com denominador comum, o numerador é $(r-1)x_A+rx_B-rx_A=rx_B-x_A$ , produzindo a fórmula abaixo; a mesma conta vale para y. Se r>1, P fica além de B; se 0<r<1, além de A. Para r=1, a equação seria 0·t=1, impossível. Isso não elimina o ponto médio interno: estamos exigindo que P seja externo.

\begin{gathered}\frac{AP}{PB}=r>0,\quad r\ne1\\t=\frac r{r-1}\\P=\left(\frac{rx_B-x_A}{r-1},\frac{ry_B-y_A}{r-1}\right)\end{gathered}

A≠B e P está na reta AB, fora do segmento. Para r>1, t>1 e P fica além de B; para 0<r<1, t<0 e P fica além de A. A razão usa comprimentos sem sinal. Não existe ponto externo finito com AP=PB para extremos distintos. Esta fórmula não substitui a da divisão interna.

Exemplo resolvido · A mesma razão com uma posição externa

A=(0,0), B=(6,0) e P é externo, com AP:PB=2:1. Encontre P.

Resolução

Temos r=2, então t=2/(2−1)=2. As coordenadas são x=0+2·6=12 e y=0.
P=(12,0) está além de B. As medidas são AP=12 e PB=6; 12/6=2, como exigido. O ponto interno da razão 2:1 seria outro, com t=2/3.

O ponto externo é P=(12,0).

20Baricentro: o encontro das medianas de um triângulo

Uma mediana de um triângulo liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. O baricentro G é o ponto em que as três medianas se encontram. Aqui A, B e C precisam ser não colineares, isto é, não estar na mesma reta, para formar um triângulo não degenerado.

Se N é o ponto médio de BC, suas coordenadas são as médias de B e C. Na mediana AN, escolha o ponto a dois terços do percurso a partir de A. Sua abscissa é $x_G=x_A+\frac23\left(\frac{x_B+x_C}{2}-x_A\right)$ . Distribuindo, $x_G=x_A+\frac{x_B+x_C}{3}-\frac{2x_A}{3}$ . Com denominador três, $x_G=\frac{3x_A+x_B+x_C-2x_A}{3}=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$ . O mesmo vale para y.

Se começarmos pelas medianas de B ou C, as mesmas médias aparecem. Isso mostra que o ponto pertence às três e que AG:GN=2:1. As medianas de um triângulo não degenerado não são a mesma reta; portanto o encontro é único.

G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)

A,B,C são vértices não colineares de um triângulo. G é o encontro das três medianas e divide cada uma na razão 2:1 a partir do vértice. Mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. A média de três pontos colineares existe, mas não é chamada aqui baricentro de um triângulo não degenerado.

Exemplo resolvido · Construir a média dos três vértices

Encontre o baricentro do triângulo A=(0,0), B=(6,0) e C=(0,6).

Resolução

Os pontos não são colineares: AB é horizontal e C está fora dessa reta. A abscissa do baricentro é (0+6+0)/3=6/3=2; a ordenada é (0+0+6)/3=2.
O ponto médio de BC é N=(3,3). De A a N, dois terços das variações (3,3) dão (2,2), que é G. Os comprimentos AG e GN ficam na razão 2:1.

G=(2,2).

As três medianas do triângulo retângulo A=(0,0), B=(6,0), C=(0,6) passam por G=(2,2). N=(3,3) é o ponto médio de BC, e não o baricentro.

Exemplo resolvido · Recuperar o terceiro vértice

A=(0,0), B=(3,0) e G=(2,1) é o baricentro de ABC. Encontre C.

Resolução

Pela média das abscissas, $2=(0+3+x_C)/3$ . Multiplicando por três, $6=3+x_C$ , portanto $x_C=3$ .
Pela média das ordenadas, $1=(0+0+y_C)/3$ . Então $y_C=3$ . O ponto C=(3,3) está fora da reta horizontal AB, confirmando um triângulo não degenerado.

C=(3,3).

21Escala do mapa e trajeto permitido pelo contexto

A distância geométrica liga os pontos por um segmento. Um trajeto por ruas pode exigir outras direções. Antes de calcular, confira se as coordenadas representam comprimentos na mesma unidade e quais caminhos o problema permite.

d_{\text{real}}=s\,d_{\text{malha}}

s>0 é o comprimento real de uma unidade coordenada, na mesma unidade em ambos os eixos. Um desenho ampliado na tela não altera as coordenadas. Eixos com grandezas distintas, como tempo e preço, não representam automaticamente distâncias físicas por Pitágoras.

L=|\Delta x|+|\Delta y|

L é o menor comprimento de um percurso de A a B que usa somente trechos horizontais e verticais sem desvios ou impedimentos, na mesma unidade dos eixos. Não é em geral a distância euclidiana em linha reta; com obstáculos ou voltas, o trajeto pode ser maior.

Exemplo resolvido · Linha reta e caminho por quarteirões

A=(−1,2) e B=(5,10) estão em uma malha na qual uma unidade vale 100 m nos dois eixos. Compare a ligação em linha reta com um trajeto horizontal seguido de um vertical, sem obstáculos.

Resolução

As variações são Δx=5−(−1)=6 e Δy=10−2=8. Pela distância euclidiana, d²=6²+8²=100, então d=10 unidades de malha. Convertendo, 10·100=1 000 m.
O trajeto paralelo aos eixos tem comprimento |6|+|8|=14 unidades, ou 14·100=1 400 m. A diferença é 400 m, pois o caminho permitido não é a diagonal.

Linha reta: 1 000 m; trajeto por direções dos eixos: 1 400 m.

Se um eixo representa horas e outro reais, suas coordenadas continuam descrevendo dados, mas Pitágoras não produz automaticamente um comprimento físico. Se o desenho usa escalas visuais diferentes, ler as coordenadas continua possível; medir ângulos e distâncias diretamente na imagem pode enganar.

22Escolher o procedimento e conferir a resposta

Identifique origem, sentidos, escala e ordem das coordenadas antes de ler o desenho.
Separe coordenadas, variações com sinal e medidas não negativas. Leia os zeros para distinguir eixo e quadrante.
Em distâncias, substitua com parênteses, calcule diferenças, depois quadrados, soma e raiz principal.
Ponto médio usa duas médias e pertence ao segmento; equidistância sozinha não basta.
Em divisões, declare qual razão foi dada e se o ponto é interno ou externo. O mesmo parâmetro precisa atender às duas coordenadas.
Baricentro usa três vértices não colineares. Nas aplicações, confira unidades e caminhos permitidos.

Na próxima aula estudaremos a reta: como transformar relações entre coordenadas em equações e como tratar separadamente as retas verticais. Distância entre pontos e suas condições já estarão preparadas.

23Agora é com você

São trinta questões no total: 26 objetivas e quatro discursivas, da leitura de coordenadas aos problemas com segmentos e baricentro. Nas discursivas, registre as substituições e confira as condições, não apenas o resultado.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Em P=(−4,2), quais são a abscissa e a ordenada, nessa ordem?

A2 e −4.B−4 e 2.C4 e 2.D−4 e −2.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

24O que guardar desta aula

Geometria Analítica relaciona posições e figuras com números e equações. Um ponto é descrito por um par ordenado no referencial escolhido.
x é a abscissa e y é a ordenada. A origem é (0,0); y=0 caracteriza Ox e x=0 caracteriza Oy. Os eixos não fazem parte dos quadrantes.
As variações são final menos inicial e têm sinal. Distâncias são não negativas; comprimentos horizontais e verticais usam módulos.
A distância entre pontos vem de Pitágoras e exige eixos perpendiculares com unidades de comprimento compatíveis. A raiz escolhida é não negativa.
Refletir em Ox troca o sinal de y; em Oy, o de x; na origem, os dois. Pontos sobre o eixo de reflexão permanecem fixos.
Ponto médio usa a média de cada coordenada e pertence ao segmento. Para recuperar um extremo, desfaça cada média.
Um único parâmetro t percorre o segmento com 0≤t≤1. Valores fora desse intervalo representam pontos externos na mesma reta, para extremos distintos.
Na divisão interna com AP/PB=r, a fração do percurso é r/(1+r). Na externa, r/(r−1), com r>0 e r≠1. As condições fazem parte das fórmulas.
O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo não degenerado. Suas coordenadas são as médias das três coordenadas correspondentes; ele divide a mediana em 2:1 a partir do vértice.
Um trajeto por ruas não precisa coincidir com a distância em linha reta. Converta a escala e confira o domínio do modelo.

Esta é a primeira aula do roteiro de Geometria Analítica. A sequência inicial de sete aulas está disponível; Fórmulas e Revisão reúnem o conteúdo de cada etapa, do estudo do ponto às cônicas.