Circunferência

1Todos os pontos à mesma distância de um centro

Imagine um ponto fixo C e um comprimento positivo r. Vamos selecionar todos os pontos P que estão exatamente a essa distância de C. Esse conjunto é a circunferência: uma linha fechada. C é o centro e r é o raio. Lugar geométrico significa o conjunto de pontos que atendem à condição descrita.

CP=r,\qquad r>0

C é o centro fixo, P um ponto variável e r o raio real positivo. Circunferência é o contorno, não toda a região interna. O sistema de coordenadas é ortogonal e usa a mesma unidade de comprimento nos dois eixos.

O círculo, também chamado disco fechado nesta aula, inclui o contorno e a região interna. Estar dentro da região não significa estar na circunferência. A distinção entre igualdade e desigualdade será importante nas aplicações. Os eixos são perpendiculares e usam a mesma unidade de comprimento.

Exemplo resolvido · O centro não é um ponto do contorno

Considere C=(1,2) e r=3. P=(4,2) e o próprio C pertencem à circunferência?

Resolução

A distância CP é √[(4−1)²+(2−2)²]=√9=3, portanto P pertence.
A distância de C a ele mesmo é zero, diferente do raio três. C está dentro da região circular, mas não no contorno.

P pertence à circunferência; C não pertence ao contorno.

2Construir a equação pela distância entre pontos

Escreva C=(a,b) e P=(x,y). A condição é $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$ . Como os dois lados são não negativos e r>0, elevar ao quadrado conserva exatamente os mesmos pontos. Obtemos a equação reduzida:

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Centro C=(a,b), raio r>0, x,y reais. A equação vem de CP²=r², equivalência válida porque CP e r são não negativos. O sinal dentro de cada parêntese é o oposto da respectiva coordenada do centro. O lado direito é r², não r.

x^2+y^2=r^2,\qquad r>0

É o caso a=b=0. Interseções com os eixos são (±r,0) e (0,±r). O raio não é o valor de x ou de y em todos os pontos: ele é a distância ao centro.

Exemplo resolvido · Uma circunferência centrada na origem

Escreva a equação de centro (0,0) e raio três e encontre seus encontros com os eixos.

Resolução

Substituindo a=b=0 e r=3, x²+y²=3²=9.
Em Ox, y=0, então x²=9 e x=3 ou x=−3. Em Oy, x=0, então y²=9 e y=3 ou y=−3.

x²+y²=9, com encontros (3,0), (−3,0), (0,3) e (0,−3).

Na circunferência x²+y²=9, os quatro pontos marcados ficam a três unidades da origem. O raio é três, embora o lado direito da equação seja nove.

3Ler os sinais do centro e extrair o raio correto

Na forma (x−a)²+(y−b)²=r², a coordenada a é o número subtraído de x. Assim x+2 é x−(−2). A mesma atenção vale para y. A raiz não negativa do lado direito fornece o raio, quando esse lado é positivo.

Exemplo resolvido · O sinal dentro dos parênteses é oposto ao da coordenada

Identifique centro e raio de (x+2)²+(y−1)²=16 e dê quatro pontos extremos.

Resolução

Reescreva x+2=x−(−2). O centro é C=(−2,1), e r=√16=4.
Somar e subtrair quatro à abscissa do centro dá (2,1) e (−6,1). Fazer o mesmo na ordenada dá (−2,5) e (−2,−3).
Por exemplo, em (2,1), (2+2)²+(1−1)²=16. O centro (−2,1) daria zero, portanto não satisfaz a equação do contorno.

Centro (−2,1) e raio quatro, não dezesseis.

Centro C=(−2,1), raio quatro e extremos do contorno. A translação muda o centro; todos os pontos continuam a quatro unidades dele.

4Conhecer o centro e um ponto basta para achar o raio

Exemplo resolvido · Calcular a distância antes de escrever a equação

Uma circunferência tem centro C=(2,−1) e passa por P=(5,3). Determine sua equação.

Resolução

O raio ao quadrado é CP²=(5−2)²+[3−(−1)]²=3²+4²=9+16=25. Logo r=5.
Substituindo o centro, (x−2)²+(y+1)²=25. Em P, o lado esquerdo vale 9+16=25, confirmando o dado.

(x−2)²+(y+1)²=25.

Se o ponto informado coincidir com o centro, a distância será zero. Isso não define uma circunferência própria de raio positivo. Veremos como essa situação aparece como caso degenerado de uma equação.

5Usar os extremos de um diâmetro

Um diâmetro é uma corda que passa pelo centro. Seus extremos são opostos e o centro fica exatamente no meio deles. Uma corda qualquer não tem essa propriedade; por isso precisamos da informação de que o segmento é diâmetro.

\begin{gathered}C=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\\r=\frac{AB}{2}\end{gathered}

A e B são extremos distintos de um diâmetro, não apenas de uma corda qualquer. O centro é o ponto médio e o raio é metade do comprimento AB. Se A=B, não se determina uma circunferência de raio positivo por esse diâmetro.

Exemplo resolvido · O raio é metade do diâmetro

A=(−1,2) e B=(5,6) são extremos de um diâmetro. Encontre a circunferência.

Resolução

O ponto médio é C=((−1+5)/2,(2+6)/2)=(2,4).
AB=√[(5+1)²+(6−2)²]=√(36+16)=√52=2√13. Dividir por dois dá r=√13 e r²=13.
A equação é (x−2)²+(y−4)²=13. Em A, (−3)²+(−2)²=13; em B, 3²+2²=13.

(x−2)²+(y−4)²=13.

6Por que aparecem duas ordenadas para a mesma abscissa

Isolar y exige uma raiz e duas escolhas de sinal. A expressão sob a raiz precisa ser não negativa. Isso limita as abscissas ao intervalo entre o ponto mais à esquerda e o mais à direita do contorno.

\begin{gathered}y=b\pm\sqrt{r^2-(x-a)^2}\\a-r\le x\le a+r\end{gathered}

r>0 e a raiz é a principal, não negativa. A escolha mais descreve a metade superior; a menos, a inferior. Nos extremos do intervalo as duas se encontram. A circunferência completa não associa um único y a cada x interior; cada semicircunferência, separadamente, o faz.

Exemplo resolvido · Conservar as duas metades e o domínio

Escreva y em função de x para (x−1)²+(y+2)²=9. Quais ordenadas aparecem em x=1 e em x=4?

Resolução

Primeiro $(y+2)^2=9-(x-1)^2$ , então $y=-2\pm\sqrt{9-(x-1)^2}$ . A raiz existe quando $(x-1)^2\le9$ , ou seja, −2≤x≤4.
Em x=1, y=−2±3, dando y=1 ou y=−5. Em x=4, a raiz é zero e as duas escolhas se encontram em y=−2.

Duas semicircunferências; domínio −2≤x≤4.

Uma função y de x associa uma única ordenada a cada abscissa permitida. A circunferência inteira não é uma única função desse tipo, pois tem duas ordenadas para cada x no interior do intervalo. Cada uma das duas metades, separadamente, pode ser descrita por uma função.

7Expandir os quadrados para chegar à forma geral

A forma geral normalizada tem coeficientes um para x² e y². As letras D,E,F abaixo são números reais fixos: coeficientes de x, de y e termo constante. Elas não são coordenadas variáveis.

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

D,E,F são coeficientes reais fixos. Os coeficientes de x² e y² estão igualados a um e não há termo xy. Essa forma pode representar circunferência, ponto ou conjunto vazio: complete quadrados ou teste o valor de ρ antes de afirmar que existe raio positivo.

Exemplo resolvido · Expandir cada binômio sem omitir o termo linear

Converta (x−2)²+(y+3)²=25 para a forma geral.

Resolução

Pelo quadrado de uma soma ou diferença, (x−2)²=x²−4x+4 e (y+3)²=y²+6y+9.
Assim x²−4x+4+y²+6y+9=25. Reunindo os termos e subtraindo vinte e cinco, x²+y²−4x+6y+13−25=0.
A constante é −12, portanto x²+y²−4x+6y−12=0. O termo −4x não pode ser omitido ao elevar x−2 ao quadrado.

x²+y²−4x+6y−12=0.

8Recuperar o centro completando quadrados

Completar um quadrado significa reorganizar uma expressão como quadrado de um binômio, compensando a constante acrescentada. Em x²+Dx, metade do coeficiente de x é D/2; seu quadrado é D²/4. A identidade abaixo soma e subtrai esse mesmo valor.

x^2+Dx=\left(x+\frac D2\right)^2-\frac{D^2}{4}

D é real. Metade do coeficiente linear é D/2; seu quadrado é somado e subtraído, conservando a expressão. A mesma identidade vale para y²+Ey. Não acrescente o quadrado em apenas um lado da igualdade.

Exemplo resolvido · Adicionar o mesmo valor aos dois lados

Reescreva x²+y²+6x−4y−12=0 e identifique a circunferência.

Resolução

Passe a constante para a direita: (x²+6x)+(y²−4y)=12.
Metade de seis é três, cujo quadrado é nove. Metade de −4 é −2, cujo quadrado é quatro. Somamos nove e quatro dos dois lados: (x²+6x+9)+(y²−4y+4)=12+9+4.
Os grupos são (x+3)² e (y−2)². Portanto (x+3)²+(y−2)²=25, com centro (−3,2) e raio cinco.

(x+3)²+(y−2)²=25.

Em geral, completar os dois quadrados em $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ dá $(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2)/4-F$ . O lado direito será chamado ρ, lido rô. Só quando ρ>0 podemos tomá-lo como raio ao quadrado de uma circunferência própria.

\begin{gathered}C=\left(-\frac D2,-\frac E2\right)\\\rho=\frac{D^2+E^2}{4}-F\end{gathered}

A equação está normalizada como x²+y²+Dx+Ey+F=0. ρ, lido rô, é o lado direito após completar quadrados. Só se ρ>0 há circunferência própria, com raio r=√ρ; ρ não é o próprio raio.

9Normalizar a equação e trabalhar também com frações

Se os coeficientes de x² e y² forem iguais a um mesmo A≠0, divida a equação inteira por A. Só depois use D,E,F da forma normalizada. Um coeficiente negativo também precisa ser dividido, incluindo a constante.

\begin{gathered}A(x^2+y^2)+Lx+My+N=0\\D=L/A,\quad E=M/A,\quad F=N/A\end{gathered}

A≠0, coeficientes reais, sem termo xy. Divida toda a equação por A antes de usar as fórmulas do centro e de ρ. A pode ser negativo. Se A=0, examine a equação restante como linear ou constante; não divida por zero.

Exemplo resolvido · Não usar os coeficientes antes de dividir

Determine centro e raio de 2x²+2y²−4x+12y+2=0.

Resolução

Dividir todos os termos por dois dá x²+y²−2x+6y+1=0. Logo D=−2, E=6 e F=1.
Separando a constante, (x²−2x)+(y²+6y)=−1. Somar um e nove dos dois lados dá (x−1)²+(y+3)²=−1+1+9=9.
Portanto C=(1,−3) e r=3. Usar −4 e doze como D e E antes da divisão daria um centro errado.

Centro (1,−3) e raio três.

Exemplo resolvido · Metades fracionárias também completam quadrados

Identifique x²+y²+x−3y=0.

Resolução

Metade do coeficiente de x é 1/2 e seu quadrado é 1/4. Metade do coeficiente de y é −3/2 e seu quadrado é 9/4. São esses os valores que completam os dois quadrados.
Acrescente $1/4$ e $9/4$ dos dois lados: $(x^2+x+1/4)+(y^2-3y+9/4)=10/4$ .
Assim $(x+1/2)^2+(y-3/2)^2=5/2$ . O centro é $(-1/2,3/2)$ e o raio é $\sqrt{5/2}=\sqrt{10}/2$ , não 5/2.

Centro $(-1/2,3/2)$ e raio $\sqrt{10}/2$ .

10Uma equação pode representar contorno, ponto ou nenhum ponto

Uma soma de quadrados reais nunca é negativa. Se ela é zero, os dois quadrados precisam ser zero simultaneamente. Por isso o valor de ρ decide se existe uma circunferência própria, um ponto isolado ou nenhum ponto real.

\begin{array}{c|c}\rho>0&\text{circunferência}\\\rho=0&\text{um ponto}\\\rho<0&\varnothing\end{array}

A equação é (x−a)²+(y−b)²=ρ, com a,b,ρ reais. Soma de quadrados reais é não negativa. Para ρ=0, ambos os quadrados são zero e resta (a,b); para ρ<0, não existe ponto real. Um ponto é um caso degenerado, não uma circunferência de raio positivo.

Exemplo resolvido · Discutir todos os valores de um parâmetro

Classifique x²+y²−4x+2y+k=0, para k real.

Resolução

Separe a constante: (x²−4x)+(y²+2y)=−k. Some quatro e um dos dois lados: (x²−4x+4)+(y²+2y+1)=−k+4+1.
Os grupos são (x−2)² e (y+1)². Assim (x−2)²+(y+1)²=5−k e ρ=5−k.
Se k<5, ρ>0: há circunferência de centro (2,−1) e raio √(5−k).
Se k=5, resta (x−2)²+(y+1)²=0: o único ponto é (2,−1). Se k>5, o lado direito é negativo: não há ponto real.

Circunferência em k<5; ponto em k=5; conjunto vazio em k>5.

Não se atribui um raio real negativo a uma circunferência. Nos casos vazios, a equação não tem pontos reais; no caso ρ=0, pode-se falar em circunferência degenerada, deixando claro que o conjunto é apenas um ponto.

11Nem toda equação de segundo grau é uma circunferência

Em eixos ortogonais com a mesma escala, expandir a equação de uma circunferência produz coeficientes iguais e não nulos em x² e y² e nenhum termo xy. Essa estrutura é necessária; ainda precisamos verificar ρ>0. Não basta enxergar dois quadrados na expressão.

Exemplo resolvido · Coeficientes quadráticos diferentes mudam a curva

x²+2y²=9 é uma circunferência nesse sistema?

Resolução

Em y=0, os encontros com Ox são x=±3. Em x=0, os encontros com Oy são y=±3/√2.
A expressão não tem coeficientes quadráticos iguais. Os afastamentos extremos nas direções dos eixos também diferem: não é uma circunferência. Essa curva será estudada no núcleo de elipse.

Não é uma circunferência.

Se A=0 em A(x²+y²)+Lx+My+N=0, não existe termo quadrático para normalizar. A equação restante pode ser uma reta, como x+y−1=0, ou uma condição constante, como 0=0 ou 5=0. Ela precisa ser examinada como tal.

12Classificar um ponto sem extrair raízes

Compare CP² com r². Se o quadrado da distância é menor, o ponto é interno; se igual, está no contorno; se maior, é externo. Como os dois comprimentos são não negativos, comparar seus quadrados conserva a ordem.

\begin{array}{c|c}(x-a)^2+(y-b)^2<r^2&\text{interior}\\(x-a)^2+(y-b)^2=r^2&\text{contorno}\\(x-a)^2+(y-b)^2>r^2&\text{exterior}\end{array}

\begin{gathered}d^2=(x-a)^2+(y-b)^2\\d^2<r^2:\ \text{interior}\\d^2=r^2:\ \text{contorno}\\d^2>r^2:\ \text{exterior}\end{gathered}

r>0. Na apresentação empilhada, d é a distância do ponto ao centro. O círculo fechado reúne interior e contorno, usando ≤; o disco aberto usa < e exclui o contorno. A classificação compara distâncias ao quadrado, sem precisar extrair raízes.

Exemplo resolvido · Pertinência é diferente de estar dentro

Classifique P=(3,4), Q=(0,2) e R=(6,0) em relação a x²+y²=25.

Resolução

Para P, CP²=3²+4²=25: P está na circunferência.
Para Q, CQ²=0²+2²=4<25: Q está no interior. Para R, CR²=6²=36>25: R é externo.

P no contorno; Q interno; R externo.

A desigualdade (x−a)²+(y−b)²≤r² descreve toda a região fechada, incluindo a borda. Se uma equação foi multiplicada por um fator negativo, o sinal de sua expressão também se inverte; não use um sinal isolado sem normalizar ou voltar à comparação das distâncias.

13Três pontos determinam uma circunferência sob condições

Três pontos distintos não colineares determinam uma única circunferência. Geometricamente, seu centro é o encontro das mediatrizes de dois lados, como estudamos na aula anterior. Algebricamente, cada ponto fornece uma equação linear em D,E,F.

x_i^2+y_i^2+Dx_i+Ey_i+F=0,\quad i=1,2,3

Os três pontos dados são distintos e não colineares: nessas condições existe uma única circunferência por eles. Substitua cada par e resolva o sistema linear em D,E,F; depois complete quadrados. Três pontos distintos colineares não pertencem a uma circunferência; dados repetidos não fornecem três condições independentes.

Exemplo resolvido · Transformar três pertinências em um sistema linear

Encontre a circunferência por A=(0,0), B=(4,0), Q=(0,2).

Resolução

Na forma x²+y²+Dx+Ey+F=0, A fornece F=0.
B fornece 16+4D+F=0, então 4D=−16 e D=−4. Q fornece 4+2E+F=0, então 2E=−4 e E=−2.
A equação é x²+y²−4x−2y=0. Some quatro e um dos dois lados: (x²−4x+4)+(y²−2y+1)=5. Logo (x−2)²+(y−1)²=5, com centro (2,1) e raio √5.

(x−2)²+(y−1)²=5.

Exemplo resolvido · Três pontos colineares distintos não servem

Existe circunferência pelos pontos (0,0), (2,0) e (4,0)?

Resolução

O primeiro ponto dá F=0. O segundo exige 4+2D=0, então D=−2.
No terceiro, 16+4D=16−8=8, que não é zero. O sistema é contraditório: não existe tal circunferência.

Não existe.

Se algum ponto é repetido, falta uma condição independente; repetir um dado não equivale a fornecer três pontos distintos. Dois pontos distintos permitem infinitas circunferências, cujos centros percorrem a mediatriz do segmento entre eles.

14Reta secante, tangente ou exterior

Seja ℓ uma reta válida e δ, lido delta, a distância perpendicular do centro C até ela. Compare δ com o raio r. Uma reta mais próxima do centro que r atravessa o contorno duas vezes; à distância r toca uma vez; mais distante, não encontra a circunferência.

\delta=\frac{|ua+vb+w|}{\sqrt{u^2+v^2}}

C=(a,b) e ℓ:ux+vy+w=0, com (u,v)≠(0,0). Compare δ com o raio r, e não com r². O módulo envolve a substituição inteira. A fórmula inclui retas horizontais e verticais.

\begin{array}{c|c}\delta<r&\text{secante: dois pontos}\\\delta=r&\text{tangente: um ponto}\\\delta>r&\text{exterior: nenhum}\end{array}

r>0 e δ=d(C,ℓ)≥0 é a distância perpendicular do centro à reta válida ℓ. A classificação é do contorno. Na tangência, o único ponto é a projeção do centro sobre a reta.

Para justificar, chame H de projeção do centro na reta e Q de possível interseção. Quando CHQ é um triângulo, Pitágoras dá CQ²=CH²+HQ²; se H=C ou H=Q, a mesma igualdade vale diretamente. Como CQ=r e CH=δ, temos HQ²=r²−δ². Resultado positivo permite dois pontos opostos em torno de H; zero permite apenas H; negativo não permite ponto real.

Exemplo resolvido · Três distâncias para a mesma circunferência

Classifique y=3, y=5 e y=6 em relação a x²+y²=25.

Resolução

O centro é (0,0) e o raio é cinco. As distâncias às horizontais são três, cinco e seis.
Como 3<5, a primeira é secante. Como 5=5, a segunda é tangente em (0,5). Como 6>5, a terceira é exterior.

Secante; tangente; exterior, respectivamente.

Circunferência de raio cinco e retas y=3, y=5 e y=6. Os pontos (−4,3) e (4,3) pertencem à secante; (0,5) é o único ponto da tangente.

15Encontrar as interseções por substituição

Resolver a interseção exige satisfazer as duas equações ao mesmo tempo. Substitua uma variável usando a reta, resolva a equação obtida e recupere a outra coordenada na mesma reta. Confira cada par nas condições originais.

Exemplo resolvido · Duas raízes, dois pares completos

Encontre a interseção de x²+y²=25 com y=x+1.

Resolução

Substitua y: x²+(x+1)²=25. Expandir dá x²+x²+2x+1=25, portanto 2x²+2x−24=0.
Divida por dois: x²+x−12=0. Fatorando, (x+4)(x−3)=0, então x=−4 ou x=3.
Em x=−4, y=−3; em x=3, y=4. Os pares são (−4,−3) e (3,4). Ambos têm soma dos quadrados 25 e satisfazem y=x+1.

Interseções (−4,−3) e (3,4).

16A reta vertical não precisa de coeficiente angular

Exemplo resolvido · Substituir x diretamente

Intercepte (x−1)²+(y+2)²=9 pelas verticais x=1, x=4 e x=5.

Resolução

Em x=1, resta (y+2)²=9. Logo y+2=±3 e y=1 ou y=−5, dando (1,1) e (1,−5).
Em x=4, temos 9+(y+2)²=9, então y=−2: é tangente em (4,−2).
Em x=5, teríamos 16+(y+2)²=9, ou (y+2)²=−7, impossível nos reais. Essa reta é exterior.

Duas, uma e nenhuma interseção, respectivamente.

17Relacionar a equação quadrática à posição da reta

Para uma reta não vertical y=mx+n, substituir y na equação reduzida e agrupar por potências de x produz uma equação de segundo grau. O índice q nos coeficientes abaixo identifica essa equação quadrática, distinguindo $C_q$ do nome do centro.

\begin{gathered}A_q=1+m^2\\B_q=2[m(n-b)-a]\\C_q=a^2+(n-b)^2-r^2\\A_qx^2+B_qx+C_q=0\end{gathered}

A circunferência tem centro (a,b), raio r>0 e a reta é y=mx+n. O índice q identifica os coeficientes da equação quadrática; C com índice q não é o centro. O coeficiente de x² é positivo, portanto a equação continua sendo de segundo grau. Para uma reta vertical, substitua x diretamente em vez de inventar um m real.

O coeficiente $A_q=1+m^2$ é sempre positivo. Portanto não há perda do segundo grau para nenhum m real. O discriminante Δ, lido delta, informa o número de raízes reais: positivo dá duas, zero dá uma raiz dupla e negativo dá nenhuma. Cada raiz fornece um ponto completo pela equação da reta.

\begin{gathered}\Delta=B_q^2-4A_qC_q\\\Delta=4(1+m^2)(r^2-\delta^2)\end{gathered}

Nas condições da substituição y=mx+n, Δ>0 dá duas interseções, Δ=0 uma e Δ<0 nenhuma real. Cada raiz x deve ser recolocada na mesma reta para obter seu y. O símbolo Δ, lido delta, é aqui o discriminante, não o determinante de posições relativas.

A ligação com a distância também pode ser conferida por álgebra. Escreva s=n−b. Substituir os coeficientes dá $\Delta/4=(ms-a)^2-(1+m^2)(a^2+s^2-r^2)$ . Ao expandir e cancelar os termos opostos, resta $(1+m^2)r^2-m^2a^2-2mas-s^2$ . Os três últimos termos são $-(ma+s)^2$ ; como $\delta^2=(ma+s)^2/(1+m^2)$ , obtemos a relação da fórmula.

Exemplo resolvido · Encontrar todos os valores de tangência

Para quais k a reta y=x+k é tangente a x²+y²=25?

Resolução

Substituir y dá x²+(x+k)²=25, ou 2x²+2kx+k²−25=0.
O discriminante é Δ=(2k)²−4·2·(k²−25)=4k²−8k²+200=200−4k². Para uma raiz dupla, 200−4k²=0, então k²=50 e k=±5√2.
Pela distância, δ=|k|/√2. Igualar a cinco também dá |k|=5√2. Para |k|<5√2 há duas interseções; para |k|>5√2 não há nenhuma.

Tangência em k=5√2 ou k=−5√2.

18Construir a tangente em um ponto conhecido

Uma reta tangente toca o contorno em um único ponto T. O raio CT é perpendicular a ela. Assim, a reta por T com normal T−C é a tangente. A construção depende de T realmente pertencer à circunferência e de r>0, para que CT não seja nulo.

(t_x-a)(x-t_x)+(t_y-b)(y-t_y)=0

\begin{gathered}(t_x-a)(x-t_x)\\+(t_y-b)(y-t_y)=0\end{gathered}

T=(tₓ,tᵧ) precisa pertencer à circunferência de centro (a,b) e raio r>0. A normal da tangente é o raio CT, não nulo. A construção inclui a tangente vertical. Não substitua um ponto externo nesta fórmula como se fosse ponto de tangência.

Ao substituir x−tₓ=(x−a)−(tₓ−a), e o correspondente em y, a soma dos quadrados do raio aparece como r². Isso fornece a forma equivalente abaixo, útil especialmente quando o centro é a origem.

(t_x-a)(x-a)+(t_y-b)(y-b)=r^2

\begin{gathered}(t_x-a)(x-a)\\+(t_y-b)(y-b)=r^2\end{gathered}

T pertence à circunferência própria. Substituir x−tₓ=(x−a)−(tₓ−a), e analogamente em y, usa (tₓ−a)²+(tᵧ−b)²=r². Para centro na origem, a forma é tₓx+tᵧy=r².

Exemplo resolvido · Uma tangente oblíqua sem cálculo diferencial

Encontre a tangente em T=(4,2) à circunferência (x−1)²+(y+2)²=25.

Resolução

O centro é C=(1,−2), e T−C=(3,4). A conferência dá 3²+4²=25: T está no contorno.
A tangente é 3(x−4)+4(y−2)=0. Distribuindo, 3x−12+4y−8=0, logo 3x+4y−20=0.
Em T, 12+8−20=0. A distância do centro à reta é |3·1+4·(−2)−20|/√(9+16)=25/5=5, igual ao raio.

3x+4y−20=0.

Exemplo resolvido · A mesma construção inclui a vertical

Na mesma circunferência, encontre a tangente em T=(6,−2).

Resolução

O raio CT tem direção (5,0) e comprimento cinco. A equação tangente é 5(x−6)+0(y+2)=0.
Dividir por cinco dá x=6. Não há coeficiente angular real a usar nessa reta.

x=6.

Raio de C=(1,−2) a T=(4,2) e tangente 3x+4y−20=0. O marcador em T indica perpendicularidade entre raio e tangente.

19Tangência em famílias de retas

Quando o ponto de contato não é conhecido, podemos primeiro impor que a distância do centro à reta seja o raio. Depois a projeção do centro fornece o ponto de tangência. Antes, é preciso garantir que a equação parametrizada continua sendo uma reta válida.

|ua+vb+w|=r\sqrt{u^2+v^2}

Centro C=(a,b), raio r>0 e reta ux+vy+w=0 válida. Ao procurar parâmetros, conserve ambos os sinais do módulo. Se u e v também dependem de um parâmetro, confira antes se a equação continua sendo uma reta.

Exemplo resolvido · O módulo fornece duas paralelas tangentes

Para quais k a reta 3x−4y+k=0 é tangente a (x−2)²+(y+1)²=9?

Resolução

O centro é (2,−1), o raio é três e os coeficientes (3,−4) nunca são ambos zero.
A distância é |3·2−4·(−1)+k|/5=|10+k|/5. Igualar a três dá |10+k|=15.
Logo 10+k=15 ou 10+k=−15, fornecendo k=5 ou k=−25. São duas retas distintas, uma de cada lado do centro.

k=5 ou k=−25.

20Traçar tangentes a partir de um ponto

Um ponto interno não admite reta tangente passando por ele. Um ponto do contorno tem uma única tangente. De um ponto externo partem duas tangentes distintas. A busca por inclinação deve considerar à parte a possível vertical, que não aparece em y=mx+n.

\begin{array}{c|c}CP<r&0\\CP=r&1\\CP>r&2\end{array}

Circunferência de raio r>0 e ponto P no mesmo plano. As tangentes são retas distintas. Uma busca apenas por y=mx+n pode omitir uma solução vertical; teste essa possibilidade separadamente.

Exemplo resolvido · Duas tangentes oblíquas de um ponto externo

Encontre as tangentes por P=(5,0) a x²+y²=9.

Resolução

A distância do centro a P é cinco, maior que o raio três. A vertical por P é x=5, exterior à circunferência, portanto não é solução.
Uma reta não vertical por P é y=m(x−5), ou mx−y−5m=0. A tangência exige 5|m|/√(m²+1)=3.
Os lados são não negativos e o denominador é positivo. Elevar ao quadrado dá 25m²=9(m²+1), portanto 16m²=9 e m=±3/4.
As retas são y=(3/4)(x−5) e y=−(3/4)(x−5). Multiplicando por quatro e reunindo os termos, são 3x−4y−15=0 e 3x+4y−15=0.
Cada distância ao centro é 15/5=3. Como a reta é tangente, seu contato é a projeção do centro O=(0,0), que calcularemos em cada reta.
Para 3x−4y−15=0, os coeficientes da reta são 3,−4,−15. Assim K=3·0−4·0−15=−15 e N=3²+(−4)²=25. A projeção é (0−3·(−15)/25,0−(−4)·(−15)/25)=(9/5,−12/5).
Para 3x+4y−15=0, K=−15 e N=25 novamente, mas o coeficiente de y é 4. A projeção é (0−3·(−15)/25,0−4·(−15)/25)=(9/5,12/5). Os dois contatos pertencem à circunferência, pois (9/5)²+(12/5)²=225/25=9.

3x−4y−15=0 e 3x+4y−15=0.

Duas tangentes por P=(5,0) à circunferência de centro O e raio três. Os contatos T₊=(9/5,12/5) e T₋=(9/5,−12/5) têm raios perpendiculares às respectivas tangentes.

Exemplo resolvido · Uma solução vertical pode desaparecer da parametrização por m

Encontre as tangentes por P=(3,4) a x²+y²=9.

Resolução

A vertical x=3 fica a três unidades da origem e é tangente em (3,0). Ela deve ser registrada antes da busca por m.
As demais retas por P são y−4=m(x−3), ou mx−y+4−3m=0. A condição é |4−3m|/√(m²+1)=3.
Elevando ao quadrado, (4−3m)²=9(m²+1). Expandir dá 16−24m+9m²=9m²+9, então −24m=−7 e m=7/24.
Em y−4=(7/24)(x−3), multiplicar por vinte e quatro dá 24y−96=7x−21. Portanto a segunda reta é 7x−24y+75=0.

x=3 e 7x−24y+75=0.

21Potência é um número com sinal; tangente tem comprimento não negativo

Definimos a potência p de um ponto P como CP²−r². A letra p minúscula nomeia esse número, enquanto P maiúsculo nomeia o ponto. Pela comparação das distâncias, p é negativo no interior, zero no contorno e positivo no exterior.

p=CP^2-r^2=(p_x-a)^2+(p_y-b)^2-r^2

\begin{gathered}p=CP^2-r^2\\p=(p_x-a)^2+(p_y-b)^2-r^2\end{gathered}

P=(pₓ,pᵧ), C=(a,b), r>0. p minúsculo é um número com sinal, chamado potência de P: negativo no interior, zero no contorno e positivo no exterior. Tem unidade de comprimento ao quadrado; não é por si só o comprimento de uma tangente.

Na forma geral normalizada, substituir as coordenadas de P dá exatamente a potência: expandir CP²−r² recupera os termos de x²+y²+Dx+Ey+F. Esse significado depende da normalização; um fator multiplicando toda a equação também multiplica o valor da expressão.

Se P é externo e T é contato de uma tangente, o triângulo CTP é retângulo em T. Pitágoras fornece CP²=CT²+PT²=r²+PT². Isolar PT² e usar a raiz não negativa dá o comprimento do segmento tangente.

PT=\sqrt{CP^2-r^2}

P é externo, T é ponto de tangência e r>0. O triângulo CTP é retângulo em T e a raiz é não negativa. No caso limite P na circunferência, o segmento tem comprimento zero, mas ainda existe uma reta tangente. Para P interno, não há tangente real e não se usa raiz de número negativo.

Exemplo resolvido · O mesmo ponto externo tem duas tangentes de mesmo comprimento

Para P=(5,0) e x²+y²=9, calcule potência e comprimento até cada contato.

Resolução

CP²=25 e r²=9, então p=25−9=16 unidades de comprimento ao quadrado.
Cada segmento tangente tem comprimento PT=√16=4 unidades de comprimento. Dezesseis é a potência; quatro é o comprimento.

Potência 16; comprimento tangente quatro.

Exemplo resolvido · Uma potência negativa não é um comprimento negativo

Para P=(1,0) na mesma circunferência, o que significa p?

Resolução

CP²=1 e r²=9, logo p=1−9=−8. O ponto é interno.
Não há reta tangente por P. A expressão √(−8) não é usada como comprimento real; não se troca o sinal para inventar uma tangente.

p=−8; nenhuma tangente real por P.

22Comprimento de uma corda pelo pé da perpendicular

Uma corda liga dois pontos do contorno. A perpendicular traçada do centro à reta suporte passa pelo ponto médio H da corda: os dois triângulos retângulos têm o mesmo raio como hipotenusa e o mesmo cateto CH. Se a distância à reta é δ, cada meia corda tem quadrado r²−δ².

L=2\sqrt{r^2-\delta^2}

r>0 e δ é a distância do centro à reta suporte da corda. Para dois extremos distintos, 0≤δ<r. A perpendicular do centro encontra o ponto médio da corda. Para δ=0, L=2r é um diâmetro; δ=r é o caso limite de um único ponto e comprimento zero.

Exemplo resolvido · Calcular metade e depois o comprimento inteiro

Qual é o comprimento da corda cortada por y=3 em x²+y²=25?

Resolução

O raio é cinco e a distância do centro à reta é três. Cada meia corda mede √(25−9)=√16=4.
Logo L=2·4=8. Substituir y=3 na equação dá x²=16, confirmando os extremos (−4,3) e (4,3).

Oito unidades.

A corda de A=(−4,3) a B=(4,3) tem ponto médio H=(0,3). CH=3, cada meia corda mede quatro e os raios medem cinco.

A maior corda é um diâmetro: quando δ=0, L=2r. Se δ=r, há apenas o ponto de tangência, caso limite de comprimento zero; se δ>r, a reta não corta uma corda real.

23Comparar dois contornos pela distância entre centros

Para duas circunferências de raios positivos R e r, calcule a distância d entre seus centros. Um ponto comum, junto dos centros, forma um triângulo cujos lados são R,r,d. As desigualdades triangulares estritas dão duas interseções; as igualdades dão os limites de tangência. Centros coincidentes precisam de tratamento próprio.

\begin{array}{c|c}d>R+r&\text{exteriores}\\d=R+r&\text{tangentes externas}\\|R-r|<d<R+r&\text{secantes}\\d=|R-r|>0&\text{tangentes internas}\\d<|R-r|&\text{internas sem encontro}\end{array}

\begin{array}{c|c}d>R+r&\text{exteriores}\\d=R+r&\begin{gathered}\text{tangentes}\\\text{externas}\end{gathered}\\|R-r|<d<R+r&\text{secantes}\\d=|R-r|>0&\begin{gathered}\text{tangentes}\\\text{internas}\end{gathered}\\d<|R-r|&\begin{gathered}\text{internas sem}\\\text{encontro}\end{gathered}\end{array}

R,r>0 e d é a distância entre os centros. Se d=0 e R=r, são coincidentes e têm infinitos pontos comuns; esse caso fica fora das cinco linhas. Se d=0 e R≠r, são concêntricas distintas, incluídas no último caso. O número de pontos comuns se refere aos contornos, não à sobreposição dos discos.

Exemplo resolvido · Comparar com a soma e a diferença dos raios

Duas circunferências têm raios cinco e três. Classifique os casos d=9, d=8, d=4, d=2 e d=1.

Resolução

A soma é 5+3=8 e a diferença absoluta é |5−3|=2.
Em d=9>8, são exteriores, sem ponto comum. Em d=8, são tangentes externas, com um ponto comum.
Em 2<d=4<8, são secantes, com dois pontos comuns. Em d=2, são tangentes internas, com um ponto comum.
Em d=1<2, a menor está dentro da maior sem tocar o contorno; não há ponto comum entre as circunferências.

Exteriores; tangentes externas; secantes; tangentes internas; internas sem encontro.

Exemplo resolvido · Mesmo centro não significa mesma circunferência

O que ocorre em d=0, com raios cinco e três? E com dois raios cinco?

Resolução

Com raios diferentes, são concêntricas distintas: os contornos não se encontram.
Com os mesmos centro e raio, são coincidentes: todo ponto de uma pertence à outra, havendo infinitos pontos comuns. Não se trata de tangência interna, apesar de d=|R−r|=0.

Concêntricas distintas no primeiro caso; coincidentes no segundo.

Um disco estar dentro de outro não implica que suas circunferências se encontrem. Aqui estamos contando os pontos comuns dos contornos, e não a área de sobreposição das regiões.

24Subtrair equações para localizar os pontos comuns

Escreva as duas equações na forma geral normalizada. Subtraí-las cancela x² e y² e produz uma condição linear. Para centros diferentes, essa reta é o eixo radical: reúne os pontos de mesma potência em relação às duas circunferências.

(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+F_1-F_2=0

\begin{gathered}(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y\\+F_1-F_2=0\end{gathered}

As equações são x²+y²+Dᵢx+Eᵢy+Fᵢ=0. Para centros diferentes, a diferença é a reta dos pontos de igual potência, chamada eixo radical. Todo ponto comum pertence a ela, mas é preciso resolver também uma equação original. Se as circunferências não se encontram, o eixo ainda pode existir. Centros iguais exigem tratar coincidência ou contradição, pois a diferença não será uma reta válida.

Exemplo resolvido · Uma reta auxiliar, seguida da equação original

Encontre a interseção de x²+y²=25 com (x−6)²+y²=25.

Resolução

A primeira forma geral é x²+y²−25=0. Expandir a segunda dá x²+y²−12x+36−25=0, ou x²+y²−12x+11=0.
Subtraia a segunda da primeira: 12x−36=0, então x=3. Essa é a reta que contém os pontos comuns, não a resposta completa.
Na primeira equação, 3²+y²=25 dá y²=16 e y=±4. Os pontos são (3,4) e (3,−4).
Na segunda, (3−6)²+(±4)²=9+16=25. Os dois pares são válidos.

Pontos comuns (3,4) e (3,−4).

Circunferências de raio cinco, com centros (0,0) e (6,0), se encontram em (3,4) e (3,−4). O eixo radical x=3 contém a corda comum, mas se prolonga além dela.

Exemplo resolvido · Eixo radical não garante encontro real

Compare x²+y²=9 com (x−6)²+y²=1.

Resolução

Os centros ficam a seis unidades e os raios somam quatro. Portanto os contornos são exteriores, sem ponto comum.
As formas normalizadas são x²+y²−9=0 e x²+y²−12x+35=0. Subtrair dá 12x−44=0, ou x=11/3.
Substituir na primeira exige y²=9−121/9=−40/9, sem solução real. A reta de igual potência existe, mas não atravessa os dois contornos.

Nenhum ponto comum, apesar de existir o eixo radical x=11/3.

Se os centros coincidem, a subtração pode produzir uma contradição constante, para raios diferentes, ou 0=0, para circunferências coincidentes. Nesse último caso, conserve uma equação original: a interseção é a circunferência inteira, não o plano todo.

25A tangente no contato de duas circunferências

Na tangência de duas circunferências próprias, os centros e o contato T ficam alinhados. A tangente comum nesse ponto é perpendicular à linha dos centros. Podemos determinar T pelo sistema das equações e usar a fórmula da tangente em qualquer uma delas.

Exemplo resolvido · Tangência externa e interna em um eixo

Encontre o contato e a tangente comum de x²+y²=9 com (x−5)²+y²=4. Depois faça o mesmo para x²+y²=25 e (x−2)²+y²=9.

Resolução

No primeiro par, d=5 e os raios são três e dois, então d=R+r. O ponto entre os centros que fica a três da origem é T=(3,0). A tangente é vertical x=3.
No segundo, d=2=5−3, tangência interna. O contato é T=(5,0): sua distância à origem é cinco e ao centro (2,0) é três. A tangente é x=5.
Os dois contatos satisfazem as respectivas equações, e suas tangentes são perpendiculares aos raios horizontais.

Primeiro par: T=(3,0), tangente x=3. Segundo: T=(5,0), tangente x=5.

As circunferências de centros (0,0) e (5,0), raios três e dois, são tangentes externas em T=(3,0). A reta x=3 é perpendicular à linha dos centros.

26Condições adicionais sobre centro e tangência

Exemplo resolvido · Centro em um eixo e duas pertinências

Encontre a circunferência cujo centro está em Oy e que passa por A=(1,0) e B=(3,2).

Resolução

Escreva o centro como C=(0,k). Igualar os quadrados dos raios dá 1+k²=9+(2−k)².
Expandir o segundo lado dá 1+k²=13−4k+k². Cancelando k², 1=13−4k, então 4k=12 e k=3.
O centro é (0,3), e r²=1+3²=10. A equação é x²+(y−3)²=10. Em B, 3²+(2−3)²=10, confirmando.

x²+(y−3)²=10.

Exemplo resolvido · Duas circunferências podem atender às mesmas condições

Uma circunferência é tangente aos dois eixos, tem centro no primeiro quadrante e passa por (2,1). Determine todas as possibilidades.

Resolução

A distância do centro a cada eixo precisa ser o raio. No primeiro quadrante, o centro é (r,r), com r>0.
A pertinência exige (2−r)²+(1−r)²=r². Expandindo, 4−4r+r²+1−2r+r²=r², então r²−6r+5=0.
Fatorar dá (r−1)(r−5)=0. As duas raízes r=1 e r=5 são positivas, portanto ambas atendem às condições.
As equações são (x−1)²+(y−1)²=1 e (x−5)²+(y−5)²=25. Substituir (2,1) dá um e vinte e cinco, respectivamente.

Centro (1,1), raio um; ou centro (5,5), raio cinco.

27Um ângulo também pode escolher o ponto do contorno

Na reta, um parâmetro gerava coordenadas por expressões lineares. Na circunferência, podemos usar o ângulo t do raio, medido em radianos a partir do sentido positivo de Ox, no sentido anti-horário. O cosseno e o seno dão as componentes de um raio unitário. Multiplicar por r e somar o centro produz as coordenadas abaixo. π, lido pi, é a constante associada à meia-volta em radianos.

\begin{cases}x=a+r\cos t\\y=b+r\sin t\end{cases}\quad0\le t<2\pi

Centro (a,b), r>0, t é um ângulo em radianos, e π é a constante pi. O intervalo percorre a circunferência uma vez sem repetir o ponto inicial. Com t real irrestrito, os pontos se repetem a cada 2π. t não é tempo nem comprimento de arco sem uma relação adicional.

A conferência usa $\cos^2t+\sin^2t=1$ : $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\cos^2t+r^2\sin^2t=r^2$ . Reciprocamente, cada ponto do contorno fornece uma direção de raio e, portanto, um ângulo no intervalo de uma volta.

Exemplo resolvido · Usar o mesmo ângulo nas duas coordenadas

Para C=(1,−1) e r=2, quais pontos correspondem a t=0 e t=π/2?

Resolução

A parametrização é x=1+2 cos t e y=−1+2 sen t, com 0≤t<2π.
Em t=0, cos t=1 e sen t=0, dando (3,−1). Em t=π/2, cos t=0 e sen t=1, dando (1,1). Ambos estão a duas unidades do centro.

Pontos (3,−1) e (1,1).

O intervalo 0≤t<2π percorre uma volta sem repetir o ponto inicial. Se admitirmos t real irrestrito, os pontos se repetem periodicamente. O parâmetro angular não é automaticamente tempo nem comprimento de arco; para essas interpretações seria preciso definir outra relação.

28Escolher entre distância ao contorno e à região

Em um modelo de alcance, a região coberta costuma incluir os pontos a distância menor ou igual ao raio. Uma cerca circular, por sua vez, é apenas o contorno. O conjunto permitido muda a resposta para a distância mínima.

d(P,\text{circunferência})=|CP-r|

r>0, P em qualquer posição e todos os pontos do contorno permitidos. Se P está no centro, todos os pontos do contorno ficam à distância r. No interior estrito, a distância ao contorno é positiva; na borda é zero. A distância à região fechada é zero em todo o disco.

A desigualdade triangular implica PQ≥|CP−CQ|. Para Q no contorno, CQ=r, então PQ≥|CP−r|. O limite é atingido escolhendo Q na direção radial de P. Se P=C, qualquer ponto do contorno fica à distância r. Para o disco fechado, um ponto interno já pertence à região, e a distância é zero.

d(P,\text{disco})=\begin{cases}0,&CP\le r\\CP-r,&CP>r\end{cases}

O disco inclui interior e borda e tem raio r>0. Um ponto dentro da região já pertence ao conjunto permitido; por isso a distância até ele é zero. A fórmula não é a distância até apenas a linha da circunferência.

Exemplo resolvido · Distância até uma cerca não é distância até uma área coberta

Uma região tem centro (0,0) e raio cinco quilômetros. Compare as distâncias mínimas de P=(1,0) e Q=(8,0) até o contorno e até a região fechada.

Resolução

Para P, CP=1. Até o contorno a distância é |1−5|=4 km, atingida em (5,0). Até a região, é zero, pois P já está dentro.
Para Q, CQ=8>5. Tanto até o contorno quanto até a região a distância é 8−5=3 km, com chegada em (5,0).
O modelo pressupõe trajetos retos permitidos e eixos em quilômetros com a mesma escala. Obstáculos, vias ou restrições de acesso exigiriam outras condições.

P: quatro quilômetros até o contorno e zero até a região; Q: três quilômetros em ambos os casos.

No contorno de raio cinco, o ponto (5,0) é a chegada mais próxima para P=(1,0) e Q=(8,0). P já pertence ao disco fechado; Q ainda está a três unidades dele.

29Organizar os dados antes de escolher o cálculo

Identifique o conjunto: contorno, disco fechado, interior ou uma interseção. Declare raio positivo e unidades compatíveis.
Leia os sinais do centro na forma reduzida e extraia a raiz do lado direito para obter r.
Na forma geral, normalize os coeficientes quadráticos antes de completar quadrados ou usar D,E,F.
Teste ρ: positivo produz circunferência; zero produz um ponto; negativo, conjunto vazio real.
Para classificar uma reta, compare a distância do centro com r. Para encontrar pontos, resolva o sistema e confira os pares.
Uma tangente no ponto usa um contato pertencente ao contorno. Por ponto externo, teste também uma possível vertical.
Ao comparar duas circunferências, use distância entre centros, soma e diferença absoluta dos raios; separe a coincidência.
A subtração de equações é uma condição auxiliar; mantenha uma equação original para encontrar a interseção.
Nos modelos, diferencie comprimentos, quadrados de comprimentos e distâncias ao contorno ou à região.

A próxima aula será Parábola. Partiremos novamente de uma condição geométrica de distâncias, agora com um foco e uma reta diretriz, antes de construir suas equações.

30Agora é com você

São 30 questões, incluindo 26 objetivas e quatro discursivas. Os dados variam em relação aos exemplos: reconheça centro e raio, desenvolva conversões e avance para posições relativas, tangências e aplicações. Nas discursivas, registre condições e confira os resultados nas equações originais.

Questão 1 de 300 conferidas

Fixação · Objetiva

Quais são centro e raio de (x−3)²+(y+2)²=49?

AC=(−3,2), r=7.BC=(3,−2), r=7.CC=(3,−2), r=49.DC=(−3,−2), r=7.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

31O que guardar desta aula

Circunferência é o lugar dos pontos a distância exatamente r>0 do centro. O disco fechado inclui interior e contorno.
A equação reduzida é (x−a)²+(y−b)²=r², com centro (a,b). Os sinais internos são opostos aos das coordenadas do centro.
Extremos de diâmetro determinam centro pelo ponto médio e raio pela metade do comprimento.
Isolar y fornece duas semicircunferências, com domínio a−r≤x≤a+r. A circunferência completa não é uma única função y de x.
Na forma normalizada x²+y²+Dx+Ey+F=0, completar quadrados fornece centro (−D/2,−E/2) e ρ=(D²+E²)/4−F.
ρ>0 dá raio √ρ; ρ=0 dá um ponto; ρ<0 dá conjunto vazio real. Coeficientes quadráticos precisam ser normalizados antes dessas fórmulas.
Compare CP² com r² para classificar um ponto. Três pontos distintos não colineares determinam uma única circunferência.
Reta secante tem distância do centro menor que r; tangente, igual; exterior, maior. A interseção exige resolver e conferir as duas equações.
A tangente em T é perpendicular ao raio CT. Por ponto externo há duas tangentes; uma delas pode ser vertical.
Potência é CP²−r², um número com sinal e unidade de comprimento ao quadrado. O segmento tangente externo mede a raiz dessa potência.
Uma corda a distância δ do centro mede 2√(r²−δ²), com 0≤δ<r para dois extremos distintos.
Duas circunferências próprias são comparadas por d, R+r e |R−r|. Centros e raios iguais significam coincidência, não tangência interna.
Subtrair duas equações normalizadas de centros distintos fornece o eixo radical; ele não garante interseções reais sozinho.
Um parâmetro angular usa x=a+r cos t e y=b+r sen t. O mesmo t deve gerar ambas as coordenadas.
A distância ao contorno é |CP−r|. Até a região fechada, a distância é zero no interior e CP−r no exterior.