Elipse

1Uma soma fixa para dois focos

Na parábola, comparávamos a distância a um ponto com a distância a uma reta. Agora fixamos dois pontos, os focos F₁ e F₂, e uma soma de comprimentos. A elipse reúne todos os pontos P cujas distâncias aos focos, somadas, dão esse mesmo valor. Não é necessário que as duas distâncias sejam iguais entre si.

Chamaremos de 2a a soma fixa e de 2c a distância entre os focos. Assim a é metade da soma, e c é metade da separação dos focos. Todas são medidas na mesma unidade. Trabalharemos primeiro com focos distintos e a>c>0; depois examinaremos os casos excluídos.

2Por que a soma deve superar a distância entre os focos

Ir de F₁ a F₂ passando por P não pode ser mais curto que ir diretamente de F₁ a F₂. Essa é a desigualdade triangular: PF₁+PF₂≥F₁F₂. A igualdade ocorre quando P está no segmento que liga os focos. Uma curva elíptica não degenerada exige soma estritamente maior.

Se os focos coincidirem em C e a>0, a soma será PC+PC=2a, isto é, PC=a: uma circunferência. Ela é o caso circular da elipse. Nesta aula, “elipse com focos distintos” terá a>b>0; o caso circular será indicado separadamente, sem forçar divisões por c=0.

3Centro, eixos, semieixos e focos

O centro C é o ponto médio dos focos. O eixo maior é o segmento com extremos no contorno que passa pelos focos, com comprimento 2a. Seu centro divide-o em dois semieixos de comprimento a. O eixo menor é perpendicular ao maior, passa pelo centro e mede 2b; cada metade mede b. Os extremos do maior são os vértices; os do menor também são chamados covértices.

Para ver por que o semieixo maior é a, coloque os focos em (−c,0) e (c,0). Um extremo à direita, de abscissa u>c, tem soma (u+c)+(u−c)=2u. Igualar a 2a dá u=a. No extremo do menor, (0,b), as duas distâncias são iguais a √(c²+b²); sua soma é 2a, então √(c²+b²)=a.

4Deduzir a equação pela definição

Considere F₁=(−c,0), F₂=(c,0), a>c>0. Chame r₁ e r₂ às distâncias de P=(x,y) a cada foco. A definição dá r₁+r₂=2a, e a fórmula de distância dá r₁²=(x+c)²+y² e r₂²=(x−c)²+y².

Isolar $r_1=2a-r_2$ e elevar ao quadrado fornece $r_1^2=4a^2-4ar_2+r_2^2$. Subtraindo os quadrados das distâncias, $r_1^2-r_2^2=(x+c)^2-(x-c)^2=4cx$. Logo $4cx=4a^2-4ar_2$, então $r_2=a-cx/a$.

Substituir em $r_2^2=(x-c)^2+y^2$ dá $a^2-2cx+c^2x^2/a^2=x^2-2cx+c^2+y^2$. Cancelar −2cx e reunir os termos produz $(1-c^2/a^2)x^2+y^2=a^2-c^2$. Com $b^2=a^2-c^2>0$, temos $(b^2/a^2)x^2+y^2=b^2$. Dividir por b² fornece a forma reduzida abaixo.

Elevar ao quadrado exige conferir a volta do argumento. A equação reduzida implica |x|≤a. Como c<a, os números a±cx/a são positivos, pois são pelo menos a−c>0. Substituir a equação nas distâncias ao quadrado dá r₁²=(a+cx/a)² e r₂²=(a−cx/a)². As raízes positivas são r₁=a+cx/a e r₂=a−cx/a; somam 2a. Portanto a equação não acrescentou pontos estranhos.

5O maior denominador acompanha o eixo maior

Os denominadores representam quadrados de comprimentos positivos. Por isso o maior denominador indica o maior semieixo. A letra a será sempre a maior medida: ela não pertence obrigatoriamente ao termo em x. Para focos alinhados verticalmente, basta trocar os papéis de x e y na dedução.

6Deslocar o centro conservando as medidas

Para levar o centro da origem a C=(h,k), substitua x por x−h e y por y−k. h e k são coordenadas fixas. Essa translação muda as posições dos elementos, mas conserva os comprimentos dos semieixos e a distância do centro aos focos.

7Reconstruir a elipse por seus elementos

Se o enunciado fornece focos, use o ponto médio para achar o centro e metade da distância entre eles para achar c. A soma fornece 2a. Se fornece vértices do eixo maior, metade da separação entre eles fornece a. Só então calcule b²=a²−c² e confira b²>0.

8Usar um ponto e verificar se os dados bastam

Quando falta uma medida, substitua um ponto conhecido na equação. É útil chamar A ao raio horizontal e B ao vertical: ambos positivos, sem supor A>B. Depois de encontrar os dois, o maior será a, e o menor, b. Isso evita usar uma orientação ainda não determinada.

9Completar quadrados e normalizar o lado direito

Uma forma reduzida tem soma de dois quadrados divididos por números positivos e lado direito um. Na forma geral sem xy, U,V,D,E,G são coeficientes reais fixos. Agrupe os termos em x e em y, complete os quadrados com as compensações e depois divida pelo lado direito positivo. Não leia semieixos antes dessa divisão.

10Sinais, ponto, vazio e caso circular

Depois de normalizar os coeficientes quadráticos para positivos, a soma dos quadrados não pode ser negativa. Se o lado direito é zero, ambos os quadrados precisam zerar ao mesmo tempo; se é positivo, podemos dividir. Esse teste evita chamar de elipse uma equação sem pontos reais.

Se os dois coeficientes quadráticos forem iguais e o lado direito normalizado positivo, os semieixos serão iguais e teremos circunferência. Se tiverem sinais opostos, não use a classificação acima; esse caso conduz a outros conjuntos, como a hipérbole. Se algum zera, investigue a equação restante antes de dividir. Um termo xy pode representar uma elipse rotacionada: o tratamento geral de rotação fica para aprofundamento.

11Restrições de parâmetros antes de calcular

12Contorno, região interior e simetrias

Substituir as duas coordenadas permite distinguir o contorno da região que ele delimita. Uma elipse como lugar geométrico é a curva; a região fechada inclui os pontos internos. Para conferir posições, compare a soma normalizada com um.

Como as coordenadas aparecem ao quadrado após subtrair o centro, trocar x−h ou y−k por seu oposto conserva a equação. De P=(u,v), obtemos (2h−u,v), (u,2k−v) e (2h−u,2k−v). São reflexões nos dois eixos de simetria e no centro. Para esboçar, marque primeiro centro, quatro extremos e focos; não altere a escala de um eixo sem indicar.

13Dois ramos e limites das coordenadas

Use A,B>0 como raios horizontal e vertical. Da equação reduzida, (y−k)²=B²[1−(x−h)²/A²]. A raiz real exige o termo entre colchetes não negativo. Como √(B²)=B, aparecem os dois sinais abaixo.

14Medir o alongamento sem confundir com tamanho

A excentricidade compara a distância centro-foco com o semieixo maior. Ela não tem unidade. Dividir c²=a²−b² por a² fornece e²=1−b²/a²; tomar a raiz não negativa dá a expressão abaixo.

Na circunferência e=0. Aproximar e de um faz b/a se aproximar de zero. Com a fixo, o limite vira um segmento; não é uma elipse de b>0. Por isso o intervalo próprio é 0<e<1 para focos distintos.

15A razão foco-diretriz na elipse

Também podemos associar uma diretriz a cada foco. Diferentemente da parábola, a razão da distância ao foco pela distância perpendicular à diretriz será e, menor que um. Sempre emparelhe os sinais: foco da direita com diretriz da direita; foco superior com diretriz superior.

No caso horizontal, ponha X=x−h. A dedução forneceu $PF_+=a-cX/a$. Como $|X|\le a$ e $a/e>a$, a distância até a diretriz da direita é $a/e-X$. Multiplicá-la por $e=c/a$ dá $e(a/e-X)=a-cX/a=PF_+$. O par da esquerda e o caso vertical seguem trocando os sinais ou as coordenadas. Em e=0 não existe a/e: o caso circular não tem essas diretrizes finitas.

16A corda pelo foco perpendicular ao eixo maior

Uma corda liga dois pontos do contorno. A corda focal perpendicular ao eixo maior passa por um foco, que fica no seu ponto médio. Para o eixo maior horizontal, substitua x=h+c na equação reduzida: c²/a²+(y−k)²/b²=1. Como 1−c²/a²=b²/a², obtemos (y−k)²=b⁴/a², logo y−k=±b²/a.

17Área da região e comprimentos dos eixos

A região delimitada por uma elipse pode ser obtida aplicando ao disco de raio um uma escala de fator a numa direção e de fator b na perpendicular. A escala em uma direção multiplica as áreas por a; a outra multiplica por b. Como a área do disco unitário é π, a região elíptica tem área πab. A curva é o contorno; esta medida se refere à região que ele delimita.

Área e comprimento do contorno são grandezas diferentes. Não use 2πa nem 2πb como perímetro geral da elipse: essas expressões são comprimentos de circunferências. O estudo de fórmulas e aproximações do perímetro não é necessário para os problemas desta aula.

18Percorrer o contorno com um parâmetro

A identidade cos²t+sen²t=1 sugere uma forma de gerar pontos sem resolver uma raiz a cada vez. Se A é o raio horizontal e B o vertical, tome x−h=A cos t e y−k=B sen t. Substituir na equação reduzida transforma a soma exatamente em cos²t+sen²t.

Todo ponto da elipse é atingido: suas coordenadas normalizadas ((x−h)/A,(y−k)/B) estão na circunferência unitária, onde podem ser escritas como (cos t,sen t). O intervalo de zero incluso a 2π excluído percorre o contorno uma vez, no sentido anti-horário. Incrementos iguais de t não garantem arcos de mesmo comprimento nem velocidade física constante.

19Encontrar pontos comuns com retas

Um ponto de interseção deve satisfazer as duas equações. Para y=mx+n, substitua a expressão de y na elipse e resolva a quadrática em x. Seu coeficiente de x² é positivo; o discriminante distingue duas soluções reais, raiz dupla e nenhuma solução real.

Uma reta vertical não está na forma y=mx+n, mas pode ser examinada substituindo x=q. Em x²/25+y²/9=1, x=0 tem dois encontros, x=5 tem apenas o contato (5,0) e x=6 não tem nenhum. A elipse é fechada: aqui uma reta com um único ponto comum é tangente; a exceção das retas paralelas ao eixo da parábola não se aplica.

20Tangente no ponto, incluindo os vértices

A tangente é a reta que acompanha a direção da curva no ponto de contato. Para a elipse em raios horizontal A e vertical B, a fórmula abaixo exige T=(tₓ,tᵧ) no contorno. Ela não divide por tₓ−h nem por tᵧ−k e, por isso, conserva os casos de tangentes verticais e horizontais.

É possível conferir essa reta sem derivadas. Normalize as coordenadas: $u=(x-h)/A$, $v=(y-k)/B$, $u_0=(t_x-h)/A$ e $v_0=(t_y-k)/B$. Na elipse, $u^2+v^2=u_0^2+v_0^2=1$. Portanto $(u-u_0)^2+(v-v_0)^2=2-2(u_0u+v_0v)\ge0$. Isso mostra que $u_0u+v_0v\le1$, com igualdade apenas em T. A reta de igualdade é a tangente: ela apoia a curva de um só lado e só a encontra em T.

21A normal é perpendicular à tangente

A normal passa pelo contato e é perpendicular à tangente. Na forma geral, basta trocar os coeficientes de x e y e mudar o sinal de um deles para obter uma direção perpendicular. A expressão abaixo já passa por T e evita divisões que falhariam nos extremos dos eixos.

No vértice (5,0), a normal da mesma elipse é y=0; em (0,3), é x=0. Nesses extremos ela coincide com um eixo e passa pelo centro. Não generalize esse comportamento para todos os contatos. Se A=B, voltamos à circunferência, onde toda normal passa pelo centro.

22Duas tangentes para cada coeficiente angular

Uma elipse tem duas tangentes paralelas de cada direção. Para deduzir o caso não vertical, escreva X=x−h e Y=y−k; a reta vira Y=mX+q, com q=mh+n−k. Substituir e multiplicar por A²B² fornece (B²+A²m²)X²+2A²mqX+A²(q²−B²)=0.

O discriminante é $\Delta=(2A^2mq)^2-4(B^2+A^2m^2)A^2(q^2-B^2)$. Ao distribuir e cancelar os termos em $A^4m^2q^2$, resulta $\Delta=4A^2B^2(A^2m^2+B^2-q^2)$. Como A,B são positivos, a raiz é dupla exatamente quando $q^2=A^2m^2+B^2$. Extraia os dois sinais e volte a n.

23Conferir as tangentes por um ponto dado

Para uma elipse real não degenerada, um ponto externo admite duas tangentes; um ponto do contorno, sua única tangente; um ponto interno, nenhuma. Ao usar a família y=mx+n, sempre examine possíveis verticais separadamente. Por exemplo, um ponto externo na vertical de um vértice pode ter uma delas como tangente.

24Da geometria dos focos à reflexão

Num espelho elíptico ideal, um raio que parte de um foco, encontra a superfície refletora e sofre reflexão especular se dirige ao outro foco. A normal no contato divide o ângulo interno formado pelos segmentos que ligam o contato aos focos; a tangente perpendicular divide o ângulo externo. Isso fornece ângulos de incidência e reflexão iguais, medidos em relação à normal.

A propriedade não afirma que todo som ou raio de um ambiente real siga esse caminho: é preciso uma superfície com a forma adequada e reflexão no lado apropriado. A translação do centro não muda a geometria dos focos. Nos vértices do eixo maior, o raio pode voltar pelo próprio eixo.

25Modelar um arco semielíptico

Um arco declarado semielíptico pode ser modelado pela metade superior da elipse. Coloque o centro na altura da base: as extremidades serão (−a,0),(a,0), o vão inteiro 2a e a altura máxima b. Ao isolar y, conserve a raiz positiva e o domínio físico.

Não basta um desenho parecer oval para supor esse modelo. O enunciado precisa informar que o arco é semielíptico ou fornecer dados que justifiquem a modelagem. Use a mesma unidade em todas as coordenadas e diferencie altura máxima de eixo menor inteiro.

26Distâncias a um foco em um modelo elíptico

Num modelo orbital elíptico ideal, o corpo central fica em um foco, não no centro geométrico. Para foco da direita e centro na origem, a dedução deu PF=a−cx/a. Como −a≤x≤a, a menor distância é a−c e a maior, a+c, atingidas nos vértices do eixo maior.

27Organizar os dados e conferir a resposta

• Separe soma 2a, eixos inteiros 2a e 2b, separação dos focos 2c e suas metades.
• Encontre centro e orientação antes de colocar os focos. O maior denominador da forma reduzida acompanha o eixo maior.
• Use a²=b²+c² com medidas positivas; verifique a>c e b²>0 para focos distintos.
• Complete quadrados com compensações e normalize o lado direito para um antes de ler semieixos.
• Trate denominadores nulos e casos ponto, vazio e circular antes de dividir ou usar c no denominador.
• Confira pontos substituindo as duas coordenadas; distinga igualdade do contorno e desigualdade da região.
• Para tangentes no ponto, exija pertencimento. Para uma família y=mx+n, examine também as verticais.
• Conserve unidades e o trecho físico nas aplicações; o parâmetro trigonométrico não é automaticamente ângulo polar nem tempo.

A próxima aula será Hipérbole: em vez de soma fixa, usaremos o módulo da diferença das distâncias aos focos. As condições e os sinais serão construídos desde a definição.

28Agora é com você

São 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Comece por definições e leitura dos elementos; depois avance para translações, equações gerais, restrições, interseções, tangentes e modelos. Nas discursivas, escreva as substituições e confira as condições.

29O que guardar desta aula

• Elipse é o contorno em que PF₁+PF₂=2a. Para focos distintos separados por 2c, a>c>0.
• Soma igual à separação dos focos produz o segmento entre eles; soma menor não produz pontos. Focos coincidentes e a>0 dão circunferência.
• a e b são semieixos, c é a distância centro-foco; eixos inteiros medem 2a e 2b. A relação é a²=b²+c².
• O maior denominador acompanha o eixo maior: no caso horizontal, x²/a²+y²/b²=1; no vertical, x²/b²+y²/a²=1.
• C=(h,k) desloca as coordenadas para x−h e y−k. Os focos variam ao longo do eixo maior, a uma distância c do centro.
• Complete quadrados e normalize antes de ler elementos. Coeficientes e lado direito precisam das condições de sinal; podem ocorrer ponto, vazio ou circunferência.
• O teste normalizado S distingue contorno S=1, interior S<1 e exterior S>1; a região fechada usa S≤1.
• A curva inteira tem dois ramos de y para abscissas internas ao intervalo horizontal. As raízes precisam de domínio e os extremos são incluídos.
• e=c/a está entre zero e um para focos distintos. Em e=0 temos circunferência; e=1 não é elipse própria.
• As diretrizes são perpendiculares ao eixo maior e ficam a distância a/e do centro. Emparelhe cada foco com a diretriz do mesmo lado.
• A corda focal perpendicular ao eixo maior mede 2b²/a. A área da região é πab, usando semieixos e unidades quadradas.
• x=h+A cos t e y=k+B sen t percorrem a curva uma vez em 0≤t<2π, com A,B como raios horizontal e vertical.
• Uma reta pode ter duas interseções, um contato tangente ou nenhum encontro. Tangentes verticais precisam de análise própria quando se usa y=mx+n.
• A normal é perpendicular à tangente no contato e não passa sempre pelo centro. No espelho ideal, a reflexão liga um foco ao outro.
• Modelos semielípticos mantêm a metade e o trecho físico; modelos orbitais medem a±c desde um foco, não desde o centro.