Fórmulas de Geometria Analítica

P nomeia o ponto. x é a abscissa, lida no eixo horizontal; y é a ordenada, lida no vertical. ℝ é o conjunto dos reais e ∈ significa pertence. O par é ordenado: a primeira coordenada e a segunda têm funções diferentes. Com decimais, podemos separar as coordenadas por ponto e vírgula.

Ox é o eixo horizontal e Oy, o vertical; O é a origem. ∈ significa pertence e ⇔ significa se, e somente se. A origem pertence aos dois eixos. Pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.

Os quadrantes são numerados a partir da região superior direita, no sentido anti-horário. + significa estritamente positivo e −, estritamente negativo. Coordenada zero coloca o ponto em um eixo, e não no interior de um quadrante.

As letras são coordenadas reais no mesmo sistema. Compare primeira com primeira e segunda com segunda. As duas igualdades precisam valer ao mesmo tempo; trocar as coordenadas não preserva um ponto em geral.

Pₓ e Pᵧ nomeiam os pés das perpendiculares aos eixos, não são os valores numéricos x e y. Na projeção sobre Ox, conserve x e zere y; sobre Oy, conserve y e zere x. Os eixos são perpendiculares.

P=(x,y) em um sistema cartesiano ortogonal com a mesma unidade de comprimento nos dois eixos. | | é o módulo: o valor não negativo da medida. A distância ao eixo horizontal usa a coordenada vertical; a distância ao vertical usa a horizontal.

Δ, lido delta, indica variação: valor final menos inicial. Os índices A e B identificam os pontos, não potências. As variações têm sinal e podem ser zero. Ao inverter o percurso, ambas trocam de sinal, mas a distância entre os pontos não muda.

A e B têm a mesma ordenada, no mesmo referencial. O módulo impede uma medida negativa e dá zero se os pontos coincidirem. Sem a hipótese de mesma ordenada, a expressão mede somente a separação horizontal.

A e B têm a mesma abscissa. Se ambas as coordenadas coincidem, a distância é zero. Sem a hipótese de mesma abscissa, a expressão mede somente a separação vertical.

A e B são pontos reais em eixos perpendiculares com a mesma unidade de comprimento. A raiz é a principal, não negativa. O radicando é sempre não negativo; a distância é zero exatamente quando A=B. A fórmula vem de Pitágoras e também vale nos casos horizontal e vertical.

O=(0,0) e P=(x,y), no mesmo sistema ortogonal e com unidades compatíveis. O resultado é não negativo. Apenas uma coordenada, ou a soma de seus módulos, não fornece em geral essa distância em linha reta.

As distâncias são reais e não negativas, por isso elevar ao quadrado conserva a equivalência. Uma equação geral com expressões de qualquer sinal exige outras verificações. Equidistante significa estar à mesma distância dos pontos indicados, sem garantir que P seja o ponto médio.

A reflexão em Ox preserva a coordenada horizontal e troca o sinal da vertical; em Oy ocorre o contrário. A simetria central de centro O troca os dois sinais. Um ponto sobre o eixo de reflexão fica fixo; na simetria central, somente O fica fixo.

M pertence ao segmento AB e satisfaz AM=MB. Calcule separadamente a média das abscissas e a média das ordenadas. Para A=B, a expressão ainda dá o próprio ponto. Ser equidistante dos extremos sem pertencer ao segmento não caracteriza o ponto médio.

A e M são conhecidos e M é o ponto médio de AB. As igualdades resultam de multiplicar cada média por dois e subtrair a coordenada de A. Não multiplique apenas uma parcela do numerador por dois.

t é um parâmetro real que representa a fração do percurso: t=0 dá A e t=1 dá B. Para A≠B, 0<t<1 dá pontos internos; t fora de [0,1] dá pontos da reta fora do segmento. O mesmo t deve funcionar nas duas coordenadas. Se A=B, a expressão é sempre A.

A≠B, P é interno ao segmento e AP,PB indicam comprimentos positivos. r é AP dividido por PB, nessa ordem; não é a fração do percurso inteiro. t=AP/AB. O denominador 1+r é positivo; r=1 fornece o ponto médio.

A≠B e P está na reta AB, fora do segmento. Para r>1, t>1 e P fica além de B; para 0<r<1, t<0 e P fica além de A. A razão usa comprimentos sem sinal. Não existe ponto externo finito com AP=PB para extremos distintos. Esta fórmula não substitui a da divisão interna.

A,B,C são vértices não colineares de um triângulo. G é o encontro das três medianas e divide cada uma na razão 2:1 a partir do vértice. Mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. A média de três pontos colineares existe, mas não é chamada aqui baricentro de um triângulo não degenerado.

s>0 é o comprimento real de uma unidade coordenada, na mesma unidade em ambos os eixos. Um desenho ampliado na tela não altera as coordenadas. Eixos com grandezas distintas, como tempo e preço, não representam automaticamente distâncias físicas por Pitágoras.

L é o menor comprimento de um percurso de A a B que usa somente trechos horizontais e verticais sem desvios ou impedimentos, na mesma unidade dos eixos. Não é em geral a distância euclidiana em linha reta; com obstáculos ou voltas, o trajeto pode ser maior.

k é real fixo; x percorre todos os reais. A ordenada é constante e o coeficiente angular é zero. Para k=0, a reta é o próprio eixo Ox. Não confunda y=k com x=k.

h é real fixo; y percorre todos os reais. A abscissa é constante e não existe coeficiente angular real: a divisão Δy/Δx teria denominador zero para dois pontos distintos. Para h=0, a reta é Oy.

A e B são pontos distintos de uma mesma reta não vertical, em ordem correspondente nas duas diferenças. m é a variação vertical por unidade de variação horizontal. Inverter a ordem nos dois lugares mantém m; inverter somente em um troca seu sinal.

Δ, lido delta, indica final menos inicial. A relação vale entre pontos de uma reta não vertical de coeficiente angular m. m não depende do par de pontos distintos escolhido nessa reta; isso expressa uma taxa constante.

A reta é não vertical e comparamos pontos com x crescente. O sinal de m, e não o sinal de uma coordenada isolada, determina o comportamento. Uma reta vertical não é classificada por m=0.

θ, lido teta, é a inclinação, medida no sentido anti-horário a partir do sentido positivo de Ox, com 0°≤θ<180°. O sistema é ortogonal e a medida geométrica do ângulo usa a mesma escala nos dois eixos. Horizontal tem θ=0°; vertical tem θ=90° e tangente indefinida. Para 90°<θ<180°, m é negativo.

P₀=(x₀,y₀) é um ponto conhecido e m é real. A fórmula representa a única reta não vertical com esses dados e inclui P₀, onde ambos os lados são zero. Não divida por x−x₀ e elimine esse ponto. Para reta vertical por P₀, use x=x₀.

m e n são reais fixos. m é o coeficiente angular; n é o coeficiente linear, a ordenada do ponto (0,n) de interseção com Oy. Não é, em geral, a abscissa onde a reta cruza Ox. Toda reta não vertical admite essa forma, incluindo a horizontal m=0.

m é conhecido e P₀=(x₀,y₀) pertence à reta não vertical. Substitua em y₀=mx₀+n e subtraia mx₀. As coordenadas de outro ponto conhecido precisam satisfazer a mesma equação.

a,b,c são reais fixos, com a e b não simultaneamente nulos. x,y são as coordenadas variáveis. A condição impede confundir uma reta com o plano inteiro ou o conjunto vazio. Multiplicar os três coeficientes por um mesmo real não nulo representa a mesma reta.

Isole by e divida a igualdade inteira por b≠0. Se b=0, a condição da forma geral exige a≠0 e a reta é vertical, x=−c/a; não tente usar as duas frações acima.

A igualdade ax+by+c=0 vira c=0. Se c=0, qualquer par real serve, formando o plano inteiro ℝ². Se c≠0, nenhum serve e o conjunto é vazio, ∅. Nenhuma dessas situações representa uma reta.

A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) são distintos. A expressão vem de igualar os produtos cruzados dos deslocamentos, sem dividir por diferenças de coordenadas. Por isso cobre retas verticais e horizontais. Se A=B, todos os coeficientes ficam nulos e não há reta única determinada.

A≠B é a base que determina a reta; C está nessa reta exatamente quando a igualdade vale. Não há divisão, então ela inclui casos verticais e horizontais. Para uma lista com pontos repetidos, escolha primeiro uma base distinta; todos coincidentes não determinam uma reta única.

As duas equações são de retas válidas. Multiplicar todos os coeficientes pelo mesmo real não nulo conserva todos os pontos e permite desfazer a operação. Para retas iguais, os trios são proporcionais. Multiplicar por uma expressão em x ou y, ou por zero, não é a mesma operação.

Em ax+by+c=0, a fórmula de X exige a≠0 e a de Y exige b≠0. Elas vêm de substituir y=0 ou x=0. Se um denominador é zero, examine a equação: a reta pode não encontrar esse eixo ou coincidir com ele. Os interceptos são coordenadas com sinal, não comprimentos obrigatoriamente positivos.

A reta encontra Ox em (p,0) e Oy em (0,q), com interceptos reais não nulos. Para uma forma geral, isso exige a,b,c não nulos. Retas que passam pela origem, verticais e horizontais não admitem essa escrita com p e q reais não nulos. p ou q podem ser negativos.

P₀=(x₀,y₀) pertence à reta, e o par de direção (u,v) não é (0,0). O mesmo t real é usado nas duas coordenadas. t não é automaticamente tempo nem distância. Se u=v=0, a imagem é apenas P₀, não uma reta.

Na parametrização com direção não nula (u,v), u é a variação horizontal por unidade de t e v, a vertical. Se u=0, a reta é vertical; se v=0 e u≠0, é horizontal. Multiplicar u e v por um mesmo real não nulo conserva a reta, com outra numeração do parâmetro.

Use P=P₀+t(u,v), com direção não nula. O segmento é de P₀ a P₀+(u,v); a semirreta parte de P₀ no sentido (u,v). Alterar o domínio altera o conjunto de pontos, mesmo que as expressões de x e y sejam iguais.

P₀ é conhecido e (u,v)≠(0,0). A equação descreve a reta da parametrização com t real irrestrito, inclusive se u=0 ou v=0. Se t estiver restrito, conserve também as restrições necessárias para representar apenas o trecho original.

u≠0 e v≠0. As duas frações são o mesmo parâmetro t na reta completa. Se uma componente for zero, use as equações paramétricas ou a forma horizontal/vertical; não escreva divisão por zero.

Cada equação deve representar uma reta válida. Um ponto comum satisfaz as duas simultaneamente. O sistema pode ter um ponto, nenhum ou infinitos. Não combine x de uma solução com y de outra; substitua o par final em ambas.

As equações são y=m₁x+n₁ e y=m₂x+n₂, com coeficientes reais. Retas concorrentes têm um único ponto comum; coincidentes têm todos; paralelas distintas não têm ponto comum no plano. As verticais precisam ser tratadas por x=h ou pela forma geral.

r:a₁x+b₁y+c₁=0 e s:a₂x+b₂y+c₂=0 são retas válidas: cada par (aᵢ,bᵢ) é não nulo. D≠0 significa um único ponto comum. D=0 exige distinguir paralelismo e coincidência; não significa automaticamente retas distintas.

D=a₁b₂−a₂b₁≠0. Os cᵢ são os termos da forma com tudo à esquerda, ax+by+c=0. As fórmulas vêm da eliminação no sistema; substituir o par final nas duas equações evita erros de sinal.

Para duas retas válidas, as três igualdades simultâneas equivalem a trios de coeficientes proporcionais por um fator não nulo: as retas coincidem. Se a primeira vale e alguma das outras falha, são paralelas distintas. O teste evita razões com denominador zero.

r:ax+by+c=0 é válida e P=(x₀,y₀) é conhecido. A equação conserva a direção de r e passa por P. É paralela distinta quando P não pertence a r; coincide com r quando P pertence. Se o enunciado exige reta distinta, verifique essa condição.

Ambas as retas precisam ser não verticais. Nesse caso são perpendiculares exatamente quando o produto vale −1. Para obter m₂=−1/m₁ é preciso ainda m₁≠0. Uma horizontal tem como perpendicular uma vertical, caso que essa escrita não cobre.

As duas equações gerais representam retas válidas, em eixos ortogonais com a mesma unidade de comprimento. O teste inclui horizontal com vertical e não exige divisão por coeficientes. Retas perpendiculares formam ângulo reto e são concorrentes no plano.

r:ax+by+c=0 é válida e P=(x₀,y₀) é conhecido. A nova reta passa por P e é perpendicular a r, inclusive nos casos a=0 ou b=0. Os coeficientes (b,−a) são não nulos como par.

Para ax+by+c=0, com (a,b)≠(0,0), um deslocamento (b,−a) conserva ax+by; o par normal (a,b) é perpendicular à direção. Normal significa perpendicular. Esses pares são deslocamentos, não pontos obrigatórios da reta.

As duas retas são não verticais e 1+m₁m₂≠0. φ é o menor ângulo, 0°≤φ≤90°; o módulo escolhe a tangente não negativa. Se 1+m₁m₂=0, φ=90° e não se calcula essa divisão. Para direções paralelas, φ=0°.

As duas retas são válidas; eixos ortogonais, mesma unidade de comprimento; 0°≤φ≤90°. A expressão inclui verticais, paralelas e perpendiculares. O módulo fornece o menor ângulo entre as direções, não um ângulo orientado nem necessariamente o ângulo interno indicado em um polígono.

As retas são válidas e a₁a₂+b₁b₂≠0. Se esse denominador for zero, o ângulo é 90°. O numerador zero indica direções paralelas e φ=0°. A fórmula inclui retas verticais, desde que o denominador indicado não zere.

H pertence à reta r e PH é perpendicular a r; Q é qualquer ponto de r. A igualdade ocorre apenas para Q=H. Se P já pertence a r, H=P e a distância é zero. O argumento é euclidiano e usa Pitágoras.

P=(x₀,y₀), r:ax+by+c=0, (a,b)≠(0,0), portanto N>0. K é o resultado da substituição do ponto na expressão da reta, com sinal. H pertence a r e é o pé da perpendicular; quando K=0, H=P.

P=(x₀,y₀) e r:ax+by+c=0 é válida; eixos ortogonais e mesma unidade de comprimento. d≥0 e vale zero exatamente quando P pertence a r. O módulo é indispensável; multiplicar a equação inteira por qualquer real não nulo não altera a distância.

P=(x₀,y₀), h e k reais fixos, em eixos ortogonais de mesma unidade. Para Ox, k=0; para Oy, h=0. O comprimento considera apenas a coordenada que varia no trajeto perpendicular.

H é a projeção ortogonal de P na reta. A reflexão deixa H como ponto médio de PP′, com o segmento perpendicular ao eixo de reflexão. Se P pertence ao eixo, P′=P. Refletir não é apenas trocar sinais das coordenadas em uma reta qualquer.

As equações precisam estar escritas ax+by+c₁=0 e ax+by+c₂=0, com exatamente os mesmos a,b e (a,b)≠(0,0). Normalize primeiro, inclusive os sinais. Se c₁=c₂, as retas coincidem e d=0; concorrentes também têm distância mínima zero, mas não se usa esta fórmula nelas.

r é válida e d≥0 é a distância desejada, na mesma unidade das coordenadas. Para d>0, as duas escolhas do sinal dão duas paralelas distintas, uma de cada lado. Para d=0, ambas dão a própria reta. Não admita d negativo como comprimento.

As duas retas são válidas e usamos distância perpendicular, não apenas o valor absoluto do numerador. Para concorrentes, o lugar geométrico é a união das duas bissetrizes; para paralelas distintas, é a paralela média; para coincidentes, qualquer ponto do plano é equidistante.

As retas são concorrentes. Cada escolha do sinal fornece uma bissetriz, e as duas são perpendiculares. É necessário especificar qual ângulo ou região para escolher uma só; o sinal mais não significa universalmente bissetriz interna. Alterar o sinal de uma equação apenas troca os nomes das duas escolhas.

A≠B e M=((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2) é o ponto médio de AB. A mediatriz é perpendicular ao segmento em M e reúne exatamente os pontos equidistantes de A e B. Se A=B, qualquer ponto é equidistante e não há mediatriz única.

A≠B e r_AB é a reta inteira por A e B. A altura é a distância perpendicular do terceiro ponto à reta suporte, mesmo se a projeção cair fora do segmento AB. A área é não negativa; para C na reta, S=0 e a figura é degenerada.

Coordenadas no mesmo sistema ortogonal, com a mesma unidade de comprimento. Na escrita empilhada, (u,v)=B−A e (p,q)=C−A são os dois pares de deslocamentos. A expressão vem de base vezes altura e inclui área zero para pontos colineares. Inverter dois vértices troca o sinal do interior do módulo, conservando a área. A unidade da área é a unidade de comprimento ao quadrado.

A≠B, (u,v)=B−A, P=(pₓ,pᵧ). O asterisco identifica o parâmetro que produz a projeção na reta A+t(u,v); não é multiplicação. A projeção pertence ao segmento exatamente quando esse parâmetro está entre zero e um, inclusive.

A≠B e t com asterisco é o parâmetro da projeção na reta suporte. A distância ao segmento é o comprimento até o ponto selecionado. Quando A=B, o segmento é um único ponto e a distância é PA, sem usar o denominador u²+v². Não substitua automaticamente a distância ao segmento pela distância à reta.

C é o centro fixo, P um ponto variável e r o raio real positivo. Circunferência é o contorno, não toda a região interna. O sistema de coordenadas é ortogonal e usa a mesma unidade de comprimento nos dois eixos.

Centro C=(a,b), raio r>0, x,y reais. A equação vem de CP²=r², equivalência válida porque CP e r são não negativos. O sinal dentro de cada parêntese é o oposto da respectiva coordenada do centro. O lado direito é r², não r.

É o caso a=b=0. Interseções com os eixos são (±r,0) e (0,±r). O raio não é o valor de x ou de y em todos os pontos: ele é a distância ao centro.

r>0. Na apresentação empilhada, d é a distância do ponto ao centro. O círculo fechado reúne interior e contorno, usando ≤; o disco aberto usa < e exclui o contorno. A classificação compara distâncias ao quadrado, sem precisar extrair raízes.

A e B são extremos distintos de um diâmetro, não apenas de uma corda qualquer. O centro é o ponto médio e o raio é metade do comprimento AB. Se A=B, não se determina uma circunferência de raio positivo por esse diâmetro.

r>0 e a raiz é a principal, não negativa. A escolha mais descreve a metade superior; a menos, a inferior. Nos extremos do intervalo as duas se encontram. A circunferência completa não associa um único y a cada x interior; cada semicircunferência, separadamente, o faz.

D,E,F são coeficientes reais fixos. Os coeficientes de x² e y² estão igualados a um e não há termo xy. Essa forma pode representar circunferência, ponto ou conjunto vazio: complete quadrados ou teste o valor de ρ antes de afirmar que existe raio positivo.

D é real. Metade do coeficiente linear é D/2; seu quadrado é somado e subtraído, conservando a expressão. A mesma identidade vale para y²+Ey. Não acrescente o quadrado em apenas um lado da igualdade.

A equação está normalizada como x²+y²+Dx+Ey+F=0. ρ, lido rô, é o lado direito após completar quadrados. Só se ρ>0 há circunferência própria, com raio r=√ρ; ρ não é o próprio raio.

A equação é (x−a)²+(y−b)²=ρ, com a,b,ρ reais. Soma de quadrados reais é não negativa. Para ρ=0, ambos os quadrados são zero e resta (a,b); para ρ<0, não existe ponto real. Um ponto é um caso degenerado, não uma circunferência de raio positivo.

A≠0, coeficientes reais, sem termo xy. Divida toda a equação por A antes de usar as fórmulas do centro e de ρ. A pode ser negativo. Se A=0, examine a equação restante como linear ou constante; não divida por zero.

Os três pontos dados são distintos e não colineares: nessas condições existe uma única circunferência por eles. Substitua cada par e resolva o sistema linear em D,E,F; depois complete quadrados. Três pontos distintos colineares não pertencem a uma circunferência; dados repetidos não fornecem três condições independentes.

r>0 e δ=d(C,ℓ)≥0 é a distância perpendicular do centro à reta válida ℓ. A classificação é do contorno. Na tangência, o único ponto é a projeção do centro sobre a reta.

C=(a,b) e ℓ:ux+vy+w=0, com (u,v)≠(0,0). Compare δ com o raio r, e não com r². O módulo envolve a substituição inteira. A fórmula inclui retas horizontais e verticais.

A circunferência tem centro (a,b), raio r>0 e a reta é y=mx+n. O índice q identifica os coeficientes da equação quadrática; C com índice q não é o centro. O coeficiente de x² é positivo, portanto a equação continua sendo de segundo grau. Para uma reta vertical, substitua x diretamente em vez de inventar um m real.

Nas condições da substituição y=mx+n, Δ>0 dá duas interseções, Δ=0 uma e Δ<0 nenhuma real. Cada raiz x deve ser recolocada na mesma reta para obter seu y. O símbolo Δ, lido delta, é aqui o discriminante, não o determinante de posições relativas.

T=(tₓ,tᵧ) precisa pertencer à circunferência de centro (a,b) e raio r>0. A normal da tangente é o raio CT, não nulo. A construção inclui a tangente vertical. Não substitua um ponto externo nesta fórmula como se fosse ponto de tangência.

T pertence à circunferência própria. Substituir x−tₓ=(x−a)−(tₓ−a), e analogamente em y, usa (tₓ−a)²+(tᵧ−b)²=r². Para centro na origem, a forma é tₓx+tᵧy=r².

Centro C=(a,b), raio r>0 e reta ux+vy+w=0 válida. Ao procurar parâmetros, conserve ambos os sinais do módulo. Se u e v também dependem de um parâmetro, confira antes se a equação continua sendo uma reta.

Circunferência de raio r>0 e ponto P no mesmo plano. As tangentes são retas distintas. Uma busca apenas por y=mx+n pode omitir uma solução vertical; teste essa possibilidade separadamente.

P=(pₓ,pᵧ), C=(a,b), r>0. p minúsculo é um número com sinal, chamado potência de P: negativo no interior, zero no contorno e positivo no exterior. Tem unidade de comprimento ao quadrado; não é por si só o comprimento de uma tangente.

P é externo, T é ponto de tangência e r>0. O triângulo CTP é retângulo em T e a raiz é não negativa. No caso limite P na circunferência, o segmento tem comprimento zero, mas ainda existe uma reta tangente. Para P interno, não há tangente real e não se usa raiz de número negativo.

r>0 e δ é a distância do centro à reta suporte da corda. Para dois extremos distintos, 0≤δ<r. A perpendicular do centro encontra o ponto médio da corda. Para δ=0, L=2r é um diâmetro; δ=r é o caso limite de um único ponto e comprimento zero.

R,r>0 e d é a distância entre os centros. Se d=0 e R=r, são coincidentes e têm infinitos pontos comuns; esse caso fica fora das cinco linhas. Se d=0 e R≠r, são concêntricas distintas, incluídas no último caso. O número de pontos comuns se refere aos contornos, não à sobreposição dos discos.

As equações são x²+y²+Dᵢx+Eᵢy+Fᵢ=0. Para centros diferentes, a diferença é a reta dos pontos de igual potência, chamada eixo radical. Todo ponto comum pertence a ela, mas é preciso resolver também uma equação original. Se as circunferências não se encontram, o eixo ainda pode existir. Centros iguais exigem tratar coincidência ou contradição, pois a diferença não será uma reta válida.

Centro (a,b), r>0, t é um ângulo em radianos, e π é a constante pi. O intervalo percorre a circunferência uma vez sem repetir o ponto inicial. Com t real irrestrito, os pontos se repetem a cada 2π. t não é tempo nem comprimento de arco sem uma relação adicional.

r>0, P em qualquer posição e todos os pontos do contorno permitidos. Se P está no centro, todos os pontos do contorno ficam à distância r. No interior estrito, a distância ao contorno é positiva; na borda é zero. A distância à região fechada é zero em todo o disco.

O disco inclui interior e borda e tem raio r>0. Um ponto dentro da região já pertence ao conjunto permitido; por isso a distância até ele é zero. A fórmula não é a distância até apenas a linha da circunferência.

F é um ponto fixo, chamado foco, e ℓ é uma reta fixa, a diretriz, com F fora de ℓ. P varia no plano. A distância até a reta é perpendicular. Eixos ortogonais usam a mesma unidade de comprimento. A condição define uma parábola própria.

Nesta aula, p≠0 é o deslocamento do vértice V ao foco na coordenada do eixo, com sinal. A distância é |p|, sempre positiva. p>0 indica abertura no sentido positivo do eixo, e p<0 no negativo. Outra convenção pode chamar de parâmetro a distância foco-diretriz: nessa convenção a medida seria 2|p|.

V=(0,0), foco F=(0,p), diretriz y=−p e eixo x=0. Para p>0 abre para cima; para p<0, para baixo. O coeficiente que multiplica y é 4p, não o próprio p.

V=(0,0), foco F=(p,0), diretriz x=−p e eixo y=0. Para p>0 abre à direita; para p<0, à esquerda. A coordenada elevada ao quadrado varia perpendicularmente ao eixo.

h,k são reais e p≠0. O vértice V é o ponto médio entre F e sua projeção na diretriz. A simetria troca x por 2h−x, conservando y. p>0 abre para cima; p<0 para baixo.

h,k são reais e p≠0. A simetria troca y por 2k−y, conservando x. p>0 abre à direita; p<0 à esquerda. Não inverta as coordenadas de foco e vértice ao comparar com o caso vertical.

Se colocarmos p=0 nas formas reduzidas, resta uma reta inteira, não uma parábola própria. Geometricamente, foco sobre a diretriz também faz a condição de equidistância produzir a perpendicular à diretriz pelo foco. Por isso F fora de ℓ e p≠0 são condições essenciais.

f,g,d são reais e g≠d. A diretriz horizontal produz eixo vertical; o vértice tem a mesma abscissa do foco. A diferença com sinal determina o lado da abertura. Depois use (x−h)²=4p(y−k).

f,g,d são reais e f≠d. A diretriz vertical produz eixo horizontal. Depois use (y−k)²=4p(x−h). A distância foco-diretriz é o dobro da distância vértice-foco.

V=(h,k), o eixo foi declarado vertical e Q=(u,v) é um ponto dado fora do eixo, com u≠h e v≠k. A fórmula vem da substituição na equação e fornece p≠0. Se Q=V, o dado não determina p; se apenas uma das diferenças for zero, os dados são incompatíveis com uma parábola própria de eixo vertical.

p≠0. A corda passa pelo foco e é perpendicular ao eixo; também é chamada lado reto ou latus rectum. Seu ponto médio é F. O módulo conserva o comprimento positivo quando p<0.

p≠0, para (y−k)²=4p(x−h). A corda é vertical, passa pelo foco e tem ponto médio F. Os sinais ±2p fornecem o mesmo par de extremos, mas o comprimento usa 4|p|.

p≠0 e x pode ser qualquer real. Para p>0, a imagem é y≥k; para p<0, é y≤k. Imagem é o conjunto de ordenadas produzidas. O vértice é mínimo ou máximo, respectivamente.

p≠0. Para p>0, x≥h; para p<0, x≤h. Nos x além do vértice no lado permitido, aparecem duas ordenadas. A curva completa não é uma única função y de x; pode ser escrita como x=h+(y−k)²/(4p), com y real irrestrito.

a,b,c são reais fixos; h,k são as coordenadas do vértice. Complete quadrados para obter y=a(x−h)²+k e compare com 1/(4p). O coeficiente a não é o parâmetro focal p. Se a=0, a relação é linear ou constante, não uma parábola própria.

A e C precisam ser não nulos. Complete o quadrado em x e isole y; a forma reduzida é (x−h)²=4p(y−k). Se C=0, pode haver duas retas paralelas, uma reta ou conjunto vazio; se A=0, examine a relação linear ou constante. Letras maiúsculas são coeficientes, não pontos.

A≠0 e C≠0. Complete o quadrado em y e isole x. As formas desta aula tratam de eixos paralelos aos eixos coordenados; a presença de xy exige outro tratamento e não autoriza descartar a possibilidade de uma parábola rotacionada.

P pertence à parábola própria. A distância à diretriz é positiva: se fosse zero, P teria de ser o foco e estar na diretriz, o que foi excluído. e é a razão das duas distâncias, chamada excentricidade; aqui vale um em qualquer ponto da curva.

p≠0 e a reta é y=mx+n. A equação quadrática tem coeficiente de x² igual a um: discriminante positivo dá duas interseções, zero dá tangência e negativo nenhuma interseção real. A reta vertical x=q, paralela ao eixo, fica fora desse teste: tem um ponto comum e não é tangente.

T=(tₓ,tᵧ) pertence a (x−h)²=4p(y−k), com p≠0. O coeficiente angular da tangente é (tₓ−h)/(2p). No vértice, ela é horizontal y=k; não há tangente vertical a uma parábola de eixo vertical.

T pertence a (y−k)²=4p(x−h), p≠0. No vértice a tangente é vertical x=h; os outros pontos têm tangentes não verticais. A fórmula não divide por tᵧ−k e conserva o caso do vértice.

p≠0, m real e parábola (x−h)²=4p(y−k). O contato tem tₓ=h+2pm e tᵧ=k+pm². A fórmula vem de discriminante zero ou da tangente no ponto. Uma reta paralela ao eixo, x=q, não é uma solução perdida desta família.

p≠0 e T pertence à curva. Normal é a reta por T perpendicular à tangente, não necessariamente a reta que liga T ao foco. No vértice, a normal coincide com o eixo x=h.

p≠0 e T pertence à curva. No vértice, a normal é horizontal y=k. Os coeficientes de x e y das retas tangente e normal satisfazem o teste de perpendicularidade da aula de posições relativas.

p≠0. O mesmo parâmetro real t gera as duas coordenadas e percorre a curva inteira, sem repetição. Sua inversa é t=(x−h)/(2p). t não é automaticamente ângulo nem tempo.

p≠0. A inversa é t=(y−k)/(2p), mostrando que cada ponto da parábola é atingido uma vez. Restringir t seleciona somente um trecho e precisa ser mantido no modelo.

Perfil y=x²/(4p), com p>0; W>0 é a largura total na borda e d>0 é a profundidade, ambas na mesma unidade. A borda tem x=±W/2 e y=d. A distância focal p é medida do vértice ao foco; não é necessariamente igual à profundidade d.

Os focos são fixos e distintos; a>c>0. P percorre o contorno da elipse. Eixos ortogonais usam a mesma unidade de comprimento. A soma é 2a; a distância entre os focos é 2c, não c.

Focos distintos, c>0 e soma prescrita 2a positiva. Pela desigualdade triangular, a soma não pode ser menor que F₁F₂; a igualdade ocorre no segmento entre os focos, incluindo extremos. Focos coincidentes com a>0 produzem uma circunferência, caso circular da elipse.

Para focos distintos, a>b>0 e c>0. a é o semieixo maior; b, o menor; c, a distância do centro a cada foco. Os eixos medem 2a e 2b. Para o caso circular, a=b>0 e c=0. Não use a²+b² para calcular c².

a>b>0, c²=a²−b². Focos (±c,0), vértices do eixo maior (±a,0), extremos do menor (0,±b). O maior denominador está sob a coordenada do eixo maior. Os denominadores são quadrados das medidas.

a>b>0, c²=a²−b². Focos (0,±c), vértices (0,±a), extremos do menor (±b,0). A letra a continua designando a maior medida, mesmo sob y².

a>b>0 e c=√(a²−b²). h,k são coordenadas fixas do centro. As retas de simetria são y=k e x=h. B₁,B₂ nomeiam os extremos do eixo menor, também chamados covértices.

a>b>0 e c=√(a²−b²). O maior denominador acompanha y−k. A translação muda o centro, não as medidas a,b,c. Coordenadas dos focos variam ao longo do eixo maior.

F₁=(f₁,g₁) e F₂=(f₂,g₂). O centro é o ponto médio calculado coordenada a coordenada. A soma das distâncias fornece 2a, com a>c>0. Para as formas horizontal/vertical, os focos precisam estar na mesma horizontal ou vertical.

Na equação (x−h)²/A²+(y−k)²/B²=1, A>0 é o raio horizontal conhecido e B>0 o vertical desconhecido. Q=(u,v) tem v≠k e |u−h|<A. Esses dados garantem denominador positivo. Um extremo (h±A,k) não determina B; dados incompatíveis precisam ser tratados antes de dividir.

U,V são não nulos. Para classificar o caso elíptico, normalize o sinal para U,V>0: R>0 fornece raios ao quadrado R/U e R/V; R=0, um ponto; R<0, conjunto vazio. Se U=V e R>0, é circunferência. Coeficientes de sinais opostos não satisfazem este teste.

A,B>0 são os raios horizontal e vertical. A curva inteira não é uma única função y de x: para h−A<x<h+A existem duas ordenadas. Cada escolha do sinal define um ramo; a imagem do superior é [k,k+B], e a do inferior [k−B,k].

A,B>0. Para Q=(u,v), S=1 indica contorno; S<1, interior; S>1, exterior. A região fechada usa S≤1. O centro tem S=0 e fica dentro, não no contorno.

a>b>0. A excentricidade é adimensional e depende da razão b/a, não do tamanho absoluto. Quanto mais próxima de um, mais alongada a elipse. No caso circular, e=0; e=1 não é elipse própria de b>0.