Hipérbole

1Uma diferença fixa e dois ramos

Na elipse, fixávamos a soma das distâncias aos focos. Agora fixamos quanto uma distância supera a outra. O módulo permite contar essa diferença como comprimento positivo, sem escolher de início qual foco é o mais próximo. O conjunto completo tem dois ramos, duas partes separadas que se prolongam indefinidamente.

F₁ e F₂ são pontos fixos chamados focos. A distância entre eles será 2c, e o módulo da diferença será 2a. Assim c mede metade da separação dos focos; a mede metade da diferença prescrita. Nas hipérboles próprias desta aula, 0<a<c. Não é a soma das distâncias que permanece constante.

2Por que a diferença é menor que a separação dos focos

A desigualdade triangular também limita uma diferença. De PF₁≤PF₂+F₁F₂ obtemos PF₁−PF₂≤F₁F₂. Trocando os focos, PF₂−PF₁≤F₁F₂. Juntas, essas desigualdades dizem que |PF₁−PF₂|≤F₁F₂. Para uma hipérbole própria, a diferença fica estritamente entre zero e essa separação.

Se os focos coincidissem, a diferença seria zero em todo o plano e nunca seria positiva. Por isso os focos distintos e a>0 são condições da definição de hipérbole própria. O módulo não permite uma diferença prescrita negativa.

3Centro, eixo transverso e eixo conjugado

O centro C é o ponto médio dos focos. O eixo real, também chamado transverso, é o segmento que liga os dois vértices; ele está na reta dos focos e mede 2a. Cada vértice fica a distância a do centro. O eixo conjugado é perpendicular ao transverso, passa por C e mede 2b. Seus extremos servem à construção do gráfico e não pertencem à curva.

As letras a,b,c não conservam todos os papéis da elipse: aqui a não significa semieixo maior. b pode superar a. Definiremos b pela relação abaixo; ela aparecerá na dedução da equação e no retângulo que orienta as assíntotas.

4Da diferença à equação horizontal

Coloque F₁=(−c,0), F₂=(c,0), com c>a>0. No ramo da direita, F₂ é mais próximo. Chame r₁=PF₁ e r₂=PF₂: r₁−r₂=2a, então r₁=r₂+2a. As distâncias ao quadrado são r₁²=(x+c)²+y² e r₂²=(x−c)²+y².

Elevar $r_1=r_2+2a$ ao quadrado dá $r_1^2-r_2^2=4ar_2+4a^2$. Pela diferença dos quadrados das distâncias, o lado esquerdo é $(x+c)^2-(x-c)^2=4cx$. Portanto $4cx=4ar_2+4a^2$ e $r_2=cx/a-a$.

Substituir em $r_2^2=(x-c)^2+y^2$ e desenvolver fornece $c^2x^2/a^2-2cx+a^2$ no lado esquerdo e $x^2-2cx+c^2+y^2$ no direito. Cancelar −2cx e reunir dá $(c^2/a^2-1)x^2-y^2=c^2-a^2$. Como $b^2=c^2-a^2>0$, temos $(b^2/a^2)x^2-y^2=b^2$. Dividindo por b², chegamos à forma reduzida.

É preciso conferir a volta após elevar ao quadrado. A equação implica x²/a²≥1, então x≥a ou x≤−a. No ramo direito, cx/a−a≥c−a>0; substituindo a equação nas distâncias, recuperamos r₂=cx/a−a e r₁=cx/a+a, ambas positivas e com diferença 2a. No esquerdo, a simetria troca as distâncias e produz diferença −2a. O módulo inclui os dois ramos, sem pontos estranhos.

5O termo positivo determina a direção dos ramos

Com lado direito um, o termo positivo indica o eixo transverso: x² positivo abre à esquerda e à direita; y² positivo abre para cima e para baixo. O maior denominador não determina a orientação. Para o caso vertical, troque os papéis das coordenadas na dedução.

6Deslocar o centro e os elementos

Se o centro é C=(h,k), use os deslocamentos x−h e y−k. A translação muda posições, mas conserva a,b,c. Identifique o centro pelos sinais dentro dos quadrados antes de somar os deslocamentos dos vértices e focos.

7Construir o retângulo auxiliar e as assíntotas

No caso horizontal, marque as retas x=h±a e y=k±b. Elas formam um retângulo auxiliar com centro C, largura 2a e altura 2b. As diagonais prolongadas são as assíntotas, retas das quais os ramos ficam cada vez mais próximos ao se afastar. O retângulo não é uma fronteira que prende a curva.

8Por que os ramos se aproximam das assíntotas

No ramo direito superior com centro na origem, $y=(b/a)\sqrt{x^2-a^2}$ para x≥a. A assíntota correspondente tem altura (b/a)x. A diferença vertical é $(b/a)(x-\sqrt{x^2-a^2})$. Racionalizar o parêntese dá $x-\sqrt{x^2-a^2}=a^2/(x+\sqrt{x^2-a^2})$. Assim a diferença é $ab/(x+\sqrt{x^2-a^2})$; o numerador é fixo e o denominador cresce sem limite. A diferença se aproxima de zero.

Os outros trechos seguem por simetria. Para centro deslocado, trabalhe com x−h e y−k. A afirmação de não cruzamento foi demonstrada para essas hipérboles; não a transforme em uma regra universal sobre qualquer função que tenha assíntota.

9Reconstruir a equação com os dados do problema

10Usar um ponto sem dividir por zero

Quando o centro, a orientação e a medida a são conhecidos, um ponto adequado pode determinar b. Substitua antes de isolar; confira se o ponto respeita a faixa permitida. Um vértice repetido não acrescenta informação sobre b.

11Completar quadrados e ler o sinal após a divisão

Nas formas sem xy, coeficientes quadráticos de sinais opostos permitem a estrutura hiperbólica. Na expressão abaixo, U,V,D,E,G são números reais fixos; UV<0 significa que U e V têm sinais opostos. Agrupe x e y, complete quadrados com as compensações e só depois normalize o lado direito. Um lado direito negativo pode trocar qual termo fica positivo.

12O caso de duas retas e os parâmetros proibidos

13Dois ramos não significam sempre duas funções y de x

No caso horizontal, isolar y exige (x−h)²/a²−1≥0, ou |x−h|≥a. Cada sinal da raiz escolhe a parte acima ou abaixo de y=k nos dois ramos. Os ramos geométricos são esquerdo e direito; não os confunda com esses sinais da ordenada.

A equação também mostra simetria: de P=(u,v), obtemos (2h−u,v), (u,2k−v) e (2h−u,2k−v). Para testar pertinência, substitua as duas coordenadas; o centro sempre deixa zero no lado esquerdo da forma reduzida, em vez de um.

14Excentricidade e diretrizes

A excentricidade continua sendo e=c/a, uma razão sem unidade. Agora c²=a²+b², então dividir por a² dá e²=1+b²/a². Como b>0, e é estritamente maior que um. Não é necessário que a supere b.

No caso horizontal, ponha X=x−h. A dedução e sua conferência dão $PF_+=|cX/a-a|$. A distância à diretriz do mesmo sinal é $|X-a^2/c|$. Multiplicá-la por $e=c/a$ produz exatamente $|cX/a-a|$. O módulo conserva a igualdade nos dois ramos. O par negativo e a orientação vertical seguem por simetria ou troca das coordenadas.

15Corda pelo foco e perpendicular ao eixo transverso

No caso horizontal, a corda focal perpendicular ao eixo transverso está em x=h±c. Substituir dá c²/a²−(y−k)²/b²=1. Como c²/a²−1=b²/a², obtemos (y−k)²=b⁴/a², então y=k±b²/a. A distância entre esses extremos é positiva.

16Hipérbole equilátera e conjugada

Quando a=b, o retângulo auxiliar é um quadrado e as assíntotas são perpendiculares. Esse caso recebe os nomes hipérbole equilátera ou retangular. O sinal de subtração e os dois ramos continuam presentes; não é o caso circular da elipse.

17A ligação com a função recíproca

Uma hipérbole equilátera também pode aparecer como produto constante, em uma orientação diferente das formas anteriores. Em xy=K, com K≠0, isolar y fornece K/x, desde que x≠0. As assíntotas são os próprios eixos. Os eixos de simetria da curva são oblíquos; não tente identificar a e b lendo essa equação como se fosse x²/a²−y²/b²=1.

Este é um caso especial que conecta hipérboles e proporcionalidade inversa; a rotação geral de eixos fica para aprofundamento. Se K=0, a equação de produto vira a união de x=h e y=k. A forma fracionária continua excluindo x=h, portanto não é equivalente à equação de produto nesse valor.

18Percorrer os dois ramos com um parâmetro

Da identidade 1/cos²t−tan²t=1, podemos gerar coordenadas que já satisfaçam a equação horizontal. t é um parâmetro em radianos e não precisa ser o ângulo do raio que sai do centro. Os valores que anulam o cosseno precisam ser excluídos.

A parametrização atinge a curva inteira. Escreva $u=(x-h)/a$ e $v=(y-k)/b$, de modo que $u^2-v^2=1$ e u≠0. Os números $1/u$ e $v/u$ satisfazem $(1/u)^2+(v/u)^2=1$. Logo são cos t e sen t de um mesmo ângulo: cos t=1/u e tan t=v. O intervalo indicado escolhe cada ponto uma vez. Para eixo vertical, use x=h+b tan t e y=k+a/cos t, com as mesmas exclusões.

Restringir o parâmetro seleciona trechos e precisa acompanhar qualquer modelo. Mesmo quando t varia a uma taxa constante, não concluímos que o ponto tenha velocidade constante ao longo da curva.

19Interseções: primeiro veja se ainda existe uma quadrática

Uma reta e a hipérbole precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo. No caso horizontal, substitua y=mx+n e use X=x−h e q=mh+n−k. Multiplicar a equação por a²b² fornece b²X²−a²(mX+q)²=a²b². Desenvolver o quadrado produz a expressão abaixo.

Se b²−a²m²≠0, há uma quadrática genuína: Δ positivo dá dois pontos, zero dá tangência e negativo nenhum ponto real. Se o coeficiente zera, não use esse teste; examine a equação linear ou a contradição restante. Para verticais, substitua x diretamente. A orientação vertical pede o mesmo cuidado com as direções de suas assíntotas.

20Tangentes no ponto das duas orientações

A tangente descreve a direção da curva no contato T=(tₓ,tᵧ). Antes de usá-la, confirme que T pertence à hipérbole. As expressões abaixo não dividem por deslocamentos que possam zerar nos vértices.

No caso horizontal, normalize $u=(x-h)/a$, $v=(y-k)/b$ e as coordenadas do contato $u_0,v_0$. Temos $u_0^2-v_0^2=1$, logo u₀≠0. A reta proposta é $u_0u-v_0v=1$, ou $u=(1+v_0v)/u_0$. Substituir em $u^2-v^2=1$ e multiplicar por u₀² dá $(1+v_0v)^2-u_0^2v^2=u_0^2$.

Expandir e usar $u_0^2=1+v_0^2$ reduz a expressão a $1+2v_0v-v^2=1+v_0^2$. Assim $(v-v_0)^2=0$: há contato com raiz dupla em T, incluindo os vértices. A orientação vertical é obtida trocando as coordenadas.

21Normais perpendiculares às tangentes

A normal passa pelo contato e é perpendicular à tangente. Como nas aulas anteriores, os coeficientes das duas retas em forma geral precisam satisfazer o teste de perpendicularidade. As expressões abaixo conservam os vértices e as duas orientações.

22Tangentes por coeficiente angular: a condição é estrita

Na interseção horizontal, escreva $L=b^2-a^2m^2$, $M=-2a^2mq$ e $N=-a^2(q^2+b^2)$: a equação é $LX^2+MX+N=0$. Para L≠0, use $\Delta=M^2-4LN$. O primeiro termo é $M^2=4a^4m^2q^2$; o segundo é $-4LN=4a^2(b^2-a^2m^2)(q^2+b^2)$. Ao distribuir o produto, aparece $-4a^4m^2q^2$, que cancela o primeiro termo. Os termos restantes têm fator comum 4a²b², fornecendo $\Delta=4a^2b^2(q^2+b^2-a^2m^2)$. Igualar a zero dá $q^2=a^2m^2-b^2$. O lado direito precisa ser positivo: se fosse zero, teríamos L=0, a direção de uma assíntota, e o teste quadrático deixaria de valer.

23Tangentes por ponto dado e soluções que precisam ser rejeitadas

Não transporte a classificação interno/externo da elipse para a hipérbole sem análise. Resolva a condição de tangência com suas restrições e inclua possíveis verticais. O fato de uma reta ter um único ponto de encontro não substitui a verificação de tangência.

24Aplicação: diferença de tempos de chegada

Dois receptores observam a mesma emissão. Chame d₁,d₂ de distâncias da fonte aos receptores e t₁,t₂ de tempos de chegada, medidos no mesmo referencial de relógio. Se a emissão ocorreu em t₀ e a velocidade é v, então d₁=v(t₁−t₀) e d₂=v(t₂−t₀). Subtrair elimina o instante de emissão: d₁−d₂=v(t₁−t₂). Escrevendo Δt=t₁−t₂ e tomando módulos, obtemos a relação abaixo. Uma diferença de tempos fixa pode selecionar uma hipérbole, mas sozinha não determina uma posição única.

O modelo pressupõe a mesma emissão, propagação à mesma velocidade e trajetos adequados à distância euclidiana. Se v|Δt| ultrapassasse a separação dos receptores, os dados seriam incompatíveis. Se o atraso fosse zero, teríamos a mediatriz, não uma hipérbole própria.

25Aplicação: perfil com uma cintura

Um objeto declarado de perfil hiperbólico pode ter uma cintura de raio mínimo. Coloque y como altura relativa à cintura e x como distância horizontal ao eixo. No lado direito, x=r>0. Isolar x na hipérbole horizontal fornece o raio; o diâmetro é o dobro.

Ao girar esse perfil em torno do eixo vertical, obtemos um modelo de superfície com cintura, chamado hiperboloide de uma folha. Isso não afirma que todo objeto semelhante siga a equação: a hipótese e o intervalo físico precisam ser dados. Não confunda a curva plana com a superfície tridimensional.

26Reunir a leitura das cônicas e conferir restrições

• Na hipérbole, fixe o módulo da diferença 2a e confira 0<a<c. Na elipse, a soma é fixa; na parábola, comparam-se foco e diretriz.
• Leia a orientação pelo termo positivo depois de normalizar o lado direito para um. a não é necessariamente a maior medida.
• Use c²=a²+b². Vértices ficam a distância a do centro; focos, a distância c; extremos conjugados não pertencem à curva.
• Trace centro, vértices, retângulo auxiliar e assíntotas, mantendo a mesma escala nos eixos.
• Complete quadrados com compensações. Separe denominadores nulos e o caso de duas retas antes de dividir.
• Em interseções, confira o coeficiente quadrático antes de usar Δ. Direções assintóticas podem deixar equações lineares.
• Tangentes no ponto exigem pertinência; tangentes por coeficiente angular exigem as condições estritas e a análise das verticais.
• Conserve unidades, sinal da diferença e trecho físico nos modelos. Uma condição de distância ou tempo pode definir um lugar inteiro, não um único ponto.

Esta aula encerra o roteiro inicial de sete aulas de Geometria Analítica. Rotação geral de eixos, tratamento vetorial completo, coordenadas polares e geometria analítica espacial ficam para aprofundamento posterior.

27Agora é com você

São 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Comece por definição, sinais e elementos; avance para equações, assíntotas, parâmetros, interseções e tangentes. Nas discursivas, desenvolva as substituições e mantenha as restrições junto da resposta.

28O que guardar desta aula

• A definição é |PF₁−PF₂|=2a, com focos distintos separados por 2c e 0<a<c. O módulo inclui os dois ramos.
• Diferença zero produz a mediatriz; igual à separação dos focos produz duas semirretas exteriores ao segmento; maior produz vazio.
• O centro é o ponto médio dos focos. O eixo transverso mede 2a; o conjugado, 2b. a pode ser menor que b.
• A relação métrica é c²=a²+b². Extremos conjugados não são pontos da hipérbole.
• Com lado direito um, o termo positivo indica a orientação: (x−h)²/a²−(y−k)²/b²=1 é horizontal; a forma com y positivo é vertical.
• As assíntotas passam pelo centro: y−k=±(b/a)(x−h) no caso horizontal e ±(a/b)(x−h) no vertical.
• A curva própria se aproxima de suas assíntotas sem encontrá-las. As diagonais do retângulo auxiliar orientam o esboço.
• Na equação geral sem xy, sinais opostos e lado direito não nulo dão hipérbole; após completar quadrados, lado direito zero dá duas retas.
• O caso horizontal exclui a faixa h−a<x<h+a; o vertical exclui k−a<y<k+a. As escolhas de sinais das raízes precisam ser interpretadas pela orientação.
• e=c/a>1. Diretrizes do mesmo sinal são emparelhadas com os focos e ficam a distância a/e=a²/c do centro.
• A corda focal perpendicular ao eixo transverso mede 2b²/a. Para a=b, a hipérbole é equilátera e suas assíntotas são perpendiculares.
• Produto constante (x−h)(y−k)=K, K≠0, dá uma hipérbole equilátera em orientação oblíqua; sua forma fracionária exige x≠h.
• A parametrização por cosseno e tangente exclui os zeros do cosseno. O mesmo parâmetro entra nas duas coordenadas e não é automaticamente tempo.
• Antes de usar Δ, confira se a interseção ainda é quadrática. Uma paralela a assíntota pode ter um encontro sem tangência.
• Tangentes preservam os vértices; normais são perpendiculares no contato. Na família horizontal por m, |m|>b/a é uma condição estrita.
• Modelos de atraso usam diferença de percursos e podem selecionar um ramo. Perfis físicos conservam intervalo de alturas e distinguem raio de diâmetro.