Posições relativas e distâncias

1Como duas retas podem se encontrar no plano

Na aula de Reta, uma equação selecionava pares (x,y). Agora vamos comparar dois desses conjuntos. No mesmo plano, duas retas válidas podem coincidir, ser paralelas distintas ou ser concorrentes. Coincidentes têm todos os pontos em comum; paralelas distintas não se encontram; concorrentes têm exatamente um ponto comum.

Perpendiculares são um caso de concorrentes: encontram-se formando ângulos de 90°. Nesta aula, quando dissermos paralelas distintas, estaremos excluindo a coincidência. As distâncias e os ângulos geométricos usam eixos perpendiculares com a mesma unidade de comprimento. Não transferimos esses resultados automaticamente a gráficos de preço contra tempo.

2Comparar taxas e interceptos sem esquecer as verticais

Em y=m₁x+n₁ e y=m₂x+n₂, as letras com índices um e dois pertencem à primeira e à segunda reta. Se as taxas diferem, igualar as expressões permite achar um único x. Se as taxas são iguais, restam os termos fixos: iguais significam coincidência; diferentes, paralelismo distinto.

3Um teste geral que não divide por coeficientes

Escreva r:a₁x+b₁y+c₁=0 e s:a₂x+b₂y+c₂=0. Cada par de coeficientes de x e y precisa ser diferente de (0,0), como na aula anterior. O número D abaixo é uma diferença de dois produtos, chamada determinante dos coeficientes. Não é uma distância e pode ser negativo.

Multiplique a primeira equação por b₂ e a segunda por b₁; subtraia. Os termos em y se cancelam e resulta $Dx=b_1c_2-b_2c_1$. Eliminando x, obtemos $Dy=a_2c_1-a_1c_2$. Se $D\ne0$, podemos dividir as duas igualdades e obter um único par.

Se D=0, as direções são paralelas; ainda falta examinar os termos constantes. Retas coincidentes têm os três coeficientes multiplicados pelo mesmo fator não nulo. O teste abaixo faz essa comparação sem razões que poderiam ter denominador zero.

4Separar os valores excepcionais de um parâmetro

Um parâmetro k é fixado antes de procurar os pontos da reta. Antes de dividir por algo que contém k, examine os valores que anulam essa expressão. A equação original é que informa o que ocorre nesses casos.

5Construir uma paralela por um ponto

Para conservar a direção, mantenha os coeficientes de x e y e ajuste a constante para passar pelo ponto pedido. A equação a(x−x₀)+b(y−y₀)=0 já faz isso: em P=(x₀,y₀), os dois deslocamentos são zero.

Se P já pertencer à reta dada, a construção recupera a própria reta. Nesse caso não existe paralela distinta por P. É necessário ler se o problema aceita coincidência ou exige duas retas diferentes.

6Por que aparece o produto menos um

Dois deslocamentos não nulos $(u_1,v_1)$ e $(u_2,v_2)$ podem ser colocados com a mesma origem. O quadrado da distância entre suas extremidades é $(u_2-u_1)^2+(v_2-v_1)^2$. Expandir dá a soma dos quadrados dos dois comprimentos, menos $2(u_1u_2+v_1v_2)$. Por Pitágoras e sua recíproca, eles são perpendiculares exatamente quando $u_1u_2+v_1v_2=0$.

Para uma reta não vertical de coeficiente m, o par (1,m) é uma direção: aumentar x em um varia y em m. Aplicando a condição anterior a (1,m₁) e (1,m₂), temos 1+m₁m₂=0. Daí vem o produto −1, com a condição de que ambos os coeficientes existam.

Uma horizontal tem m=0 e sua perpendicular é vertical. Não tente escrever −1/0. A forma geral fornece um teste que inclui esse caso.

7Direção e normal na forma geral

Em ax+by+c=0, acrescentar o deslocamento (b,−a) a um ponto não muda a expressão: a·b+b·(−a)=0. Portanto esse par é uma direção da reta. O par (a,b) é perpendicular a ele pela mesma soma de produtos. Chamamos essa direção perpendicular de normal.

Para duas retas, as direções (b₁,−a₁) e (b₂,−a₂) são perpendiculares quando b₁b₂+a₁a₂=0. Isso produz o teste geral abaixo sem exigir formas reduzidas.

8Comparar direções dadas por parâmetros

Na parametrização x=x₀+ut, y=y₀+vt, o par (u,v) é a direção e precisa ser não nulo. Duas direções proporcionais indicam paralelismo de direções; para saber se há coincidência, teste um ponto de uma reta na outra. Duas direções são perpendiculares quando u₁u₂+v₁v₂=0.

9Qual ângulo estamos calculando

Duas retas concorrentes formam quatro ângulos. Dois são iguais a φ e os outros dois a 180°−φ. Aqui φ, lido fi, é o menor, no intervalo de 0° a 90°. Para perpendiculares, ambos medem 90°. Para direções paralelas ou coincidentes, adotamos φ=0°.

Esse ângulo entre retas não é automaticamente o ângulo interno de um triângulo. Os lados do triângulo escolhem semirretas e podem delimitar o suplemento. O sentido indicado no desenho ou no enunciado decide qual resposta é necessária.

10Calcular o ângulo pelas taxas

Para retas não verticais, $m_i=\tan\theta_i$. A identidade da tangente da diferença dá $\tan(\theta_2-\theta_1)=(m_2-m_1)/(1+m_1m_2)$, quando o denominador não zera. Como queremos o menor ângulo sem orientação, usamos o módulo. Se o denominador zera, as retas são perpendiculares e a tangente de 90° não existe.

11Ângulo sem excluir retas verticais

Podemos evitar divisões por b usando os pares normais $(a_1,b_1)$ e $(a_2,b_2)$ com a mesma origem. Seja α, lido alfa, o ângulo entre esses deslocamentos, entre 0° e 180°, e L₁,L₂ seus comprimentos. Pela lei dos cossenos, a distância L entre suas extremidades satisfaz $L^2=L_1^2+L_2^2-2L_1L_2\cos\alpha$. Expandir pelas coordenadas, como fizemos com Pitágoras, mostra $L_1L_2\cos\alpha=a_1a_2+b_1b_2$.

Os comprimentos são as raízes das somas de quadrados. Tomar módulo do cosseno escolhe o menor ângulo entre direções. Girar as duas direções por 90° conserva esse menor ângulo; por isso podemos usar as normais para medir o ângulo entre as retas.

A identidade $(a_1a_2+b_1b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2=(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)$ permite obter o seno não negativo do menor ângulo. Dividir seno por cosseno produz a tangente abaixo, somente quando o cosseno não é zero.

Para resultados que não sejam ângulos notáveis, podemos manter a resposta como cos φ ou tan φ, com 0°≤φ≤90°, ou usar calculadora em graus para aproximar φ. Não arredonde os coeficientes antes do cálculo.

12Distância até uma reta é o menor caminho

A distância de P a uma reta r é o menor comprimento entre P e um ponto de r. Ao traçar a perpendicular por P, seu encontro H com r é chamado pé da perpendicular ou projeção ortogonal. Ortogonal significa perpendicular.

Se P está fora da reta e Q≠H é outro ponto dela, PHQ é um triângulo retângulo em H. Seu comprimento PQ não pode ser menor que PH, pois PQ²=PH²+HQ² e HQ²≥0. Em Q=H há igualdade. Se P já estiver na reta, H=P e a distância é zero, sem precisar formar um triângulo.

13Encontrar a projeção resolvendo duas retas

Já sabemos construir uma perpendicular por um ponto e encontrar a interseção de duas retas. Esses dois procedimentos bastam para determinar H; a fórmula pronta será deduzida depois.

14Deduzir a fórmula da projeção e da distância

Para P=(x₀,y₀) e r:ax+by+c=0, o caminho perpendicular tem direção (a,b). Procure $H=(x_0-at,y_0-bt)$; o sinal menos é uma escolha de escrita, pois t pode ser qualquer real. Para H pertencer a r, $a(x_0-at)+b(y_0-bt)+c=0$.

Distribuindo, $ax_0+by_0+c-(a^2+b^2)t=0$. Nomeie $K=ax_0+by_0+c$ e $N=a^2+b^2$. Como a e b não são ambos zero, N>0. Assim $K-Nt=0$ dá $t=K/N$. Substituí-lo nas coordenadas fornece H.

O deslocamento de P até H tem componentes $-aK/N$ e $-bK/N$. Seu comprimento é $\sqrt{a^2K^2/N^2+b^2K^2/N^2}=\sqrt{NK^2/N^2}=|K|/\sqrt N$. Usamos $\sqrt{K^2}=|K|$, inclusive quando K é negativo. Daí vem a distância:

15Horizontais, verticais e equações equivalentes

Uma expressão com a=b=0 não representa reta e não permite usar o denominador da fórmula. O módulo deve envolver toda a expressão ax₀+by₀+c, não cada parcela isoladamente.

16Usar a projeção para refletir um ponto

Refletir P em uma reta produz P′ do outro lado, à mesma distância perpendicular. O pé H é o ponto médio de PP′. Das igualdades x_H=(x₀+x′)/2 e y_H=(y₀+y′)/2, isolamos as coordenadas da imagem.

17Distância entre paralelas: igualar os coeficientes primeiro

A separação entre duas paralelas é medida na perpendicular comum. Escolha um ponto P de r:ax+by+c₁=0. Então ax₀+by₀=−c₁. Substituir P em s:ax+by+c₂=0 dá o numerador |−c₁+c₂|, independente do ponto escolhido.

Retas concorrentes têm distância mínima zero, pois compartilham o ponto de encontro. Não use a fórmula das paralelas nelas. Retas coincidentes também têm distância zero; isso não as torna paralelas distintas.

18Uma distância fixa pode dar duas respostas

Lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos que atendem a uma condição. Pedir distância d de uma reta exige |ax+by+c|=d√(a²+b²). Para d>0, há duas escolhas de sinal, correspondendo aos dois lados da reta.

A expressão ax+by+c tem sinais opostos nos dois semiplanos, isto é, nos dois lados da reta. Mas multiplicar a equação por −1 troca esses sinais. Sinal positivo não é um nome universal para o lado acima ou à direita.

19Equidistância de retas e bissetrizes

Um ponto equidistante de duas retas tem a mesma distância perpendicular a cada uma. É preciso dividir pelos comprimentos dos pares normais: os numeradores sozinhos podem estar escritos com escalas diferentes.

Para retas concorrentes, os pontos de igual distância formam suas duas bissetrizes. Cada bissetriz passa pela interseção e divide dois ângulos opostos em partes iguais. Triângulos retângulos com a mesma hipotenusa e catetos perpendiculares iguais justificam essa propriedade. A igualdade |U|=|V| equivale a U=V ou U=−V.

Se as duas retas coincidem, todo ponto do plano tem a mesma distância a ambas. Para concorrentes, não escolha automaticamente a alternativa com sinal mais como bissetriz interna: é necessário indicar o ângulo ou a região considerados. As duas bissetrizes são perpendiculares porque suas normais são soma e diferença de normais unitárias; a soma de produtos entre elas é 1−1=0. Uma normal unitária é obtida dividindo (a,b) por √(a²+b²), ficando com comprimento um.

20Mediatriz: pontos equidistantes de dois pontos

A mediatriz de AB, com A≠B, passa pelo ponto médio M e é perpendicular a AB. Ela é diferente de uma mediana: uma mediana liga um vértice de triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediatriz é uma reta inteira e não precisa passar por um vértice.

Para P=(x,y), a condição PA=PB equivale a PA²=PB², pois comprimentos são não negativos. Expandir $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2$ cancela x² e y² e deixa $2(x_B-x_A)x+2(y_B-y_A)y=x_B^2+y_B^2-x_A^2-y_A^2$.

Em cada coordenada, fatore a diferença de quadrados: $x_B^2-x_A^2=(x_B-x_A)(x_B+x_A)$, e analogamente para y. Dividir a igualdade por dois transforma $(x_B+x_A)/2$ e $(y_B+y_A)/2$ nas coordenadas x_M,y_M. Passar esses termos para a esquerda fornece a equação abaixo. Ela tem normal $(x_B-x_A,y_B-y_A)$, portanto é perpendicular ao segmento e passa por M; a dedução também mostra que todo ponto equidistante pertence a ela.

21Área usando a distância à reta suporte

Para usar base vezes altura, a altura é perpendicular à reta que contém a base. Ela pode encontrar o prolongamento do lado fora do segmento. Nesse caso continua sendo a altura correta, mesmo que a distância até o segmento seja maior.

22Deduzir a área diretamente pelas coordenadas

Escreva $(u,v)=(x_B-x_A,y_B-y_A)$, com A≠B. Uma equação da reta AB é $v(x-x_A)-u(y-y_A)=0$. Sua normal tem comprimento $\sqrt{u^2+v^2}$, que também é o comprimento AB.

A distância de C à reta é $|v(x_C-x_A)-u(y_C-y_A)|/\sqrt{u^2+v^2}$. Ao multiplicar pela base e dividir por dois, a raiz do denominador se cancela. Trocar o sinal dentro do módulo não altera o resultado. Assim surge a fórmula de área, sem precisar decorar uma disposição de números:

23Aplicação: alturas e centro equidistante dos vértices

Uma altura de triângulo é o segmento perpendicular de um vértice à reta do lado oposto. A reta que a contém pode ser construída pela perpendicular por ponto. Já o encontro das mediatrizes dos lados é equidistante dos três vértices; chama-se circuncentro. Um triângulo não degenerado tem esse ponto único.

24Distância ao segmento pode ser maior que à reta

Se só podemos alcançar um trecho AB, a perpendicular pode chegar a um ponto proibido, fora do segmento. Para decidir, use a parametrização A+t(B−A). O segmento admite somente 0≤t≤1.

Se $(u,v)=B-A$ e P=(pₓ,pᵧ), o quadrado da distância até A+t(u,v) é $[p_x-x_A-ut]^2+[p_y-y_A-vt]^2$. Expandindo, fica $PA^2-2t[(p_x-x_A)u+(p_y-y_A)v]+t^2(u^2+v^2)$.

Chame a soma entre colchetes de J e $u^2+v^2$ de N>0. Completar o quadrado dá $N(t-J/N)^2+PA^2-J^2/N$. O menor valor na reta ocorre em $t_*=J/N$. No intervalo [0,1], se $t_*$ estiver fora, o extremo mais próximo dele minimiza o quadrado; se estiver dentro, a própria projeção é permitida.

Se A=B, o segmento é apenas um ponto; calcule PA diretamente. Não use $t_*$ com denominador zero. Não há necessidade de derivadas para decidir o mínimo: o quadrado de um número real é sempre não negativo.

25Traduzir a geometria para unidades e restrições reais

Coordenadas em unidades diferentes precisam ser convertidas antes de medir comprimentos. Comprimento usa km, m ou outra unidade linear; área usa km², m² etc. Um gráfico de duas grandezas diferentes, como preço e tempo, não ganha uma distância física só por conter uma reta.

26Escolher o procedimento e conferir as condições

• Confirme que cada equação realmente representa uma reta; a e b não podem ser ambos zero.
• Classifique primeiro: D≠0 dá concorrência; D=0 ainda exige distinguir paralelas e coincidentes.
• Só use m₁m₂=−1 quando os dois coeficientes existirem. A forma geral inclui verticais e horizontais.
• Diga se quer o menor ângulo ou um ângulo indicado. Antes de usar tangente, confira seu denominador.
• A distância ponto-reta usa módulo de toda a substituição e raiz da soma de quadrados dos coeficientes.
• Entre paralelas, iguale exatamente os coeficientes de x e y antes de subtrair as constantes.
• Mediatriz iguala distâncias a pontos; bissetrizes igualam distâncias a retas concorrentes.
• Para área, use a reta suporte da base; para acesso a um segmento, confira se a projeção é permitida.
• Substitua os pontos nas equações e declare unidades, domínio e hipóteses físicas.

A próxima aula será Circunferência: a ideia de pontos a uma distância fixa de um centro retomará a distância entre pontos e as equações construídas até aqui.

27Agora é com você

São 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Comece pelas posições e construções; avance para ângulos, projeções, distâncias, lugares geométricos e áreas. Nas discursivas, mostre as substituições e justifique os casos especiais.

28O que guardar desta aula

• No plano, duas retas válidas coincidem, são paralelas distintas ou têm um único ponto comum. Perpendiculares são concorrentes com ângulo reto.
• D=a₁b₂−a₂b₁ não nulo permite uma interseção única; D=0 exige comparar também os termos constantes.
• Paralelas conservam a direção. A reta de mesma direção por um ponto da reta original coincide com ela.
• Para duas retas não verticais, perpendicularidade equivale a m₁m₂=−1. Na forma geral, equivale a a₁a₂+b₁b₂=0.
• O menor ângulo está entre 0° e 90°; seu suplemento pode ser o ângulo interno indicado. Fórmulas com tangente exigem denominador não nulo.
• A projeção ortogonal é o pé da perpendicular. Pitágoras mostra que ela produz a menor distância à reta.
• A distância é |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²), em eixos ortogonais com mesma unidade. Ela é não negativa e não depende de um fator não nulo multiplicando a equação.
• Uma reflexão deixa a projeção como ponto médio do par de pontos simétricos.
• A distância entre paralelas usa |c₂−c₁|/√(a²+b²) só depois de igualar a e b nas duas equações.
• Uma distância positiva fixa de uma reta produz duas paralelas. Equidistância de concorrentes produz duas bissetrizes; de paralelas distintas, a reta média.
• A mediatriz de AB exige A≠B e reúne os pontos equidistantes de A e B. Ela passa pelo ponto médio e é perpendicular a AB.
• A altura de um triângulo é distância à reta suporte da base. A área pelas coordenadas usa módulo; zero significa alinhamento.
• Distância ao segmento exige que a projeção pertença ao trecho; caso contrário, o ponto mais próximo é um extremo.
• Modelos reais precisam de unidades compatíveis e de hipóteses sobre os pontos e trajetos permitidos.