Reta | EstudaMath

1Uma equação descreve todos os pontos que atendem à condição

Na aula anterior, cada par (x,y) localizava um ponto. Agora uma equação vai selecionar um conjunto de pontos. Por exemplo, y=2x+1 exige que a ordenada seja duas vezes a abscissa, mais um. Para cada x real, há um único y nessa condição; os pares obtidos formam uma reta.

x e y são coordenadas variáveis, não dois números fixados antes do estudo. Uma solução da equação é um par que torna a igualdade verdadeira. Para verificar se um ponto pertence à reta, substitua suas duas coordenadas na mesma equação. O desenho ajuda a interpretar; a substituição confere o pertencimento.

Exemplo resolvido · Verificar um ponto e rejeitar outro

P=(2,5) e Q=(2,4) pertencem à reta y=2x+1?

Resolução

Para P, o lado direito é 2·2+1=5, igual à ordenada cinco. Portanto P pertence.
Para Q, o mesmo cálculo dá cinco, mas sua ordenada é quatro. A igualdade 4=5 é falsa, então Q não pertence.

P pertence; Q não pertence.

A=(−1,−1) e B=(2,5) satisfazem y=2x+1. A linha continua nos dois sentidos; os pontos marcados não são seus únicos pontos.

2Dois pontos distintos determinam uma reta inteira

Uma reta se prolonga ilimitadamente nos dois sentidos. O segmento AB inclui apenas A, B e os pontos entre eles; a reta AB inclui também os pontos além dos extremos. Por dois pontos distintos passa uma única reta. Um ponto sozinho não determina uma direção.

Exemplo resolvido · Um dado repetido não fornece uma direção

Se o enunciado fornece A=(1,2) e B=(1,2), já podemos determinar uma única reta?

Resolução

Os pares são iguais, portanto temos somente um ponto, e não dois pontos distintos.
As retas x=1 e y=2, por exemplo, passam por ele e são diferentes. Repetir o dado não escolhe uma direção.

Não: falta outro ponto distinto ou outra condição de direção.

3Retas horizontais e verticais antes das divisões

Se todos os pontos têm a mesma ordenada k, a reta é horizontal: y=k. x pode variar livremente. Se todos têm a mesma abscissa h, a reta é vertical: x=h, e y pode variar. As letras h e k indicam valores reais fixos.

y=k

k é real fixo; x percorre todos os reais. A ordenada é constante e o coeficiente angular é zero. Para k=0, a reta é o próprio eixo Ox. Não confunda y=k com x=k.

x=h

h é real fixo; y percorre todos os reais. A abscissa é constante e não existe coeficiente angular real: a divisão Δy/Δx teria denominador zero para dois pontos distintos. Para h=0, a reta é Oy.

Exemplo resolvido · Escolher a coordenada que permanece constante

Encontre a reta por A=(−3,2) e B=(4,2), e a reta por C=(−2,−1) e D=(−2,5).

Resolução

A e B têm a mesma ordenada dois e abscissas distintas. A primeira reta é y=2, com qualquer x real.
C e D têm a mesma abscissa −2 e ordenadas distintas. A segunda é x=−2, com qualquer y real.

As equações são y=2 e x=−2, respectivamente.

A reta horizontal y=2 mantém a ordenada. A vertical x=−2 mantém a abscissa. A vertical não é escrita como y=mx+n.

Em y=2, o número dois não é o valor de x. Em x=−2, o número −2 não é o valor de y. Os próprios eixos são os casos y=0 e x=0. Uma função y de x associa um único valor de y a cada x permitido. Uma reta vertical contém vários y para o mesmo x, por isso não representa uma função y de x.

4Coeficiente angular: quanto y varia quando x varia

Em uma reta não vertical, a razão entre a variação vertical e a horizontal é constante. Essa razão é o coeficiente angular m. As variações são final menos inicial, como na primeira aula. Para calcular o quociente, precisamos de duas abscissas diferentes.

m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},\quad x_B\ne x_A

A e B são pontos distintos de uma mesma reta não vertical, em ordem correspondente nas duas diferenças. m é a variação vertical por unidade de variação horizontal. Inverter a ordem nos dois lugares mantém m; inverter somente em um troca seu sinal.

\Delta y=m\Delta x

Δ, lido delta, indica final menos inicial. A relação vale entre pontos de uma reta não vertical de coeficiente angular m. m não depende do par de pontos distintos escolhido nessa reta; isso expressa uma taxa constante.

Geometricamente, deslocamentos ao longo da mesma reta formam triângulos retângulos semelhantes ao usar horizontais e verticais. A razão entre os catetos correspondentes é a mesma. Com sinais, isso mantém Δy/Δx constante; nos casos descendentes, os deslocamentos horizontal e vertical têm sinais opostos.

Exemplo resolvido · Calcular as duas diferenças na mesma ordem

Encontre m da reta por A=(−1,−1) e B=(2,5).

Resolução

De A para B, Δx=2−(−1)=3 e Δy=5−(−1)=6.
Como Δx≠0, m=6/3=2. Isso significa duas unidades de aumento de y por unidade de aumento de x, ao longo dessa reta.

m=2.

De A=(−1,−1) até B=(2,5), a variação horizontal é três e a vertical é seis. A razão 6/3=2 é o coeficiente angular; não é o comprimento da diagonal.

Exemplo resolvido · Inverter as duas diferenças preserva a razão

Qual é m por A=(−2,5) e B=(2,−3)?

Resolução

De A para B, m=[−3−5]/[2−(−2)]=−8/4=−2.
Na ordem contrária, m=[5−(−3)]/[−2−2]=8/(−4)=−2. Inverter somente um dos dois sentidos daria o sinal errado.

m=−2 em qualquer uma das duas ordens coerentes.

5Crescimento, razão zero e denominador zero

Quando x aumenta, Δx é positivo. Pela igualdade Δy=mΔx, o sinal de m determina se y aumenta, permanece constante ou diminui. Isso depende das variações, não de os pontos estarem acima ou abaixo da origem.

\begin{array}{c|c}m>0&y\text{ aumenta}\\m=0&y\text{ constante}\\m<0&y\text{ diminui}\end{array}

A reta é não vertical e comparamos pontos com x crescente. O sinal de m, e não o sinal de uma coordenada isolada, determina o comportamento. Uma reta vertical não é classificada por m=0.

Exemplo resolvido · Zero no numerador não é zero no denominador

Compare os quocientes para (−3,2),(4,2) e para (−2,−1),(−2,5).

Resolução

No primeiro par, m=(2−2)/[4−(−3)]=0/7=0. A reta é horizontal.
No segundo, a expressão seria [5−(−1)]/[−2−(−2)]=6/0. Essa divisão não existe nos reais: a reta é vertical, sem coeficiente angular real. Não chamamos seu coeficiente de zero nem o tratamos como um número infinito.

Horizontal: m=0; vertical: m não existe nos reais.

6Inclinação: o ângulo medido a partir do eixo horizontal

A inclinação θ, lida teta, é o ângulo da reta medido no sentido anti-horário a partir do sentido positivo de Ox, escolhendo 0°≤θ<180°. A horizontal tem inclinação zero e a vertical, 90°. Para uma reta não vertical, o quociente de variações é a tangente desse ângulo.

m=\tan\theta,\quad\theta\ne90^\circ

θ, lido teta, é a inclinação, medida no sentido anti-horário a partir do sentido positivo de Ox, com 0°≤θ<180°. O sistema é ortogonal e a medida geométrica do ângulo usa a mesma escala nos dois eixos. Horizontal tem θ=0°; vertical tem θ=90° e tangente indefinida. Para 90°<θ<180°, m é negativo.

Em um ângulo agudo, tangente é cateto oposto dividido por cateto adjacente em um triângulo retângulo. Para o intervalo de 90° a 180°, a extensão pelo ciclo trigonométrico tem seno positivo e cosseno negativo, portanto tangente negativa. Não precisamos usar uma função inversa para os ângulos notáveis dos exemplos.

Exemplo resolvido · Inclinação aguda e obtusa

Qual é m para inclinações de 45° e 135°?

Resolução

A tangente de 45° é um, pela razão de catetos iguais. Logo m=1 no primeiro caso.
135°=180°−45° fica no segundo quadrante: a tangente vale −1. Portanto m=−1, e não um, no segundo caso.

Os coeficientes são 1 e −1, respectivamente.

A reta y=−x tem inclinação 135°, medida no sentido anti-horário de Ox até sua direção para cima e à esquerda. O ângulo agudo suplementar mede 45°.

O desenho só permite comparar ângulos geométricos diretamente quando os eixos usam a mesma escala de comprimento. Esticar apenas a imagem na vertical muda a aparência, mas não muda o m calculado com as coordenadas.

7Uma reta por um ponto e uma direção conhecida

Conhecidos P₀=(x₀,y₀) e um coeficiente angular real m, qualquer outro ponto da reta satisfaz Δy=mΔx. Substituir as diferenças dá y−y₀=m(x−x₀). Essa é a forma ponto-angular, também chamada ponto-declive. O índice zero identifica o ponto conhecido, não uma coordenada obrigatoriamente nula.

y-y_0=m(x-x_0)

P₀=(x₀,y₀) é um ponto conhecido e m é real. A fórmula representa a única reta não vertical com esses dados e inclui P₀, onde ambos os lados são zero. Não divida por x−x₀ e elimine esse ponto. Para reta vertical por P₀, use x=x₀.

Exemplo resolvido · Substituir antes de distribuir os sinais

Encontre a reta por P₀=(2,−1) com m=−3.

Resolução

Substitua x₀=2 e y₀=−1: y−(−1)=−3(x−2), portanto y+1=−3(x−2).
Distribuindo, y+1=−3x+6. Subtraindo 1 de ambos os lados, y=−3x+5. Em P₀, −3·2+5=−1, como exigido.

y=−3x+5.

A fórmula inclui o próprio P₀: em suas coordenadas, temos 0=m·0. Se dividíssemos por x−x₀, perderíamos esse ponto na etapa da divisão. A equação sem divisão é a apresentação que conserva a reta inteira. Para uma reta vertical por P₀, use x=x₀.

8Forma reduzida: separar taxa e posição inicial

Distribuindo m na forma ponto-angular, y−y₀=mx−mx₀. Somar y₀ dá y=mx+(y₀−mx₀). Chamamos a constante y₀−mx₀ de n. Assim, y=mx+n. A letra n aqui nomeia uma constante real, não uma quantidade de termos de sequência.

y=mx+n

m e n são reais fixos. m é o coeficiente angular; n é o coeficiente linear, a ordenada do ponto (0,n) de interseção com Oy. Não é, em geral, a abscissa onde a reta cruza Ox. Toda reta não vertical admite essa forma, incluindo a horizontal m=0.

n=y_0-mx_0

m é conhecido e P₀=(x₀,y₀) pertence à reta não vertical. Substitua em y₀=mx₀+n e subtraia mx₀. As coordenadas de outro ponto conhecido precisam satisfazer a mesma equação.

Exemplo resolvido · Ler os dois coeficientes sem trocar suas funções

Na reta y=−2x+5, o que representam −2 e 5?

Resolução

O coeficiente angular é m=−2: cada aumento de um em x reduz y em dois.
O coeficiente linear é n=5. Ao tomar x=0, y=5, então a reta cruza Oy em (0,5). Para cruzar Ox, fazemos y=0: −2x+5=0, logo 2x=5 e x=5/2.

m=−2; a interseção com Oy é (0,5) e com Ox é (5/2,0).

Toda reta não vertical admite a forma reduzida. O caso m=0 é y=n, uma reta horizontal. Se m≠0 e n=0, y=mx passa pela origem; coeficiente linear zero não significa reta inexistente.

9Encontrar a equação reduzida por dois pontos

Exemplo resolvido · Primeiro a taxa, depois o coeficiente linear

Encontre a reta por A=(−1,−1) e B=(2,5).

Resolução

O coeficiente angular é m=[5−(−1)]/[2−(−1)]=6/3=2.
Substituindo A em y=2x+n, −1=2·(−1)+n, portanto −1=−2+n. Somando dois, n=1.
A equação é y=2x+1. A conferência em B dá 5=2·2+1, verdadeira. Os dois pontos distintos determinam a reta.

y=2x+1.

Exemplo resolvido · Coordenadas fracionárias não mudam o método

Encontre a reta por A=(0,1/2) e B=(3,−1).

Resolução

m=(−1−1/2)/(3−0). Escrevendo −1=−2/2, o numerador é −3/2; dividir por três equivale a multiplicar por 1/3: m=(−3/2)·(1/3)=−3/6=−1/2.
Como A tem abscissa zero, n=1/2. A equação é y=−x/2+1/2. Em B, −3/2+1/2=−1, confirmando a ordenada.

y=−x/2+1/2.

10Ler uma reta pelos dados marcados no gráfico

Se dois pontos exatos estão identificados no gráfico e a figura foi declarada reta, podemos usá-los para calcular m e n. Não basta uma linha desenhada parecer passar perto de uma marca: leia as coordenadas e a escala informadas. Tampouco dois registros de um processo real garantem que sua taxa continuará constante fora do período modelado.

Exemplo resolvido · Usar a taxa para prever outra coordenada

Uma reta contém A=(0,3) e B=(4,5). Qual é a ordenada de seu ponto com x=10?

Resolução

A taxa é m=(5−3)/(4−0)=2/4=1/2, e n=3 pelo ponto A.
Em y=x/2+3, substitua x=10: y=10/2+3=5+3=8. A previsão vem da hipótese de reta, e não só da coincidência dos dois dados iniciais.

A ordenada é 8.

11Forma geral: incluir também as retas verticais

A forma geral é ax+by+c=0. Os números a,b,c são coeficientes reais fixos. Pelo menos um entre a e b precisa ser não nulo. Essa condição permite representar qualquer reta do plano, inclusive as verticais.

ax+by+c=0,\quad(a,b)\ne(0,0)

a,b,c são reais fixos, com a e b não simultaneamente nulos. x,y são as coordenadas variáveis. A condição impede confundir uma reta com o plano inteiro ou o conjunto vazio. Multiplicar os três coeficientes por um mesmo real não nulo representa a mesma reta.

\begin{gathered}b\ne0:\quad y=-\frac abx-\frac cb\\m=-a/b,\quad n=-c/b\end{gathered}

Isole by e divida a igualdade inteira por b≠0. Se b=0, a condição da forma geral exige a≠0 e a reta é vertical, x=−c/a; não tente usar as duas frações acima.

Quando b≠0, isole by=−ax−c e divida todos os termos por b: y=−(a/b)x−c/b. Quando b=0, a≠0 e a equação dá x=−c/a, vertical. Quando a=0 e b≠0, ela dá y=−c/b, horizontal. Esses casos separam as divisões que existem das que não existem.

Exemplo resolvido · Converter uma equação com coeficientes negativos

Converta 3x−2y+6=0 para a forma reduzida.

Resolução

Isolando o termo em y, −2y=−3x−6. Divida os três termos por −2: y=(3/2)x+3.
Logo m=3/2 e n=3. Conferindo (0,3), temos 3·0−2·3+6=0.

y=(3/2)x+3.

Exemplo resolvido · O coeficiente de y é zero

Que reta representa 4x−12=0?

Resolução

A equação tem a=4, b=0 e c=−12. Somar doze e dividir por quatro dá x=3.
Como y não foi restringido, todos os pares (3,y), com y real, pertencem. Não existe conversão para y=mx+n.

É a reta vertical x=3.

12Quando uma igualdade não representa uma reta

Se a e b são simultaneamente zero, ax+by+c=0 perde as duas coordenadas e vira apenas c=0. Precisamos ler essa condição antes de chamar o conjunto de reta.

\begin{gathered}a=b=0\\c=0:\ \mathbb R^2\\c\ne0:\ \varnothing\end{gathered}

A igualdade ax+by+c=0 vira c=0. Se c=0, qualquer par real serve, formando o plano inteiro ℝ². Se c≠0, nenhum serve e o conjunto é vazio, ∅. Nenhuma dessas situações representa uma reta.

Exemplo resolvido · Identidade e contradição

Compare 0x+0y+0=0 com 0x+0y+5=0.

Resolução

A primeira é 0=0, verdadeira para qualquer par real. Seu conjunto é o plano inteiro.
A segunda exige 5=0, falsa para qualquer par. Seu conjunto é vazio. Nenhuma das duas é uma reta.

Plano inteiro no primeiro caso; conjunto vazio no segundo.

13Construir a forma geral sem dividir por diferenças

Para A e B distintos, escreva $u=x_B-x_A$ e $v=y_B-y_A$ . Um ponto da reta tem $x-x_A=ut$ e $y-y_A=vt$ , com o mesmo real t, como o prolongamento do segmento da primeira aula. Multiplicar a primeira igualdade por v e a segunda por u dá $v(x-x_A)=u(y-y_A)$ .

Essa igualdade também basta para pertencer à reta. Se $u\ne0$ , tome $t=(x-x_A)/u$ e a igualdade obriga $y-y_A=vt$ . Se $u=0$ , então $v\ne0$ e a igualdade força $x=x_A$ ; podemos tomar $t=(y-y_A)/v$ . Portanto nenhum caso vertical foi perdido.

Expandir $u(y-y_A)-v(x-x_A)=0$ dá $-vx+uy+vx_A-uy_A=0$ . O termo constante é $vx_A-uy_A=(y_B-y_A)x_A-(x_B-x_A)y_A$ . Distribuindo, temos $x_Ay_B-x_Ay_A-x_By_A+x_Ay_A=x_Ay_B-x_By_A$ . Os dois produtos opostos se cancelam. Substituir também os coeficientes de x e y produz a equação abaixo.

(y_A-y_B)x+(x_B-x_A)y+x_Ay_B-x_By_A=0

\begin{gathered}(y_A-y_B)x+(x_B-x_A)y\\+x_Ay_B-x_By_A=0\end{gathered}

A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) são distintos. A expressão vem de igualar os produtos cruzados dos deslocamentos, sem dividir por diferenças de coordenadas. Por isso cobre retas verticais e horizontais. Se A=B, todos os coeficientes ficam nulos e não há reta única determinada.

Exemplo resolvido · Uma forma geral com simplificação por escalar

Determine a reta por A=(−2,1) e B=(4,4).

Resolução

Substitua os pontos: $(1-4)x+[4-(-2)]y+(-2)\cdot4-4\cdot1=0$ .
Isso dá −3x+6y−8−4=0, ou −3x+6y−12=0. Dividindo tudo por −3, x−2y+4=0.
Conferindo: em A, −2−2·1+4=0; em B, 4−2·4+4=0.

Uma equação é x−2y+4=0.

Exemplo resolvido · Os dois pontos têm a mesma abscissa

Use a mesma fórmula para A=(3,−2) e B=(3,4).

Resolução

Os coeficientes são a=−2−4=−6, b=3−3=0 e c=3·4−3·(−2)=12+6=18.
A equação −6x+18=0 dá x=3. A fórmula funcionou sem fazer uma divisão por $x_B-x_A$ .

A reta é x=3.

14Verificar alinhamento de três pontos

Três pontos são colineares quando pertencem a uma mesma reta. Escolha A≠B como base e substitua C na relação dos deslocamentos. A condição usa dois produtos, sem exigir o cálculo de um determinante ou a divisão por uma coordenada.

\begin{gathered}(x_B-x_A)(y_C-y_A)\\=(y_B-y_A)(x_C-x_A)\end{gathered}

A≠B é a base que determina a reta; C está nessa reta exatamente quando a igualdade vale. Não há divisão, então ela inclui casos verticais e horizontais. Para uma lista com pontos repetidos, escolha primeiro uma base distinta; todos coincidentes não determinam uma reta única.

Exemplo resolvido · Encontrar uma coordenada que alinha os pontos

A=(−1,0), B=(2,6) e C=(3,k). Para qual k eles são colineares?

Resolução

As variações de A para B são (3,6); de A para C, (4,k). A igualdade é 3k=6·4=24.
Dividindo por três, k=8. A reta AB é y=2x+2 e, em x=3, a ordenada é 2·3+2=8, confirmando o resultado.

k=8.

Exemplo resolvido · Uma base vertical continua válida

A=(2,−1), B=(2,4) e C=(k,7). Quando C está na reta AB?

Resolução

A condição é (2−2)(7+1)=(4+1)(k−2), isto é, 0=5(k−2).
Como cinco é não nulo, k−2=0 e k=2. A ordenada sete não é limitada pelas ordenadas de A e B, pois a pergunta trata da reta, e não somente do segmento.

C pertence à reta exatamente quando k=2.

Se a base escolhida repetir o mesmo ponto, a igualdade pode virar 0=0 sem testar o terceiro. Escolha outro par distinto. Quando todos os pontos coincidem, há retas que os contêm, mas nenhuma reta única fica determinada pelos dados.

15Equações diferentes podem representar a mesma reta

Uma mesma reta não tem uma única escrita algébrica. Multiplicar uma equação inteira por λ≠0 (λ se lê lambda), com λ real fixo, pode ser desfeito dividindo pelo mesmo número. Os pontos que satisfazem a igualdade permanecem exatamente os mesmos.

\begin{gathered}(a',b',c')=\lambda(a,b,c)\\\lambda\ne0\end{gathered}

As duas equações são de retas válidas. Multiplicar todos os coeficientes pelo mesmo real não nulo conserva todos os pontos e permite desfazer a operação. Para retas iguais, os trios são proporcionais. Multiplicar por uma expressão em x ou y, ou por zero, não é a mesma operação.

Exemplo resolvido · Comparar todos os coeficientes

2x−4y+8=0 e −3x+6y−12=0 representam a mesma reta?

Resolução

Multiplicar os coeficientes (2,−4,8) por −3/2 produz (−3,6,−12). O mesmo fator funciona nas três posições.
Portanto as duas equações são equivalentes. Ambas se reduzem a x−2y+4=0. Comparar apenas os coeficientes de x não seria suficiente.

Sim, são duas equações da mesma reta.

Exemplo resolvido · Multiplicar por uma variável pode acrescentar pontos

Multiplicar y=x por x permite concluir que xy=x² representa exatamente a mesma reta?

Resolução

Todo ponto de y=x satisfaz xy=x². Mas a nova equação pode ser escrita x(y−x)=0.
Um produto é zero se algum fator é zero: agora também serve qualquer ponto com x=0. Por exemplo, (0,2) satisfaz xy=x² e não satisfaz y=x. Dividir por x excluiria esses pontos, exigindo a condição x≠0.

Não: a nova igualdade descreve também o eixo vertical.

16Interseções com os eixos: substituir a coordenada zero

Para encontrar a interseção com Ox, use y=0. Para Oy, use x=0. As fórmulas correspondentes são divisões simples, mas só valem quando o respectivo coeficiente não é zero.

X=\left(-\frac ca,0\right),\quad Y=\left(0,-\frac cb\right)

Em ax+by+c=0, a fórmula de X exige a≠0 e a de Y exige b≠0. Elas vêm de substituir y=0 ou x=0. Se um denominador é zero, examine a equação: a reta pode não encontrar esse eixo ou coincidir com ele. Os interceptos são coordenadas com sinal, não comprimentos obrigatoriamente positivos.

Exemplo resolvido · Intercepto negativo é uma coordenada válida

Encontre as interseções de x−2y−4=0 com os eixos.

Resolução

Em Ox, y=0 dá x−4=0, portanto X=(4,0).
Em Oy, x=0 dá −2y−4=0, então −2y=4 e y=−2. Assim Y=(0,−2). O sinal negativo indica abaixo da origem.

X=(4,0) e Y=(0,−2).

A reta corta Ox em X=(4,0) e Oy em Y=(0,−2). Os interceptos são 4 e −2, com sinal; não dois comprimentos positivos.

Exemplo resolvido · Pode não haver cruzamento, ou haver coincidência

Como y=3 e y=0 se relacionam com o eixo Ox?

Resolução

No eixo Ox, y=0. A reta y=3 exigiria 0=3, impossível, portanto não o encontra.
A reta y=0 é o próprio eixo Ox: todos os seus pontos pertencem a ambos. Não existe uma única interseção a calcular nesse caso.

y=3 não encontra Ox; y=0 coincide com ele.

17Forma segmentária: usar os dois interceptos não nulos

Quando a reta corta os dois eixos em X=(p,0) e Y=(0,q), com p e q não nulos, podemos escrever x/p+y/q=1. O nome segmentária se refere aos interceptos usados; a equação representa a reta inteira, não apenas o segmento XY.

\frac xp+\frac yq=1,\quad p,q\ne0

A reta encontra Ox em (p,0) e Oy em (0,q), com interceptos reais não nulos. Para uma forma geral, isso exige a,b,c não nulos. Retas que passam pela origem, verticais e horizontais não admitem essa escrita com p e q reais não nulos. p ou q podem ser negativos.

Da forma geral, se a,b,c são não nulos, $ax+by=-c$ . Divida por $-c$ : $\frac{a}{-c}x+\frac{b}{-c}y=1$ . Como $p=-c/a$ e $q=-c/b$ , os coeficientes são $1/p$ e $1/q$ , produzindo a forma segmentária.

Exemplo resolvido · O sinal do denominador faz parte da equação

Escreva a forma segmentária da reta com interceptos 4 e −2 e volte à geral.

Resolução

Usamos $x/4+y/(-2)=1$ , isto é, $x/4-y/2=1$ .
Multiplicando todos os termos por quatro, x−2y=4; levando quatro para a esquerda, x−2y−4=0.

x/4−y/2=1, equivalente a x−2y−4=0.

Exemplo resolvido · Uma forma que não se aplica à reta pela origem

Podemos escrever y=2x como x/p+y/q=1 com p,q reais não nulos?

Resolução

A reta passa pela origem. Substituir (0,0) na forma proposta produziria 0+0=1, falso.
Os dois interceptos coincidem na origem; não existem os dois denominadores não nulos exigidos. Usamos a forma reduzida, geral ou paramétrica.

Não; a forma segmentária exige interceptos não nulos.

18Equações paramétricas: um número escolhe o ponto

Escolha um ponto P₀=(x₀,y₀) e um par de direção (u,v) diferente de (0,0). Dar uma unidade ao parâmetro t acrescenta u a x e v a y. Um mesmo t gera as duas coordenadas: x=x₀+ut e y=y₀+vt. O par (u,v) descreve deslocamentos correspondentes, e não outro ponto obrigatório da reta.

\begin{cases}x=x_0+ut\\y=y_0+vt\end{cases}\quad t\in\mathbb R

P₀=(x₀,y₀) pertence à reta, e o par de direção (u,v) não é (0,0). O mesmo t real é usado nas duas coordenadas. t não é automaticamente tempo nem distância. Se u=v=0, a imagem é apenas P₀, não uma reta.

u\ne0:\quad m=\frac vu

Na parametrização com direção não nula (u,v), u é a variação horizontal por unidade de t e v, a vertical. Se u=0, a reta é vertical; se v=0 e u≠0, é horizontal. Multiplicar u e v por um mesmo real não nulo conserva a reta, com outra numeração do parâmetro.

Exemplo resolvido · Testar as duas coordenadas com o mesmo t

Na reta x=1+2t, y=−1+t, com t real, encontre os pontos de t=0 e t=2. Q=(5,0) pertence?

Resolução

Em t=0, o ponto é (1,−1). Em t=2, x=1+2·2=5 e y=−1+2=1, dando (5,1).
Para Q, a abscissa exige 5=1+2t, então t=2. Mas esse t dá ordenada um, e não zero. Não basta que cada coordenada possa ser obtida usando parâmetros diferentes.

Os pontos são (1,−1) e (5,1); Q não pertence.

Exemplo resolvido · Uma parametrização também pode ser vertical

Que conjunto é dado por x=3, y=2−4t, com t real?

Resolução

A abscissa é sempre três. Como −4 é não nulo, qualquer y real é obtido escolhendo t=(2−y)/4.
Portanto o conjunto é toda a reta x=3, sem dividir por uma componente horizontal zero.

A reta vertical x=3.

Multiplicar u e v por um mesmo fator não nulo conserva a direção e a reta completa, mudando a numeração do parâmetro. Se ambos forem zero, nenhum t muda as coordenadas: resta um único ponto. Na reta completa, t não é automaticamente uma medida de distância.

19O domínio decide se temos reta, segmento ou semirreta

As expressões de x e y não bastam sem o domínio de t. Com todos os reais, percorremos a reta inteira. De zero a um, apenas o segmento que começa em P₀ e termina em P₀+(u,v). Com t≥0, uma semirreta a partir de P₀.

\begin{array}{c|c}t\in\mathbb R&\text{reta}\\0\le t\le1&\text{segmento}\\t\ge0&\text{semirreta}\end{array}

Use P=P₀+t(u,v), com direção não nula. O segmento é de P₀ a P₀+(u,v); a semirreta parte de P₀ no sentido (u,v). Alterar o domínio altera o conjunto de pontos, mesmo que as expressões de x e y sejam iguais.

Exemplo resolvido · Mesmas expressões, conjuntos diferentes

Use x=1+2t e y=−1+t. Compare t real, 0≤t≤1 e t≥0.

Resolução

Com t real, obtemos a reta completa, inclusive pontos anteriores a A=(1,−1).
Com 0≤t≤1, os extremos são A=(1,−1) e B=(3,0), formando o segmento AB. Com t≥0, começamos em A, passamos por B e seguimos além de B.

O domínio seleciona reta, segmento ou semirreta.

As expressões usam direção (2,1). A linha com setas é a reta para t real; o trecho mais espesso entre A e B corresponde somente a 0≤t≤1.

20Eliminar o parâmetro conservando as condições

Uma possibilidade é isolar t numa equação cuja componente seja não nula e substituí-lo na outra. Outra é multiplicar os deslocamentos de modo a cancelar t: v(x−x₀)=vu t e u(y−y₀)=uv t são iguais.

v(x-x_0)-u(y-y_0)=0

P₀ é conhecido e (u,v)≠(0,0). A equação descreve a reta da parametrização com t real irrestrito, inclusive se u=0 ou v=0. Se t estiver restrito, conserve também as restrições necessárias para representar apenas o trecho original.

Exemplo resolvido · Uma eliminação sem perder o ponto inicial

Converta x=1+2t, y=−1+t, t real, para a forma geral.

Resolução

Da segunda equação, t=y+1. Substituindo na primeira, x=1+2(y+1)=1+2y+2=2y+3.
Reunindo os termos, x−2y−3=0. Reciprocamente, para qualquer ponto dessa reta, tomar t=y+1 recupera as duas expressões. Como t não tinha restrição, não sobra uma limitação de trecho.

x−2y−3=0.

Se t estava limitado, a equação geral sozinha pode acrescentar pontos. No exemplo com 0≤t≤1, como t=y+1, é preciso conservar 0≤y+1≤1, equivalente a −1≤y≤0. A reta geral junto dessa restrição representa exatamente o segmento.

21Forma simétrica e denominadores que precisam existir

Se u e v são não nulos, podemos isolar t das duas equações: t=(x−x₀)/u e t=(y−y₀)/v. Igualar as duas frações produz a forma simétrica. Se uma componente for zero, essa escrita com dois denominadores não é permitida.

\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}

u≠0 e v≠0. As duas frações são o mesmo parâmetro t na reta completa. Se uma componente for zero, use as equações paramétricas ou a forma horizontal/vertical; não escreva divisão por zero.

Exemplo resolvido · Multiplicar em cruz e distribuir os sinais

Converta (x−2)/3=(y+1)/(−2) para a forma geral.

Resolução

Os denominadores três e −2 são não nulos. Multiplicando em cruz, −2(x−2)=3(y+1).
Distribuindo, −2x+4=3y+3. Subtraindo 3y e três, −2x−3y+1=0. Multiplicar por −1 dá 2x+3y−1=0.
O ponto inicial (2,−1) satisfaz 2·2+3·(−1)−1=0, e a direção é (3,−2).

2x+3y−1=0.

22Encontrar pontos comuns resolvendo as duas condições

Um ponto na interseção de duas retas satisfaz as duas equações ao mesmo tempo. Podemos resolver o sistema por substituição ou adição, conservando todas as condições. A aula seguinte aprofundará posições relativas e distâncias; aqui aprenderemos a localizar e conferir a interseção.

\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}

Cada equação deve representar uma reta válida. Um ponto comum satisfaz as duas simultaneamente. O sistema pode ter um ponto, nenhum ou infinitos. Não combine x de uma solução com y de outra; substitua o par final em ambas.

Exemplo resolvido · Somar para eliminar uma incógnita

Encontre a interseção de x+y=5 e 2x−y=1.

Resolução

Somando as igualdades, (x+y)+(2x−y)=5+1. Os termos em y se cancelam: 3x=6, portanto x=2.
Na primeira, y=5−2=3. Conferindo na segunda, 2·2−3=1. O ponto é (2,3).

As retas têm o ponto comum (2,3).

As duas retas se encontram em P=(2,3). O ponto satisfaz x+y=5 e 2x−y=1; não é uma leitura aproximada feita apenas pela aparência.

Exemplo resolvido · Um sistema pode não dar um ponto único

Compare x+y=5 com 2x+2y=8 e, depois, com 2x+2y=10.

Resolução

No primeiro par, multiplique x+y=5 por dois: 2x+2y=10. Subtrair essa igualdade de 2x+2y=8 cancela os termos em x e y e dá 0=8−10=−2, uma contradição. Não há ponto comum.
No segundo par, a segunda equação já é 2x+2y=10. Subtrair duas vezes a primeira dá 0=10−10=0, pois ela repete a mesma condição. Todos os pontos de x+y=5 são comuns; há infinitos, não uma única resposta numérica.

Nenhuma interseção no primeiro par; infinitos pontos comuns no segundo.

23Parâmetros: separar os casos antes de dividir

Uma letra k em um coeficiente pode representar um dado que varia de um problema para outro. Em cada valor fixado, as incógnitas continuam sendo x e y. Antes de dividir por uma expressão em k, descubra onde ela zera e leia esse caso na equação original.

Exemplo resolvido · Um parâmetro pode mudar a orientação

Discuta kx+(k−1)y+1=0 conforme o real k.

Resolução

Os coeficientes de x e y nunca são zero simultaneamente: k=0 deixa o segundo igual a −1, e k=1 deixa o primeiro igual a um. Sempre há uma reta.
Se k=1, a equação vira x+1=0, vertical x=−1. Se k=0, vira −y+1=0, horizontal y=1.
Para k≠1, isolamos (k−1)y=−kx−1 e dividimos por k−1: y=−[k/(k−1)]x−1/(k−1). Essa forma não autoriza substituir k=1 depois.

Vertical em k=1; horizontal em k=0; reduzida válida para k≠1.

Exemplo resolvido · O caso excluído da divisão pode deixar de ser reta

O que acontece em kx+2ky+1=0 quando k=0?

Resolução

Em k=0, a equação é 1=0 e não possui ponto algum.
Para k≠0, dividir tudo por k dá x+2y+1/k=0, uma reta válida. Não se deve concluir que todo valor real do parâmetro produz uma reta.

Em k=0, conjunto vazio; nos demais valores, uma reta.

24Modelar uma taxa constante e conservar o domínio

Em uma aplicação, uma relação afim pode associar uma quantidade a outra. Para interpretar o gráfico, explique as unidades, a taxa e o valor fixo. O domínio físico pode selecionar apenas uma parte da reta matemática.

Exemplo resolvido · Taxa fixa não é o único dado do preço

Um serviço cobra 4 reais fixos mais 3 reais por quilômetro. Escreva o preço y para x quilômetros, calcule o preço de seis quilômetros e a maior distância com orçamento de 25 reais, no modelo.

Resolução

A parcela variável é 3x e a fixa é quatro: y=3x+4, com x≥0. Para seis quilômetros, y=3·6+4=18+4=22 reais.
O orçamento exige 3x+4≤25. Subtraindo quatro, 3x≤21; dividindo pelo positivo três, x≤7. Junto de x≥0, obtemos 0≤x≤7.
A taxa é 3 reais por quilômetro, e não uma distância. Valores negativos de x pertencem à reta algébrica completa, mas não ao domínio físico escolhido.

Preço y=3x+4 para x≥0; seis quilômetros custam 22 reais; máximo de 7 km.

Uma tabela com dois registros não prova que a relação seja afim em todo o domínio. O modelo precisa declarar a taxa constante. Se os eixos representam grandezas diferentes, como quilômetro e real, não interprete uma inclinação desenhada como ângulo físico de uma estrada.

25Escolher a forma sem perder casos

Leia se a pergunta trata da reta inteira ou de um segmento. Dois pontos precisam ser distintos para determinar uma única reta.
Confira se a variação horizontal é zero antes de calcular m. Horizontal tem m=0; vertical não tem coeficiente angular real.
Na forma geral, exija que a e b não sejam ambos zero. Na reduzida, lembre que n é a ordenada em Oy.
Use interceptos não nulos na segmentária; na simétrica, as duas componentes da direção precisam ser não nulas.
Em equações paramétricas, use o mesmo t nas duas coordenadas e mantenha seu domínio ao converter.
Operações com constantes não nulas conservam a reta. Divisões por variáveis ou parâmetros exigem condições e análise dos valores excluídos.
Verifique o par final nas equações originais e traduza unidades e restrições nas aplicações.

A próxima aula tratará de posições relativas e distâncias: paralelismo, perpendicularidade, ângulos entre retas, projeções e distâncias métricas, retomando as formas de equação construídas aqui.

26Agora é com você

O banco tem 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Comece por pertinência e direção; avance para conversões, casos excepcionais, sistemas e modelos. Registre hipóteses e substituições completas nas discursivas.

Questão 1 de 300 conferidas

Fixação · Objetiva

Qual ponto pertence à reta y=3x−2?

A(1,2).B(2,4).C(0,2).D(2,6).

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

27O que guardar desta aula

Uma equação da reta seleciona pares (x,y). Um ponto pertence quando suas duas coordenadas satisfazem a igualdade.
Dois pontos distintos determinam uma única reta. Um ponto repetido não fornece uma direção; reta e segmento são conjuntos diferentes.
A reta horizontal é y=k e tem m=0. A vertical é x=h e não tem coeficiente angular real.
Em uma reta não vertical, m=Δy/Δx, com Δx≠0. A mesma ordem nas duas diferenças conserva o sinal correto.
A inclinação está em 0°≤θ<180°. Para θ≠90°, m=tan θ; escala visual e unidade influenciam a leitura geométrica do ângulo.
A forma ponto-angular é y−y₀=m(x−x₀); a reduzida é y=mx+n, com n=y₀−mx₀ e interseção (0,n) em Oy.
A forma geral ax+by+c=0 exige (a,b)≠(0,0). Ela inclui as verticais. Coeficientes de x e y ambos nulos produzem plano inteiro ou conjunto vazio.
Produtos cruzados dos deslocamentos dão uma forma geral por dois pontos e a condição de alinhamento, sem dividir por diferenças que podem ser zero.
Multiplicar os três coeficientes por um mesmo real não nulo conserva a reta. Multiplicar por uma variável pode alterar o conjunto de soluções.
Interceptos vêm de y=0 ou x=0. A forma segmentária exige os dois interceptos reais e não nulos; ela representa a reta completa.
As paramétricas usam um ponto, uma direção não nula e o mesmo t nas duas coordenadas. Seu domínio distingue reta, segmento e semirreta.
A forma simétrica exige duas componentes não nulas. Conversões devem conservar os domínios; interseções exigem resolver as duas condições simultaneamente.
Parâmetros precisam de separação de casos antes de dividir. Modelos afins declaram taxa constante, unidades e domínio físico.