Parábola

1Um ponto e uma reta como referências de distância

Escolha um ponto fixo F e uma reta fixa ℓ que não passe por F. A parábola reúne todos os pontos P cuja distância a F é igual à distância perpendicular até ℓ. F é o foco; ℓ é a diretriz. Lugar geométrico é esse conjunto completo de pontos que atendem à condição.

PF=d(P,\ell)

F é um ponto fixo, chamado foco, e ℓ é uma reta fixa, a diretriz, com F fora de ℓ. P varia no plano. A distância até a reta é perpendicular. Eixos ortogonais usam a mesma unidade de comprimento. A condição define uma parábola própria.

A distância de um ponto à reta não é a distância até qualquer ponto que escolhemos nela. É o comprimento do segmento perpendicular, como na aula de posições relativas. Usaremos eixos ortogonais com a mesma unidade de comprimento.

Exemplo resolvido · Medir até a diretriz pela perpendicular

Considere F=(0,1) e diretriz y=−1. P=(2,1), V=(0,0) e Q=(1,1) atendem à condição?

Resolução

Para P, PF=√[(2−0)²+(1−1)²]=2. Sua projeção na diretriz é H=(2,−1), então PH=|1−(−1)|=2. P pertence.
Para V, VF=1 e a distância a y=−1 também é um; V pertence. Para Q, QF=1, mas a distância à diretriz é dois: Q não pertence.

P e V pertencem; Q não pertence.

Na parábola x²=4y, P=(2,1) tem PF=PH=2, com H=(2,−1) na diretriz. O vértice V=(0,0) fica entre F=(0,1) e a diretriz y=−1.

2Localizar vértice e eixo antes da equação

Trace a perpendicular à diretriz passando pelo foco e chame D de seu encontro com a diretriz. A reta FD é o eixo de simetria. O ponto médio de FD é o vértice V: ele tem distâncias iguais ao foco e à diretriz. A curva é simétrica em relação ao eixo e abre para o lado do foco.

Exemplo resolvido · O vértice fica no meio, não no foco

Para F=(2,5) e diretriz y=1, determine eixo, vértice e distância vértice-foco.

Resolução

A projeção do foco é D=(2,1). A perpendicular FD é vertical x=2, que será o eixo.
O ponto médio é V=(2,(5+1)/2)=(2,3). Logo VF=|5−3|=2. O foco está acima do vértice, então a abertura será para cima.

Eixo x=2; vértice (2,3); distância focal dois.

Foco e vértice têm papéis diferentes e não coincidem numa parábola própria. A diretriz fica do lado oposto ao foco em relação ao vértice. Ao longo do eixo, esse é o único ponto equidistante: no segmento FD, as duas partes precisam ter o mesmo comprimento; além dos extremos, as distâncias diferem por FD.

3O que significa p e por que ele pode ser negativo

Nesta aula, p é o deslocamento com sinal do vértice ao foco na coordenada do eixo. Para eixo vertical, p é a ordenada do foco menos a do vértice; para horizontal, é a abscissa do foco menos a do vértice. A distância geométrica é |p|, e não um número negativo.

VF=|p|,\qquad d(F,\ell)=2|p|

Nesta aula, p≠0 é o deslocamento do vértice V ao foco na coordenada do eixo, com sinal. A distância é |p|, sempre positiva. p>0 indica abertura no sentido positivo do eixo, e p<0 no negativo. Outra convenção pode chamar de parâmetro a distância foco-diretriz: nessa convenção a medida seria 2|p|.

Exemplo resolvido · Separar deslocamento e comprimento

Uma parábola horizontal tem vértice V=(1,0) e foco F=(−1,0). Encontre p e a diretriz.

Resolução

O deslocamento horizontal é p=−1−1=−2, apontando à esquerda. A distância VF é |−2|=2.
A diretriz fica à mesma distância do vértice no sentido oposto: sua abscissa é 1−(−2)=3. Logo a diretriz é x=3.

p=−2; distância focal dois; diretriz x=3.

Alguns materiais chamam de parâmetro a distância entre foco e diretriz, que aqui é 2|p|. Ao comparar fórmulas, confira a definição da letra: nas nossas equações, o coeficiente será 4p. O caso p=0 é excluído e será examinado como degeneração.

4Deduzir a equação com eixo vertical

Com V=(0,0), escreva F=(0,p) e diretriz y=−p, com p≠0. Para P=(x,y), a definição exige $\sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|$ . Ambos os lados são não negativos; elevar ao quadrado é uma equivalência.

Temos $x^2+y^2-2py+p^2=y^2+2py+p^2$ . Cancelar y² e p² dá x²−2py=2py; somar 2py aos dois lados fornece x²=4py. O processo é reversível, portanto nenhum ponto estranho foi acrescentado.

x^2=4py,\qquad p\ne0

V=(0,0), foco F=(0,p), diretriz y=−p e eixo x=0. Para p>0 abre para cima; para p<0, para baixo. O coeficiente que multiplica y é 4p, não o próprio p.

Exemplo resolvido · O coeficiente é quatro vezes o parâmetro

Identifique os elementos de x²=−12y.

Resolução

Compare 4p=−12. Dividir por quatro dá p=−3.
O vértice é (0,0), o foco (0,−3), a diretriz y=3 e o eixo x=0. Como p<0, a parábola abre para baixo.
No ponto (6,−3), PF=6 e a distância até y=3 é |−3−3|=6, conferindo a definição.

p=−3, abertura para baixo, foco (0,−3) e diretriz y=3.

5Deduzir a equação com eixo horizontal

Agora F=(p,0) e a diretriz é x=−p. A equidistância é $\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|$ . Quadrados dos lados dão $x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2$ ; após cancelar x² e p², obtemos y²=4px.

y^2=4px,\qquad p\ne0

V=(0,0), foco F=(p,0), diretriz x=−p e eixo y=0. Para p>0 abre à direita; para p<0, à esquerda. A coordenada elevada ao quadrado varia perpendicularmente ao eixo.

Exemplo resolvido · A coordenada ao quadrado indica a direção transversal

Identifique y²=8x.

Resolução

Como 4p=8, p=2. O eixo é horizontal y=0 e a abertura é para a direita.
V=(0,0), F=(2,0) e a diretriz é x=−2. No ponto (2,4), PF=4 e a distância até x=−2 é |2+2|=4.

V=(0,0), F=(2,0), diretriz x=−2 e abertura à direita.

Em x²=4py, y varia ao longo do eixo; em y²=4px, esse papel é de x. Para p negativo, o mesmo cálculo continua válido e a abertura segue o sentido negativo desse eixo.

6Mudar o vértice sem mudar o raciocínio

Para colocar o vértice em V=(h,k), trabalhe com os deslocamentos x−h e y−k. As letras h e k são coordenadas fixas. A forma da equação revela qual eixo é paralelo ao eixo da parábola; o sinal de p revela o sentido da abertura.

\begin{gathered}(x-h)^2=4p(y-k)\\V=(h,k),\quad F=(h,k+p)\\\ell:y=k-p,\quad\text{eixo }x=h\end{gathered}

h,k são reais e p≠0. O vértice V é o ponto médio entre F e sua projeção na diretriz. A simetria troca x por 2h−x, conservando y. p>0 abre para cima; p<0 para baixo.

\begin{gathered}(y-k)^2=4p(x-h)\\V=(h,k),\quad F=(h+p,k)\\\ell:x=h-p,\quad\text{eixo }y=k\end{gathered}

h,k são reais e p≠0. A simetria troca y por 2k−y, conservando x. p>0 abre à direita; p<0 à esquerda. Não inverta as coordenadas de foco e vértice ao comparar com o caso vertical.

Exemplo resolvido · Translação vertical com sinais no vértice

Leia (x−2)²=12(y+1).

Resolução

Escreva y+1=y−(−1). Então V=(2,−1) e 4p=12, portanto p=3.
O foco é F=(2,−1+3)=(2,2), a diretriz y=−1−3=−4 e o eixo x=2. A abertura é para cima.

V=(2,−1), F=(2,2), diretriz y=−4 e eixo x=2.

Exemplo resolvido · Translação horizontal com p negativo

Leia (y+3)²=−8(x−1).

Resolução

V=(1,−3) e 4p=−8, então p=−2. A coordenada y está ao quadrado; o eixo é horizontal.
F=(1−2,−3)=(−1,−3), a diretriz é x=1−(−2)=3 e o eixo é y=−3. A abertura segue para a esquerda.

V=(1,−3), F=(−1,−3), diretriz x=3 e abertura à esquerda.

A curva (y+3)²=−8(x−1) abre à esquerda. V=(1,−3) é o ponto médio entre F=(−1,−3) e D=(3,−3), que está na diretriz x=3.

7Construir a equação a partir das referências geométricas

A diretriz determina a orientação do eixo: são perpendiculares. Projete o foco na diretriz, ache o ponto médio para obter V e calcule p com sinal. A equação vem depois desses dados.

\begin{gathered}F=(f,g),\quad\ell:y=d\\h=f,\quad k=\frac{g+d}{2}\\p=\frac{g-d}{2}\end{gathered}

f,g,d são reais e g≠d. A diretriz horizontal produz eixo vertical; o vértice tem a mesma abscissa do foco. A diferença com sinal determina o lado da abertura. Depois use (x−h)²=4p(y−k).

\begin{gathered}F=(f,g),\quad\ell:x=d\\h=\frac{f+d}{2},\quad k=g\\p=\frac{f-d}{2}\end{gathered}

f,g,d são reais e f≠d. A diretriz vertical produz eixo horizontal. Depois use (y−k)²=4p(x−h). A distância foco-diretriz é o dobro da distância vértice-foco.

Exemplo resolvido · Foco abaixo de uma diretriz horizontal

Encontre a parábola com F=(3,−2) e diretriz y=2.

Resolução

A projeção do foco é D=(3,2). O vértice é V=(3,(−2+2)/2)=(3,0).
O parâmetro é p=−2−0=−2. Na forma vertical, (x−3)²=4(−2)(y−0), então (x−3)²=−8y.

(x−3)²=−8y.

Na curva (x−3)²=−8y, o vértice é (3,0), o foco (3,−2) e a diretriz y=2. O sinal negativo produz abertura para baixo.

Exemplo resolvido · Foco à direita de uma diretriz vertical

Encontre a parábola com F=(4,1) e diretriz x=−2.

Resolução

D=(−2,1) e V=((4−2)/2,1)=(1,1). O deslocamento horizontal até o foco é p=4−1=3.
Logo (y−1)²=4·3(x−1)=12(x−1). O foco e a diretriz são recuperados pelos dados da equação.

(y−1)²=12(x−1).

8Vértice, orientação e um ponto da curva

Conhecer apenas o vértice não basta para determinar a abertura da parábola. Se a orientação do eixo também foi dada, um ponto adequado fora do eixo permite encontrar p por substituição. Primeiro confira se os dados são compatíveis.

p=\frac{(u-h)^2}{4(v-k)}

V=(h,k), o eixo foi declarado vertical e Q=(u,v) é um ponto dado fora do eixo, com u≠h e v≠k. A fórmula vem da substituição na equação e fornece p≠0. Se Q=V, o dado não determina p; se apenas uma das diferenças for zero, os dados são incompatíveis com uma parábola própria de eixo vertical.

Exemplo resolvido · Determinar p sem adivinhar o foco

Uma parábola de eixo vertical tem V=(−1,2) e passa por Q=(3,6). Determine a equação.

Resolução

Use (x+1)²=4p(y−2). Substituir Q dá (3+1)²=4p(6−2), ou 16=16p.
Dividir por dezesseis fornece p=1. A equação é (x+1)²=4(y−2), com foco (−1,3) e diretriz y=1.

(x+1)²=4(y−2).

Exemplo resolvido · Alguns pontos não fornecem um parâmetro válido

Para V=(0,0) e eixo vertical, que acontece se o outro ponto dado for Q=(0,2), R=(2,0) ou o próprio V?

Resolução

Q exigiria 0=8p, o que força p=0 e não produz uma parábola própria. Não há solução com p≠0.
R exigiria 4=0, impossível. Se o ponto for o próprio V, a igualdade é 0=0 para qualquer p: o dado repetido não determina a parábola.

Q e R são incompatíveis; repetir V deixa p indeterminado.

9Conferir pontos e usar o eixo de simetria

Um ponto pertence quando suas duas coordenadas satisfazem a equação. Em (x−h)²=4p(y−k), trocar x−h por seu oposto conserva o quadrado: o ponto refletido é (2h−x,y). Para eixo horizontal, a reflexão é (x,2k−y).

Exemplo resolvido · Refletir um ponto mantendo o vértice deslocado

Verifique P=(5,0) em (x−1)²=8(y+2) e encontre seu simétrico.

Resolução

Em P, (5−1)²=16 e 8(0+2)=16, logo P pertence.
O eixo é x=1. A abscissa refletida é 2·1−5=−3, então Q=(−3,0). A conferência dá (−3−1)²=16, o mesmo lado direito.

P e Q=(−3,0) pertencem e são simétricos em relação a x=1.

Para desenhar x²=4y, por exemplo, podemos usar x=−4,−2,0,2,4, que produzem y=4,1,0,1,4. Os pares são simétricos. A parábola inteira continua além dos pontos e do trecho visível; não é um arco com extremos finitos.

A razão da distância ao foco pela distância à diretriz recebe o nome excentricidade. Como a definição exige distâncias iguais, essa razão vale um em toda a parábola. O denominador não zera: isso exigiria um ponto que fosse o próprio foco e estivesse na diretriz.

e=\frac{PF}{d(P,\ell)}=1

P pertence à parábola própria. A distância à diretriz é positiva: se fosse zero, P teria de ser o foco e estar na diretriz, o que foi excluído. e é a razão das duas distâncias, chamada excentricidade; aqui vale um em qualquer ponto da curva.

10A corda perpendicular ao eixo que passa pelo foco

A corda focal perpendicular ao eixo é o segmento entre dois pontos da parábola na reta que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo. Ela também recebe os nomes lado reto e latus rectum. Seu comprimento ajuda a comparar a abertura de parábolas com o mesmo vértice e orientação.

No caso vertical, colocar y=k+p na equação dá (x−h)²=4p². Assim x−h=±2|p|. Os extremos têm ponto médio F e distância 4|p|. O caso horizontal é obtido colocando x=h+p.

\begin{gathered}A=(h-2|p|,k+p)\\B=(h+2|p|,k+p)\\AB=4|p|\end{gathered}

p≠0. A corda passa pelo foco e é perpendicular ao eixo; também é chamada lado reto ou latus rectum. Seu ponto médio é F. O módulo conserva o comprimento positivo quando p<0.

\begin{gathered}A=(h+p,k-2|p|)\\B=(h+p,k+2|p|)\\AB=4|p|\end{gathered}

p≠0, para (y−k)²=4p(x−h). A corda é vertical, passa pelo foco e tem ponto médio F. Os sinais ±2p fornecem o mesmo par de extremos, mas o comprimento usa 4|p|.

Exemplo resolvido · Uma corda de comprimento positivo quando p é negativo

Determine a corda focal de (x−1)²=−8(y+1).

Resolução

V=(1,−1), p=−2 e F=(1,−3). A reta perpendicular ao eixo pelo foco é y=−3.
Substituindo, (x−1)²=−8(−3+1)=16. Logo x=1±4, produzindo A=(−3,−3) e B=(5,−3).
O comprimento é |5−(−3)|=8, igual a 4|−2|. Não é −8.

Extremos (−3,−3) e (5,−3), comprimento oito.

Exemplo resolvido · No caso horizontal a corda fica vertical

Determine a corda focal de (y−1)²=12(x−2).

Resolução

V=(2,1), p=3 e F=(5,1). Use a reta x=5.
A equação dá (y−1)²=12·3=36. Logo y=1±6, com extremos (5,−5) e (5,7), de comprimento doze.

Extremos (5,−5) e (5,7), comprimento doze.

Na parábola x²=8y, F=(0,2) é o ponto médio da corda de A=(−4,2) até B=(4,2), com comprimento oito. O vértice continua sendo (0,0).

11Domínio e imagem dependem da orientação

Uma função y de x associa uma única ordenada a cada abscissa permitida. Para eixo vertical, basta isolar y dividindo por 4p≠0. Domínio é o conjunto de entradas permitidas; imagem é o conjunto dos valores de saída obtidos.

y=k+\frac{(x-h)^2}{4p}

p≠0 e x pode ser qualquer real. Para p>0, a imagem é y≥k; para p<0, é y≤k. Imagem é o conjunto de ordenadas produzidas. O vértice é mínimo ou máximo, respectivamente.

Exemplo resolvido · Encontrar mínimo e imagem pela soma de um quadrado

Qual é o domínio e a imagem de (x−2)²=12(y+1)?

Resolução

Isolando, y=−1+(x−2)²/12. Todo x real pode ser usado, e o quadrado é não negativo.
Logo y≥−1, com igualdade em x=2. Reciprocamente, qualquer y≥−1 permite x=2±√[12(y+1)], então todos esses valores de y são atingidos.

Domínio ℝ; imagem [−1,+∞); mínimo no vértice (2,−1).

Para eixo horizontal, isolar y exige duas raízes, enquanto isolar x dá uma única expressão para cada y. A curva inteira pode deixar de ser uma função y de x sem deixar de ser uma parábola.

\begin{gathered}y=k\pm\sqrt{4p(x-h)}\\p(x-h)\ge0\end{gathered}

p≠0. Para p>0, x≥h; para p<0, x≤h. Nos x além do vértice no lado permitido, aparecem duas ordenadas. A curva completa não é uma única função y de x; pode ser escrita como x=h+(y−k)²/(4p), com y real irrestrito.

Exemplo resolvido · Abertura à esquerda e duas ordenadas

Descreva (y−1)²=−4(x−2).

Resolução

Temos $y=1\pm\sqrt{4(2-x)}$ . A raiz exige 2−x≥0, portanto x≤2. Para x<2 aparecem duas ordenadas; em x=2 elas coincidem em y=1.
Isolando x, x=2−(y−1)²/4, com y real. Assim todas as ordenadas ocorrem, mas nenhuma abscissa maior que dois é possível.

Abscissas x≤2; ordenadas em ℝ; abertura à esquerda.

12Conectar a função quadrática à definição geométrica

Para y=ax²+bx+c, com a≠0, comece fatorando a nos dois primeiros termos: y=a[x²+(b/a)x]+c. Dentro dos colchetes, x²+(b/a)x=(x+b/(2a))²−b²/(4a²). Multiplicar de volta por a fornece y=a(x+b/(2a))²+c−b²/(4a). Assim a compensação também é multiplicada por a. Comparar com a forma anterior revela o vértice e o parâmetro.

\begin{gathered}y=ax^2+bx+c,\quad a\ne0\\h=-\frac b{2a},\quad k=c-\frac{b^2}{4a}\\p=\frac1{4a}\end{gathered}

a,b,c são reais fixos; h,k são as coordenadas do vértice. Complete quadrados para obter y=a(x−h)²+k e compare com 1/(4p). O coeficiente a não é o parâmetro focal p. Se a=0, a relação é linear ou constante, não uma parábola própria.

Exemplo resolvido · O coeficiente de x² não é a distância focal

Determine vértice, foco e diretriz de y=x²/4−x−1.

Resolução

Agrupe y=(x²−4x)/4−1. Como x²−4x=(x−2)²−4, temos y=(x−2)²/4−1−1=(x−2)²/4−2.
Logo (x−2)²=4(y+2), com V=(2,−2) e p=1. O coeficiente a era 1/4, enquanto p=1/(4a)=1.
O foco é (2,−1), a diretriz y=−3 e a imagem é y≥−2.

V=(2,−2), F=(2,−1), diretriz y=−3.

Exemplo resolvido · Concavidade para baixo e foco fracionário

Faça o mesmo para y=−x²+6x−5.

Resolução

Escreva y=−(x²−6x)−5. Dentro dos parênteses, x²−6x=(x−3)²−9; logo y=−[(x−3)²−9]−5=−(x−3)²+9−5=−(x−3)²+4. O −9 interno vira +9 ao distribuir o sinal negativo. Portanto V=(3,4).
Como a=−1, $p=1/(4a)=-1/4$ . Assim $F=(3,4-1/4)=(3,15/4)$ e a diretriz é $y=4+1/4=17/4$ .
A imagem é y≤4, com máximo quatro no vértice. O foco fica abaixo dele, de acordo com o sinal negativo de p.

V=(3,4), $F=(3,15/4)$ e diretriz $y=17/4$ .

13Completar quadrados nas formas gerais

Com apenas x² como termo quadrático e um termo não nulo em y, podemos completar o quadrado em x para obter o eixo vertical. Com apenas y² e um termo não nulo em x, obtemos o eixo horizontal. Os coeficientes maiúsculos abaixo são números fixos.

\begin{gathered}Ax^2+Bx+Cy+D=0\\h=-\frac B{2A},\quad p=-\frac C{4A}\\k=\frac{B^2/(4A)-D}{C}\end{gathered}

A e C precisam ser não nulos. Complete o quadrado em x e isole y; a forma reduzida é (x−h)²=4p(y−k). Se C=0, pode haver duas retas paralelas, uma reta ou conjunto vazio; se A=0, examine a relação linear ou constante. Letras maiúsculas são coeficientes, não pontos.

\begin{gathered}Ay^2+By+Cx+D=0\\k=-\frac B{2A},\quad p=-\frac C{4A}\\h=\frac{B^2/(4A)-D}{C}\end{gathered}

A≠0 e C≠0. Complete o quadrado em y e isole x. As formas desta aula tratam de eixos paralelos aos eixos coordenados; a presença de xy exige outro tratamento e não autoriza descartar a possibilidade de uma parábola rotacionada.

Exemplo resolvido · Converter uma equação com eixo vertical

Reescreva 2x²−8x−16y+8=0 e identifique os elementos.

Resolução

Agrupe 2(x²−4x)−16y+8=0. Completar dá 2[(x−2)²−4]−16y+8=0.
Distribuir cancela −8+8: 2(x−2)²−16y=0. Isolar e dividir por dois dá (x−2)²=8y.
Logo V=(2,0), p=2, F=(2,2) e diretriz y=−2. A abertura é para cima.

(x−2)²=8y.

Exemplo resolvido · Converter uma equação com eixo horizontal

Reescreva 3y²+6y+12x−9=0.

Resolução

Agrupe 3(y²+2y)+12x−9=0. Como y²+2y=(y+1)²−1, temos 3(y+1)²−3+12x−9=0.
Assim 3(y+1)²=−12x+12. Dividir por três dá (y+1)²=−4(x−1).
V=(1,−1), p=−1, F=(0,−1) e diretriz x=2, com abertura à esquerda.

(y+1)²=−4(x−1).

14Separar os casos que não são parábolas próprias

As fórmulas exigem p≠0 e os coeficientes não nulos indicados. Se o termo na coordenada do eixo desaparece, pode restar uma equação apenas na outra coordenada. Ela precisa ser lida como conjunto de pontos do plano, sem dividir por zero.

\begin{array}{c|c}(x-h)^2=0&x=h\\(y-k)^2=0&y=k\end{array}

Se colocarmos p=0 nas formas reduzidas, resta uma reta inteira, não uma parábola própria. Geometricamente, foco sobre a diretriz também faz a condição de equidistância produzir a perpendicular à diretriz pelo foco. Por isso F fora de ℓ e p≠0 são condições essenciais.

Exemplo resolvido · Um parâmetro pode fazer o termo do eixo desaparecer

Classifique x²−2x+qy+1=0 para q real.

Resolução

Completar o quadrado dá (x−1)²=−qy. Se q≠0, é uma parábola vertical com V=(1,0) e p=−q/4.
Se q<0, p>0 e abre para cima. Se q>0, p<0 e abre para baixo. Se q=0, resta (x−1)²=0, isto é, a reta inteira x=1, com y livre.

Parábola em q≠0; reta x=1 em q=0.

Outros exemplos: x²−4=0 reúne as retas x=−2 e x=2; x²+1=0 não tem pontos reais. Se o coeficiente quadrático também zera, a relação passa a ser linear ou constante: uma igualdade constante verdadeira representa o plano inteiro; uma falsa, o conjunto vazio. Geometricamente, foco sobre a diretriz faz PF²=d(P,ℓ)² cancelar uma coordenada e deixar a perpendicular à diretriz pelo foco; não forma uma parábola própria.

A presença de termo xy pode indicar eixos rotacionados. As formas com eixos horizontal ou vertical não bastam para decidir esse caso, que pertence a um aprofundamento posterior. Não concluímos que toda equação com xy deixa de poder representar uma parábola.

15Encontrar parâmetros a partir de condições de pertinência

Quando duas ou mais condições são dadas, escreva uma equação para cada uma e resolva simultaneamente. Ao final, verifique se o parâmetro focal continua não nulo. Não escolha um sinal pela aparência de um esboço.

Exemplo resolvido · Dois pontos na mesma horizontal determinam a simetria

A curva (x−a)²=4p(y+2), com p≠0, passa por P=(1,0) e Q=(5,0). Determine a e p.

Resolução

Substituir os pontos fornece (1−a)²=8p e (5−a)²=8p. Igualando, (1−a)²=(5−a)².
Expandir dá 1−2a+a²=25−10a+a². Cancelando a² e reunindo, 8a=24, então a=3.
Na primeira condição, (1−3)²=8p dá 4=8p e p=1/2. A equação é (x−3)²=2(y+2). Ambos os pontos produzem quatro nos dois lados.

a=3 e p=1/2.

16Interseções com retas: o cuidado com o eixo

Uma interseção precisa satisfazer a reta e a parábola. Para eixo vertical e reta não vertical, substituir y=mx+n gera uma equação quadrática em x. Como o coeficiente de x² é um, podemos usar o discriminante Δ para distinguir duas raízes, raiz dupla e ausência de raízes reais.

\begin{gathered}(x-h)^2=4p(mx+n-k)\\x^2-(2h+4pm)x\\+h^2-4p(n-k)=0\end{gathered}

p≠0 e a reta é y=mx+n. A equação quadrática tem coeficiente de x² igual a um: discriminante positivo dá duas interseções, zero dá tangência e negativo nenhuma interseção real. A reta vertical x=q, paralela ao eixo, fica fora desse teste: tem um ponto comum e não é tangente.

Exemplo resolvido · Secante, tangente e reta sem encontro

Compare y=x, y=x−1 e y=x−2 com x²=4y, encontrando as interseções.

Resolução

Em y=x, x²=4x dá x(x−4)=0. Logo x=0 ou x=4 e os pares são (0,0) e (4,4).
Em y=x−1, x²−4x+4=0 é (x−2)²=0. Há raiz dupla e um único contato T=(2,1): essa reta é tangente.
Em y=x−2, a equação é x²−4x+8=0. Seu discriminante é (−4)²−4·1·8=16−32=−16, sem raiz real. Não há ponto comum.

Dois pontos; tangência em (2,1); nenhum ponto, respectivamente.

Exemplo resolvido · Um ponto comum não garante tangência numa parábola

Qual é a interseção de x=2 com x²=4y? Essa reta é tangente?

Resolução

Substituir x=2 dá 4=4y, então y=1. Há um único ponto comum, (2,1).
A reta é paralela ao eixo da parábola e cruza a curva; não é sua tangente. Em x=2, a direção da curva será a de y=x−1, que acabamos de obter por raiz dupla.
Uma reta vertical não participa da substituição y=mx+n. Contar apenas os pontos de encontro, como fazíamos com circunferências, não basta para concluir tangência aqui.

Interseção única (2,1), mas x=2 não é tangente.

As retas x=2 e y=x−1 têm o mesmo único ponto de encontro com x²=4y, T=(2,1). Apenas y=x−1 é tangente; x=2 é paralela ao eixo e atravessa a curva.

17A direção da curva e a tangente no ponto

A tangente indica a direção da curva em um ponto T. Podemos entendê-la aproximando um segundo ponto S da curva de T: a reta secante TS vai se aproximando de uma direção definida. Não é necessário usar derivadas para obter a expressão nas parábolas desta aula.

Para eixo vertical, tome T=(tₓ,tᵧ) e S=(sₓ,sᵧ), com sₓ≠tₓ. Substituir as ordenadas da parábola no coeficiente angular da secante dá $\frac{(s_x-h)^2-(t_x-h)^2}{4p(s_x-t_x)}$ . O numerador é $(s_x-t_x)(s_x+t_x-2h)$ ; podemos cancelar sₓ−tₓ porque ele é não nulo. O coeficiente angular fica $(s_x+t_x-2h)/(4p)$ . Quando S se aproxima de T, essa expressão se aproxima de $(t_x-h)/(2p)$ . Na forma ponto-angular, 2p(y−tᵧ)=(tₓ−h)(x−tₓ). Escrever x−tₓ=(x−h)−(tₓ−h) e usar $(t_x-h)^2=4p(t_y-k)$ dá 2p(y−tᵧ)=(tₓ−h)(x−h)−4p(tᵧ−k). Somar 4p(tᵧ−k) aos dois lados e reunir os termos resulta na expressão abaixo.

(t_x-h)(x-h)=2p(y+t_y-2k)

\begin{gathered}(t_x-h)(x-h)\\=2p(y+t_y-2k)\end{gathered}

T=(tₓ,tᵧ) pertence a (x−h)²=4p(y−k), com p≠0. O coeficiente angular da tangente é (tₓ−h)/(2p). No vértice, ela é horizontal y=k; não há tangente vertical a uma parábola de eixo vertical.

Também podemos conferir o contato algebricamente. Escreva X=x−h, Y=y−k, X₀=tₓ−h e Y₀=tᵧ−k. Como T está na curva, $X_0^2=4pY_0$ . A reta proposta é $X_0X=2p(Y+Y_0)$ . Substituí-la em X²=4pY produz $X^2-2X_0X+X_0^2=0$ , isto é, $(X-X_0)^2=0$ . Ela toca apenas T com raiz dupla.

Exemplo resolvido · Tangente por ponto pertencente à curva

Encontre a tangente a x²=4y em T=(2,1).

Resolução

A conferência dá 2²=4·1, e p=1. A fórmula é 2x=2·1(y+1).
Dividindo por dois, x=y+1, então y=x−1. Substituir essa reta na parábola produz (x−2)²=0, confirmando o contato.

y=x−1.

No vértice de uma parábola vertical, o coeficiente angular da tangente é zero e sua equação é y=k. Em outros pontos, a fórmula também fornece coeficiente angular real finito. Portanto nenhuma reta vertical é tangente a uma parábola de eixo vertical.

18A orientação horizontal inclui uma tangente vertical

Trocar as funções das coordenadas no argumento anterior fornece a tangente para eixo horizontal. Essa forma evita dividir por tᵧ−k, que pode ser zero justamente no vértice.

(t_y-k)(y-k)=2p(x+t_x-2h)

\begin{gathered}(t_y-k)(y-k)\\=2p(x+t_x-2h)\end{gathered}

T pertence a (y−k)²=4p(x−h), p≠0. No vértice a tangente é vertical x=h; os outros pontos têm tangentes não verticais. A fórmula não divide por tᵧ−k e conserva o caso do vértice.

Exemplo resolvido · Conservar o contato no vértice

Encontre as tangentes a (y+1)²=8(x−2) em T=(4,3) e no vértice.

Resolução

V=(2,−1) e p=2. T pertence, pois (3+1)²=16=8(4−2).
No ponto T, a fórmula é (3+1)(y+1)=4(x+4−4). Assim 4y+4=4x e a tangente é x−y−1=0.
No vértice T=(2,−1), o lado esquerdo é zero e o direito é 4(x−2). A tangente é x=2, vertical. Não precisamos atribuir um coeficiente angular real a ela.

Em (4,3): x−y−1=0. No vértice: x=2.

19A normal passa pelo ponto e é perpendicular à tangente

Normal é a reta perpendicular à tangente no ponto de contato. Ela não é, em geral, a reta que liga o ponto ao foco. Podemos obtê-la pelo teste de perpendicularidade em forma geral, incluindo os vértices.

2p(x-t_x)+(t_x-h)(y-t_y)=0

\begin{gathered}2p(x-t_x)\\+(t_x-h)(y-t_y)=0\end{gathered}

p≠0 e T pertence à curva. Normal é a reta por T perpendicular à tangente, não necessariamente a reta que liga T ao foco. No vértice, a normal coincide com o eixo x=h.

(t_y-k)(x-t_x)+2p(y-t_y)=0

\begin{gathered}(t_y-k)(x-t_x)\\+2p(y-t_y)=0\end{gathered}

p≠0 e T pertence à curva. No vértice, a normal é horizontal y=k. Os coeficientes de x e y das retas tangente e normal satisfazem o teste de perpendicularidade da aula de posições relativas.

Exemplo resolvido · Conferir as normais nas duas orientações

Encontre a normal a x²=4y em (2,1), e a normal a (y+1)²=8(x−2) em (4,3).

Resolução

No primeiro caso, p=1 e h=0. A normal é 2(x−2)+2(y−1)=0. Dividir por dois dá x+y−3=0, ou y=−x+3.
No segundo, k=−1 e p=2. A normal é (3+1)(x−4)+4(y−3)=0. Dividir por quatro dá x+y−7=0.
As tangentes encontradas têm coeficiente angular um, e as normais têm coeficiente angular −1; o produto é −1. No vértice, a normal coincide com o eixo da respectiva parábola.

Normais x+y−3=0 e x+y−7=0.

Em T=(2,1) na curva x²=4y, a tangente é y=x−1 e a normal é y=−x+3. O marcador mostra que essas duas retas são perpendiculares.

20Encontrar a tangente com coeficiente angular dado

Para uma parábola vertical, todo coeficiente angular real m fornece uma única tangente. Igualar m=(tₓ−h)/(2p) dá tₓ=h+2pm. Substituir na curva produz (2pm)²=4p(tᵧ−k); dividir por 4p≠0 fornece tᵧ=k+pm². A forma ponto-angular é y−(k+pm²)=m[x−(h+2pm)]. Distribuir m e isolar y dá y=k+pm²+mx−mh−2pm², que se reduz à expressão abaixo.

y=mx+k-mh-pm^2

p≠0, m real e parábola (x−h)²=4p(y−k). O contato tem tₓ=h+2pm e tᵧ=k+pm². A fórmula vem de discriminante zero ou da tangente no ponto. Uma reta paralela ao eixo, x=q, não é uma solução perdida desta família.

Exemplo resolvido · Determinar o termo constante pelo discriminante

Qual reta y=2x+n é tangente a x²=4y?

Resolução

A substituição dá x²=4(2x+n), então x²−8x−4n=0. Com coeficientes 1, −8 e −4n, o discriminante é Δ=(−8)²−4·1·(−4n)=64+16n.
Para raiz dupla, 64+16n=0, então n=−4. A equação vira (x−4)²=0, e o contato é (4,4).
A forma direta também dá y=2x−1·2²=2x−4. O coeficiente angular dois é conservado.

y=2x−4, com contato (4,4).

21Tangentes por um ponto dado podem não existir

Uma condição de tangência não admite que se escolha qualquer termo constante. Substitua a equação da reta pelo ponto dado e resolva os parâmetros reais, verificando as possibilidades da orientação da parábola.

Exemplo resolvido · Duas tangentes por um ponto e nenhuma por outro

Encontre as tangentes a x²=4y por P=(0,−1). Há alguma por Q=(0,1)?

Resolução

Por P, uma reta não vertical é y=mx−1. Como a tangente de coeficiente angular m tem termo constante −m², precisamos de −1=−m², então m=±1.
As retas são y=x−1 e y=−x−1. Pela fórmula do contato (2pm,pm²), com p=1, m=1 dá (2,1), e m=−1 dá (−2,1). Substituir as retas na curva produz, respectivamente, (x−2)²=0 e (x+2)²=0, confirmando os contatos. Em x=0, ambas dão y=−1 e passam por P.
Por Q, a reta seria y=mx+1. A condição 1=−m² não tem solução real. A vertical x=0 não é tangente à parábola vertical, portanto não há uma solução omitida.

Por P: y=x−1 e y=−x−1. Por Q: nenhuma tangente real.

22Um parâmetro real percorre a parábola inteira

Podemos escolher coordenadas que já satisfaçam a equação. As parametrizações polinomiais abaixo usam o mesmo t real nas duas coordenadas. O parâmetro não é automaticamente um ângulo nem tempo; seu significado depende do modelo.

\begin{cases}x=h+2pt\\y=k+pt^2\end{cases}\quad t\in\mathbb R

p≠0. O mesmo parâmetro real t gera as duas coordenadas e percorre a curva inteira, sem repetição. Sua inversa é t=(x−h)/(2p). t não é automaticamente ângulo nem tempo.

\begin{cases}x=h+pt^2\\y=k+2pt\end{cases}\quad t\in\mathbb R

p≠0. A inversa é t=(y−k)/(2p), mostrando que cada ponto da parábola é atingido uma vez. Restringir t seleciona somente um trecho e precisa ser mantido no modelo.

No caso vertical, $(x-h)^2=(2pt)^2=4p^2t^2=4p(y-k)$ . Além de gerar pontos válidos, a expressão atinge todos eles: dado um ponto da curva, tome $t=(x-h)/(2p)$ , permitido por p≠0. No caso horizontal, a verificação é a mesma com x e y trocados.

Exemplo resolvido · Calcular e recuperar o mesmo parâmetro

Use h=1, k=−1 e p=2 no caso vertical. Qual ponto corresponde a t=−1?

Resolução

As expressões são x=1+4t e y=−1+2t². Em t=−1, x=1−4=−3 e y=−1+2=1.
A equação é (x−1)²=8(y+1). No ponto (−3,1), os dois lados valem dezesseis. Recuperar t=(−3−1)/4=−1 confirma o valor usado.

O ponto é (−3,1).

Com t em todos os reais, percorremos a curva inteira. Restringir t, por exemplo a [−1,1], seleciona um trecho. Essa restrição deve acompanhar uma interpretação física ou uma mudança de representação.

23Por que raios paralelos ao eixo se dirigem ao foco

No modelo de um espelho parabólico ideal, raios que chegam paralelos ao eixo, pelo lado da abertura, são refletidos em direção ao foco. A propriedade tem uma explicação geométrica usando as distâncias que definem a curva e sua tangente.

Para um ponto T fora do vértice, chame H de sua projeção na diretriz. Temos TF=TH. O triângulo TFH é isósceles, e a mediatriz de FH passa por T e divide igualmente o ângulo entre TF e TH. Essa mediatriz é a tangente: sua direção coincide com a fórmula obtida acima. As duas direções, paralela ao eixo e dirigida ao foco, ficam simétricas em relação à tangente, satisfazendo a lei de reflexão. No vértice, a tangente é perpendicular ao eixo e o raio volta pelo próprio eixo.

Exemplo resolvido · Verificar a geometria de um ponto de reflexão

Considere x²=16y, F=(0,4) e T=(4,1). Identifique H e a tangente e confira a equidistância.

Resolução

p=4 e a diretriz é y=−4. Assim H=(4,−4). TF=√[(4−0)²+(1−4)²]=√25=5 e TH=|1+4|=5.
A tangente é 4x=8(y+1), ou x−2y−2=0. O ponto médio de FH é M=(2,0), que satisfaz 2−0−2=0.
FH tem direção (4,−8), paralela à normal (1,−2) da tangente. Portanto a reta por T é de fato a mediatriz de FH, confirmando a simetria usada na reflexão.

H=(4,−4); tangente x−2y−2=0; TF=TH=5.

Em x²=16y, um raio vertical que chega a T=(4,1) é refletido rumo a F=(0,4). H=(4,−4) está na diretriz, e a tangente em T é mediatriz de FH.

24Largura e profundidade determinam a distância focal

Considere um perfil refletor simétrico que abre para cima e tem o vértice na origem. Se a largura total na borda é W e a profundidade é d, as bordas têm coordenadas (−W/2,d) e (W/2,d). Substituir uma delas em x²=4py dá W²/4=4pd; como d>0, dividir por 4d fornece a relação abaixo.

p=\frac{W^2}{16d}

Perfil y=x²/(4p), com p>0; W>0 é a largura total na borda e d>0 é a profundidade, ambas na mesma unidade. A borda tem x=±W/2 e y=d. A distância focal p é medida do vértice ao foco; não é necessariamente igual à profundidade d.

Exemplo resolvido · Não confundir profundidade com distância ao foco

Um perfil parabólico tem largura oito metros e profundidade um metro. Encontre sua equação e posição do foco.

Resolução

W=8 e d=1. Logo p=8²/(16·1)=64/16=4 metros.
A equação é x²=16y, ou y=x²/16, e o foco é F=(0,4). A borda (4,1) confere: 4²=16·1.
A parte física descrita usa −4≤x≤4, enquanto a parábola matemática continua além desse trecho. O foco fica acima da borda; a distância focal quatro não é a profundidade um.

x²=16y; foco (0,4), quatro metros acima do vértice.

O perfil físico tem bordas (−4,1) e (4,1), largura oito e profundidade um. Seu foco é (0,4); a distância focal é medida desde o vértice, não desde a borda.

Ao girar um perfil parabólico em torno do eixo, obtemos uma superfície chamada paraboloide de revolução. Essa é a conexão entre o desenho plano e um refletor tridimensional. O comportamento óptico descrito pressupõe a forma ideal, raios paralelos ao eixo e reflexão na superfície adequada.

25Modelar um arco e limitar o domínio físico

Exemplo resolvido · Encontrar a largura em uma altura determinada

Um arco é modelado por uma parábola com vértice (0,9) e bases em (−6,0) e (6,0), em metros. Determine a equação e a largura na altura cinco.

Resolução

Por ter eixo vertical e vértice (0,9), escreva y=ax²+9. Na base (6,0), 0=36a+9, então 36a=−9 e a=−1/4.
A equação é y=9−x²/4, com trecho físico −6≤x≤6. Na altura y=5, 5=9−x²/4, então x²/4=4 e x²=16.
Os dois pontos nessa altura têm abscissas −4 e quatro; a largura é 4−(−4)=8 metros.
Comparando com a forma geométrica, p=1/(4a)=−1. O foco é (0,8) e a diretriz y=10, coerentes com a abertura para baixo.

y=9−x²/4 no trecho [−6,6]; largura de oito metros na altura cinco.

O arco físico segue y=9−x²/4 entre as bases (−6,0) e (6,0). A horizontal y=5 encontra o perfil em (−4,5) e (4,5), determinando largura oito.

Dois pontos e um vértice não provam que qualquer arco real seja parabólico. A hipótese do modelo deve ser declarada. Também é preciso converter unidades antes das contas e conservar o trecho permitido: uma parte do gráfico abaixo do solo, por exemplo, pode não pertencer ao arco físico.

26Organizar a leitura e conferir as restrições

Comece pelo foco e pela diretriz ou pelo vértice e orientação. Foco fora da diretriz e p≠0 são condições de parábola própria.
Identifique qual coordenada está ao quadrado: ela varia perpendicularmente ao eixo. Leia 4p, depois divida por quatro.
Separe p com sinal de |p| como distância. Foco e diretriz ficam em lados opostos do vértice.
Complete quadrados antes de extrair vértice, foco e diretriz de uma equação geral.
Confira os dados substituindo pontos na equação e comparando distância ao foco e à diretriz.
Em interseções, separe retas paralelas ao eixo: um único ponto comum não garante tangência.
Tangentes no ponto exigem pertencimento à curva. Normais são perpendiculares às tangentes e não precisam passar pelo foco.
Diga se a curva é uma função y de x ou uma relação com dois ramos. Declare domínio e imagem quando solicitados.
Em modelos, conserve unidades, orientação e trecho físico. Parâmetro real não significa automaticamente ângulo ou tempo.

A próxima aula será Elipse. Vamos construir outro lugar geométrico, agora pela soma das distâncias a dois focos, retomando o cuidado com as condições e o significado das letras.

27Agora é com você

São 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Comece pela definição e pelos elementos; avance para conversões, casos especiais, interseções, tangentes e modelos. Os dados variam em relação aos exemplos para exercitar os procedimentos. Nas discursivas, mostre substituições e justificativas.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Qual condição define uma parábola própria?

ADistância constante até um centro.BDistância ao foco igual à distância perpendicular à diretriz, com o foco fora dela.CDistância ao foco igual à distância até qualquer ponto escolhido da diretriz.DFoco obrigatoriamente sobre a diretriz.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

28O que guardar desta aula

Parábola é o lugar dos pontos equidistantes de um foco e de uma reta diretriz que não contém o foco.
O vértice é o ponto médio entre o foco e sua projeção na diretriz. O eixo passa por eles e é perpendicular à diretriz.
Nesta convenção, p é um deslocamento com sinal. VF=|p| e a distância foco-diretriz é 2|p|; p≠0.
Para eixo vertical: (x−h)²=4p(y−k), F=(h,k+p), diretriz y=k−p. Para eixo horizontal: (y−k)²=4p(x−h), F=(h+p,k), diretriz x=h−p.
O sinal de p determina o sentido da abertura. O caso p=0 nas formas reduzidas produz uma reta, não uma parábola própria.
A corda focal perpendicular ao eixo mede 4|p| e tem o foco como ponto médio.
Parábola vertical é função y de x para todo x real, com mínimo ou máximo no vértice. A horizontal tem dois ramos de y para cada x além do vértice no lado permitido.
Para y=ax²+bx+c, a≠0, h=−b/(2a), k=c−b²/(4a) e p=1/(4a). O coeficiente a não é o próprio p.
Nas formas gerais, o termo quadrático e o termo na coordenada do eixo precisam dos coeficientes não nulos indicados; complete quadrados e trate os casos excluídos.
A excentricidade é PF/d(P,ℓ)=1. O denominador é positivo numa parábola própria.
Para retas não paralelas ao eixo, o discriminante da interseção distingue duas raízes, tangência e ausência de encontro real. Retas paralelas ao eixo têm um encontro e não são tangentes.
A tangente descreve a direção da curva no ponto; a normal é sua perpendicular. No vértice, a tangente é perpendicular ao eixo e a normal coincide com ele.
As parametrizações polinomiais usam o mesmo t real nas duas coordenadas. Restringir t restringe o trecho da curva.
A propriedade refletora vem da igualdade de distâncias e da geometria da tangente. No perfil x²=4py, largura W e profundidade d dão p=W²/(16d), com W,d>0.
Modelos físicos precisam declarar hipótese parabólica, unidades compatíveis e domínio do trecho usado.