1Conceitos fundamentais
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- Reta, semirreta e segmento são objetos diferentes. O segmento possui comprimento finito; a reta e a semirreta se prolongam indefinidamente.
- A adição de segmentos depende de o ponto intermediário estar entre os extremos. O ponto médio divide o segmento em duas partes iguais.
- Ângulo mede abertura. Graus, minutos e segundos de arco não seguem uma divisão decimal entre si.
- Adjacência descreve posição; complementaridade e suplementaridade descrevem somas. Opostos pelo vértice têm medidas iguais.
- Bissetriz divide um ângulo em duas partes iguais; mediatriz passa pelo ponto médio de um segmento e é perpendicular a ele.
- Em paralelas cortadas por uma transversal, correspondentes e alternos são iguais; colaterais são suplementares. Preserve a hipótese de paralelismo.
2Triângulos
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- Um triângulo tem três vértices não colineares. Seus ângulos internos somam 180°.
- Lados positivos precisam satisfazer a desigualdade triangular estrita para formar uma figura não degenerada.
- Congruência conserva medidas; semelhança conserva ângulos e multiplica os comprimentos pelo mesmo fator positivo.
- Na semelhança de razão k, os perímetros variam por k e as áreas por .
- A área é base vezes altura perpendicular, dividida por 2. Pitágoras exige um triângulo retângulo.
3Polígonos
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- Um polígono simples tem contorno fechado formado por segmentos, sem cruzamentos, com um número inteiro de lados ao menos igual a três.
- Convexidade se refere à região. Regularidade exige lados iguais e ângulos iguais; uma condição não substitui a outra.
- De um vértice partem n − 3 diagonais. Para o total, multiplicamos por n e dividimos por dois, evitando contar cada diagonal duas vezes.
- Uma triangulação válida tem n − 2 triângulos e fornece a soma dos internos. Em figuras não convexas, as diagonais escolhidas precisam ficar na região.
- Os externos de um convexo, tomados um por vértice em um mesmo sentido de percurso, somam uma volta. No não convexo, a extensão dessa ideia exige giros com sinal.
- No regular, podemos dividir as somas angulares por n. Ângulo central e externo têm medidas iguais, mas são objetos diferentes.
- O apótema é perpendicular ao lado e chega a seu ponto médio. Com o raio e a metade do lado, forma um triângulo retângulo.
4Quadriláteros
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- Todo quadrilátero simples tem quatro lados, duas diagonais e soma dos ângulos internos de 360 graus. Nas famílias desta aula, supusemos convexidade.
- No paralelogramo, lados e ângulos opostos são iguais, consecutivos são suplementares e as diagonais se dividem ao meio. Cada caracterização estudada permite provar essa família a partir de outros dados.
- O retângulo acrescenta ângulos retos e diagonais iguais. O losango acrescenta quatro lados iguais, diagonais perpendiculares e bissetrizes. O quadrado reúne ambas as famílias.
- Trapézio foi definido aqui por exatamente um par de lados opostos paralelos. Altura é distância perpendicular entre as bases; base média é o segmento entre os pontos médios dos lados não paralelos.
- No deltoide, uma diagonal é mediatriz da outra, mas a divisão mútua ao meio não é garantida. Diagonais iguais e perpendiculares, sem outra hipótese, não bastam para provar um quadrado.
- Pontos médios de lados de um triângulo produzem um segmento paralelo ao terceiro lado, com metade de seu comprimento. Essa relação justifica a base média do trapézio e o teorema de Varignon.
- Uma conclusão precisa acompanhar suas hipóteses. Para recíprocas falsas, um contraexemplo com todas as condições dadas já basta para mostrar a falha.
5Circunferência e círculo
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- Circunferência é o contorno; círculo inclui a região. Raio, diâmetro, corda e comprimento de arco são medidas de comprimento, distintas de área.
- A distância perpendicular ao centro decide a posição de uma reta. Tangente e raio no contato são perpendiculares, e tangentes de um mesmo ponto exterior têm comprimentos iguais.
- Medida angular de arco coincide com a central correspondente. O inscrito e o ângulo entre tangente e corda medem metade do arco correto, que pode ser maior que 180 graus.
- Para vértice interior, usamos metade da soma dos arcos interceptados. Para vértice exterior, metade da diferença entre arco afastado e próximo.
- No quadrilátero convexo inscrito, ângulos opostos são suplementares. Na circunscrição aos quatro lados, as somas de comprimentos de lados opostos são iguais. Os critérios tratam de situações diferentes.
- No encontro interior de cordas, multiplicamos as duas partes de cada corda. No exterior, multiplicamos trecho externo por distância total; uma tangente aparece ao quadrado.
- A potência OP² − r² depende da posição: é positiva fora, negativa dentro e zero no contorno. Produtos de comprimentos interiores positivos valem o oposto da potência.
- O comprimento total é 2πr; o comprimento de um arco é a fração da volta multiplicada por esse total. A unidade angular precisa concordar com a expressão usada.
- Circuncentro e incentro de um triângulo têm definições diferentes. No polígono regular, os centros inscrito e circunscrito coincidem com o centro do polígono, e Pitágoras relaciona os raios ao lado.
6Áreas de figuras planas
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- Área mede superfície e usa unidades quadradas; perímetro mede o contorno e usa unidades de comprimento. Uma mesma área não determina um único perímetro.
- As fórmulas dos polígonos vêm de decompor, completar ou reorganizar regiões. Altura é uma distância perpendicular à reta da base, e pode ter o pé fora do lado.
- Verifique as hipóteses: produto das diagonais exige perpendicularidade; perímetro vezes raio inscrito exige tangência a todos os lados.
- Diferencie círculo, setor, coroa e segmento circular. No segmento menor, retiramos o triângulo do setor; no maior, usamos o complemento no círculo.
- Em figuras semelhantes, um fator linear k produz fator de área k². Conversões de unidades de comprimento também precisam ser elevadas ao quadrado.
- Heron calcula a área pelos três lados, depois de verificar positividade e desigualdades de existência. Guarde valores exatos até o arredondamento final.
O registro de estudo é local e não exige cadastro.