Áreas de figuras planas

1O que significa medir uma superfície?

Revestir um piso e cercar um terreno são tarefas diferentes. O revestimento ocupa uma região; a cerca acompanha seu contorno. A área mede o tamanho da superfície ocupada, e o perímetro mede o comprimento de uma volta pela borda. Nesta aula, retomaremos alturas, diagonais, pontos médios, semelhança, Pitágoras e circunferências para justificar as fórmulas.

Escolhemos uma unidade de comprimento u e tomamos como unidade de área o quadrado de lado u. Sua área é $1\,u^2$. Medir uma região significa compará-la com essa superfície unitária. Se ela se divide exatamente em doze quadrados unitários, sua área é $12\,u^2$, mesmo que as peças sejam reorganizadas sem lacunas nem sobreposição de interiores.

• Regiões congruentes, que podem ser sobrepostas por movimentos rígidos, têm áreas iguais. Mover ou girar uma peça não altera sua área.
• Quando uma região é dividida em partes sem sobreposição de interiores, sua área é a soma das áreas dessas partes. Compartilhar uma borda não acrescenta área.
• A área de uma região não degenerada é positiva. Se uma região está contida em outra, sua área não é maior que a da região que a contém. Comprimentos e unidades quadradas precisam ser coerentes.

Também pode ocorrer o contrário: retângulos de lados 6 e 4 e de lados 12 e 2 têm a mesma área, 24, mas perímetros 20 e 28. Figuras de mesma área são chamadas equivalentes; isso não exige congruência, mesmo formato nem mesmo perímetro. Vamos deduzir as medidas dessas áreas a partir da contagem de quadrados.

2Unidades quadradas e conversões

Ao mudar a unidade de comprimento, o fator aparece duas vezes na área: uma em cada direção. Se 1 m contém 100 cm, um quadrado de lado 1 m contém 100 colunas e 100 linhas de quadrados de lado 1 cm. Portanto, 1 m² contém 10 000 cm², e não apenas 100 cm².

• Na sequência km², hm², dam², m², dm², cm² e mm², cada passo para uma unidade menor multiplica o valor numérico por 100; cada passo para uma unidade maior divide por 100.
• $1\text{ m}^2=100\text{ dm}^2$ e $1\text{ m}^2=10\,000\text{ cm}^2$. Também $1\text{ km}^2=1\,000\,000\text{ m}^2$.
• O hectare é uma unidade de superfície: $1\text{ ha}=10\,000\text{ m}^2$, a área de um quadrado de lado 100 m. Um are, de símbolo a, equivale a $100\text{ m}^2$.

3Retângulos e quadrados

Em um retângulo com base de b unidades e altura de h unidades, ambas inteiras positivas, há b quadrados unitários em cada linha e h linhas. A contagem é o produto bh. O retângulo não precisa estar desenhado com um lado horizontal; seus lados consecutivos são perpendiculares em qualquer posição.

A ideia continua válida para medidas fracionárias: dividimos a unidade em uma malha mais fina, de forma que os dois lados contenham números inteiros de pequenas partes. Se q é um inteiro positivo, um quadrado com lado 1/q da unidade tem área 1/q² da unidade quadrada, pois q² deles cobrem o quadrado unitário. Contar as peças e depois multiplicar pela área de cada uma fornece novamente o produto das medidas dos lados.

Para medidas irracionais, podemos aproximar os lados por medidas racionais, com retângulos por dentro e por fora. Ao refinar a aproximação, as duas áreas se aproximam do mesmo produto bh. Aceitamos aqui a continuidade da medida de área nesse processo; não supomos que toda superfície seja uma quantidade inteira de quadrados unitários.

O quadrado é um caso particular de retângulo, com os dois lados consecutivos de comprimento ℓ. Substituir b = h = ℓ dá a área do quadrado:

No retângulo, o perímetro é $2(b+h)$ e a área é $bh$. No quadrado, o perímetro é $4\ell$ e a área é $\ell^2$. A operação e a unidade indicam qual grandeza está sendo calculada.

4Paralelogramos: reorganizar sem perder área

A inclinação de um paralelogramo pode mudar enquanto a base e a distância entre os lados paralelos permanecem iguais. A área depende dessas duas medidas, não do comprimento do lado inclinado. A altura relativa à base é a distância perpendicular entre as retas dos dois lados paralelos.

Na configuração desenhada, cortamos uma ponta pela perpendicular à base e a deslocamos horizontalmente até a outra extremidade. A ponta e sua cópia deslocada são congruentes; o restante não muda. O retângulo formado tem a mesma base b e a mesma altura h, portanto a área do paralelogramo é bh.

Se a figura for muito inclinada e o pé dessa perpendicular cair fora da base, o argumento pode ser aplicado por faixas: dividimos o paralelogramo por paralelas à base em um número suficiente de faixas de igual altura, até que o deslocamento horizontal de cada faixa seja menor que b. Cada faixa pode ser reorganizada como no desenho. Somar as bases b multiplicadas pelas alturas das faixas, cuja soma é h, fornece bh. Refletir a figura cobre a inclinação para o outro lado sem mudar a área.

5Triângulos e a metade do paralelogramo

Uma diagonal divide um paralelogramo em dois triângulos congruentes. Assim, cada um ocupa metade da área total. Dado um triângulo ABC, podemos completá-lo a um paralelogramo ABCD cuja diagonal é AC. Ele tem a mesma base AB e a mesma altura relativa a essa base; logo, o dobro da área do triângulo é bh.

A altura é a distância até a reta da base, e não necessariamente um segmento que termina entre os extremos do lado. A dedução vale para triângulos acutângulos, retângulos e obtusângulos. Escolher outro lado como base muda a altura correspondente, mas não a área; os três produtos base × altura são iguais a 2S.

Em um triângulo retângulo, os dois catetos são perpendiculares: se medem p e q, $S=pq/2$. A hipotenusa não é uma altura relativa a um cateto. Se usarmos a hipotenusa como base, precisaremos da perpendicular traçada do vértice reto até ela.

O caso equilátero

A altura h do triângulo equilátero de lado ℓ satisfaz $h^2+(\ell/2)^2=\ell^2$. Logo, $h^2=3\ell^2/4$ e, como h e ℓ são positivos, $h=\ell\sqrt3/2$. Substituindo em $S=\ell h/2$, obtemos:

6Trapézios e a soma das bases

No trapézio convexo, as bases são os dois lados paralelos. Usaremos B > b > 0 para seus comprimentos, conforme a convenção exclusiva da aula de Quadriláteros. A altura h é a distância perpendicular entre as retas das bases. Uma diagonal divide a região em dois triângulos.

O triângulo com a base maior tem área $Bh/2$, e o da base menor tem área $bh/2$. Como seus interiores não se sobrepõem, somamos as áreas. Colocar h/2 em evidência fornece:

A base média tem comprimento m = (B + b)/2, relação já demonstrada em Quadriláteros. Portanto, também podemos multiplicar essa medida pela altura:

7Quando as diagonais calculam a área

Nos losangos, as diagonais são perpendiculares. Essa condição também ocorre em outros quadriláteros convexos, inclusive deltoides. Quando as duas diagonais se cruzam perpendicularmente em O, dividem a região em quatro triângulos retângulos e permitem uma fórmula comum.

Se $AO=x$, $OC=y$, $OB=u$ e $OD=v$, as quatro áreas são $xu/2$, $yu/2$, $yv/2$ e $xv/2$. A soma agrupa-se como $(x+y)(u+v)/2$. Os comprimentos inteiros das diagonais são $D=x+y$ e $d=u+v$, portanto:

8Figuras compostas, recortes e sobreposição

Uma figura composta pode ser dividida em regiões conhecidas ou completada a uma região maior da qual retiramos o que sobra. O princípio é sempre contar cada parte uma vez. Não é necessário que a figura inteira tenha um nome especial, e diferentes decomposições corretas devem levar à mesma área.

Duas regiões podem ter uma parte comum

A união de A e B, indicada por A ∪ B, reúne os pontos que estão em pelo menos uma das duas regiões. A interseção A ∩ B é sua parte comum. Se apenas somarmos as duas áreas, contamos essa parte duas vezes; subtraí-la uma vez corrige a contagem:

Uma borda retangular ao redor

9Polígonos regulares e círculo inscrito

Em um polígono convexo regular, todos os lados e todos os ângulos internos são iguais. Seu centro está à mesma distância dos vértices e dos lados. A distância perpendicular do centro a um lado chama-se apótema; vamos indicá-la por a.

Para um polígono regular de $n$ lados, com $n$ inteiro e $n\geq3$, todos com medida $\ell>0$, cada triângulo tem área $\ell a/2$. Somando os $n$ triângulos, obtemos $S=n\ell a/2$. Como o perímetro é $P=n\ell$, segue:

Uma extensão: polígonos com círculo inscrito

Um polígono convexo circunscrito a um círculo tem todos os seus lados tangentes a esse círculo. Não basta haver um círculo qualquer dentro dele. Ao ligar seu centro aos vértices, obtemos triângulos cujas bases são os lados do polígono e cujas alturas são todas iguais ao raio r do círculo inscrito.

A soma das áreas é $r/2$ vezes a soma dos lados. Se $s=P/2$ é o semiperímetro, isto é, metade do perímetro:

Todo triângulo não degenerado tem círculo inscrito; portanto essa relação vale para qualquer triângulo. Em um polígono regular, o raio inscrito é o apótema. Em polígonos sem um círculo tangente a todos os lados, não há uma única altura r para usar nessa soma.

10De polígonos à área do círculo

A circunferência é a linha que delimita a região; o círculo inclui a região interna. Já estudamos que o comprimento da circunferência de raio r é 2πr. Agora queremos medir sua superfície.

Considere polígonos regulares inscritos, com perímetro $P_n$ e apótema $a_n$. Sua área é $P_na_n/2$ e é menor que a área do círculo. Quando o número de lados cresce sem limite, $P_n$ se aproxima de $2\pi r$ e $a_n$ se aproxima de $r$. Assim, as áreas se aproximam de $\pi r^2$.

Pelo lado de fora, um polígono regular circunscrito tem apótema exatamente $r$. Seu perímetro também tende a $2\pi r$, e sua área, maior que a do círculo, tende ao mesmo valor $\pi r^2$. A área do círculo fica entre essas duas aproximações e, portanto, só pode ser $\pi r^2$. Usamos aqui a continuidade da medida de área nessa aproximação por polígonos; uma etapa com um número finito de lados ainda não é o círculo.

11Setores e coroas circulares

Um setor circular é a região limitada por dois raios e pelo arco escolhido entre eles. Pense em uma fatia que parte do centro. Precisamos indicar qual arco e qual ângulo central a definem: a fatia também pode ser maior que um semicírculo.

Uma volta completa mede $360^\circ$. Para $0\leq\theta\leq360^\circ$, medido em graus, o setor ocupa a fração $\theta/360^\circ$ do círculo. A proporcionalidade pode ser vista repartindo-o em setores de ângulos iguais e estendida aos demais ângulos por aproximação:

O extremo θ = 0 corresponde à área nula; θ = 360° corresponde ao círculo inteiro. Entre esses extremos, podemos ter setores menores ou maiores que um semicírculo.

Quando conhecemos o comprimento do arco

Se $\ell$ é o comprimento do arco do setor, ele ocupa a mesma fração do comprimento total: $\ell/(2\pi r)=\theta/360^\circ$. Multiplicar essa fração pela área $\pi r^2$ simplifica a expressão:

Uma região em forma de anel

Concêntricas significa que as circunferências têm o mesmo centro. A coroa é a parte do círculo maior que sobra depois de retirar o menor. Por isso subtraímos as áreas dos dois discos:

Um setor da coroa

Quando conservamos apenas a parte da coroa compreendida em um ângulo central θ, subtraímos dois setores de mesmo ângulo:

12Segmento circular: arco e corda

Um segmento circular é a região limitada por uma corda e um dos arcos com as mesmas extremidades. Ele não tem necessariamente o centro na sua borda. A corda divide o círculo em dois segmentos; quando ela não é um diâmetro, um é menor e o outro é maior que um semicírculo.

Para o segmento associado a um ângulo central $0<\theta\leq180^\circ$, sua área é a do setor menos a do triângulo formado pelos dois raios e pela corda:

Quando θ = 180°, a corda é um diâmetro e o triângulo tem área zero: o segmento é um semicírculo. Para o segmento maior, calculamos a área do círculo inteiro menos a do segmento menor. Subtrair o triângulo de um setor maior que um semicírculo não produz esse complemento.

13Razões de áreas e mudanças de escala

Comparar áreas nem sempre exige calcular cada uma separadamente. Dois triângulos com a mesma altura perpendicular têm áreas proporcionais às bases, pois o fator h/2 é o mesmo nas duas contas:

Se as bases são iguais, as áreas são proporcionais às alturas. Essas afirmações exigem a igualdade indicada; apenas olhar para dois desenhos não garante que as alturas sejam iguais.

Uma mediana divide o lado oposto ao meio, portanto divide a área do triângulo em duas partes iguais. Os dois triângulos assim obtidos não precisam ser congruentes: igualdade de área não determina todos os seus comprimentos e ângulos.

Figuras semelhantes

Em figuras semelhantes, um fator linear $k>0$ multiplica todos os comprimentos correspondentes. Para um triângulo, base e altura passam de $b,h$ a $kb,kh$. A nova área é $(kb)(kh)/2=k^2bh/2$. Uma decomposição em triângulos estende o resultado aos polígonos, e a aproximação por polígonos o estende às regiões circulares:

O perímetro cresce pelo fator $k$, mas a área cresce por $k^2$. Se já sabemos que as figuras são semelhantes e que a razão entre suas áreas é $q>0$, a razão linear é $k=\sqrt q$. A razão entre as áreas, sozinha, não prova que as figuras sejam semelhantes.

14Fórmula de Heron: área pelos três lados

Quando conhecemos os três lados de um triângulo, mas não sua altura, a fórmula de Heron permite calcular a área diretamente. Antes de usá-la, precisamos conferir se os comprimentos realmente formam um triângulo.

As medidas $a,b,c$ devem ser positivas e satisfazer $a<b+c$, $b<a+c$ e $c<a+b$. São desigualdades estritas: se um lado for igual à soma dos outros, os três pontos ficam alinhados e não temos um triângulo não degenerado.

De onde vem essa expressão?

Escolher o maior lado como base garante que os ângulos nas suas extremidades sejam agudos; logo o pé H da altura fica no interior de BC. Mesmo quando o triângulo é obtusângulo, o ângulo obtuso fica oposto ao maior lado. Assim, x e a − x são positivos nessa construção.

• Pelo teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos, $c^2=x^2+h^2$ e $b^2=(a-x)^2+h^2$.
• Subtraindo a primeira igualdade da segunda: $b^2-c^2=a^2-2ax$. Isolamos $x=(a^2+c^2-b^2)/(2a)$.
• Como $S=ah/2$, temos $16S^2=4a^2h^2$. Substituindo $h^2=c^2-x^2$, obtemos a diferença de quadrados a seguir.

Substituir a expressão de x fornece $16S^2=4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2$. Escrevemos $4a^2c^2=(2ac)^2$ e usamos $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$. Os fatores são $2ac-(a^2+c^2-b^2)=b^2-(a-c)^2$ e $2ac+(a^2+c^2-b^2)=(a+c)^2-b^2$. Assim, a diferença se fatoriza como o produto de $b^2-(a-c)^2$ por $(a+c)^2-b^2$.

Cada fator também é uma diferença de quadrados. O primeiro vira $(b-a+c)(b+a-c)$; o segundo vira $(a+c-b)(a+b+c)$. Portanto, $16S^2$ é o produto dos quatro fatores $a+b+c$, $-a+b+c$, $a-b+c$ e $a+b-c$.

Se $s=(a+b+c)/2$, esses fatores são, respectivamente, $2s$, $2(s-a)$, $2(s-b)$ e $2(s-c)$. O produto é $16s(s-a)(s-b)(s-c)$. Dividindo por 16, concluímos que $S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$.

As desigualdades de existência tornam todos esses fatores positivos. Como área também é positiva, tomamos a raiz quadrada positiva e chegamos à fórmula de Heron. O semiperímetro não é uma altura: ele é metade da soma dos lados.

15Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Antes da conta, identifique a região medida, a unidade de área e as condições da fórmula escolhida. Nas questões discursivas, registre também sua justificativa; depois compare com a resolução.

16O que levar desta aula

• Área mede superfície e usa unidades quadradas; perímetro mede o contorno e usa unidades de comprimento. Uma mesma área não determina um único perímetro.
• As fórmulas dos polígonos vêm de decompor, completar ou reorganizar regiões. Altura é uma distância perpendicular à reta da base, e pode ter o pé fora do lado.
• Verifique as hipóteses: produto das diagonais exige perpendicularidade; perímetro vezes raio inscrito exige tangência a todos os lados.
• Diferencie círculo, setor, coroa e segmento circular. No segmento menor, retiramos o triângulo do setor; no maior, usamos o complemento no círculo.
• Em figuras semelhantes, um fator linear k produz fator de área k². Conversões de unidades de comprimento também precisam ser elevadas ao quadrado.
• Heron calcula a área pelos três lados, depois de verificar positividade e desigualdades de existência. Guarde valores exatos até o arredondamento final.

Esta aula completa os seis núcleos iniciais do percurso de Geometria Plana: fundamentos, triângulos, polígonos, quadriláteros, circunferência e círculo, e áreas. Volte aos pontos em que ainda precisa justificar uma relação e use os exercícios para conferir o que compreendeu. O aprofundamento e a revisão desses núcleos continuam fazendo parte do planejamento.