Quadriláteros

1Quatro lados, duas diagonais

Uma porta, uma peça de piso e uma pipa podem sugerir figuras de quatro lados, mas não têm necessariamente as mesmas propriedades. Nesta aula, vamos organizar essas diferenças usando paralelismo, comprimentos, ângulos e diagonais. Retomaremos os fundamentos, a congruência de triângulos, Pitágoras e a aula de Polígonos.

Um quadrilátero é um polígono simples com quatro lados. Continuamos exigindo lados de comprimento positivo e que quaisquer três vértices consecutivos não sejam colineares. Em ABCD, escrito na ordem do contorno, os lados são AB, BC, CD e DA. AB e CD são opostos, assim como BC e DA. As diagonais AC e BD ligam vértices não consecutivos. Os ângulos em A e C são opostos; os de A e B são consecutivos, pois compartilham o lado AB.

No convexo, as duas diagonais ficam na região da figura. A diagonal AC divide ABCD em dois triângulos, sem sobreposição de interiores. Somar seus ângulos dá duas vezes 180 graus. A soma também vale no quadrilátero simples não convexo, usando uma diagonal interna que produza uma triangulação válida, como estudamos em Polígonos.

2Como as famílias se relacionam

Classificar não é escolher um nome que apaga todos os outros. Uma figura pode pertencer a uma família geral e, ao mesmo tempo, a uma família mais específica. As definições abaixo serão retomadas com demonstrações nas próximas seções.

• Paralelogramo: quadrilátero com os dois pares de lados opostos paralelos.
• Retângulo: quadrilátero com quatro ângulos retos. Todo retângulo é um paralelogramo.
• Losango: quadrilátero com quatro lados de mesmo comprimento. Todo losango é um paralelogramo.
• Quadrado: quadrilátero com quatro lados iguais e quatro ângulos retos. É simultaneamente retângulo e losango; portanto, também é paralelogramo.
• Trapézio: nesta aula, quadrilátero convexo com exatamente um par de lados opostos paralelos. Por essa convenção, um paralelogramo não é um trapézio.

Um retângulo com lados de 3 cm e 5 cm não é losango, pois seus quatro lados não são iguais. Um losango com um ângulo de 60 graus não é retângulo. Já o quadrado satisfaz as duas definições. Girar o papel não altera paralelismo, comprimentos ou ângulos: um quadrado apoiado em um vértice continua sendo quadrado.

Convexo não é sinônimo de paralelogramo: há quadriláteros convexos sem nenhum par de lados opostos paralelos. Também é preciso distinguir uma propriedade de sua recíproca. Dizer que todo retângulo tem diagonais iguais não autoriza concluir, sem outras hipóteses, que qualquer quadrilátero com diagonais iguais seja retângulo.

3Propriedades dos paralelogramos

Em um paralelogramo ABCD, temos $AB\parallel CD$ e $AD\parallel BC$. O paralelismo permite transportar ângulos entre triângulos e, com isso, justificar igualdades de comprimentos. Não precisamos aceitar essas igualdades apenas pela aparência do desenho.

Lados e ângulos opostos

Compare os triângulos ABC e CDA. AC é comum; os ângulos BAC e DCA são iguais porque AB é paralelo a CD, e BCA e DAC são iguais porque BC é paralelo a AD. São pares de alternos internos. Pelo caso ALA, os triângulos são congruentes. Portanto, AB = CD, BC = AD e os ângulos em B e D são iguais. Os ângulos em A e C também são iguais: cada um é a soma dos dois ângulos correspondentes separados pela diagonal.

Dois ângulos consecutivos são suplementares. Por exemplo, os de A e B estão no mesmo lado da transversal AB que corta as paralelas AD e BC. Sua soma é 180 graus. Assim, conhecer um ângulo determina os outros três: o oposto é igual a ele e os dois consecutivos são seus suplementares.

As diagonais se dividem ao meio

Se O é o encontro das diagonais, compare AOB e COD. AB = CD pelo que acabamos de provar. Os ângulos BAO e DCO são alternos internos, assim como ABO e CDO, pois AB é paralelo a CD. Por ALA, os triângulos são congruentes. Logo, AO = OC e BO = OD. Cada diagonal divide a outra em duas partes iguais; isso não afirma que as duas diagonais inteiras sejam iguais.

Se os comprimentos de dois lados consecutivos são a e b, ambos positivos, os quatro lados medem a, b, a e b. O perímetro é sua soma:

4Como reconhecer um paralelogramo

Uma condição suficiente é uma informação que já garante a conclusão. Para um quadrilátero convexo ABCD, cada condição a seguir, tomada separadamente, é suficiente para provar que ele é paralelogramo. Como todas também são propriedades dos paralelogramos, obtemos caracterizações equivalentes.

• Os dois pares de lados opostos têm comprimentos iguais: AB = CD e BC = AD.
• Um mesmo par de lados opostos é paralelo e tem comprimentos iguais, por exemplo AB paralelo a CD e AB = CD.
• As diagonais se dividem ao meio: AO = OC e BO = OD, sendo O seu encontro.
• Os ângulos opostos são iguais dois a dois.

Na primeira condição, trace AC. ABC e CDA são congruentes por LLL. Os pares de ângulos alternos internos resultantes são iguais, o que garante os dois paralelismos. Na segunda, AC é comum, AB = CD e os ângulos BAC e DCA são iguais pelo paralelismo dado. A congruência por LAL fornece a igualdade entre BCA e DAC, provando também BC paralelo a AD.

Na terceira condição, AOB e COD são congruentes por LAL: duas metades iguais de cada diagonal e ângulos opostos pelo vértice em O. Isso fornece ângulos alternos iguais e AB paralelo a CD. Repetindo com BOC e DOA, obtemos BC paralelo a AD. Na quarta, escreva os ângulos opostos como α, β, α e β. Sua soma é 360 graus; logo, α + β = 180 graus. As duas relações de colateralidade interna garantem os dois pares de paralelas.

5Retângulos e diagonais iguais

Um retângulo tem quatro ângulos retos. Os lados opostos são paralelos porque são perpendiculares a uma mesma reta; por isso, ele herda todas as propriedades dos paralelogramos. Além disso, suas diagonais têm o mesmo comprimento.

Para demonstrar a igualdade das diagonais, compare ABC e BAD. AB é comum, BC = AD por serem lados opostos do paralelogramo e os ângulos ABC e BAD são retos. Por LAL, esses triângulos são congruentes; suas hipotenusas AC e BD são iguais.

A recíproca precisa da hipótese de paralelogramo: se um paralelogramo tem diagonais iguais, ele é retângulo. De fato, ABC e BAD passam a ser congruentes por LLL: AB é comum, BC = AD e AC = BD. Assim, os ângulos consecutivos ABC e BAD são iguais. Como também são suplementares, cada um mede 90 graus, e os outros dois também.

Em um quadrilátero convexo qualquer, diagonais iguais não bastam: veremos um trapézio isósceles com essa propriedade. Já um paralelogramo com um ângulo reto é retângulo, pois os consecutivos são suplementares e o oposto é igual ao ângulo dado.

A diagonal do retângulo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são dois lados consecutivos a e b. Se d é seu comprimento, Pitágoras fornece:

6Losangos e diagonais perpendiculares

Um losango tem os quatro lados iguais. Em particular, seus lados opostos são iguais dois a dois, o que garante que ele é um paralelogramo. Suas diagonais se dividem ao meio; vamos provar que também são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos dos vértices que unem.

Compare AOB e AOD. AB = AD, OB = OD e AO é comum. Por LLL, os ângulos AOB e AOD são iguais. Como OB e OD são semirretas opostas, esses ângulos também são suplementares, logo ambos medem 90 graus. Isso prova AC perpendicular a BD.

Para as bissetrizes, compare ABC e ADC: os lados correspondentes são iguais e AC é comum, portanto há congruência por LLL. Assim, AC divide ao meio os ângulos em A e C. Repetindo com ABD e CBD, concluímos que BD divide ao meio os ângulos em B e D.

Dentro da família dos paralelogramos, diagonais perpendiculares também garantem um losango. Se O é o encontro, OA = OC e OB é comum aos triângulos AOB e COB. Os ângulos em O são retos; por LAL, AB = BC. Com as igualdades de lados opostos, os quatro lados são iguais. Outra condição suficiente é um paralelogramo ter dois lados consecutivos iguais.

Se uma diagonal de um paralelogramo bisseta um ângulo interno, também obtemos um losango. Por exemplo, se AC bisseta A, os ângulos BAC e CAD são iguais. Pelo paralelismo BC com AD, BCA = CAD. Assim, BAC = BCA, e o triângulo ABC é isósceles, com AB = BC.

Se as diagonais inteiras medem p e q e cada lado mede ℓ, um dos quatro triângulos retângulos tem catetos p/2 e q/2 e hipotenusa ℓ. Por Pitágoras:

7Quadrados: duas famílias ao mesmo tempo

O quadrado reúne quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Por isso, tem simultaneamente as propriedades de losango e retângulo. Suas diagonais são iguais, perpendiculares, dividem-se ao meio e bissetam os ângulos internos. Cada metade de um ângulo interno mede 45 graus.

Para reconhecer um quadrado, podemos provar que um retângulo tem dois lados consecutivos iguais ou que um losango tem um ângulo reto. Também basta demonstrar que um paralelogramo tem diagonais iguais e perpendiculares: a igualdade garante retângulo e a perpendicularidade garante losango.

Se o lado é ℓ e a diagonal é d, o retângulo particular tem dois catetos iguais: $d^2=\ell^2+\ell^2=2\ell^2$. Como d e ℓ são positivos, tiramos a raiz positiva:

8Trapézios, bases e altura

Usaremos trapézio para o quadrilátero convexo com exatamente um par de lados opostos paralelos. Esses lados são as bases. Na notação ABCD com AB paralelo a CD, os outros lados são AD e BC. A base maior e a menor têm comprimentos B e b, com B > b > 0. Bases paralelas e iguais fariam a figura ser paralelogramo, excluído por nossa convenção.

A altura h é a distância perpendicular entre as retas que contêm as bases, sempre positiva. Ela não é, em geral, o comprimento de um lado inclinado. Conforme a posição das bases, o pé de uma perpendicular pode cair no prolongamento da base; a definição de distância entre as retas continua válida.

Cada lado não paralelo funciona como transversal das bases. Assim, os ângulos internos junto a esse lado são suplementares: A com D, e B com C. Não precisamos supor que o trapézio seja isósceles para usar essas relações.

Tipos e propriedades adicionais

• Trapézio retângulo: um lado não paralelo é perpendicular às bases. Surgem dois ângulos retos, um em cada base, e esse lado tem comprimento igual à altura.
• Trapézio isósceles: os dois lados não paralelos têm comprimentos iguais. Os ângulos de uma mesma base são iguais, assim como as diagonais.
• Trapézio escaleno: os lados não paralelos têm comprimentos diferentes. Um trapézio retângulo, na convenção exclusiva, também é escaleno; os nomes registram critérios diferentes.

Para justificar as propriedades do isósceles, projete C e D perpendicularmente sobre a reta AB. Os dois triângulos retângulos laterais têm a mesma altura e hipotenusas AD e BC iguais. Por Pitágoras, os catetos horizontais têm o mesmo comprimento; portanto, os triângulos são congruentes por LLL. Se os deslocamentos horizontais dos dois lados inclinados tivessem o mesmo sentido, as bases teriam o mesmo comprimento, o que contradiz B > b. Eles têm sentidos opostos, e a base menor fica centralizada dentro da maior: cada sobra mede (B − b)/2. Isso fornece ângulos iguais em A e B; os de C e D são os respectivos suplementares e também são iguais.

Agora compare DAB e CBA. AD = BC, AB é comum e os ângulos DAB e CBA acabaram de ser provados iguais. Por LAL, os triângulos são congruentes, logo BD = AC. Reciprocamente, em um trapézio com exatamente um par de lados paralelos, ângulos iguais em uma mesma base garantem lados não paralelos iguais: as alturas produzem triângulos retângulos com um cateto igual e os ângulos correspondentes iguais, portanto congruentes.

Diagonais iguais também caracterizam o trapézio isósceles, dentro da família dos trapézios desta aula. Para provar a recíproca, suponha AC = BD e trace por C uma paralela a BD, encontrando a reta AB em P, além de B. BDCP é paralelogramo, pois DC é paralelo a BP e BD é paralelo a CP; logo, CP = BD. Assim, AC = CP e o triângulo ACP é isósceles. Seus ângulos em A e P são iguais, o que, pelo paralelismo, fornece CAB = DBA. Com AC = BD e AB comum, os triângulos CAB e DBA são congruentes por LAL; portanto, BC = AD.

9Pontos médios e bases médias

Ao ligar pontos médios, surgem segmentos paralelos a lados já conhecidos. Vamos demonstrar primeiro a relação no triângulo e usá-la para obter a base média do trapézio. Ponto médio significa pertencer ao segmento e dividi-lo em duas partes de mesmo comprimento.

No triângulo: metade do terceiro lado

No triângulo ABC, sejam M o ponto médio de AB e N o de AC. Prolongue MN além de N até P, com NP = MN. Os triângulos AMN e CPN são congruentes por LAL: AN = NC, MN = NP e os ângulos em N são opostos pelo vértice. Logo, AM = CP, e a igualdade entre os ângulos MAN e PCN garante AM paralelo a CP.

Como AM = MB, temos MB = CP; e MB é paralelo a CP por estar na mesma reta de AM. O quadrilátero MBCP tem um par de lados opostos paralelo e igual, portanto é paralelogramo. Assim, MP é paralelo a BC e tem o mesmo comprimento de BC. Como N é ponto médio de MP, MN é paralelo a BC e mede metade de BC.

Uma recíproca útil: a reta que passa pelo ponto médio de um lado de um triângulo e é paralela a outro lado encontra o terceiro em seu ponto médio. Para justificar, ligue ao ponto médio verdadeiro do terceiro lado; pelo resultado que acabamos de provar, esse segmento já é paralelo ao lado considerado. Pela unicidade da paralela por um ponto, as duas retas coincidem.

No trapézio: média das duas bases

No trapézio ABCD, sejam E o ponto médio de AD e F o de BC. Escolha G, ponto médio da diagonal AC. No triângulo ADC, EG é paralelo a DC e mede b/2. No triângulo ABC, GF é paralelo a AB e mede B/2. Como AB é paralelo a DC, EG e GF pertencem à mesma reta paralela às bases que passa por G. Pela convexidade, G fica entre E e F. Portanto, EF é paralelo às bases e sua medida m é a soma dessas duas metades.

10Deltoides e limites das recíprocas

Uma pipa sugere outra família útil para entender as diagonais. Chamaremos de deltoide o quadrilátero convexo com dois pares de lados consecutivos iguais: AB = AD e CB = CD. Nesta definição inclusiva, um losango também é deltoide. Há autores que reservam o nome ao caso em que os dois pares têm comprimentos diferentes; essa restrição não será usada aqui.

Se M é o ponto médio de BD, os triângulos ABM e ADM são congruentes por LLL: AB = AD, BM = DM e AM é comum. Os ângulos AMB e AMD são iguais e suplementares, portanto retos; assim, A pertence à mediatriz de BD. O mesmo argumento com CB = CD coloca C nessa mediatriz. Como A e C são distintos, a reta AC é a mediatriz de BD: é perpendicular a BD e passa pelo ponto médio M, que coincide com o encontro O das diagonais. Os triângulos ABC e ADC são congruentes por LLL; portanto, AC bisseta os ângulos em A e C e os ângulos em B e D são iguais. A reflexão na reta AC troca B por D e mantém A e C, justificando o eixo de simetria.

Não concluímos que BD divida AC ao meio. Para um contraexemplo concreto, tome AO = 3 cm, OC = 1 cm e BO = OD = 2 cm, com AC perpendicular a BD e os pontos na ordem do desenho. Então AC = BD = 4 cm, mas AO é diferente de OC. A figura é convexa e tem diagonais iguais e perpendiculares; ainda assim, não é paralelogramo e, portanto, não é quadrado.

A lição é conferir quais metades são iguais. No losango, as duas diagonais se dividem ao meio porque ele é paralelogramo. Em um deltoide geral, apenas a diagonal que une os vértices dos pares iguais é garantidamente mediatriz da outra.

11Ligando os quatro pontos médios

Agora podemos obter uma figura organizada mesmo começando com um quadrilátero convexo qualquer. Se E, F, G e H são os pontos médios, respectivamente, de AB, BC, CD e DA, o quadrilátero EFGH é sempre um paralelogramo. Esse resultado é conhecido como teorema de Varignon.

No triângulo ABC, EF é paralelo a AC e mede AC/2. No triângulo ADC, HG tem a mesma direção e o mesmo comprimento AC/2. Logo, EFGH tem um par de lados opostos paralelo e igual: é paralelogramo. Aplicando a base média nos triângulos BCD e BAD, também obtemos FG e EH paralelos a BD e com comprimento BD/2.

Somamos dois lados de comprimento AC/2 e dois de comprimento BD/2. O perímetro do paralelogramo dos pontos médios é a soma dos comprimentos das duas diagonais do quadrilátero original:

As diagonais da figura original também classificam a nova figura. Se AC e BD forem perpendiculares, lados consecutivos de EFGH serão perpendiculares e o paralelogramo será retângulo. Se AC e BD tiverem o mesmo comprimento, os quatro lados de EFGH serão iguais e ele será losango. Se as duas condições ocorrerem, EFGH será quadrado. As recíprocas também valem, pois os lados da nova figura são paralelos às diagonais e medem suas metades.

12Agora é com você

Pratique identificação, relações angulares, diagonais, bases médias e justificativas. Antes de calcular, confira a família, as hipóteses e a convenção de classificação. Nas discursivas, escreva sua conclusão e a propriedade que a garante antes de comparar com a resolução.

13Organizar o que foi aprendido

• Todo quadrilátero simples tem quatro lados, duas diagonais e soma dos ângulos internos de 360 graus. Nas famílias desta aula, supusemos convexidade.
• No paralelogramo, lados e ângulos opostos são iguais, consecutivos são suplementares e as diagonais se dividem ao meio. Cada caracterização estudada permite provar essa família a partir de outros dados.
• O retângulo acrescenta ângulos retos e diagonais iguais. O losango acrescenta quatro lados iguais, diagonais perpendiculares e bissetrizes. O quadrado reúne ambas as famílias.
• Trapézio foi definido aqui por exatamente um par de lados opostos paralelos. Altura é distância perpendicular entre as bases; base média é o segmento entre os pontos médios dos lados não paralelos.
• No deltoide, uma diagonal é mediatriz da outra, mas a divisão mútua ao meio não é garantida. Diagonais iguais e perpendiculares, sem outra hipótese, não bastam para provar um quadrado.
• Pontos médios de lados de um triângulo produzem um segmento paralelo ao terceiro lado, com metade de seu comprimento. Essa relação justifica a base média do trapézio e o teorema de Varignon.
• Uma conclusão precisa acompanhar suas hipóteses. Para recíprocas falsas, um contraexemplo com todas as condições dadas já basta para mostrar a falha.

O próximo núcleo é Circunferência e círculo. As relações de área dos quadriláteros serão deduzidas na aula de Áreas de figuras planas, com unidades de superfície e decomposições. As propriedades de lados, diagonais, alturas e pontos médios estudadas aqui serão ferramentas para essas deduções.