Circunferência e círculo

1Contorno, região e elementos

O aro de uma roda sugere um contorno; uma peça redonda inteira inclui também a região de dentro. Distinguir essas duas ideias evita confundir comprimento com área. Nesta aula, usaremos ângulos, paralelas, congruência, semelhança de triângulos e Pitágoras, retomando cada ferramenta quando ela aparecer.

Fixe um ponto O e um número real $r>0$. A circunferência de centro O e raio r é o conjunto dos pontos P do plano para os quais $OP=r$. Chamaremos de círculo a região formada pela circunferência e por seu interior: os pontos com $OP\le r$. A palavra disco também é usada para essa região. Há fontes com outras convenções de nome; aqui, circunferência será o contorno e círculo incluirá a região.

• Raio é um segmento que une o centro a um ponto da circunferência; também usamos a palavra para seu comprimento r. Todos os raios da mesma circunferência têm a mesma medida.
• Corda é um segmento com dois extremos distintos na circunferência. Seu interior fica no círculo, mas em geral não fica na circunferência.
• Diâmetro é uma corda que passa pelo centro. É composto por dois raios em sentidos opostos; qualquer diâmetro tem comprimento d = 2r.
• Arco é uma parte da circunferência entre dois extremos. Não é o segmento reto que liga esses extremos: esse segmento é a corda.

2Cordas e distância ao centro

Imagine duas cordas da mesma circunferência: a que passa mais perto do centro atravessa uma parte mais larga do círculo. Vamos transformar essa observação em uma relação exata, usando a perpendicular e Pitágoras.

Se M é o ponto médio de uma corda AB que não é diâmetro, OAM e OBM são congruentes por LLL: OA = OB, AM = MB e OM é comum. Os dois ângulos em M são iguais e suplementares, portanto retos. Assim, a reta OM é perpendicular à corda. Reciprocamente, a perpendicular traçada do centro à reta da corda a divide ao meio: os dois triângulos retângulos têm raios iguais como hipotenusas e OM comum; por Pitágoras, seus outros catetos são iguais.

Se a corda for diâmetro, seu ponto médio é o próprio O. Nesse caso, OM tem comprimento zero e não determina uma reta; por isso não falamos na reta OM. A perpendicular ao diâmetro que passa por O continua sendo sua mediatriz.

Se c é o comprimento da corda e h é a distância do centro à sua reta, cada metade mede c/2. Quando h > 0, forma-se um triângulo retângulo com catetos h e c/2 e hipotenusa r; usamos Pitágoras. Para h = 0, a corda é um diâmetro, c = 2r, e a mesma relação continua válida:

Mantendo r fixo, aumentar h diminui o quadrado da metade da corda; como os comprimentos são positivos, diminui a corda. Portanto, na mesma circunferência, cordas iguais estão à mesma distância do centro, e a mais próxima do centro é a maior. O diâmetro é a maior corda. A comparação também vale entre circunferências de raios iguais, mas não entre raios arbitrariamente diferentes.

3Arcos e ângulos centrais

Dois pontos distintos A e B dividem a circunferência em dois arcos. Se não forem extremos de um diâmetro, um arco é menor que uma semicircunferência e o outro é maior. Para identificar um arco sem ambiguidade, podemos citar um terceiro ponto por onde ele passa ou dizer explicitamente menor e maior.

Um ângulo central tem vértice no centro e lados passando pelos extremos do arco. A medida angular de um arco, em graus, é definida pela medida do ângulo central correspondente àquela mesma região. Escrevemos $m(\widehat{AB})$ para a medida angular do arco AB escolhido e $\theta$ para a do ângulo central correspondente. O arco maior corresponde à abertura central maior que 180 graus. A volta tem 360 graus, a semicircunferência tem 180 graus e os dois arcos de extremos A e B somam uma volta.

Arcos consecutivos sem sobreposição de interiores têm medidas que se somam. Na mesma circunferência, ou em circunferências de mesmo raio, arcos menores de mesma medida correspondem a cordas iguais. Uma justificativa é comparar os triângulos formados por dois raios e a corda: raios iguais e ângulos centrais iguais dão congruência por LAL. Reciprocamente, cordas iguais dão congruência por LLL e ângulos centrais menores iguais.

4Pontos, secantes e tangentes

A distância ao centro localiza um ponto P: se $OP<r$, ele é interior; se $OP=r$, pertence à circunferência; se $OP>r$, é exterior. Para classificar uma reta, usamos outra distância: a perpendicular do centro à reta.

• Se a distância h do centro à reta é menor que r, a reta é secante: encontra a circunferência em dois pontos distintos.
• Se h = r, a reta é tangente: possui um único ponto comum T com a circunferência.
• Se h > r, a reta é exterior: não possui ponto comum com a circunferência.

Para justificar, seja H o pé da perpendicular do centro à reta. Para qualquer X dessa reta, vale OX² = OH² + HX². Se O, H e X formam um triângulo, a identidade vem de Pitágoras; se O = H ou X = H, ela vale diretamente, pois um dos termos à direita é zero. Se OH > r, nenhum X alcança distância r. Se OH = r, só H tem essa distância. Se OH < r, há duas escolhas opostas de HX com quadrado r² − OH², produzindo os dois encontros.

Isso prova uma caracterização importante: a tangente em T é perpendicular ao raio OT, e a reta perpendicular a OT que passa por T é tangente. Por um ponto da circunferência passa uma única tangente. Uma reta secante não precisa passar pelo centro; quando passa, a corda determinada é um diâmetro.

5Posições de duas circunferências

Considere centros O e O', raios $R\ge r>0$ e distância $d=OO'$. Comparar d com a soma e com a diferença dos raios informa quantos pontos os dois contornos compartilham. Não confunda isso com a sobreposição das regiões dos círculos.

• Se $d>R+r$, são exteriores, sem ponto comum.
• Se $d=R+r$, são tangentes externas, com um ponto comum entre os centros.
• Se $R-r<d<R+r$, são secantes, com dois pontos comuns.
• Se $R>r$ e $d=R-r$, são tangentes internas, com um ponto comum.
• Se $0\le d<R-r$, uma está dentro da outra sem tocar o contorno; não há ponto comum.
• Se $d=0$ e $R=r$, são coincidentes: todos os pontos do contorno são comuns. Se $d=0$ e $R\ne r$, são concêntricas distintas, caso já incluído em $d<R-r$.

Para entender os limites, um ponto comum X precisaria formar um triângulo de lados OX = R, O'X = r e OO' = d. As desigualdades estritas de existência desse triângulo são R − r < d < R + r; as duas posições simétricas de X dão os dois encontros. Na igualdade, o triângulo fica alinhado e os encontros se juntam em um só. A coincidência de centros e raios precisa ser tratada separadamente.

6Tangentes de um ponto exterior

De um ponto exterior P, podemos traçar exatamente duas tangentes a uma circunferência. Se os pontos de contato são T e U, os segmentos PT e PU têm o mesmo comprimento. Essa igualdade se refere ao mesmo ponto P e à mesma circunferência; não compara tangentes escolhidas em situações diferentes.

Os triângulos OTP e OUP são retângulos nos pontos de tangência. Por Pitágoras, PT² = OP² − r² e PU² = OP² − r². Como os comprimentos são positivos, PT = PU. Com OP comum, OT = OU e PT = PU, os triângulos são congruentes por LLL. Assim, os ângulos TPO e OPU são iguais: OP bisseta o ângulo TPU.

A existência das duas tangentes pode ser entendida construindo a circunferência de diâmetro OP: seus dois encontros T e U com a circunferência original produzem ângulos OTP e OUP retos pelo resultado da semicircunferência, que demonstraremos a seguir. Se P estivesse sobre o contorno, haveria uma única tangente; se fosse interior, nenhuma reta por P poderia tocar o contorno em apenas um ponto.

7Ângulos inscritos e semicircunferência

Agora o vértice do ângulo sai do centro e vai para a circunferência. Um ângulo inscrito APB tem vértice P no contorno e lados passando por outros dois pontos A e B desse contorno. Seu arco interceptado é o arco AB que não contém P, e não o caminho que passa pelo próprio vértice.

Por que aparece a metade?

Comece pelo caso em que um lado do inscrito passa pelo centro: o ângulo APD, com PD diâmetro. Chame sua medida de β. No triângulo OPA, OP = OA, portanto os ângulos em P e A medem β. O ângulo AOP mede 180° − 2β. Como OP e OD têm sentidos opostos, o ângulo central AOD mede 2β. Esse é justamente o arco AD que não contém P; logo, o inscrito mede sua metade.

Para um inscrito geral APB, trace o diâmetro PD. Se a semirreta PD fica dentro do ângulo, somamos os ângulos APD e DPB, e também somamos seus arcos interceptados. Se PD fica fora, subtraímos o menor ângulo do maior e fazemos a mesma diferença entre os arcos correspondentes. Se coincide com um lado, já estamos no caso básico. Como em cada parcela o arco é o dobro do ângulo, a soma ou a diferença preserva essa relação. Isso também cobre um arco interceptado maior que 180 graus.

Consequências que vale reconhecer

• Ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são iguais. Para uma mesma corda, vértices situados no mesmo lado da corda veem o arco oposto com a mesma abertura.
• Se os vértices ficam em lados opostos da corda, os arcos interceptados completam uma volta; os dois ângulos inscritos são suplementares.
• Se o arco interceptado é uma semicircunferência, o inscrito mede 90 graus. Portanto, um triângulo inscrito com um lado igual a um diâmetro é retângulo no vértice oposto.

A recíproca do último resultado também vale. Num triângulo retângulo APB, complete o retângulo APBQ. Suas diagonais AB e PQ são iguais e se dividem ao meio em O. Logo, OA = OB = OP = AB/2. Assim, P pertence à circunferência de diâmetro AB. Esse resultado liga os triângulos retângulos às circunferências sem exigir razões trigonométricas.

8Ângulo entre tangente e corda

Quando o vértice T está no contorno, mas um dos lados do ângulo é tangente e o outro passa por A no contorno, temos um ângulo de segmento. A medida continua sendo metade do arco interceptado. É essencial escolher a semirreta tangente e a região angular indicadas: a outra abertura adjacente usa o outro arco.

Para justificar no caso do arco menor de medida θ, una O a T e a A. O triângulo OTA é isósceles; seu ângulo em T mede (180° − θ)/2. O ângulo entre a tangente escolhida e a corda completa esse ângulo até 90 graus. Sua medida é, portanto, 90° − (180° − θ)/2 = θ/2. A abertura adjacente é suplementar e mede metade do arco maior, cuja medida é 360° − θ. Se TA é diâmetro, os dois ângulos com a tangente são retos.

9Vértices dentro e fora do contorno

Cordas que se cruzam no interior

Se as cordas AC e BD se cruzam em um ponto interior P, o ângulo APB depende de dois arcos: AB, interceptado por ele, e CD, interceptado por seu oposto pelo vértice. Sua medida é a metade da soma dessas medidas de arcos. O ponto P não precisa ser o centro.

Uma justificativa usa o triângulo BPC. Como PA é prolongamento de PC, APB é um ângulo externo desse triângulo: é a soma de PBC e PCB. O ângulo PBC é o inscrito DBC, que mede metade do arco CD; PCB é o inscrito ACB, que mede metade do arco AB. Somar essas duas metades fornece a fórmula.

Secantes e tangentes de um ponto exterior

Agora P está fora. Nas duas secantes, escrevemos os pontos na ordem P–A–B e P–C–D. A e C são os encontros próximos; B e D, os afastados. O ângulo APC mede a metade da diferença entre o arco afastado BD e o próximo AC, escolhidos na região interceptada por essas semirretas.

Para demonstrar no caso de duas secantes, examine o triângulo PBC. Como CD prolonga CP, o ângulo BCD é externo ao triângulo. Assim, BCD = CPB + PBC. Os ângulos BCD e PBC = ABC são inscritos e medem, respectivamente, metade do arco afastado BD e metade do arco próximo AC. Isolar CPB fornece a metade da diferença.

Se uma das retas é tangente, os dois encontros dessa reta passam a ser o mesmo ponto de contato. A relação continua válida, usando o teorema do ângulo entre tangente e corda no lugar do inscrito correspondente. Com duas tangentes em T e U, os arcos interceptados são o maior e o menor TU. Como somam 360 graus, a metade da diferença se reduz a 180 graus menos a medida θ do arco menor.

10Arco capaz e quadriláteros inscritos

Um polígono está inscrito em uma circunferência quando todos os seus vértices pertencem a ela. Dizer que um quadrilátero é inscritível significa que existe uma circunferência passando por seus quatro vértices. Não basta que uma parte de seu desenho pareça arredondada.

Se ABCD está inscrito e seus vértices estão em ordem no contorno, o ângulo em A intercepta o arco BCD e o ângulo em C intercepta o arco DAB. Esses dois arcos somam 360 graus; suas metades somam 180 graus. O mesmo vale para B e D.

Ver uma corda sempre com a mesma abertura

Fixe dois pontos A e C, um lado da reta AC e uma abertura α entre 0 e 180 graus, sem os extremos. O arco capaz é o conjunto de pontos desse lado de onde o segmento AC é visto sob o ângulo α. Ele é um arco de circunferência, excluídos os próprios extremos A e C. No caso de 90 graus, é uma semicircunferência sem seus extremos.

Por que não aparecem pontos soltos fora desse arco? Três pontos não colineares A, C e P determinam uma única circunferência: as mediatrizes de AC e AP se encontram em um ponto equidistante dos três, que é seu centro. Se o ângulo APC é α, a relação do inscrito determina o arco oposto e, portanto, a posição do centro em relação à corda AC.

Mais precisamente, quando α é agudo, o centro fica no mesmo lado de AC que P e o ângulo entre AC e o segmento AO mede 90° − α. Quando α é obtuso, o centro fica no lado oposto e esse ângulo mede α − 90°. Isso vem dos ângulos da base do triângulo isósceles formado pelos dois raios. A direção de AO e a mediatriz da corda determinam o centro de modo único. Para α = 90°, ele é o ponto médio de AC. Logo, todos os pontos do lado escolhido que veem AC com a abertura α pertencem à mesma circunferência.

Essa propriedade prova a recíproca do critério do quadrilátero. Se um quadrilátero convexo tem B + D = 180 graus, trace a circunferência por A, B e C. O arco AC no lado oposto a B é o arco capaz de abertura 180° − B. Pela convexidade, D está nesse lado e tem exatamente essa abertura; portanto, está no mesmo arco. Assim, o quadrilátero é inscritível.

Todo retângulo é inscritível, pois seus ângulos opostos são retos; seu centro é o encontro das diagonais. Entre os paralelogramos, apenas os retângulos são inscritíveis: ângulos opostos de um paralelogramo são iguais e precisariam ser também suplementares. Um trapézio isósceles também é inscritível, pois seus ângulos opostos são suplementares.

11Produtos de segmentos e potência de ponto

Os ângulos que acabamos de estudar também produzem semelhança de triângulos. Pelo critério AA, dois triângulos com dois ângulos respectivamente iguais são semelhantes e têm lados correspondentes proporcionais. Dessa proporcionalidade surgem relações entre comprimentos. Aqui, escrever PA significa o comprimento do segmento de P a A; todos os comprimentos usados nos produtos a seguir são positivos.

Duas cordas com encontro interior

Compare PAB e PDC: os ângulos em P são opostos pelo vértice. PAB e PDC são inscritos que interceptam o mesmo arco BC. Portanto, os triângulos são semelhantes por AA. A correspondência é P com P, A com D e B com C. Assim, PA/PD = PB/PC; multiplicando em cruz, PA · PC = PB · PD.

Duas secantes com origem exterior

Os triângulos PAD e PCB têm o mesmo ângulo em P. O ângulo PDA = CDA e o ângulo PBC = ABC interceptam o mesmo arco AC, portanto são iguais. Por AA, os triângulos são semelhantes, com P correspondendo a P, A a C e D a B. Logo, PA/PC = PD/PB, o que fornece PA · PB = PC · PD.

Tangente e secante

Os triângulos PTA e PBT também são semelhantes. O ângulo em P é comum, e PTA, entre tangente e corda, tem a mesma medida do inscrito PBT, pois ambos correspondem ao arco AT adequado. A correspondência fornece PT/PB = PA/PT; daí PT² = PA · PB. A tangente aparece ao quadrado porque os dois encontros da reta com o contorno coincidem em T.

Uma expressão que reúne os casos

No exterior, escolha a secante que passa pelo centro. As distâncias até o contorno são OP − r e OP + r. Seu produto é OP² − r²; portanto, esse valor é o mesmo para qualquer secante por P e também é PT² para uma tangente. É a potência de P em relação à circunferência.

No interior, as duas partes do diâmetro por P têm comprimentos r − OP e r + OP. O produto positivo é r² − OP², o oposto da potência. Assim, a potência é negativa, embora o produto das duas partes de uma corda seja positivo. Sobre a circunferência, a potência é zero. A expressão OP² − r² define a potência em todas essas posições; não precisamos introduzir comprimentos orientados nesta aula.

12Comprimento da circunferência e de arcos

A medida em graus informa uma fração da volta. Para descobrir quantos centímetros há no caminho curvo, precisamos também do tamanho da circunferência. O número π é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, a mesma para todos os tamanhos. Sua aproximação decimal começa por 3,14159; não a substituiremos por 3,14 sem uma necessidade de aproximação.

A constância dessa razão pode ser justificada pela semelhança: ampliar uma circunferência por um fator positivo amplia seu diâmetro e os comprimentos de polígonos que aproximam o contorno pelo mesmo fator. Ao refinar essas aproximações, a razão não muda. Aceitamos aqui a existência do comprimento do contorno como esse limite; não se trata de uma soma finita de cordas que já seja igual ao caminho curvo.

Arcos com a mesma abertura angular na mesma circunferência são congruentes e têm o mesmo comprimento. Por proporcionalidade, um arco de θ graus ocupa a fração θ/360° do contorno. Essa relação vale também para o arco maior, desde que θ represente o caminho realmente escolhido:

13Triângulos e polígonos: dentro e em volta

As palavras inscrito e circunscrito dependem de qual figura estamos descrevendo. Se os vértices do polígono estão no contorno, o polígono está inscrito e a circunferência está circunscrita ao polígono. Se uma circunferência fica dentro e tangencia todos os segmentos dos lados, ela está inscrita e o polígono está circunscrito a ela. Tangenciar apenas prolongamentos não atende a essa última definição.

Dois centros associados a um triângulo

Todo triângulo não degenerado tem uma circunferência circunscrita única. As mediatrizes de dois lados se encontram em O; como O é equidistante dos extremos de cada um, é equidistante dos três vértices e pertence também à terceira mediatriz. O é o circuncentro, e a distância comum é o raio circunscrito. Ele fica no interior no acutângulo, no ponto médio da hipotenusa no retângulo e no exterior no obtusângulo; essas posições são compatíveis com a caracterização pelo arco de um diâmetro.

O triângulo também possui uma circunferência inscrita única. O ponto I de encontro de duas bissetrizes internas é equidistante das retas dos três lados e fica no interior. Para entender a equidistância, trace de um ponto de uma bissetriz as perpendiculares aos dois lados do ângulo: os triângulos retângulos têm a hipotenusa comum e ângulos correspondentes iguais, portanto são congruentes. A igualdade das distâncias coloca I também na terceira bissetriz. O círculo centrado em I com essa distância como raio toca os três lados; I é o incentro.

Polígonos regulares

Todo polígono regular simples e convexo tem uma circunferência passando pelos vértices e outra tangente aos lados. Ambas têm o centro O do polígono. O raio da primeira é R; o da inscrita é o apótema a. Se s é o lado, o triângulo formado pelo centro, um vértice e o ponto médio de um lado tem hipotenusa R e catetos a e s/2, como já vimos em Polígonos.

No quadrado de lado s, $a=s/2$ e $R=s\sqrt2/2$, pois a diagonal mede $s\sqrt2$. No hexágono regular, $R=s$ e $a=s\sqrt3/2$: os seis triângulos centrais são equiláteros, e a relação de Pitágoras fornece o apótema. Esses resultados incluem as condições de regularidade; não se aplicam a qualquer quadrilátero ou hexágono.

14Tangência aos quatro lados e Pitot

Um quadrilátero convexo circunscritível admite uma circunferência inscrita que toca seus quatro lados. Isso é diferente de ser inscritível, em que são os quatro vértices que pertencem ao mesmo contorno. Uma figura pode ter uma dessas propriedades, ambas ou nenhuma.

Chame de x os dois comprimentos tangentes que partem de A; de y os de B; de z os de C; de w os de D. Os lados medem AB = x + y, BC = y + z, CD = z + w e DA = w + x. Ao somar lados opostos, cada uma das duas somas contém x, y, z e w exatamente uma vez. Portanto, elas são iguais.

Essa é a necessidade do teorema de Pitot, demonstrada pela igualdade de tangentes. A recíproca também vale para quadriláteros convexos: se a soma dos comprimentos de um par de lados opostos é igual à do outro, existe uma circunferência tangente aos quatro lados. Nesta aula, aceitaremos essa recíproca como resultado clássico, sem apresentar a demonstração de existência. É diferente de afirmar que os quatro pontos de contato já foram construídos apenas porque fizemos uma conta.

Todo losango, inclusive o quadrado, é circunscritível: suas quatro medidas de lados são iguais e satisfazem Pitot. Já um retângulo de lados diferentes não é circunscritível, pois a igualdade exigiria que os dois lados consecutivos fossem iguais. Mesmo assim, todo retângulo é inscritível, como provamos anteriormente.

15Agora é com você

Pratique definições, posições, escolha de arcos, ângulos, tangência, produtos e comprimentos. Nas questões discursivas, explicite as hipóteses e a diferença entre medidas positivas de segmentos e potência com sinal. Resolva antes de comparar com o comentário.

16Conectar as relações da aula

• Circunferência é o contorno; círculo inclui a região. Raio, diâmetro, corda e comprimento de arco são medidas de comprimento, distintas de área.
• A distância perpendicular ao centro decide a posição de uma reta. Tangente e raio no contato são perpendiculares, e tangentes de um mesmo ponto exterior têm comprimentos iguais.
• Medida angular de arco coincide com a central correspondente. O inscrito e o ângulo entre tangente e corda medem metade do arco correto, que pode ser maior que 180 graus.
• Para vértice interior, usamos metade da soma dos arcos interceptados. Para vértice exterior, metade da diferença entre arco afastado e próximo.
• No quadrilátero convexo inscrito, ângulos opostos são suplementares. Na circunscrição aos quatro lados, as somas de comprimentos de lados opostos são iguais. Os critérios tratam de situações diferentes.
• No encontro interior de cordas, multiplicamos as duas partes de cada corda. No exterior, multiplicamos trecho externo por distância total; uma tangente aparece ao quadrado.
• A potência OP² − r² depende da posição: é positiva fora, negativa dentro e zero no contorno. Produtos de comprimentos interiores positivos valem o oposto da potência.
• O comprimento total é 2πr; o comprimento de um arco é a fração da volta multiplicada por esse total. A unidade angular precisa concordar com a expressão usada.
• Circuncentro e incentro de um triângulo têm definições diferentes. No polígono regular, os centros inscrito e circunscrito coincidem com o centro do polígono, e Pitágoras relaciona os raios ao lado.

A próxima aula será Áreas de figuras planas. Nela desenvolveremos unidades de superfície, deduções por decomposição, áreas de quadriláteros, polígonos regulares, círculo, setores e figuras compostas. O percurso desta aula fornece raios, alturas, ângulos e comprimentos que serão usados nessas deduções.