Polígonos

1O que é um polígono?

Observe o contorno de uma placa, de um piso ou de uma moldura. Quando esse contorno é fechado e formado apenas por segmentos de reta, podemos estudar seus lados, vértices e ângulos. Nesta aula, retomaremos a linguagem dos fundamentos e a soma dos ângulos de um triângulo.

Uma linha poligonal é uma sequência de segmentos em que o fim de um é o início do seguinte. Ela é fechada quando volta ao ponto de partida; caso contrário, é aberta. É simples quando não tem cruzamentos nem outros pontos comuns além das junções previstas entre segmentos consecutivos.

Adotaremos como polígono a figura formada por uma linha poligonal simples e fechada e pela região que ela delimita. Cada segmento do contorno é um lado. Exigimos lados de comprimento positivo e não incluiremos vértices intermediários que apenas dividam um mesmo trecho reto: três vértices consecutivos não serão colineares.

Um círculo não é um polígono, pois seu contorno não é formado por segmentos. Uma linha aberta também não delimita a região de um polígono. Figuras estreladas com lados que se cruzam podem receber o nome de polígonos não simples em outros contextos; as fórmulas desta aula não serão aplicadas a elas sem uma análise própria.

2Elementos, nomes e perímetro

Os vértices são as junções entre lados consecutivos. Um polígono de n lados também possui n vértices e n ângulos internos. Cada ângulo interno corresponde à abertura entre os dois lados que se encontram em um vértice, considerada para dentro da figura junto a esse vértice. Para nomear o polígono, percorremos os vértices em ordem no contorno. Em ABCDE, os lados são AB, BC, CD, DE e EA; o último lado fecha a figura.

• 3 lados: triângulo. 4 lados: quadrilátero. 5 lados: pentágono. 6 lados: hexágono.
• 7 lados: heptágono. 8 lados: octógono. 9 lados: eneágono, também chamado nonágono. 10 lados: decágono.
• 11 lados: undecágono, também chamado hendecágono. 12 lados: dodecágono. Outros exemplos são pentadecágono, com 15, e icoságono, com 20 lados.
• Quando não usamos um nome específico, podemos dizer polígono de n lados. O nome pelo número de lados não determina, sozinho, suas medidas nem sua regularidade.

O perímetro é o comprimento de uma volta pelo contorno. Somamos os comprimentos de todos os lados, usando a mesma unidade. Na expressão abaixo, $\ell_i$ é o comprimento do lado de índice i; o símbolo de somatório indica a soma desde $i=1$ até $i=n$.

3Convexos e não convexos

Uma reentrância muda o que acontece ao ligar pontos da figura. Um polígono é convexo quando todo segmento que une dois pontos de sua região fica inteiramente nela, incluindo a borda. Se existir algum par de pontos para o qual o segmento sai da região, o polígono é não convexo, também chamado côncavo.

Para os polígonos simples e sem vértices colineares consecutivos que estamos considerando, a convexidade também pode ser reconhecida pelos ângulos internos: todos são menores que $180^\circ$ no convexo. No não convexo, pelo menos um é maior que $180^\circ$, correspondendo a um vértice reentrante.

No convexo, toda diagonal fica na região do polígono. No não convexo, uma diagonal pode ficar parcialmente ou inteiramente fora dela, exceto pelos extremos. Isso não deixa de ser uma diagonal: a definição depende de ligar vértices não consecutivos.

4Como contar as diagonais

Escolha um vértice e tente ligá-lo aos demais. A ligação com cada um dos dois vizinhos já é um lado. Não há uma diagonal ligando o vértice a ele mesmo. Das n possibilidades iniciais, excluímos essas três; restam $n-3$ diagonais partindo desse vértice. Chamaremos essa quantidade de $d_v$, em que o índice v indica a contagem por vértice.

Se fizermos a contagem a partir de todos os vértices, obtemos $n(n-3)$ ligações. Cada diagonal foi contada duas vezes: uma a partir de cada extremo. Dividir por dois corrige essa duplicação e fornece o total d:

No triângulo, $n=3$ e $d=0$: todos os pares de vértices já formam lados. No quadrilátero, $d=2$; no pentágono, $d=5$. A fórmula conta segmentos entre pares de vértices não consecutivos também em um polígono simples não convexo, mesmo quando uma diagonal passa fora da região.

5Soma dos ângulos internos

Podemos obter uma soma angular nova usando um resultado que já conhecemos: os ângulos internos de cada triângulo somam $180^\circ$. Em um polígono convexo de n lados, escolha um vértice e trace todas as $n-3$ diagonais que partem dele. Elas dividem a região em $n-2$ triângulos, sem sobreposição de interiores.

Cada ângulo do polígono aparece inteiro ou dividido entre os triângulos. Somar todos os ângulos desses triângulos recupera exatamente a soma $S_i$ dos ângulos internos do polígono. Portanto:

E quando o polígono não é convexo?

A mesma soma vale para polígonos simples não convexos. O resultado geral de triangulação garante uma divisão por diagonais internas em $n-2$ triângulos sem sobreposição; aceitamos aqui a existência dessa divisão. O cuidado é que traçar todas as diagonais de um vértice qualquer pode fazê-las sair da região. A justificativa da soma continua sendo a adição dos ângulos dos triângulos de uma triangulação válida.

6Ângulos externos e uma volta

Em um vértice de um polígono convexo, prolongue um dos lados. O ângulo entre o prolongamento e o lado seguinte, adjacente ao interno, é um ângulo externo. Se i e e são suas medidas, formam um par linear: $i+e=180^\circ$. Escolhemos um externo por vértice, acompanhando um mesmo sentido de percurso.

Ao somar os n pares lineares, somamos $n\cdot180^\circ$. A parte dos ângulos internos é $(n-2)\cdot180^\circ$. A diferença fornece a soma dos externos: $S_e=n\cdot180^\circ-S_i$. Substituindo a expressão de $S_i$, retiramos n − 2 parcelas de 180 graus das n parcelas iniciais. Como $n-(n-2)=2$, sobram $2\cdot180^\circ=360^\circ$. Isso corresponde à mudança total de direção em uma volta no contorno.

Essa soma não exige regularidade: os externos podem ter medidas diferentes. Também não devemos contar os dois externos adjacentes possíveis em cada vértice como se fossem apenas um por vértice. No convexo, cada externo considerado tem medida entre $0^\circ$ e $180^\circ$, sem incluir os extremos.

Mudanças de direção com sinal

Em um polígono não convexo, somar aberturas externas positivas indiscriminadamente não é a mesma coisa que contar uma volta. Uma extensão precisa usar giros orientados. Percorrendo um contorno simples no sentido anti-horário, com a região do polígono à esquerda, contamos giros para a esquerda como positivos e para a direita como negativos. O giro no vértice é $180^\circ-i$ e a soma dos giros é $360^\circ$.

Em um vértice reentrante de interno $240^\circ$, por exemplo, o giro é $180^\circ-240^\circ=-60^\circ$. No sentido inverso de percurso, os sinais se invertem e o giro total é $-360^\circ$. Nas aplicações de externos sem sinal desta aula, indicaremos expressamente que o polígono é convexo.

7O que torna um polígono regular?

Regularidade combina duas igualdades diferentes. Um polígono é equilátero quando todos os seus lados têm a mesma medida e equiângulo quando todos os seus ângulos internos têm a mesma medida. Um polígono regular, na convenção simples e convexa desta aula, reúne as duas condições.

O triângulo equilátero e o quadrado são regulares. Já ter todos os lados iguais, sozinho, não garante regularidade para polígonos em geral; o losango da figura mostra isso. Ter todos os ângulos iguais também não basta; o retângulo não quadrado é um contraexemplo.

Cada ângulo interno

No regular, os n ângulos internos são iguais. Podemos dividir a soma pelo número de ângulos para obter a medida i de cada um. Essa divisão não calcula cada ângulo de um polígono qualquer: exige a igualdade entre os ângulos.

Cada ângulo externo

Os externos adjacentes aos internos iguais também são iguais. Dividindo a volta completa entre os n vértices, encontramos e:

Podemos conferir uma expressão pela outra: $i+e=180^\circ$. No triângulo equilátero, $i=60^\circ$ e $e=120^\circ$. No quadrado, ambos medem $90^\circ$. No hexágono regular, $i=120^\circ$ e $e=60^\circ$. Para o perímetro, chamaremos de $\ell$ o comprimento comum dos lados e somaremos n parcelas iguais.

8Centro, raio e apótema

Um polígono regular possui um centro O equidistante dos vértices. Podemos traçar uma circunferência que passa por todos eles, chamada circunferência circunscrita. A distância do centro a um vértice é seu raio R. Essas são propriedades do polígono regular; um polígono qualquer não precisa ter um centro com essas características.

Ligando o centro a todos os vértices, dividimos a figura em n triângulos isósceles congruentes e a volta em n ângulos centrais iguais. A medida c de cada ângulo central é:

O central e o externo adjacente têm o mesmo valor numérico no polígono regular, mas ficam em lugares diferentes e são definidos por lados diferentes. No triângulo equilátero, por exemplo, o central mede $120^\circ$, enquanto o interno mede $60^\circ$.

A perpendicular até um lado

O apótema é o segmento perpendicular que liga o centro ao lado; também usaremos a para seu comprimento. Em um polígono regular, essa perpendicular encontra o lado em seu ponto médio M. Para justificar, no triângulo isósceles OAB os lados OA e OB são iguais. A mediana OM produz dois triângulos congruentes por LLL: OA = OB, AM = MB e OM é comum. Os ângulos em M são iguais e suplementares, logo medem $90^\circ$.

O triângulo OMA é retângulo em M, com hipotenusa R e catetos a e $\ell/2$. Aplicando o teorema de Pitágoras que estudamos em Triângulos:

Essa relação auxilia cálculos quando conhecemos o lado e o raio. A ligação entre apótema e área será desenvolvida na aula de Áreas de figuras planas. Não é necessário conhecer razões trigonométricas para o exemplo a seguir.

9Organizar um problema completo

O roteiro foi interpretar a relação, encontrar uma medida angular, verificar a quantidade de lados e só então calcular diagonais e perímetro. A condição de regularidade permitiu passar da soma dos externos para a medida de cada um.

10Agora é com você

Pratique reconhecimento, contagem, ângulos e relações métricas. Nas questões de justificativa, diga quais hipóteses permitem aplicar a fórmula e confira se o resultado representa uma figura possível.

11O que levar desta aula

• Um polígono simples tem contorno fechado formado por segmentos, sem cruzamentos, com um número inteiro de lados ao menos igual a três.
• Convexidade se refere à região. Regularidade exige lados iguais e ângulos iguais; uma condição não substitui a outra.
• De um vértice partem n − 3 diagonais. Para o total, multiplicamos por n e dividimos por dois, evitando contar cada diagonal duas vezes.
• Uma triangulação válida tem n − 2 triângulos e fornece a soma dos internos. Em figuras não convexas, as diagonais escolhidas precisam ficar na região.
• Os externos de um convexo, tomados um por vértice em um mesmo sentido de percurso, somam uma volta. No não convexo, a extensão dessa ideia exige giros com sinal.
• No regular, podemos dividir as somas angulares por n. Ângulo central e externo têm medidas iguais, mas são objetos diferentes.
• O apótema é perpendicular ao lado e chega a seu ponto médio. Com o raio e a metade do lado, forma um triângulo retângulo.

O próximo núcleo do percurso é Quadriláteros. Nele, retomaremos os polígonos de quatro lados para estudar famílias, diagonais, propriedades e relações entre suas classificações.