Conceitos fundamentais

1Ponto, reta e plano

Antes de calcular uma área ou descobrir um ângulo, precisamos entender o que os desenhos representam. Uma marca no papel pode indicar uma posição; um traço pode representar uma linha que continua além da folha. Nesta aula, construímos essa linguagem para estudar a geometria plana euclidiana.

Ponto, reta e plano são noções primitivas: servem de base ao estudo e não recebem uma definição a partir de ideias anteriores dentro desse sistema. Podemos descrevê-los intuitivamente. Um ponto indica uma posição e não possui tamanho. Uma reta não tem espessura e se estende ilimitadamente nos dois sentidos. Um plano não tem espessura e se estende ilimitadamente em duas dimensões.

• Nomeamos pontos com letras maiúsculas, como A, B e C; retas com letras minúsculas, como r e s; e planos, frequentemente, com letras gregas, como $\pi$.
• Dizer que um ponto pertence a uma reta significa que ele está sobre ela. Escrevemos $A\in r$ para indicar essa relação e $A\notin r$ quando ela não ocorre.
• Dois pontos distintos determinam uma única reta. Por um único ponto passam infinitas retas.
• Pontos que pertencem à mesma reta são colineares. Três pontos não colineares determinam um único plano; três pontos colineares não determinam um plano único.

2Segmentos, semirretas e medidas

Compare três ideias: uma linha sem começo nem fim, uma linha que começa e continua em um sentido, e um pedaço de linha com dois extremos. Elas correspondem a reta, semirreta e segmento de reta.

Dados A e B distintos, o segmento $\overline{AB}$ contém A, B e os pontos da reta que ficam entre eles. A semirreta $\overrightarrow{AB}$ começa em A, passa por B e continua indefinidamente nesse sentido. A reta $\overleftrightarrow{AB}$ continua nos dois sentidos. Trocar A por B não muda o segmento nem a reta; muda a semirreta, pois sua origem passa a ser B.

Chamaremos de AB o comprimento do segmento $\overline{AB}$. Para pontos distintos, $AB>0$. Segmentos congruentes têm o mesmo comprimento, mesmo quando aparecem em lugares ou direções diferentes. Para comparar medidas, use a mesma unidade: 1 cm equivale a 10 mm, e 1 m equivale a 100 cm.

Quando M está entre A e B na mesma reta, percorremos todo o segmento AB ao percorrer AM e depois MB. Por isso podemos somar os comprimentos:

Ponto médio

Dividir um segmento ao meio significa encontrar um ponto que esteja sobre ele e deixe as duas partes com a mesma medida. M é o ponto médio de $\overline{AB}$ quando M pertence ao segmento e $AM=MB$. A igualdade sozinha não basta se não sabemos que M está no segmento.

3Posições de retas no plano

Duas ruas desenhadas podem cruzar-se ou seguir sem se encontrar. Para descrever as retas, precisamos considerar todo o seu prolongamento, não apenas o trecho mostrado. Nesta aula, todas as retas consideradas pertencem ao mesmo plano.

• Retas coincidentes representam a mesma reta: todos os seus pontos são comuns.
• Retas concorrentes são distintas e têm exatamente um ponto comum. Esse ponto é a interseção.
• Retas paralelas, na convenção que adotaremos, são distintas, coplanares e não têm ponto comum. Escrevemos $r\parallel s$. Retas coincidentes serão tratadas separadamente.
• Retas perpendiculares são concorrentes e formam quatro ângulos retos, de $90^\circ$. Escrevemos $r\perp s$. Portanto, toda dupla perpendicular é concorrente, mas uma dupla concorrente pode não ser perpendicular.

Na geometria euclidiana, por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela a essa reta. Por um ponto do plano também passa uma única reta perpendicular a uma reta dada. São propriedades de base do estudo; não precisamos obter essas retas medindo um desenho.

Um ponto O sobre uma reta a divide em duas semirretas opostas, com a mesma origem e sentidos contrários. A própria reta divide o plano em dois semiplanos. Essas ideias ajudam a identificar o lado de uma reta em que está uma região ou um ângulo.

4Ângulos e unidades de medida

Um ângulo descreve uma abertura entre duas direções que partem do mesmo lugar. Geometricamente, seus lados são semirretas de origem comum, chamada vértice. Em $\angle AOB$, o vértice é O e os lados são $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$. A letra do meio identifica o vértice.

A medida depende da abertura, não do comprimento dos traços usados para desenhar os lados. Alongar um desses traços não aumenta o ângulo. Ângulos congruentes têm medidas iguais, mesmo quando estão em posições diferentes. Quando duas semirretas delimitam mais de uma região possível, indicamos a região considerada por uma marca ou pela descrição. Sem indicação de um ângulo reflexo ou de uma rotação, usaremos a abertura de até meia-volta.

Uma região do plano é convexa quando, ao escolher quaisquer dois pontos dela, o segmento que os une fica inteiramente na região. Se algum par não satisfaz essa condição, ela é não convexa. As regiões angulares de abertura menor que meia-volta são convexas; a região de um ângulo reflexo é não convexa. Um grau corresponde a uma das 360 partes iguais em que dividimos uma volta.

• Uma volta completa corresponde a $360^\circ$; meia-volta, a $180^\circ$; e um quarto de volta, a $90^\circ$.
• Ângulo nulo: $0^\circ$. Agudo: maior que $0^\circ$ e menor que $90^\circ$. Reto: $90^\circ$.
• Obtuso: maior que $90^\circ$ e menor que $180^\circ$. Raso: $180^\circ$, com lados em semirretas opostas.
• Reflexo, também chamado côncavo neste contexto: maior que $180^\circ$ e menor que $360^\circ$. Completo: uma volta de $360^\circ$. No nulo e no completo, as posições inicial e final coincidem; a rotação indicada distingue os casos.

Para medir com um transferidor, coloque o centro no vértice, alinhe a marca de zero com um lado e leia a escala que começa nesse zero. Em problemas teóricos, as medidas fornecidas e as propriedades têm prioridade sobre a leitura aproximada do desenho.

Graus, minutos e segundos

O grau pode ser dividido em 60 minutos de arco, e cada minuto em 60 segundos de arco. Os símbolos são, respectivamente, $^\circ$, $\prime$ e $\prime\prime$. Aqui não representam unidades de tempo. Na escrita normalizada, os minutos são inteiros de 0 a 59, e os segundos são maiores ou iguais a zero e menores que 60; segundos inteiros também vão de 0 a 59.

Por exemplo, $12{,}5^\circ=12^\circ+0{,}5\cdot60\prime=12^\circ30\prime$. A parte decimal do grau deve ser multiplicada por 60; escrever $12^\circ50\prime$ daria outra medida.

5Relações entre ângulos

Às vezes comparamos a posição dos ângulos; em outras situações, comparamos a soma de suas medidas. São informações diferentes. Dois ângulos podem somar $90^\circ$ mesmo que estejam desenhados longe um do outro.

• Ângulos consecutivos têm o mesmo vértice e um lado comum.
• Ângulos adjacentes são consecutivos e suas regiões interiores não se sobrepõem. Assim, todo par adjacente é consecutivo, mas nem todo par consecutivo é adjacente.
• Ângulos complementares têm medidas cuja soma é $90^\circ$; suplementares têm soma $180^\circ$; replementares, também chamados explementares, têm soma $360^\circ$. Essas classificações não exigem adjacência.

Um par linear é formado por ângulos adjacentes cujos lados não comuns são semirretas opostas. Juntos eles ocupam uma meia-volta; por isso são suplementares. Por exemplo, o adjacente de $68^\circ$ em um par linear mede $180^\circ-68^\circ=112^\circ$.

Opostos pelo vértice

Quando duas retas distintas se cruzam, os ângulos que ficam um em frente ao outro têm lados em semirretas opostas. Eles são opostos pelo vértice. Não têm um lado comum e possuem medidas iguais.

Para justificar a igualdade, chame de $\gamma$ a medida de um ângulo adjacente a ambos. Os pares lineares dão $\alpha+\gamma=180^\circ$ e $\beta+\gamma=180^\circ$. Subtraindo a mesma medida $\gamma$ das duas igualdades, obtemos $\alpha=\beta$. Esse resultado não exige que as retas sejam perpendiculares.

6Bissetriz e mediatriz

Os nomes se parecem, mas tratam de objetos diferentes: a bissetriz divide um ângulo; a mediatriz é uma reta perpendicular a um segmento em seu ponto médio.

Bissetriz de um ângulo

Para um ângulo de medida entre $0^\circ$ e $180^\circ$, sem incluir os extremos, sua bissetriz interna é a semirreta que parte do vértice, fica no interior da região considerada e a divide em dois ângulos de mesma medida. Não basta passar pelo vértice: as duas aberturas precisam ser iguais.

Se $\angle AOB=74^\circ$, cada metade mede $74^\circ/2=37^\circ$. No sentido inverso, se cada metade mede $28^\circ$, o ângulo inteiro mede $56^\circ$.

Mediatriz de um segmento

Se A e B são distintos, a mediatriz de $\overline{AB}$ é a reta perpendicular à reta AB que passa pelo ponto médio M do segmento. Para identificá-la, precisamos das duas condições: passar por M e formar $90^\circ$ com AB. Passar pelo ponto médio sem ser perpendicular não é suficiente; ser perpendicular fora de M também não é.

Uma forma de construí-la com régua e transferidor é medir AB, marcar M com metade desse comprimento e traçar por M a perpendicular. O ponto médio é um ponto, enquanto a mediatriz é uma reta. Na aula de Triângulos, as congruências ajudam a estudar propriedades adicionais dessas construções.

7Paralelas e uma transversal

Uma transversal corta duas retas em pontos distintos, formando quatro ângulos em cada interseção. Os nomes dos pares indicam onde eles estão. Quando as duas retas cortadas são paralelas, essa posição permite estabelecer igualdades e somas.

• Correspondentes ocupam a mesma posição em cada cruzamento, no mesmo lado da transversal: (1, 5), (2, 6), (3, 7) e (4, 8).
• Alternos internos ficam na faixa entre r e s e em lados opostos de t: (3, 5) e (4, 6). Alternos externos ficam fora da faixa e em lados opostos de t: (1, 7) e (2, 8).
• Colaterais internos ficam na faixa e no mesmo lado de t: (3, 6) e (4, 5). Colaterais externos ficam fora dela e no mesmo lado de t: (1, 8) e (2, 7).

Para retas paralelas na geometria euclidiana, os correspondentes têm a mesma medida. Com essa propriedade e os opostos pelo vértice, obtemos a igualdade dos alternos: por exemplo, 1 e 5 são correspondentes, logo têm a mesma medida; 1 e 3 são opostos pelo vértice, então 3 e 5 também têm a mesma medida. Escreveremos $\alpha_i$ para a medida do ângulo identificado pelo número i no desenho.

Os colaterais são suplementares. Por exemplo, 3 e 4 formam um par linear; como 4 e 6 são alternos internos de mesma medida, substituir a medida de 4 pela de 6 dá $\alpha_3+\alpha_6=180^\circ$. O mesmo raciocínio vale para os demais pares colaterais.

8Um problema com várias relações

Em um problema maior, nomeie primeiro a relação geométrica: igualdade por correspondência, soma de um par linear ou divisão por uma bissetriz. Só depois monte a equação. Essa ordem evita escolher uma operação apenas porque ela parece produzir um número conveniente.

9Agora é com você

Resolva uma questão por vez. Nas respostas justificadas, identifique as hipóteses e diga qual propriedade permite cada conclusão. Nas questões objetivas, confira a resolução mesmo quando acertar.

10O que levar desta aula

• Reta, semirreta e segmento são objetos diferentes. O segmento possui comprimento finito; a reta e a semirreta se prolongam indefinidamente.
• A adição de segmentos depende de o ponto intermediário estar entre os extremos. O ponto médio divide o segmento em duas partes iguais.
• Ângulo mede abertura. Graus, minutos e segundos de arco não seguem uma divisão decimal entre si.
• Adjacência descreve posição; complementaridade e suplementaridade descrevem somas. Opostos pelo vértice têm medidas iguais.
• Bissetriz divide um ângulo em duas partes iguais; mediatriz passa pelo ponto médio de um segmento e é perpendicular a ele.
• Em paralelas cortadas por uma transversal, correspondentes e alternos são iguais; colaterais são suplementares. Preserve a hipótese de paralelismo.

Com essa linguagem, você pode seguir para Triângulos e entender por que paralelismo, perpendicularidade e relações entre ângulos aparecem nas demonstrações.