Fórmulas de Geometria Plana

A, M e B são colineares, com M entre A e B. AB, AM e MB representam comprimentos na mesma unidade.

A e B são distintos e M é o ponto médio do segmento AB: pertence ao segmento e divide seu comprimento em duas partes iguais.

Os símbolos representam grau, minuto de arco e segundo de arco. Não são unidades de tempo; as subdivisões são sexagesimais.

α e β são medidas não negativas de ângulos complementares. Cada uma está entre 0° e 90°, inclusive; os ângulos não precisam ser adjacentes.

α e β são medidas não negativas de ângulos suplementares. Cada uma está entre 0° e 180°, inclusive; um par linear é um caso particular.

α e β medem um par de ângulos opostos pelo vértice no cruzamento de duas retas distintas. A igualdade independe de perpendicularidade.

θ é a medida de AOB, com 0° < θ < 180°. OC é a semirreta bissetriz interna: parte de O e fica na região do ângulo considerado.

r e s são retas distintas e paralelas, cortadas por t. αᵢ mede o ângulo de número i no desenho da aula: correspondentes e alternos são iguais; colaterais são suplementares.

α, β e γ são as medidas positivas dos três ângulos internos de um triângulo na geometria plana euclidiana.

α e β são as medidas dos dois ângulos internos não adjacentes ao externo de medida δ. Esse externo e o terceiro interno formam um par linear no triângulo euclidiano.

a, b e c são comprimentos positivos. As desigualdades são estritas.

Somente em triângulos retângulos, com hipotenusa a e catetos b e c.

b > 0 é a base e h > 0 é a altura perpendicular à reta dessa base.

a, b e c são comprimentos positivos do primeiro triângulo; a′, b′ e c′ são os correspondentes no segundo, semelhante ao primeiro. k compara o segundo triângulo com o primeiro.

A > 0 e A′ > 0 são as áreas do primeiro e do segundo triângulo, que são semelhantes. k > 0 é a razão entre os comprimentos correspondentes do segundo e do primeiro.

n é inteiro e n ≥ 3. ℓᵢ > 0 é o comprimento do lado de índice i, de 1 até n. Todas as medidas devem usar a mesma unidade.

Polígono simples com n lados, n inteiro e n ≥ 3. Excluem-se o próprio vértice e seus dois vizinhos; não é necessário que o polígono seja regular.

Polígono simples com n lados, n inteiro e n ≥ 3. Cada diagonal é contada por seu par de extremos não consecutivos, mesmo se passar fora de uma região não convexa.

Polígono simples de n lados, n inteiro e n ≥ 3, na geometria euclidiana. A soma vem de uma triangulação válida em n − 2 triângulos; também vale para o não convexo.

Polígono convexo simples. Considera-se um externo adjacente por vértice, acompanhando o mesmo sentido de percurso. Para não convexos, giros precisam ser tratados com sinal.

Polígono regular simples e convexo com n lados, n inteiro e n ≥ 3. Os n ângulos internos têm a mesma medida i.

Polígono regular simples e convexo com n lados, n inteiro e n ≥ 3. e é a medida de um externo adjacente ao interno; i + e = 180°.

n é inteiro, n ≥ 3, e o polígono é regular simples e convexo. c é o ângulo no centro entre raios que chegam a dois vértices consecutivos.

n é inteiro e n ≥ 3. Todos os lados têm comprimento ℓ > 0 na mesma unidade. A relação vale em particular para um polígono regular, mas não exige ângulos iguais.

Polígono regular simples e convexo: R > 0 é o raio da circunferência circunscrita, a > 0 é o apótema e ℓ > 0 é o lado. O apótema é perpendicular ao lado e encontra seu ponto médio.

Quadrilátero simples ABCD, nomeado na ordem do contorno, na geometria euclidiana. Usam-se os quatro ângulos internos; a soma também vale no não convexo.

ABCD é um paralelogramo convexo com vértices em ordem no contorno. As igualdades referem-se aos comprimentos dos lados opostos.

ABCD é um paralelogramo convexo e O é o encontro de AC com BD. Cada diagonal divide a outra ao meio; não se afirma que AC = BD.

a > 0 e b > 0 são os comprimentos de dois lados consecutivos do paralelogramo, na mesma unidade. Vale em particular para retângulos, losangos e quadrados.

a > 0 e b > 0 são lados consecutivos de um retângulo; d > 0 é sua diagonal. Todas as medidas usam a mesma unidade. A diagonal é a hipotenusa.

ℓ > 0 é o lado do losango; p > 0 e q > 0 são os comprimentos totais das diagonais, na mesma unidade. Suas metades são catetos perpendiculares; ℓ é a hipotenusa.

ℓ > 0 é o comprimento do lado e d > 0 é o comprimento da diagonal de um quadrado, na mesma unidade. A raiz positiva é usada por se tratar de comprimentos.

ABCD é um trapézio convexo com AB paralelo a CD, as bases. Somam-se os ângulos junto a cada lado não paralelo; não se exige que o trapézio seja isósceles.

ABC é um triângulo não degenerado. M pertence a AB e AM = MB; N pertence a AC e AN = NC. MN une esses pontos médios; BC > 0 é o terceiro lado.

Trapézio convexo de bases com comprimentos B > b > 0 na mesma unidade. m é o comprimento do segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos; esse segmento é paralelo às bases.

ABCD é um quadrilátero convexo. E, F, G e H são os pontos médios consecutivos de AB, BC, CD e DA. AC e BD representam comprimentos das diagonais, na mesma unidade.

Circunferência de raio r > 0. d > 0 é o comprimento de qualquer diâmetro, na mesma unidade de r.

c > 0 é o comprimento de uma corda de uma circunferência de raio r > 0. h é a distância perpendicular do centro à reta da corda; 0 ≤ h < r. Todas as medidas estão na mesma unidade.

Circunferência de raio positivo, com A e B distintos. θ, entre 0° e 360° sem os extremos, é a medida do ângulo central correspondente ao arco AB escolhido. Usa-se a mesma região para arco e ângulo. A volta completa, tratada separadamente, mede 360°.

P é exterior à circunferência; T e U são os dois pontos de tangência. PT e PU são comprimentos dos segmentos tangentes, não de retas inteiras.

O é o centro, r > 0 é o raio, OP > r e T é o ponto de tangência da reta PT. O triângulo OTP é retângulo em T. Usar a raiz positiva para calcular PT.

A, B e P são pontos distintos da mesma circunferência. α é a medida do ângulo APB, com vértice P; o arco AB considerado não contém P e pode ser maior que uma semicircunferência.

T e A são distintos na mesma circunferência de raio positivo. A corda TA e a tangente em T formam α. Escolher o arco TA interceptado pela região desse ângulo. As duas aberturas adjacentes usam arcos que somam 360° e são suplementares.

As cordas AC e BD se cruzam em P no interior da circunferência. α é o ângulo APB; a e b são as medidas dos arcos AB e CD interceptados por ele e por seu oposto pelo vértice. Medidas angulares na mesma unidade.

Duas secantes, uma secante e uma tangente ou duas tangentes partem de um ponto exterior P. a > b são os arcos efetivamente interceptados: o afastado e o próximo de P. α é a abertura entre as semirretas que entram na circunferência ou chegam aos pontos de tangência.

P é exterior e PT, PU são segmentos tangentes. θ é a medida do arco menor TU, com 0° < θ < 180°. α é o ângulo TPU, entre os segmentos tangentes.

ABCD é um quadrilátero convexo, com vértices em ordem no contorno. A condição equivale à existência de uma circunferência pelos quatro vértices; o outro par de ângulos opostos também soma 180°.

As cordas distintas AC e BD se cruzam no ponto interior P. A, B, C e D pertencem à mesma circunferência. Usam-se comprimentos positivos das duas partes de cada corda, na mesma unidade.

P é exterior. Em cada secante, a ordem é P–A–B e P–C–D. PA e PC são trechos externos; PB e PD são as distâncias totais de P ao ponto mais afastado. Não substituir o total pelo trecho interno AB ou CD.

P é exterior, PT é tangente em T e a ordem na secante é P–A–B. PB = PA + AB é a distância total, e PA é o trecho externo. Comprimentos positivos na mesma unidade.

Circunferência de centro O e raio r > 0. A potência é positiva no exterior, zero na circunferência e negativa no interior. Sua unidade é o quadrado da unidade de comprimento; não representa, por definição, uma área.

r > 0 é o raio e d = 2r é o diâmetro. L é um comprimento, na mesma unidade de r e d; π é adimensional. Manter a forma exata com π quando não houver aproximação solicitada.

r > 0 e 0° ≤ θ ≤ 360°. θ é a medida angular, em graus, do arco escolhido e ℓ é seu comprimento. A fórmula usa graus; não inserir diretamente uma medida em radianos.

Polígono regular simples e convexo, com n inteiro e n ≥ 3. R > 0 é o raio circunscrito, a > 0 é o raio inscrito ou apótema, e s > 0 é o lado. Medidas na mesma unidade; o apótema encontra o ponto médio do lado perpendicularmente.

ABCD é um quadrilátero convexo. A igualdade caracteriza a possibilidade de inscrever uma circunferência tangente aos quatro segmentos dos lados. Os termos representam comprimentos, com vértices em ordem no contorno.

b > 0 e h > 0 são os comprimentos de lados consecutivos perpendiculares de um retângulo, na mesma unidade. S é a área, na unidade quadrada correspondente.

ℓ > 0 é o comprimento do lado do quadrado. A unidade da área é o quadrado da unidade de comprimento.

Paralelogramo não degenerado. b > 0 é a base escolhida e h > 0 é a distância perpendicular entre as retas dos lados paralelos a essa base. h não é, em geral, o lado inclinado.

Triângulo não degenerado. b > 0 é o lado escolhido como base; h > 0 é a distância perpendicular do vértice oposto à reta dessa base, inclusive quando o pé da altura cai no prolongamento.

ℓ > 0 é o comprimento de cada um dos três lados iguais de um triângulo equilátero. A fórmula não vale para um triângulo qualquer a partir de um único lado.

Trapézio convexo. B > b > 0 são os comprimentos das bases paralelas, seguindo a convenção exclusiva da aula de Quadriláteros. h > 0 é a distância perpendicular entre as retas das bases; não se exige trapézio isósceles.

m = (B + b)/2 é a medida da base média que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio convexo; h > 0 é sua altura. Não usar um segmento paralelo qualquer no lugar da base média.

Quadrilátero convexo com diagonais perpendiculares de comprimentos D > 0 e d > 0 na mesma unidade. Vale para losangos e deltoides convexos, sem exigir que ambas as diagonais se dividam ao meio.

A e B são regiões planas com áreas definidas. A ∪ B reúne pontos de pelo menos uma delas; A ∩ B é a parte comum, contada duas vezes na soma inicial. Todas as áreas devem usar a mesma unidade.

Retângulo interno de lados b > 0 e h > 0. A moldura externa tem largura w > 0 em cada lado e cantos externos retos; o retângulo externo mede b + 2w por h + 2w. Não se trata de uma faixa com cantos arredondados.

Polígono regular simples e convexo, com n inteiro e n ≥ 3. P > 0 é o perímetro e a > 0 é o apótema, perpendicular a cada lado em seu ponto médio. P e a usam a mesma unidade.

Polígono convexo com circunferência inscrita tangente a todos os segmentos dos lados. r > 0 é o raio inscrito, P > 0 é o perímetro e s = P/2 é o semiperímetro. Vale em particular para todo triângulo não degenerado.

r > 0 é o raio e d = 2r é o diâmetro. S mede a região do círculo, incluindo seu interior; não é o comprimento da circunferência. A unidade é quadrada.

r > 0 e 0° ≤ θ ≤ 360°. θ é a medida angular em graus do setor escolhido, inclusive reflexo; 0° dá área zero e 360° dá o círculo inteiro. Não inserir uma medida em radianos nesta expressão.

r > 0 é o raio e ℓ é o comprimento do arco do setor escolhido, com 0 ≤ ℓ ≤ 2πr. r e ℓ usam a mesma unidade. ℓ não representa a corda entre os extremos do arco.

Círculos concêntricos de raios R > r ≥ 0 na mesma unidade. A região fica entre os contornos; r = 0 é o caso limite do círculo inteiro. A largura é R − r, mas sua área não é π(R − r)².

R > r ≥ 0 são raios concêntricos; 0° ≤ θ ≤ 360° é a abertura comum dos dois setores, em graus. A região é a diferença entre o setor maior e o menor de mesma abertura.

A e B são extremos de uma corda; O é o centro. Considera-se o arco menor de abertura central 0° < θ ≤ 180°. Para θ = 180°, OAB é degenerado e sua área é zero. O segmento maior é o círculo menos o menor, e não usa a mesma subtração com o setor maior.

Dois triângulos não degenerados têm a mesma altura relativa às bases escolhidas, b₁ > 0 e b₂ > 0. As bases podem estar na mesma reta e os vértices opostos na mesma paralela a ela. S₂ > 0 permite a divisão.

Figuras planas semelhantes de áreas positivas, com razão de comprimentos correspondentes k > 0 da figura 1 para a figura 2. Não basta conhecer a razão de apenas uma dimensão de figuras que não sejam semelhantes.

a, b, c > 0 são os lados de um triângulo não degenerado e satisfazem as três desigualdades triangulares estritas. s é o semiperímetro. Os quatro fatores são positivos e usa-se a raiz positiva para a área.