Triângulos

1Introdução

Três pontos que não estão em uma mesma reta determinam um triângulo. Ao ligar esses pontos dois a dois, obtemos uma figura que aparece em telhados, estruturas, mapas e em muitas demonstrações da matemática.

Uma figura delimitada por um contorno fechado de segmentos que não se cruzam é um polígono. O triângulo é um polígono de três lados, três vértices e três ângulos internos. Escrevemos $\triangle ABC$ para o triângulo de vértices A, B e C. Os lados são os segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{CA}$. Nesta aula, trabalhamos na geometria plana euclidiana.

É comum chamar de a, b e c os comprimentos dos lados opostos a A, B e C, respectivamente: $a=BC$, $b=CA$ e $c=AB$. Essas letras representam medidas positivas. Como nos fundamentos, AB indica o comprimento do segmento $\overline{AB}$; adotamos a mesma distinção para os outros lados.

2Classificação dos triângulos

Podemos classificar o mesmo triângulo de duas maneiras: comparando os lados e observando os ângulos. Essas classificações se complementam; por exemplo, um triângulo pode ser isósceles e retângulo ao mesmo tempo.

Quanto aos lados

Quanto aos ângulos

• Acutângulo: os três ângulos internos são menores que $90^\circ$.
• Retângulo: um ângulo interno mede $90^\circ$. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa; os outros dois são os catetos.
• Obtusângulo: um ângulo interno é maior que $90^\circ$. Os outros dois são agudos.

Um triângulo não pode ter dois ângulos retos nem dois obtusos: só esses dois ângulos já somariam pelo menos $180^\circ$, sem deixar uma medida positiva para o terceiro. Vamos justificar essa soma na próxima seção.

3Ângulos e condição de existência

Por que os ângulos somam 180°?

Chamemos de $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ as medidas dos ângulos internos em A, B e C, respectivamente. Trace pelo vértice A uma reta paralela ao lado BC. As retas AB e AC cortam essas duas paralelas. Os ângulos que elas formam em A são iguais aos ângulos em B e C, pela propriedade dos alternos internos. Junto ao ângulo em A, eles formam um ângulo raso.

Por isso, conhecer dois ângulos determina o terceiro. Como todos os ângulos internos são positivos, cada um é menor que $180^\circ$.

O ângulo externo

Prolongue um lado além de um vértice. O ângulo entre esse prolongamento e o lado vizinho é um ângulo externo. Ele e o interno adjacente somam $180^\circ$. Chamando de $\delta$ a medida do externo e de $\gamma$ a do interno adjacente, temos $\delta=180^\circ-\gamma$. Substituindo $180^\circ=\alpha+\beta+\gamma$, obtemos:

Quais três medidas formam um triângulo?

Imagine três varetas. Para fechar a figura, qualquer uma precisa ser menor que a soma das outras duas. Se o maior comprimento igualar essa soma, as varetas ficam alinhadas. Se for maior, elas não alcançam uma à outra.

Para $a,b,c>0$, a condição é $a<b+c$, $b<a+c$ e $c<a+b$. Uma forma equivalente, escolhendo a como o lado a testar, é:

A necessidade vem de que o caminho direto entre dois pontos é menor que um caminho quebrado por um terceiro ponto fora da reta. A suficiência pode ser vista construindo duas circunferências de raios b e c com centros separados por a: as desigualdades estritas garantem dois pontos de encontro fora da reta dos centros. Qualquer um forma o terceiro vértice.

4Congruência: mesma forma e tamanho

Dois triângulos são congruentes quando podem ser sobrepostos por movimentos rígidos: translação, rotação ou reflexão. Seus lados e ângulos correspondentes têm medidas iguais. A ordem dos vértices importa: em $\triangle ABC\cong\triangle DEF$, A corresponde a D, B a E e C a F.

Não é necessário verificar as seis medidas. Os seguintes conjuntos de informações já determinam um triângulo, a menos de movimentos rígidos:

• LLL: os três lados correspondentes são iguais.
• LAL: dois lados correspondentes e o ângulo compreendido entre eles são iguais.
• ALA: dois ângulos correspondentes e o lado entre eles são iguais.
• LAAo: um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado são iguais. A soma de 180° fornece o terceiro ângulo e reduz ao caso ALA.
• Em triângulos retângulos, hipotenusa e um cateto correspondentes iguais também garantem congruência. Pitágoras determina o outro cateto, reduzindo ao caso LLL.

Por exemplo, no caso LLL, fixe um lado AB. O terceiro vértice precisa estar a uma distância definida de A e de B, isto é, no encontro de duas circunferências. As duas posições possíveis são reflexões uma da outra e produzem triângulos congruentes.

Por que os ângulos da base do isósceles são iguais?

Se AB=AC, trace a bissetriz de A, que divide esse ângulo em duas partes iguais e encontra BC em M. Os triângulos ABM e ACM têm AB=AC, AM comum e os ângulos entre esses lados iguais. São congruentes por LAL. Logo os ângulos em B e C são iguais e BM=CM. Portanto, AM é uma mediana: um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Pela mesma congruência, os ângulos AMB e AMC são iguais; como B, M e C estão alinhados, eles também são suplementares. Cada um mede $90^\circ$. Assim, AM também é uma altura: liga o vértice à reta do lado oposto perpendicularmente. Neste isósceles, bissetriz, mediana e altura relativas à base coincidem.

5Semelhança: a forma se conserva

Ao ampliar uma fotografia sem deformá-la, todos os comprimentos são multiplicados pelo mesmo número. Triângulos semelhantes obedecem a essa ideia: têm ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais. O fator positivo k é a razão de semelhança, comparando os comprimentos do segundo triângulo com os do primeiro. Se a, b e c são os comprimentos do primeiro, $a^{\prime}$, $b^{\prime}$ e $c^{\prime}$ indicam os correspondentes do segundo; o apóstrofo apenas distingue as duas figuras.

• AA: dois ângulos correspondentes iguais. O terceiro também é igual pela soma de 180°.
• LAL de semelhança: dois pares de lados proporcionais e ângulos compreendidos iguais.
• LLL de semelhança: os três pares de lados são proporcionais.

Para entender o caso AA, copie o menor triângulo e amplie seus lados por k, de modo que um lado iguale o correspondente do maior. Os ângulos não mudam nessa ampliação. O lado agora igual e os ângulos em suas extremidades dão congruência por ALA. Portanto, os outros lados também estão no mesmo fator.

Comprimentos, alturas e perímetros são multiplicados por k. Se b é uma base e h é sua altura perpendicular, a área é $A=bh/2$, como justificaremos na próxima seção. No segundo triângulo, base e altura correspondentes medem kb e kh. Sua área é $A'=(kb)(kh)/2=k^2A$: a área é multiplicada por $k^2$.

6Altura, área e triângulo retângulo

A altura relativa a uma base é a distância perpendicular do vértice oposto à reta que contém essa base. Não confunda a altura com um lado inclinado. Em um obtusângulo, o pé de uma altura pode ficar no prolongamento da base.

Por que dividir por 2? Duas cópias congruentes do triângulo podem formar um paralelogramo, um polígono de quatro lados com os lados opostos paralelos, com a mesma base b e a mesma altura h. A área desse paralelogramo é bh: recortando e deslocando partes junto às extremidades, podemos recompô-lo em um retângulo de base b e altura h, sem mudar sua área. Cada uma das duas cópias ocupa metade dessa área, isto é, bh/2. Essa conclusão vale para triângulos agudos, retos e obtusos.

Teorema de Pitágoras

Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Para escrever essa relação, chamaremos de a o comprimento da hipotenusa e de b e c os comprimentos dos catetos. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto e também o maior lado.

Uma demonstração usa áreas: disponha quatro cópias do triângulo dentro de um quadrado de lado b+c, com as hipotenusas delimitando um quadrado central de lado a. Os ângulos agudos de cada cópia somam 90°, então os cantos centrais são retos. A área total satisfaz $(b+c)^2=4(bc/2)+a^2$. Expandindo e cancelando 2bc, resulta $b^2+c^2=a^2$.

A recíproca também vale: se os lados positivos de um triângulo satisfazem $a^2=b^2+c^2$, ele é retângulo. Construa um triângulo retângulo com catetos b e c. Pelo teorema, sua hipotenusa mede a. O caso LLL o torna congruente ao triângulo dado, que portanto também tem ângulo reto.

Dois triângulos que aparecem muito

• Retângulo isósceles: os ângulos agudos medem 45° e os catetos iguais a t produzem hipotenusa $t\sqrt{2}$, com $t>0$, por Pitágoras.
• Metade de um equilátero de lado s: a altura divide a base em dois segmentos de s/2 e forma ângulos de 30° e 60°. Por Pitágoras, a altura mede $s\sqrt{3}/2$, com $s>0$.

7Mais um exemplo, passo a passo

8Agora é com você

Comece pelas questões de fixação e avance até as justificativas. Nas objetivas, escolha uma alternativa antes de conferir. Nas discursivas, escreva seu raciocínio e depois compare com a resolução.

9O que levar desta aula

• Um triângulo tem três vértices não colineares. Seus ângulos internos somam 180°.
• Lados positivos precisam satisfazer a desigualdade triangular estrita para formar uma figura não degenerada.
• Congruência conserva medidas; semelhança conserva ângulos e multiplica os comprimentos pelo mesmo fator positivo.
• Na semelhança de razão k, os perímetros variam por k e as áreas por $k^2$.
• A área é base vezes altura perpendicular, dividida por 2. Pitágoras exige um triângulo retângulo.

Se ainda houver dúvida, volte à demonstração correspondente e resolva novamente uma questão sem consultar o exemplo. Entender as condições de cada propriedade é tão importante quanto lembrar sua fórmula.