Definição
Polinômio em x é uma soma finita de termos com expoentes inteiros não negativos.
Forma geral
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
aₙ ≠ 0 para grau n
Grau e coeficientes
| Conceito | Descrição |
|---|---|
| Grau | Maior expoente com coeficiente não nulo. |
| Coeficiente líder | Coeficiente do termo de maior grau. |
| Termo independente | Coeficiente a₀, sem variável. |
| Polinômio nulo | Todos os coeficientes são zero; grau não definido. |
| Identidade polinomial | Dois polinômios são iguais se seus coeficientes correspondentes são iguais. |
Operações
Propriedades de grau
- Soma grau(P + Q) ≤ maior grau entre P e Q
- Produto grau(PQ) = grau(P) + grau(Q), se P,Q não nulos
- Composição grau(P∘Q) = grau(P) · grau(Q), em geral
Divisão de polinômios
Dividir P por D produz quociente Q e resto R, com grau(R) menor que grau(D).
Algoritmo da divisão
P(x) = D(x)Q(x) + R(x)
Teorema do resto
R da divisão por (x − a) é P(a)
Raízes
Uma raiz é um valor a tal que P(a) = 0. Se a é raiz, então x − a é fator de P(x).
Fatoração por raízes
P(x) = aₙ(x − r₁)(x − r₂)...(x − rₙ)
| Tipo | Descrição |
|---|---|
| Raiz simples | Fator aparece uma vez. |
| Raiz múltipla | Fator aparece mais de uma vez. |
| Raiz racional candidata | Divisor de a₀ dividido por divisor de aₙ. |
Dispositivo de Briot-Ruffini
É um método rápido para dividir um polinômio por um binômio do tipo x − a.
Uso
- Divisor x − a
- Resto P(a)
- Quociente coeficientes obtidos pelo esquema
Raiz racional candidata: em polinômios com coeficientes inteiros, teste divisores do termo independente divididos por divisores do coeficiente líder.
Teoremas importantes
| Teorema | Ideia |
|---|---|
| Teorema do fator | P(a)=0 ⇔ (x−a) divide P(x). |
| Teorema fundamental da álgebra | Todo polinômio de grau n ≥ 1 tem pelo menos uma raiz complexa. |
| Número máximo de raízes | Polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais distintas. |
| Raízes complexas conjugadas | Se coeficientes são reais e a+bi é raiz, então a−bi também é raiz. |
Relações de Girard
Relacionam coeficientes e raízes de equações polinomiais.
Equação quadrática
- Forma ax² + bx + c = 0
- Soma r₁ + r₂ = −b/a
- Produto r₁r₂ = c/a
Equação cúbica
- Forma ax³ + bx² + cx + d = 0
- Soma r₁+r₂+r₃ = −b/a
- Pares r₁r₂+r₁r₃+r₂r₃ = c/a
- Produto r₁r₂r₃ = −d/a