Divisão de polinômios
Dividir polinômios significa escrever o dividendo como produto do divisor pelo quociente, somado ao resto. O resto precisa ter grau menor que o divisor.
| Elemento | Função |
|---|---|
| P(x) | dividendo: o polinômio que será dividido |
| D(x) | divisor: o polinômio pelo qual dividimos |
| Q(x) | quociente: a parte principal do resultado |
| R(x) | resto: o que sobra após a divisão |
Algoritmo passo a passo
Na divisão longa, o processo sempre compara o termo de maior grau do dividendo atual com o termo de maior grau do divisor.
Teorema do resto
Quando o divisor é x-a, o resto da divisão é simplesmente P(a). Isso transforma uma divisão em uma substituição.
A justificativa é curta: se P(x)=(x-a)Q(x)+R, então, ao fazer x=a, fica P(a)=0.Q(a)+R. Portanto, R=P(a).
Teorema do fator
O teorema do fator é o teorema do resto no caso em que o resto é zero.
Isso cria uma ponte importante: encontrar uma raiz é encontrar um fator linear. Depois que o fator é removido, o grau do polinômio diminui.
Briot-Ruffini
Briot-Ruffini é um processo rápido para dividir por x-a. Ele usa apenas os coeficientes e economiza a divisão longa.
| 3 | 1 | -2 | -5 | 6 |
| 3 | 3 | -6 | ||
| 1 | 1 | -2 | 0 |
Estratégia de fatoração
Fatorar um polinômio é escrevê-lo como produto de fatores mais simples. Em problemas de prova, isso costuma exigir uma sequência de decisões.
Procure fator comum e produtos notáveis
Antes de testar raízes, veja se há fator comum, diferença de quadrados, quadrado perfeito ou agrupamento.
Teste raízes simples
Comece por 1, -1 e candidatas racionais quando os coeficientes forem inteiros.
Use Briot-Ruffini para reduzir o grau
Se P(a)=0, divida por x-a e continue com o quociente.
Finalize com grau 2 ou fatoração conhecida
Depois de reduzir, uma equação quadrática pode ser resolvida por soma e produto, discriminante ou produtos notáveis.
| Erro comum | Correção |
|---|---|
| usar Briot-Ruffini com divisor que não é x-a | se o divisor for diferente, adapte antes ou use divisão longa |
| pular coeficiente zero | escreva todos os coeficientes em ordem decrescente de grau |
| achar que P(a)=0 dá fator x+a | raiz a corresponde a fator x-a |