Unidade imaginária
A unidade imaginária i é definida por i² = −1. As potências de i se repetem em ciclo de 4.
| Potência | Valor |
|---|---|
| i⁰ | 1 |
| i¹ | i |
| i² | −1 |
| i³ | −i |
| i⁴ | 1 |
Forma algébrica
Complexo
- Forma z = a + bi
- Parte real Re(z) = a
- Parte imag. Im(z) = b
- Igualdade a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
Operações
| Operação | Regra |
|---|---|
| Soma | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i |
| Subtração | (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i |
| Produto | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i |
| Divisão | Multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador. |
Conjugado e módulo
Propriedades
- Conjugado se z = a + bi, então z̄ = a − bi
- Módulo |z| = √(a² + b²)
- Produto z · z̄ = |z|²
- Módulo produto |zw| = |z||w|
- Módulo quociente |z/w| = |z|/|w|
Forma trigonométrica
No plano complexo, z = a + bi pode ser representado por módulo r e argumento θ.
Forma polar
- Módulo r = |z|
- Argumento tan θ = b/a
- Forma z = r(cos θ + i sen θ)
Fórmula de De Moivre
Potências
[r(cos θ + i sen θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ)
Raízes n-ésimas
Um número complexo não nulo possui n raízes n-ésimas distribuídas igualmente em uma circunferência no plano complexo.
Argumentos das raízes
θₖ = (θ + 2kπ)/n, k = 0, 1, ..., n−1
Lugares geométricos no plano complexo
Muitas equações com módulo descrevem conjuntos de pontos no plano.
| Condição | Lugar geométrico |
|---|---|
| |z − z₀| = r | circunferência de centro z₀ e raio r |
| |z − a| = |z − b| | mediatriz do segmento AB |
| |z − a| + |z − b| = constante | elipse, se a constante for maior que AB |
| |z − a| − |z − b| = constante | hipérbole, em condições adequadas |
Interpretação da multiplicação
- Módulo multiplica os módulos
- Argumento soma os argumentos
- Geometria rotação + dilatação