Raízes
Um número a é raiz de P quando P(a)=0. Em uma equação polinomial, as raízes são justamente as soluções.
- Equação a é solução de P(x)=0.
- Fatoração x-a é fator de P(x).
- Gráfico o ponto x=a é interseção do gráfico com o eixo x.
Essas três leituras evitam decorar métodos isolados. Quando você encontra uma raiz, também encontra um fator; quando fatoriza, também enxerga onde o gráfico zera.
Fatoração por raízes
Se um polinômio de grau n possui raízes r1, r2, ..., rn, contando repetições e raízes complexas, ele pode ser escrito como produto de fatores lineares.
Multiplicidade
A multiplicidade mede quantas vezes uma raiz aparece como fator. Uma raiz pode zerar o polinômio uma vez, duas vezes, três vezes ou mais.
| Multiplicidade | Nome comum | Leitura no gráfico | Sinal |
|---|---|---|---|
| 1 | raiz simples | o gráfico cruza o eixo x | troca o sinal |
| 2 | raiz dupla | o gráfico toca o eixo x e volta | não troca o sinal |
| 3 | raiz tripla | o gráfico cruza com achatamento | troca o sinal |
| par | multiplicidade par | tende a tangenciar o eixo | não troca o sinal |
| ímpar | multiplicidade ímpar | tende a atravessar o eixo | troca o sinal |
Raízes racionais
Quando os coeficientes são inteiros, o teorema das raízes racionais ajuda a montar uma lista de candidatos. Ele não garante que todos sejam raízes; apenas limita onde procurar.
Raízes complexas
Polinômios podem ter raízes complexas. Quando todos os coeficientes são reais, as raízes complexas não reais aparecem em pares conjugados.
Por isso, se um polinômio real tem grau 3 e duas raízes complexas não reais, a terceira raiz precisa ser real.
Leitura gráfica
O gráfico de um polinômio é contínuo. As raízes reais indicam onde ele encontra o eixo x, e o grau com o coeficiente líder ajudam a prever o comportamento das extremidades.
| Informação | O que observar |
|---|---|
| grau par e coeficiente líder positivo | as duas extremidades tendem a subir |
| grau par e coeficiente líder negativo | as duas extremidades tendem a descer |
| grau ímpar e coeficiente líder positivo | à esquerda desce e à direita sobe |
| grau ímpar e coeficiente líder negativo | à esquerda sobe e à direita desce |
| raiz de multiplicidade par | o gráfico toca o eixo e volta |
| raiz de multiplicidade ímpar | o gráfico atravessa o eixo |
Inequações polinomiais
Depois de fatorar, uma inequação polinomial vira estudo de sinais. As raízes dividem a reta em intervalos; em cada intervalo, o sinal do produto é constante.