Definição
Um polinômio em x é uma soma finita de termos da forma akxk, em que os coeficientes são números e os expoentes da variável são inteiros não negativos.
A palavra "finita" é importante: um polinômio não tem infinitos termos. A condição sobre os expoentes também é decisiva: expoente negativo, fracionário ou variável no expoente tira a expressão da classe dos polinômios.
Polinômio ou não?
Antes de aplicar teorema do resto, grau, Girard ou fatoração, confirme se a expressão realmente é polinomial na variável indicada.
| Expressão | É polinômio em x? | Motivo |
|---|---|---|
| 3x4-2x+1 | Sim | tem soma finita de potências inteiras não negativas de x |
| 1/x | Não | equivale a x-1 |
| √x + 2 | Não | equivale a x1/2 |
| x2 + 0x + 3 | Sim | coeficiente zero pode aparecer sem mudar a natureza do polinômio |
| (x2-1)/(x-1) | Não, na forma original | há variável no denominador. Após simplificação, coincide com x+1 apenas para x≠1 |
Valor numérico
O valor numérico de um polinômio é obtido substituindo a variável por um número. Parece simples, mas muitos erros vêm de sinal e potência.
Grau e coeficientes
O grau é o maior expoente da variável com coeficiente não nulo. Ele indica o nível do polinômio e limita o número de raízes.
| Conceito | Significado | Exemplo em 4x3 - 2x + 7 |
|---|---|---|
| Grau | maior expoente com coeficiente não nulo | 3 |
| Coeficiente líder | coeficiente do termo de maior grau | 4 |
| Termo independente | coeficiente sem x | 7 |
| Coeficiente nulo | termo ausente, mas que pode ser escrito com zero | o coeficiente de x2 é 0 |
O polinômio nulo, em que todos os coeficientes são zero, não possui grau definido. Esse detalhe evita problemas em propriedades como grau(PQ)=grau(P)+grau(Q).
Identidade polinomial
Dois polinômios são idênticos quando têm os mesmos coeficientes em todos os graus. Isso é mais forte do que apenas terem o mesmo valor em um ponto.
Operações
As operações com polinômios seguem a álgebra comum, mas a organização por grau evita perder termos.
| Operação | Como pensar | Exemplo curto |
|---|---|---|
| Soma/subtração | junte termos semelhantes | (2x2+x)+(3x2-4)=5x2+x-4 |
| Produto | distribua todos os termos e reduza semelhantes | (x+2)(x-3)=x2-x-6 |
| Composição | substitua uma expressão inteira no lugar de x | se P(x)=x2+1, então P(x+1)=(x+1)2+1 |
- Soma grau(P+Q) ≤ max(grau P, grau Q)
- Produto grau(PQ)=grau(P)+grau(Q), se P e Q não forem nulos
- Composição grau(P(Q(x)))=grau(P).grau(Q), quando Q não é constante
Na soma, o grau pode cair por cancelamento. Por exemplo, (x2+1)+(-x2+3)=4.