Teoremas importantes
Os teoremas de polinômios organizam aquilo que pode ou não acontecer com raízes, fatores e coeficientes.
Os dois primeiros teoremas aparecem com mais detalhe na trilha de Divisão e Fatoração; aqui eles entram como revisão para conectar raízes, fatores e relações de Girard.
| Teorema | Ideia | Uso comum |
|---|---|---|
| Teorema do resto | o resto na divisão por x-a é P(a) | calcular restos sem divisão longa |
| Teorema do fator | x-a divide P(x) se, e somente se, P(a)=0 | transformar raiz em fator |
| Teorema fundamental da álgebra | todo polinômio não constante possui ao menos uma raiz complexa | garantir fatoração completa no campo complexo |
| Número máximo de raízes | um polinômio de grau n tem no máximo n raízes reais distintas | evitar conclusões impossíveis |
| Raízes conjugadas | coeficientes reais forçam raízes complexas em pares conjugados | completar pares de raízes não reais |
Raízes conjugadas
Se um polinômio tem coeficientes reais e uma raiz complexa não real, então o conjugado dessa raiz também aparece. Essa regra costuma ser usada para completar a lista de raízes.
Girard no 2º grau
As relações de Girard conectam coeficientes e raízes. Elas são úteis quando o problema pede soma, produto ou uma expressão que pode ser reescrita usando essas duas quantidades.
- Forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0
- Soma r1 + r2 = -b/a
- Produto r1r2 = c/a
Construir polinômio pelas raízes
Se você conhece as raízes e o coeficiente líder, pode montar o polinômio diretamente pela forma fatorada.
Polinômio mônico é aquele cujo coeficiente líder é 1.
Também é possível chegar ao mesmo resultado por Girard: soma das raízes 2+5=7 e produto 2.5=10, então o polinômio mônico é x2-7x+10.
Girard no 3º grau
Para a cúbica, aparecem três relações principais: soma das raízes, soma dos produtos dois a dois e produto das três raízes.
- Forma ax3 + bx2 + cx + d = 0
- Soma r1 + r2 + r3 = -b/a
- Soma dos pares r1r2 + r1r3 + r2r3 = c/a
- Produto r1r2r3 = -d/a
Somas simétricas
Uma expressão é simétrica quando não muda ao trocar a ordem das raízes. Esse tipo de expressão geralmente pode ser reescrito em termos de soma e produto.
- Soma dos quadrados r12 + r22 = (r1 + r2)2 - 2r1r2
- Soma dos inversos 1/r1 + 1/r2 = (r1 + r2)/(r1r2)
- Diferença ao quadrado (r1 - r2)2 = (r1 + r2)2 - 4r1r2