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Funções

Entenda como uma função associa cada entrada a exatamente uma saída — a base de toda a matemática moderna.

O que é uma função?

Uma função é uma relação entre dois conjuntos em que cada elemento do domínio (entrada) é associado a exatamente um elemento do contradomínio (saída).

Pense numa máquina: você coloca um número, ela processa e devolve outro número — sempre o mesmo para a mesma entrada.

Definição formal
f : A → B
Para cada x ∈ A, existe um único y ∈ B tal que y = f(x)
💡
Teste da reta vertical: no gráfico, se qualquer reta vertical toca a curva em mais de um ponto, a relação não é uma função.

Notação e domínio

Escrevemos f(x) para indicar "o valor da função f aplicada a x". Lemos "f de x".

Domínio

É o conjunto de todos os valores de entrada válidos. Para f(x) = 1/x, o domínio é ℝ − {0}, pois x = 0 tornaria a divisão indefinida.

Imagem

É o conjunto de todos os valores que f(x) realmente assume. Para f(x) = x², a imagem é [0, +∞), pois quadrados nunca são negativos.

Exemplo
Dada f(x) = 2x − 3, calcule f(0), f(3) e f(−1).
1
f(0) = 2×0 − 3 = −3
2
f(3) = 2×3 − 3 = 3
3
f(−1) = 2×(−1) − 3 = −5
f(0) = −3  |  f(3) = 3  |  f(−1) = −5

Classificação de funções

A classificação depende de como os elementos do domínio se relacionam com os elementos do contradomínio.

TipoCondiçãoIdeia
Injetorax₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)elementos diferentes têm imagens diferentes
SobrejetoraImagem = contradomíniotodo elemento do contradomínio é atingido
Bijetorainjetora e sobrejetorapossui inversa bem definida
Parf(−x) = f(x)simetria em relação ao eixo y
Ímparf(−x) = −f(x)simetria em relação à origem
!
Teste gráfico: uma função é injetora se nenhuma reta horizontal corta o gráfico em mais de um ponto.

Função composta e função inversa

Composição aplica uma função depois da outra. Inversa desfaz a ação de uma função bijetora.

Composição
  • Definição (f∘g)(x) = f(g(x))
  • Domínio x precisa pertencer ao domínio de g e g(x) ao domínio de f
  • Atenção em geral, f∘g ≠ g∘f
Inversa
  • Relação f(f⁻¹(x)) = x
  • Gráfico f e f⁻¹ são simétricas em relação à reta y = x
  • Passos trocar x por y, isolar y e trocar y por f⁻¹(x)

Função linear (1º grau)

A forma mais simples de função. O gráfico é sempre uma linha reta.

Fórmula
  • Geral f(x) = ax + b
  • Coef. angular a = inclinação da reta
  • Coef. linear b = ponto que corta o eixo y
  • Zero x = −ba

Se a > 0, a função é crescente. Se a < 0, é decrescente. Se a = 0, é constante.

f(x) = 2x − 1  (a=2, b=−1)
Exemplo — encontrar zero da função
Para f(x) = 3x + 6, onde f(x) = 0?
1
Iguale a função a zero: 3x + 6 = 0
2
Isole x: 3x = −6
3
x = −2
Zero da função: x = −2

Função quadrática (2º grau)

O gráfico é uma parábola. O coeficiente a determina se a concavidade é voltada para cima (a>0) ou para baixo (a<0).

Fórmula
  • Geral f(x) = ax² + bx + c
  • Vértice x xᵥ = −b2a
  • Vértice y yᵥ = −Δ4a
  • Discriminante Δ = b² − 4ac
f(x) = x² − 4x + 3  (raízes em x=1 e x=3, vértice em x=2)
Exemplo — vértice e raízes
f(x) = x² − 4x + 3. Encontre o vértice e as raízes.
1
Δ = (−4)² − 4×1×3 = 16 − 12 = 4
2
x = (4 ± √4) / 2 → x₁ = 3, x₂ = 1
3
Vértice: xᵥ = −b/2a = 4/2 = 2 → f(2) = 4−8+3 = −1
Raízes: x=1 e x=3  |  Vértice: (2, −1)

Função modular

A função modular envolve valor absoluto. O gráfico básico de f(x)=|x| tem formato de V.

Definição por partes
|x| = x, se x ≥ 0; |x| = −x, se x < 0
FunçãoVérticeImagem
f(x)=|x|(0,0)y ≥ 0
f(x)=|x−a|+b(a,b)y ≥ b

Função exponencial

A variável aparece no expoente. O domínio é real e a imagem é positiva.

Forma
  • Função f(x)=aˣ, com a>0 e a≠1
  • Crescente a>1
  • Decrescente 0<a<1
  • Imagem (0, +∞)
  • Assíntota y=0

Função racional e recíproca

Funções racionais têm variável no denominador. O domínio exclui valores que zeram o denominador.

Função recíproca
  • Forma f(x)=1/x
  • Domínio x ≠ 0
  • Imagem y ≠ 0
  • Assíntotas x=0 e y=0

Transformações gráficas

TransformaçãoEfeito
f(x)+kdesloca k unidades na vertical
f(x−a)desloca a unidades para a direita
−f(x)reflete no eixo x
f(−x)reflete no eixo y
cf(x)dilata ou comprime verticalmente
f(cx)dilata ou comprime horizontalmente

Comparativo de funções

Resumo das principais características de cada tipo de função estudada aqui.

Tipo Fórmula Gráfico Crescimento
Constante f(x) = c Reta horizontal Nem cresce nem decresce
Linear f(x) = ax + b Reta inclinada Depende do sinal de a
Quadrática f(x) = ax² + bx + c Parábola Crescente e decrescente
Modular f(x) = |x| V Decresce até 0, depois cresce

Exercício

🧠 Teste seu conhecimento
Se g(x) = x² − 9, qual é o valor de g(−3)?