1Trigonometria no triângulo retângulo
Os dois ângulos agudos são complementares
O triângulo é retângulo e não degenerado, isto é, seus vértices não estão alinhados e seus lados têm comprimento positivo. θ e φ, lidos teta e fi, são os outros dois ângulos. O símbolo ° indica graus; complementares significa que a soma vale 90°.
Hipotenusa e catetos: Pitágoras
c é a hipotenusa, oposta ao ângulo reto; a e o são os catetos adjacente e oposto ao ângulo agudo escolhido. Todos são comprimentos positivos na mesma unidade. A hipotenusa é maior que cada cateto. As letras nomeiam medidas, não ângulos.
Mudar o tamanho sem mudar as razões
Os triângulos são retângulos e têm o mesmo ângulo agudo, portanto são semelhantes por AA. As linhas são lidas na mesma correspondência. k>0 é o fator de escala; as marcas de apóstrofo indicam medidas do segundo triângulo, não derivadas. Os comprimentos dos denominadores são positivos.
Seno de um ângulo agudo
0°<θ<90°. o é o cateto oposto a θ e c é a hipotenusa, ambos positivos e na mesma unidade. sin é a escrita usada em muitas calculadoras para seno, também abreviado sen. A razão não é uma medida de comprimento.
Cosseno de um ângulo agudo
0°<θ<90°. a é o cateto adjacente a θ: toca esse ângulo e não é a hipotenusa. c é a hipotenusa. Ambos são comprimentos positivos na mesma unidade. Ao mudar para o outro ângulo agudo, os catetos trocam de papel.
Tangente de um ângulo agudo
0°<θ<90°. o e a são os catetos oposto e adjacente a θ, positivos e na mesma unidade. tan e tg abreviam a mesma razão. O divisor é o cateto adjacente, não a hipotenusa.
Valores possíveis no triângulo retângulo
θ é agudo, estritamente entre 0° e 90°. Os catetos são menores que a hipotenusa; a tangente compara dois catetos e pode ser menor, igual ou maior que um. Os extremos 0° e 90° não são ângulos agudos de um triângulo não degenerado.
Tangente como quociente
0°<θ<90°, de modo que cosθ>0. Substituir as definições cancela a hipotenusa: (o/c)/(a/c)=o/a. A identidade é usada aqui no domínio agudo; a ampliação de domínio será estudada no ciclo.
Relação fundamental no domínio agudo
0°<θ<90°. sin²θ significa (sinθ)², não sin(θ²). A identidade vem de dividir a²+o²=c² por c²>0. Conhecer a soma dos quadrados não autoriza concluir que sinθ+cosθ=1.
Recuperar cosseno e tangente a partir do seno
θ é agudo e 0<s<1. s é o valor dado do seno. A raiz positiva é escolhida porque o cosseno de um ângulo agudo é positivo. O denominador é não nulo.
Recuperar seno e tangente a partir do cosseno
θ é agudo e 0<q<1. q é o valor dado do cosseno. O seno usa a raiz positiva. Dividir por q é permitido por q>0.
Recuperar seno e cosseno a partir da tangente
0°<θ<90°. t é o número dado para a tangente; não é o ângulo. Podemos escolher catetos proporcionais a um e t, cuja hipotenusa é √(1+t²). As duas raízes são positivas e o denominador nunca é zero.
Razões dos ângulos complementares
θ e φ são os ângulos agudos do mesmo triângulo. A hipotenusa não muda; oposto e adjacente trocam de papel. As tangentes são positivas, então seus recíprocos estão definidos.
Proporção do triângulo de 45°
O triângulo é retângulo e isósceles, com ângulos agudos de 45°. ℓ, lido ele, é o comprimento positivo de cada cateto. A hipotenusa vem de Pitágoras e a raiz do comprimento ao quadrado é positiva.
Proporção do triângulo de 30° e 60°
A referência é θ=30°. q>0 é o cateto oposto a 30°; a é o cateto oposto a 60°, e c é a hipotenusa. Para θ=60°, os dois catetos trocam de papel. A proporção é deduzida cortando um equilátero pela altura.
Valores exatos de 30°, 45° e 60°
Os valores são obtidos das proporções dos triângulos retângulos de 45° e de 30°–60°. São exatos; uma aproximação decimal deve usar ≈. A fração 1/√3 equivale a √3/3 pela racionalização.
Encontrar os catetos quando a hipotenusa é conhecida
c>0 é a hipotenusa conhecida e 0°<θ<90°. o e a são os catetos oposto e adjacente a θ. As duas fórmulas vêm de multiplicar as definições por c. Todos os lados usam a mesma unidade.
Encontrar os outros lados pelo cateto adjacente
a>0 é o cateto adjacente conhecido e θ é agudo. O cosseno é positivo, portanto a divisão existe. O cateto e a hipotenusa obtidos precisam satisfazer Pitágoras.
Encontrar os outros lados pelo cateto oposto
o>0 é o cateto oposto conhecido e θ é agudo. Tangente e seno são positivos. Quando a incógnita estava no denominador da razão, isole-a multiplicando e depois dividindo; não multiplique pelo seno ou pela tangente sem justificar.
Área do triângulo retângulo
a e o são os catetos perpendiculares, positivos e medidos na mesma unidade; A é a área, em unidades quadradas. A hipotenusa não é altura relativa a um cateto.
Altura relativa à hipotenusa
A altura indicada por h com índice c é a distância perpendicular do vértice reto à hipotenusa c. Os catetos são a,o>0. Comparar a área calculada pelos catetos com a área calculada pela hipotenusa e sua altura fornece a fórmula. Não confunda essa altura interna com um dos catetos.
Projeções dos catetos na hipotenusa
No triângulo ACB reto em C, AC=a, CB=o e AB=c. O pé H da perpendicular de C a AB divide AB em AH=p e HB=q. Todas as medidas são positivas. As relações vêm da semelhança dos três triângulos; p,q são segmentos da hipotenusa, não novos catetos do triângulo original.
Inclinação percentual e ângulo com a horizontal
A rampa é retilínea, sobe h>0 ao avançar d>0 na horizontal e forma ângulo agudo θ com essa horizontal. p é o número expresso em porcentagem: p=10 significa 10%. O denominador é a projeção horizontal, não o comprimento da rampa. O caso horizontal h=0 é um limite fora do triângulo agudo não degenerado desta aula.
Altura com observação acima do solo
O alvo é vertical, sua base e o observador estão no mesmo nível de solo horizontal. e≥0 é a altura dos olhos ou aparelho, d>0 é a distância horizontal à base e θ é o ângulo agudo de elevação, medido a partir da horizontal dos olhos. H>e é a altura total. A tangente fornece H−e, não diretamente H quando e>0.
Ângulo de depressão e diferença de nível
δ, lido delta, é o ângulo agudo entre a horizontal do observador e sua linha de visão para um alvo abaixo. h>0 é a diferença vertical de nível e d>0 a separação horizontal. Com horizontais paralelas, δ é igual ao ângulo de elevação visto do alvo. Não é medido a partir da vertical.
Duas estações alinhadas do mesmo lado do alvo
A estação próxima e a distante estão alinhadas com a base, do mesmo lado, separadas por s>0; a distância próxima à base é d>0. Os aparelhos têm a mesma altura e o solo é horizontal. α e β, lidos alfa e beta, são os ângulos distante e próximo, com 0°<α<β<90°; tanβ>tanα e o denominador é positivo. h é a diferença entre o topo e a horizontal dos aparelhos; some a altura deles para obter a altura total.
Diferença de alturas observadas do mesmo ponto
A base e o topo de uma antena vertical são observados do mesmo ponto, à distância horizontal d>0, com ângulos de elevação α e β, lidos alfa e beta, tais que 0°<α<β<90°. L é o comprimento vertical da antena, diferença entre as alturas. O nível do aparelho se cancela na subtração; a antena está na mesma vertical do alvo de base.
Encontrar o ângulo agudo pelos lados
a,o,c são lados positivos de um triângulo retângulo, com c²=a²+o². Aqui arcsin, arccos e arctan pedem o único ângulo agudo que possui a razão indicada; não são recíprocos. Para obter graus em calculadora, use DEG e as teclas inversas sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹. Uma única das três razões corretas basta; o estudo geral dessas funções será feito depois.
Valores de 15° obtidos por uma construção geométrica
A construção usa um triângulo de 30° e um isósceles, depois Pitágoras e as razões já definidas. Todos os comprimentos e raízes escolhidos são positivos. Os valores são exatos; não se está supondo uma fórmula de arco metade ainda não ensinada.
2Arcos e ciclo trigonométrico
Grau e frações de uma volta
O grau divide uma volta em 360 partes iguais. O símbolo ° identifica a unidade. Medida angular descreve abertura ou giro; não é comprimento em metros ou centímetros.
Graus, minutos e segundos de ângulo
D é a medida decimal em graus de d° m′ u″. d e m são inteiros não negativos, com m<60; u é real com 0≤u<60. Eles contam graus, minutos e segundos de ângulo. Os símbolos ′ e ″ não são unidades de tempo. Para uma medida negativa, o sinal se aplica ao conjunto inteiro: −(d+m/60+u/3600).
Radiano: comparar o arco com o raio
r>0 é o raio e s≥0 o comprimento do arco percorrido em um único sentido, na mesma unidade de comprimento. θ≥0 é a medida angular em radianos. Se s=r, θ=1 rad. A orientação do giro será indicada separadamente; comprimento geométrico não é negativo.
Uma volta em radianos e a relação com graus
π é a constante comprimento da circunferência dividido pelo diâmetro, aproximadamente 3,14159. Uma volta tem comprimento 2πr e medida 2πr/r=2π rad. Um radiano é aproximadamente 57,30°, e não 180°.
Converter sem alterar o ângulo
D é o valor numérico em graus e θ o valor numérico em radianos da mesma medida orientada. As fórmulas valem para valores positivos, negativos e zero. Multiplicar por π/180 converte graus para radianos; a operação inversa usa 180/π.
Referências usuais nas duas unidades
Cada linha representa a mesma medida angular em unidades diferentes. As frações com π são exatas. Outros valores são obtidos pela proporcionalidade da conversão, sem decorar uma tabela para cada ângulo.
Comprimento do arco e percurso circular
r>0 e os ângulos são medidos em radianos. Δθ, lido delta teta, é o giro orientado total, antes de reduzi-lo à primeira volta. Para um arco simples, 0≤θ≤2π; em várias voltas, o percurso conta as repetições. Se o movimento mudar de sentido, some os comprimentos de cada trecho; o módulo do giro resultante pode não dar a distância total.
Área do setor circular
r>0 e 0≤θ≤2π em radianos descrevem um setor percorrido até uma volta, entre dois raios e o arco escolhido. A é área em unidades quadradas. A fórmula vem de (θ/2π)·πr². Giros maiores que uma volta não representam um novo setor simples com essa área multiplicada.
Área de um setor de coroa circular
Os setores têm o mesmo centro e a mesma abertura 0≤θ≤2π em radianos. R>r≥0 são os raios externo e interno na mesma unidade. A diferença das áreas fornece a faixa; a expressão não é (R−r)²θ/2.
Posição inicial mais giro orientado
θ com índice i e θ com índice f são medidas orientadas inicial e final, usando uma mesma unidade e referência. Δ indica variação: Δθ é a medida final menos a inicial. No ciclo, o lado inicial padrão é o semieixo horizontal positivo. Anti-horário é positivo; horário, negativo. A posição inicial não precisa ser zero.
Família de arcos côngruos
As medidas usam a mesma origem e orientação no mesmo ciclo. θ e α, lido alfa, são valores em radianos; D e D₀, em graus. ℤ é o conjunto dos inteiros: …,−2,−1,0,1,2,…; k conta voltas algébricas de diferença. O mesmo ponto final ocorre exatamente quando a diferença é um número inteiro de voltas. Medidas e percursos não precisam ser iguais.
Representante não negativo e representante negativo mais próximo de zero
Todas as medidas estão em radianos. α, lido alfa, é o único representante em [0,2π). γ, lido gama, é o maior representante estritamente negativo. Quando α=0, γ=−2π; o menor estritamente positivo é 2π. Quando α>0, o menor positivo é α. O coeficiente inteiro k dessa decomposição não é necessariamente a quantidade física de voltas completas já percorridas num movimento negativo.
Intervalos dos quatro quadrantes
α é o representante em [0,2π), em radianos. Os quatro intervalos são abertos: as posições nos eixos, como 0, π/2, π e 3π/2, não pertencem a quadrante algum. I, II, III e IV são algarismos romanos.
Circunferência centrada na origem
r>0 é o raio; (x,y) são coordenadas cartesianas reais com a mesma unidade e origem no centro. A relação é Pitágoras para a distância ao centro. O ciclo trigonométrico usa raio um. O ponto (0,0) é o centro, não pertence à circunferência de raio positivo.
Seno e cosseno como coordenadas no ciclo
θ é qualquer medida real em radianos a partir do semieixo x positivo, com orientação convencionada. O ciclo tem centro (0,0) e raio um. Cosseno é a coordenada horizontal e seno a vertical. No primeiro quadrante isso concorda com as razões do triângulo retângulo; em outros pontos as coordenadas podem ser negativas ou zero.
Escalar e deslocar o ciclo
O centro da circunferência é (a,b), seu raio r>0 e θ está em radianos, medido a partir da direção horizontal positiva. X,Y são as coordenadas do ponto. Seno e cosseno são adimensionais; r, a, b, X e Y usam a mesma unidade de comprimento. Com centro na origem, cosθ=X/r e sinθ=Y/r.
Domínio e valores de seno e cosseno
ℝ é o conjunto dos números reais. Toda medida orientada real em radianos determina um ponto do ciclo, por isso seno e cosseno estão definidos para todo θ real. Os valores são coordenadas de pontos de raio um, com os extremos incluídos e atingidos nos eixos. A imagem de cada uma dessas correspondências é [−1,1].
Relação fundamental em todos os quadrantes
θ é real, em radianos; a identidade vem de x²+y²=1 e P=(cosθ,sinθ). Os quadrados eliminam sinais das coordenadas. sin²θ significa (sinθ)². A identidade vale também nos eixos e para ângulos negativos, mas sozinha não determina os sinais das razões.
Valores nos eixos do ciclo
Os ângulos da tabela estão em radianos. Somar ou subtrair voltas inteiras mantém o ponto e seus valores. Em particular, 2π representa o mesmo ponto de zero. Pontos nos eixos não têm um quadrante associado.
Sinais por quadrante
A tabela trata pontos dentro dos quadrantes, sem os eixos. Cosseno tem o sinal de x; seno, de y; tangente, de y/x. A tangente exige x≠0. Nenhuma entrada + ou − representa um valor numérico fixo.
Tangente no ciclo e os ângulos excluídos
P=(x,y) pertence ao ciclo e x=cosθ deve ser diferente de zero. θ está em radianos e k é inteiro. Nos ângulos π/2+kπ, o quociente divide por zero e não está definido: não recebe o valor infinito. Em θ=kπ, a tangente vale zero.
Leitura geométrica da tangente na reta x=1
A reta inteira que passa por O e P=(cosθ,sinθ) encontra a reta vertical x=1 quando cosθ≠0. Ela é parametrizada por λP; x=λcosθ=1 dá λ=1/cosθ e y=tanθ. λ, lido lambda, pode ser negativo. Se cosθ<0, a interseção fica no prolongamento oposto à semirreta OP. Se cosθ=0, as retas são paralelas.
Coordenadas notáveis nos quatro quadrantes
Todas as medidas são em radianos. Os quatro grupos correspondem aos quadrantes I, II, III e IV. Os valores do primeiro quadrante vêm de 30°, 45° e 60°, deduzidos na aula anterior; os outros são obtidos por reflexões e escolha dos sinais. As posições dos eixos estão em uma tabela própria.
Pontos diametralmente opostos
θ é real, em radianos. Meia volta leva à outra extremidade do mesmo diâmetro e troca o sinal das duas coordenadas. −P significa trocar (x,y) por (−x,−y), não um comprimento de raio negativo.
Repetição das razões ao girar
θ está em radianos. Seno e cosseno repetem após uma volta; a tangente já repete após meia volta porque os dois sinais se invertem e o quociente se conserva. Para a tangente, ambas as medidas precisam pertencer ao domínio. Meia volta não torna os pontos do ciclo iguais.
Reflexão no eixo horizontal e ângulos negativos
θ é real, em radianos. Trocar o sentido do giro reflete P no eixo x: a coordenada horizontal permanece e a vertical troca de sinal. A igualdade das tangentes só se aplica onde o cosseno é não nulo.
Determinar uma coordenada com a outra
P=(x,y) pertence ao ciclo, então −1≤x≤1. O sinal de y depende da posição; no semiplano superior, y≥0, e no inferior, y≤0. Se x=±1, y=0 e as duas expressões coincidem. Se |x|>1, não existe ponto real do ciclo com essa coordenada.
Menor ângulo entre duas posições
α e β são representantes em [0,2π), em radianos. d é a diferença numérica não negativa; δ, lido delta, é o menor ângulo entre as semirretas e pertence a [0,π]. min pede o menor dos dois números. A fórmula compara posições, não mede o giro total já percorrido por um objeto.
Corda e arco são comprimentos diferentes
r>0 e 0≤δ≤π em radianos é o menor ângulo entre os raios. c é a distância retilínea entre as extremidades; não é o comprimento rδ do arco menor. Para 0<δ<π, a perpendicular ao meio da corda divide o isósceles em dois retângulos. Nos extremos δ=0 e δ=π, temos c=0 e c=2r.
Velocidade angular em movimento uniforme
ω, lido ômega, é constante e orientado: positivo no sentido anti-horário, negativo no horário. Δt>0 é o tempo transcorrido e Δθ o giro total, sem reduzir as voltas. Com ângulo em radianos e tempo em segundos, ω é medido em rad/s. Δ significa variação, não multiplicação por uma letra.
Rapidez ao longo da circunferência
O movimento circular tem raio r>0 e velocidade angular constante ω em radianos por unidade de tempo. s é a distância percorrida no intervalo positivo Δt, e v≥0 é a rapidez, em comprimento por tempo. A direção muda ao longo da curva; v é o módulo da velocidade, não um vetor constante. Se ω=0, v=0.
Período, frequência e rotações por minuto
O movimento circular é uniforme e ω≠0. T>0 é o tempo de uma volta; f>0, a quantidade de voltas por unidade de tempo. Se N>0 é dado em rotações por minuto, dividir por sessenta fornece f em voltas por segundo e ω em rad/s. A frequência não indica o sentido; o sinal de ω o registra. Movimento parado não tem esse período de uma volta.
3Relações fundamentais e redução de arcos
Coordenadas que determinam as razões
θ, lido teta, é qualquer medida real em radianos; o ciclo tem centro O=(0,0) e raio um. x é horizontal e y vertical. sin e sen indicam seno; tan e tg indicam tangente; cot e cotg, cotangente; csc e cossec, cossecante.
Relação fundamental em todo o ciclo
θ é real. Vem de x²+y²=1. sin²θ significa (sinθ)², não sin(θ²). Os eixos também satisfazem a identidade. Quadrados não preservam o sinal da coordenada.
Recuperar uma coordenada sem perder o sinal
Os valores dados precisam estar entre −1 e 1. A posição ou outro dado escolhe o sinal; sem isso, podem existir duas possibilidades. Se o radicando é zero, as duas escolhas coincidem. A raiz quadrada indicada é a não negativa.
Tangente como quociente
Exige cosθ=x≠0. Para θ em radianos: θ≠π/2+kπ, com k∈ℤ. ℤ é o conjunto dos inteiros, incluindo negativos e zero; k conta meias-voltas de diferença entre os ângulos excluídos.
Cotangente definida pelo quociente correto
Exige sinθ=y≠0, isto é, θ≠kπ, k inteiro. Pode valer zero quando cosθ=0. A escrita 1/tanθ só é equivalente onde a tangente existe e é não nula; ela não é uma definição com o domínio completo da cotangente.
Secante: recíproco do cosseno
Exige cosθ≠0, isto é, θ≠π/2+kπ, k inteiro. O recíproco de a≠0 é 1/a. A secante nunca vale zero; tem o mesmo sinal do cosseno.
Cossecante: recíproco do seno
Exige sinθ≠0, isto é, θ≠kπ, k inteiro. A cossecante nunca vale zero e tem o mesmo sinal do seno. Recíproco não significa função trigonométrica inversa para descobrir ângulo.
Domínios das seis razões
As exclusões são em radianos. Em graus, π/2+kπ corresponde a 90°+180°k; kπ corresponde a 180°k. Uma expressão com várias razões precisa satisfazer todas as restrições, incluindo denominadores externos às razões.
Valores nos quatro eixos
Ângulos em radianos. ND significa não definida, e não infinito ou zero. Os eixos não pertencem aos quadrantes. Voltas inteiras repetem os valores e as exclusões.
Sinais das seis razões por quadrante
Somente interiores dos quadrantes. Os sinais vêm de y, x, y/x, x/y, 1/x e 1/y. Nos eixos, use os valores e restrições específicos.
Valores que cada razão pode assumir
Cada razão é considerada no próprio domínio. Tangente e cotangente assumem todos os valores reais; secante e cossecante assumem exatamente os reais menores ou iguais a −1 ou maiores ou iguais a 1. As barras indicam módulo: |−a|=|a|.
Produtos e reciprocidades com domínio
Primeira linha: cosθ≠0. Segunda: sinθ≠0. Terceira: sinθ≠0 e cosθ≠0. Na terceira condição, cotθ=1/tanθ e tanθ=1/cotθ. Não se atribui valor a um produto que contenha uma razão indefinida.
Dividir a relação fundamental por cosseno ao quadrado
Exige cosθ≠0. Dividir sin²θ+cos²θ=1 por cos²θ produz tan²θ+1=1/cos²θ. Dessa identidade segue sec²θ−tan²θ=1.
Dividir a relação fundamental por seno ao quadrado
Exige sinθ≠0. Dividir sin²θ+cos²θ=1 por sin²θ produz 1+cot²θ=1/sin²θ. Dessa identidade segue csc²θ−cot²θ=1.
Seno e cosseno a partir de uma tangente finita
cosθ≠0. ε, lido épsilon, é +1 se o cosseno é positivo e −1 se é negativo. O valor finito t não distingue sozinho pontos opostos. A raiz é positiva. Em t=0, sinθ=0, e cotangente/cossecante não existem.
Ângulo oposto e paridade
θ é real em radianos. As igualdades de seno e cosseno valem para todo θ. Para tangente e secante, cosθ≠0; para cotangente e cossecante, sinθ≠0. Cada igualdade conserva o domínio de suas expressões.
Voltas inteiras e meias-voltas
k é qualquer inteiro; ângulos em radianos. F representa uma das quatro razões listadas, no próprio domínio. Tangente e cotangente repetem após π; as outras quatro têm período fundamental 2π. Período fundamental é o menor deslocamento positivo que repete a função inteira, incluindo seu domínio; coincidências isoladas não o determinam.
Reflexão no eixo vertical: π−θ
θ é real em radianos. As igualdades de seno e cosseno valem para todo θ. Para tangente e secante, cosθ≠0; para cotangente e cossecante, sinθ≠0. Cada igualdade conserva o domínio de suas expressões.
Ponto diametralmente oposto: π+θ
θ é real em radianos. As igualdades de seno e cosseno valem para todo θ. Para tangente e secante, cosθ≠0; para cotangente e cossecante, sinθ≠0. Cada igualdade conserva o domínio de suas expressões.
Reflexão no eixo horizontal: 2π−θ
θ é real em radianos. As igualdades de seno e cosseno valem para todo θ. Para tangente e secante, cosθ≠0; para cotangente e cossecante, sinθ≠0. Cada igualdade conserva o domínio de suas expressões.
Trocar coordenadas: π/2−θ
θ é real em radianos. Seno e cosseno não exigem exclusões. Nas igualdades de tangente e secante do ângulo transformado, sinθ≠0; nas de cotangente e cossecante, cosθ≠0. As condições acompanham cada igualdade, não restringem as outras linhas.
Girar um quarto de volta: π/2+θ
θ é real em radianos. Seno e cosseno não exigem exclusões. Nas igualdades de tangente e secante do ângulo transformado, sinθ≠0; nas de cotangente e cossecante, cosθ≠0. As condições acompanham cada igualdade, não restringem as outras linhas.
Três quartos de volta menos θ
θ é real em radianos. Seno e cosseno não exigem exclusões. Nas igualdades de tangente e secante do ângulo transformado, sinθ≠0; nas de cotangente e cossecante, cosθ≠0. As condições acompanham cada igualdade, não restringem as outras linhas.
Três quartos de volta mais θ
θ é real em radianos. Seno e cosseno não exigem exclusões. Nas igualdades de tangente e secante do ângulo transformado, sinθ≠0; nas de cotangente e cossecante, cosθ≠0. As condições acompanham cada igualdade, não restringem as outras linhas.
Referência aguda depois da primeira volta
α, lido alfa, é o representante do ângulo em [0,2π). β, lido beta, é a abertura aguda até o semieixo horizontal mais próximo. Nos eixos, use a tabela diretamente. A referência fornece módulos; o quadrante original fornece os sinais.
Substituir quadrados preservando o denominador
O cancelamento ocorre entre fatores não nulos. A expressão simplificada pode ter domínio maior; a igualdade de valores vale no domínio original. Cancelar não preenche os pontos em que a expressão inicial não existia.
Usar o conjugado sem apagar exclusões
A condição indicada é o domínio comum. Multiplicamos a primeira fração por (1+cosθ)/(1+cosθ) e usamos 1−cos²θ=sin²θ. Se sinθ≠0, cosθ não pode ser −1, portanto o novo fator é não nulo. A segunda fração isolada também existe em θ=0; a primeira não.
Raiz de quadrado é módulo
θ é real. A raiz quadrada principal é não negativa, enquanto seno/cosseno podem ser negativos. No II e III quadrantes, |cosθ|=−cosθ. Nos eixos, a mesma igualdade continua válida.
Quadrados da soma e da diferença
θ é real. Expandir (a±b)² produz a²±2ab+b²; a relação fundamental substitui a soma dos quadrados por um. sinθ+cosθ não é igual a um em geral.
Limites para soma e diferença
θ é real. Como ambos os quadrados de soma/diferença são não negativos, −1/2≤sinθcosθ≤1/2. A soma atinge módulo √2 quando sinθ=cosθ; a diferença, quando sinθ=−cosθ. Os valores extremos são atingidos, não apenas aproximados.
4Trigonometria em triângulos quaisquer
Ângulos internos e lados opostos
ABC é um triângulo não degenerado: vértices não alinhados, lados positivos e área positiva. A, B e C também nomeiam os ângulos internos nos respectivos vértices, todos entre 0° e 180°. Use uma só unidade angular em cada soma; π rad é a mesma meia volta de 180°.
Condição de existência pelos lados
a,b,c>0, na mesma unidade. A condição equivale às três desigualdades triangulares estritas. A igualdade em qualquer extremo alinha os vértices e não forma um triângulo não degenerado.
Coordenada de projeção e altura
A=(0,0), B=(c,0), C=(d,h), com C acima da reta AB; 0<A<π rad, b,c>0. d é coordenada horizontal assinada e h>0 é altura. O pé da altura pode ficar fora do segmento AB. Quando d<0, o comprimento AH é |d|, não d.
Lei dos cossenos
Válida em todo triângulo não degenerado, incluindo retângulos e obtusângulos. Cada ângulo está entre os dois lados do produto e oposto ao lado isolado. Todas as medidas de lado usam a mesma unidade.
Cosseno de um ângulo pelos três lados
Os lados são positivos e satisfazem as desigualdades triangulares estritas. Cada cosseno fica entre −1 e 1, sem os extremos. Para obter o ângulo interno, use arccos no intervalo de 0° a 180°; não escolha automaticamente um ângulo agudo pelo seno.
Classificar pelo maior lado
L é o maior lado; u e v são os outros dois, todos positivos e formando triângulo. A comparação classifica o maior ângulo pela lei dos cossenos. Se ele é agudo, os demais também são; se ele é reto ou obtuso, nenhum outro pode sê-lo.
Área por dois lados e o ângulo entre eles
K>0 representa a área, em unidades quadradas. O ângulo precisa estar entre os dois lados escolhidos e ser interno, de 0° a 180°. Seu seno é positivo, inclusive no caso obtuso. A fórmula vem de base vezes altura dividido por dois.
Lei dos senos e sua forma recíproca
Triângulo não degenerado. Cada lado acompanha o seno do ângulo oposto, não do ângulo adjacente. Lados e senos dos ângulos internos são positivos, permitindo inverter as proporções. Não se usa a medida do ângulo no lugar de seu seno.
Lei dos senos com o diâmetro circunscrito
R>0 é o raio da única circunferência que passa pelos três vértices. A razão comum é o diâmetro 2R, e não R. O centro pode estar dentro, sobre um lado ou fora do triângulo; a relação vale nos três casos.
Raio da circunferência circunscrita
a>0 e 0<A<π rad são lado e ângulo opostos de um triângulo. R tem a unidade do lado. Trocar a por b ou c exige trocar também o ângulo correspondente.
Um lado não ultrapassa o diâmetro
R>0. A igualdade a=2R ocorre exatamente quando A=90°; nesse caso a é a hipotenusa e um diâmetro da circunferência circunscrita. Com R e a fornecidos, a>2R é impossível.
Área, três lados e raio circunscrito
a,b,c são lados de um triângulo não degenerado e R>0 é seu raio circunscrito. Substituir sinA=a/(2R) na área bc sinA/2 demonstra a relação. Equivalentemente, R=abc/(4K), com K>0.
Mudança de escala
λ, lido lambda, é um fator positivo. O apóstrofo identifica a figura ampliada ou reduzida; K e K′ são suas áreas. Ângulos se conservam; comprimentos e perímetro multiplicam por λ, áreas por λ². Só conhecer os três ângulos não fixa comprimentos.
Escolher o ângulo interno pela operação inversa
Aqui q é um cosseno dado e k um seno positivo dado. arccos fornece o único ângulo entre 0° e 180° com aquele cosseno. arcsin fornece B₀ entre 0° e 90°; o suplemento B₁ tem o mesmo seno. Se k=1, os dois candidatos coincidem. Filtre os candidatos pela soma dos ângulos. A notação não é recíproco; em radianos, use π−B₀.
Caso de dois lados e ângulo oposto: primeiro teste
Dados a,b>0 e 0<A<180°, sendo a oposto ao ângulo conhecido A. k>1 impede triângulo. Se 0<k≤1, gere B₀ e 180°−B₀ e retenha apenas os distintos que satisfazem A+B<180°. k≤1 sozinho não garante existência.
Contagem no caso de ângulo conhecido agudo
a,b>0 e a é oposto a A. O número à direita conta triângulos não congruentes, sem contar reflexões como novos casos. Para a=h, B=90°. Para a=b, a segunda posição alinha os vértices e é descartada. A tabela exige A agudo; não a aplique a A obtuso.
Ângulo conhecido reto ou obtuso
a,b>0, com a oposto a A. O lado oposto ao ângulo reto ou obtuso precisa ser estritamente maior que b. No caso reto, a é hipotenusa; a=b produziria terceiro lado zero. A condição a>b é também suficiente neste conjunto de dados.
Confirmar a ambiguidade pela lei dos cossenos
Dados a,b>0 e 0<A<180°. A lei dos cossenos produz uma equação do segundo grau em c. O radicando precisa ser não negativo, cada raiz aceita precisa ser positiva, e raízes iguais contam uma vez. Uma raiz zero ou negativa não é lado. O teste algébrico concorda com a filtragem dos ângulos.
Área máxima com dois lados fixos
b,c>0 fixos e 0<A<180°. O máximo bc/2 ocorre em A=90°. Uma área estritamente entre zero e esse máximo fornece dois ângulos suplementares para os mesmos lados, em geral com terceiros lados diferentes.
Fórmula de Heron
s é o semiperímetro, metade da soma dos lados; não é um seno. a,b,c>0 satisfazem as desigualdades triangulares estritas, então os quatro fatores são positivos. A raiz é a positiva porque K é área. Uma lista degenerada não passa a ser triângulo por fornecer área zero na expressão.
Identidade que demonstra Heron
s=(a+b+c)/2 é o semiperímetro. No triângulo não degenerado, substitua o cosseno fornecido pela lei dos cossenos em 16K²=4b²c² sin²A. A diferença de quadrados produz quatro fatores lineares; cada um corresponde a duas vezes um dos fatores do semiperímetro.
Área e raio da circunferência inscrita
r>0 é o raio da circunferência inscrita, tangente aos três lados, e s=(a+b+c)/2. Ligar seu centro aos vértices divide o triângulo em três áreas com altura r: ar/2+br/2+cr/2=rs. r não é o raio circunscrito R.
Comprimento da mediana
m com índice a mede AM, onde M é o ponto médio de BC. a,b,c são lados do mesmo triângulo não degenerado. A expressão sob a raiz é positiva. Somar as leis dos cossenos nos dois triângulos de bases a/2 cancela os termos de cossenos suplementares.
Divisão do lado pela bissetriz interna
D pertence ao interior de BC e AD divide o ângulo A em duas partes iguais. Os segmentos BD e DC são positivos e somam a. As áreas ABD e ACD têm a mesma altura relativa à reta BC; o seno dos ângulos iguais em A permite comparar suas áreas também pelos lados AB e AC.
Alturas a partir da área
Cada índice identifica o lado usado como base. K>0 é a área comum e os lados são positivos, na mesma unidade. Altura é distância à reta que contém a base; pode cair no prolongamento. A altura relativa a a também é c sinB=b sinC.
Diagonais de um paralelogramo
u,v>0 são lados adjacentes e 0<θ<180° é o ângulo entre eles. p liga o vértice escolhido ao oposto; q liga as extremidades dos dois lados. O primeiro triângulo usa o suplemento de θ. Não se presume p maior que q; isso depende do sinal do cosseno.
Distância após dois trechos e uma mudança de direção
u,v>0 são os comprimentos dos trechos; φ, lido fi, é a mudança de rumo medida da continuação do primeiro trecho para o segundo, com 0<φ<180°. O ângulo interno do triângulo é 180°−φ. d é a distância direta da partida à chegada, não o percurso u+v. Giros para esquerda ou direita com o mesmo módulo dão a mesma distância.
Medição a partir de uma base conhecida
C=(0,0) e D=(d,0) são estações numa base horizontal; d>0. P está acima da reta CD no mesmo plano de medição, com ângulos internos α no vértice D e β no vértice C. α e β, lidos alfa e beta, são positivos e somam menos de 180°; h é a distância de P à reta CD. A expressão de CP usa o ângulo oposto α; a altura usa CP sinβ. As visadas são modeladas por segmentos no mesmo plano.
Dois ângulos e um lado fixam o triângulo
a>0, A>0, B>0 e A+B<180°. O lado a é oposto a A. Se o lado conhecido for outro, primeiro identifique seu ângulo oposto. ALA e LAA significam dois ângulos e um lado; AAA, apenas três ângulos, fixa semelhança e não a escala.
Comparar lados e seus ângulos opostos
No mesmo triângulo não degenerado. O símbolo ⇔ significa equivalência: uma condição vale exatamente quando a outra vale. Lados iguais têm ângulos opostos iguais. Não se conclui que o lado é proporcional à medida do ângulo; a proporcionalidade correta usa seus senos.
5Funções trigonométricas
Função, domínio e imagem
D é o domínio, conjunto das entradas admitidas; C é o contradomínio, conjunto escolhido para receber as saídas. Para cada x de D há exatamente uma saída f(x). A imagem contém só as saídas atingidas. Entradas diferentes podem ter a mesma saída. O símbolo ⊆ significa estar contido, permitindo igualdade.
Entrada angular em radianos
Se x é o valor em graus, u é a mesma medida em radianos. Nas funções e gráficos desta aula, argumento sem ° é medido em radianos. Se a entrada é tempo ou distância, o coeficiente do modelo converte essa entrada em argumento angular.
Período e período fundamental
D+T é o conjunto obtido ao somar T a cada entrada do domínio. A igualdade exige repetir valores e pontos admitidos. Período fundamental é o menor T positivo com essa propriedade, quando existe. Uma coincidência isolada não determina período. Constante em toda a reta real aceita todo T>0 e não tem menor período positivo.
Domínio, imagem e período do seno
ℝ é o conjunto dos reais. A entrada é uma medida em radianos e a saída é a coordenada vertical do ponto do ciclo. Uma volta repete todo o movimento. Os extremos −1 e 1 são atingidos e por isso recebem colchetes.
Referências para construir seno e cosseno
Entradas em radianos. Cada ponto do gráfico do seno é (x,sin x); no cosseno é (x,cos x). Esses pontos não são as coordenadas (cos x,sin x) do ciclo. A curva entre referências vem do movimento contínuo no ciclo, não de ligar apenas cinco pontos por segmentos retos.
Zeros e extremos do seno
k∈ℤ é qualquer inteiro, incluindo negativos e zero. ⇔ significa que as condições são equivalentes. Zero da função é uma entrada cuja saída é zero; máximo/mínimo são valores de saída, atingidos nas entradas indicadas.
Sinal e variação do seno
k é inteiro. A seta para cima indica crescimento estrito; a seta para baixo, decrescimento estrito. Nos zeros, o sinal não é positivo nem negativo. Ser positivo não significa estar crescendo; são propriedades diferentes.
Domínio, imagem e período do cosseno
Entrada em radianos; saída é a coordenada horizontal do ciclo. O gráfico passa por (0,1), desce até (π,−1) e volta a (2π,1). O gráfico tem os mesmos extremos e período do seno, mas parte de outra posição.
Zeros e extremos do cosseno
k é inteiro. As entradas são radianos. O máximo é um, o mínimo menos um; cada um ocorre infinitas vezes em toda a reta.
Sinal e variação do cosseno
k é inteiro. Os intervalos de sinal excluem zeros; os de variação podem incluir extremos. As afirmações descrevem intervalos consecutivos, não crescimento ou decrescimento global.
Paridade e simetria
O domínio precisa ser simétrico em relação a zero. Função par tem gráfico simétrico no eixo vertical; ímpar, por meia volta em torno da origem. Cada razão é considerada onde está definida. F representa uma das quatro razões da segunda linha. Translações podem alterar essa propriedade.
Função tangente e suas assíntotas
k é inteiro. Em cada intervalo (−π/2+kπ,π/2+kπ), a tangente cresce de valores sem limite inferior a valores sem limite superior. As retas x=π/2+kπ são assíntotas verticais e não contêm pontos desse gráfico. A função não tem amplitude nem extremos absolutos; não é crescente globalmente ao atravessar as exclusões.
Função cotangente e suas assíntotas
k é inteiro. A definição é cos x/sin x. Em cada intervalo (kπ,(k+1)π), ela decresce do sentido positivo sem limite ao negativo sem limite. x=kπ são assíntotas verticais. Cotangente existe e vale zero onde o cosseno zera, mesmo quando a tangente não existe; 1/tan x só coincide no domínio comum.
Gráfico da secante
k é inteiro. ∪ indica união dos dois intervalos e ∞ não é um valor atingido. As assíntotas verticais estão nos zeros do cosseno. A secante é par, nunca zera, tem mínimo local 1 em 2kπ e máximo local −1 em π+2kπ. Não tem máximo/mínimo absoluto nem amplitude, pois é ilimitada nos dois sentidos.
Gráfico da cossecante
k é inteiro. As assíntotas verticais estão nos zeros do seno. A cossecante é ímpar e nunca zera. Tem mínimo local 1 em π/2+2kπ e máximo local −1 em 3π/2+2kπ; continua ilimitada e sem extremos absolutos ou amplitude.
Amplitude, imagem e período de uma senoide
a,b,c,d são constantes reais, com a≠0 e b≠0; D=ℝ e o argumento é em radianos. d é a linha média; a escala e pode refletir as saídas em torno dela; b altera a escala horizontal e pode refletir a orientação; c altera a fase. A amplitude é a distância da linha média a um extremo, metade da distância entre máximo e mínimo.
Deslocamento horizontal correto
b≠0. h tem a unidade da entrada e é um deslocamento horizontal possível; h>0 move a referência para a direita, h<0 para a esquerda. c é uma fase angular, não o deslocamento h. Para b negativo, a ordem das referências de argumento se inverte. Deslocamentos que diferem por um período podem representar o mesmo gráfico.
Transportar pontos de um gráfico
b≠0. u é o argumento da função básica F, x a entrada transformada. Para seno/cosseno, use u=0,π/2,π,3π/2,2π como referências de um ciclo. Se b<0, as abscissas obtidas ficam em ordem decrescente e precisam ser lidas/ordenadas corretamente.
Período, frequência e frequência angular
A entrada é tempo e a senoide não é constante. T é duração de um ciclo, ν, lido ni, é número de ciclos por unidade de tempo, e ω, lido ômega, é frequência angular em radianos por essa unidade. Se o tempo está em segundos, ν é em Hz e ω em rad/s. O sinal de b não torna a frequência negativa.
Ler parâmetros nos extremos e no período
Uma senoide não constante foi observada com máximo M, mínimo m e período fundamental T>0. As letras M,m nomeiam valores de saída. M>m. Falta ainda escolher a fase e, conforme a forma, o sinal de a ou b; um gráfico parcial pode não mostrar os extremos de toda a função.
Casos que deixam de oscilar
Vale analogamente para cosseno, em D=ℝ. A amplitude da função constante é zero; a regra 2π/|b| não fornece seu período fundamental. Toda translação positiva repete uma constante na reta real, sem existir menor período positivo. Quocientes ou razões indefinidas exigem preservar seu domínio antes de simplificar.
Tangente com escala e deslocamentos
a≠0, b≠0 e k inteiro; argumento em radianos. As retas x=(π/2−c+kπ)/b são assíntotas verticais. A linha y=d marca os centros dos ramos, não uma assíntota horizontal. O gráfico cresce em cada ramo se ab>0 e decresce se ab<0. |a| é escala vertical, não amplitude.
Cotangente, secante e cossecante transformadas
a,b,c,d reais. Cotangente e cossecante excluem bx+c=kπ; secante exclui bx+c=π/2+kπ, k inteiro. As fronteiras da imagem são atingidas, mas o intervalo aberto entre elas não. Essas funções não têm amplitude. Se a=0 ou b=0, analise o domínio original e os casos constantes separadamente.
Período quando o argumento está explicitamente em graus
b≠0 e a função tem escala vertical não nula. T é medido na unidade da entrada x. Essas fórmulas só se aplicam ao argumento marcado em graus; as fórmulas com π usam radianos. A mudança de unidade não altera o fenômeno, mas altera seus valores numéricos no eixo.
Operações que podem mudar o período
O domínio é ℝ. A meia volta troca o sinal do seno, mas módulo e quadrado eliminam essa troca. Os zeros são kπ, separados por π, o que impede período positivo menor. Não aplique automaticamente o período da senoide original após uma nova operação.
Arco seno principal
A inversa usa o seno restrito ao intervalo em que cresce de −1 a 1 sem repetir saídas. Os extremos são incluídos. arcsin é crescente e ímpar. A entrada é uma razão real entre −1 e 1 e a saída aqui está em radianos.
Arco cosseno principal
Usa o cosseno restrito a [0,π], onde decresce de 1 a −1. Os extremos são incluídos. arccos é decrescente; não é par nem ímpar. Entrada em razão real, saída em radianos. Para −1<u<0, a saída é obtusa; para u=−1, é π, um ângulo raso.
Arco tangente principal
Usa um ramo crescente da tangente. arctan é crescente e ímpar. As retas y=±π/2 são assíntotas horizontais; os extremos da imagem não são atingidos. Nenhum número real finito tem arco tangente principal igual a π/2 ou −π/2.
Compor uma função e sua inversa
u∈[−1,1] e v real. Na ordem inversa, arcsin(sin x)=x apenas para x∈[−π/2,π/2], arccos(cos x)=x apenas para x∈[0,π] e arctan(tan x)=x apenas para x∈(−π/2,π/2). Fora desses intervalos, recupere o representante principal, conservando o domínio.
Composições e sinais das raízes
u∈[−1,1] e v real. As raízes são principais, não negativas. O cosseno no intervalo principal de arcsin/arctan e o seno no intervalo principal de arccos são não negativos; no arctan o cosseno é estritamente positivo. Outras razões obtidas por quociente exigem conferir também o novo denominador.
Domínio de expressões compostas
D com índice F é o domínio da expressão interna F. Primeiro essa expressão precisa existir; depois aplique a condição da operação externa. Cancelamento ou multiplicação por zero não preenche automaticamente os pontos em que a expressão original era indefinida.
Altura em um movimento circular uniforme
r>0 é o raio, d≥r a altura do centro em relação ao chão e T>0 o tempo de uma volta. O ponto começa embaixo em t=0 e o movimento é uniforme; t≥0 é o intervalo físico. Alturas mínima e máxima são d−r e d+r. A expressão estendida a t real tem período T; o modelo físico usa sua restrição ao tempo não negativo.
6Transformações trigonométricas
Argumento e potência são operações diferentes
x é uma medida angular. O dois fora, como expoente, eleva o valor ao quadrado; dentro, multiplica o argumento. α (alfa), β (beta), θ (teta), u e v representarão medidas angulares reais. Some medidas na mesma unidade. Sem °, a unidade adotada é radiano.
Duas expressões para o quadrado de uma corda
P e Q pertencem ao ciclo de raio um. PQ é a distância, não um produto de pontos. A primeira igualdade vem da distância por coordenadas e da relação fundamental; a segunda, da rotação que leva Q a (1,0) e P ao argumento α−β. Funciona inclusive para pontos coincidentes e arcos negativos ou com voltas extras.
Cosseno da diferença
α e β são reais, na mesma unidade angular. Não há denominador nem exclusão. O sinal entre os dois produtos é positivo para uma diferença de argumentos.
Cosseno da soma
α e β reais. Obtida substituindo β por −β no cosseno da diferença, com cosseno par e seno ímpar. O sinal entre os produtos é negativo; cosseno de uma soma não é soma de cossenos.
Seno da soma
α e β reais. Os produtos são mistos: seno de um argumento vezes cosseno do outro. A identidade vale em todos os quadrantes e eixos, não apenas para ângulos agudos.
Seno da diferença
α e β reais. Preserve a ordem da subtração: trocar α por β inverte o sinal do seno da diferença. O cosseno da diferença, por sua vez, é par no argumento e não muda com essa troca.
Tangente da soma
Exige cosα≠0, cosβ≠0 e cos(α+β)≠0. As duas primeiras condições permitem usar tanα e tanβ; sob elas, a terceira equivale a 1−tanα·tanβ≠0. Se uma tangente individual não existe, a tangente da soma ainda pode existir, mas esta forma não pode ser usada; volte a seno/cosseno.
Tangente da diferença
Exige cosα≠0, cosβ≠0 e cos(α−β)≠0. Com as duas tangentes individuais definidas, a última condição equivale a 1+tanα·tanβ≠0. Não transforme divisão por zero em infinito como valor de uma função real.
Coordenadas após uma rotação
(x,y) é o ponto inicial e (X,Y) o ponto após girar de β em torno da origem. β positivo gira no sentido anti-horário; negativo, horário. A origem permanece fixa. A rotação conserva distâncias à origem e ângulos entre segmentos girados juntos.
Combinar seno e cosseno do mesmo argumento
A e B são constantes reais, não ambas nulas; R>0 e φ, lido fi, é um ângulo com as coordenadas indicadas. Sua posição no ciclo depende dos sinais de A e B, incluindo os eixos quando um deles é zero; só conhecer tanφ não basta para escolhê-lo. A imagem é [−R,R] em domínio real, e com argumento x o período fundamental é 2π. Se A=B=0, a regra é constante zero e φ não é determinado.
Seno do arco duplo
x real. Vem de somar x consigo mesmo. Não confundir com 2sin x. O argumento pode ser uma expressão inteira, como x+π/6; nesse caso o duplo é 2x+π/3.
Três formas do cosseno do arco duplo
x real, sem exclusões. A primeira forma vem da soma; as outras usam sin²x+cos²x=1. Escolha a escrita que usa a razão conhecida ou cria o fator desejado.
Tangente do arco duplo
Exige cosx≠0 e cos(2x)≠0; com tanx definido, a segunda condição equivale a tan²x≠1. A forma sin(2x)/cos(2x) não exige a existência de tanx e pode calcular entradas que esta escrita exclui.
Reduzir quadrados a argumentos duplos
As duas primeiras valem para todo x real. A terceira exige cosx≠0, equivalente a 1+cos(2x)≠0. Redução de potência é uma reescrita, não uma aproximação e não a redução de um arco ao primeiro quadrante.
Reduzir potências de grau quatro
x real. Eleve ao quadrado as relações de redução de potência e reduza também cos²(2x). Os termos de cos(2x) cancelam na soma das quartas potências.
Seno, cosseno e tangente do arco triplo
Seno e cosseno: todo x real. A forma em t da tangente exige cosx≠0 e cos(3x)≠0; sob cosx≠0, a última condição equivale a 1−3t²≠0. Deduza por 3x=2x+x; não suponha que a tangente de 2x precisa existir para usar a fórmula final, pois ela também pode ser obtida diretamente por seno e cosseno.
Quadrados no arco metade
x real. Substitua o argumento das fórmulas de redução por x/2. As duas partes à direita são não negativas, porque −1≤cosx≤1. Ainda falta escolher sinais se quisermos seno e cosseno, sem o quadrado.
Seno e cosseno do arco metade
x real. Cada sinal é escolhido pelo quadrante ou eixo de x/2, não pelo de x. Não significa que a função tenha duas saídas: a informação disponível pode deixar o sinal indeterminado. Se a raiz é zero, ambos os sinais dão o mesmo valor. A raiz principal de um quadrado é o módulo da base.
Tangente do arco metade por uma raiz
Exige cosx≠−1, equivalente a cos(x/2)≠0. Escolha o sinal pela tangente de x/2. Conhecer apenas cosx pode não determinar esse sinal. A condição exclui x=π+2kπ, com k inteiro.
Duas formas racionais para tangente do arco metade
A primeira exige cosx≠−1 e cobre todo o domínio real da tangente de x/2. A segunda exige sinx≠0, condição mais forte. Em x=2kπ a primeira dá zero e a segunda é indefinida. k é qualquer inteiro. As escritas só são intercambiáveis no domínio comum; racionalizar não preenche pontos excluídos.
Produto de cossenos em soma
u e v reais na mesma unidade. Obtida somando as fórmulas do cosseno da diferença e da soma. Não exige dividir por função trigonométrica e não cria exclusões.
Produto de senos em diferença
u e v reais. Subtraia a fórmula do cosseno da soma da fórmula do cosseno da diferença. Preserve a ordem dos dois termos à direita.
Seno vezes cosseno em soma
u e v reais. Some as fórmulas do seno da soma e da diferença. O argumento u acompanha o fator seno; não troque silenciosamente os papéis.
Cosseno vezes seno em diferença
u e v reais. Subtraia o seno da diferença do seno da soma. Também se obtém trocando u e v na forma seno vezes cosseno e usando a imparidade do seno.
Meia soma e meia diferença dos argumentos
u,v,p,q são medidas angulares reais. p é a meia soma e q a meia diferença orientada. A substituição resolve um sistema linear, não divide os valores dos senos. Trocar u por v muda o sinal de q.
Soma de senos em produto
u e v reais. O primeiro fator usa a meia soma; o segundo, a meia diferença. Os dois senos individuais não precisam ser valores notáveis para o produto poder ser calculado.
Diferença de senos em produto
u e v reais. A meia diferença fica no seno e conserva a ordem u−v. Inverter a subtração inverte o sinal do resultado.
Soma de cossenos em produto
u e v reais. Os dois fatores são cossenos. Não é a mesma operação que calcular cos(u+v).
Diferença de cossenos em produto
u e v reais. Há um sinal negativo antes do produto. Pode-se escrever +2 se também se inverter a meia diferença; não faça apenas uma das mudanças.
Quociente de somas e domínio preservado
A expressão original exige cosu+cosv≠0. Pela fatoração, isso equivale a cos((u+v)/2)≠0 e cos((u−v)/2)≠0 simultaneamente. Cancelar o segundo fator não elimina essa condição. A tangente isolada pode existir onde o quociente original não existe.
Substituição pela tangente do arco metade
t é um parâmetro real, não tempo neste registro. Exige x≠π+2kπ, k inteiro, para definir t. Como 1+t²>0, seno e cosseno não ganham novas exclusões. A forma para tanx exige também t≠±1. x é recuperado apenas até voltas de 2π; as entradas x=π+2kπ precisam ser examinadas separadamente em uma expressão original.
Soma de duas oscilações
t representa tempo e ω₁, ω₂ são frequências angulares em radianos por unidade de tempo, mantida a mesma unidade. A identidade vale também para frequências iguais ou nulas. O módulo da soma é no máximo 2|cos((ω₁−ω₂)t/2)|. Quando esse limite varia, ele não é uma amplitude constante; a desigualdade não garante que o limite seja atingido em cada instante.
7Equações e inequações trigonométricas
Solução, domínio e universo
S é o conjunto-solução; U é o universo pedido, como um intervalo; D é o domínio comum das expressões. ∩ significa interseção: pertencer aos dois conjuntos. ℝ são os reais, ℤ os inteiros e ∅ o conjunto vazio. Para inequações, troque a igualdade pela comparação desejada. Sem indicação diferente, argumentos sem ° usam radianos.
Equação elementar do seno
Exige −1≤c≤1; fora dessa imagem não há solução real. k∈ℤ significa qualquer inteiro, negativo, zero ou positivo; cada família percorre seus inteiros independentemente. O arco seno fornece um representante principal, não todas as soluções. Se as famílias coincidem, registre cada entrada uma só vez.
Equação elementar do cosseno
−1≤c≤1 e k inteiro. As duas posições são reflexões no eixo horizontal. Fora da imagem não há solução; nos extremos da imagem as famílias se sobrepõem. Use o intervalo solicitado para filtrar as entradas.
Equação elementar da tangente
c é qualquer real, k inteiro. arctan c∈(−π/2,π/2). A tangente tem período π e domínio x≠π/2+kπ. As entradas geradas para c finito pertencem ao domínio; uma expressão original pode impor outras exclusões.
Zeros e extremos nas equações
k é inteiro. Esses casos evitam contar duas vezes famílias coincidentes. Um intervalo fechado [0,2π] pode incluir as duas entradas distintas zero e 2π, embora representem o mesmo ponto no ciclo.
Famílias quando as medidas estão em graus
x e α são medidas em graus, k inteiro. Para a tangente, ambas devem pertencer ao domínio. Não some π a uma medida em graus sem converter unidades; DEG/RAD também afeta as saídas das funções inversas.
Igualdade entre dois senos
u e v são argumentos reais, que podem depender da mesma incógnita; k inteiro. Uma mesma ordenada no ciclo corresponde às duas posições refletidas no eixo vertical. A segunda família não pode ser omitida. Filtre o domínio das expressões que definem u e v.
Igualdade entre dois cossenos
u e v reais, k inteiro. Preserve as duas possibilidades e a escala dos argumentos. A notação ±v resume essas duas famílias; não representa uma escolha arbitrária de um único sinal.
Igualdade entre duas tangentes
Exige cosu≠0 e cosv≠0 na expressão original; k inteiro. Primeiro resolva a relação entre argumentos e depois elimine candidatos que deixem qualquer tangente indefinida.
Desfazer um argumento afim
a,b são constantes reais e a≠0. Transforme também o intervalo da incógnita para o argumento, ou gere as famílias completas antes de filtrar x. Se a<0, a ordem das fronteiras de uma desigualdade se inverte. Se a=0, avalie a expressão constante e seu domínio separadamente.
Equações de secante e cossecante
Para haver solução é necessário |c|≥1. Nesse caso c é não nulo e a razão 1/c também não é zero, preservando o domínio da recíproca. Valores de módulo menor que um não pertencem à imagem de secante/cossecante.
Equação da cotangente sem perder seus zeros
c real, k inteiro. A cotangente é cosx/sinx e exige sinx≠0. A referência π/2−arctan c pertence a (0,π). Para c=0, a solução é π/2+kπ; não use 1/tanx como definição em todo o domínio.
Produto nulo e união de alternativas
Trabalhe no domínio comum das expressões originais. Um produto de números reais é zero quando ao menos um fator é zero. Não divida por um fator que pode zerar: isso elimina justamente uma família de soluções.
Imagem da variável auxiliar
Resolva a equação ou inequação algébrica, intersecte com a imagem permitida e depois volte à incógnita angular. A variável auxiliar não é o próprio ângulo. Para tangente, a imagem é ℝ, mas as exclusões do argumento continuam necessárias.
Equação com seno e cosseno do mesmo argumento
A,B,C são constantes reais; R=√(A²+B²)>0, cosφ=A/R e sinφ=B/R. A fase φ é escolhida pelas duas razões. Existem soluções reais se e somente se |C|≤R. Se A=B=0, a igualdade é verdadeira para toda entrada admitida quando C=0 e não tem solução quando C≠0.
Elevar uma equação com raiz ao quadrado
F e G precisam estar definidos como expressões reais. A igualdade F=G² já garante radicando não negativo; G≥0 conserva o sinal da raiz principal. Ao quadrar uma igualdade sem guardar sinais, podem surgir candidatos estranhos à equação original. Conferir somente os candidatos não substitui justificar que nenhum foi perdido.
Equações com inversas e suas faixas principais
F(x) precisa estar definido e θ, lido teta, é a saída angular pedida em radianos. A equivalência exige a faixa indicada em cada linha; fora dela a equação com a inversa não tem solução. Nas duas primeiras, o valor correspondente da razão fica em [−1,1]; na terceira, a tangente de θ existe. Aplicar uma função aos dois lados sem guardar a faixa pode criar respostas falsas.
Substituição pela tangente da metade
t real, k inteiro e x≠π+2kπ. O denominador 1+t² é sempre positivo. As entradas excluídas pela substituição precisam ser testadas na expressão original; não as descarte automaticamente. Se a expressão também contém tanx, preserve t≠±1 e todas as demais restrições.
Inequação do seno acima de um nível
−1<c<1, α=arcsin c∈(−π/2,π/2) e k inteiro. Para ≥, inclua os dois extremos. A fórmula pode atravessar zero se α<0; nesse caso, não corte a faixa antes de intersectar com o universo pedido. Os casos c=±1 ou fora da imagem são tratados separadamente.
Inequação do seno abaixo de um nível
−1<c<1, α=arcsin c, k inteiro. Para ≤, inclua as duas fronteiras. Essas faixas descrevem a parte complementar à região acima do nível, com atenção à inclusão ou exclusão dos pontos de igualdade.
Inequação do cosseno acima de um nível
−1<c<1, α=arccos c∈(0,π), k inteiro. Para ≥, inclua as fronteiras. Na primeira volta, a região pode aparecer dividida nas duas extremidades do intervalo; ela é contínua quando passa pela origem dos argumentos.
Inequação do cosseno abaixo de um nível
−1<c<1, α=arccos c∈(0,π), k inteiro. Para ≤, inclua as duas fronteiras. A comparação é com a abscissa do ponto do ciclo; não se trata de uma função globalmente crescente na reta.
Inequações da tangente por ramo
c real, α=arctan c∈(−π/2,π/2), k inteiro. Cada ramo é crescente. Para ≥ ou ≤, inclua a fronteira α+kπ; as assíntotas ±π/2+kπ permanecem sempre abertas, mesmo em uma comparação não estrita.
Inequações da cotangente por ramo
c real, α=π/2−arctan c∈(0,π), k inteiro. A cotangente é decrescente em cada ramo. Para ≥ ou ≤, inclua a fronteira α+kπ, conservando os extremos kπ abertos por serem exclusões do domínio.
Equação com módulo
a≥0 e x no domínio original. Para a=0 as duas possibilidades são a mesma. Se a<0, não há solução, pois módulo não é negativo. Se a razão ao quadrado é conhecida, tirar a raiz fornece módulo, não apenas a raiz positiva para a razão.
Inequações com módulo
a≥0, no domínio de F. Com comparações estritas, troque as fronteiras por < e >, respectivamente. Para a<0, as comparações ≤ e < são impossíveis, enquanto ≥ e > são verdadeiras em todo o domínio. Duas condições simultâneas pedem interseção; alternativas pedem união.
Quociente não negativo sem multiplicar por sinal desconhecido
No domínio comum, com G(x)≠0. A desigualdade muda de sentido ao multiplicar por um denominador negativo. A solução pode incluir zeros do numerador, mas nunca do denominador. Para produto, estude igualmente os sinais de cada fator e os casos de igualdade.
Interseção para e; união para ou
S₁ e S₂ são conjuntos de soluções já filtrados por seus domínios. ∩ conserva apenas entradas comuns; ∪ reúne as entradas de pelo menos um conjunto. No sistema, a mesma entrada precisa satisfazer todas as condições.
Equações fracionárias conservam denominadores
F,G,H precisam existir como expressões reais. Multiplicar ou cancelar não preenche entradas excluídas pelo denominador. Preserve também restrições internas de outras razões presentes na expressão.
Domínios que se tornam inequações
As expressões internas precisam estar definidas. Raiz no denominador exige radicando estritamente positivo; uma raiz no numerador pode aceitar zero. As condições são acumuladas, não substituem as exclusões anteriores.
Isolar o nível em uma senoide
Constantes reais. Vale analogamente para cosseno. Ao dividir por a negativo, inverta a comparação. Se a=0 ou b=0, avalie a regra constante separadamente. Primeiro confira se o nível pedido é compatível com a imagem.
Teste de possibilidade e casos extremos
As mesmas observações valem para cosseno. Em ≥1 ou ≤−1, só os pontos de máximo ou mínimo servem; em >1 ou <−1, nenhum. Se o nível ultrapassa a imagem, a desigualdade pode ser sempre verdadeira ou impossível. Intersecte sempre com o domínio e universo originais.
Repetir o conjunto de soluções
P>0 é período de F e a comparação é com uma constante, no domínio D, antes de uma restrição de universo. O conjunto de soluções pode ter período menor: sinx=0 tem soluções separadas por π, embora o seno tenha período fundamental 2π. Depois da restrição a um intervalo, não repita a solução fora do universo.
Compatibilidade de seno e cosseno simultâneos
a,b reais. A condição também é suficiente para existir um ponto (b,a) no ciclo e, portanto, uma posição angular; todas as entradas correspondentes diferem por voltas de 2π. Uma restrição adicional ao universo pode deixar nenhuma entrada dessa família. Não basta que as duas razões isoladas pertençam a [−1,1].
Intervalo de tempo e duração
I é o intervalo físico de tempo; os índices i e f significam inicial e final. A duração de um trecho é a diferença entre o instante final e o inicial, na mesma unidade. Em vários trechos disjuntos, some as durações. Incluir ou excluir instantes isolados não altera a duração total, mas altera o conjunto-solução.