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Equações e inequações trigonométricas

Resolva igualdades e desigualdades do ciclo aos métodos combinados. Encontre soluções gerais e em intervalos, preserve domínios e interprete modelos periódicos, com 30 questões comentadas.

1O que significa resolver uma condição trigonométrica

Resolver uma equação é encontrar todas as entradas que tornam uma igualdade verdadeira. Numa inequação, procuramos as entradas que tornam verdadeira uma comparação, como maior, menor, maior ou igual. O ciclo e os gráficos mostram onde procurar; a álgebra e as identidades ajudam a reorganizar a condição.

Vamos usar as seis aulas anteriores: razões e ciclo, funções e inversas principais, identidades, intervalos e operações algébricas. O domínio vem primeiro: uma entrada onde existe divisão por zero não é solução, mesmo que uma expressão simplificada pareça aceitar essa entrada. Depois respeitamos o universo, isto é, o conjunto de entradas pedido pelo problema.

S={x∈U∩D:F(x)=G(x)}S=\{x\in U\cap D:F(x)=G(x)\}

S é o conjunto-solução; U é o universo pedido, como um intervalo; D é o domínio comum das expressões. ∩ significa interseção: pertencer aos dois conjuntos. ℝ são os reais, ℤ os inteiros e ∅ o conjunto vazio. Para inequações, troque a igualdade pela comparação desejada. Sem indicação diferente, argumentos sem ° usam radianos.

Exemplo resolvido · Uma solução precisa tornar a igualdade verdadeira

x=π/6 e x=π/3 resolvem 2senx=1?

Resolução

  1. Em π/6, o lado esquerdo vale 2·(1/2)=1. Essa entrada é solução.
  2. Em π/3, ele vale 2·(√3/2)=√3, diferente de um. Essa entrada não é solução.

π/6 serve e π/3 não serve; ainda precisamos procurar todas as outras entradas admitidas.

Escrevemos {a,b} para um conjunto de entradas isoladas. Um intervalo [a,b] inclui suas extremidades; (a,b) as exclui. ∪, união, reúne alternativas; ∩, interseção, exige condições simultâneas. No desenho de uma solução na reta, ponto cheio significa incluído e ponto vazio significa excluído; não são algarismos zero.

2Encontrar soluções do seno em uma volta

No ciclo, seno é a coordenada vertical. Resolver senx=c significa localizar os pontos da circunferência na altura c. Entre −1 e 1, uma altura interior encontra dois pontos; nas alturas extremas há um ponto; fora da faixa não há ponto. Primeiro vamos trabalhar na volta 0≤x<2π.

sen x = 1/2cossenOπ/65π/6Duas entradas em [0,2π)
A reta de altura 1/2 encontra π/6 e 5π/6. O ciclo mostra posições; a resposta de uma equação registra as entradas angulares.

Exemplo resolvido · Duas posições com a mesma altura

Resolva senx=1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. A referência aguda é π/6. Como o seno é positivo, as posições ficam no I e no II quadrantes.
  2. A segunda entrada é π−π/6=5π/6. Ambas pertencem ao intervalo pedido.

S={π/6,5π/6}.

Exemplo resolvido · Um nível negativo

Resolva senx=−√3/2 em [0,2π).

Resolução

  1. A referência aguda é π/3. O sinal negativo leva aos quadrantes III e IV.
  2. As entradas são π+π/3=4π/3 e 2π−π/3=5π/3.

S={4π/3,5π/3}.

3Todas as voltas e o significado de k

Se o universo é toda a reta, uma volta não basta. Somar ou retirar 2π mantém o mesmo ponto. O símbolo k∈ℤ diz que k percorre todos os inteiros: …,−2,−1,0,1,2,… . Ele conta deslocamentos por voltas, e não apenas voltas físicas positivas. Cada uma das duas posições do seno gera sua própria família.

α=arcsin⁡c∈[−π/2,π/2]sin⁡x=c  ⟺  x=α+2kπ ou x=π−α+2kπ\alpha=\arcsin c\in[-\pi/2,\pi/2]\qquad{}\sin x=c\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi
α=arcsin⁡c∈[−π/2,π/2]sin⁡x=c  ⟺  x=α+2kπ ou x=π−α+2kπ\begin{gathered}\alpha=\arcsin c\in[-\pi/2,\pi/2]\\\sin x=c\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi\end{gathered}

Exige −1≤c≤1; fora dessa imagem não há solução real. k∈ℤ significa qualquer inteiro, negativo, zero ou positivo; cada família percorre seus inteiros independentemente. O arco seno fornece um representante principal, não todas as soluções. Se as famílias coincidem, registre cada entrada uma só vez.

Exemplo resolvido · Passar da primeira volta à solução geral

Resolva senx=1/2 em ℝ.

Resolução

  1. Uma família é x=π/6+2kπ; a outra é x=5π/6+2kπ, com k inteiro em cada família.
  2. Por exemplo, k=−1 na primeira dá −11π/6, que também tem seno 1/2. Usar só k≥0 perderia entradas negativas.

x=π/6+2kπ ou x=5π/6+2kπ, k∈ℤ.

Exemplo resolvido · A inversa fornece uma referência, não todas as respostas

Se senx=2/3, como escrever a resposta exata sem um ângulo notável?

Resolução

  1. Defina α=arcsin(2/3), no intervalo principal [−π/2,π/2]. Aqui α está entre zero e π/2.
  2. As soluções são α+2kπ e π−α+2kπ. A escrita com arcsin é exata; uma aproximação deve ser feita somente depois, no modo RAD se usamos radianos.

x=arcsin(2/3)+2kπ ou x=π−arcsin(2/3)+2kπ.

4Cosseno: abscissas e famílias refletidas

Agora procure a coordenada horizontal do ciclo. Para cosx=c, as duas posições de um nível interior são reflexões no eixo horizontal: uma tem argumento α e a outra −α, com α=arccos c entre zero e π. Na primeira volta, −α pode ser representado por 2π−α.

α=arccos⁡c∈[0,π]cos⁡x=c  ⟺  x=α+2kπ ou x=−α+2kπ\alpha=\arccos c\in[0,\pi]\qquad{}\cos x=c\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi
α=arccos⁡c∈[0,π]cos⁡x=c  ⟺  x=α+2kπ ou x=−α+2kπ\begin{gathered}\alpha=\arccos c\in[0,\pi]\\\cos x=c\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi\end{gathered}

−1≤c≤1 e k inteiro. As duas posições são reflexões no eixo horizontal. Fora da imagem não há solução; nos extremos da imagem as famílias se sobrepõem. Use o intervalo solicitado para filtrar as entradas.

Exemplo resolvido · Cosseno negativo

Resolva cosx=−1/2 em ℝ e em [0,2π).

Resolução

  1. arccos(−1/2)=2π/3. As famílias são x=2π/3+2kπ e x=−2π/3+2kπ.
  2. Na primeira volta, a segunda família fornece 4π/3. Logo as duas entradas são 2π/3 e 4π/3.

S geral: x=±2π/3+2kπ. Na primeira volta: {2π/3,4π/3}.

Exemplo resolvido · Um extremo não produz duas posições diferentes

Resolva cosx=1.

Resolução

  1. A única posição é (1,0). As famílias +arccos1 e −arccos1 são a mesma, pois arccos1=0.
  2. Portanto x=2kπ. Não conte duas vezes o mesmo número.

x=2kπ, k inteiro.

sin⁡x=0  ⟺  x=kπcos⁡x=0  ⟺  x=π/2+kπsin⁡x=1  ⟺  x=π/2+2kπsin⁡x=−1  ⟺  x=3π/2+2kπcos⁡x=1  ⟺  x=2kπcos⁡x=−1  ⟺  x=π+2kπ\begin{gathered}\sin x=0\iff x=k\pi\\\cos x=0\iff x=\pi/2+k\pi\\\sin x=1\iff x=\pi/2+2k\pi\\\sin x=-1\iff x=3\pi/2+2k\pi\\\cos x=1\iff x=2k\pi\\\cos x=-1\iff x=\pi+2k\pi\end{gathered}

k é inteiro. Esses casos evitam contar duas vezes famílias coincidentes. Um intervalo fechado [0,2π] pode incluir as duas entradas distintas zero e 2π, embora representem o mesmo ponto no ciclo.

5Tangente: uma solução por ramo

Cada ramo da tangente cresce e assume todos os valores reais uma vez. O arco tangente escolhe a entrada do ramo (−π/2,π/2); somar kπ alcança as demais. As assíntotas não são entradas admitidas.

tan⁡x=c  ⟺  x=arctan⁡c+kπ\tan x=c\iff x=\arctan c+k\pi

c é qualquer real, k inteiro. arctan c∈(−π/2,π/2). A tangente tem período π e domínio x≠π/2+kπ. As entradas geradas para c finito pertencem ao domínio; uma expressão original pode impor outras exclusões.

Exemplo resolvido · Período π, não 2π

Resolva tgx=−1 em ℝ e em [0,2π).

Resolução

  1. O representante principal é arctan(−1)=−π/4. A solução geral é x=−π/4+kπ.
  2. No intervalo pedido, k=1 e k=2 dão 3π/4 e 7π/4. As duas entradas têm cosseno não nulo.

Geral: x=−π/4+kπ. No intervalo: {3π/4,7π/4}.

Exemplo resolvido · Tangente zero

Resolva tgx=0.

Resolução

  1. arctan0=0, então x=kπ. Nessas entradas, seno é zero e cosseno é ±1.
  2. Não inclua π/2+kπ: ali a tangente não existe.

x=kπ, k inteiro.

6Conferir a imagem antes de calcular

−1≤sin⁡x≤1,−1≤cos⁡x≤1sin⁡x>1: S=∅,sin⁡x≥−1: S=R-1\le\sin x\le1,\quad-1\le\cos x\le1\qquad{}\sin x>1:\ S=\varnothing,\quad\sin x\ge-1:\ S=\mathbb R
−1≤sin⁡x≤1,−1≤cos⁡x≤1sin⁡x>1: S=∅,sin⁡x≥−1: S=R\begin{gathered}-1\le\sin x\le1,\quad-1\le\cos x\le1\\\sin x>1:\ S=\varnothing,\quad\sin x\ge-1:\ S=\mathbb R\end{gathered}

As mesmas observações valem para cosseno. Em ≥1 ou ≤−1, só os pontos de máximo ou mínimo servem; em >1 ou <−1, nenhum. Se o nível ultrapassa a imagem, a desigualdade pode ser sempre verdadeira ou impossível. Intersecte sempre com o domínio e universo originais.

Exemplo resolvido · Uma operação algébrica revela a impossibilidade

Resolva 2senx=3.

Resolução

  1. Dividir por dois dá senx=3/2. Esse valor é maior que um e não pertence à imagem do seno.
  2. Não há razão para procurar ângulos ou usar arcsin fora de seu domínio real.

S=∅.

Exemplo resolvido · Zeros e extremos merecem atenção

Resolva senx=0 e senx=−1 em ℝ.

Resolução

  1. Seno zero ocorre em x=kπ, reunindo as duas posições dos eixos horizontais.
  2. Seno menos um ocorre em x=3π/2+2kπ. As duas famílias gerais do seno coincidem nesse nível extremo.

Respectivamente x=kπ e x=3π/2+2kπ.

7Resolver em graus sem misturar unidades

Se o problema usa graus, uma volta é 360° e o período da tangente é 180°. A estrutura das famílias é a mesma, mas os números e a unidade precisam acompanhar cada etapa. Não some 2π a um argumento escrito em graus.

sin⁡x=sin⁡α: x=α+360∘k ou x=180∘−α+360∘kcos⁡x=cos⁡α: x=±α+360∘ktan⁡x=tan⁡α: x=α+180∘k\sin x=\sin\alpha:\ x=\alpha+360^\circ k\ \text{ou}\ x=180^\circ-\alpha+360^\circ k\qquad{}\cos x=\cos\alpha:\ x=\pm\alpha+360^\circ k\qquad{}\tan x=\tan\alpha:\ x=\alpha+180^\circ k
sin⁡x=sin⁡α: x=α+360∘k ou x=180∘−α+360∘kcos⁡x=cos⁡α: x=±α+360∘ktan⁡x=tan⁡α: x=α+180∘k\begin{gathered}\sin x=\sin\alpha:\ x=\alpha+360^\circ k\ \text{ou}\ x=180^\circ-\alpha+360^\circ k\\\cos x=\cos\alpha:\ x=\pm\alpha+360^\circ k\\\tan x=\tan\alpha:\ x=\alpha+180^\circ k\end{gathered}

x e α são medidas em graus, k inteiro. Para a tangente, ambas devem pertencer ao domínio. Não some π a uma medida em graus sem converter unidades; DEG/RAD também afeta as saídas das funções inversas.

Exemplo resolvido · Uma equação em graus

Resolva senx=1/2 com x medido em graus.

Resolução

  1. As referências são 30° e 150°.
  2. Portanto x=30°+360°k ou x=150°+360°k, com k inteiro. No intervalo [0°,360°), só ficam 30° e 150°.

Famílias 30°+360°k e 150°+360°k.

Exemplo resolvido · O argumento inteiro precisa voltar à variável

Resolva cos(2x)=1/2 em [0°,360°).

Resolução

  1. 2x=±60°+360°k. Dividir toda a expressão por dois dá x=±30°+180°k.
  2. Filtrando o intervalo: 30°,150°,210° e 330°. O argumento percorre duas voltas nesse universo.

S={30°,150°,210°,330°}.

8Escala e deslocamento do argumento

Se a função recebe ax+b, comece chamando esse argumento de u. Resolva a condição em u e só depois desfaça a expressão inteira. O intervalo também muda: com x em [0,2π), u=2x percorre [0,4π), por exemplo. A solução não pode se limitar à primeira volta do argumento.

u=ax+b⟹x=u−bau=ax+b\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{u-b}{a}

a,b são constantes reais e a≠0. Transforme também o intervalo da incógnita para o argumento, ou gere as famílias completas antes de filtrar x. Se a<0, a ordem das fronteiras de uma desigualdade se inverte. Se a=0, avalie a expressão constante e seu domínio separadamente.

sen 2x = 1/20π/2π3π/22π-11/21π/12, 5π/12,13π/12, 17π/12
Em sen2x=1/2, quatro pontos do gráfico resolvem a equação na primeira volta de x. O argumento 2x percorreu duas voltas.

Exemplo resolvido · Quatro soluções em vez de duas

Resolva sen(2x)=1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. 2x=π/6+2kπ ou 2x=5π/6+2kπ.
  2. Dividir por dois dá x=π/12+kπ ou x=5π/12+kπ.
  3. Em cada família, k=0 e k=1 pertencem ao universo. As entradas são π/12,5π/12,13π/12,17π/12.

S={π/12,5π/12,13π/12,17π/12}.

Exemplo resolvido · Um coeficiente negativo não é um período negativo

Resolva cos(−2x+π/3)=1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. O argumento deve ser π/3+2kπ ou −π/3+2kπ.
  2. Na primeira família, −2x=2kπ e x=−kπ. Na segunda, −2x=−2π/3+2kπ e x=π/3−kπ.
  3. Como k percorre todos os inteiros, também podemos escrever x=kπ ou x=π/3+kπ. Filtrando: zero, π/3, π e 4π/3.

S={0,π/3,π,4π/3}.

9Filtrar e contar sem duplicar entradas

Para cada família, imponha a condição do universo e encontre quais inteiros k servem. Depois reúna os resultados, retire duplicações e confira as extremidades. O ponto zero do ciclo e o ponto 2π coincidem geometricamente, mas as entradas zero e 2π são números distintos: ambos podem pertencer a um intervalo fechado. Na fórmula de periodicidade abaixo, S+P significa somar o período P a cada elemento de S; D+P faz o mesmo com as entradas do domínio D.

Exemplo resolvido · Um universo que inclui entradas negativas

Resolva cosx=1/2 em [−π,π].

Resolução

  1. As famílias são x=±π/3+2kπ. Para k=0, aparecem −π/3 e π/3, ambas admitidas.
  2. Adicionar ou retirar uma volta a qualquer uma leva para fora desse intervalo. As fronteiras ±π têm cosseno −1, não 1/2.

S={−π/3,π/3}.

Exemplo resolvido · Contar por uma desigualdade em k

Quantas soluções tem sen(3x)=0 em [0,2π]? E em [0,2π)?

Resolução

  1. 3x=kπ, logo x=kπ/3. No intervalo fechado, 0≤kπ/3≤2π equivale a 0≤k≤6.
  2. Os inteiros são 0,1,2,3,4,5,6: sete entradas. Ao excluir 2π, retiramos k=6 e restam seis.

Sete no fechado; seis no intervalo com extremidade direita aberta.

F(x+P)=F(x),D+P=D⟹S+P=SF(x+P)=F(x),\quad D+P=D\quad\Longrightarrow\quad S+P=S

P>0 é período de F e a comparação é com uma constante, no domínio D, antes de uma restrição de universo. O conjunto de soluções pode ter período menor: sinx=0 tem soluções separadas por π, embora o seno tenha período fundamental 2π. Depois da restrição a um intervalo, não repita a solução fora do universo.

10Igualdade entre funções de argumentos diferentes

Uma igualdade de razões não obriga igualdade dos argumentos. No seno há duas posições refletidas no eixo vertical; no cosseno há duas posições simétricas em relação ao eixo horizontal; na tangente, a direção se repete a cada meia volta. Essas relações viram equações algébricas entre os argumentos.

sin⁡u=sin⁡v  ⟺  u=v+2kπ ou u=π−v+2kπ\sin u=\sin v\iff u=v+2k\pi\ \text{ou}\ u=\pi-v+2k\pi

u e v são argumentos reais, que podem depender da mesma incógnita; k inteiro. Uma mesma ordenada no ciclo corresponde às duas posições refletidas no eixo vertical. A segunda família não pode ser omitida. Filtre o domínio das expressões que definem u e v.

cos⁡u=cos⁡v  ⟺  u=v+2kπ ou u=−v+2kπ\cos u=\cos v\iff u=v+2k\pi\ \text{ou}\ u=-v+2k\pi

u e v reais, k inteiro. Preserve as duas possibilidades e a escala dos argumentos. A notação ±v resume essas duas famílias; não representa uma escolha arbitrária de um único sinal.

tan⁡u=tan⁡v  ⟺  u=v+kπ\tan u=\tan v\iff u=v+k\pi

Exige cosu≠0 e cosv≠0 na expressão original; k inteiro. Primeiro resolva a relação entre argumentos e depois elimine candidatos que deixem qualquer tangente indefinida.

Exemplo resolvido · Não esquecer a segunda família do seno

Resolva sen3x=senx em [0,2π).

Resolução

  1. Primeira possibilidade: 3x=x+2kπ, dando x=kπ.
  2. Segunda: 3x=π−x+2kπ, dando x=π/4+kπ/2.
  3. Reúna as entradas admitidas: zero, π/4,3π/4,π,5π/4,7π/4.

S={0,π/4,3π/4,π,5π/4,7π/4}.

Exemplo resolvido · Uma família pode conter a outra

Resolva cos2x=cosx em ℝ.

Resolução

  1. 2x=x+2kπ dá x=2kπ. A possibilidade 2x=−x+2kπ dá x=2kπ/3.
  2. A primeira está contida na segunda: basta escolher, nesta, índices múltiplos de três. Podemos resumir o conjunto por x=2kπ/3.

x=2kπ/3, k inteiro.

Exemplo resolvido · A relação entre argumentos ainda exige domínio

Resolva tg3x=tgx.

Resolução

  1. O domínio original exige cos3x≠0 e cosx≠0. A relação 3x=x+kπ fornece candidatos x=kπ/2.
  2. Quando k é ímpar, x é π/2 mais um múltiplo de π e as duas tangentes são indefinidas. Quando k é par, x é múltiplo de π e ambas valem zero.

Somente x=kπ, com k inteiro.

11Fatorar antes de dividir por uma razão

Um produto nulo pede alternativas. Dividir diretamente por um fator que pode ser zero elimina soluções. Leve os termos para um lado, coloque o fator comum em evidência e resolva cada possibilidade no domínio original.

F(x)G(x)=0  ⟺  F(x)=0 ou G(x)=0F(x)G(x)=0\iff F(x)=0\ \text{ou}\ G(x)=0

Trabalhe no domínio comum das expressões originais. Um produto de números reais é zero quando ao menos um fator é zero. Não divida por um fator que pode zerar: isso elimina justamente uma família de soluções.

Exemplo resolvido · Preservar a família que seria cancelada

Resolva sen2x+senx=0 em [0,2π).

Resolução

  1. Use sen2x=2senx cosx: senx(2cosx+1)=0.
  2. senx=0 dá zero e π. O fator 2cosx+1=0 dá cosx=−1/2, com entradas 2π/3 e 4π/3.
  3. Dividir por senx desde o início perderia zero e π.

S={0,2π/3,π,4π/3}.

Exemplo resolvido · Reunir alternativas sem repetir uma raiz

Resolva senx cosx=cosx em [0,2π).

Resolução

  1. Fatore cosx(senx−1)=0.
  2. cosx=0 dá π/2 e 3π/2. senx=1 dá π/2, que já foi incluída. Um conjunto não repete o mesmo elemento.

S={π/2,3π/2}.

12Substituir a razão e resolver uma equação algébrica

Quando uma única razão aparece ao quadrado e no primeiro grau, use uma variável auxiliar. Resolva a equação do segundo grau, confira se cada raiz pertence à imagem da razão e volte ao ciclo. Uma raiz algébrica não é automaticamente uma entrada angular.

u=sin⁡x ou u=cos⁡x:−1≤u≤1v=sin⁡2x ou v=cos⁡2x:0≤v≤1u=\sin x\ \text{ou}\ u=\cos x:\quad -1\le u\le1\qquad{}v=\sin^2x\ \text{ou}\ v=\cos^2x:\quad 0\le v\le1
u=sin⁡x ou u=cos⁡x:−1≤u≤1v=sin⁡2x ou v=cos⁡2x:0≤v≤1\begin{gathered}u=\sin x\ \text{ou}\ u=\cos x:\quad -1\le u\le1\\v=\sin^2x\ \text{ou}\ v=\cos^2x:\quad 0\le v\le1\end{gathered}

Resolva a equação ou inequação algébrica, intersecte com a imagem permitida e depois volte à incógnita angular. A variável auxiliar não é o próprio ângulo. Para tangente, a imagem é ℝ, mas as exclusões do argumento continuam necessárias.

Exemplo resolvido · Duas razões possíveis, três ângulos

Resolva 2sen²x+senx−1=0 em [0,2π).

Resolução

  1. Faça u=senx, com −1≤u≤1. A equação é 2u²+u−1=(2u−1)(u+1)=0.
  2. u=1/2 e u=−1 são possíveis. senx=1/2 dá π/6 e 5π/6; senx=−1 dá 3π/2.

S={π/6,5π/6,3π/2}.

Exemplo resolvido · Uma raiz algébrica fora da imagem

Resolva 2cos²x−5cosx+2=0 em [0,2π).

Resolução

  1. u=cosx transforma a equação em (2u−1)(u−2)=0. As raízes são 1/2 e dois.
  2. Dois não pertence a [−1,1]. Resta cosx=1/2, com entradas π/3 e 5π/3.

S={π/3,5π/3}.

13Reunir razões por identidades

A relação fundamental permite trocar sen²x por 1−cos²x ou o contrário. Uma fórmula de arco duplo pode reduzir argumentos diferentes a uma só razão. Escolha a forma que transforma o problema em álgebra já conhecida, sem introduzir uma divisão desnecessária.

Exemplo resolvido · Uma equação com seno ao quadrado e cosseno

Resolva sen²x=cosx+1 em [0,2π).

Resolução

  1. Substitua sen²x=1−cos²x: 1−cos²x=cosx+1. Subtraindo cosx+1 dos dois membros, obtemos −cos²x−cosx=0. Multiplicar por −1 dá cos²x+cosx=0, ou cosx(cosx+1)=0.
  2. cosx=0 dá π/2 e 3π/2. cosx=−1 dá π. Todas satisfazem a expressão original.

S={π/2,π,3π/2}.

Exemplo resolvido · Escolher a forma útil do arco duplo

Resolva cos2x+senx=0 em [0,2π).

Resolução

  1. Use cos2x=1−2sen²x. Com u=senx, a equação fica 1−2u²+u=0. Multiplicando os dois membros por −1 e ordenando os termos, obtemos 2u²−u−1=0, ou (2u+1)(u−1)=0.
  2. u=−1/2 dá 7π/6 e 11π/6; u=1 dá π/2.

S={π/2,7π/6,11π/6}.

14Transformar somas em produtos para obter famílias

As fórmulas da aula anterior fatoram somas sem divisão. Cada fator zero produz uma família, mas duas famílias podem compartilhar entradas ou uma pode conter a outra.

Exemplo resolvido · A soma revela fatores de um mesmo argumento

Resolva sen3x+senx=0.

Resolução

  1. A soma em produto é 2sen2x cosx=4senx cos²x.
  2. senx=0 fornece x=kπ; cosx=0 fornece x=π/2+kπ. Juntas, as famílias são todos os múltiplos inteiros de π/2.

x=kπ/2, k inteiro.

Exemplo resolvido · Um fator já está representado pelo outro

Resolva cos4x+cos2x=0 em [0,2π).

Resolução

  1. A soma vira 2cos3x cosx=0. cos3x=0 dá x=π/6+kπ/3.
  2. cosx=0 dá π/2+kπ, já contida na família anterior. Na primeira volta, são seis entradas: π/6,π/2,5π/6,7π/6,3π/2,11π/6.

S={π/6,π/2,5π/6,7π/6,3π/2,11π/6}.

15Equações com combinação de seno e cosseno

Com A e B não ambos zero, A senx+B cosx pode ser escrita como Rsen(x+φ), com R=√(A²+B²)>0. A expansão exige cosφ=A/R e senφ=B/R; isso fixa a posição da fase. Assim a equação volta a uma razão elementar, e a imagem permite testar a existência antes de calcular.

Asin⁡x+Bcos⁡x=C  ⟺  sin⁡(x+φ)=C/RA\sin x+B\cos x=C\iff\sin(x+\varphi)=C/R

A,B,C são constantes reais; R=√(A²+B²)>0, cosφ=A/R e sinφ=B/R. A fase φ é escolhida pelas duas razões. Existem soluções reais se e somente se |C|≤R. Se A=B=0, a igualdade é verdadeira para toda entrada admitida quando C=0 e não tem solução quando C≠0.

Exemplo resolvido · Duas soluções de uma soma

Resolva senx+cosx=1 em [0,2π).

Resolução

  1. Na combinação A senx+B cosx, temos A=B=1. Logo R=√(1²+1²)=√2. As condições da fase são cosφ=1/√2 e senφ=1/√2, ambas satisfeitas por φ=π/4.
  2. Assim, senx+cosx=√2 sen(x+π/4), e a equação é √2 sen(x+π/4)=1. Dividimos por √2, não nulo: sen(x+π/4)=1/√2=√2/2.
  3. O argumento é π/4+2kπ ou 3π/4+2kπ. Retirar π/4 dá x=2kπ ou x=π/2+2kπ.

S={0,π/2}.

Exemplo resolvido · Amplitude como teste de possibilidade

A equação 3senx+4cosx=6 admite solução real?

Resolução

  1. A combinação tem amplitude √(9+16)=5 e imagem [−5,5].
  2. Seis está fora dessa imagem. Não é necessário determinar a fase.

Não: S=∅.

16Equações fracionárias e pontos que não voltam

Uma fração é zero quando o numerador zera e o denominador não zera. Ao multiplicar uma equação pelo denominador, mantenha essa condição na resposta e confira os candidatos. O gráfico simplificado pode ter pontos que não pertencem à função original.

F(x)/G(x)=0  ⟺  F(x)=0, G(x)≠0F(x)/G(x)=H(x)  ⟺  F(x)=H(x)G(x), G(x)≠0F(x)/G(x)=0\iff F(x)=0,\ G(x)\ne0\qquad{}F(x)/G(x)=H(x)\iff F(x)=H(x)G(x),\ G(x)\ne0
F(x)/G(x)=0  ⟺  F(x)=0, G(x)≠0F(x)/G(x)=H(x)  ⟺  F(x)=H(x)G(x), G(x)≠0\begin{gathered}F(x)/G(x)=0\iff F(x)=0,\ G(x)\ne0\\F(x)/G(x)=H(x)\iff F(x)=H(x)G(x),\ G(x)\ne0\end{gathered}

F,G,H precisam existir como expressões reais. Multiplicar ou cancelar não preenche entradas excluídas pelo denominador. Preserve também restrições internas de outras razões presentes na expressão.

sen 2x / cos x = 20π/2π3π/22π-22Pontos vazios: cos x = 0Nenhuma solução para f = 2
sen2x/cosx coincide com 2senx onde cosx≠0. Os pontos vazios continuam excluídos. A reta y=2 não encontra uma entrada admitida do quociente.

Exemplo resolvido · Um cancelamento deixa uma equação sem solução

Resolva sen2x/cosx=2.

Resolução

  1. O domínio exige cosx≠0. Usar sen2x=2senx cosx e cancelar nesse domínio dá 2senx=2, isto é, senx=1.
  2. Os candidatos são x=π/2+2kπ, mas todos zeram cosx. Nenhum pertence ao domínio original.

S=∅, embora a equação simplificada isoladamente tivesse candidatos.

Exemplo resolvido · Conferir o domínio após multiplicar

Resolva tgx=senx.

Resolução

  1. cosx≠0. Escreva senx/cosx=senx e multiplique pelo cosseno não nulo: senx(1−cosx)=0.
  2. senx=0 dá x=kπ, todos admitidos. cosx=1 dá uma subfamília já incluída. Não aparecem outras soluções.

x=kπ, k inteiro.

17Secante, cossecante e cotangente

Secante e cossecante são recíprocas; uma igualdade a um valor não nulo pode ser invertida, mantendo as condições. A cotangente tem definição cosx/senx e seus próprios zeros; tentar defini-la sempre por 1/tgx perde entradas admitidas.

sec⁡x=c  ⟺  cos⁡x=1/ccsc⁡x=c  ⟺  sin⁡x=1/c\sec x=c\iff\cos x=1/c\qquad{}\csc x=c\iff\sin x=1/c
sec⁡x=c  ⟺  cos⁡x=1/ccsc⁡x=c  ⟺  sin⁡x=1/c\begin{gathered}\sec x=c\iff\cos x=1/c\\\csc x=c\iff\sin x=1/c\end{gathered}

Para haver solução é necessário |c|≥1. Nesse caso c é não nulo e a razão 1/c também não é zero, preservando o domínio da recíproca. Valores de módulo menor que um não pertencem à imagem de secante/cossecante.

cot⁡x=c  ⟺  x=π2−arctan⁡c+kπ\cot x=c\iff x=\frac\pi2-\arctan c+k\pi

c real, k inteiro. A cotangente é cosx/sinx e exige sinx≠0. A referência π/2−arctan c pertence a (0,π). Para c=0, a solução é π/2+kπ; não use 1/tanx como definição em todo o domínio.

Exemplo resolvido · Secante negativa

Resolva secx=−2 em [0,2π).

Resolução

  1. O valor é compatível com a imagem da secante. Inverter dá cosx=−1/2.
  2. As entradas são 2π/3 e 4π/3, com cosseno não nulo.

S={2π/3,4π/3}.

Exemplo resolvido · Cossecante positiva

Resolva cscx=2 em [0,2π).

Resolução

  1. A igualdade equivale a senx=1/2. A razão resultante é não nula, preservando o denominador.
  2. As entradas são π/6 e 5π/6.

S={π/6,5π/6}.

Exemplo resolvido · O zero da cotangente é admitido

Resolva cotx=0.

Resolução

  1. cosx/senx=0 exige cosx=0 e senx≠0. Portanto x=π/2+kπ; os senos nessas entradas são ±1.
  2. A forma π/2−arctan0+kπ fornece o mesmo conjunto. A tangente é indefinida nessas entradas, sem impedir a existência da cotangente.

x=π/2+kπ, k inteiro.

18Módulos e potências pares nas equações

Ao tirar a raiz de uma razão ao quadrado, obtemos seu módulo. Uma igualdade de módulo a um número positivo tem duas possibilidades de sinal; a zero, uma; a um número negativo, nenhuma.

∣F(x)∣=a  ⟺  F(x)=a ou F(x)=−a|F(x)|=a\iff F(x)=a\ \text{ou}\ F(x)=-a

a≥0 e x no domínio original. Para a=0 as duas possibilidades são a mesma. Se a<0, não há solução, pois módulo não é negativo. Se a razão ao quadrado é conhecida, tirar a raiz fornece módulo, não apenas a raiz positiva para a razão.

Exemplo resolvido · Não perder o seno negativo

Resolva sen²x=1/4 em [0,2π).

Resolução

  1. |senx|=1/2, então senx=1/2 ou senx=−1/2.
  2. O primeiro caso dá π/6 e 5π/6; o segundo, 7π/6 e 11π/6. Usar só seno positivo perderia duas entradas.

S={π/6,5π/6,7π/6,11π/6}.

Exemplo resolvido · O módulo pode envolver uma expressão inteira

Resolva |2cosx−1|=1 em [0,2π).

Resolução

  1. 2cosx−1=1 ou 2cosx−1=−1, produzindo cosx=1 ou cosx=0.
  2. As entradas são zero, π/2 e 3π/2.

S={0,π/2,3π/2}.

19Quadrar sem aceitar candidatos estranhos

Elevar os dois lados ao quadrado conserva toda solução de uma igualdade real, mas pode acrescentar candidatos porque números opostos têm o mesmo quadrado. Para uma raiz principal, o lado sem raiz precisa ser não negativo. Guarde essa condição antes da operação.

F(x)=G(x)  ⟺  F(x)=G(x)2 e G(x)≥0\sqrt{F(x)}=G(x)\iff F(x)=G(x)^2\ \text{e}\ G(x)\ge0

F e G precisam estar definidos como expressões reais. A igualdade F=G² já garante radicando não negativo; G≥0 conserva o sinal da raiz principal. Ao quadrar uma igualdade sem guardar sinais, podem surgir candidatos estranhos à equação original. Conferir somente os candidatos não substitui justificar que nenhum foi perdido.

Exemplo resolvido · Um candidato falha no sinal

Resolva √(1−senx)=cosx em [0,2π).

Resolução

  1. O radicando é sempre não negativo. A igualdade original exige cosx≥0.
  2. Quadrando: 1−senx=cos²x=1−sen²x. Logo senx(senx−1)=0.
  3. Os candidatos são zero, π e π/2. Em π, o lado direito é −1 e a raiz vale um, então essa entrada é rejeitada. Em zero e π/2, a igualdade vale.

S={0,π/2}.

20Equações com inversas e intervalos principais

As inversas da quinta aula escolhem um intervalo principal. Antes de aplicar seno, cosseno ou tangente a uma igualdade envolvendo uma inversa, confira se o valor pedido pertence à imagem dessa inversa. Aplicar uma função que repete valores pode perder essa informação.

arcsin⁡(F(x))=θ  ⟺  F(x)=sin⁡θ,−π/2≤θ≤π/2arccos⁡(F(x))=θ  ⟺  F(x)=cos⁡θ,0≤θ≤πarctan⁡(F(x))=θ  ⟺  F(x)=tan⁡θ,−π/2<θ<π/2\arcsin(F(x))=\theta\iff F(x)=\sin\theta,\quad-\pi/2\le\theta\le\pi/2\qquad{}\arccos(F(x))=\theta\iff F(x)=\cos\theta,\quad0\le\theta\le\pi\qquad{}\arctan(F(x))=\theta\iff F(x)=\tan\theta,\quad-\pi/2<\theta<\pi/2
arcsin⁡(F(x))=θ  ⟺  F(x)=sin⁡θ,−π/2≤θ≤π/2arccos⁡(F(x))=θ  ⟺  F(x)=cos⁡θ,0≤θ≤πarctan⁡(F(x))=θ  ⟺  F(x)=tan⁡θ,−π/2<θ<π/2\begin{gathered}\arcsin(F(x))=\theta\iff F(x)=\sin\theta,\quad-\pi/2\le\theta\le\pi/2\\\arccos(F(x))=\theta\iff F(x)=\cos\theta,\quad0\le\theta\le\pi\\\arctan(F(x))=\theta\iff F(x)=\tan\theta,\quad-\pi/2<\theta<\pi/2\end{gathered}

F(x) precisa estar definido e θ, lido teta, é a saída angular pedida em radianos. A equivalência exige a faixa indicada em cada linha; fora dela a equação com a inversa não tem solução. Nas duas primeiras, o valor correspondente da razão fica em [−1,1]; na terceira, a tangente de θ existe. Aplicar uma função aos dois lados sem guardar a faixa pode criar respostas falsas.

Exemplo resolvido · Uma inversa não apaga as outras voltas da entrada

Resolva arcsin(senx)=π/6.

Resolução

  1. π/6 pertence à imagem de arcsin. A igualdade equivale a senx=sen(π/6)=1/2, porque arcsin é injetiva em seu domínio e escolhe exatamente π/6 para essa razão.
  2. Assim x=π/6+2kπ ou x=5π/6+2kπ. A entrada x não precisa estar no intervalo principal; a saída de arcsin é que precisa.

As mesmas duas famílias de senx=1/2.

Exemplo resolvido · Aplicar seno sem conferir a imagem criaria respostas falsas

Resolva arcsin(senx)=5π/6.

Resolução

  1. A imagem de arcsin é [−π/2,π/2]. O valor 5π/6 fica fora dela.
  2. Logo a equação é impossível. Aplicar seno e resolver apenas senx=1/2 produziria candidatos que não satisfazem a igualdade original.

S=∅.

21Substituição pela tangente da metade com casos separados

Quando uma equação envolve expressões racionais de seno e cosseno, o parâmetro t=tg(x/2) pode reduzi-la a álgebra. As fórmulas foram demonstradas na aula anterior. Mas a substituição exclui x=π+2kπ; teste essas entradas separadamente na equação original.

t=tan⁡(x/2),sin⁡x=2t1+t2cos⁡x=1−t21+t2x=2arctan⁡t+2kπt=\tan(x/2),\quad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\qquad{}\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad{}x=2\arctan t+2k\pi
t=tan⁡(x/2),sin⁡x=2t1+t2cos⁡x=1−t21+t2x=2arctan⁡t+2kπ\begin{gathered}t=\tan(x/2),\quad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\x=2\arctan t+2k\pi\end{gathered}

t real, k inteiro e x≠π+2kπ. O denominador 1+t² é sempre positivo. As entradas excluídas pela substituição precisam ser testadas na expressão original; não as descarte automaticamente. Se a expressão também contém tanx, preserve t≠±1 e todas as demais restrições.

Exemplo resolvido · Uma equação com duas razões vira polinômio

Resolva 2senx+cosx=1 em [0,2π).

Resolução

  1. Para x≠π, substitua seno e cosseno: [4t+1−t²]/(1+t²)=1. O denominador é positivo.
  2. Multiplicamos por 1+t², positivo: 4t+1−t²=1+t². Subtraindo 1+t² dos dois membros, obtemos 4t−2t²=0. Fatoramos 2t(2−t)=0, então t=0 ou t=2.
  3. Voltando por x=2arctan t+2kπ, t=0 fornece x=0 e t=2 fornece x=2arctan2 no intervalo pedido. As outras voltas ficam fora desse universo.
  4. Falta conferir x=π: o lado esquerdo vale −1, e não um. Essa exceção não é solução.

S={0,2arctan2}.

Exemplo resolvido · Uma exceção pode ser uma solução verdadeira

Se usássemos a mesma substituição em senx=0 em [0,2π), o que faltaria?

Resolução

  1. A equação 2t/(1+t²)=0 dá t=0 e x=0 no intervalo.
  2. Mas x=π foi excluído apenas pela substituição, e senπ=0. Precisamos acrescentá-lo. O resultado completo é {0,π}.

A resposta não fica completa antes da conferência das entradas excluídas pelo método.

22Dois pontos de igualdade delimitam uma região

Na equação senx=1/2, procurávamos pontos na altura exata de 1/2. Na inequação senx>1/2, procuramos todos os pontos acima dessa altura. Os pontos de igualdade viram fronteiras; a comparação decide se entram. Depois o domínio e o universo ainda precisam ser respeitados.

sen x > 1/2cossenOπ/65π/6(π/6,5π/6)
O arco acima de 1/2 vai de π/6 a 5π/6, sem as fronteiras na desigualdade estrita. Os pontos vazios significam exclusão, não valores zero.

Exemplo resolvido · Comparação estrita e não estrita

Resolva senx>1/2 e senx≥1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. As fronteiras de igualdade são π/6 e 5π/6. Entre elas, a coordenada vertical é maior que 1/2.
  2. Para >, excluímos as fronteiras: (π/6,5π/6). Para ≥, incluímos ambas: [π/6,5π/6].

As respostas são, respectivamente, (π/6,5π/6) e [π/6,5π/6].

23Inequações do seno em toda a reta e num intervalo

Escolha α=arcsin c entre −π/2 e π/2. Para −1<c<1, o arco acima do nível c começa em α e termina em π−α. O arco abaixo do nível começa em π−α e termina em 2π+α. Repita as faixas por voltas de 2π. Se α for negativo, a faixa acima pode atravessar zero: não descarte a parte anterior à origem antes de intersectar com o universo.

sin⁡x>c  ⟺  α+2kπ<x<π−α+2kπ\sin x>c\iff\alpha+2k\pi<x<\pi-\alpha+2k\pi

−1<c<1, α=arcsin c∈(−π/2,π/2) e k inteiro. Para ≥, inclua os dois extremos. A fórmula pode atravessar zero se α<0; nesse caso, não corte a faixa antes de intersectar com o universo pedido. Os casos c=±1 ou fora da imagem são tratados separadamente.

sin⁡x<c  ⟺  π−α+2kπ<x<2π+α+2kπ\sin x<c\iff\pi-\alpha+2k\pi<x<2\pi+\alpha+2k\pi

−1<c<1, α=arcsin c, k inteiro. Para ≤, inclua as duas fronteiras. Essas faixas descrevem a parte complementar à região acima do nível, com atenção à inclusão ou exclusão dos pontos de igualdade.

Exemplo resolvido · Uma fronteira principal negativa

Resolva senx≥−1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. α=−π/6. Na reta, as faixas são [−π/6+2kπ,7π/6+2kπ].
  2. Com k=0, a interseção com o universo é [0,7π/6]. Com k=1, aparece [11π/6,2π). As demais faixas não alcançam esse universo.

S=[0,7π/6]∪[11π/6,2π).

Exemplo resolvido · A região abaixo também pode ter duas partes no universo

Resolva senx<1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. No ciclo, excluímos o arco de π/6 a 5π/6 e suas fronteiras, onde seno é pelo menos 1/2.
  2. Restam [0,π/6) e (5π/6,2π). Zero entra porque seu seno é menor que 1/2; 2π não entra porque o universo o exclui.

S=[0,π/6)∪(5π/6,2π).

24Inequações do cosseno por coordenada horizontal

Cosseno mede a coordenada horizontal: maior significa estar à direita da reta vertical do nível, e menor, à esquerda. Com α=arccos c em (0,π), a região acima do nível fica entre −α e α, repetida por voltas; a região abaixo fica entre α e 2π−α.

cos⁡x>c  ⟺  −α+2kπ<x<α+2kπ\cos x>c\iff-\alpha+2k\pi<x<\alpha+2k\pi

−1<c<1, α=arccos c∈(0,π), k inteiro. Para ≥, inclua as fronteiras. Na primeira volta, a região pode aparecer dividida nas duas extremidades do intervalo; ela é contínua quando passa pela origem dos argumentos.

cos⁡x<c  ⟺  α+2kπ<x<2π−α+2kπ\cos x<c\iff\alpha+2k\pi<x<2\pi-\alpha+2k\pi

−1<c<1, α=arccos c∈(0,π), k inteiro. Para ≤, inclua as duas fronteiras. A comparação é com a abscissa do ponto do ciclo; não se trata de uma função globalmente crescente na reta.

cos x ≤ 1/2cossenOπ/35π/3[π/3,5π/3]
cosx≤1/2 corresponde ao arco à esquerda da reta de abscissa 1/2. As duas fronteiras são incluídas.

Exemplo resolvido · Um intervalo contínuo na primeira volta

Resolva cosx≤1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. A igualdade ocorre em π/3 e 5π/3. O arco entre eles passa pela esquerda do ciclo e tem cosseno menor ou igual a 1/2.
  2. As fronteiras entram pela comparação não estrita.

S=[π/3,5π/3].

Exemplo resolvido · A região da direita aparece separada pelo início da volta

Resolva cosx>1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. Na reta, são os intervalos (−π/3+2kπ,π/3+2kπ).
  2. No universo, aparecem [0,π/3) e (5π/3,2π). O zero é admitido e tem cosseno um; a extremidade 2π foi excluída pelo enunciado.

S=[0,π/3)∪(5π/3,2π).

25Níveis extremos e níveis fora da imagem

As fórmulas de faixas anteriores assumem um nível estritamente entre −1 e 1. Nos níveis extremos, uma região pode virar pontos isolados, todo o domínio ou conjunto vazio. Fora da imagem, a resposta é sempre verdadeira ou impossível, conforme o sentido da comparação.

Exemplo resolvido · Não aplicar mecanicamente uma faixa que degenerou

Compare senx>1, senx≥1 e senx≥−1 em ℝ.

Resolução

  1. senx>1 é impossível: S=∅. senx≥1 só permite seno igual a um, nas entradas π/2+2kπ.
  2. senx≥−1 vale em toda a reta, porque menos um é o mínimo do seno.

Respectivamente: vazio, a família dos máximos e toda ℝ.

Exemplo resolvido · Um nível que a função nunca alcança

Resolva cosx≤2 e cosx<−1 em um universo U qualquer.

Resolução

  1. O cosseno nunca passa de um, então a primeira comparação vale para toda entrada de U.
  2. Ele nunca fica abaixo de menos um, então a segunda não tem solução. Aqui não existem denominadores que reduzam o domínio.

S=U na primeira; S=∅ na segunda.

26Transportar faixas para um argumento composto

Resolva primeiro a faixa do argumento u=ax+b e depois desfaça a expressão. Ao dividir uma desigualdade por um número negativo, inverta sua orientação e ordene as fronteiras do intervalo. Uma translação vertical ou escala negativa da saída também precisa ser desfeita antes de consultar o ciclo.

d+asin⁡(bx+c)≥h  ⟺  sin⁡(bx+c)≥(h−d)/a(a>0)d+asin⁡(bx+c)≥h  ⟺  sin⁡(bx+c)≤(h−d)/a(a<0)d+a\sin(bx+c)\ge h\iff\sin(bx+c)\ge(h-d)/a\quad(a>0)\qquad{}d+a\sin(bx+c)\ge h\iff\sin(bx+c)\le(h-d)/a\quad(a<0)
d+asin⁡(bx+c)≥h  ⟺  sin⁡(bx+c)≥(h−d)/a(a>0)d+asin⁡(bx+c)≥h  ⟺  sin⁡(bx+c)≤(h−d)/a(a<0)\begin{gathered}d+a\sin(bx+c)\ge h\iff\sin(bx+c)\ge(h-d)/a\quad(a>0)\\d+a\sin(bx+c)\ge h\iff\sin(bx+c)\le(h-d)/a\quad(a<0)\end{gathered}

Constantes reais. Vale analogamente para cosseno. Ao dividir por a negativo, inverta a comparação. Se a=0 ou b=0, avalie a regra constante separadamente. Primeiro confira se o nível pedido é compatível com a imagem.

Exemplo resolvido · Duas faixas dentro da volta da incógnita

Resolva sen2x≥1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. Para o argumento: π/6+2kπ≤2x≤5π/6+2kπ.
  2. Dividir por dois dá π/12+kπ≤x≤5π/12+kπ. No universo servem k=0 e k=1.

S=[π/12,5π/12]∪[13π/12,17π/12].

Exemplo resolvido · Uma escala interna negativa

Resolva cos(π−x)≥1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. u=π−x percorre (−π,π]. Nessa faixa, cosu≥1/2 equivale a −π/3≤u≤π/3.
  2. Substitua u: −π/3≤π−x≤π/3. Retirar π dá −4π/3≤−x≤−2π/3.
  3. Multiplicar por −1 inverte as comparações: 2π/3≤x≤4π/3. Todas essas entradas pertencem ao universo.

S=[2π/3,4π/3].

27Tangente e cotangente: resolver em cada ramo

A tangente é crescente dentro de cada ramo, mas não através das assíntotas. Uma comparação com um nível real c usa a referência arctan c. Na cotangente ocorre o sentido oposto, porque cada ramo é decrescente. As fronteiras de igualdade podem entrar; as assíntotas nunca entram.

tan⁡x>c  ⟺  α+kπ<x<π/2+kπtan⁡x<c  ⟺  −π/2+kπ<x<α+kπ\tan x>c\iff\alpha+k\pi<x<\pi/2+k\pi\qquad{}\tan x<c\iff-\pi/2+k\pi<x<\alpha+k\pi
tan⁡x>c  ⟺  α+kπ<x<π/2+kπtan⁡x<c  ⟺  −π/2+kπ<x<α+kπ\begin{gathered}\tan x>c\iff\alpha+k\pi<x<\pi/2+k\pi\\\tan x<c\iff-\pi/2+k\pi<x<\alpha+k\pi\end{gathered}

c real, α=arctan c∈(−π/2,π/2), k inteiro. Cada ramo é crescente. Para ≥ ou ≤, inclua a fronteira α+kπ; as assíntotas ±π/2+kπ permanecem sempre abertas, mesmo em uma comparação não estrita.

cot⁡x>c  ⟺  kπ<x<α+kπcot⁡x<c  ⟺  α+kπ<x<(k+1)π\cot x>c\iff k\pi<x<\alpha+k\pi\qquad{}\cot x<c\iff\alpha+k\pi<x<(k+1)\pi
cot⁡x>c  ⟺  kπ<x<α+kπcot⁡x<c  ⟺  α+kπ<x<(k+1)π\begin{gathered}\cot x>c\iff k\pi<x<\alpha+k\pi\\\cot x<c\iff\alpha+k\pi<x<(k+1)\pi\end{gathered}

c real, α=π/2−arctan c∈(0,π), k inteiro. A cotangente é decrescente em cada ramo. Para ≥ ou ≤, inclua a fronteira α+kπ, conservando os extremos kπ abertos por serem exclusões do domínio.

tg x ≥ 1 em [0,2π)0π/4π/25π/43π/22πPonto cheio: incluídoPonto vazio: excluído
Para tgx≥1, π/4 e 5π/4 entram. π/2 e 3π/2 continuam excluídos, pois a tangente não existe nessas entradas.

Exemplo resolvido · Uma comparação não estrita não inclui assíntotas

Resolva tgx≥1 em [0,2π).

Resolução

  1. A referência é π/4. Em cada ramo, a região vai de π/4+kπ incluído até π/2+kπ excluído.
  2. Na primeira volta, as faixas admitidas são [π/4,π/2) e [5π/4,3π/2).

S=[π/4,π/2)∪[5π/4,3π/2).

Exemplo resolvido · Cotangente positiva

Resolva cotx>0 em [0,2π).

Resolução

  1. No ramo (0,π), a cotangente é positiva antes de seu zero π/2: (0,π/2).
  2. Repetindo por π, aparece (π,3π/2). Os inícios zero e π são exclusões do domínio; os finais são zeros e ficam fora pela comparação estrita.

S=(0,π/2)∪(π,3π/2).

28Combinar condições por interseção

Um sistema usa a mesma entrada em todas as condições. Resolva cada parte no mesmo universo e faça a interseção. A palavra ou pede união. Não confunda encontrar solução para cada condição separadamente com encontrar uma entrada que sirva para ambas.

Se=S1∩S2Sou=S1∪S2S_{\text{e}}=S_1\cap S_2\qquad{}S_{\text{ou}}=S_1\cup S_2
Se=S1∩S2Sou=S1∪S2\begin{gathered}S_{\text{e}}=S_1\cap S_2\\S_{\text{ou}}=S_1\cup S_2\end{gathered}

S₁ e S₂ são conjuntos de soluções já filtrados por seus domínios. ∩ conserva apenas entradas comuns; ∪ reúne as entradas de pelo menos um conjunto. No sistema, a mesma entrada precisa satisfazer todas as condições.

sen x ≥ 1/2 e cos x > 0cossenOπ/6π/2[π/6,π/2)
Seno pelo menos 1/2 e cosseno positivo ao mesmo tempo deixam [π/6,π/2). O ponto π/2 tem seno admitido, mas cosseno zero e é excluído.

Exemplo resolvido · Duas inequações simultâneas

Resolva senx≥1/2 e cosx>0 em [0,2π).

Resolução

  1. A primeira dá [π/6,5π/6]. A segunda dá [0,π/2)∪(3π/2,2π).
  2. A parte comum é [π/6,π/2). π/6 satisfaz ambas; π/2 falha na positividade estrita do cosseno.

S=[π/6,π/2).

sin⁡x=a, cos⁡x=b⟹a2+b2=1\sin x=a,\ \cos x=b\quad\Longrightarrow\quad a^2+b^2=1

a,b reais. A condição também é suficiente para existir um ponto (b,a) no ciclo e, portanto, uma posição angular; todas as entradas correspondentes diferem por voltas de 2π. Uma restrição adicional ao universo pode deixar nenhuma entrada dessa família. Não basta que as duas razões isoladas pertençam a [−1,1].

Exemplo resolvido · Duas equações possíveis isoladamente podem ser incompatíveis

Existe x real com senx=1/2 e cosx=1/2?

Resolução

  1. As duas razões isoladas estão em [−1,1], mas os quadrados somam 1/4+1/4=1/2, diferente de um.
  2. Não existe esse ponto no ciclo. Assim a interseção dos conjuntos de soluções é vazia.

Não: S=∅.

29Produtos: sinais e pontos isolados

Um produto é positivo quando os fatores têm o mesmo sinal e negativo quando têm sinais opostos. Se a comparação admite igualdade, examine todos os zeros. Um fator que toca zero e mantém o sinal pode gerar uma solução isolada, sem criar um intervalo positivo ao redor.

Exemplo resolvido · Sinais opostos nos quadrantes

Resolva senx cosx<0 em [0,2π).

Resolução

  1. No II quadrante, seno é positivo e cosseno negativo. No IV, seno é negativo e cosseno positivo.
  2. Nos eixos, o produto é zero e não atende a <0. Portanto as regiões são abertas.

S=(π/2,π)∪(3π/2,2π).

Um intervalo e um ponto0π/65π/6π2πPonto cheio: incluídoPonto vazio: excluído
Em (2senx−1)(cosx+1)≥0, o fator cosx+1 só zera em π nesta volta. Isso inclui π como solução isolada, além do intervalo em que o primeiro fator é não negativo.

Exemplo resolvido · O zero de um fator não deve ser perdido

Resolva (2senx−1)(cosx+1)≥0 em [0,2π).

Resolução

  1. cosx+1 é positivo em toda a volta, exceto em x=π, onde vale zero. Para x≠π, o sinal do produto é o de 2senx−1.
  2. O primeiro fator é não negativo em [π/6,5π/6]. Além disso, em π o produto é zero e deve entrar, embora o primeiro fator seja negativo.
  3. Perto de π, mas fora dele, o segundo fator volta a ser positivo e o produto é negativo: esse ponto é isolado na solução.

S=[π/6,5π/6]∪{π}.

30Quocientes: zeros, exclusões e sinais

Não multiplique uma desigualdade por um denominador sem saber seu sinal: a comparação se inverte quando ele é negativo. Uma forma segura é separar as regiões de sinais. Marque zeros do numerador e do denominador, analise o sinal em cada região e confira quais fronteiras pertencem ao domínio.

F(x)G(x)≥0  ⟺  {F(x)≥0, G(x)>0 ou {F(x)≤0, G(x)<0\frac{F(x)}{G(x)}\ge0\iff\begin{cases}F(x)\ge0,\ G(x)>0\end{cases}\ \text{ou}\ \begin{cases}F(x)\le0,\ G(x)<0\end{cases}

No domínio comum, com G(x)≠0. A desigualdade muda de sentido ao multiplicar por um denominador negativo. A solução pode incluir zeros do numerador, mas nunca do denominador. Para produto, estude igualmente os sinais de cada fator e os casos de igualdade.

(sen x − 1/2) / cos xIntervaloSinal0 < x < π/6−π/6 < x < π/2+π/2 < x < 5π/6−5π/6 < x < 3π/2+3π/2 < x < 2π−Zera: π/6 e 5π/6Exclui: π/2 e 3π/2
O quadro mostra apenas os sinais nas regiões. Os zeros do numerador e as exclusões do denominador são identificados explicitamente abaixo dele.

Exemplo resolvido · Um quociente com duas faixas admitidas

Resolva (senx−1/2)/cosx≥0 em [0,2π).

Resolução

  1. O numerador zera em π/6 e 5π/6. O denominador zera em π/2 e 3π/2; essas duas entradas são proibidas.
  2. De zero a π/6, os sinais são negativo/positivo. De π/6 a π/2, positivo/positivo. De π/2 a 5π/6, positivo/negativo.
  3. De 5π/6 a 3π/2, negativo/negativo. De 3π/2 a 2π, negativo/positivo. Logo a razão é positiva na segunda e na quarta regiões.
  4. Inclua os dois zeros do numerador e mantenha as exclusões abertas. A entrada x=0 não satisfaz a desigualdade; em x=2π o quociente também seria negativo, e essa entrada já está fora do universo.

S=[π/6,π/2)∪[5π/6,3π/2).

Exemplo resolvido · Uma recíproca não permite multiplicar sem separar sinais

Resolva secx≥2 em [0,2π).

Resolução

  1. cosx≠0. Se cosx<0, a secante é negativa e não serve. Para cosx>0, multiplicar preserva a comparação: 1≥2cosx.
  2. Portanto 0<cosx≤1/2. No I quadrante, isso dá [π/3,π/2). No IV, dá (3π/2,5π/3].

S=[π/3,π/2)∪(3π/2,5π/3].

31Resolver uma inequação algébrica antes de voltar ao ciclo

A substituição por uma razão também funciona para inequações. Resolva o problema algébrico na variável auxiliar e intersecte com sua imagem permitida antes de buscar os arcos. Se a substituição foi o quadrado de uma razão, lembre que a variável auxiliar é não negativa.

Exemplo resolvido · O conjunto algébrico deve ser limitado pela imagem

Resolva 2sen²x−senx−1≤0 em [0,2π).

Resolução

  1. u=senx dá (2u+1)(u−1)≤0, portanto −1/2≤u≤1.
  2. Como u já pertence a [−1,1], isso equivale simplesmente a senx≥−1/2.
  3. Pelo ciclo, ficam [0,7π/6] e [11π/6,2π).

S=[0,7π/6]∪[11π/6,2π).

Exemplo resolvido · Uma potência maior ainda pode virar segundo grau

Resolva (4sen²x−1)(2sen²x−1)>0 em [0,2π).

Resolução

  1. Faça u=sen²x, com 0≤u≤1. O produto (4u−1)(2u−1) é positivo para u<1/4 ou u>1/2; as raízes 1/4 e 1/2 ficam fora.
  2. O primeiro caso equivale a |senx|<1/2; o segundo a |senx|>√2/2. Cada módulo contempla sinais positivos e negativos.
  3. A primeira condição dá [0,π/6)∪(5π/6,7π/6)∪(11π/6,2π). A segunda dá (π/4,3π/4)∪(5π/4,7π/4).

S=[0,π/6)∪(π/4,3π/4)∪(5π/6,7π/6)∪(5π/4,7π/4)∪(11π/6,2π).

32Módulo: faixa central ou duas regiões externas

Módulo mede o afastamento em relação a zero. Ser no máximo a corresponde a ficar entre −a e a; ser pelo menos a corresponde a ficar em uma das duas regiões externas. Em cada caso, mantenha também o domínio da função dentro do módulo.

∣F(x)∣≤a  ⟺  −a≤F(x)≤a∣F(x)∣≥a  ⟺  F(x)≤−a ou F(x)≥a|F(x)|\le a\iff-a\le F(x)\le a\qquad{}|F(x)|\ge a\iff F(x)\le-a\ \text{ou}\ F(x)\ge a
∣F(x)∣≤a  ⟺  −a≤F(x)≤a∣F(x)∣≥a  ⟺  F(x)≤−a ou F(x)≥a\begin{gathered}|F(x)|\le a\iff-a\le F(x)\le a\\|F(x)|\ge a\iff F(x)\le-a\ \text{ou}\ F(x)\ge a\end{gathered}

a≥0, no domínio de F. Com comparações estritas, troque as fronteiras por < e >, respectivamente. Para a<0, as comparações ≤ e < são impossíveis, enquanto ≥ e > são verdadeiras em todo o domínio. Duas condições simultâneas pedem interseção; alternativas pedem união.

Exemplo resolvido · Duas faixas de seno com grande módulo

Resolva |senx|≥1/2 em [0,2π).

Resolução

  1. Precisamos de senx≥1/2 ou senx≤−1/2.
  2. A primeira faixa é [π/6,5π/6]; a segunda, [7π/6,11π/6]. As fronteiras entram.

S=[π/6,5π/6]∪[7π/6,11π/6].

Exemplo resolvido · Faixa central em ramos de tangente

Resolva |tgx|<1 em [0,2π).

Resolução

  1. A condição é −1<tgx<1. Em cada ramo crescente, isso equivale a −π/4+kπ<x<π/4+kπ.
  2. Intersectando com o universo: [0,π/4), (3π/4,5π/4) e (7π/4,2π). Nenhuma assíntota está contida nessas faixas.

S=[0,π/4)∪(3π/4,5π/4)∪(7π/4,2π).

33Usar inequações para determinar domínios

Encontrar um domínio também pode ser resolver uma inequação. Raiz quadrada real pede radicando não negativo; no denominador, a raiz precisa ser estritamente positiva. As inversas arco seno e arco cosseno exigem entrada em [−1,1]. Condições internas anteriores continuam valendo.

F(x)/G(x):F(x)/G(x)≥0, G(x)≠01/F(x):F(x)>0arcsin⁡(F(x)),arccos⁡(F(x)):−1≤F(x)≤1\begin{gathered}\sqrt{F(x)/G(x)}:\quad F(x)/G(x)\ge0,\ G(x)\ne0\\1/\sqrt{F(x)}:\quad F(x)>0\\\arcsin(F(x)),\arccos(F(x)):\quad-1\le F(x)\le1\end{gathered}

As expressões internas precisam estar definidas. Raiz no denominador exige radicando estritamente positivo; uma raiz no numerador pode aceitar zero. As condições são acumuladas, não substituem as exclusões anteriores.

Exemplo resolvido · Uma raiz de quociente

Qual é o domínio de √((senx−1/2)/cosx) dentro de [0,2π)?

Resolução

  1. A expressão interna precisa existir: cosx≠0. O radicando deve ser ≥0.
  2. É exatamente o quociente já analisado. Incluímos zeros do numerador porque raiz de zero existe, e excluímos zeros do denominador.

D=[π/6,π/2)∪[5π/6,3π/2).

Exemplo resolvido · Raiz no denominador

Determine o domínio real de 1/√(senx).

Resolução

  1. Não basta senx≥0: a raiz está no denominador e não pode valer zero. Precisamos de senx>0.
  2. Isso ocorre em 2kπ<x<π+2kπ. Os extremos ficam excluídos.

União dos intervalos (2kπ,π+2kπ), com k inteiro.

Exemplo resolvido · Domínio de uma inversa composta

Determine onde arcsin(2cosx) existe em [0,2π).

Resolução

  1. Precisamos de −1≤2cosx≤1, ou −1/2≤cosx≤1/2.
  2. No ciclo, as duas faixas são [π/3,2π/3] e [4π/3,5π/3]. A inversa admite os valores extremos −1 e 1.

D=[π/3,2π/3]∪[4π/3,5π/3].

34Parâmetros podem mudar a existência da solução

Uma letra usada como coeficiente pode representar vários problemas diferentes. Antes de dividir por ela, separe o caso zero. Ao dividir uma inequação, separe também os sinais positivo e negativo. O teste da imagem pode resolver a existência sem encontrar todos os ângulos.

Exemplo resolvido · Quando uma família de equações tem solução?

Para quais valores reais de a a equação a senx=2 admite solução real?

Resolução

  1. Se a=0, a igualdade seria 0=2, impossível. Se a≠0, ela equivale a senx=2/a.
  2. A razão deve estar em [−1,1], isto é, |2/a|≤1. Como a≠0, temos |a|>0 e |2/a|=2/|a|. Multiplicar 2/|a|≤1 por |a| preserva o sentido e dá 2≤|a|, ou |a|≥2.
  3. Com |a|=2 há uma posição por volta; com |a|>2, duas. Com |a|<2, nenhuma.

Existem soluções exatamente quando a≤−2 ou a≥2.

Exemplo resolvido · Separar o sinal antes de dividir

Resolva a senx≥a em ℝ, conforme o valor real de a.

Resolução

  1. Se a>0, dividir preserva a comparação: senx≥1, dando x=π/2+2kπ.
  2. Se a=0, a comparação é 0≥0 e vale para todo real. Se a<0, dividir inverte: senx≤1, também verdadeira em toda a reta.

Se a>0, somente os máximos do seno; se a≤0, S=ℝ.

35Instantes e duração em um modelo periódico

Num problema com tempo, a solução angular precisa ser convertida de volta para a unidade física e intersectada com o intervalo observado. Uma igualdade costuma selecionar instantes; uma desigualdade pode selecionar trechos de duração positiva. Dois instantes com a mesma altura não são o mesmo instante.

Sfıˊsico=Sexpressa˜o∩I,Δt=tf−tiS_{\text{físico}}=S_{\text{expressão}}\cap I,\qquad\Delta t=t_f-t_i

I é o intervalo físico de tempo; os índices i e f significam inicial e final. A duração de um trecho é a diferença entre o instante final e o inicial, na mesma unidade. Em vários trechos disjuntos, some as durações. Incluir ou excluir instantes isolados não altera a duração total, mas altera o conjunto-solução.

H = 10 − 8 cos(πt/12)0612182421418H ≥ 14: 8 ≤ t ≤ 16Tempo em segundos
H(t)=10−8cos(πt/12), com t em segundos e H em metros. A altura fica pelo menos 14 m de 8 s a 16 s, incluindo as fronteiras.

Exemplo resolvido · Encontrar os instantes de uma altura

Uma cabine tem H(t)=10−8cos(πt/12). Quando H=14 m em [0,24] s?

Resolução

  1. 10−8cos(πt/12)=14 equivale a cos(πt/12)=−1/2.
  2. O argumento vai de zero a 2π; as posições são 2π/3 e 4π/3. Multiplicar por 12/π dá t=8 s e t=16 s.
  3. O ciclo dura 24 s. Zero e 24 são instantes distintos, embora correspondam à mesma altura inicial; aqui ambos têm altura 2 m e não resolvem a igualdade.

A altura é 14 m em 8 s e 16 s.

Exemplo resolvido · Da desigualdade aos intervalos de tempo

Quando H≥14 m em [0,48] s e qual é a duração total?

Resolução

  1. 10−8cos(πt/12)≥14. Retirar dez e dividir por −8 inverte a comparação: cos(πt/12)≤−1/2.
  2. Em cada volta, 2π/3+2kπ≤πt/12≤4π/3+2kπ, ou 8+24k≤t≤16+24k.
  3. No intervalo observado, ficam [8,16] e [32,40] s. A duração total é (16−8)+(40−32)=16 s.

S=[8,16]∪[32,40] s; duração total 16 s.

36Uma conferência que fecha o percurso

  • Declare o universo, a unidade angular e o domínio original antes de transformar.
  • Isole a razão, identifique um padrão ou introduza uma variável auxiliar com sua imagem.
  • Use as duas famílias quando necessárias e explique o índice inteiro das voltas.
  • Preserve casos de fator zero, exceções de substituições e condições ao elevar ao quadrado.
  • Nas inequações, analise sinais e ordene as fronteiras, invertendo a comparação quando multiplicar ou dividir por número negativo.
  • Interseccione condições simultâneas, reúna alternativas, retire duplicações e filtre o universo.
  • Confira candidatos e fronteiras na expressão original. Uma conta aproximada ou um gráfico pode ajudar a detectar erros, mas não substitui o controle das famílias e do domínio.

Esta é a última aula do roteiro inicial de sete aulas de Trigonometria. O percurso agora liga razões no triângulo, ciclo, identidades, triângulos quaisquer, funções, transformações e resolução de condições. Concluir esse roteiro não significa esgotar todos os aprofundamentos; a forma trigonométrica dos números complexos continua como uma conexão futura com Álgebra.

37Agora é com você

São 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Elas combinam soluções em intervalos e gerais, domínio, fatoração, substituições, sinais e modelos periódicos. Nas discursivas, apresente os casos, as famílias e as condições antes de registrar o conjunto final.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Qual afirmação descreve corretamente uma solução de uma equação trigonométrica?

Escolha uma alternativa

38O que levar desta aula

  • Resolver é encontrar todas as entradas admitidas que tornam a condição verdadeira. Domínio e universo são filtros diferentes e ambos precisam ser respeitados.
  • Seno e cosseno iguais a níveis entre −1 e 1 usam duas famílias em geral; nos extremos elas coincidem. A inversa principal fornece uma referência, não todas as soluções.
  • k∈ℤ inclui negativos, zero e positivos. Seno/cosseno repetem por 2π e tangente por π; em graus, os incrementos correspondentes são 360° e 180°.
  • Argumentos compostos exigem desfazer a expressão inteira e transformar o intervalo ou gerar as famílias antes de filtrar. Zero e 2π podem ser entradas distintas num universo fechado.
  • Igualdade de senos permite argumentos iguais por voltas ou suplementares por voltas; cossenos permitem sinais ±; tangentes permitem diferença múltipla de π com ambas definidas.
  • Produto nulo gera alternativas. Não divida por fator que pode zerar. Famílias sobrepostas devem ser reunidas sem repetir elementos.
  • Uma substituição algébrica precisa conservar a imagem da razão. Raízes algébricas fora de [−1,1] não viram valores de seno ou cosseno.
  • Relação fundamental, arco duplo e soma em produto reduzem equações combinadas. A senx+B cosx=C admite solução, quando a combinação não é nula, exatamente se |C|≤√(A²+B²).
  • Frações mantêm denominadores não nulos após multiplicar ou cancelar. Uma expressão simplificada pode ter candidatos fora do domínio original.
  • Secante/cossecante iguais a c exigem |c|≥1 e se resolvem pela recíproca. Cotangente tem seus próprios zeros e não pode ser definida sempre por 1/tgx.
  • Potências pares e módulo pedem as duas possibilidades de sinal. Quadrar uma equação pode criar candidatos; conserve o sinal da raiz principal e confira a igualdade original.
  • Equações com inversas exigem primeiro compatibilidade com a imagem principal. A substituição t=tg(x/2) exige conferir separadamente x=π+2kπ.
  • Uma inequação seleciona arcos ou faixas. > e < excluem os pontos de igualdade; ≥ e ≤ podem incluí-los, mas nunca incluem divisões por zero.
  • Fórmulas de faixas para seno/cosseno com −1<c<1 não substituem a análise dos níveis extremos e dos níveis fora da imagem.
  • Tangente cresce por ramo e cotangente decresce por ramo. Suas assíntotas ficam abertas mesmo nas comparações não estritas.
  • E pede interseção; ou pede união. Seno e cosseno dados simultaneamente precisam satisfazer a²+b²=1, além de qualquer restrição do universo.
  • Produtos e quocientes pedem estudo de sinal. Zeros do numerador podem entrar; zeros do denominador nunca. Um fator que toca zero pode criar uma solução isolada.
  • Inequações quadráticas ou com potências maiores podem ser resolvidas por variável auxiliar, conservando a imagem e depois recuperando todos os arcos.
  • Raiz no denominador pede radicando positivo; raiz fora do denominador pode admitir zero. Inversas compostas exigem suas entradas na faixa permitida.
  • Parâmetros exigem separar zero e sinais antes de dividir. Modelos com tempo exigem converter unidades, filtrar o intervalo físico e distinguir instantes de duração.
  • As sete aulas encerram o roteiro inicial, mantendo espaço para revisão, prática e aprofundamentos posteriores.

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