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Trigonometria em triângulos quaisquer

Demonstre as leis dos senos e dos cossenos, resolva triângulos e confira os casos com nenhuma, uma ou duas possibilidades. Áreas, circunferências, aplicações e 30 questões comentadas.

ABC

1Começar pelos dados e pelos lados opostos

Um triângulo qualquer pode ser agudo, reto ou obtuso. As leis desta aula funcionam nos três casos; não precisamos inventar uma hipotenusa quando não há ângulo reto. Retomaremos as razões do triângulo retângulo, o ciclo e as relações da aula anterior. Resolver um triângulo significa determinar seus três lados e três ângulos a partir de dados suficientes e compatíveis.

No triângulo ABC, a letra minúscula a mede BC, o lado oposto ao vértice A. Analogamente b mede CA e c mede AB. As maiúsculas A, B e C também indicarão as medidas dos ângulos internos nesses vértices, conforme o contexto. Por exemplo, A é a abertura entre AB e AC, não uma medida de comprimento.

a=BC,b=CA,c=ABA+B+C=180∘=π rad\begin{gathered}a=BC,\quad b=CA,\quad c=AB\\A+B+C=180^\circ=\pi\text{ rad}\end{gathered}

ABC é um triângulo não degenerado: vértices não alinhados, lados positivos e área positiva. A, B e C também nomeiam os ângulos internos nos respectivos vértices, todos entre 0° e 180°. Use uma só unidade angular em cada soma; π rad é a mesma meia volta de 180°.

ABCabc
Cada lado acompanha seu vértice oposto: a com A, b com B, c com C. O desenho não afirma que existe um ângulo reto.

Exemplo resolvido · Correspondência antes da proporção

Se AB=9 cm e o ângulo em C mede 40°, qual é o par lado–ângulo oposto conhecido?

Resolução

  1. AB não toca o vértice C. Portanto o lado AB é c, e o par conhecido é c=9 cm com C=40°.
  2. A futura proporção usará 9/sen40°. Combinar esse lado com A ou B sem justificativa trocaria a correspondência.

O par é c=9 cm e C=40°.

Um triângulo não degenerado tem lados positivos, vértices não alinhados e área positiva. Ao reconstruir uma figura, reflexões e rotações não contam como novas soluções: contamos formatos ou medidas diferentes. Desenhos são auxiliares; aparência não substitui dados.

2Verificar existência e reconhecer o que ainda falta

∣b−c∣<a<b+c|b-c|<a<b+c

a,b,c>0, na mesma unidade. A condição equivale às três desigualdades triangulares estritas. A igualdade em qualquer extremo alinha os vértices e não forma um triângulo não degenerado.

Exemplo resolvido · A soma de dois lados precisa ultrapassar o terceiro

Os comprimentos 4, 7 e 12 podem ser lados de um triângulo? E 4, 7 e 11?

Resolução

  1. 4+7=11 é menor que 12, então a primeira lista não fecha um triângulo.
  2. Na segunda lista há igualdade 4+7=11. Os vértices ficariam alinhados, com área zero. Também não é um triângulo não degenerado.

Nenhuma das duas listas forma o triângulo exigido.

(a′,b′,c′)=λ(a,b,c)K′=λ2K(a',b',c')=\lambda(a,b,c)\qquad{}K'=\lambda^2K
(a′,b′,c′)=λ(a,b,c)K′=λ2K\begin{gathered}(a',b',c')=\lambda(a,b,c)\\K'=\lambda^2K\end{gathered}

λ, lido lambda, é um fator positivo. O apóstrofo identifica a figura ampliada ou reduzida; K e K′ são suas áreas. Ângulos se conservam; comprimentos e perímetro multiplicam por λ, áreas por λ². Só conhecer os três ângulos não fixa comprimentos.

Exemplo resolvido · Ângulos não fixam a escala

Conhecer A=30°, B=60° e C=90° determina todos os lados?

Resolução

  1. Os ângulos determinam as proporções 1:√3:2, mas não um comprimento absoluto.
  2. Os lados 2,2√3,4 e os lados 5,5√3,10 dão os mesmos ângulos. Ao ampliar por λ>0, os lados multiplicam por λ; a área, por λ².

É preciso conhecer ao menos uma medida de comprimento para fixar a escala.

Os principais conjuntos de dados são: dois ângulos e um lado; dois lados e o ângulo entre eles; três lados; ou dois lados e um ângulo oposto a um deles. Com dois ângulos e um lado, usamos ALA (ângulo–lado–ângulo) ou LAA (lado–ângulo–ângulo), conforme a posição do lado conhecido. LAL indica lado–ângulo–lado e LLL, três lados. O último conjunto, com ângulo não compreendido entre os lados conhecidos, exige cuidado com a ambiguidade.

3Construir a prova por projeções

Coloque A na origem (0,0) e B em (c,0). A coordenada de C é (b cosA,b senA), pela escala do ciclo. Escreveremos d para a coordenada horizontal e h para a vertical. O ponto H=(d,0) é o pé da altura: CH é perpendicular à reta AB. Como 0<A<180°, seu seno é positivo e h>0.

d=bcos⁡Ah=bsin⁡Ad=b\cos A\qquad{}h=b\sin A
d=bcos⁡Ah=bsin⁡A\begin{gathered}d=b\cos A\\h=b\sin A\end{gathered}

A=(0,0), B=(c,0), C=(d,h), com C acima da reta AB; 0<A<π rad, b,c>0. d é coordenada horizontal assinada e h>0 é altura. O pé da altura pode ficar fora do segmento AB. Quando d<0, o comprimento AH é |d|, não d.

ABCHb = 5c = 8h = 4d = 3
Aqui C=(3,4), b=5 e c=8. A altura é quatro e a projeção horizontal é três. O segmento BC é a hipotenusa do triângulo retângulo BCH, não necessariamente do triângulo ABC.

Se A é obtuso, cosA<0 e d fica negativo: H cai no prolongamento da base, antes de A. A coordenada assinada d ainda é b cosA, mas o comprimento AH é |d|. Se d>c, H fica além de B. A fórmula da distância BC²=(c−d)²+h² vale em todos esses casos.

ABCHb = 4c = 6120°h
A=120°, b=4 e c=6 dão d=−2 e h=2√3. O pé H fica fora de AB. O deslocamento horizontal de C até B mede oito, e BC²=8²+(2√3)²=76.

Exemplo resolvido · Altura positiva e projeção negativa

Para b=4 m e A=120°, encontre d e h.

Resolução

  1. cos120°=−1/2 e sen120°=√3/2. Logo d=4·(−1/2)=−2 m e h=4·√3/2=2√3 m.
  2. O sinal negativo informa de que lado da origem está H. A altura continua positiva e o comprimento AH mede 2 m.

d=−2 m e h=2√3 m.

4Demonstrar a lei dos cossenos

A distância entre B=(c,0) e C=(b cosA,b senA) é a. Pitágoras para suas diferenças de coordenadas fornece a²=(c−b cosA)²+(b senA)². Expandir o primeiro quadrado dá c²−2bc cosA+b²cos²A; o segundo fornece b²sen²A. Agrupando os dois termos com b² e usando sen²A+cos²A=1, obtemos a²=b²+c²−2bc cosA. A prova não exige que A seja agudo.

a2=b2+c2−2bccos⁡Ab2=a2+c2−2accos⁡Bc2=a2+b2−2abcos⁡Ca^2=b^2+c^2-2bc\cos A\qquad{}b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\qquad{}c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
a2=b2+c2−2bccos⁡Ab2=a2+c2−2accos⁡Bc2=a2+b2−2abcos⁡C\begin{gathered}a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\\c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\end{gathered}

Válida em todo triângulo não degenerado, incluindo retângulos e obtusângulos. Cada ângulo está entre os dois lados do produto e oposto ao lado isolado. Todas as medidas de lado usam a mesma unidade.

Para os outros vértices, basta repetir a mesma construção com as letras correspondentes. O padrão é: quadrado do lado oposto igual à soma dos quadrados dos lados que formam o ângulo, menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo.

Exemplo resolvido · A raiz escolhida precisa ser um comprimento

Se b=5 cm, c=8 cm e cosA=3/5, encontre a.

Resolução

  1. a²=25+64−2·5·8·(3/5)=89−48=41.
  2. Como a>0, a=√41 cm≈6,40 cm. As medidas satisfazem |8−5|<√41<8+5.

a=√41 cm≈6,40 cm.

5Calcular um lado com LAL

Conhecer dois lados positivos e o ângulo interno entre eles, estritamente de 0° a 180°, determina um único triângulo, a menos de movimentos e reflexão. A lei dos cossenos encontra o lado restante. A lei dos senos não fornece inicialmente um par oposto completo nesse conjunto de dados.

Exemplo resolvido · Ângulo agudo entre os lados

Dois lados medem 7 m e 9 m e formam 60°. Calcule o lado oposto.

Resolução

  1. O quadrado procurado é 7²+9²−2·7·9 cos60°=49+81−63=67.
  2. O lado mede √67 m≈8,19 m. O ângulo usado foi o de 60° entre os dois lados fornecidos.

O lado oposto mede √67 m≈8,19 m.

Exemplo resolvido · O cosseno negativo aumenta o quadrado

Dois lados medem 4 cm e 6 cm e formam 120°. Calcule o terceiro.

Resolução

  1. cos120°=−1/2. Assim a²=16+36−48·(−1/2)=76.
  2. O sinal de menos da fórmula permanece; multiplicar pelo cosseno negativo transforma a parcela em uma soma de 24.

O terceiro lado é √76=2√19 cm≈8,72 cm.

Exemplo resolvido · Pitágoras é um caso particular

O que ocorre com lados 9 e 12 formando 90°?

Resolução

  1. cos90°=0, então o termo de correção desaparece: a²=81+144=225.
  2. A raiz positiva é 15. Agora o lado oposto ao ângulo reto é de fato a hipotenusa.

A lei dos cossenos fornece 15, como Pitágoras.

6Calcular ângulos a partir de três lados

Primeiro confira a desigualdade triangular. Depois isole o cosseno do ângulo desejado: passar o termo 2bc cosA para o outro lado e dividir por 2bc>0 produz a fórmula abaixo.

cos⁡A=b2+c2−a22bccos⁡B=a2+c2−b22accos⁡C=a2+b2−c22ab\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\qquad{}\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\qquad{}\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
cos⁡A=b2+c2−a22bccos⁡B=a2+c2−b22accos⁡C=a2+b2−c22ab\begin{gathered}\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{gathered}

Os lados são positivos e satisfazem as desigualdades triangulares estritas. Cada cosseno fica entre −1 e 1, sem os extremos. Para obter o ângulo interno, use arccos no intervalo de 0° a 180°; não escolha automaticamente um ângulo agudo pelo seno.

arccos, chamado arco cosseno, é a operação que devolve o ângulo entre 0° e 180° com o cosseno informado. Para um triângulo não degenerado, a entrada fica estritamente entre −1 e 1. Ao caminhar pela semicircunferência superior do ciclo, a coordenada horizontal diminui de 1 para −1; por isso o cosseno nesse intervalo angular seleciona um único ângulo interno. Na calculadora, escolha DEG para resultado em graus ou RAD para radianos. A operação inversa não é 1/cosseno.

Exemplo resolvido · Reconhecer um ângulo obtuso pelo sinal

Se a=7, b=4 e c=5, calcule A.

Resolução

  1. Os lados formam triângulo: 1<7<9. cosA=(16+25−49)/(2·4·5)=−8/40=−1/5.
  2. A=arccos(−1/5)≈101,54°, em modo DEG. O cosseno negativo identifica o ângulo obtuso; escolher um agudo daria sinal errado.

A≈101,54°.

Exemplo resolvido · Resolver um triângulo com três lados

Para a=4, b=5 e c=6, determine os três ângulos.

Resolução

  1. Os lados são positivos e |6−5|<4<6+5, então existe triângulo. Pela lei dos cossenos, cosA=(5²+6²−4²)/(2·5·6)=3/4; logo A=arccos(3/4)≈41,41°.
  2. Para B, o lado oposto é b=5 e os lados do produto são a=4 e c=6: cosB=(4²+6²−5²)/(2·4·6)=9/16. Portanto B=arccos(9/16)≈55,77°.
  3. C=180°−A−B≈82,82°. Como conferência, cosC=(16+25−36)/40=1/8 fornece o mesmo valor.

A≈41,41°, B≈55,77° e C≈82,82°.

7Comparar lados e classificar o triângulo

L2<u2+v2acutaˆnguloL2=u2+v2retaˆnguloL2>u2+v2obtusaˆngulo\begin{array}{c|c}L^2<u^2+v^2&\text{acutângulo}\\L^2=u^2+v^2&\text{retângulo}\\L^2>u^2+v^2&\text{obtusângulo}\end{array}

L é o maior lado; u e v são os outros dois, todos positivos e formando triângulo. A comparação classifica o maior ângulo pela lei dos cossenos. Se ele é agudo, os demais também são; se ele é reto ou obtuso, nenhum outro pode sê-lo.

a>b  ⟺  A>Ba>b\iff A>B

No mesmo triângulo não degenerado. O símbolo ⇔ significa equivalência: uma condição vale exatamente quando a outra vale. Lados iguais têm ângulos opostos iguais. Não se conclui que o lado é proporcional à medida do ângulo; a proporcionalidade correta usa seus senos.

Para justificar a comparação de lados, subtraia as fórmulas dos cossenos com denominador comum: cosA−cosB=[a(b²+c²−a²)−b(a²+c²−b²)]/(2abc). O numerador é (b−a)(a²+2ab+b²−c²), então cosA−cosB=(b−a)((a+b)²−c²)/(2abc). Como a+b>c e abc>0, todos os fatores além de b−a são positivos. O cosseno diminui entre 0° e 180°: a>b implica cosA<cosB e A>B, e o caminho inverso também vale. Assim o maior lado se opõe ao maior ângulo, mesmo quando um deles é obtuso.

Exemplo resolvido · Comparar com o maior lado correto

Classifique o triângulo de lados 4, 6 e 7.

Resolução

  1. O maior lado é 7. Compare 49 com 16+36=52: 49<52, então o maior ângulo é agudo e o triângulo é acutângulo.
  2. Comparar apenas o lado quatro com os outros não bastaria para classificar o triângulo inteiro.

O triângulo é acutângulo.

Exemplo resolvido · Lados não são proporcionais aos ângulos

Num triângulo de ângulos 30°,60°,90°, o lado oposto a 60° é o dobro do oposto a 30°?

Resolução

  1. A lei dos senos, demonstrada adiante, usa os senos: sen60°/sen30°=√3, e não dois.
  2. Os ângulos estão na razão 2:1, mas os lados correspondentes estão na razão √3:1. A ordem é preservada; a proporção das medidas angulares não.

Não: a razão dos lados é √3.

8Demonstrar e usar a área com seno

A área de um triângulo é base vezes altura dividido por dois. Com base AB=c e altura h=b senA, temos K=bc senA/2. K nomeará a área, para não confundi-la com o ângulo A. A altura cai na reta da base, mesmo se estiver fora do segmento; o seno do ângulo interno é positivo também quando o ângulo é obtuso.

K=bcsin⁡A2K=casin⁡B2K=absin⁡C2K=\frac{bc\sin A}{2}\qquad{}K=\frac{ca\sin B}{2}\qquad{}K=\frac{ab\sin C}{2}
K=bcsin⁡A2K=casin⁡B2K=absin⁡C2\begin{gathered}K=\frac{bc\sin A}{2}\\K=\frac{ca\sin B}{2}\\K=\frac{ab\sin C}{2}\end{gathered}

K>0 representa a área, em unidades quadradas. O ângulo precisa estar entre os dois lados escolhidos e ser interno, de 0° a 180°. Seu seno é positivo, inclusive no caso obtuso. A fórmula vem de base vezes altura dividido por dois.

Exemplo resolvido · Escolher o ângulo entre os lados

Dois lados medem 10 cm e 14 cm e formam 30°. Calcule a área.

Resolução

  1. K=(10·14·sen30°)/2=(140·1/2)/2=35 cm².
  2. As unidades são quadradas. Se o ângulo de 30° fosse oposto a um dos lados dados, esta substituição direta não estaria justificada.

K=35 cm².

Exemplo resolvido · Uma área positiva para ângulo obtuso

Com b=4 m, c=6 m e A=120°, determine a área e confira pela altura.

Resolução

  1. K=4·6·(√3/2)/2=6√3 m².
  2. A altura relativa a c é 4sen120°=2√3 m; base seis vezes essa altura dividido por dois confirma 6√3 m².

K=6√3 m²≈10,39 m².

9Demonstrar a lei dos senos para qualquer triângulo

As três expressões da mesma área são 2K=bc senA=ca senB=ab senC. Como abc>0, dividir cada expressão por abc fornece senA/a=senB/b=senC/c. Os ângulos internos têm seno positivo; podemos inverter todas as razões e obter a outra forma da lei. Essa demonstração vale também quando alguma altura cai no prolongamento.

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡Csin⁡Aa=sin⁡Bb=sin⁡Cc\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}\qquad{}\frac{\sin A}a=\frac{\sin B}b=\frac{\sin C}c
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡Csin⁡Aa=sin⁡Bb=sin⁡Cc\begin{gathered}\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}\\\frac{\sin A}a=\frac{\sin B}b=\frac{\sin C}c\end{gathered}

Triângulo não degenerado. Cada lado acompanha o seno do ângulo oposto, não do ângulo adjacente. Lados e senos dos ângulos internos são positivos, permitindo inverter as proporções. Não se usa a medida do ângulo no lugar de seu seno.

Também podemos enxergar a igualdade por uma altura: a altura relativa à base c vale b senA e a senB. Se A ou B for obtuso, o triângulo retângulo auxiliar usa seu suplemento, cujo seno é igual ao do ângulo original. Em um ângulo reto, seno é um; a lei continua válida.

Exemplo resolvido · Usar um par oposto completo

A=30°, B=45° e a=6 cm. Encontre b.

Resolução

  1. A razão conhecida é a/senA=6/(1/2)=12 cm. Portanto b=12sen45°=6√2 cm.
  2. B é maior que A e b é maior que a, como esperado. A razão comum tem unidade de comprimento, pois os senos são adimensionais.

b=6√2 cm.

10Resolver com dois ângulos e um lado

Dois ângulos positivos cuja soma é menor que 180° determinam o terceiro. Com um lado positivo, a escala fica fixada e existe uma única solução. Se os ângulos somarem 180° ou mais, não resta um terceiro ângulo positivo.

C=180∘−A−Bb=asin⁡Bsin⁡A,c=asin⁡Csin⁡A\begin{gathered}C=180^\circ-A-B\\b=\frac{a\sin B}{\sin A},\quad c=\frac{a\sin C}{\sin A}\end{gathered}

a>0, A>0, B>0 e A+B<180°. O lado a é oposto a A. Se o lado conhecido for outro, primeiro identifique seu ângulo oposto. ALA e LAA significam dois ângulos e um lado; AAA, apenas três ângulos, fixa semelhança e não a escala.

Exemplo resolvido · Um caso com valores exatos

Se A=30°, B=60° e a=5 m, resolva o triângulo.

Resolução

  1. C=180°−30°−60°=90°. A razão comum a/senA=10 m.
  2. b=10sen60°=5√3 m e c=10sen90°=10 m. Os ângulos e três lados agora estão determinados.

C=90°, b=5√3 m e c=10 m.

Exemplo resolvido · Quando o lado conhecido está entre os ângulos dados

A=45°, B=75° e AB=c=12 cm. Encontre C e o lado a.

Resolução

  1. C=60°. O par oposto completo é c=12 com C=60°, mesmo que o lado c esteja entre A e B no desenho.
  2. a=12sen45°/sen60°=12(√2/2)/(√3/2)=4√6 cm≈9,80 cm. O seno de 75° não é necessário para essa pergunta.

C=60° e a=4√6 cm≈9,80 cm.

11O que a calculadora de seno ainda não decidiu

No intervalo interno de 0° a 180°, dois ângulos suplementares têm o mesmo seno. A operação arcsin, chamada arco seno, devolve o resultado principal entre −90° e 90°; para entrada positiva ele está entre 0° e 90°. Para resolver um triângulo, também precisamos examinar seu suplemento. Escrever sin⁻¹ na calculadora pode indicar essa operação inversa; não é a cossecante 1/sen.

A=arccos⁡q,−1<q<1B0=arcsin⁡k,0<k≤1B1=180∘−B0\begin{gathered}A=\arccos q,\quad -1<q<1\\B_0=\arcsin k,\quad0<k\le1\\B_1=180^\circ-B_0\end{gathered}

Aqui q é um cosseno dado e k um seno positivo dado. arccos fornece o único ângulo entre 0° e 180° com aquele cosseno. arcsin fornece B₀ entre 0° e 90°; o suplemento B₁ tem o mesmo seno. Se k=1, os dois candidatos coincidem. Filtre os candidatos pela soma dos ângulos. A notação não é recíproco; em radianos, use π−B₀.

Exemplo resolvido · Dois candidatos para o mesmo seno

Se senB=3/5 e B é interno, quais são as possibilidades antes de conferir os outros ângulos?

Resolução

  1. B₀=arcsin(3/5)≈36,87°. O suplemento é B₁=180°−B₀≈143,13°.
  2. Ambos são internos e têm seno 3/5. Se A também for conhecido, será necessário exigir A+B<180° para cada candidato.

Os candidatos são aproximadamente 36,87° e 143,13°.

Exemplo resolvido · O seno pode esconder o ângulo obtuso de um LLL

Em um triângulo de lados conhecidos, sabemos que cosA=−1/5. Por que não escolher o agudo obtido a partir do seno?

Resolução

  1. O cosseno negativo exige A>90°. O seno é positivo tanto no ângulo obtuso quanto no seu suplemento agudo.
  2. A operação arccos seleciona diretamente A≈101,54°. Se usar arcsin para outro ângulo, confira qual candidato é compatível com os lados e a soma dos ângulos.

O sinal do cosseno conserva a informação de que o ângulo é obtuso.

12Entender a circunferência que passa pelos três vértices

Circunferência circunscrita é a que passa por A, B e C. Seu centro, chamado circuncentro, é a interseção das mediatrizes: retas perpendiculares aos lados em seus pontos médios. Cada mediatriz reúne pontos equidistantes das extremidades do lado; a interseção fica à mesma distância dos três vértices. Como os vértices não são colineares, existe um único centro, que chamaremos O, e um raio R>0.

Um ângulo inscrito tem vértice na circunferência e lados nas duas cordas que ligam suas extremidades. Sua medida é metade da medida angular do arco interceptado que não contém o vértice. Vamos justificar primeiro o caso em que um de seus lados está no diâmetro AE, com E oposto a A. Se θ, lido teta, é o ângulo BAE, então o triângulo AOB tem OA=OB e dois ângulos da base iguais a θ. Assim AOB mede 180°−2θ, e BOE, seu suplemento, mede 2θ. O arco BE que não contém A tem essa medida central, duas vezes a medida inscrita.

Para o ângulo geral BAC, trace o mesmo diâmetro AE. Se ele ficar dentro da abertura, BAC é a soma das partes BAE e EAC, e o arco BC é a soma dos respectivos arcos. Se ficar fora, as duas medidas são obtidas por subtração; se coincidir com um lado, já temos o primeiro caso. Em todos, o arco interceptado mede o dobro do ângulo inscrito. Isso inclui o arco maior que uma semicircunferência quando o ângulo inscrito é obtuso.

Por isso, ângulos inscritos que veem a mesma corda do mesmo lado são iguais; de lados opostos são suplementares. Um ângulo que vê um diâmetro mede 90°. Essa relação é entre medidas angulares de arcos, não entre graus e comprimento de arco.

ABCDOR = 5
BD é diâmetro e C está na circunferência, então o ângulo BCD é reto. Neste desenho, A e D ficam do mesmo lado da corda BC e os ângulos BAC e BDC são iguais. O raio mede cinco e o diâmetro dez.

13Provar a lei dos senos estendida

Para a corda BC=a, tome D na outra extremidade do diâmetro que começa em B. Se C não é D, o triângulo BCD é retângulo em C. O ângulo BDC tem medida A ou 180°−A, conforme o lado da corda em que os vértices estão; seu seno é senA nos dois casos. Logo senA=BC/BD=a/(2R). Se C=D, a própria corda é o diâmetro e A=90°, dando a mesma igualdade. Repetir para as outras cordas demonstra a forma estendida.

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R

R>0 é o raio da única circunferência que passa pelos três vértices. A razão comum é o diâmetro 2R, e não R. O centro pode estar dentro, sobre um lado ou fora do triângulo; a relação vale nos três casos.

R=a2sin⁡AR=\frac a{2\sin A}

a>0 e 0<A<π rad são lado e ângulo opostos de um triângulo. R tem a unidade do lado. Trocar a por b ou c exige trocar também o ângulo correspondente.

a=2Rsin⁡A≤2Ra=2R\sin A\le2R

R>0. A igualdade a=2R ocorre exatamente quando A=90°; nesse caso a é a hipotenusa e um diâmetro da circunferência circunscrita. Com R e a fornecidos, a>2R é impossível.

Exemplo resolvido · Não esquecer o fator dois

Um lado de 8 cm é oposto a 45°. Determine R.

Resolução

  1. 2R=8/sen45°=8/(√2/2)=8√2 cm. Dividir por dois dá R=4√2 cm.
  2. A razão da lei dos senos é o diâmetro; responder 8√2 como raio dobraria a medida correta.

R=4√2 cm.

Exemplo resolvido · Um mesmo raio e uma corda não escolhem sempre um ângulo

Se R=6 m e a=6 m, quais são os possíveis valores de A? E se a=13 m?

Resolução

  1. senA=a/(2R)=1/2. Sem uma condição adicional, A pode ser 30° ou 150°; ambos aparecem como ângulos inscritos para essa corda em lados opostos.
  2. Se a=13 m, o lado ultrapassaria o diâmetro 12 m. Isso exigiria seno 13/12 e é impossível.

Para a=6 m, A=30° ou 150°; para a=13 m, não existe triângulo.

Exemplo resolvido · Caso equilátero e conferência de escala

Um triângulo equilátero tem lado 6 cm. Calcule o raio circunscrito.

Resolução

  1. Os ângulos são 60°, então R=6/(2sen60°)=6/√3=2√3 cm.
  2. Se os lados forem duplicados, a mesma expressão duplica R; a área é que quadruplica.

R=2√3 cm.

14Relacionar área, lados, alturas e raio

A lei estendida dá senA=a/(2R). Substituindo na área K=bc senA/2, obtemos K=abc/(4R). Podemos inverter para encontrar o raio quando a área e os lados forem conhecidos. A área também determina cada altura pela fórmula da base e altura.

K=abc4RK=\frac{abc}{4R}

a,b,c são lados de um triângulo não degenerado e R>0 é seu raio circunscrito. Substituir sinA=a/(2R) na área bc sinA/2 demonstra a relação. Equivalentemente, R=abc/(4K), com K>0.

ha=2Kahb=2Kbhc=2Kch_a=\frac{2K}{a}\qquad{}h_b=\frac{2K}{b}\qquad{}h_c=\frac{2K}{c}
ha=2Kahb=2Kbhc=2Kc\begin{gathered}h_a=\frac{2K}{a}\\h_b=\frac{2K}{b}\\h_c=\frac{2K}{c}\end{gathered}

Cada índice identifica o lado usado como base. K>0 é a área comum e os lados são positivos, na mesma unidade. Altura é distância à reta que contém a base; pode cair no prolongamento. A altura relativa a a também é c sinB=b sinC.

Exemplo resolvido · Conferir um triângulo retângulo por outro caminho

Um triângulo tem lados 6,8,10 cm e área 24 cm². Calcule R e a altura relativa ao lado dez.

Resolução

  1. R=(6·8·10)/(4·24)=5 cm. Isso é metade da hipotenusa dez, como previsto pelo diâmetro.
  2. A altura relativa ao lado dez é 2K/10=48/10=4,8 cm. Altura e raio correspondem a segmentos diferentes, embora ambos sejam comprimentos.

R=5 cm e altura 4,8 cm.

15Analisar dois lados e um ângulo oposto

Suponha que A, a e b sejam conhecidos, com a oposto a A. Esse é o conjunto que pode ser ambíguo: o ângulo conhecido não está entre os dois lados dados. Pela lei dos senos, calcule k=b senA/a, o valor que deverá ser senB. Como a,b>0 e 0<A<180°, temos k>0; compare o resultado com um antes de usar a calculadora.

k=bsin⁡Aa=sin⁡Bk=\frac{b\sin A}{a}=\sin B

Dados a,b>0 e 0<A<180°, sendo a oposto ao ângulo conhecido A. k>1 impede triângulo. Se 0<k≤1, gere B₀ e 180°−B₀ e retenha apenas os distintos que satisfazem A+B<180°. k≤1 sozinho não garante existência.

  • Se k>1, nenhum triângulo satisfaz os dados.
  • Se 0<k<1, gere B₀=arcsin k e B₁=180°−B₀.
  • Se k=1, há um único candidato B=90°, ainda sujeito à soma dos ângulos.
  • Para cada candidato, exija C=180°−A−B>0. Descarte candidatos com C zero ou negativo.
  • Calcule c=a senC/senA em cada caso aceito. Não combine ângulos de uma solução com lados de outra.

Exemplo resolvido · Um valor de seno acima de um encerra a tentativa

A=30°, a=3 cm e b=8 cm. Existe triângulo?

Resolução

  1. senB=8sen30°/3=4/3>1. Nenhum ângulo real tem esse seno.
  2. Não é um erro da calculadora a corrigir por arredondamento: os dados exatos são incompatíveis.

Não existe triângulo.

Exemplo resolvido · Seno possível não garante terceiro ângulo positivo

A=120° e a=b=8 cm. Analise os candidatos.

Resolução

  1. senB=sen120°=√3/2. Os candidatos internos são B=60° e B=120°.
  2. Com B=60°, C=0°; com B=120°, C=−60°. Nenhum é um terceiro ângulo interno positivo.

Não existe triângulo, embora o seno calculado esteja entre zero e um.

16Enxergar nenhuma, uma ou duas possibilidades

Fixe A na origem, a semirreta AB horizontal positiva e C=(b cosA,b senA). O vértice B precisa estar nessa semirreta e a distância BC precisa ser a. Portanto procuramos as interseções de uma circunferência de centro C e raio a com a semirreta. A distância perpendicular de C à reta é h=b senA.

h=bsin⁡A,0<A<90∘a<h0a=h1h<a<b2a≥b1\begin{gathered}h=b\sin A,\quad0<A<90^\circ\\\begin{array}{c|c}a<h&0\\a=h&1\\h<a<b&2\\a\ge b&1\end{array}\end{gathered}

a,b>0 e a é oposto a A. O número à direita conta triângulos não congruentes, sem contar reflexões como novos casos. Para a=h, B=90°. Para a=b, a segunda posição alinha os vértices e é descartada. A tabela exige A agudo; não a aplique a A obtuso.

ACb = 830°B₁B₂Ha = 5h = 4
A=30°, b=8 e a=5. A altura é quatro. A circunferência de raio cinco corta a semirreta em dois pontos B₁ e B₂, que fornecem dois terceiros lados e dois triângulos não congruentes.

Exemplo resolvido · Comparar o lado com a altura e com o outro lado

Mantenha A=30° e b=8. Quantos triângulos existem para a=3, a=4 e a=5?

Resolução

  1. h=8sen30°=4. Para a=3<h, a circunferência não alcança a reta: nenhuma solução.
  2. Para a=4=h, ela é tangente à reta: uma solução, com B=90°.
  3. Para h<a=5<b=8, há duas interseções na semirreta e duas soluções.

Respectivamente: zero, um e dois triângulos.

ACb = 830°B = Ha = h = 4
Na fronteira a=h=4, o ponto B coincide com H e o ângulo em B é reto. A tangência fornece uma solução, não duas soluções iguais contadas separadamente.

Exemplo resolvido · O limite a=b descarta uma posição degenerada

Com A=30° e a=b=8, quantos triângulos existem?

Resolução

  1. senB=1/2 fornece B=30° ou 150°. O segundo daria A+B=180° e C=0°.
  2. Resta B=30°, C=120° e c=8sen120°/sen30°=8√3. Quando a>b, a interseção que ficaria atrás de A também é descartada, restando uma.

Um triângulo: B=30°, C=120° e c=8√3.

17Separar o caso de ângulo conhecido reto ou obtuso

A tabela anterior exigia A agudo. Se A é reto ou obtuso, o lado a oposto a ele precisa ser maior que b, pois se opõe ao maior ângulo. Na construção por interseção, a circunferência só alcança um ponto da semirreta quando a>b. Com a≤b, nenhuma interseção útil tem terceiro lado positivo.

90∘≤A<180∘a≤b0a>b1\begin{gathered}90^\circ\le A<180^\circ\\\begin{array}{c|c}a\le b&0\\a>b&1\end{array}\end{gathered}

a,b>0, com a oposto a A. O lado oposto ao ângulo reto ou obtuso precisa ser estritamente maior que b. No caso reto, a é hipotenusa; a=b produziria terceiro lado zero. A condição a>b é também suficiente neste conjunto de dados.

Exemplo resolvido · Um ângulo obtuso com solução única

A=120°, a=12 cm e b=4√3 cm. Resolva os outros ângulos e c.

Resolução

  1. senB=(4√3)(√3/2)/12=1/2. Os candidatos são 30° e 150°.
  2. B=150° é incompatível com A=120°. Resta B=30° e C=30°.
  3. c=12sen30°/sen120°=4√3 cm. O lado a=12 é maior que os outros, como precisa ser.

B=C=30° e c=4√3 cm.

Exemplo resolvido · O ângulo reto também exige desigualdade estrita

Se A=90°, a=10 m e b=6 m, encontre c. O que ocorreria com a=b?

Resolução

  1. a é a hipotenusa, então c=√(100−36)=8 m. Há uma única solução.
  2. Se a=b, Pitágoras daria c=0. Isso não constitui um triângulo não degenerado.

c=8 m; com a=b não existe triângulo.

18Calcular e conferir as duas soluções completas

Para verificar a ambiguidade por álgebra, escreva a lei dos cossenos como uma equação em c: c²−2b cosA·c+(b²−a²)=0. Pela fórmula do segundo grau, c=b cosA±√(b²cos²A−b²+a²). Usar cos²A=1−sen²A transforma o radicando em a²−b²sen²A. Só raízes reais e positivas são lados.

c=bcos⁡A±a2−b2sin⁡2Ac=b\cos A\pm\sqrt{a^2-b^2\sin^2 A}

Dados a,b>0 e 0<A<180°. A lei dos cossenos produz uma equação do segundo grau em c. O radicando precisa ser não negativo, cada raiz aceita precisa ser positiva, e raízes iguais contam uma vez. Uma raiz zero ou negativa não é lado. O teste algébrico concorda com a filtragem dos ângulos.

Exemplo resolvido · Uma situação com dois triângulos distintos

Resolva A=30°, a=5 cm e b=8 cm.

Resolução

  1. senB=8·(1/2)/5=4/5. Os candidatos são B₀≈53,13° e B₁≈126,87°. Ambos permitem C>0.
  2. Primeira solução: B≈53,13° e C=180°−30°−B≈96,87°. A lei dos senos dá c=5senC/sen30°=10senC≈9,93 cm.
  3. Segunda solução: B≈126,87° e C≈23,13°. Usando esse novo C na mesma expressão, c=10senC≈3,93 cm. Mantemos mais casas nos ângulos até arredondar os lados.
  4. Pela equação em c, b cosA=4√3 e o radicando é 25−64·1/4=9. Logo os valores exatos são c=4√3+3 e c=4√3−3, respectivamente.
  5. Conferindo a lei dos cossenos: cada raiz satisfaz c²−8√3c+39=0, que equivale a 25=64+c²−8√3c. Não escolhemos uma única solução sem um dado adicional.

Duas soluções: (B,C,c)≈(53,13°,96,87°,9,93 cm) e (126,87°,23,13°,3,93 cm).

Exemplo resolvido · Radicando não negativo não basta

Por que A=120° e a=b=8 continuam sem solução na fórmula das raízes?

Resolução

  1. b cosA=−4 e a²−b²sen²A=64−48=16. As raízes são −4+4=0 e −4−4=−8.
  2. As duas são reais, mas nenhuma é positiva. A raiz zero é degenerada e a negativa não é comprimento.

A filtragem de raízes confirma que não há triângulo.

19Conferir áreas quando há mais de uma figura

Exemplo resolvido · Cada solução precisa da própria área

Calcule as áreas dos dois triângulos de A=30°, a=5 e b=8.

Resolução

  1. A área usa os lados que formam A: K=bc senA/2=8c·(1/2)/2=2c.
  2. Para c=4√3+3, K=8√3+6≈19,86. Para c=4√3−3, K=8√3−6≈7,86.
  3. Usar a=5 e b=8 com senA seria incorreto, pois o ângulo A está entre b e c, não entre a e b.

As áreas são 8√3+6 e 8√3−6 unidades de área.

0<K=bcsin⁡A2≤bc20<K=\frac{bc\sin A}{2}\le\frac{bc}{2}

b,c>0 fixos e 0<A<180°. O máximo bc/2 ocorre em A=90°. Uma área estritamente entre zero e esse máximo fornece dois ângulos suplementares para os mesmos lados, em geral com terceiros lados diferentes.

Exemplo resolvido · A área sozinha também pode deixar dois ângulos

Dois lados fixos medem 4 e 10 cm, e a área é 10 cm². Determine o ângulo entre eles.

Resolução

  1. 10=(4·10·senA)/2 fornece senA=1/2. Logo A=30° ou A=150°.
  2. Ambos têm a mesma área, mas o terceiro lado satisfaz a²=116−80cosA. Isso dá 116−40√3 ou 116+40√3, portanto os triângulos são distintos.
  3. A área máxima para esses lados seria 20 cm², em A=90°. Uma área de 21 cm² seria incompatível.

Dois ângulos possíveis, 30° e 150°, com terceiros lados diferentes.

20Escolher o método e controlar aproximações

  • Dois ângulos e um lado: determine o terceiro ângulo e use a lei dos senos.
  • Dois lados e o ângulo entre eles: comece pela lei dos cossenos; para área, use o seno do ângulo compreendido.
  • Três lados: confira existência e use a lei dos cossenos para ângulos.
  • Dois lados e ângulo oposto: calcule o seno, examine os suplementos e conte todas as soluções.
  • Lado e raio circunscrito: use a lei estendida, conferindo a possibilidade de dois ângulos.
  • Três lados e área desejada: Heron, demonstrada na próxima seção, evita calcular antes um ângulo.

Mantenha raízes e razões exatas até o fim quando possível. Em resultados decimais, guarde mais casas durante as contas e arredonde só a resposta. Se os dados são exatos e o seno calculado supera um, não o force a um. Se a diferença vem apenas de arredondar medidas intermediárias, refaça a conta com mais precisão antes de decidir a existência.

Exemplo resolvido · Conferir o conjunto das respostas

Uma resolução com A=30°, B≈126,87° e c≈9,93 usa dados da mesma solução do caso a=5,b=8?

Resolução

  1. Não. O ângulo B≈126,87° exige C≈23,13° e c≈3,93. O lado 9,93 pertence à outra solução.
  2. De fato, a/senA=5/sen30°=10, enquanto c/senC≈9,93/sen23,13°≈25,28. As razões deveriam coincidir; essa substituição revela a mistura de soluções.

É preciso manter cada conjunto de ângulos e lados junto.

21Demonstrar a área de Heron pelos três lados

Quando sabemos os três lados, podemos eliminar o ângulo da fórmula da área. Chamaremos s=(a+b+c)/2 de semiperímetro, a metade do perímetro. De K=bc senA/2, segue 16K²=4b²c²sen²A. Usar sen²A=1−cos²A e substituir cosA=(b²+c²−a²)/(2bc) dá a diferença de quadrados abaixo.

16K2=4b2c2−(b2+c2−a2)2=(a2−(b−c)2)((b+c)2−a2)=16s(s−a)(s−b)(s−c)\begin{gathered}16K^2=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\=\bigl(a^2-(b-c)^2\bigr)\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)\\=16s(s-a)(s-b)(s-c)\end{gathered}

s=(a+b+c)/2 é o semiperímetro. No triângulo não degenerado, substitua o cosseno fornecido pela lei dos cossenos em 16K²=4b²c² sin²A. A diferença de quadrados produz quatro fatores lineares; cada um corresponde a duas vezes um dos fatores do semiperímetro.

A primeira diferença fatora como [2bc−(b²+c²−a²)][2bc+(b²+c²−a²)]. As parcelas entre colchetes são a²−(b−c)² e (b+c)²−a². Fatorando novamente, obtemos (a−b+c)(a+b−c)(b+c−a)(a+b+c).

Com esse semiperímetro, a+b+c=2s, b+c−a=2(s−a), a+c−b=2(s−b) e a+b−c=2(s−c). O produto tem um fator 16; dividir por ele fornece K²=s(s−a)(s−b)(s−c). Os fatores são positivos pelas desigualdades triangulares; tirar a raiz positiva prova Heron.

s=a+b+c2K=s(s−a)(s−b)(s−c)\begin{gathered}s=\frac{a+b+c}{2}\\K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{gathered}

s é o semiperímetro, metade da soma dos lados; não é um seno. a,b,c>0 satisfazem as desigualdades triangulares estritas, então os quatro fatores são positivos. A raiz é a positiva porque K é área. Uma lista degenerada não passa a ser triângulo por fornecer área zero na expressão.

22Calcular área e altura com os três lados

Exemplo resolvido · Semiperímetro e unidades quadradas

Um triângulo tem lados 13,14,15 cm. Calcule sua área e a altura relativa ao lado 14.

Resolução

  1. A lista satisfaz a desigualdade triangular. O semiperímetro é s=42/2=21 cm.
  2. As diferenças são s−13=8, s−14=7 e s−15=6. Substituindo em Heron, K=√(21·8·7·6)=√7056=84 cm².
  3. A altura pedida é 2K/14=168/14=12 cm. O semiperímetro é comprimento, mas os quatro fatores sob a raiz produzem unidade à quarta potência; a raiz fornece área.

Área 84 cm² e altura 12 cm.

Exemplo resolvido · Confirmar Heron por um isósceles

Para lados 5,5,6 m, calcule a área de dois modos.

Resolução

  1. s=8 m, então Heron dá K=√(8·3·3·2)=12 m².
  2. A altura do isósceles divide a base seis em duas partes três. Pitágoras dá altura √(25−9)=4 m e área 6·4/2=12 m².

Os dois caminhos fornecem 12 m².

Aplicar a expressão a lados 4,7,11 produziria zero, mas a desigualdade triangular estrita falhou. A fórmula não transforma vértices alinhados em um triângulo válido. Se um fator aparecer negativo, confira primeiro a compatibilidade dos dados.

23Distinguir o raio inscrito do circunscrito

A circunferência inscrita toca os três lados por dentro do triângulo. Seu centro, o incentro, é a interseção das bissetrizes internas: retas que dividem os ângulos em partes iguais. Um ponto de uma bissetriz fica à mesma distância das duas retas dos lados; a interseção fica à mesma distância r>0 dos três lados. Ligar esse centro aos vértices divide a figura em três triângulos de bases a,b,c e altura r.

K=rsK=rs

r>0 é o raio da circunferência inscrita, tangente aos três lados, e s=(a+b+c)/2. Ligar seu centro aos vértices divide o triângulo em três áreas com altura r: ar/2+br/2+cr/2=rs. r não é o raio circunscrito R.

Exemplo resolvido · Duas circunferências, dois raios

Para lados 13,14,15 cm e área 84 cm², encontre r e R.

Resolução

  1. s=21 cm. Da área K=rs, temos r=84/21=4 cm.
  2. R=abc/(4K)=13·14·15/(4·84)=65/8 cm=8,125 cm.
  3. r mede a distância do incentro aos lados; R mede a distância do circuncentro aos vértices. Não são a mesma construção.

r=4 cm e R=65/8 cm.

24Usar cossenos para encontrar uma mediana

Uma mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Seja M o ponto médio de BC e escreva m=AM durante a prova; o índice a na fórmula final identificará o lado BC. Nos triângulos ABM e ACM, as bases BM e CM medem a/2 e os ângulos em M são suplementares. A lei dos cossenos dá c²=m²+a²/4−am cosθ e b²=m²+a²/4+am cosθ, onde θ é o ângulo AMB. Somar cancela os cossenos: b²+c²=2m²+a²/2. Isolar m² e tomar a raiz positiva produz a fórmula.

ma=122b2+2c2−a2m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}

m com índice a mede AM, onde M é o ponto médio de BC. a,b,c são lados do mesmo triângulo não degenerado. A expressão sob a raiz é positiva. Somar as leis dos cossenos nos dois triângulos de bases a/2 cancela os termos de cossenos suplementares.

Exemplo resolvido · Mediana não é automaticamente altura

Se a=6 cm, b=5 cm e c=7 cm, calcule a mediana relativa a a.

Resolução

  1. Na fórmula da mediana, o lado que é dividido ao meio é a=6: m com índice a vale √(2·5²+2·7²−6²)/2=√112/2=2√7 cm.
  2. A condição de ponto médio foi usada, não uma condição de perpendicularidade. Como b≠c, essa mediana não é a altura relativa à base a.

A mediana mede 2√7 cm≈5,29 cm.

25Reencontrar a bissetriz pelas áreas

Se AD é a bissetriz interna do ângulo A e D está em BC, os triângulos ABD e ACD têm alturas iguais relativas à reta BC. A razão de suas áreas é BD/DC. Pela fórmula com seno, as mesmas áreas são AB·AD·sen(A/2)/2 e AC·AD·sen(A/2)/2. Como AD>0 e sen(A/2)>0, cancelar o fator comum fornece a razão AB/AC.

BDDC=ABAC=cb\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac cb

D pertence ao interior de BC e AD divide o ângulo A em duas partes iguais. Os segmentos BD e DC são positivos e somam a. As áreas ABD e ACD têm a mesma altura relativa à reta BC; o seno dos ângulos iguais em A permite comparar suas áreas também pelos lados AB e AC.

Exemplo resolvido · Dividir o lado na razão dos lados adjacentes

Se AB=9 cm, AC=6 cm e BC=10 cm, determine BD e DC para a bissetriz interna AD.

Resolução

  1. BD/DC=9/6=3/2. Escreva BD=3t e DC=2t, com t>0.
  2. Como BD+DC=10, temos 5t=10 e t=2. Assim BD=6 cm e DC=4 cm.

BD=6 cm e DC=4 cm.

26Calcular diagonais por triângulos auxiliares

Num paralelogramo de lados adjacentes u e v e ângulo θ, uma diagonal une as extremidades desses dois lados; a outra une o vértice comum ao oposto. A primeira usa θ na lei dos cossenos. A segunda forma um triângulo com o suplemento 180°−θ, cujo cosseno tem sinal oposto. Chamaremos p a diagonal do vértice comum ao oposto e q a outra.

p2=u2+v2+2uvcos⁡θq2=u2+v2−2uvcos⁡θp^2=u^2+v^2+2uv\cos\theta\qquad{}q^2=u^2+v^2-2uv\cos\theta
p2=u2+v2+2uvcos⁡θq2=u2+v2−2uvcos⁡θ\begin{gathered}p^2=u^2+v^2+2uv\cos\theta\\q^2=u^2+v^2-2uv\cos\theta\end{gathered}

u,v>0 são lados adjacentes e 0<θ<180° é o ângulo entre eles. p liga o vértice escolhido ao oposto; q liga as extremidades dos dois lados. O primeiro triângulo usa o suplemento de θ. Não se presume p maior que q; isso depende do sinal do cosseno.

OUVW4460°pq
Neste desenho, os lados medem quatro e o ângulo em O é 60°. p é OW=4√3 e q é UV=4. O triângulo que calcula p usa o suplemento de 60°, enquanto q usa 60°.

Exemplo resolvido · Duas diagonais com sinais diferentes na fórmula

Lados adjacentes medem 4 m e 6 m, com ângulo de 60°. Determine p e q.

Resolução

  1. p²=16+36+2·4·6·(1/2)=76, logo p=2√19 m.
  2. q²=16+36−24=28, logo q=2√7 m.
  3. A soma p²+q²=104 é igual a 2(16+36). Se o ângulo fosse obtuso, os papéis de diagonal maior e menor se inverteriam.

p=2√19 m e q=2√7 m.

27Medir uma distância inacessível a partir de uma base

Triangulação significa reconstruir distâncias a partir de uma base medida e de ângulos de visada. Considere estações C=(0,0) e D=(d,0) e alvo P acima da reta CD, todos no mesmo plano. β, lido beta, é o ângulo em C e α, lido alfa, o ângulo em D. A abertura no alvo é 180°−α−β; seu seno é sen(α+β). A lei dos senos encontra CP. Se H é o pé da perpendicular de P à reta CD, a projeção vertical fornece a altura h=PH=CP senβ.

CP=dsin⁡αsin⁡(α+β)h=dsin⁡αsin⁡βsin⁡(α+β)CP=\frac{d\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\qquad{}h=\frac{d\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}
CP=dsin⁡αsin⁡(α+β)h=dsin⁡αsin⁡βsin⁡(α+β)\begin{gathered}CP=\frac{d\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\\h=\frac{d\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\end{gathered}

C=(0,0) e D=(d,0) são estações numa base horizontal; d>0. P está acima da reta CD no mesmo plano de medição, com ângulos internos α no vértice D e β no vértice C. α e β, lidos alfa e beta, são positivos e somam menos de 180°; h é a distância de P à reta CD. A expressão de CP usa o ângulo oposto α; a altura usa CP sinβ. As visadas são modeladas por segmentos no mesmo plano.

CDPH60 m45°60°h
CD=60 m, β=45° em C e α=60° em D. O alvo forma 75° em P. A altura PH é aproximadamente 38,04 m e CP aproximadamente 53,79 m.

Exemplo resolvido · Distinguir distância da visada e distância à base

As estações C,D estão a 60 m, com ângulos de 45° em C e 60° em D. Encontre CP e a altura do alvo em relação à reta CD.

Resolução

  1. O ângulo em P é 75°. Portanto CP=60sen60°/sen75°≈53,7945 m. O seno de 75° pode ser calculado em modo DEG, mantendo casas intermediárias.
  2. h=CP sen45°≈38,0385 m. Arredondando no final: CP≈53,79 m e h≈38,04 m.
  3. CP é a distância inclinada da estação ao alvo; h é a distância perpendicular à base. As fórmulas pressupõem visadas coplanares e a base de referência descrita.

CP≈53,79 m e h≈38,04 m.

28Separar mudança de rumo de ângulo interno

Ao percorrer dois trechos sucessivos, o giro é medido em relação à continuação do primeiro. O lado que volta ao ponto de partida tem a direção oposta, por isso o ângulo interno do triângulo é 180° menos o giro. φ, lido fi, indicará o módulo dessa mudança de rumo. A distância entre partida e chegada é um segmento, enquanto o percurso soma os trechos.

d2=u2+v2+2uvcos⁡φd^2=u^2+v^2+2uv\cos\varphi

u,v>0 são os comprimentos dos trechos; φ, lido fi, é a mudança de rumo medida da continuação do primeiro trecho para o segundo, com 0<φ<180°. O ângulo interno do triângulo é 180°−φ. d é a distância direta da partida à chegada, não o percurso u+v. Giros para esquerda ou direita com o mesmo módulo dão a mesma distância.

AVP6 km3 km120°60°d
Depois de AV=6 km, o trajeto gira 60° a partir da continuação de AV e segue VP=3 km. O ângulo AVP é 120°. A distância AP é 3√7 km, enquanto o percurso mede nove quilômetros.

Exemplo resolvido · Um giro de 60° produz ângulo interno de 120°

Um trajeto segue 6 km em linha reta, gira 60° e segue mais 3 km. Qual é a distância direta entre partida e chegada?

Resolução

  1. O ângulo interno no ponto da mudança é 120°. Logo d²=36+9−2·6·3 cos120°=45+18=63.
  2. d=3√7 km≈7,94 km. O percurso total foi 9 km; são medidas de caminhos diferentes.

Distância direta 3√7 km≈7,94 km.

Exemplo resolvido · Duas direções a partir da mesma origem são outro modelo

Se dois pontos estão a 6 km e 3 km da mesma origem, com 60° entre as duas direções, a separação também é 3√7?

Resolução

  1. Agora o ângulo de 60° já é interno e os lados seis e três partem do mesmo vértice.
  2. A separação ao quadrado é 36+9−36cos60°=27, portanto a distância é 3√3 km≈5,20 km.

Não: neste modelo a distância é 3√3 km.

29Conferir condições e parâmetros antes de concluir

Um parâmetro é uma letra que representa um número a determinar ou variar. As condições de existência precisam acompanhar suas contas. Lados positivos, desigualdades triangulares estritas, ângulos internos positivos e seno/cosseno dentro de seus intervalos são verificações complementares, não alternativas entre si.

Exemplo resolvido · O intervalo de um lado variável é aberto

Um triângulo tem lados 4,7,x. Quais valores de x são possíveis? Confira x=8.

Resolução

  1. A desigualdade exige |7−4|<x<7+4, isto é, 3<x<11. Os extremos são excluídos por degeneração.
  2. x=8 é admitido. O ângulo oposto a x tem cosseno (16+49−64)/56=1/56, entre −1 e 1.

3<x<11; x=8 produz um triângulo válido.

Exemplo resolvido · Uma resposta também precisa fazer sentido na figura

Uma conta fornece A=120° e lados a=5,b=9. Pode ser uma solução correta?

Resolução

  1. A é obtuso e se opõe a a. Então a deveria ser o maior lado, mas 5<9. Há incompatibilidade.
  2. Refaça a correspondência entre lados e ângulos e a filtragem de candidatos; arredondamento pequeno não explica essa troca de ordem.

Não: o lado oposto ao ângulo obtuso não pode ser menor que b.

30Agora é com você

O banco tem 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Ele cobre notação, existência, métodos, leis, áreas, raios, casos ambíguos e aplicações. Nas discursivas, conserve cada solução completa, declare as condições e confira as medidas antes de comparar com a resolução.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Na notação ABC, com a=BC, b=CA e c=AB, qual ângulo deve acompanhar o lado AB na lei dos senos?

Escolha uma alternativa

31O que levar desta aula

  • a=BC, b=CA e c=AB acompanham A,B,C opostos. Ângulos internos somam 180° e os lados satisfazem desigualdades triangulares estritas.
  • AAA determina semelhança, não escala. Um fator λ>0 multiplica comprimentos e raio por λ e áreas por λ².
  • Projeção assinada d=bcosA e altura h=bsenA explicam a prova, inclusive com o pé da altura fora do segmento. Comprimento é módulo da projeção quando ela é negativa.
  • A lei dos cossenos é a²=b²+c²−2bccosA e suas permutações. O ângulo deve estar entre os lados do produto. Em 90° ela se reduz a Pitágoras.
  • LAL determina um triângulo; LLL exige antes existência pelos lados. arccos escolhe o ângulo interno correto e conserva a informação de cosseno negativo.
  • O maior lado se opõe ao maior ângulo. Comparar o quadrado do maior lado com a soma dos outros dois quadrados classifica o triângulo.
  • K=bc senA/2 usa dois lados e seu ângulo compreendido. Seno de ângulo interno é positivo, mesmo quando o ângulo é obtuso.
  • A lei dos senos compara lado com seno do ângulo oposto. Ela vem de igualar as expressões da área e vale para todos os triângulos não degenerados.
  • Dois ângulos e um lado permitem obter o terceiro ângulo e fixam os lados. A soma dos dois ângulos precisa ser menor que 180°.
  • Ângulos suplementares têm o mesmo seno. arcsin devolve apenas um principal; examine o suplemento e exija terceiro ângulo positivo.
  • A circunferência circunscrita passa pelos vértices. Ângulos inscritos veem metade do arco interceptado; em um diâmetro, o ângulo inscrito é reto.
  • A razão comum a/senA=b/senB=c/senC é 2R, o diâmetro circunscrito. Um lado não ultrapassa 2R; igualdade significa ângulo oposto reto.
  • K=abc/(4R)K=abc/(4R) e ha=2K/ah_a=2K/a conectam área, raio e alturas. Os índices identificam as bases correspondentes.
  • No caso A,a,b, comece com k=bsenA/a. k>1 impede triângulo; k≤1 ainda exige conferir A+B<180° para todos os candidatos distintos.
  • Com A agudo e h=bsenA: a<h dá zero, a=h dá um, h<a<b dá dois e a≥b dá um. Com A reto ou obtuso: a>b dá um e a≤b dá zero.
  • A equação em c fornece bcosA±√(a²−b²sen²A). Aceite apenas raízes reais positivas, contando uma raiz dupla uma vez. Não misture lados e ângulos de soluções diferentes.
  • Com dois lados fixos, a área máxima é bc/2 em ângulo reto. Áreas intermediárias permitem dois ângulos suplementares, geralmente com terceiros lados distintos.
  • Heron usa s=(a+b+c)/2 e K=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), depois de verificar existência. Raio inscrito usa K=rs e não deve ser confundido com R.
  • Mediana liga ao ponto médio; bissetriz divide o ângulo e o lado na razão dos lados adjacentes. Nenhuma delas é automaticamente altura num triângulo qualquer.
  • Diagonais, triangulação e trajetos exigem identificar os triângulos e seus ângulos internos. Mudança de rumo e ângulo interno podem ser suplementares. Distância direta não é percurso total.
  • Use DEG ou RAD conforme a unidade, mantenha precisão intermediária e confira lados, ângulos, áreas e condições ao final.

A próxima aula será Funções trigonométricas: construiremos domínio, imagem e gráficos antes de analisar períodos, transformações e inversas.

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