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Transformações trigonométricas

Demonstre as fórmulas de adição, subtração, arco duplo, arco metade e somas e produtos. Aprenda a transformar expressões preservando sinais e condições, com 30 questões comentadas.

1Transformar uma expressão sem mudar seu valor

Transformar significa escrever o mesmo valor de outra maneira. Na aula anterior mudamos parâmetros de gráficos; aqui relacionaremos funções de argumentos diferentes: por exemplo, o seno de uma soma com senos e cossenos de suas parcelas. A escolha da escrita pode revelar um valor exato, um fator ou uma condição que estava escondida.

Usaremos o ciclo, a relação sen²x+cos²x=1, paridade, funções e operações algébricas das aulas anteriores. Vamos retomar cada recurso necessário antes das novas fórmulas. α se lê alfa, β beta, θ teta e φ fi; são nomes de medidas angulares, não constantes obrigatórias.

sin⁡2x=(sin⁡x)2sin⁡(2x)=sin⁡(x+x)\sin^2x=(\sin x)^2\qquad{}\sin(2x)=\sin(x+x)
sin⁡2x=(sin⁡x)2sin⁡(2x)=sin⁡(x+x)\begin{gathered}\sin^2x=(\sin x)^2\\\sin(2x)=\sin(x+x)\end{gathered}

x é uma medida angular. O dois fora, como expoente, eleva o valor ao quadrado; dentro, multiplica o argumento. α (alfa), β (beta), θ (teta), u e v representarão medidas angulares reais. Some medidas na mesma unidade. Sem °, a unidade adotada é radiano.

Exemplo resolvido · A função não distribui uma soma

Podemos calcular sen(30°+30°) somando os dois senos?

Resolução

  1. O seno do argumento somado é sen60°=√3/2.
  2. A soma dos valores é sen30°+sen30°=1. Como √3/2≠1, a distributividade sugerida é falsa.

Precisamos de uma identidade própria para o seno da soma.

Exemplo resolvido · Expoente e argumento

Compare sen²30° e sen(2·30°).

Resolução

  1. sen²30°=(1/2)²=1/4. Primeiro calculamos a razão, depois seu quadrado.
  2. sen(2·30°)=sen60°=√3/2. Agora dobramos o argumento antes de aplicar a função.

São operações diferentes, com resultados diferentes.

2Uma demonstração que funciona para todo arco

No ciclo de raio um, tome P=(cosα,senα) e Q=(cosβ,senβ). Uma corda é o segmento que une dois pontos da circunferência. Seu comprimento PQ pode ser calculado por Pitágoras: a diferença horizontal e a diferença vertical são os catetos. Trabalhar com o quadrado da distância evita carregar uma raiz.

Corda entre dois argumentosxyOPQα − βP: 110° Q: 25°
P está em α=110° e Q em β=25°. A diferença orientada é 85°; as coordenadas e a corda correspondem a esses valores.

Temos PQ²=(cosα−cosβ)²+(senα−senβ)². Ao desenvolver os quadrados, aparecem cos²α+sen²α e cos²β+sen²β, ambos iguais a um. Restam 2−2cosαcosβ−2senαsenβ.

Agora gire toda a figura por −β em torno da origem. Rotações conservam comprimentos e subtraem β dos argumentos: Q passa a Q′=(1,0) e P a P′=(cos(α−β),sen(α−β)). A mesma conta dá P′Q′²=(cos(α−β)−1)²+sen²(α−β)=2−2cos(α−β).

Após girar por −βxyOP′Q′α − βP′: 85° Q′: 0°
Após girar −25°, os argumentos passam a 85° e zero. A corda mantém seu comprimento; a demonstração não pressupõe as fórmulas de soma.
P=(cos⁡α,sin⁡α),Q=(cos⁡β,sin⁡β)PQ2=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)PQ2=2−2cos⁡(α−β)\begin{gathered}P=(\cos\alpha,\sin\alpha),\quad Q=(\cos\beta,\sin\beta)\\PQ^2=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\PQ^2=2-2\cos(\alpha-\beta)\end{gathered}

P e Q pertencem ao ciclo de raio um. PQ é a distância, não um produto de pontos. A primeira igualdade vem da distância por coordenadas e da relação fundamental; a segunda, da rotação que leva Q a (1,0) e P ao argumento α−β. Funciona inclusive para pontos coincidentes e arcos negativos ou com voltas extras.

Iguale os quadrados das duas distâncias, retire dois de ambos os lados e divida por −2. O resultado é cos(α−β)=cosαcosβ+senαsenβ. O raciocínio usa pontos do ciclo e rotação, por isso cobre também argumentos negativos, eixos, voltas extras e pontos coincidentes; não depende de um triângulo agudo no desenho.

3Aplicar o cosseno da diferença

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

α e β são reais, na mesma unidade angular. Não há denominador nem exclusão. O sinal entre os dois produtos é positivo para uma diferença de argumentos.

Exemplo resolvido · Uma diferença de ângulos conhecidos

Calcule cos15° por 45°−30°.

Resolução

  1. cos(45°−30°)=cos45°cos30°+sen45°sen30°.
  2. Substituindo: (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4.

cos15°=(√6+√2)/4.

Exemplo resolvido · A ordem do cosseno da diferença

Quanto vale cos(30°−45°)?

Resolução

  1. A expressão é cos(−15°). Como o cosseno é par, ela vale cos15°.
  2. A fórmula também dá os mesmos produtos, apenas trocados de ordem. A diferença de argumentos muda de sinal, mas seu cosseno não.

O mesmo valor (√6+√2)/4.

4Deduzir o cosseno da soma

Escreva α+β=α−(−β) na fórmula anterior. Cosseno é par: cos(−β)=cosβ. Seno é ímpar: sen(−β)=−senβ. Assim o segundo produto troca de sinal. Não estamos supondo uma regra nova; estamos aplicando uma identidade já demonstrada.

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

α e β reais. Obtida substituindo β por −β no cosseno da diferença, com cosseno par e seno ímpar. O sinal entre os produtos é negativo; cosseno de uma soma não é soma de cossenos.

Exemplo resolvido · O sinal muda entre os produtos

Calcule cos75° por 45°+30°.

Resolução

  1. cos75°=cos45°cos30°−sen45°sen30°=(√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2).
  2. Portanto cos75°=(√6−√2)/4. O resultado é positivo, de acordo com o I quadrante.

cos75°=(√6−√2)/4.

Exemplo resolvido · Uma soma em outro quadrante

Calcule cos105° por 60°+45°.

Resolução

  1. cos105°=cos60°cos45°−sen60°sen45°=(1/2)(√2/2)−(√3/2)(√2/2).
  2. O resultado é (√2−√6)/4, negativo no II quadrante.

cos105°=(√2−√6)/4.

5Deduzir e usar o seno da soma

Pelas simetrias do ciclo, senz=cos(π/2−z) em radianos. Faça z=α+β. Então sen(α+β)=cos((π/2−α)−β). A fórmula do cosseno da diferença produz cos(π/2−α)cosβ+sen(π/2−α)senβ. Substitua os complementares por senα e cosα, respectivamente.

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

α e β reais. Os produtos são mistos: seno de um argumento vezes cosseno do outro. A identidade vale em todos os quadrantes e eixos, não apenas para ângulos agudos.

Exemplo resolvido · Duas parcelas conhecidas

Calcule sen75° usando 45°+30°.

Resolução

  1. sen75°=sen45°cos30°+cos45°sen30°.
  2. Substitua as razões: (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4.

sen75°=(√6+√2)/4.

Exemplo resolvido · A fórmula inclui os eixos

Encontre sen(π/2+β).

Resolução

  1. sen(π/2+β)=sen(π/2)cosβ+cos(π/2)senβ.
  2. Como sen(π/2)=1 e cos(π/2)=0, o resultado é cosβ para todo β real.

sen(π/2+β)=cosβ.

6Seno da diferença e ordem dos argumentos

Troque β por −β na fórmula do seno da soma. O cosseno da parcela negativa fica igual e seu seno troca de sinal. Assim a subtração aparece entre os produtos mistos.

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

α e β reais. Preserve a ordem da subtração: trocar α por β inverte o sinal do seno da diferença. O cosseno da diferença, por sua vez, é par no argumento e não muda com essa troca.

Exemplo resolvido · Um valor exato pequeno

Calcule sen15° por 45°−30°.

Resolução

  1. sen15°=sen45°cos30°−cos45°sen30°=(√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2).
  2. Isso dá (√6−√2)/4. Não é a diferença √2/2−1/2 entre os dois senos.

sen15°=(√6−√2)/4.

Exemplo resolvido · Inverter a subtração troca o sinal

Calcule sen(30°−45°).

Resolução

  1. Agora o argumento é −15°. A fórmula fornece (1/2)(√2/2)−(√3/2)(√2/2).
  2. O resultado (√2−√6)/4 é o oposto de sen15°, como exige a imparidade.

sen(−15°)=−sen15°.

7Calcular com razões dadas e quadrantes

Não precisamos conhecer a medida numérica dos dois arcos. Se faltam razões, use a relação fundamental e escolha o sinal pelo quadrante antes de substituir. O quadrante da soma não é a soma dos números dos quadrantes: ele é conferido pelas razões obtidas.

Exemplo resolvido · Recuperar as razões que faltam

α está no II quadrante e senα=3/5. β está no IV quadrante e cosβ=12/13. Calcule seno e cosseno da soma.

Resolução

  1. cos²α=1−9/25=16/25. Como α está no II quadrante, cosα=−4/5. Para β no IV quadrante, senβ=−√(1−(12/13)²)=−√(25/169)=−5/13.
  2. sen(α+β)=(3/5)(12/13)+(−4/5)(−5/13)=56/65.
  3. cos(α+β)=(−4/5)(12/13)−(3/5)(−5/13)=−33/65.
  4. A soma tem seno positivo e cosseno negativo, portanto seu ponto está no II quadrante. A conferência 56²+33²=65² confirma a relação fundamental.

sen(α+β)=56/65 e cos(α+β)=−33/65.

Exemplo resolvido · A diferença usa os mesmos dados com outros sinais

Calcule sen(α−β) e cos(α−β) com os dados anteriores.

Resolução

  1. sen(α−β)=senαcosβ−cosαsenβ=(3/5)(12/13)−(−4/5)(−5/13)=(36−20)/65=16/65.
  2. cos(α−β)=cosαcosβ+senαsenβ=(−4/5)(12/13)+(3/5)(−5/13)=(−48−15)/65=−63/65. Novamente 16²+63²=65². Trocar soma por diferença mudou os valores.

sen(α−β)=16/65 e cos(α−β)=−63/65.

8Tangente: dedução e três condições

Comece por tg(α+β)=sen(α+β)/cos(α+β), que exige cos(α+β)≠0. Substitua as duas fórmulas demonstradas. Se cosα e cosβ também são diferentes de zero, divida numerador e denominador por cosαcosβ: no numerador surgem tgα+tgβ; no denominador, 1−tgαtgβ. A diferença é deduzida trocando β por −β.

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

Exige cosα≠0, cosβ≠0 e cos(α+β)≠0. As duas primeiras condições permitem usar tanα e tanβ; sob elas, a terceira equivale a 1−tanα·tanβ≠0. Se uma tangente individual não existe, a tangente da soma ainda pode existir, mas esta forma não pode ser usada; volte a seno/cosseno.

tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

Exige cosα≠0, cosβ≠0 e cos(α−β)≠0. Com as duas tangentes individuais definidas, a última condição equivale a 1+tanα·tanβ≠0. Não transforme divisão por zero em infinito como valor de uma função real.

Exemplo resolvido · Tangente de uma soma

Calcule tg75° por 45°+30°.

Resolução

  1. As duas tangentes existem e 1−1/√3≠0. Assim tg75°=(1+1/√3)/(1−1/√3)=(√3+1)/(√3−1).
  2. Multiplique numerador e denominador por √3+1: (4+2√3)/2=2+√3.

tg75°=2+√3.

Exemplo resolvido · Tangente de uma diferença

Calcule tg15° por 45°−30°.

Resolução

  1. tg45° e tg30° existem e 1+tg45°tg30°=1+1/√3≠0. Assim tg15°=(1−1/√3)/(1+1/√3)=(√3−1)/(√3+1).
  2. Racionalizando com √3−1, obtemos (4−2√3)/2=2−√3.

tg15°=2−√3.

Exemplo resolvido · A soma pode existir sem uma tangente individual

Como calcular tg(π/2+π/4)?

Resolução

  1. A tangente de π/2 não existe, então a forma que usa as duas tangentes não pode ser aplicada.
  2. A soma é 3π/4. Por seno e cosseno, tg(3π/4)=(√2/2)/(−√2/2)=−1. O problema era a forma escolhida, não a existência do resultado.

O valor é −1; use o quociente seno/cosseno.

Exemplo resolvido · Um denominador zero é uma exclusão

O que acontece na tentativa de calcular tg(π/4+π/4)?

Resolução

  1. As tangentes individuais valem um. O denominador 1−1·1 é zero.
  2. A soma é π/2, cujo cosseno é zero. A tangente não existe; não atribuímos infinito como saída real.

Não existe tangente real nessa entrada.

9Demonstrar uma identidade no domínio correto

Uma identidade vale para todas as entradas de seu domínio declarado. Uma equação, por sua vez, pede quais entradas tornam uma igualdade verdadeira. Para provar uma identidade, transforme uma expressão por igualdades justificadas; não comece supondo justamente o que deseja provar. Testar números pode detectar erro, mas não prova uma afirmação para todos os reais.

Exemplo resolvido · Somar duas expansões

Demonstre sen(x+a)+sen(x−a)=2senx cosa.

Resolução

  1. A primeira expansão é senx cosa+cosx sena; a segunda, senx cosa−cosx sena.
  2. Ao somar, os termos cosx sena se anulam e sobram dois termos senx cosa. Todas as etapas valem para x e a reais.

A identidade é válida sem exclusões.

Exemplo resolvido · Uma divisão exige condição

Simplifique [cos(x−a)−cos(x+a)]/(2sena).

Resolução

  1. O numerador é (cosx cosa+senx sena)−(cosx cosa−senx sena)=2senx sena.
  2. Podemos cancelar 2sena somente se sena≠0, condição já exigida pela expressão original. O resultado é senx nesse domínio.

senx, preservando sena≠0.

10Aplicar as fórmulas à rotação de pontos

Uma rotação gira um ponto mantendo sua distância à origem. Para um ponto diferente da origem, escreva x=r cosθ e y=r senθ, onde r=√(x²+y²)>0 e θ indica sua direção. Girar β dá X=r cos(θ+β) e Y=r sen(θ+β). Expandir e substituir r cosθ por x e r senθ por y fornece as expressões abaixo. Para a origem, ambas dão zero e continuam válidas.

X=xcos⁡β−ysin⁡βY=xsin⁡β+ycos⁡βX=x\cos\beta-y\sin\beta\qquad{}Y=x\sin\beta+y\cos\beta
X=xcos⁡β−ysin⁡βY=xsin⁡β+ycos⁡β\begin{gathered}X=x\cos\beta-y\sin\beta\\Y=x\sin\beta+y\cos\beta\end{gathered}

(x,y) é o ponto inicial e (X,Y) o ponto após girar de β em torno da origem. β positivo gira no sentido anti-horário; negativo, horário. A origem permanece fixa. A rotação conserva distâncias à origem e ângulos entre segmentos girados juntos.

Rotação de um pontoxyOVW60°V = (3,1)|OV| = |OW| = √10
V=(3,1) gira 60° no sentido anti-horário até W. A marca corresponde ao ângulo entre os dois raios, cujos comprimentos são iguais.

Exemplo resolvido · Calcular novas coordenadas

Gire o ponto (3,1) por 60° em torno da origem.

Resolução

  1. X=3cos60°−sen60°=3/2−√3/2=(3−√3)/2.
  2. Y=3sen60°+cos60°=(3√3+1)/2.
  3. O quadrado da distância final é [(3−√3)²+(3√3+1)²]/4=40/4=10, igual a 3²+1².

W=((3−√3)/2,(3√3+1)/2).

Exemplo resolvido · Conferir um quarto de volta

O que acontece ao girar (x,y) por π/2?

Resolução

  1. cos(π/2)=0 e sen(π/2)=1. Portanto X=−y e Y=x.
  2. O resultado (−y,x) coincide com o giro de um quarto de volta já estudado no ciclo.

(x,y) passa a (−y,x).

11Reunir seno e cosseno em uma senoide

Uma combinação linear A senx+B cosx é uma soma com pesos constantes A e B. Quando os argumentos são iguais, ela pode ser escrita como uma única senoide. Procure R sen(x+φ). A expansão é R cosφ senx+R senφ cosx: precisamos de R cosφ=A e R senφ=B. Somando os quadrados dessas duas relações, obtemos R²=A²+B² e escolhemos R positivo.

Asin⁡x+Bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)R=A2+B2,cos⁡φ=A/R,sin⁡φ=B/R\begin{gathered}A\sin x+B\cos x=R\sin(x+\varphi)\\R=\sqrt{A^2+B^2},\quad\cos\varphi=A/R,\quad\sin\varphi=B/R\end{gathered}

A e B são constantes reais, não ambas nulas; R>0 e φ, lido fi, é um ângulo com as coordenadas indicadas. Sua posição no ciclo depende dos sinais de A e B, incluindo os eixos quando um deles é zero; só conhecer tanφ não basta para escolhê-lo. A imagem é [−R,R] em domínio real, e com argumento x o período fundamental é 2π. Se A=B=0, a regra é constante zero e φ não é determinado.

A = 3, B = 4, R = 5xyOCφ345cos φ = 3/5; sen φ = 4/5
No caso A=3 e B=4, um triângulo 3–4–5 determina cosφ=3/5 e senφ=4/5. O valor R=5 mede a amplitude da combinação.

Exemplo resolvido · Amplitude não é a soma dos coeficientes

Reescreva 3senx+4cosx e encontre sua imagem em ℝ.

Resolução

  1. R=√(9+16)=5. Escolha φ no I quadrante, com cosφ=3/5 e senφ=4/5; uma escolha é φ=arctan(4/3).
  2. Então 3senx+4cosx=5sen(x+φ), cuja imagem é [−5,5]. A amplitude é cinco, não sete.

5sen(x+φ), com imagem [−5,5].

Exemplo resolvido · O quadrante da fase também importa

Como muda a escolha para −3senx+4cosx?

Resolução

  1. Ainda R=5, mas cosφ=−3/5 e senφ=4/5 exigem o II quadrante.
  2. Podemos tomar φ=π−arctan(4/3). Usar somente arctan(−4/3), que cai no IV quadrante, daria os sinais opostos.

A amplitude continua cinco; a fase muda para o II quadrante.

Se A=B=0, a função é zero em toda a reta e não há fase determinada nem período fundamental. Quando A e B não são ambos zero e o argumento comum é bx+c, com b≠0, a mesma combinação atua nesse argumento e o período da senoide resultante é 2π/|b|. Com argumentos diferentes, não se aplica automaticamente a amplitude √(A²+B²).

12Arco duplo: somar um argumento consigo mesmo

Faça α=β=x na fórmula do seno da soma. Os dois produtos ficam iguais e se somam: sen(2x)=senx cosx+cosx senx. A leitura é duplicar o arco, e não duplicar a coordenada vertical do ciclo.

sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x)=2\sin x\cos x

x real. Vem de somar x consigo mesmo. Não confundir com 2sin x. O argumento pode ser uma expressão inteira, como x+π/6; nesse caso o duplo é 2x+π/3.

Um arco e seu duploxyOPQθ2θθ = 35°; 2θ = 70°
O exemplo θ=35° e 2θ=70° mostra dois pontos do ciclo; a ordenada do segundo não é o dobro da ordenada do primeiro.

Exemplo resolvido · Um arco duplo com sinal negativo

Se senx=3/5 e x está no II quadrante, calcule sen(2x).

Resolução

  1. Pela relação fundamental e pelo quadrante, cosx=−4/5.
  2. sen(2x)=2(3/5)(−4/5)=−24/25. O resultado negativo não contradiz o seno positivo do arco original.

sen(2x)=−24/25.

Exemplo resolvido · O argumento pode ser uma expressão

Transforme 2sen(x+π/6)cos(x+π/6).

Resolução

  1. Chame u=x+π/6. A expressão é 2senu cosu=sen(2u).
  2. Ao dobrar u inteiro, obtemos 2x+π/3; não apenas 2x+π/6.

sen(2x+π/3), para todo x real.

13Escolher entre três formas equivalentes

Faça α=β=x no cosseno da soma: cos(2x)=cos²x−sen²x. Substituir cos²x por 1−sen²x dá 1−2sen²x. Substituir sen²x por 1−cos²x dá 2cos²x−1. Nenhuma passagem dividiu por uma função, então não surgiram exclusões.

cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2xcos⁡(2x)=1−2sin⁡2xcos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\qquad{}\cos(2x)=1-2\sin^2x\qquad{}\cos(2x)=2\cos^2x-1
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2xcos⁡(2x)=1−2sin⁡2xcos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\begin{gathered}\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\\\cos(2x)=1-2\sin^2x\\\cos(2x)=2\cos^2x-1\end{gathered}

x real, sem exclusões. A primeira forma vem da soma; as outras usam sin²x+cos²x=1. Escolha a escrita que usa a razão conhecida ou cria o fator desejado.

Exemplo resolvido · Usar somente a razão conhecida

Se senx=3/5, determine cos(2x) sem saber o quadrante.

Resolução

  1. A forma 1−2sen²x depende só do quadrado do seno dado.
  2. cos(2x)=1−2(9/25)=7/25. O quadrante de x não muda esse resultado.

cos(2x)=7/25.

Exemplo resolvido · Outra escolha evita uma raiz

Se cosx=1/3, calcule cos(2x).

Resolução

  1. Use 2cos²x−1, sem precisar recuperar senx.
  2. cos(2x)=2/9−1=−7/9.

cos(2x)=−7/9.

14Arco duplo da tangente e limites da escrita

Divida sen(2x) por cos(2x). Quando cosx≠0, dividir numerador e denominador por cos²x produz 2tgx/(1−tg²x). Além de tgx existir, o denominador final precisa ser diferente de zero.

tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}

Exige cosx≠0 e cos(2x)≠0; com tanx definido, a segunda condição equivale a tan²x≠1. A forma sin(2x)/cos(2x) não exige a existência de tanx e pode calcular entradas que esta escrita exclui.

Exemplo resolvido · Um valor racional

Se tgx=−3/4, quanto vale tg(2x)?

Resolução

  1. 1−tg²x=1−9/16=7/16≠0.
  2. tg(2x)=2tgx/(1−tg²x)=2(−3/4)/(7/16)=−24/7.

tg(2x)=−24/7.

Exemplo resolvido · A forma escolhida pode excluir uma entrada válida

É possível calcular tg(2x) em x=π/2?

Resolução

  1. tgx não existe em π/2, então a forma com tgx não é admitida.
  2. Mas 2x=π e tgπ=0. A forma por seno e cosseno calcula zero sem introduzir tgx.

tg(2x)=0 nessa entrada, embora a fórmula em tgx não possa ser usada.

Se tgx=1 ou −1, o denominador da fórmula é zero e cos(2x)=0: nesse caso a própria tangente do duplo não existe. Sempre distinga uma restrição da forma auxiliar de uma exclusão da expressão original.

15Transformar quadrados em arcos duplos

Isole sen²x em cos(2x)=1−2sen²x e cos²x em cos(2x)=2cos²x−1. O quociente dessas duas expressões fornece tg²x onde cosx≠0. Chamamos isso de redução de potência: trocar uma potência por uma expressão de outros argumentos. Não é reduzir o arco ao primeiro quadrante.

sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2tan⁡2x=1−cos⁡(2x)1+cos⁡(2x)\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2\qquad{}\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2\qquad{}\tan^2x=\frac{1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}
sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2tan⁡2x=1−cos⁡(2x)1+cos⁡(2x)\begin{gathered}\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2\\\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2\\\tan^2x=\frac{1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}\end{gathered}

As duas primeiras valem para todo x real. A terceira exige cosx≠0, equivalente a 1+cos(2x)≠0. Redução de potência é uma reescrita, não uma aproximação e não a redução de um arco ao primeiro quadrante.

Exemplo resolvido · Reduzir o quadrado de uma função composta

Reescreva sen²(3x).

Resolução

  1. A fórmula tem argumento u=3x. Portanto o cosseno à direita recebe 2u=6x.
  2. sen²(3x)=(1−cos6x)/2, com igualdade para todo real x.

(1−cos6x)/2.

Exemplo resolvido · A tangente mantém seu domínio

Use a redução para calcular tg²(π/6).

Resolução

  1. cos(2·π/6)=cos(π/3)=1/2. O denominador 1+1/2 é não nulo.
  2. tg²(π/6)=(1−1/2)/(1+1/2)=1/3, concordando com (1/√3)².

1/3.

16Continuar a redução em potências maiores

Para sen⁴x, eleve [(1−cos2x)/2] ao quadrado: [1−2cos2x+cos²2x]/4. Substitua cos²2x por (1+cos4x)/2 e reúna as parcelas. Para cos⁴x o termo intermediário tem sinal positivo. Somar as duas formas cancela os termos em cos2x.

sin⁡4x=3−4cos⁡(2x)+cos⁡(4x)8cos⁡4x=3+4cos⁡(2x)+cos⁡(4x)8sin⁡4x+cos⁡4x=3+cos⁡(4x)4\sin^4x=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}8\qquad{}\cos^4x=\frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}8\qquad{}\sin^4x+\cos^4x=\frac{3+\cos(4x)}4
sin⁡4x=3−4cos⁡(2x)+cos⁡(4x)8cos⁡4x=3+4cos⁡(2x)+cos⁡(4x)8sin⁡4x+cos⁡4x=3+cos⁡(4x)4\begin{gathered}\sin^4x=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}8\\\cos^4x=\frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}8\\\sin^4x+\cos^4x=\frac{3+\cos(4x)}4\end{gathered}

x real. Eleve ao quadrado as relações de redução de potência e reduza também cos²(2x). Os termos de cos(2x) cancelam na soma das quartas potências.

Exemplo resolvido · Obter uma imagem sem resolver uma equação

Qual é a imagem de sen⁴x+cos⁴x em ℝ?

Resolução

  1. A redução dá (3+cos4x)/4. Como cos4x percorre [−1,1], a expressão percorre [(3−1)/4,(3+1)/4]=[1/2,1].
  2. O mínimo ocorre, por exemplo, em x=π/4; o máximo, em x=0. Os extremos são atingidos.

Imagem [1/2,1].

Exemplo resolvido · Reduzir um produto de quadrados

Reescreva sen²x cos²x.

Resolução

  1. Do seno do duplo, 4sen²x cos²x=sen²(2x).
  2. Reduza o último quadrado: sen²(2x)=(1−cos4x)/2. Dividir por quatro dá (1−cos4x)/8.

sen²x cos²x=(1−cos4x)/8.

17Construir arcos múltiplos em vez de adivinhar

Escreva 3x=2x+x. Para seno, a soma dá sen(3x)=sen2x cosx+cos2x senx=2senx cos²x+(1−2sen²x)senx. Substitua cos²x=1−sen²x e reúna: 3senx−4sen³x. Para cosseno, cos(3x)=(2cos²x−1)cosx−2sen²x cosx=4cos³x−3cosx.

Para a tangente, divida essas expressões de seno e cosseno. Se t=tgx existe, escreva senx=t cosx e cos²x=1/(1+t²). O numerador fica cosx(3t−t³)/(1+t²) e o denominador cosx(1−3t²)/(1+t²). Cancelar os fatores não nulos dá a forma abaixo, sem exigir a existência de tg(2x).

sin⁡(3x)=3sin⁡x−4sin⁡3xcos⁡(3x)=4cos⁡3x−3cos⁡xtan⁡(3x)=3t−t31−3t2,t=tan⁡x\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x\qquad{}\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x\qquad{}\tan(3x)=\frac{3t-t^3}{1-3t^2},\quad t=\tan x
sin⁡(3x)=3sin⁡x−4sin⁡3xcos⁡(3x)=4cos⁡3x−3cos⁡xtan⁡(3x)=3t−t31−3t2,t=tan⁡x\begin{gathered}\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x\\\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x\\\tan(3x)=\frac{3t-t^3}{1-3t^2},\quad t=\tan x\end{gathered}

Seno e cosseno: todo x real. A forma em t da tangente exige cosx≠0 e cos(3x)≠0; sob cosx≠0, a última condição equivale a 1−3t²≠0. Deduza por 3x=2x+x; não suponha que a tangente de 2x precisa existir para usar a fórmula final, pois ela também pode ser obtida diretamente por seno e cosseno.

Exemplo resolvido · Calcular sem achar o ângulo

Se senx=1/3, calcule sen(3x).

Resolução

  1. sen(3x)=3(1/3)−4(1/3)³=1−4/27.
  2. O resultado 23/27 independe do quadrante compatível com o seno dado.

sen(3x)=23/27.

Exemplo resolvido · Uma etapa intermediária não é condição da forma final

Use t=tg(π/4)=1 na tangente do triplo.

Resolução

  1. O denominador 1−3t² é −2, não zero. O numerador 3t−t³ é dois.
  2. Portanto tg(3π/4)=−1. Embora tg(2·π/4) não exista, ela não aparece na dedução final por seno e cosseno.

O resultado é −1; não foi necessário calcular tg(π/2).

18Arco metade: começar pelos quadrados

Para descobrir funções de metade de um argumento, use as relações de potência com u=x/2. Como 2u=x, temos sen²(x/2)=(1−cosx)/2 e cos²(x/2)=(1+cosx)/2. Os quadrados ficam determinados por cosx, mas remover o quadrado exige examinar o sinal.

sin⁡2(x/2)=1−cos⁡x2cos⁡2(x/2)=1+cos⁡x2\sin^2(x/2)=\frac{1-\cos x}{2}\qquad{}\cos^2(x/2)=\frac{1+\cos x}{2}
sin⁡2(x/2)=1−cos⁡x2cos⁡2(x/2)=1+cos⁡x2\begin{gathered}\sin^2(x/2)=\frac{1-\cos x}{2}\\\cos^2(x/2)=\frac{1+\cos x}{2}\end{gathered}

x real. Substitua o argumento das fórmulas de redução por x/2. As duas partes à direita são não negativas, porque −1≤cosx≤1. Ainda falta escolher sinais se quisermos seno e cosseno, sem o quadrado.

Exemplo resolvido · A primeira etapa não escolhe sinais

Calcule sen²60° e cos²60° a partir de cos120°=−1/2.

Resolução

  1. sen²60°=(1−(−1/2))/2=3/4.
  2. cos²60°=(1+(−1/2))/2=1/4. Como 60° está no I quadrante, depois podemos concluir sen60°=√3/2 e cos60°=1/2.

Os quadrados são 3/4 e 1/4.

19Escolher o sinal pela metade do arco

A raiz principal de z² é |z|, e não z em todos os casos. Portanto tirar a raiz das fórmulas anteriores determina primeiro o módulo de seno/cosseno da metade. O sinal vem da localização de x/2. Não copie o sinal de cosx e não trate ± como se uma função tivesse duas saídas na mesma entrada.

sin⁡(x/2)=±1−cos⁡x2cos⁡(x/2)=±1+cos⁡x2\sin(x/2)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}2}\qquad{}\cos(x/2)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}2}
sin⁡(x/2)=±1−cos⁡x2cos⁡(x/2)=±1+cos⁡x2\begin{gathered}\sin(x/2)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}2}\\\cos(x/2)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}2}\end{gathered}

x real. Cada sinal é escolhido pelo quadrante ou eixo de x/2, não pelo de x. Não significa que a função tenha duas saídas: a informação disponível pode deixar o sinal indeterminado. Se a raiz é zero, ambos os sinais dão o mesmo valor. A raiz principal de um quadrado é o módulo da base.

O sinal vem de α/2xyOPQαα/2α = 300°; α/2 = 150°
α=300° está no IV quadrante, mas α/2=150° está no II. Na metade, o seno é positivo e o cosseno negativo.

Exemplo resolvido · O cosseno da metade pode ser negativo

Calcule seno e cosseno de 150° usando o arco de 300°.

Resolução

  1. cos300°=1/2. As raízes dão módulos √((1−1/2)/2)=1/2 e √((1+1/2)/2)=√3/2.
  2. 150° está no II quadrante: sen150°=1/2 e cos150°=−√3/2.

Seno 1/2; cosseno −√3/2.

Exemplo resolvido · Não reduza o arco antes de dividir sem guardar a volta

Compare as metades de 300° e 660°.

Resolução

  1. Os arcos originais são côngruos, ambos com cosseno 1/2. Mas suas metades são 150° e 330°, que diferem por 180°.
  2. Em 330°, seno é −1/2 e cosseno √3/2: os sinais são opostos aos da metade de 300°. A volta extra não pode ser descartada antes da divisão sem controlar esse efeito.

Conhecer o ponto de x no ciclo, sozinho, não determina o ponto de x/2.

Exemplo resolvido · Um intervalo resolve a escolha

Se π<x<3π/2 e cosx=−7/25, determine seno e cosseno de x/2.

Resolução

  1. Divida as fronteiras por dois: π/2<x/2<3π/4. A metade está no II quadrante.
  2. sen(x/2)=√((1+7/25)/2)=√(16/25)=4/5.
  3. cos(x/2)=−√((1−7/25)/2)=−√(9/25)=−3/5.

sen(x/2)=4/5 e cos(x/2)=−3/5.

20Valores exatos por arco metade

Exemplo resolvido · Metade de um ângulo notável

Calcule seno e cosseno de π/8.

Resolução

  1. π/8 é metade de π/4 e está no I quadrante, então as duas raízes têm sinal positivo.
  2. sen(π/8)=√((1−√2/2)/2)=√(2−√2)/2.
  3. cos(π/8)=√((1+√2/2)/2)=√(2+√2)/2.

sen(π/8)=√(2−√2)/2 e cos(π/8)=√(2+√2)/2.

Exemplo resolvido · Duas escritas para o mesmo valor

Por que sen15° pode aparecer como √(2−√3)/2 ou (√6−√2)/4?

Resolução

  1. O arco metade de 30° dá sen15°=√((1−cos30°)/2)=√(2−√3)/2, escolhendo o sinal positivo no I quadrante. A diferença 45°−30° já deu a segunda forma.
  2. Ambas são positivas. O quadrado da segunda é (8−4√3)/16=(2−√3)/4, que também é o quadrado da primeira.
  3. Dois números positivos com o mesmo quadrado são iguais. A igualdade não foi justificada apenas por aproximações decimais.

As duas formas exatas são equivalentes.

21Tangente da metade e formas com domínios diferentes

Divida sen²(x/2) por cos²(x/2), onde cos(x/2)≠0, e depois escolha o sinal da tangente. Como 1+cosx=2cos²(x/2), essa exclusão equivale a cosx≠−1.

tan⁡(x/2)=±1−cos⁡x1+cos⁡x\tan(x/2)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}

Exige cosx≠−1, equivalente a cos(x/2)≠0. Escolha o sinal pela tangente de x/2. Conhecer apenas cosx pode não determinar esse sinal. A condição exclui x=π+2kπ, com k inteiro.

Podemos evitar raízes. Na razão senx/(1+cosx), use senx=2sen(x/2)cos(x/2) e 1+cosx=2cos²(x/2). Cancelar o cosseno da metade, que é não nulo no domínio, produz tg(x/2). Já (1−cosx)/senx=2sen²(x/2)/[2sen(x/2)cos(x/2)] exige também seno da metade não nulo. Essa segunda escrita perde os zeros onde x=2kπ.

tan⁡(x/2)=sin⁡x1+cos⁡xtan⁡(x/2)=1−cos⁡xsin⁡x\tan(x/2)=\frac{\sin x}{1+\cos x}\qquad{}\tan(x/2)=\frac{1-\cos x}{\sin x}
tan⁡(x/2)=sin⁡x1+cos⁡xtan⁡(x/2)=1−cos⁡xsin⁡x\begin{gathered}\tan(x/2)=\frac{\sin x}{1+\cos x}\\\tan(x/2)=\frac{1-\cos x}{\sin x}\end{gathered}

A primeira exige cosx≠−1 e cobre todo o domínio real da tangente de x/2. A segunda exige sinx≠0, condição mais forte. Em x=2kπ a primeira dá zero e a segunda é indefinida. k é qualquer inteiro. As escritas só são intercambiáveis no domínio comum; racionalizar não preenche pontos excluídos.

Exemplo resolvido · Um resultado negativo sem a ambiguidade da raiz

Calcule tg150° por x=300°.

Resolução

  1. sen300°=−√3/2 e cos300°=1/2. O denominador 1+cos300°=3/2 é não nulo.
  2. tg150°=(−√3/2)/(3/2)=−√3/3. O sinal vem diretamente do quociente.

tg150°=−√3/3.

Exemplo resolvido · Duas expressões não admitem exatamente as mesmas entradas

Compare as formas racionais em x=0 e x=π.

Resolução

  1. Em x=0, tg(x/2)=0 e senx/(1+cosx)=0/2=0. A forma (1−cosx)/senx vira 0/0 e não existe.
  2. Em x=π, a própria tg(x/2)=tg(π/2) não existe. Não podemos corrigir esse caso atribuindo um valor ao quociente.

Use cada forma com seu domínio; simplificar não preenche exclusões.

22Interpretar o arco metade em uma corda

Num círculo de raio r>0, um ângulo central α entre zero e π define uma corda de arco menor. O raio até o ponto médio da corda é perpendicular a ela e divide o ângulo central ao meio: os dois triângulos são congruentes por três lados. Em cada triângulo retângulo, a hipotenusa é r e a meia corda é r sen(α/2). Assim a corda inteira mede 2r sen(α/2).

Corda e arco metadexyOPQMα/2α = 80°; PQ = 2 sen 40°
No ciclo unitário, α=80° e M é o ponto médio de PQ. OM é perpendicular à corda e o ângulo MOQ é 40°.

A mesma relação pode ser estendida sem comprimento negativo. A distância entre os extremos dá corda²=2r²(1−cosα)=4r²sen²(α/2). Como comprimento é não negativo, corda=2r|sen(α/2)| para qualquer argumento real α. Em α=0 a corda é zero; em α=π ela é o diâmetro 2r. A prova com triângulos não degenerados trata 0<α<π; a expressão algébrica inclui os extremos.

Exemplo resolvido · Comprimento com unidade

Qual é a corda de um círculo de raio 5 cm associada a 120°?

Resolução

  1. A metade é 60° e seu seno é √3/2.
  2. A corda é 2·5·(√3/2)=5√3 cm. É menor que o diâmetro de dez centímetros.

5√3 cm.

Exemplo resolvido · O sentido não torna o comprimento negativo

O que muda se o arco orientado mede −120°?

Resolução

  1. A metade mede −60° e o seno é −√3/2.
  2. A distância usa módulo: 2·5·|−√3/2|=5√3 cm. O sentido muda a posição, mas não esse comprimento.

A corda continua medindo 5√3 cm.

23Produtos de cossenos e de senos em somas

As fórmulas de adição também podem ser lidas no sentido contrário. Some cos(u−v)=cosu cosv+senu senv e cos(u+v)=cosu cosv−senu senv: sobram 2cosu cosv. Subtraia a segunda da primeira: sobram 2senu senv. Dividir por dois não exige exclusão de argumentos.

cos⁡ucos⁡v=cos⁡(u−v)+cos⁡(u+v)2\cos u\cos v=\frac{\cos(u-v)+\cos(u+v)}2

u e v reais na mesma unidade. Obtida somando as fórmulas do cosseno da diferença e da soma. Não exige dividir por função trigonométrica e não cria exclusões.

sin⁡usin⁡v=cos⁡(u−v)−cos⁡(u+v)2\sin u\sin v=\frac{\cos(u-v)-\cos(u+v)}2

u e v reais. Subtraia a fórmula do cosseno da soma da fórmula do cosseno da diferença. Preserve a ordem dos dois termos à direita.

Exemplo resolvido · Produto de cossenos

Transforme 2cos(5x)cos(2x) em soma.

Resolução

  1. Use u=5x e v=2x. A diferença é 3x e a soma é 7x.
  2. O fator dois cancela o meio da fórmula, resultando em cos3x+cos7x.

cos3x+cos7x.

Exemplo resolvido · Produto de senos

Transforme 2sen(5x)sen(2x).

Resolução

  1. A diferença dos argumentos é 3x e a soma, 7x.
  2. Agora a fórmula tem subtração: cos3x−cos7x. Trocar a ordem dos termos mudaria o sinal.

cos3x−cos7x.

24Produtos mistos e argumento negativo

Some as fórmulas de sen(u+v) e sen(u−v): os termos cosu senv cancelam, dando 2senu cosv. Subtraia a segunda da primeira: sobram 2cosu senv. As duas expressões diferem pelo papel dos argumentos no seno e no cosseno.

sin⁡ucos⁡v=sin⁡(u+v)+sin⁡(u−v)2\sin u\cos v=\frac{\sin(u+v)+\sin(u-v)}2

u e v reais. Some as fórmulas do seno da soma e da diferença. O argumento u acompanha o fator seno; não troque silenciosamente os papéis.

cos⁡usin⁡v=sin⁡(u+v)−sin⁡(u−v)2\cos u\sin v=\frac{\sin(u+v)-\sin(u-v)}2

u e v reais. Subtraia o seno da diferença do seno da soma. Também se obtém trocando u e v na forma seno vezes cosseno e usando a imparidade do seno.

Exemplo resolvido · Um seno de argumento negativo

Escreva sen(2x)cos(5x) como soma.

Resolução

  1. O argumento do seno é u=2x; o do cosseno é v=5x. A fórmula dá [sen7x+sen(−3x)]/2.
  2. Pela imparidade, sen(−3x)=−sen3x. O resultado é (sen7x−sen3x)/2.

(sen7x−sen3x)/2.

Exemplo resolvido · Trocar as funções muda o resultado

Transforme cos(2x)sen(5x).

Resolução

  1. Use a forma cosseno vezes seno: [sen7x−sen(−3x)]/2.
  2. O segundo sinal negativo encontra o seno ímpar, produzindo (sen7x+sen3x)/2.

(sen7x+sen3x)/2.

25Preparar a transformação de soma em produto

Para somar senos de u e v, queremos escrever esses argumentos como p+q e p−q. Resolva o sistema u=p+q e v=p−q: somar dá 2p=u+v; subtrair dá 2q=u−v. p é a meia soma dos argumentos, e q a meia diferença orientada, que pode ser negativa.

p=u+v2,q=u−v2u=p+q,v=p−qp=\frac{u+v}2,\quad q=\frac{u-v}2\qquad{}u=p+q,\quad v=p-q
p=u+v2,q=u−v2u=p+q,v=p−q\begin{gathered}p=\frac{u+v}2,\quad q=\frac{u-v}2\\u=p+q,\quad v=p-q\end{gathered}

u,v,p,q são medidas angulares reais. p é a meia soma e q a meia diferença orientada. A substituição resolve um sistema linear, não divide os valores dos senos. Trocar u por v muda o sinal de q.

Exemplo resolvido · Calcular os novos argumentos

Encontre p e q para u=80° e v=20°. E se a ordem for invertida?

Resolução

  1. Na primeira ordem, p=(80°+20°)/2=50° e q=(80°−20°)/2=30°.
  2. Invertendo, p continua 50°, mas q=−30°. Sempre confira se p+q reproduz u e p−q reproduz v.

p=50° e q=30°; na ordem inversa, p=50° e q=−30°.

26Soma de senos em produto

Já mostramos que sen(p+q)+sen(p−q)=2senp cosq. Agora use p=(u+v)/2 e q=(u−v)/2. Os argumentos à esquerda se tornam exatamente u e v. Essa substituição demonstra a fórmula, em vez de apenas apresentar um padrão para memorizar.

sin⁡u+sin⁡v=2sin⁡(u+v2)cos⁡(u−v2)\sin u+\sin v=2\sin\left(\frac{u+v}2\right)\cos\left(\frac{u-v}2\right)

u e v reais. O primeiro fator usa a meia soma; o segundo, a meia diferença. Os dois senos individuais não precisam ser valores notáveis para o produto poder ser calculado.

Exemplo resolvido · Uma soma calculável sem conhecer cada parcela

Transforme sen10°+sen50° e simplifique.

Resolução

  1. A meia soma é 30° e a meia diferença é −20°. O produto é 2sen30°cos(−20°).
  2. Como sen30°=1/2 e cosseno é par, resta cos20°. Não foi preciso obter os senos individuais.

sen10°+sen50°=cos20°.

Exemplo resolvido · Fatorar uma soma com incógnita

Reescreva sen3x+senx como produto.

Resolução

  1. A meia soma é 2x e a meia diferença é x. Portanto o resultado é 2sen2x cosx.
  2. Se quisermos fatores do argumento x, use sen2x=2senx cosx: obtemos 4senx cos²x. Ambas as escritas valem em toda a reta.

2sen2x cosx=4senx cos²x.

27Diferença de senos em produto

Subtraia sen(p−q) de sen(p+q). Os termos senp cosq cancelam e fica 2cosp senq. Faça a mesma substituição de argumentos. Agora a meia diferença está dentro do seno; mudar sua ordem muda o sinal.

sin⁡u−sin⁡v=2cos⁡(u+v2)sin⁡(u−v2)\sin u-\sin v=2\cos\left(\frac{u+v}2\right)\sin\left(\frac{u-v}2\right)

u e v reais. A meia diferença fica no seno e conserva a ordem u−v. Inverter a subtração inverte o sinal do resultado.

Exemplo resolvido · Uma diferença de valores exatos

Calcule sen75°−sen15° por produto.

Resolução

  1. A meia soma é 45° e a meia diferença é 30°. Assim a diferença é 2cos45°sen30°.
  2. O valor é 2(√2/2)(1/2)=√2/2, em acordo com a subtração das formas com radicais.

√2/2.

Exemplo resolvido · Uma ordem que produz sinal negativo

Transforme senx−sen3x.

Resolução

  1. p=(x+3x)/2=2x e q=(x−3x)/2=−x.
  2. A expressão é 2cos2x sen(−x)=−2cos2x senx. Se trocássemos a ordem da diferença original, obteríamos o oposto.

−2cos2x senx.

28Somas e diferenças de cossenos

Somar cos(p+q) e cos(p−q) deixa 2cosp cosq. Subtrair a segunda da primeira deixa −2senp senq. Substituir p e q pelas meias medidas fornece as duas fórmulas. O sinal negativo na diferença de cossenos faz parte do resultado.

cos⁡u+cos⁡v=2cos⁡(u+v2)cos⁡(u−v2)\cos u+\cos v=2\cos\left(\frac{u+v}2\right)\cos\left(\frac{u-v}2\right)

u e v reais. Os dois fatores são cossenos. Não é a mesma operação que calcular cos(u+v).

cos⁡u−cos⁡v=−2sin⁡(u+v2)sin⁡(u−v2)\cos u-\cos v=-2\sin\left(\frac{u+v}2\right)\sin\left(\frac{u-v}2\right)

u e v reais. Há um sinal negativo antes do produto. Pode-se escrever +2 se também se inverter a meia diferença; não faça apenas uma das mudanças.

Exemplo resolvido · Somar antes de procurar valores individuais

Simplifique cos20°+cos100°.

Resolução

  1. A meia soma é 60° e a meia diferença −40°. A soma é 2cos60°cos(−40°).
  2. Como cos60°=1/2 e cosseno é par, resta cos40°.

cos40°.

Exemplo resolvido · O sinal negativo pode encontrar outro negativo

Transforme cosx−cos3x.

Resolução

  1. A meia soma é (x+3x)/2=2x e a meia diferença é (x−3x)/2=−x. A fórmula dá −2sen2x sen(−x).
  2. Como sen(−x)=−senx, o resultado é +2sen2x senx.

2sen2x senx.

29Fatorar quocientes sem apagar entradas excluídas

Depois de fatorar uma soma, um fator comum pode ser cancelado em um quociente. Mas o denominador original precisa continuar não nulo. A fórmula simplificada pode ter domínio maior; nesse caso ela só representa a expressão original no domínio preservado.

sin⁡u+sin⁡vcos⁡u+cos⁡v=tan⁡(u+v2)\frac{\sin u+\sin v}{\cos u+\cos v}=\tan\left(\frac{u+v}2\right)

A expressão original exige cosu+cosv≠0. Pela fatoração, isso equivale a cos((u+v)/2)≠0 e cos((u−v)/2)≠0 simultaneamente. Cancelar o segundo fator não elimina essa condição. A tangente isolada pode existir onde o quociente original não existe.

Exemplo resolvido · Uma tangente com condições extras

Simplifique (sen5x+senx)/(cos5x+cosx).

Resolução

  1. O numerador vira 2sen3x cos2x e o denominador vira 2cos3x cos2x.
  2. A expressão original existe somente se cos3x≠0 e cos2x≠0. Nesse domínio, cancelamos 2cos2x e obtemos tg3x.
  3. Em x=π/4, cos2x=0 mas cos3x≠0. A tangente simplificada vale −1, enquanto a expressão original é 0/0 e não existe.

tg3x, mantendo cos3x≠0 e cos2x≠0.

Exemplo resolvido · Uma racionalização tem o mesmo cuidado

Simplifique (1−cos2x)/sen2x.

Resolução

  1. O numerador é 2sen²x e o denominador 2senx cosx.
  2. No domínio original, sen2x≠0, ou seja, senx≠0 e cosx≠0. Cancelar dá tgx apenas nesse conjunto; não ganhamos, por exemplo, a entrada zero.

tgx, com senx cosx≠0.

30Um parâmetro para tornar seno e cosseno racionais

Um parâmetro é uma variável auxiliar usada para descrever outras quantidades. Faça t=tg(x/2), onde essa tangente existe. A relação fundamental dá cos²(x/2)=1/(1+t²). Pelo arco duplo, senx=2t cos²(x/2)=2t/(1+t²). Pela diferença de quadrados, cosx=(1−t²)cos²(x/2)=(1−t²)/(1+t²). Dividir seno por cosseno fornece a tangente quando t≠±1.

t=tan⁡(x/2),sin⁡x=2t1+t2cos⁡x=1−t21+t2tan⁡x=2t1−t2t=\tan(x/2),\quad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\qquad{}\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad{}\tan x=\frac{2t}{1-t^2}
t=tan⁡(x/2),sin⁡x=2t1+t2cos⁡x=1−t21+t2tan⁡x=2t1−t2\begin{gathered}t=\tan(x/2),\quad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\tan x=\frac{2t}{1-t^2}\end{gathered}

t é um parâmetro real, não tempo neste registro. Exige x≠π+2kπ, k inteiro, para definir t. Como 1+t²>0, seno e cosseno não ganham novas exclusões. A forma para tanx exige também t≠±1. x é recuperado apenas até voltas de 2π; as entradas x=π+2kπ precisam ser examinadas separadamente em uma expressão original.

t = sen x / (1 + cos x)xyOAPHP = (−3/5,4/5)t = (4/5) / (2/5) = 2
Geometricamente, t é a subida dividida pelo avanço na reta de A=(−1,0) a P do ciclo: t=senx/(1+cosx). Para P=(−3/5,4/5), o valor é dois.

Exemplo resolvido · Calcular três razões com um único parâmetro

Se t=tg(x/2)=2, encontre senx, cosx e tgx.

Resolução

  1. O denominador 1+t²=1+2² é cinco. Substituindo nas formas racionais, senx=2·2/(1+2²)=4/5 e cosx=(1−2²)/(1+2²)=−3/5.
  2. Como t²≠1, tgx=4/(1−4)=−4/3. O ponto está no II quadrante, sem determinar uma única volta para x.

senx=4/5, cosx=−3/5 e tgx=−4/3.

Exemplo resolvido · Uma substituição também pode perder casos

A parametrização permite representar diretamente x=π?

Resolução

  1. Não: t=tg(π/2) não existe. Entretanto senπ=0 e cosπ=−1 existem.
  2. O ponto (−1,0) precisa ser examinado separadamente quando a expressão original o admite. Uma substituição auxiliar não autoriza descartá-lo sem conferir.

Os argumentos π+2kπ são exceções da parametrização, não do seno ou do cosseno.

31Aplicar soma em produto a duas oscilações

Quando t representa tempo, ω₁ e ω₂, lidos ômega um e ômega dois, podem indicar frequências angulares em radianos por segundo. Aplicar soma de senos aos argumentos ω₁t e ω₂t mostra uma oscilação multiplicada por um fator que também varia. Esse fator não é automaticamente uma amplitude constante.

sin⁡(ω1t)+sin⁡(ω2t)=2sin⁡(ω1+ω22t)cos⁡(ω1−ω22t)\sin(\omega_1t)+\sin(\omega_2t)=2\sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}2t\right)\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}2t\right)

t representa tempo e ω₁, ω₂ são frequências angulares em radianos por unidade de tempo, mantida a mesma unidade. A identidade vale também para frequências iguais ou nulas. O módulo da soma é no máximo 2|cos((ω₁−ω₂)t/2)|. Quando esse limite varia, ele não é uma amplitude constante; a desigualdade não garante que o limite seja atingido em cada instante.

sen 9t + sen 7t0π/2π3π/22π-22t (s)
A curva sen9t+sen7t equivale a 2sen8t cost. As linhas tracejadas delimitam ±2|cost|; não são trechos da curva.

Exemplo resolvido · Uma soma com frequências diferentes

Reescreva y(t)=sen9t+sen7t e confira t=π/2.

Resolução

  1. A meia soma dos argumentos é 8t e a meia diferença é t. Assim y(t)=2sen8t cost.
  2. Em t=π/2, cost=0 e a soma é zero. Diretamente, sen(9π/2)=1 e sen(7π/2)=−1, confirmando o cancelamento.

y(t)=2sen8t cost e y(π/2)=0.

Exemplo resolvido · Um limite variável não é sempre atingido

A curva anterior fica sempre sobre y=2|cost| ou y=−2|cost|?

Resolução

  1. Não. Como |sen8t|≤1, temos |y(t)|≤2|cost|. A igualdade exige que |sen8t|=1 ou que o fator cost seja zero.
  2. Por exemplo, em t=0, a curva vale zero e os limites valem ±2. Em t=π/16, sen8t=1 e a curva encontra o limite superior 2cos(π/16).

Os limites delimitam a curva; não coincidem com ela em todo instante.

32Conferir sinais, condições e escolha de método

Antes de expandir, observe o objetivo. Para valor exato, decomponha um argumento em medidas conhecidas ou use sua metade. Para fatoração, transforme soma em produto. Para retirar produtos, faça o caminho inverso. Para extremos, tente reunir seno e cosseno do mesmo argumento. Escreva o domínio antes de cancelar, racionalizar ou introduzir uma tangente auxiliar.

Exemplo resolvido · A raiz exige módulo

Simplifique √(1−cos2x) em ℝ.

Resolução

  1. 1−cos2x=2sen²x, sempre não negativo.
  2. Como √(sen²x)=|senx|, a raiz é √(2sen²x)=√2·|senx|. Em x=3π/2, ela vale √2, enquanto √2senx seria negativo e não poderia ser a raiz principal.

√(1−cos2x)=√2|senx|.

Conferir uma entrada simples ajuda a detectar sinais e fatores errados. Isso complementa a demonstração, mas não substitui o argumento geral. Na próxima aula, usaremos essas transformações para resolver equações e inequações, controlando todos os casos e intervalos.

33Agora é com você

São 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Elas incluem interpretação, valores exatos, quadrantes, demonstrações, domínios, potências, somas e produtos e aplicações. Nas discursivas, registre as restrições antes de simplificar e explique as escolhas de sinal.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Qual comparação distingue corretamente sen²30° de sen(2·30°)?

Escolha uma alternativa

34O que levar desta aula

  • Uma transformação troca a escrita e conserva o valor no domínio admitido. Seno de soma não é soma de senos; potência da função não é multiplicação do argumento.
  • A comparação de uma corda antes e depois de uma rotação demonstra o cosseno da diferença para quaisquer argumentos reais. Paridade e complementares fornecem as outras fórmulas de adição.
  • Cosseno da soma subtrai o produto dos senos; cosseno da diferença o soma. Seno da soma/diferença combina produtos mistos e conserva o sinal entre eles.
  • Tangente de soma/diferença por tangentes individuais exige as duas tangentes e a tangente final definidas. Quando uma razão auxiliar não existe, volte a seno e cosseno.
  • Razões dadas exigem recuperar as que faltam com sinal escolhido pelo quadrante. O quadrante da soma é conferido pelas razões calculadas.
  • Identidades valem em todo o domínio declarado. Testar números pode refutar uma regra, mas não demonstra uma identidade geral.
  • Rotações usam X=xcosβ−ysenβ e Y=xsenβ+ycosβ, conservando a distância à origem.
  • A senx+B cosx pode ser reunida em Rsen(x+φ), com R=√(A²+B²)>0 e fase escolhida pelas duas coordenadas, não só pela tangente. A=B=0 é caso constante.
  • Arco duplo vem de somar x consigo mesmo. As três formas de cos2x são equivalentes sem exclusões; a forma da tangente em tgx exige condições extras.
  • Redução de potência transforma sen²x e cos²x em expressões com cos2x. Repetir o processo reduz quartas potências. Arco triplo vem de 2x+x.
  • Arco metade começa pelos quadrados; ao tirar a raiz, escolha o sinal pelo quadrante de x/2. Somar uma volta a x pode trocar os sinais da metade.
  • As duas formas racionais de tg(x/2) têm domínios diferentes. senx/(1+cosx) cobre todo o domínio da tangente da metade; (1−cosx)/senx também exclui x=2kπ.
  • A corda mede 2r|sen(α/2)| em qualquer argumento; para o arco menor entre zero e π, o seno da metade é não negativo. Comprimento nunca recebe sinal de orientação.
  • Produtos viram somas usando adição e subtração de identidades. Nas formas mistas, preserve qual argumento está no seno; sen(−x)=−senx.
  • Somas viram produtos com meia soma p=(u+v)/2 e meia diferença q=(u−v)/2. A diferença de cossenos traz um sinal negativo antes do produto.
  • Cancelar fatores de um quociente não devolve entradas que zeravam o denominador original. Preserve essas condições na resposta simplificada.
  • O parâmetro t=tg(x/2) produz formas racionais para seno e cosseno, mas exclui x=π+2kπ. Para tangente, exige também t≠±1. Aqui t é auxiliar, enquanto em modelos pode representar tempo.
  • Na soma de oscilações com frequências distintas, o fator resultante pode variar com o tempo. Um limite para o módulo não é uma amplitude constante nem uma altura sempre atingida.
  • Raiz de quadrado é módulo. Em todas as fórmulas, mantenha os argumentos na mesma unidade; use ° para graus e radianos quando essa marca estiver ausente.

A próxima e última aula deste roteiro inicial será Equações e inequações trigonométricas, começando pelas soluções elementares no ciclo antes das combinações com estas identidades.

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