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Relações fundamentais e redução de arcos

Construa as seis razões e suas identidades, preserve domínios e sinais e reduza arcos por simetrias. Demonstrações, exemplos graduais e 30 questões comentadas.

1Relacionar razões sem precisar descobrir o ângulo

Na aula anterior, um ponto do ciclo determinava seno e cosseno por suas coordenadas. Agora vamos aprender a obter uma razão a partir de outra e a calcular valores de arcos relacionados. Retomaremos frações, raízes e fatoração no momento do uso. Não será necessário conhecer um ângulo em graus para relacionar suas razões.

Uma identidade é uma igualdade válida para todos os valores em que as expressões envolvidas estão definidas. Uma equação, por sua vez, pede quais valores tornam a igualdade verdadeira. Antes de transformar uma expressão, registramos seu domínio: o conjunto de valores admitidos. Um denominador igual a zero impede o cálculo.

P=(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P=(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)

θ, lido teta, é qualquer medida real em radianos; o ciclo tem centro O=(0,0) e raio um. x é horizontal e y vertical. sin e sen indicam seno; tan e tg indicam tangente; cot e cotg, cotangente; csc e cossec, cossecante.

Exemplo resolvido · Conferir um ponto antes de calcular

P=(4/5,3/5) pertence ao ciclo de raio um? Que razões já conhecemos?

Resolução

  1. A soma dos quadrados é 16/25+9/25=1. Assim a distância de P à origem é um e o ponto pertence ao ciclo.
  2. A coordenada horizontal é cosθ=4/5 e a vertical é senθ=3/5. A tangente é (3/5)/(4/5)=3/4, pois o cosseno é diferente de zero.

O ponto é válido: cosseno 4/5, seno 3/5 e tangente 3/4.

2Por que a soma dos quadrados é um

O raio OP tem comprimento um. Se P=(x,y), Pitágoras para as projeções dá x²+y²=1. Fora do primeiro quadrante, os comprimentos dos catetos são |x| e |y|; as barras indicam módulo, a distância do número até zero. Como |x|²=x², a mesma igualdade continua valendo. Nos eixos, uma coordenada é zero e a outra é 1 ou −1, o que também confirma a relação.

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

θ é real. Vem de x²+y²=1. sin²θ significa (sinθ)², não sin(θ²). Os eixos também satisfazem a identidade. Quadrados não preservam o sinal da coordenada.

xyOP4/53/51(4/5)² + (3/5)² = 1
As projeções do ponto P=(4/5,3/5) formam um triângulo retângulo com hipotenusa um. As duas parcelas são quadrados de coordenadas, não as coordenadas somadas diretamente.

Para recuperar uma coordenada, isolamos seu quadrado e depois extraímos a raiz. A raiz quadrada principal é não negativa; o número cujo quadrado foi dado pode ter os dois sinais. O quadrante ou outra informação precisa escolher entre eles.

cos⁡θ=±1−sin⁡2θsin⁡θ=±1−cos⁡2θ\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}\qquad\sin\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta}
cos⁡θ=±1−sin⁡2θsin⁡θ=±1−cos⁡2θ\begin{gathered}\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}\\\sin\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta}\end{gathered}

Os valores dados precisam estar entre −1 e 1. A posição ou outro dado escolhe o sinal; sem isso, podem existir duas possibilidades. Se o radicando é zero, as duas escolhas coincidem. A raiz quadrada indicada é a não negativa.

Exemplo resolvido · O quadrado não escolhe o sinal

É dado senθ=5/13 e θ no II quadrante. Encontre o cosseno.

Resolução

  1. cos²θ=1−25/169=144/169. Logo o módulo do cosseno é 12/13.
  2. No II quadrante a coordenada horizontal é negativa. Portanto cosθ=−12/13. Conferindo, 25/169+144/169=1.

cosθ=−12/13.

Exemplo resolvido · Dois dados possíveis isoladamente podem ser incompatíveis

Podem ocorrer simultaneamente senθ=3/4 e cosθ=3/4?

Resolução

  1. Cada número está entre −1 e 1, mas precisamos verificar a relação entre eles.
  2. 9/16+9/16=18/16, diferente de um. Não existe ponto do ciclo com essas duas coordenadas.

Não existe ângulo real que satisfaça os dois dados juntos.

3Tangente: dividir seno por cosseno

No ciclo, a tangente compara a altura assinada y com a coordenada horizontal x. No primeiro quadrante isso coincide com cateto oposto dividido pelo adjacente. Nos outros quadrantes, a divisão das coordenadas conserva seus sinais.

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac yx

Exige cosθ=x≠0. Para θ em radianos: θ≠π/2+kπ, com k∈ℤ. ℤ é o conjunto dos inteiros, incluindo negativos e zero; k conta meias-voltas de diferença entre os ângulos excluídos.

A exclusão π/2+kπ reúne π/2, 3π/2, −π/2 e todos os outros pontos do eixo vertical. k é inteiro: pode ser negativo, zero ou positivo. Nesses pontos x=0. Divisão por zero não fornece um número real, por isso não atribuímos infinito como valor da tangente.

Exemplo resolvido · Um quociente negativo é um valor válido

Se P=(−8/17,15/17), determine tgθ.

Resolução

  1. A soma 64/289+225/289=1 confirma o ciclo. O divisor −8/17 é não nulo.
  2. tgθ=(15/17)/(−8/17)=−15/8. O sinal negativo concorda com o II quadrante.

tgθ=−15/8.

4Cotangente e a diferença entre quociente e recíproco

A cotangente inverte a ordem das coordenadas: compara x com y. Ela é escrita cot ou cotg. Seu denominador é o seno, de modo que suas exclusões não são as mesmas da tangente.

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=xy\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac xy

Exige sinθ=y≠0, isto é, θ≠kπ, k inteiro. Pode valer zero quando cosθ=0. A escrita 1/tanθ só é equivalente onde a tangente existe e é não nula; ela não é uma definição com o domínio completo da cotangente.

Exemplo resolvido · Cotangente pode ser zero

Calcule cot(π/2) e explique por que a escrita 1/tg(π/2) não serve para esse cálculo.

Resolução

  1. No topo do ciclo, cosseno zero e seno um dão cot(π/2)=0/1=0.
  2. A tangente em π/2 não existe. Portanto 1/tg(π/2) também não existe. A igualdade cotθ=1/tgθ só vale onde a tangente existe e é não nula.

cot(π/2)=0; a definição cosθ/senθ conserva esse valor.

Exemplo resolvido · Um eixo excluído da cotangente

Compare tg0 e cot0.

Resolução

  1. Em θ=0, seno zero e cosseno um dão tg0=0/1=0.
  2. A cotangente tentaria calcular 1/0. Ela não está definida. Zero não tem recíproco.

tg0=0 e cot0 não está definida.

5Secante: o recíproco do cosseno

O recíproco de um número a≠0 é o número 1/a, cujo produto por a vale um. A secante aplica essa operação ao cosseno. Não troca o sinal e não é o negativo do cosseno.

sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta=\frac1{\cos\theta}

Exige cosθ≠0, isto é, θ≠π/2+kπ, k inteiro. O recíproco de a≠0 é 1/a. A secante nunca vale zero; tem o mesmo sinal do cosseno.

Exemplo resolvido · Inverter uma fração com sinal

Se cosθ=−7/25, calcule secθ.

Resolução

  1. A condição cosθ≠0 foi satisfeita. Então secθ=1/(−7/25)=−25/7.
  2. O produto (−7/25)(−25/7)=1 confirma o recíproco. Seu módulo é maior que um.

secθ=−25/7.

6Cossecante: o recíproco do seno

Cossecante é escrita csc ou cossec e usa o seno no denominador. Apesar do nome, ela não é o recíproco do cosseno. Recíproco também não significa descobrir um ângulo: a operação inversa de uma função trigonométrica será estudada na aula de funções.

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta=\frac1{\sin\theta}

Exige sinθ≠0, isto é, θ≠kπ, k inteiro. A cossecante nunca vale zero e tem o mesmo sinal do seno. Recíproco não significa função trigonométrica inversa para descobrir ângulo.

Exemplo resolvido · Uma razão negativa continua com sinal negativo

Se senθ=−4/5, calcule cscθ e diga o que ocorreria com seno zero.

Resolução

  1. cscθ=1/(−4/5)=−5/4. O produto pelo seno vale um.
  2. Com seno zero, a divisão por zero impediria a definição. Não haveria cossecante igual a zero.

cscθ=−5/4; cossecante nunca vale zero.

7Enxergar as novas razões no desenho

Para um ponto P=(x,y), considere a reta inteira OP. Se x≠0, ela encontra a vertical x=1 no ponto T=(1,y/x). Se y≠0, encontra a horizontal y=1 no ponto U=(x/y,1). Assim a ordenada de T é tangente, e a abscissa de U é cotangente. Não são novos pontos do ciclo: em geral T e U ficam fora dele.

Um ponto da reta OP pode ser escrito λP=(λx,λy); λ, lido lambda, é um fator real. Para T, λ=1/x=secθ; para U, λ=1/y=cscθ. Como OP mede um, os comprimentos OT e OU são |secθ| e |cscθ|. A razão assinada pode ser negativa; o comprimento geométrico não. Um fator negativo situa a interseção no prolongamento oposto à semirreta OP.

xyOPTUy = 1x = 1T = (1, 3/4)U = (4/3, 1)
P=(4/5,3/5), T=(1,3/4) e U=(4/3,1). Os fatores que levam de P a T e a U são 5/4 e 5/3. Por isso OT=5/4 e OU=5/3; as coordenadas indicadas dão tgθ=3/4 e cotθ=4/3.

Exemplo resolvido · Conferir as distâncias das interseções

No desenho, por que OT mede 5/4 e OU mede 5/3?

Resolução

  1. OT²=1²+(3/4)²=25/16, logo OT=5/4. OU²=(4/3)²+1²=25/9, logo OU=5/3.
  2. Os fatores 1/(4/5)=5/4 e 1/(3/5)=5/3 dão os mesmos comprimentos, pois são positivos nesse quadrante.

As coordenadas, os fatores e Pitágoras fornecem as mesmas medidas.

Exemplo resolvido · Prolongamento oposto não é distância negativa

Se P=(−4/5,3/5), quais são T, U e o comprimento OT?

Resolução

  1. T=(1,−3/4) exige fator −5/4. U=(−4/3,1) exige fator 5/3.
  2. Secante vale −5/4, mas OT=5/4. A interseção T fica no sentido oposto a OP. O comprimento é o módulo da razão.

T=(1,−3/4), U=(−4/3,1) e OT=5/4.

8Conferir domínio, zeros e eixos

sin⁡,cos⁡θ∈Rtan⁡,sec⁡θ≠π/2+kπcot⁡,csc⁡θ≠kπ(k∈Z)\begin{array}{c|c}\sin,\cos&\theta\in\mathbb R\\\tan,\sec&\theta\ne\pi/2+k\pi\\\cot,\csc&\theta\ne k\pi\end{array}\quad(k\in\mathbb Z)

As exclusões são em radianos. Em graus, π/2+kπ corresponde a 90°+180°k; kπ corresponde a 180°k. Uma expressão com várias razões precisa satisfazer todas as restrições, incluindo denominadores externos às razões.

Seno zera em kπ e cosseno em π/2+kπ. Tangente zera onde seno é zero, pois ali cosseno é ±1. Cotangente zera onde cosseno é zero, pois ali seno é ±1. Secante e cossecante nunca zeram: um numerador um dividido por um número real não nulo não dá zero.

θsin⁡cos⁡tan⁡0010π/210NDπ0−103π/2−10NDθcot⁡sec⁡csc⁡0ND1NDπ/20ND1πND−1ND3π/20ND−1\begin{array}{cc}\begin{array}{c|rrc}\theta&\sin&\cos&\tan\\\hline0&0&1&0\\\pi/2&1&0&\text{ND}\\\pi&0&-1&0\\3\pi/2&-1&0&\text{ND}\end{array}&\begin{array}{c|crr}\theta&\cot&\sec&\csc\\\hline0&\text{ND}&1&\text{ND}\\\pi/2&0&\text{ND}&1\\\pi&\text{ND}&-1&\text{ND}\\3\pi/2&0&\text{ND}&-1\end{array}\end{array}
θsin⁡cos⁡tan⁡0010π/210NDπ0−103π/2−10NDθcot⁡sec⁡csc⁡0ND1NDπ/20ND1πND−1ND3π/20ND−1\begin{gathered}\begin{array}{c|rrc}\theta&\sin&\cos&\tan\\\hline0&0&1&0\\\pi/2&1&0&\text{ND}\\\pi&0&-1&0\\3\pi/2&-1&0&\text{ND}\end{array}\\[.8em]\begin{array}{c|crr}\theta&\cot&\sec&\csc\\\hline0&\text{ND}&1&\text{ND}\\\pi/2&0&\text{ND}&1\\\pi&\text{ND}&-1&\text{ND}\\3\pi/2&0&\text{ND}&-1\end{array}\end{gathered}

Ângulos em radianos. ND significa não definida, e não infinito ou zero. Os eixos não pertencem aos quadrantes. Voltas inteiras repetem os valores e as exclusões.

Exemplo resolvido · O domínio de uma expressão é a interseção das condições

Onde tan⁡θ+csc⁡θ\tan\theta+\csc\theta está definida?

Resolução

  1. A tangente exige cosθ≠0 e a cossecante exige senθ≠0. Precisamos atender às duas exigências.
  2. Ficam excluídos todos os múltiplos inteiros de π/2: θ≠kπ/2. Em graus, θ≠90°k, com k inteiro.

A expressão existe fora dos quatro eixos e de suas repetições.

Exemplo resolvido · O denominador externo também conta

A expressão 1/(1+cos⁡θ)1/(1+\cos\theta) existe em θ=π? E em θ=0?

Resolução

  1. Cosseno existe em qualquer ângulo, mas em π o denominador é 1−1=0. A fração não existe.
  2. Em zero o denominador vale dois e a fração vale 1/2. Em geral, excluímos θ=π+2kπ, k inteiro.

Não existe em π; vale 1/2 em zero.

9Escolher sinais e reconhecer valores impossíveis

As regras de sinais são consequências das coordenadas: recíprocos conservam o sinal; quocientes de sinais iguais são positivos e de sinais diferentes são negativos. A tabela é um registro dessas operações, e não uma lista de sinais para decorar separadamente.

sin⁡cos⁡tan⁡I+++II+−−III−−+IV−+−cot⁡sec⁡csc⁡I+++II−−+III+−−IV−+−\begin{array}{cc}\begin{array}{c|ccc}&\sin&\cos&\tan\\\hline\mathrm I&+&+&+\\\mathrm{II}&+&-&-\\\mathrm{III}&-&-&+\\\mathrm{IV}&-&+&-\end{array}&\begin{array}{c|ccc}&\cot&\sec&\csc\\\hline\mathrm I&+&+&+\\\mathrm{II}&-&-&+\\\mathrm{III}&+&-&-\\\mathrm{IV}&-&+&-\end{array}\end{array}
sin⁡cos⁡tan⁡I+++II+−−III−−+IV−+−cot⁡sec⁡csc⁡I+++II−−+III+−−IV−+−\begin{gathered}\begin{array}{c|ccc}&\sin&\cos&\tan\\\hline\mathrm I&+&+&+\\\mathrm{II}&+&-&-\\\mathrm{III}&-&-&+\\\mathrm{IV}&-&+&-\end{array}\\[.8em]\begin{array}{c|ccc}&\cot&\sec&\csc\\\hline\mathrm I&+&+&+\\\mathrm{II}&-&-&+\\\mathrm{III}&+&-&-\\\mathrm{IV}&-&+&-\end{array}\end{gathered}

Somente interiores dos quadrantes. Os sinais vêm de y, x, y/x, x/y, 1/x e 1/y. Nos eixos, use os valores e restrições específicos.

−1≤sin⁡θ,cos⁡θ≤1tan⁡θ,cot⁡θ∈R∣sec⁡θ∣≥1,∣csc⁡θ∣≥1\begin{gathered}-1\le\sin\theta,\cos\theta\le1\\\tan\theta,\cot\theta\in\mathbb R\\|\sec\theta|\ge1,\quad|\csc\theta|\ge1\end{gathered}

Cada razão é considerada no próprio domínio. Tangente e cotangente assumem todos os valores reais; secante e cossecante assumem exatamente os reais menores ou iguais a −1 ou maiores ou iguais a 1. As barras indicam módulo: |−a|=|a|.

A restrição de secante e cossecante vem de inverter números de módulo no máximo um e diferentes de zero. Todos os valores de módulo pelo menos um são atingidos: para uma secante v com |v|≥1, escolha cosseno 1/v no ciclo; para cossecante, escolha seno 1/v. Para qualquer t real, divida as coordenadas de (1,t) por sua distância à origem, √(1+t²): o ponto (1/√(1+t²),t/√(1+t²)) pertence ao ciclo e tem tangente t. Trocando suas coordenadas, o quociente cosseno/seno passa a ser t, dando cotangente t, inclusive quando t=0.

Exemplo resolvido · Uma magnitude impossível

Pode ocorrer secθ=2/3?

Resolução

  1. Isso exigiria cosθ=3/2, fora de [−1,1]. O dado é impossível para θ real.
  2. Já secθ=−3/2 é possível: corresponde a cosθ=−2/3, uma coordenada admitida pelo ciclo.

Secante 2/3 é impossível; secante −3/2 é possível.

Exemplo resolvido · Duas razões ajudam a localizar o quadrante

Se cscθ<0 e cotθ>0, onde está o ponto?

Resolução

  1. Cossecante negativa implica seno negativo. Cotangente positiva significa cosseno e seno com o mesmo sinal, portanto cosseno também negativo.
  2. As duas coordenadas negativas situam o ponto no III quadrante. As desigualdades estritas afastam os eixos.

O ponto está no III quadrante.

10Usar reciprocidades apenas onde elas existem

cos⁡θsec⁡θ=1sin⁡θcsc⁡θ=1tan⁡θcot⁡θ=1\begin{gathered}\cos\theta\sec\theta=1\\\sin\theta\csc\theta=1\\\tan\theta\cot\theta=1\end{gathered}

Primeira linha: cosθ≠0. Segunda: sinθ≠0. Terceira: sinθ≠0 e cosθ≠0. Na terceira condição, cotθ=1/tanθ e tanθ=1/cotθ. Não se atribui valor a um produto que contenha uma razão indefinida.

As três igualdades vêm de multiplicar uma fração por seu recíproco. Para a terceira, (senθ/cosθ)(cosθ/senθ)=1, precisamos que ambas as coordenadas sejam não nulas. A condição é mais forte do que a condição da tangente sozinha ou da cotangente sozinha.

Exemplo resolvido · Zero vezes uma expressão indefinida não é zero

Podemos usar tgθ·cotθ=1 em θ=0 ou em θ=π/2?

Resolução

  1. Em zero, tangente vale zero e cotangente não existe. Em π/2, cotangente vale zero e tangente não existe.
  2. Nos dois casos o produto original não tem valor. A identidade só vale fora desses eixos e de suas repetições.

Nenhum dos dois ângulos pertence ao domínio do produto.

11Obter a identidade de tangente e secante

Partimos de sen²θ+cos²θ=1. Se cosθ≠0, seu quadrado também é não nulo; podemos dividir cada termo por ele. A primeira parcela vira (senθ/cosθ)²=tg²θ, a segunda vira um, e o lado direito vira sec²θ. Sem essa condição, a divisão não seria permitida.

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta=\sec^2\theta

Exige cosθ≠0. Dividir sin²θ+cos²θ=1 por cos²θ produz tan²θ+1=1/cos²θ. Dessa identidade segue sec²θ−tan²θ=1.

Exemplo resolvido · O quadrado da secante não escolhe seu sinal

Se tgθ=−4/3 e θ está no IV quadrante, encontre secθ.

Resolução

  1. sec²θ=1+16/9=25/9. Portanto |secθ|=5/3; falta escolher entre secθ=5/3 e secθ=−5/3.
  2. No IV quadrante o cosseno é positivo; a secante também é. Portanto secθ=5/3.

secθ=5/3.

Exemplo resolvido · Uma subtração imediata com condição

Simplifique sec⁡2θ−tan⁡2θ\sec^2\theta-\tan^2\theta.

Resolução

  1. A identidade sec²θ=1+tg²θ permite cancelar as parcelas tg²θ por subtração, obtendo um.
  2. A expressão inicial só existe com cosθ≠0. O número um existe em mais pontos, mas isso não amplia o domínio do cálculo original.

Vale um onde cosθ≠0.

12Obter a identidade de cotangente e cossecante

Se senθ≠0, dividimos a relação fundamental por sen²θ. As parcelas tornam-se um e cot²θ; o lado direito torna-se csc²θ. A demonstração se parece com a anterior, mas exclui outro conjunto de ângulos.

1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1+\cot^2\theta=\csc^2\theta

Exige sinθ≠0. Dividir sin²θ+cos²θ=1 por sin²θ produz 1+cot²θ=1/sin²θ. Dessa identidade segue csc²θ−cot²θ=1.

Exemplo resolvido · Sinal da cotangente a partir do quadrante

Se cscθ=−13/12 e θ está no III quadrante, calcule cotθ.

Resolução

  1. cot²θ=csc²θ−1=169/144−1=25/144. Seu módulo é 5/12.
  2. No III quadrante, seno e cosseno são negativos; o quociente cosseno/seno é positivo. Logo cotθ=5/12.
  3. O seno é −12/13. O cosseno fica −5/13, confirmando (−5/13)/(−12/13)=5/12.

cotθ=5/12.

13Calcular as seis razões a partir de uma coordenada

O método é escolher a outra coordenada pela relação fundamental e pela posição, depois formar quocientes e recíprocos. Não é preciso encontrar θ por calculadora. Um roteiro com condições evita decidir um sinal apenas porque apareceu uma raiz.

Exemplo resolvido · Uma coordenada e o quadrante bastam

Se senθ=8/17 e θ está no II quadrante, calcule as outras cinco razões.

Resolução

  1. cos²θ=1−64/289=225/289. O cosseno é negativo no II, então cosθ=−15/17.
  2. tgθ=(8/17)/(−15/17)=−8/15; cotθ=(−15/17)/(8/17)=−15/8.
  3. secθ=−17/15 e cscθ=17/8. As duas coordenadas são não nulas, então todas as seis razões existem.

cosθ=−15/17, tgθ=−8/15, cotθ=−15/8, secθ=−17/15 e cscθ=17/8.

Exemplo resolvido · Sem quadrante pode haver duas respostas

É dado somente cosθ=−7/25. O seno e a tangente ficam determinados?

Resolução

  1. sen²θ=1−49/625=576/625, portanto senθ pode ser 24/25 ou −24/25.
  2. No II quadrante, tgθ=−24/7; no III, tgθ=24/7. Ambos os pontos satisfazem o dado.

Não há resposta única: o sinal do seno ainda precisa ser informado.

14Partir da tangente ou da cotangente

Se tgθ=t é finita, então senθ=t cosθ. Substituindo na relação fundamental, (1+t²)cos²θ=1. O número 1+t² é sempre positivo. Extraímos a raiz e escolhemos o sinal do cosseno pela posição. ε, lido épsilon, será apenas +1 ou −1 para registrar essa escolha.

tan⁡θ=t∈Rcos⁡θ=ε1+t2sin⁡θ=εt1+t2\begin{gathered}\tan\theta=t\in\mathbb R\\\cos\theta=\frac{\varepsilon}{\sqrt{1+t^2}}\\\sin\theta=\frac{\varepsilon t}{\sqrt{1+t^2}}\end{gathered}

cosθ≠0. ε, lido épsilon, é +1 se o cosseno é positivo e −1 se é negativo. O valor finito t não distingue sozinho pontos opostos. A raiz é positiva. Em t=0, sinθ=0, e cotangente/cossecante não existem.

Exemplo resolvido · Uma tangente negativa em dois quadrantes diferentes

Se tgθ=−5/12 e θ está no II quadrante, encontre seno, cosseno e secante.

Resolução

  1. Com t=−5/12, temos 1+t²=1+25/144=169/144. Assim cos²θ=1/(169/144)=144/169 e |cosθ|=12/13.
  2. No II quadrante, cosθ=−12/13. Então senθ=(−5/12)(−12/13)=5/13 e secθ=−13/12.
  3. No IV quadrante, a mesma tangente teria cosθ=12/13 e senθ=−5/13. O quociente sozinho não distingue os dois pontos opostos.

senθ=5/13, cosθ=−12/13 e secθ=−13/12.

Exemplo resolvido · Cotangente conhecida sem dividir por ela

Se cotθ=3/4 e θ está no III quadrante, calcule seno e cosseno.

Resolução

  1. A definição dá cosθ=(3/4)senθ. Substituindo na relação fundamental: (9/16+1)sen²θ=1, logo sen²θ=16/25.
  2. No III quadrante o seno é negativo: senθ=−4/5. Então cosθ=(3/4)(−4/5)=−3/5.

senθ=−4/5 e cosθ=−3/5.

15Refletir o ponto para tratar ângulos negativos

Trocar θ por −θ reflete o ponto no eixo horizontal: (x,y) vira (x,−y). Cosseno não muda e seno troca de sinal. Substituir essas coordenadas nos quatro quocientes/recíprocos fornece as demais linhas. Usando F para representar uma dessas funções, chamamos par uma função com F(−θ)=F(θ), e ímpar uma com F(−θ)=−F(θ), respeitando o domínio.

sin⁡(−θ)=−sin⁡θcos⁡(−θ)=cos⁡θtan⁡(−θ)=−tan⁡θcot⁡(−θ)=−cot⁡θsec⁡(−θ)=sec⁡θcsc⁡(−θ)=−csc⁡θ\begin{array}{ll}\sin(-\theta)=-\sin\theta&\cos(-\theta)=\cos\theta\\[.5em]\tan(-\theta)=-\tan\theta&\cot(-\theta)=-\cot\theta\\[.5em]\sec(-\theta)=\sec\theta&\csc(-\theta)=-\csc\theta\end{array}
sin⁡(−θ)=−sin⁡θcos⁡(−θ)=cos⁡θtan⁡(−θ)=−tan⁡θcot⁡(−θ)=−cot⁡θsec⁡(−θ)=sec⁡θcsc⁡(−θ)=−csc⁡θ\begin{gathered}\sin(-\theta)=-\sin\theta\\\cos(-\theta)=\cos\theta\\\tan(-\theta)=-\tan\theta\\\cot(-\theta)=-\cot\theta\\\sec(-\theta)=\sec\theta\\\csc(-\theta)=-\csc\theta\end{gathered}

θ é real em radianos. As igualdades de seno e cosseno valem para todo θ. Para tangente e secante, cosθ≠0; para cotangente e cossecante, sinθ≠0. Cada igualdade conserva o domínio de suas expressões.

Exemplo resolvido · Usar a paridade sem perder o denominador

Calcule sec(−π/4), csc(−π/4) e cot(−π/4).

Resolução

  1. Em π/4, seno e cosseno valem √2/2, então secante e cossecante valem √2 e cotangente vale um.
  2. Secante é par, cossecante e cotangente são ímpares. Os resultados são √2, −√2 e −1. As coordenadas envolvidas são não nulas.

sec(−π/4)=√2, csc(−π/4)=−√2 e cot(−π/4)=−1.

16Retirar voltas e reconhecer o período de cada razão

Uma volta inteira mantém as coordenadas e todas as razões que existem. Meia volta troca (x,y) por (−x,−y), conservando os quocientes y/x e x/y. Por isso tangente e cotangente podem ser reduzidas por meias-voltas; para seno, cosseno, secante e cossecante, usamos voltas inteiras.

F(θ+2kπ)=F(θ)F∈{sin⁡,cos⁡,sec⁡,csc⁡}tan⁡(θ+kπ)=tan⁡θcot⁡(θ+kπ)=cot⁡θ\begin{gathered}F(\theta+2k\pi)=F(\theta)\\F\in\{\sin,\cos,\sec,\csc\}\\\tan(\theta+k\pi)=\tan\theta\\\cot(\theta+k\pi)=\cot\theta\end{gathered}

k é qualquer inteiro; ângulos em radianos. F representa uma das quatro razões listadas, no próprio domínio. Tangente e cotangente repetem após π; as outras quatro têm período fundamental 2π. Período fundamental é o menor deslocamento positivo que repete a função inteira, incluindo seu domínio; coincidências isoladas não o determinam.

Por que esses períodos são os menores positivos? Os zeros de tangente e cotangente se repetem a cada π; um período precisa levar o conjunto de zeros a si mesmo, logo não pode ser menor. Para seno/cosseno, os zeros admitem a separação π, mas meia volta troca seus sinais não nulos; o primeiro período é 2π. Secante/cossecante têm exclusões a cada π e também trocam o sinal após π, exigindo 2π. As fórmulas já verificam que esses deslocamentos funcionam em todo o domínio.

Exemplo resolvido · Um ângulo negativo com muitas voltas

Determine seno, cosseno e secante de −25π/3 rad.

Resolução

  1. Some 10π=30π/3, cinco voltas: o representante é 5π/3, no IV quadrante, com referência π/3.
  2. Seno −√3/2, cosseno 1/2 e secante dois. A redução conserva as razões e as exclusões, sem transformar o giro original em seu módulo.

sen(−25π/3)=−√3/2, cos(−25π/3)=1/2 e sec(−25π/3)=2.

Exemplo resolvido · Redução por meia volta não serve a todas as razões

Compare cot(17π/4) com cot(π/4), e sen(5π/4) com sen(π/4).

Resolução

  1. 17π/4−π/4=4π é múltiplo de π, então as cotangentes coincidem e valem um.
  2. 5π/4−π/4=π: os senos têm sinais opostos, −√2/2 e √2/2. Meia volta não é período do seno.

As cotangentes coincidem; os senos da segunda comparação não.

17Reflexão vertical: reduzir π−θ

Refletir no eixo vertical conserva a altura e inverte a coordenada horizontal: (x,y) vira (−x,y). O ângulo correspondente é π−θ, considerado com as voltas que forem necessárias. Esse argumento geométrico justifica as relações para qualquer θ real; para fazer a referência cair no primeiro quadrante, escolhemos θ agudo.

xyOPQReflexão no eixo yθπ − θ(x,y) → (−x,y)
P=(4/5,3/5) e Q=(−4/5,3/5) têm a mesma altura e coordenadas horizontais opostas. A transformação troca o sinal do cosseno e conserva o seno.
sin⁡(π−θ)=sin⁡θcos⁡(π−θ)=−cos⁡θtan⁡(π−θ)=−tan⁡θcot⁡(π−θ)=−cot⁡θsec⁡(π−θ)=−sec⁡θcsc⁡(π−θ)=csc⁡θ\begin{array}{ll}\sin(\pi-\theta)=\sin\theta&\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\\[.5em]\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta&\cot(\pi-\theta)=-\cot\theta\\[.5em]\sec(\pi-\theta)=-\sec\theta&\csc(\pi-\theta)=\csc\theta\end{array}
sin⁡(π−θ)=sin⁡θcos⁡(π−θ)=−cos⁡θtan⁡(π−θ)=−tan⁡θcot⁡(π−θ)=−cot⁡θsec⁡(π−θ)=−sec⁡θcsc⁡(π−θ)=csc⁡θ\begin{gathered}\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\\\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\\\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta\\\cot(\pi-\theta)=-\cot\theta\\\sec(\pi-\theta)=-\sec\theta\\\csc(\pi-\theta)=\csc\theta\end{gathered}

θ é real em radianos. As igualdades de seno e cosseno valem para todo θ. Para tangente e secante, cosθ≠0; para cotangente e cossecante, sinθ≠0. Cada igualdade conserva o domínio de suas expressões.

Exemplo resolvido · Reduzir sem precisar de um valor notável

Expresse sen140° e cos140° usando um ângulo agudo.

Resolução

  1. 140°=180°−40°. A referência é 40°, no primeiro quadrante.
  2. A altura se conserva e a horizontal troca de sinal: sen140°=sen40° e cos140°=−cos40°. Não é necessário aproximar esses valores.

sen140°=sen40° e cos140°=−cos40°.

Exemplo resolvido · Reduzir também os recíprocos

Calcule sec(2π/3) e csc(2π/3).

Resolução

  1. 2π/3=π−π/3. Cosseno é −1/2, portanto secante é −2.
  2. Seno é √3/2, portanto cossecante é 2/√3=2√3/3. A racionalização multiplica numerador e denominador por √3.

sec(2π/3)=−2 e csc(2π/3)=2√3/3.

18Meia volta: reduzir π+θ

Uma meia volta leva cada ponto à outra extremidade do mesmo diâmetro: (x,y) vira (−x,−y). Os dois sinais se invertem, conservando tangente e cotangente. Secante e cossecante trocam de sinal, pois cada uma depende de apenas uma coordenada.

xyOPQMeia voltaθπ + θ(x,y) → (−x,−y)
P e Q são diametralmente opostos: a reta passa pelo centro e Q=−P. Seus quocientes são iguais, embora sejam pontos distintos do ciclo.
sin⁡(π+θ)=−sin⁡θcos⁡(π+θ)=−cos⁡θtan⁡(π+θ)=tan⁡θcot⁡(π+θ)=cot⁡θsec⁡(π+θ)=−sec⁡θcsc⁡(π+θ)=−csc⁡θ\begin{array}{ll}\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta&\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta\\[.5em]\tan(\pi+\theta)=\tan\theta&\cot(\pi+\theta)=\cot\theta\\[.5em]\sec(\pi+\theta)=-\sec\theta&\csc(\pi+\theta)=-\csc\theta\end{array}
sin⁡(π+θ)=−sin⁡θcos⁡(π+θ)=−cos⁡θtan⁡(π+θ)=tan⁡θcot⁡(π+θ)=cot⁡θsec⁡(π+θ)=−sec⁡θcsc⁡(π+θ)=−csc⁡θ\begin{gathered}\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta\\\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta\\\tan(\pi+\theta)=\tan\theta\\\cot(\pi+\theta)=\cot\theta\\\sec(\pi+\theta)=-\sec\theta\\\csc(\pi+\theta)=-\csc\theta\end{gathered}

θ é real em radianos. As igualdades de seno e cosseno valem para todo θ. Para tangente e secante, cosθ≠0; para cotangente e cossecante, sinθ≠0. Cada igualdade conserva o domínio de suas expressões.

Exemplo resolvido · Os quocientes no terceiro quadrante

Calcule tg(7π/6), cot(7π/6) e csc(7π/6).

Resolução

  1. 7π/6=π+π/6. Tangente e cotangente são as de π/6: √3/3 e √3.
  2. Seno troca de 1/2 para −1/2, então cossecante vale −2. Todos os denominadores são não nulos.

tg(7π/6)=√3/3, cot(7π/6)=√3 e csc(7π/6)=−2.

19Reflexão horizontal: reduzir 2π−θ

O ângulo 2π−θ termina no mesmo ponto de −θ, pois diferem por uma volta. A reflexão no eixo horizontal conserva x e inverte y. Essa é a ponte entre ângulos negativos e medidas positivas do quarto quadrante.

xyOPQReflexão no eixo xθ2π − θ(x,y) → (x,−y)
P=(4/5,3/5) e Q=(4/5,−3/5) têm o mesmo cosseno e senos opostos.
sin⁡(2π−θ)=−sin⁡θcos⁡(2π−θ)=cos⁡θtan⁡(2π−θ)=−tan⁡θcot⁡(2π−θ)=−cot⁡θsec⁡(2π−θ)=sec⁡θcsc⁡(2π−θ)=−csc⁡θ\begin{array}{ll}\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta&\cos(2\pi-\theta)=\cos\theta\\[.5em]\tan(2\pi-\theta)=-\tan\theta&\cot(2\pi-\theta)=-\cot\theta\\[.5em]\sec(2\pi-\theta)=\sec\theta&\csc(2\pi-\theta)=-\csc\theta\end{array}
sin⁡(2π−θ)=−sin⁡θcos⁡(2π−θ)=cos⁡θtan⁡(2π−θ)=−tan⁡θcot⁡(2π−θ)=−cot⁡θsec⁡(2π−θ)=sec⁡θcsc⁡(2π−θ)=−csc⁡θ\begin{gathered}\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta\\\cos(2\pi-\theta)=\cos\theta\\\tan(2\pi-\theta)=-\tan\theta\\\cot(2\pi-\theta)=-\cot\theta\\\sec(2\pi-\theta)=\sec\theta\\\csc(2\pi-\theta)=-\csc\theta\end{gathered}

θ é real em radianos. As igualdades de seno e cosseno valem para todo θ. Para tangente e secante, cosθ≠0; para cotangente e cossecante, sinθ≠0. Cada igualdade conserva o domínio de suas expressões.

Exemplo resolvido · O quarto quadrante conserva o cosseno

Calcule cos315°, sen315° e csc315°.

Resolução

  1. 315°=360°−45°. O cosseno é √2/2 e o seno é −√2/2.
  2. A cossecante é −2/√2=−√2. O cosseno positivo não torna todas as razões positivas.

cos315°=√2/2, sen315°=−√2/2 e csc315°=−√2.

20Complementares: quando seno e cosseno trocam de papel

Refletir no eixo da reta y=x troca (x,y) por (y,x). O ângulo passa de θ para π/2−θ. No primeiro quadrante isso também é a troca dos dois catetos de um triângulo retângulo, cujos ângulos agudos somam π/2. A reflexão amplia o resultado a todo θ real, com as restrições dos quocientes.

xyOPQTroca das coordenadasθπ/2 − θ(x,y) → (y,x)
P=(4/5,3/5) e Q=(3/5,4/5) são reflexos em y=x. A coordenada que era horizontal passa a ser vertical; as distâncias ao centro continuam iguais.
sin⁡(π/2−θ)=cos⁡θcos⁡(π/2−θ)=sin⁡θtan⁡(π/2−θ)=cot⁡θcot⁡(π/2−θ)=tan⁡θsec⁡(π/2−θ)=csc⁡θcsc⁡(π/2−θ)=sec⁡θ\begin{array}{ll}\sin(\pi/2-\theta)=\cos\theta&\cos(\pi/2-\theta)=\sin\theta\\[.5em]\tan(\pi/2-\theta)=\cot\theta&\cot(\pi/2-\theta)=\tan\theta\\[.5em]\sec(\pi/2-\theta)=\csc\theta&\csc(\pi/2-\theta)=\sec\theta\end{array}
sin⁡(π/2−θ)=cos⁡θcos⁡(π/2−θ)=sin⁡θtan⁡(π/2−θ)=cot⁡θcot⁡(π/2−θ)=tan⁡θsec⁡(π/2−θ)=csc⁡θcsc⁡(π/2−θ)=sec⁡θ\begin{gathered}\sin(\pi/2-\theta)=\cos\theta\\\cos(\pi/2-\theta)=\sin\theta\\\tan(\pi/2-\theta)=\cot\theta\\\cot(\pi/2-\theta)=\tan\theta\\\sec(\pi/2-\theta)=\csc\theta\\\csc(\pi/2-\theta)=\sec\theta\end{gathered}

θ é real em radianos. Seno e cosseno não exigem exclusões. Nas igualdades de tangente e secante do ângulo transformado, sinθ≠0; nas de cotangente e cossecante, cosθ≠0. As condições acompanham cada igualdade, não restringem as outras linhas.

Como as coordenadas trocam, seno vira cosseno, tangente vira cotangente e secante vira cossecante. Em graus, π/2−θ é 90°−θ. Não se trata de trocar o nome por qualquer ângulo: a relação entre as medidas é indispensável.

Exemplo resolvido · Uma referência que não está na tabela notável

Sem calculadora, relacione cos23° e sen67°.

Resolução

  1. 23°+67°=90°, então os ângulos são complementares.
  2. sen67°=cos(90°−67°)=cos23°. A igualdade é exata, mesmo sem conhecer o valor decimal.

cos23°=sen67°.

Exemplo resolvido · Complementares para outras razões

Expresse cot(π/6) e sec(π/6) por razões de π/3 e calcule.

Resolução

  1. π/6+π/3=π/2. Assim cot(π/6)=tg(π/3)=√3.
  2. sec(π/6)=csc(π/3)=2√3/3. Nos dois casos os denominadores necessários são não nulos.

cot(π/6)=√3 e sec(π/6)=2√3/3.

21Um quarto de volta mais θ

Um giro anti-horário de 90° leva a direção horizontal positiva à vertical positiva. Um vetor (x,y) representa aqui um deslocamento horizontal x e vertical y. Após o giro, ele vira (−y,x): a parte horizontal vai para cima e a vertical vai para a esquerda. Os comprimentos se conservam e os dois componentes continuam perpendiculares. Aplicando isso a P, obtemos o ponto de π/2+θ sem usar uma fórmula de adição ainda não estudada.

xyOPQRSGiros de um quarto de volta(x,y) → (−y,x)P → Q → R → S
A cada quarto de volta, (x,y) vira (−y,x). Partindo de P=(4/5,3/5), chegamos a Q=(−3/5,4/5), depois R=(−4/5,−3/5) e S=(3/5,−4/5).
sin⁡(π/2+θ)=cos⁡θcos⁡(π/2+θ)=−sin⁡θtan⁡(π/2+θ)=−cot⁡θcot⁡(π/2+θ)=−tan⁡θsec⁡(π/2+θ)=−csc⁡θcsc⁡(π/2+θ)=sec⁡θ\begin{array}{ll}\sin(\pi/2+\theta)=\cos\theta&\cos(\pi/2+\theta)=-\sin\theta\\[.5em]\tan(\pi/2+\theta)=-\cot\theta&\cot(\pi/2+\theta)=-\tan\theta\\[.5em]\sec(\pi/2+\theta)=-\csc\theta&\csc(\pi/2+\theta)=\sec\theta\end{array}
sin⁡(π/2+θ)=cos⁡θcos⁡(π/2+θ)=−sin⁡θtan⁡(π/2+θ)=−cot⁡θcot⁡(π/2+θ)=−tan⁡θsec⁡(π/2+θ)=−csc⁡θcsc⁡(π/2+θ)=sec⁡θ\begin{gathered}\sin(\pi/2+\theta)=\cos\theta\\\cos(\pi/2+\theta)=-\sin\theta\\\tan(\pi/2+\theta)=-\cot\theta\\\cot(\pi/2+\theta)=-\tan\theta\\\sec(\pi/2+\theta)=-\csc\theta\\\csc(\pi/2+\theta)=\sec\theta\end{gathered}

θ é real em radianos. Seno e cosseno não exigem exclusões. Nas igualdades de tangente e secante do ângulo transformado, sinθ≠0; nas de cotangente e cossecante, cosθ≠0. As condições acompanham cada igualdade, não restringem as outras linhas.

Exemplo resolvido · Sinais ao trocar coordenadas

θ é agudo, com senθ=3/5 e cosθ=4/5. Calcule seno, cosseno, tangente e secante de π/2+θ.

Resolução

  1. O novo ponto é (−3/5,4/5), no II quadrante. Portanto seno 4/5 e cosseno −3/5.
  2. A tangente é (4/5)/(−3/5)=−4/3 e a secante é −5/3. A troca de razão também precisa do sinal correto.

Seno 4/5, cosseno −3/5, tangente −4/3 e secante −5/3.

22Três quartos de volta, com mais ou menos θ

Podemos compor transformações já justificadas. π/2−θ dá (y,x); uma meia volta adicional produz (−y,−x), correspondente a 3π/2−θ. Para 3π/2+θ, três quartos de volta levam (x,y) a (y,−x). Substituir nessas coordenadas prova as duas famílias abaixo.

sin⁡(3π/2−θ)=−cos⁡θcos⁡(3π/2−θ)=−sin⁡θtan⁡(3π/2−θ)=cot⁡θcot⁡(3π/2−θ)=tan⁡θsec⁡(3π/2−θ)=−csc⁡θcsc⁡(3π/2−θ)=−sec⁡θ\begin{array}{ll}\sin(3\pi/2-\theta)=-\cos\theta&\cos(3\pi/2-\theta)=-\sin\theta\\[.5em]\tan(3\pi/2-\theta)=\cot\theta&\cot(3\pi/2-\theta)=\tan\theta\\[.5em]\sec(3\pi/2-\theta)=-\csc\theta&\csc(3\pi/2-\theta)=-\sec\theta\end{array}
sin⁡(3π/2−θ)=−cos⁡θcos⁡(3π/2−θ)=−sin⁡θtan⁡(3π/2−θ)=cot⁡θcot⁡(3π/2−θ)=tan⁡θsec⁡(3π/2−θ)=−csc⁡θcsc⁡(3π/2−θ)=−sec⁡θ\begin{gathered}\sin(3\pi/2-\theta)=-\cos\theta\\\cos(3\pi/2-\theta)=-\sin\theta\\\tan(3\pi/2-\theta)=\cot\theta\\\cot(3\pi/2-\theta)=\tan\theta\\\sec(3\pi/2-\theta)=-\csc\theta\\\csc(3\pi/2-\theta)=-\sec\theta\end{gathered}

θ é real em radianos. Seno e cosseno não exigem exclusões. Nas igualdades de tangente e secante do ângulo transformado, sinθ≠0; nas de cotangente e cossecante, cosθ≠0. As condições acompanham cada igualdade, não restringem as outras linhas.

sin⁡(3π/2+θ)=−cos⁡θcos⁡(3π/2+θ)=sin⁡θtan⁡(3π/2+θ)=−cot⁡θcot⁡(3π/2+θ)=−tan⁡θsec⁡(3π/2+θ)=csc⁡θcsc⁡(3π/2+θ)=−sec⁡θ\begin{array}{ll}\sin(3\pi/2+\theta)=-\cos\theta&\cos(3\pi/2+\theta)=\sin\theta\\[.5em]\tan(3\pi/2+\theta)=-\cot\theta&\cot(3\pi/2+\theta)=-\tan\theta\\[.5em]\sec(3\pi/2+\theta)=\csc\theta&\csc(3\pi/2+\theta)=-\sec\theta\end{array}
sin⁡(3π/2+θ)=−cos⁡θcos⁡(3π/2+θ)=sin⁡θtan⁡(3π/2+θ)=−cot⁡θcot⁡(3π/2+θ)=−tan⁡θsec⁡(3π/2+θ)=csc⁡θcsc⁡(3π/2+θ)=−sec⁡θ\begin{gathered}\sin(3\pi/2+\theta)=-\cos\theta\\\cos(3\pi/2+\theta)=\sin\theta\\\tan(3\pi/2+\theta)=-\cot\theta\\\cot(3\pi/2+\theta)=-\tan\theta\\\sec(3\pi/2+\theta)=\csc\theta\\\csc(3\pi/2+\theta)=-\sec\theta\end{gathered}

θ é real em radianos. Seno e cosseno não exigem exclusões. Nas igualdades de tangente e secante do ângulo transformado, sinθ≠0; nas de cotangente e cossecante, cosθ≠0. As condições acompanham cada igualdade, não restringem as outras linhas.

Exemplo resolvido · Um mesmo módulo de referência em dois quadrantes

Calcule seno, cosseno e tangente de 3π/2−π/6 e de 3π/2+π/6.

Resolução

  1. O primeiro ângulo é 4π/3. As fórmulas dão seno −cos(π/6)=−√3/2 e cosseno −sen(π/6)=−1/2; tangente cot(π/6)=√3.
  2. O segundo é 5π/3. Seno continua −√3/2, mas cosseno passa a 1/2 e tangente a −√3.
  3. O primeiro está no III quadrante e o segundo no IV. A referência aguda ao eixo horizontal é π/3 nos dois, não π/6.

Em 4π/3: (cos,sen)=(−1/2,−√3/2), tg=√3. Em 5π/3: (1/2,−√3/2), tg=−√3.

23Reduzir qualquer arco em uma sequência segura

Primeiro escolha a unidade. Para seno, cosseno e seus recíprocos, retire voltas inteiras até chegar a α em [0,2π), ou [0°,360°). Confira se está num eixo; se estiver, use a tabela. Caso contrário, encontre a referência aguda β e mantenha os sinais do quadrante original. Para tangente/cotangente, meias-voltas também são permitidas, respeitando o domínio.

β={α0<α<π/2π−απ/2<α<πα−ππ<α<3π/22π−α3π/2<α<2π\beta=\begin{cases}\alpha&0<\alpha<\pi/2\\\pi-\alpha&\pi/2<\alpha<\pi\\\alpha-\pi&\pi<\alpha<3\pi/2\\2\pi-\alpha&3\pi/2<\alpha<2\pi\end{cases}

α, lido alfa, é o representante do ângulo em [0,2π). β, lido beta, é a abertura aguda até o semieixo horizontal mais próximo. Nos eixos, use a tabela diretamente. A referência fornece módulos; o quadrante original fornece os sinais.

Exemplo resolvido · Redução de uma medida negativa em graus

Calcule seno e cosseno de −765°.

Resolução

  1. Some 3·360°=1080°: o representante é 315°. Ele fica no IV quadrante e tem referência 45°.
  2. Assim sen(−765°)=−√2/2 e cos(−765°)=√2/2. Não trocamos o sinal da medida simplesmente tomando seu módulo.

Seno −√2/2 e cosseno √2/2.

Exemplo resolvido · Redução em radianos seguida de reflexão

Calcule seno, cosseno e cotangente de 41π/6.

Resolução

  1. Subtraia 6π=36π/6: sobra 5π/6=π−π/6. A referência é π/6 e o quadrante é II.
  2. Seno 1/2, cosseno −√3/2 e cotangente (−√3/2)/(1/2)=−√3.

Seno 1/2, cosseno −√3/2 e cotangente −√3.

Exemplo resolvido · Nem toda redução termina num triângulo agudo

Determine cotangente, secante e cossecante de 29π/2.

Resolução

  1. 29π/2=7·2π+π/2. O ponto final está no topo do ciclo, sobre o eixo vertical.
  2. Cosseno zero e seno um dão cotangente zero e cossecante um. A secante não existe porque dividiria por zero.

Cotangente zero, secante não definida e cossecante um.

24Simplificar com a álgebra que já conhecemos

Simplificar é reescrever o mesmo valor de forma mais útil. Primeiro anote as restrições; depois transforme quocientes em seno/cosseno, procure a relação fundamental e fatore quando necessário. Só cancelamos fatores comuns não nulos; não cancelamos parcelas separadas por soma.

1−cos⁡2θsin⁡θ=sin⁡θ(sin⁡θ≠0)1−sin⁡2θcos⁡θ=cos⁡θ(cos⁡θ≠0)\begin{gathered}\frac{1-\cos^2\theta}{\sin\theta}=\sin\theta\quad(\sin\theta\ne0)\\\frac{1-\sin^2\theta}{\cos\theta}=\cos\theta\quad(\cos\theta\ne0)\end{gathered}

O cancelamento ocorre entre fatores não nulos. A expressão simplificada pode ter domínio maior; a igualdade de valores vale no domínio original. Cancelar não preenche os pontos em que a expressão inicial não existia.

Exemplo resolvido · Uma identidade entre três razões

Mostre que (tan⁡θ+cot⁡θ)sin⁡θcos⁡θ=1(\tan\theta+\cot\theta)\sin\theta\cos\theta=1 no domínio da expressão.

Resolução

  1. Tangente exige cosθ≠0 e cotangente exige senθ≠0. A expressão só existe quando as duas condições são satisfeitas.
  2. Substituindo os quocientes, (sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ)sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)\sin\theta\cos\theta=\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
  3. A distribuição multiplica cada parcela pelo produto; os cancelamentos usam fatores não nulos. O resultado não atribui valor à expressão original nos eixos.

A identidade vale onde senθ·cosθ≠0.

Exemplo resolvido · Substituir antes de concluir

Simplifique sec⁡2θsin⁡2θ−tan⁡2θ\sec^2\theta\sin^2\theta-\tan^2\theta.

Resolução

  1. A secante e a tangente exigem cosθ≠0. A primeira parcela é sen²θ/cos²θ=tg²θ.
  2. Subtrair tg²θ fornece zero. O resultado permanece condicionado ao domínio original.

Vale zero quando cosθ≠0.

25Usar fatores conjugados em frações

Os fatores 1−a e 1+a são conjugados; o produto é 1−a², pela diferença de quadrados. Quando a é seno ou cosseno, a relação fundamental pode transformar esse produto no quadrado da outra razão. Multiplicar por um quociente igual a um exige que seu denominador seja não nulo.

1−cos⁡θsin⁡θ=sin⁡θ1+cos⁡θsin⁡θ≠0\begin{gathered}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\\\sin\theta\ne0\end{gathered}

A condição indicada é o domínio comum. Multiplicamos a primeira fração por (1+cosθ)/(1+cosθ) e usamos 1−cos²θ=sin²θ. Se sinθ≠0, cosθ não pode ser −1, portanto o novo fator é não nulo. A segunda fração isolada também existe em θ=0; a primeira não.

Exemplo resolvido · Uma transformação com domínio comum declarado

Calcule 1−cos⁡θsin⁡θ\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} em θ=π/3 usando o conjugado.

Resolução

  1. Seno é √3/2, diferente de zero, e 1+cosθ=3/2 também é não nulo. Podemos multiplicar por (1+cosθ)/(1+cosθ).
  2. O produto dos numeradores é (1−cosθ)(1+cosθ)=1−cos²θ=sen²θ. A fração fica sen²θ/[senθ(1+cosθ)]; como senθ≠0, cancelamos esse fator e obtemos senθ/(1+cosθ)=(√3/2)/(3/2)=√3/3.
  3. Em θ=0, a segunda fração isolada vale zero, mas a primeira seria 0/0. A transformação não autoriza incluir esse ponto no domínio original.

O valor pedido é √3/3.

Exemplo resolvido · Somar frações antes de usar a identidade

Simplifique 11−sin⁡θ+11+sin⁡θ\frac1{1-\sin\theta}+\frac1{1+\sin\theta}.

Resolução

  1. Os denominadores exigem senθ≠1 e senθ≠−1. No ciclo isso equivale a cosθ≠0.
  2. O denominador comum é (1−senθ)(1+senθ)=1−sen²θ=cos²θ. O numerador é 1+senθ+1−senθ=2.
  3. O resultado é 2/cos²θ=2sec²θ, com a mesma condição cosθ≠0.

A soma vale 2sec²θ onde cosθ≠0.

26Evitar a perda de sinal ao extrair raízes

Para qualquer número real a, √(a²)=|a|. Por exemplo, √((−3)²)=3, e não −3. A relação fundamental não muda essa regra. Conhecer a posição permite substituir o módulo por uma expressão com o sinal adequado.

1−sin⁡2θ=∣cos⁡θ∣1−cos⁡2θ=∣sin⁡θ∣\sqrt{1-\sin^2\theta}=|\cos\theta|\qquad\sqrt{1-\cos^2\theta}=|\sin\theta|
1−sin⁡2θ=∣cos⁡θ∣1−cos⁡2θ=∣sin⁡θ∣\begin{gathered}\sqrt{1-\sin^2\theta}=|\cos\theta|\\\sqrt{1-\cos^2\theta}=|\sin\theta|\end{gathered}

θ é real. A raiz quadrada principal é não negativa, enquanto seno/cosseno podem ser negativos. No II e III quadrantes, |cosθ|=−cosθ. Nos eixos, a mesma igualdade continua válida.

Exemplo resolvido · A raiz é positiva no quadrante de cosseno negativo

Se cosθ=−3/5, calcule 1−sin⁡2θ\sqrt{1-\sin^2\theta}.

Resolução

  1. 1−sen²θ=cos²θ=9/25. A raiz principal é 3/5.
  2. A expressão vale |cosθ|=−cosθ neste caso. Ela não vale o próprio cosseno negativo.

A raiz vale 3/5.

27Relacionar soma, diferença e produto

Não precisamos de fórmulas de arco duplo para desenvolver o quadrado de uma soma. Usamos a álgebra: (a+b)²=a²+2ab+b². Como a soma dos quadrados de seno e cosseno vale um, resta uma expressão em seu produto.

(sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+2sin⁡θcos⁡θ(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ\begin{gathered}(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta\\(\sin\theta-\cos\theta)^2=1-2\sin\theta\cos\theta\end{gathered}

θ é real. Expandir (a±b)² produz a²±2ab+b²; a relação fundamental substitui a soma dos quadrados por um. sinθ+cosθ não é igual a um em geral.

Exemplo resolvido · Encontrar um produto sem separar as razões

Se senθ+cosθ=1/2, calcule senθ·cosθ e o quadrado de senθ−cosθ.

Resolução

  1. Eleve a soma ao quadrado: 1/4=1+2senθcosθ. Logo o produto é (1/4−1)/2=−3/8.
  2. Desenvolvendo a diferença, (senθ−cosθ)²=sen²θ+cos²θ−2senθcosθ=1−2(−3/8)=7/4. A diferença em si poderia ser √7/2 ou −√7/2; não há dado que escolha entre os dois sinais.

Produto −3/8 e quadrado da diferença 7/4.

Exemplo resolvido · O quadrado de uma soma não é a soma dos quadrados

Quanto vale sen45°+cos45°? Isso contradiz a relação fundamental?

Resolução

  1. Cada parcela é √2/2, então a soma é √2 e seu quadrado é dois.
  2. A relação fundamental soma os quadrados individuais: 1/2+1/2=1. O termo misto 2senθcosθ explica a diferença entre as duas contas.

A soma é √2; não há contradição.

28Conferir existência e trabalhar com parâmetros

O quadrado de um real é não negativo. De (senθ−cosθ)²=1−2senθcosθ≥0, obtemos senθcosθ≤1/2. Da soma ao quadrado, obtemos senθcosθ≥−1/2. Substituindo esses limites nas mesmas identidades, cada quadrado de soma/diferença fica no máximo dois.

∣sin⁡θ+cos⁡θ∣≤2∣sin⁡θ−cos⁡θ∣≤2\begin{gathered}|\sin\theta+\cos\theta|\le\sqrt2\\|\sin\theta-\cos\theta|\le\sqrt2\end{gathered}

θ é real. Como ambos os quadrados de soma/diferença são não negativos, −1/2≤sinθcosθ≤1/2. A soma atinge módulo √2 quando sinθ=cosθ; a diferença, quando sinθ=−cosθ. Os valores extremos são atingidos, não apenas aproximados.

A igualdade no limite da soma exige senθ=cosθ, e ocorre em π/4 e 5π/4, com somas √2 e −√2. A igualdade no limite da diferença exige senθ=−cosθ, e ocorre em 3π/4 e 7π/4. Assim os limites são atingidos. Uma letra usada como parâmetro representa um número a determinar; ela não é uma nova razão trigonométrica.

Exemplo resolvido · Um dado incompatível com o limite

É possível senθ+cosθ=3/2 para θ real?

Resolução

  1. A soma precisa estar entre −√2 e √2. Como 3/2>√2, o dado é impossível.
  2. Também podemos elevar ao quadrado: isso exigiria produto (9/4−1)/2=5/8, maior que 1/2, contrariando o limite provado.

Não existe tal ângulo real.

Exemplo resolvido · O parâmetro precisa satisfazer as duas coordenadas

São dados senθ=a e cosθ=2a, com a real. Encontre a e os quadrantes possíveis.

Resolução

  1. A relação fundamental exige a²+4a²=1, então a²=1/5 e a=±1/√5=±√5/5.
  2. Com a positivo, as duas coordenadas são positivas: quadrante I. Com a negativo, ambas são negativas: quadrante III.
  3. As coordenadas obtidas têm soma dos quadrados um, portanto correspondem a pontos reais do ciclo. Se o enunciado exigisse quadrante II, não haveria solução, pois as coordenadas precisariam ter sinais diferentes.

a=√5/5 no I ou a=−√5/5 no III; o II é incompatível.

29Demonstrar uma identidade e rejeitar uma regra falsa

Para demonstrar uma identidade, comece de um lado e faça transformações válidas até chegar ao outro. Registre o domínio antes de dividir. Verificar um caso numérico não prova uma afirmação geral; basta, porém, um caso válido em que falhe para refutar uma suposta identidade. Esse caso recebe o nome de contraexemplo.

Exemplo resolvido · Uma restrição não desaparece com o cancelamento

É correto afirmar que cos⁡θsec⁡θ=1\cos\theta\sec\theta=1 para todo real θ?

Resolução

  1. O cálculo cosθ·(1/cosθ)=1 é válido quando cosθ≠0.
  2. Em π/2 a secante não existe. Portanto a afirmação precisa incluir a condição; a relação fundamental, ao contrário, vale para todo real.

A identidade é válida no domínio cosθ≠0, e não em todos os reais.

Exemplo resolvido · Um contraexemplo evita inventar uma fórmula de soma

A afirmação sen(a+b)=sena+senb vale sempre?

Resolução

  1. Escolha a=b=45°. O lado esquerdo é sen90°=1; o direito é √2/2+√2/2=√2.
  2. Como 1≠√2, a regra é falsa. As fórmulas corretas de adição serão demonstradas na aula de Transformações trigonométricas.

Não: seno de uma soma não se distribui como uma multiplicação.

30Aplicar as razões sem confundir proporção e comprimento

As razões não são comprimentos: elas permitem converter uma medida conhecida em outra na mesma figura. Num triângulo retângulo com ângulo agudo θ, secante é hipotenusa/adjacente, cossecante é hipotenusa/oposto e cotangente é adjacente/oposto. Isso vem de inverter ou dividir as razões já definidas, com catetos positivos.

Exemplo resolvido · Três leituras de uma mesma rampa

Uma rampa reta tem projeção horizontal 12 m e desnível 5 m. Determine o comprimento e use secante, cossecante e cotangente do ângulo com a horizontal para conferir as medidas.

Resolução

  1. Pitágoras dá comprimento √(12²+5²)=13 m. Logo cosθ=12/13 e senθ=5/13.
  2. secθ=13/12 e 12·secθ=13 m. cscθ=13/5 e 5·cscθ=13 m.
  3. cotθ=12/5 e 5·cotθ=12 m. As razões são números sem unidade; multiplicar por uma medida em metros fornece outra medida em metros.

A rampa mede 13 m; secante 13/12, cossecante 13/5 e cotangente 12/5.

Exemplo resolvido · Área com coordenadas de sinais diferentes

No ciclo unitário, P=(−4/5,3/5) e H=(−4/5,0). Calcule a área do triângulo OHP, com O=(0,0).

Resolução

  1. A base OH tem comprimento |−4/5|=4/5 e a altura HP mede 3/5. São perpendiculares porque OH é horizontal e HP é vertical.
  2. Área é base vezes altura dividida por dois: (4/5)(3/5)/2=6/25 unidades de área. O sinal negativo da coordenada horizontal localiza o ponto, mas não torna a base ou a área negativas.

A área é 6/25 unidades de área.

Exemplo resolvido · Relacionar os ângulos de um triângulo

Os ângulos internos a, b e c de um triângulo não degenerado são medidos em radianos. Calcule sen(a+b)/senc e cos(a+b)/cosc, declarando quando cada razão existe.

Resolução

  1. A soma a+b+c=π fornece a+b=π−c. Como 0<c<π, o seno de c é positivo e não nulo.
  2. A reflexão vertical dá sen(a+b)=senc, portanto a primeira razão vale um em qualquer triângulo não degenerado.
  3. Também cos(a+b)=−cosc. A segunda razão vale −1 quando cosc≠0, isto é, c≠π/2. Se c=π/2, ela seria 0/0 e não existe. Um ângulo reto em a ou b não impede esse quociente, desde que c não seja reto.

A primeira razão vale um; a segunda vale −1 se c≠π/2.

31Agora é com você

São 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Elas cobrem significados, domínio, eixos, sinais, identidades, redução de arcos, simplificação e existência de dados. Nas discursivas, registre as restrições e justifique os sinais antes de conferir a resolução.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Em quais medidas reais vale sen²θ+cos²θ=1?

Escolha uma alternativa

32O que levar desta aula

  • O ciclo tem P=(cosθ,senθ) e raio um. Pitágoras prova sen²θ+cos²θ=1 em todos os quadrantes e eixos.
  • Identidade vale para todo valor de seu domínio; uma equação pede os valores que satisfazem uma igualdade. Um exemplo não demonstra uma identidade geral.
  • Tangente é seno/cosseno, com cosseno não nulo. Cotangente é cosseno/seno, com seno não nulo. Cotangente pode existir e valer zero onde a tangente não existe.
  • Secante é 1/cosseno e cossecante é 1/seno. Não confunda recíproco com função inversa para obter ângulo.
  • Tangente e secante excluem π/2+kπ; cotangente e cossecante excluem kπ. k é qualquer inteiro. Denominadores externos também impõem condições.
  • Seno e cosseno variam entre −1 e 1. Secante e cossecante têm módulo pelo menos um e nunca zeram. Tangente e cotangente assumem todos os reais em seus domínios.
  • As interseções da reta OP com x=1 e y=1 dão T=(1,tgθ) e U=(cotθ,1). Os comprimentos OT e OU são módulos de secante e cossecante, não razões assinadas negativas.
  • Dividir a relação fundamental por cos²θ dá 1+tg²θ=sec²θ; por sen²θ dá 1+cot²θ=csc²θ, com o divisor não nulo.
  • Quocientes e recíprocos conservam as condições das expressões originais. tgθ·cotθ=1 exige seno e cosseno não nulos.
  • Uma raiz quadrada principal é não negativa: √(cos²θ)=|cosθ|. Recuperar coordenada exige escolher o sinal pelo quadrante; sem posição, podem restar duas possibilidades.
  • Cosseno e secante são pares; seno, tangente, cotangente e cossecante são ímpares, respeitados seus domínios.
  • Tangente e cotangente têm período fundamental π; as outras quatro razões, 2π. Coincidência em um ponto não é período de toda a função nem congruência de arcos.
  • π−θ reflete no eixo vertical; π+θ leva ao ponto oposto; 2π−θ reflete no eixo horizontal. Os sinais são lidos nas coordenadas transformadas.
  • π/2−θ troca (x,y) por (y,x). π/2+θ troca por (−y,x). Seno/cosseno, tangente/cotangente e secante/cossecante trocam de papel com os sinais corretos.
  • 3π/2−θ corresponde a (−y,−x), e 3π/2+θ a (y,−x). Derivar pelas coordenadas evita depender de uma regra de sinais decorada.
  • Na redução, escolha a unidade, retire voltas, confira eixos, determine a referência aguda e preserve o sinal do quadrante original. Referência não precisa ser um valor notável.
  • Fatoração e conjugados transformam expressões sem apagar exclusões. Cancelar fatores não nulos não preenche pontos em que a expressão original era indefinida.
  • O quadrado de senθ±cosθ é 1±2senθcosθ. As somas/diferenças têm módulo no máximo √2; dados e parâmetros precisam respeitar esses limites e a relação fundamental.
  • Comprimentos são não negativos e têm unidade; as razões trigonométricas são números sem unidade. Confira os dados e a posição antes de aplicar uma fórmula.

Na próxima aula, Trigonometria em triângulos quaisquer, vamos demonstrar e aplicar as leis dos senos e dos cossenos, calcular áreas e analisar os casos em que os dados permitem nenhum, um ou dois triângulos.

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