Trigonometria no triângulo retângulo

1O que podemos descobrir com um ângulo e uma distância

Uma escada encostada numa parede, uma rampa e a linha de visão para o topo de um poste podem formar triângulos retângulos. A trigonometria relaciona seus ângulos às proporções dos lados. Isso permite calcular uma altura sem subir até o topo, desde que as medidas e as condições do desenho representem o problema.

Vamos começar pelo significado de cada lado, antes das fórmulas. Retomaremos razões, Pitágoras e semelhança no momento de usá-los. Trabalhamos nesta aula com comprimentos positivos e com os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo não degenerado: os três vértices não estão alinhados.

Um ângulo mede uma abertura entre duas semirretas com a mesma origem. Nesta aula usamos graus, indicados por °. Um ângulo reto mede 90°; agudo significa maior que 0° e menor que 90°. A soma interna de um triângulo é 180°, portanto os outros dois ângulos somam 90° e são complementares.

\begin{gathered}\theta+\varphi=90^\circ\\0^\circ<\theta,\varphi<90^\circ\end{gathered}

O triângulo é retângulo e não degenerado, isto é, seus vértices não estão alinhados e seus lados têm comprimento positivo. θ e φ, lidos teta e fi, são os outros dois ângulos. O símbolo ° indica graus; complementares significa que a soma vale 90°.

Exemplo resolvido · Preparar a leitura dos ângulos

Um triângulo tem um ângulo reto e outro de 28°. Quanto mede o terceiro?

Resolução

A soma dos dois agudos é 90°. Se um mede 28°, o outro mede 90°−28°=62°.
Conferindo a soma total: 90°+28°+62°=180°. Ambos os restantes são positivos e menores que 90°.

O terceiro ângulo mede 62°.

Usaremos θ, lido teta, para o ângulo escolhido e φ, lido fi, para seu complemento. São nomes de ângulos, não operações. Cada aplicação identificará quais medidas são dadas e quais precisam ser encontradas.

2Hipotenusa, oposto e adjacente: escolha o ângulo primeiro

Os dois lados que formam o ângulo reto são os catetos. O lado que fica em frente ao ângulo reto é a hipotenusa. Essa identificação não muda quando giramos o papel. Para distinguir os catetos, porém, precisamos escolher um dos ângulos agudos como referência.

O cateto oposto está em frente ao ângulo escolhido: não toca seu vértice. O cateto adjacente toca esse vértice e é um cateto. A hipotenusa também toca o ângulo agudo, mas não é chamada cateto adjacente. Chamaremos os comprimentos de o, a e c, respectivamente oposto, adjacente e hipotenusa.

O triângulo ABC é reto em C. Para θ no vértice A, AC é o cateto adjacente de medida quatro, CB o oposto de medida três e AB a hipotenusa de medida cinco. Para φ no vértice B, os dois catetos trocam de papel; AB continua sendo a hipotenusa.

Exemplo resolvido · A mesma figura, outra referência

No triângulo da figura, quais são os lados em relação a θ e em relação a φ?

Resolução

Em relação a θ: oposto CB=3, adjacente AC=4 e hipotenusa AB=5.
Em relação a φ: oposto AC=4, adjacente CB=3 e hipotenusa AB=5.
Girar ou espelhar a figura não muda esses fatos: procure primeiro o ângulo reto e depois o ângulo de referência.

Oposto e adjacente dependem do ângulo; a hipotenusa depende do ângulo reto.

3Retomar Pitágoras e conferir os comprimentos

Pitágoras relaciona os três lados de um triângulo retângulo. A hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos. Como procuramos um comprimento positivo, ao tirar uma raiz usamos a raiz positiva.

\begin{gathered}c^2=a^2+o^2\\c=\sqrt{a^2+o^2}\end{gathered}

c é a hipotenusa, oposta ao ângulo reto; a e o são os catetos adjacente e oposto ao ângulo agudo escolhido. Todos são comprimentos positivos na mesma unidade. A hipotenusa é maior que cada cateto. As letras nomeiam medidas, não ângulos.

Uma justificativa por áreas usa quatro cópias do triângulo num quadrado de lado a+o, deixando no centro um quadrado de lado c. Os ângulos agudos complementares fazem os cantos internos serem retos. A área externa é (a+o)²; a área dos quatro triângulos é 4·ao/2=2ao. O restante vale c²=(a+o)²−2ao=a²+o². É uma relação entre áreas quadradas, não uma soma direta de comprimentos.

Exemplo resolvido · Encontrar a hipotenusa

Os catetos medem 6 cm e 8 cm. Encontre a hipotenusa.

Resolução

c²=6²+8²=36+64=100. Como c é positivo, c=10 cm.
De fato, dez é maior que seis e que oito. A conta 6+8=14 não fornece a hipotenusa.

A hipotenusa mede 10 cm.

Exemplo resolvido · Encontrar um cateto

A hipotenusa mede 13 m e um cateto mede 5 m. Calcule o outro.

Resolução

Se o cateto desconhecido é a, então a²+5²=13². Logo a²=169−25=144 e a=12 m.
A diferença 13−5=8 não resolve a relação quadrática. Confira: 12²+5²=169.

O outro cateto mede 12 m.

Como a² e o² são positivos, c² é maior que cada um deles, portanto c>a e c>o. Antes de usar razões, confira se os dados realmente podem representar o triângulo descrito e se os comprimentos estão na mesma unidade.

4Por que as razões dependem do ângulo, não do tamanho

Uma razão é um quociente que compara duas medidas. Se ampliamos todos os lados de um triângulo pelo mesmo fator positivo, seus ângulos permanecem. Dois triângulos retângulos que têm um mesmo ângulo agudo possuem dois ângulos correspondentes iguais e são semelhantes pelo critério AA, ângulo-ângulo. Seus lados correspondentes são proporcionais.

\begin{gathered}(o',a',c')=(ko,ka,kc)\\\frac{o'}{c'}=\frac{o}{c}\qquad\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c}\qquad\frac{o'}{a'}=\frac{o}{a}\end{gathered}

\begin{gathered}(o',a',c')=(ko,ka,kc)\\\frac{o'}{c'}=\frac{o}{c}\\\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c}\\\frac{o'}{a'}=\frac{o}{a}\end{gathered}

Os triângulos são retângulos e têm o mesmo ângulo agudo, portanto são semelhantes por AA. As linhas são lidas na mesma correspondência. k>0 é o fator de escala; as marcas de apóstrofo indicam medidas do segundo triângulo, não derivadas. Os comprimentos dos denominadores são positivos.

Se o segundo triângulo tem lados ko, ka e kc, dividir dois lados cancela o mesmo k. Por exemplo, (ko)/(kc)=o/c, pois k e c não são zero. O mesmo ocorre nos outros quocientes. Essa é a razão de podermos associar números ao ângulo, independentemente da escala da figura.

Os triângulos têm catetos doze e cinco e hipotenusa treze, e catetos vinte e quatro e dez e hipotenusa vinte e seis. O segundo é o dobro do primeiro, com o mesmo ângulo θ. As três razões de lados correspondentes coincidem.

Exemplo resolvido · Dobrar os lados não dobra a razão

Compare triângulos com (a,o,c)=(12,5,13) e (24,10,26).

Resolução

O primeiro dá o/c=5/13, a/c=12/13 e o/a=5/12.
O segundo dá 10/26=5/13, 24/26=12/13 e 10/24=5/12. Os comprimentos dobraram; os quocientes ficaram iguais.

As três razões são preservadas pela semelhança.

Uma razão de comprimentos na mesma unidade não tem unidade: centímetros divididos por centímetros se cancelam. Isso não significa que as medidas dos lados sejam iguais ao valor da razão. Um número como 3/5 descreve uma proporção, não um lado de 3/5 metro sem dados adicionais.

5Seno: comparar o cateto oposto com a hipotenusa

O seno informa qual fração da hipotenusa corresponde ao cateto oposto ao ângulo. Escrevemos senθ em português; muitas calculadoras e as fórmulas matemáticas usam sinθ. Ambas as escritas representam seno, e não uma multiplicação das letras s, i e n.

\sin\theta=\frac{o}{c}

0°<θ<90°. o é o cateto oposto a θ e c é a hipotenusa, ambos positivos e na mesma unidade. sin é a escrita usada em muitas calculadoras para seno, também abreviado sen. A razão não é uma medida de comprimento.

Exemplo resolvido · Ler uma proporção

Em relação ao ângulo θ, o cateto oposto mede 7 m e a hipotenusa 25 m. Calcule o seno.

Resolução

Pela definição, $\sin\theta=\frac7{25}=0{,}28$ .
O outro cateto mede √(25²−7²)=√576=24 m. Assim os dados são compatíveis com um triângulo retângulo.
A resposta 0,28 não recebe metro nem grau: é a razão entre dois comprimentos.

senθ=7/25=0,28.

6Cosseno: comparar o cateto adjacente com a hipotenusa

O cosseno informa qual fração da hipotenusa corresponde ao cateto adjacente. O ângulo de referência continua indispensável: a palavra adjacente não significa simplesmente o lado desenhado na horizontal.

\cos\theta=\frac{a}{c}

0°<θ<90°. a é o cateto adjacente a θ: toca esse ângulo e não é a hipotenusa. c é a hipotenusa. Ambos são comprimentos positivos na mesma unidade. Ao mudar para o outro ângulo agudo, os catetos trocam de papel.

Exemplo resolvido · Separar adjacente e hipotenusa

O cateto adjacente a θ mede 9 cm e a hipotenusa 15 cm. Calcule cosθ.

Resolução

$\cos\theta=\frac9{15}=\frac35=0{,}6$ .
A hipotenusa está no denominador. O quociente 15/9 é seu recíproco, não o cosseno definido aqui.

cosθ=3/5.

7Tangente: comparar os dois catetos

A tangente compara a subida oposta com o avanço adjacente. Em uma rampa cujo ângulo é medido a partir da horizontal, isso relaciona a variação vertical à distância horizontal. Usamos tgθ ou tanθ; as duas abreviações têm o mesmo significado.

\tan\theta=\frac{o}{a}

0°<θ<90°. o e a são os catetos oposto e adjacente a θ, positivos e na mesma unidade. tan e tg abreviam a mesma razão. O divisor é o cateto adjacente, não a hipotenusa.

\begin{gathered}0<\sin\theta<1\\0<\cos\theta<1\\\tan\theta>0\end{gathered}

θ é agudo, estritamente entre 0° e 90°. Os catetos são menores que a hipotenusa; a tangente compara dois catetos e pode ser menor, igual ou maior que um. Os extremos 0° e 90° não são ângulos agudos de um triângulo não degenerado.

Exemplo resolvido · Uma tangente pode ser maior que um

Em relação a θ, os catetos oposto e adjacente medem 20 e 15 unidades. Calcule as três razões.

Resolução

A hipotenusa é √(20²+15²)=25. Então senθ=20/25=4/5 e cosθ=15/25=3/5.
tgθ=20/15=4/3, maior que um. Isso é permitido porque o cateto oposto pode ser maior que o adjacente.

senθ=4/5, cosθ=3/5 e tgθ=4/3.

Seno e cosseno ficam estritamente entre zero e um porque comparam um cateto positivo com a hipotenusa maior. A tangente é positiva, mas não tem a mesma restrição superior. Um seno igual a 1,2 não descreve um ângulo agudo deste triângulo; uma tangente igual a 1,2 pode descrevê-lo.

8Duas relações que vêm das próprias definições

Podemos relacionar as razões sem decorar uma regra independente. Dividir o seno pelo cosseno fornece (o/c)/(a/c). Multiplicar pelo recíproco da segunda fração cancela c e resulta em o/a, a tangente. Essa divisão é válida porque o cosseno é positivo no domínio agudo.

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

0°<θ<90°, de modo que cosθ>0. Substituir as definições cancela a hipotenusa: (o/c)/(a/c)=o/a. A identidade é usada aqui no domínio agudo; a ampliação de domínio será estudada no ciclo.

Pitágoras também permite relacionar seno e cosseno. Divida a²+o²=c² por c²>0: (a/c)²+(o/c)²=1. Substituindo as definições, obtemos a relação fundamental. A escrita sen²θ significa (senθ)²: primeiro calcule a razão, depois eleve seu valor ao quadrado.

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

0°<θ<90°. sin²θ significa (sinθ)², não sin(θ²). A identidade vem de dividir a²+o²=c² por c²>0. Conhecer a soma dos quadrados não autoriza concluir que sinθ+cosθ=1.

Exemplo resolvido · Conferir os quadrados

Um ângulo agudo tem senθ=3/5 e cosθ=4/5. Confira a relação fundamental e a tangente.

Resolução

(3/5)²+(4/5)²=9/25+16/25=1. Já a soma direta 3/5+4/5=7/5 não é um.
tgθ=(3/5)/(4/5)=3/4. Não some seno e cosseno para obter a tangente.

Os quadrados somam um e tgθ=3/4.

9Conhecer uma razão permite encontrar as outras

As razões dependem apenas do ângulo. Podemos escolher um triângulo de escala conveniente que tenha a razão fornecida, usar Pitágoras e calcular as restantes. A relação fundamental produz o mesmo resultado. O domínio agudo determina o sinal positivo das raízes; não devemos colocar ± quando o comprimento ou a razão precisa ser positivo.

\begin{gathered}\sin\theta=s\\\cos\theta=\sqrt{1-s^2}\\\tan\theta=\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}\end{gathered}

θ é agudo e 0<s<1. s é o valor dado do seno. A raiz positiva é escolhida porque o cosseno de um ângulo agudo é positivo. O denominador é não nulo.

Exemplo resolvido · Começar pelo seno

Sabendo que θ é agudo e senθ=5/13, encontre cosθ e tgθ.

Resolução

Escolha oposto cinco e hipotenusa treze, na mesma unidade arbitrária. O adjacente vale √(169−25)=12.
Então cosθ=12/13 e tgθ=5/12. Pela identidade, cos²θ=1−25/169=144/169, e a raiz positiva confirma 12/13.

cosθ=12/13 e tgθ=5/12.

\begin{gathered}\cos\theta=q\\\sin\theta=\sqrt{1-q^2}\\\tan\theta=\frac{\sqrt{1-q^2}}{q}\end{gathered}

θ é agudo e 0<q<1. q é o valor dado do cosseno. O seno usa a raiz positiva. Dividir por q é permitido por q>0.

Exemplo resolvido · Começar pelo cosseno

Sabendo que θ é agudo e cosθ=3/5, encontre seno e tangente.

Resolução

sen²θ=1−9/25=16/25. Como o seno é positivo, senθ=4/5.
tgθ=(4/5)/(3/5)=4/3. A mesma conta viria de adjacente três, hipotenusa cinco e oposto quatro.

senθ=4/5 e tgθ=4/3.

\begin{gathered}\tan\theta=t>0\\\cos\theta=\frac1{\sqrt{1+t^2}}\\\sin\theta=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\end{gathered}

0°<θ<90°. t é o número dado para a tangente; não é o ângulo. Podemos escolher catetos proporcionais a um e t, cuja hipotenusa é √(1+t²). As duas raízes são positivas e o denominador nunca é zero.

Exemplo resolvido · Começar pela tangente, inclusive com raiz

Sabendo que θ é agudo e tgθ=2, encontre seno e cosseno.

Resolução

Escolha adjacente um e oposto dois. Pitágoras dá hipotenusa √5.
Logo $\cos\theta=1/\sqrt5=\sqrt5/5$ e $\sin\theta=2/\sqrt5=2\sqrt5/5$ . Multiplicar numerador e denominador por √5 apenas reescreve a mesma fração.
A tangente dois não significa que o ângulo mede dois graus. É uma razão dada.

$\sin\theta=\frac{2\sqrt5}{5}$ e $\cos\theta=\frac{\sqrt5}{5}$ .

10Mudar para o outro ângulo troca os catetos

No mesmo triângulo, o lado oposto a θ é adjacente a φ=90°−θ, e o adjacente a θ é oposto a φ. A hipotenusa continua igual. Por isso, o seno de um dos agudos coincide com o cosseno do outro. As tangentes passam de o/a para a/o e são recíprocas.

\begin{gathered}\varphi=90^\circ-\theta\\\sin\varphi=\cos\theta\qquad\cos\varphi=\sin\theta\\\tan\varphi=1/\tan\theta\end{gathered}

\begin{gathered}\varphi=90^\circ-\theta\\\sin\varphi=\cos\theta\\\cos\varphi=\sin\theta\\\tan\varphi=1/\tan\theta\end{gathered}

θ e φ são os ângulos agudos do mesmo triângulo. A hipotenusa não muda; oposto e adjacente trocam de papel. As tangentes são positivas, então seus recíprocos estão definidos.

Exemplo resolvido · Um valor basta para o complemento

Se θ=35°, φ=55° e sen35°=s, o que podemos afirmar sobre cos55°?

Resolução

Como 35°+55°=90°, são complementares. As duas razões usam exatamente o mesmo cateto e a mesma hipotenusa.
Portanto cos55°=s. Não é necessário conhecer uma aproximação decimal de s para obter essa igualdade.

cos55°=sen35°.

Exemplo resolvido · As tangentes são recíprocas

Se tgθ=3/4, quanto vale a tangente do outro ângulo agudo?

Resolução

A troca dos catetos transforma 3/4 em 4/3. O produto (3/4)(4/3)=1.
Os dois valores são positivos e não nulos, então tomar o recíproco é permitido.

tg(90°−θ)=4/3.

11Deduzir 45° com um triângulo isósceles

Um triângulo isósceles possui dois lados iguais e ângulos opostos iguais. Se ele também é retângulo, os lados iguais são os catetos, pois a hipotenusa é maior que qualquer deles. Os dois agudos iguais somam 90°, logo cada um mede 45°.

a=o=\ell,\quad c=\ell\sqrt2

O triângulo é retângulo e isósceles, com ângulos agudos de 45°. ℓ, lido ele, é o comprimento positivo de cada cateto. A hipotenusa vem de Pitágoras e a raiz do comprimento ao quadrado é positiva.

Os catetos têm a mesma medida ℓ e as mesmas marcas. O ângulo reto está entre eles; os outros dois ângulos medem 45°. Pitágoras fornece hipotenusa ℓ√2. As proporções são iguais em qualquer escala positiva.

Exemplo resolvido · As três razões de 45°

Use catetos ℓ>0 para calcular seno, cosseno e tangente de 45°.

Resolução

Pitágoras dá c²=ℓ²+ℓ²=2ℓ² e c=ℓ√2. Como ℓ>0, podemos cancelá-lo nas razões.
$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac\ell{\ell\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$ .
tg45°=ℓ/ℓ=1. A racionalização multiplica 1/√2 por √2/√2, que vale um.

$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\sqrt2/2$ e $\tan45^\circ=1$ .

Exemplo resolvido · Levar a proporção para um tamanho concreto

Um triângulo retângulo isósceles tem catetos de 6 cm. Encontre sua hipotenusa.

Resolução

A proporção já deduzida dá c=6√2 cm. Em decimal, aproximadamente 8,49 cm.
O valor exato é 6√2; o sinal ≈ indica que o decimal foi arredondado.

$c=6\sqrt2\text{ cm}\approx8{,}49\text{ cm}$ .

12Deduzir 30° e 60° dividindo um equilátero

Um triângulo equilátero tem três lados iguais; seus três ângulos iguais somam 180°, então cada um mede 60°. Ligue um vértice ao ponto médio do lado oposto. Os dois triângulos obtidos têm os três lados correspondentes iguais: um lado do equilátero, metade da base e o segmento comum. São congruentes, ou seja, têm a mesma forma e tamanho.

Os dois ângulos na base junto ao ponto médio são iguais e somam 180°, por isso ambos são retos. O segmento é uma altura, perpendicular à base. Os dois ângulos do vértice superior também são iguais e dividem 60° em duas partes de 30°. Essa construção justifica o corte; não estamos supondo perpendicularidade só pela aparência.

O equilátero de lado 2q é dividido pela altura em dois triângulos congruentes. Cada metade tem hipotenusa 2q, base q e altura q√3. A base faz 60° com o lado e o topo de cada metade tem 30°.

o=q,\quad a=q\sqrt3,\quad c=2q

A referência é θ=30°. q>0 é o cateto oposto a 30°; a é o cateto oposto a 60°, e c é a hipotenusa. Para θ=60°, os dois catetos trocam de papel. A proporção é deduzida cortando um equilátero pela altura.

Exemplo resolvido · As razões saem de três comprimentos

Tome lado 2q, com q>0, no equilátero. Deduza as razões de 30° e 60°.

Resolução

A metade da base é q. A altura h satisfaz h²=(2q)²−q²=3q²; como h>0, h=q√3.
Para 30° no topo: oposto q, adjacente q√3 e hipotenusa 2q. Então sen30°=1/2, cos30°=√3/2 e tg30°=1/√3=√3/3.
Para 60° na base, os catetos trocam: sen60°=√3/2, cos60°=1/2 e tg60°=√3.

As razões foram deduzidas por congruência e Pitágoras.

Exemplo resolvido · Conferir a proporção na escala do enunciado

Um triângulo retângulo tem hipotenusa 18 m e um agudo de 30°. Encontre os catetos.

Resolução

Como c=2q=18, q=9. O cateto oposto a 30° mede nove e o adjacente mede 9√3.
Conferindo: 9²+(9√3)²=81+243=324=18². O outro ângulo é 60°.

Os catetos medem $9\text{ m}$ e $9\sqrt3\text{ m}$ .

13Organizar os valores exatos depois de deduzi-los

Agora a tabela resume resultados já construídos. Leia primeiro a linha da razão e depois a coluna do ângulo. Seno e cosseno de 30° e 60° se trocam, e em 45° são iguais.

\begin{array}{c|ccc}\theta&30^\circ&45^\circ&60^\circ\\\hline\sin\theta&\frac12&\frac{\sqrt2}{2}&\frac{\sqrt3}{2}\\\cos\theta&\frac{\sqrt3}{2}&\frac{\sqrt2}{2}&\frac12\\\tan\theta&\frac{\sqrt3}{3}&1&\sqrt3\end{array}

Os valores são obtidos das proporções dos triângulos retângulos de 45° e de 30°–60°. São exatos; uma aproximação decimal deve usar ≈. A fração 1/√3 equivale a √3/3 pela racionalização.

Exemplo resolvido · Usar a tabela e conferir por uma relação

Calcule tg30°·tg60° e sen30°+cos60°.

Resolução

O produto é (√3/3)√3=3/3=1, coerente com tangentes de ângulos complementares.
A segunda expressão vale 1/2+1/2=1. Aqui os ângulos são diferentes. Isso não cria uma identidade senθ+cosθ=1 para um mesmo θ.

As duas expressões valem um, por motivos distintos.

Frações como √3/3 são exatas. Quando o exercício pede valor exato, conserve os radicais. Quando pede aproximação, indique a precisão e arredonde ao final. Digitar 30 numa calculadora em modo de radianos não corresponde ao ângulo 30° desta tabela; antes de calcular em graus, selecione DEG.

14Escolher a razão que contém o lado conhecido e o procurado

Resolver um triângulo significa encontrar seus lados e ângulos ainda desconhecidos. Marque o ângulo agudo, classifique os lados, identifique o dado e escolha uma razão que ligue esse dado à incógnita. Depois isole a incógnita na igualdade; a posição dela no numerador ou no denominador muda a operação.

o=c\sin\theta\qquad a=c\cos\theta

\begin{gathered}o=c\sin\theta\\a=c\cos\theta\end{gathered}

c>0 é a hipotenusa conhecida e 0°<θ<90°. o e a são os catetos oposto e adjacente a θ. As duas fórmulas vêm de multiplicar as definições por c. Todos os lados usam a mesma unidade.

Exemplo resolvido · Hipotenusa conhecida

A hipotenusa mede 16 cm e θ=30°. Calcule oposto e adjacente.

Resolução

sen30°=o/16. Multiplique por dezesseis: o=16·(1/2)=8 cm.
cos30°=a/16, então a=16·(√3/2)=8√3 cm. O outro ângulo é 60°.

$o=8\text{ cm}$ e $a=8\sqrt3\text{ cm}$ .

o=a\tan\theta\qquad c=\frac{a}{\cos\theta}

\begin{gathered}o=a\tan\theta\\c=\frac{a}{\cos\theta}\end{gathered}

a>0 é o cateto adjacente conhecido e θ é agudo. O cosseno é positivo, portanto a divisão existe. O cateto e a hipotenusa obtidos precisam satisfazer Pitágoras.

Exemplo resolvido · Cateto adjacente conhecido

O cateto adjacente a 60° mede 10 m. Encontre os outros lados.

Resolução

tg60°=o/10, portanto o=10√3 m.
cos60°=10/c. Multiplique por c para obter c cos60°=10; depois divida por 1/2: c=20 m.

$o=10\sqrt3\text{ m}$ e $c=20\text{ m}$ .

a=\frac{o}{\tan\theta}\qquad c=\frac{o}{\sin\theta}

\begin{gathered}a=\frac{o}{\tan\theta}\\c=\frac{o}{\sin\theta}\end{gathered}

o>0 é o cateto oposto conhecido e θ é agudo. Tangente e seno são positivos. Quando a incógnita estava no denominador da razão, isole-a multiplicando e depois dividindo; não multiplique pelo seno ou pela tangente sem justificar.

Exemplo resolvido · Cateto oposto conhecido

O cateto oposto a 30° mede 9 cm. Encontre adjacente e hipotenusa.

Resolução

tg30°=9/a. Logo a=9/(√3/3)=27/√3=9√3 cm.
sen30°=9/c. Logo c=9/(1/2)=18 cm. Multiplicar nove por 1/2 daria 4,5, menor que o cateto, e não atenderia à equação original.

$a=9\sqrt3\text{ cm}$ e $c=18\text{ cm}$ .

15Quando conhecemos os lados e procuramos o ângulo

Uma tabela resolve os valores notáveis. Para um ângulo agudo que não é notável, uma calculadora científica pode fazer a pergunta inversa: qual ângulo possui esta razão? As escritas arcsin, arccos e arctan significam procurar esse ângulo. Muitas calculadoras usam as teclas sin⁻¹, cos⁻¹ e tan⁻¹, acessadas por uma tecla de função secundária. Nesse contexto não representam o recíproco do número.

\begin{gathered}\theta=\arcsin(o/c)\\\theta=\arccos(a/c)\\\theta=\arctan(o/a)\end{gathered}

a,o,c são lados positivos de um triângulo retângulo, com c²=a²+o². Aqui arcsin, arccos e arctan pedem o único ângulo agudo que possui a razão indicada; não são recíprocos. Para obter graus em calculadora, use DEG e as teclas inversas sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹. Uma única das três razões corretas basta; o estudo geral dessas funções será feito depois.

Dentro do domínio agudo, qualquer uma das três razões determina um único ângulo. Por exemplo, dado seno s entre zero e um, escolhemos hipotenusa um e cateto oposto s; Pitágoras fixa o adjacente positivo √(1−s²). Esses três lados fixam a forma do triângulo. Para uma tangente positiva t, use catetos um e t. Essa unicidade não significa que exista apenas uma solução angular quando estudarmos todas as voltas do ciclo.

Exemplo resolvido · Uma razão que não é notável

Os catetos oposto e adjacente medem 5 m e 12 m. Encontre θ em graus, com duas casas decimais.

Resolução

tgθ=5/12. No modo DEG, calcule arctan(5/12), preservando o quociente antes do arredondamento.
O resultado é aproximadamente 22,61986495°, então θ≈22,62°. O outro agudo mede aproximadamente 67,38°.
A hipotenusa é treze; arctan(5/12), arcsin(5/13) e arccos(12/13) dão o mesmo agudo. Fazer 1/(5/12)=12/5 não dá o ângulo.

θ≈22,62° e φ≈67,38°.

16Ângulos fixam a forma; um comprimento fixa a escala

Ter os três ângulos não basta para determinar comprimentos absolutos. Todos os triângulos semelhantes mantêm esses ângulos. Um ângulo agudo e um lado positivo, além do ângulo reto, fixam a escala; dois lados compatíveis também fixam o triângulo retângulo.

Exemplo resolvido · Duas soluções de tamanhos diferentes

São dados apenas os ângulos 30°, 60° e 90°. A hipotenusa pode ser determinada?

Resolução

Uma possibilidade tem lados 4,4√3,8. Outra tem lados 8,8√3,16. Ambas atendem aos ângulos indicados.
Qualquer ampliação por k>0 mantém os ângulos e as razões. Falta um comprimento ou outra condição que determine a escala.

Os ângulos, sozinhos, não determinam a hipotenusa.

17Área e altura relativa à hipotenusa

Os catetos são perpendiculares, então um pode servir de base e o outro de altura para calcular a área. Se escolhemos a hipotenusa como base, a altura é outro segmento: a perpendicular que sai do vértice reto e encontra a hipotenusa. Não substitua essa altura por um cateto.

A=\frac{ao}{2}

a e o são os catetos perpendiculares, positivos e medidos na mesma unidade; A é a área, em unidades quadradas. A hipotenusa não é altura relativa a um cateto.

h_c=\frac{ao}{c}

A altura indicada por h com índice c é a distância perpendicular do vértice reto à hipotenusa c. Os catetos são a,o>0. Comparar a área calculada pelos catetos com a área calculada pela hipotenusa e sua altura fornece a fórmula. Não confunda essa altura interna com um dos catetos.

A mesma região tem área ao/2 quando usamos os catetos e $ch_c/2$ quando usamos a hipotenusa e sua altura $h_c$ . Igualar as duas expressões dá $ao=ch_c$ . Como c>0, podemos dividir e obter $h_c=ao/c$ . O índice c apenas lembra a base escolhida.

No triângulo ABC reto em C, AC=8, CB=6 e AB=10. A perpendicular CH chega ao ponto H da hipotenusa. As projeções AH e HB medem 6,4 e 3,6; CH mede 4,8. O ângulo em H é realmente reto, assim como o ângulo original em C.

Exemplo resolvido · Mesma área com duas bases

Um triângulo retângulo tem catetos 6 cm e 8 cm e hipotenusa 10 cm. Encontre a área e a altura relativa à hipotenusa.

Resolução

A área pelos catetos é A=6·8/2=24 cm².
Pela hipotenusa: $24=10h_c/2$ . Então $h_c=48/10=4{,}8$ cm. A fórmula ao/c dá o mesmo resultado.
A altura 4,8 é um comprimento; a área 24 está em centímetros quadrados.

A=24 cm² e $h_c=4{,}8$ cm.

18Projeções dos catetos: uma ligação com a semelhança

Na figura anterior, H é o pé da perpendicular de C à hipotenusa AB. Os segmentos AH e HB são as projeções dos catetos na hipotenusa: são as partes delimitadas pelos pés das perpendiculares. Escreva AC=a, CB=o, AB=c, AH=p e HB=q. Aqui p e q nomeiam comprimentos positivos.

\begin{gathered}p+q=c\\a^2=cp,\quad o^2=cq\\h_c^2=pq\end{gathered}

No triângulo ACB reto em C, AC=a, CB=o e AB=c. O pé H da perpendicular de C a AB divide AB em AH=p e HB=q. Todas as medidas são positivas. As relações vêm da semelhança dos três triângulos; p,q são segmentos da hipotenusa, não novos catetos do triângulo original.

O triângulo AHC é retângulo em H e compartilha com ABC o ângulo A; são semelhantes por AA. O cosseno desse ângulo, no triângulo grande, vale a/c e, no menor, p/a. Portanto a/c=p/a e a²=cp. Pelo mesmo raciocínio no ângulo B, o²=cq. Como H está entre A e B, p+q=c.

Da fórmula de altura já demonstrada, $h_c^2=a^2o^2/c^2$ . Substituindo a²=cp e o²=cq, obtemos $h_c^2=(cp)(cq)/c^2=pq$ . Assim, as relações métricas e as trigonométricas descrevem os mesmos triângulos de maneiras compatíveis.

Exemplo resolvido · Calcular as duas projeções e conferir a soma

Use a=9 m, o=12 m e c=15 m.

Resolução

p=a²/c=81/15=27/5=5,4 m. q=o²/c=144/15=48/5=9,6 m. Somando: p+q=15 m.
$h_c=ao/c=108/15=36/5=7{,}2$ m. Conferindo: p·q=(27/5)(48/5)=1296/25=(36/5)².

p=5,4 m, q=9,6 m e $h_c=7{,}2$ m.

19Escada e cabo inclinado: identificar o comprimento real

Uma escada retilínea encostada numa parede vertical sobre piso horizontal forma a hipotenusa. Sua projeção no chão é um cateto; a altura alcançada é o outro. O modelo usa perpendicularidade entre parede e piso.

Exemplo resolvido · Uma escada de dez metros

Uma escada de 10 m faz 60° com o chão horizontal. A que altura chega, e a que distância da parede fica seu pé?

Resolução

A escada é a hipotenusa. A altura é oposta a 60°: h=10 sen60°=5√3 m≈8,66 m.
A distância horizontal é adjacente: d=10 cos60°=5 m.
Conferindo: (5√3)²+5²=75+25=100=10². A altura é menor que o comprimento da escada.

Altura $5\sqrt3\text{ m}$ e distância horizontal $5\text{ m}$ .

Se o enunciado fornece o ângulo da escada com a parede, esse não é o mesmo ângulo com o chão: eles são complementares. Refaça a identificação dos catetos ou converta para o complemento antes de usar as razões.

20Inclinação percentual não é medida em graus

Uma inclinação de 10% significa subir dez unidades para cada cem unidades de avanço horizontal. Não significa um ângulo de 10° nem subir dez unidades para cada cem percorridas sobre a rampa. Se h é a subida e d a projeção horizontal, a razão h/d é a tangente do ângulo com a horizontal.

\begin{gathered}p=100\frac{h}{d}\\\tan\theta=\frac{h}{d}\\p=100\tan\theta\end{gathered}

A rampa é retilínea, sobe h>0 ao avançar d>0 na horizontal e forma ângulo agudo θ com essa horizontal. p é o número expresso em porcentagem: p=10 significa 10%. O denominador é a projeção horizontal, não o comprimento da rampa. O caso horizontal h=0 é um limite fora do triângulo agudo não degenerado desta aula.

Exemplo resolvido · Uma rampa em um triângulo 3–4–5

Uma rampa sobe 3 m ao avançar 4 m na horizontal. Encontre seu comprimento, inclinação percentual e ângulo aproximado.

Resolução

Pitágoras dá comprimento L=√(3²+4²)=5 m. L nomeia o segmento inclinado.
A inclinação é p=100·3/4=75%, enquanto tgθ=3/4. Em DEG, θ=arctan(3/4)≈36,87°.
Se dividíssemos a subida pelo comprimento inclinado, obteríamos 3/5, o seno. Isso não é a definição de inclinação percentual adotada.

L=5 m, inclinação 75% e θ≈36,87°.

Exemplo resolvido · Cem por cento não é noventa graus

Qual ângulo com a horizontal corresponde a uma inclinação positiva de 100%?

Resolução

p=100 implica h/d=1. Os catetos são iguais, e o triângulo retângulo é isósceles.
Logo θ=45°. Uma vertical não tem avanço horizontal positivo para ser usado nessa razão.

Inclinação de 100% corresponde a 45°.

21Percurso inclinado, velocidade e conversão de unidades

Quando alguém caminha sobre uma subida retilínea, a distância percorrida é o lado inclinado. A altura ganha é apenas sua componente vertical. Velocidade média multiplicada pelo tempo fornece a distância percorrida quando as unidades são compatíveis.

Exemplo resolvido · Transformar o percurso em ganho de altura

Uma pessoa percorre uma subida retilínea de 30° com a horizontal durante nove minutos, à velocidade média de 6 km/h ao longo da subida. Qual é o ganho de altura no modelo?

Resolução

Nove minutos são 9/60 h=0,15 h. O percurso inclinado vale L=6·0,15=0,9 km=900 m.
A subida vertical é oposta a 30° e L é a hipotenusa: h=L sen30°=900·1/2=450 m.
A projeção horizontal é 900 cos30°=450√3 m. Nenhuma dessas projeções pode substituir o percurso na conta de velocidade dada.

O ganho de altura é 450 m, sob as hipóteses do modelo.

22Ângulo de elevação e altura dos olhos

Ângulo de elevação é medido da horizontal que passa pelos olhos ou pelo aparelho até a linha de visão para um alvo acima. Se o observador está a e metros do solo, a subida no triângulo vai desse nível até o topo: é H−e, não a altura total H. A base do alvo e o observador precisam estar no mesmo nível de solo para usarmos diretamente essa identificação.

H=e+d\tan\theta

O alvo é vertical, sua base e o observador estão no mesmo nível de solo horizontal. e≥0 é a altura dos olhos ou aparelho, d>0 é a distância horizontal à base e θ é o ângulo agudo de elevação, medido a partir da horizontal dos olhos. H>e é a altura total. A tangente fornece H−e, não diretamente H quando e>0.

Um aparelho a 1,5 m de um solo horizontal está a 12 m na horizontal da base de um alvo vertical. A elevação ao topo é 60°. O triângulo usa cateto vertical H−1,5; a altura total acrescenta o trecho de 1,5 m junto ao solo.

Exemplo resolvido · Somar o trecho que a tangente não mediu

Um aparelho a 1,5 m do chão observa o topo de um alvo vertical sob elevação de 60°, a 12 m de sua base. O solo é horizontal e os pés estão no mesmo nível. Calcule H.

Resolução

A razão é tg60°=(H−1,5)/12. Logo H−1,5=12√3.
Portanto $H=1{,}5+12\sqrt3\text{ m}\approx22{,}28\text{ m}$ .
Conferindo, a diferença de altura dividida por doze é √3, exatamente a tangente de 60°. O termo 1,5 só é acrescentado depois de calcular essa diferença.

$H=1{,}5+12\sqrt3\text{ m}\approx22{,}28\text{ m}$ .

Se o terreno tem desnível, ou se a distância dada é sobre uma encosta, não a chame automaticamente de cateto horizontal. Desenhe o nível de referência, identifique o desnível conhecido e monte o triângulo que realmente existe.

23Ângulo de depressão: a referência continua horizontal

Quando olhamos para um alvo abaixo, o ângulo de depressão é medido entre a horizontal do observador e a linha de visão descendente. Usaremos δ, lido delta. Se a horizontal do alvo é paralela à do observador, a linha de visão forma ângulos alternos internos iguais: a depressão de cima coincide com a elevação vista de baixo.

\begin{gathered}\tan\delta=\frac{h}{d}\\h=d\tan\delta\end{gathered}

δ, lido delta, é o ângulo agudo entre a horizontal do observador e sua linha de visão para um alvo abaixo. h>0 é a diferença vertical de nível e d>0 a separação horizontal. Com horizontais paralelas, δ é igual ao ângulo de elevação visto do alvo. Não é medido a partir da vertical.

Exemplo resolvido · Distância até um alvo no solo

De uma plataforma 18 m acima do nível de um alvo no solo horizontal, a linha de visão tem depressão de 30°. Qual é a separação horizontal?

Resolução

No triângulo, h=18 m e d é horizontal. tg30°=18/d.
Logo d=18/(√3/3)=18√3 m, aproximadamente 31,18 m.
Se o ângulo tivesse sido dado em relação à vertical, precisaríamos usar seu complemento para esta montagem. A depressão foi definida a partir da horizontal.

$d=18\sqrt3\text{ m}\approx31{,}18\text{ m}$ .

24Duas observações alinhadas: montar as duas equações

Quando a distância à base não é conhecida, duas observações podem produzir um sistema. Vamos estudar esta configuração: duas estações e a base estão alinhadas no chão horizontal; as estações ficam do mesmo lado do alvo, com aparelhos na mesma altura. A mais próxima vê o topo sob β, lido beta, e a distante sob α, lido alfa, com 0°<α<β<90°.

Chame s>0 a separação conhecida das estações e d>0 a distância da próxima à base. Então a distante está a d+s da base. O mesmo cateto vertical h, do nível dos aparelhos ao topo, vale d tanβ e também (d+s) tanα. A hipótese de estarem do mesmo lado é o que produz essa soma de distâncias.

\begin{gathered}h=d\tan\beta=(d+s)\tan\alpha\\d=\frac{s\tan\alpha}{\tan\beta-\tan\alpha}\qquad h=\frac{s\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha}\end{gathered}

\begin{gathered}h=d\tan\beta\\h=(d+s)\tan\alpha\\d=\frac{s\tan\alpha}{\tan\beta-\tan\alpha}\\h=\frac{s\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha}\end{gathered}

A estação próxima e a distante estão alinhadas com a base, do mesmo lado, separadas por s>0; a distância próxima à base é d>0. Os aparelhos têm a mesma altura e o solo é horizontal. α e β, lidos alfa e beta, são os ângulos distante e próximo, com 0°<α<β<90°; tanβ>tanα e o denominador é positivo. h é a diferença entre o topo e a horizontal dos aparelhos; some a altura deles para obter a altura total.

Igualando as duas alturas: d tanβ=(d+s) tanα. Distribua o lado direito e reúna os termos com d: d(tanβ−tanα)=s tanα. Nesta configuração o denominador é positivo. Dividir por ele fornece d; depois multiplique por tanβ para obter h. Aparelhos acima do chão exigem acrescentar sua altura para encontrar a altura total.

O ponto distante F e o próximo N estão do mesmo lado da base B, separados por 18 m. Os ângulos de elevação são 30° em F e 60° em N. A distância NB é d e FB é d+18; os triângulos compartilham a mesma altura vertical BT.

Exemplo resolvido · A distância maior precisa ficar com o ângulo menor

Observações ao nível do solo dão 30° no ponto distante e 60° no próximo. Os pontos estão separados por 18 m, nas condições descritas. Encontre d e a altura.

Resolução

As equações são h=d√3 e h=(d+18)√3/3.
Igualando e multiplicando por 3/√3: 3d=d+18. Logo d=9 m e h=9√3 m.
O ponto distante está a 27 m. Conferindo: h/9=√3 e h/27=√3/3, as tangentes de 60° e 30°.

$d=9\text{ m}$ e $h=9\sqrt3\text{ m}$ .

Se os observadores estiverem em lados opostos da base, as distâncias horizontais se somam para formar a separação total; já não temos a montagem d+s. Se as alturas dos aparelhos diferirem, os catetos verticais também diferem. As fórmulas acima pertencem à configuração declarada, não a qualquer desenho com dois ângulos.

25Duas alturas vistas do mesmo ponto

Para medir uma antena vertical sobre um prédio, podemos calcular a altura de seu topo e a de sua base a partir do mesmo ponto. A distância horizontal d é a mesma; a diferença das duas subidas fornece o comprimento da antena. Como o nível dos olhos é o mesmo, ele se cancela nessa subtração.

L=d(\tan\beta-\tan\alpha)

A base e o topo de uma antena vertical são observados do mesmo ponto, à distância horizontal d>0, com ângulos de elevação α e β, lidos alfa e beta, tais que 0°<α<β<90°. L é o comprimento vertical da antena, diferença entre as alturas. O nível do aparelho se cancela na subtração; a antena está na mesma vertical do alvo de base.

Exemplo resolvido · Subtrair alturas, não ângulos dentro da tangente

A 24 m na horizontal da vertical de uma antena, seus extremos inferior e superior são vistos sob elevações de 30° e 60°. Quanto mede a antena?

Resolução

A subida até o extremo inferior é 24 tan30°=8√3 m. Até o superior é 24 tan60°=24√3 m.
O comprimento é L=24√3−8√3=16√3 m≈27,71 m.
A conta 24 tan(60°−30°)=8√3 daria outro valor. Subtrair tangentes não é calcular automaticamente a tangente da diferença.

$L=16\sqrt3\text{ m}\approx27{,}71\text{ m}$ .

26Dividir uma figura em triângulos retângulos conhecidos

Um triângulo que não é retângulo pode conter dois triângulos retângulos ao traçarmos uma altura. Cada aplicação de seno, cosseno ou tangente precisa acontecer em um desses triângulos e em relação ao ângulo correto. Ainda não estamos usando as leis dos senos e dos cossenos, que terão uma aula própria.

Exemplo resolvido · Uma altura, dois trechos da base

Um triângulo tem altura de 6 m em relação à base, com o pé da altura dentro dela. Os ângulos nas extremidades da base são 30° e 45°. Calcule a base e a área.

Resolução

A altura separa a base em dois comprimentos positivos x e y. No triângulo junto a 30°, tan30°=6/x, logo x=6√3 m.
No outro, tan45°=6/y, então y=6 m. A base completa mede 6√3+6.
A área é $A=\frac{(6\sqrt3+6)\cdot6}{2}=18(\sqrt3+1)\text{ m}^2$ .
A hipótese de o pé estar dentro da base autoriza somar os dois trechos. Uma altura externa exige outra leitura geométrica.

Base $6(\sqrt3+1)\text{ m}$ ; área $18(\sqrt3+1)\text{ m}^2$ .

27Um passo além: deduzir 15° com geometria

Podemos obter outro valor exato usando apenas o que já foi demonstrado. A construção a seguir combina um triângulo de 30° com um isósceles e produz um novo triângulo retângulo. Cada ângulo será justificado; não precisaremos antecipar fórmulas de adição ou de arco metade.

ABC é reto em A, com AC=4, BC=8 e ângulo B de 30°. Assim AB=4√3. O ponto D está no prolongamento de BA além de A e satisfaz BD=BC=8. O isósceles BCD tem ângulos de 75° em C e D; entre CA e CD sobra 15°. O pequeno triângulo DAC é reto em A.

Exemplo resolvido · Construir o ângulo e depois calcular suas razões

Na construção descrita, encontre tan15°, sin15° e cos15°.

Resolução

No triângulo ABC, AB=8 cos30°=4√3 e AC=8 sin30°=4. Como 4√3<8, podemos prolongar BA além de A até D, com BD=8.
BD=BC torna BCD isósceles. Seu ângulo em B é 30°, então os dois ângulos da base medem (180°−30°)/2=75°. O ângulo BCA é 60°; portanto DCA=75°−60°=15°.
Como D,A,B são colineares e A está entre D e B, AD=BD−BA=8−4√3=4(2−√3)>0. No triângulo DAC, em relação a 15° em C, o oposto é AD e o adjacente é AC=4.
Assim $\tan15^\circ=\frac{4(2-\sqrt3)}4=2-\sqrt3$ .
Pitágoras dá DC²=4²+[4(2−√3)]²=16(8−4√3). Como (√6−√2)²=8−4√3 e √6−√2>0, a hipotenusa é DC=4(√6−√2).
Logo $\cos15^\circ=\frac1{\sqrt6-\sqrt2}$ . Multiplique por $(\sqrt6+\sqrt2)/(\sqrt6+\sqrt2)$ para obter $(\sqrt6+\sqrt2)/4$ .
Por fim $\sin15^\circ=\tan15^\circ\cos15^\circ=\frac{(2-\sqrt3)(\sqrt6+\sqrt2)}4=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ . No numerador, distribuímos o produto: $2\sqrt6+2\sqrt2-\sqrt{18}-\sqrt6=2\sqrt6+2\sqrt2-3\sqrt2-\sqrt6=\sqrt6-\sqrt2$ . A primeira igualdade usa a relação tangente=seno/cosseno já provada.

As três razões de 15° foram deduzidas sem pressupor outra identidade de ângulos.

\begin{gathered}\tan15^\circ=2-\sqrt3\\\sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\\\cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\end{gathered}

A construção usa um triângulo de 30° e um isósceles, depois Pitágoras e as razões já definidas. Todos os comprimentos e raízes escolhidos são positivos. Os valores são exatos; não se está supondo uma fórmula de arco metade ainda não ensinada.

28Usar as condições antes de resolver uma expressão algébrica

Lados dados por expressões precisam ser positivos, e razões de ângulos agudos precisam respeitar seus intervalos. Resolver uma equação algébrica é só parte do problema: depois devemos conferir se o resultado ainda descreve a geometria original.

Exemplo resolvido · Lados escritos com uma incógnita

Em relação a 30°, os catetos oposto e adjacente medem x−1 e x+1 na mesma unidade. Determine x e os lados.

Resolução

As duas medidas devem ser positivas, então x>1. A razão fornece (x−1)/(x+1)=√3/3.
Multiplicando por √3(x+1), que não é zero no domínio: √3(x−1)=x+1. Assim x(√3−1)=√3+1.
Logo $x=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=2+\sqrt3$ .
O oposto mede 1+√3; o adjacente, 3+√3=√3(1+√3). A hipotenusa é duas vezes o oposto, 2+2√3. Todos são positivos e x>1 foi respeitado.

$x=2+\sqrt3$ ; lados $1+\sqrt3$ , $3+\sqrt3$ e $2+2\sqrt3$ .

Exemplo resolvido · Determinar o domínio de um dado

Um enunciado afirma que θ é agudo e senθ=(k−1)/2. Quais valores reais de k permitem isso?

Resolução

É necessário 0<(k−1)/2<1. Multiplicando por dois: 0<k−1<2. Somando um: 1<k<3.
A condição também é suficiente: para s=(k−1)/2 em (0,1), escolha hipotenusa um, oposto s e adjacente √(1−s²)>0. Esses lados formam um triângulo retângulo com um ângulo agudo de seno s.
k=1 e k=3 são excluídos, porque produziriam cateto zero. Em k=2, por exemplo, senθ=1/2 e θ=30°.

Exatamente 1<k<3.

29Evitar erros de referência, unidade e operação

Exemplo resolvido · Converter antes de dividir

Um cateto oposto mede 30 cm e a hipotenusa 0,5 m. Qual é o seno do ângulo correspondente?

Resolução

Converta 0,5 m para 50 cm. Então senθ=30/50=3/5=0,6.
O quociente direto 30/0,5=60 misturaria unidades e não seria uma razão comparável de comprimentos na mesma unidade.

senθ=0,6.

Exemplo resolvido · Dois números individualmente possíveis podem ser incompatíveis

Pode um mesmo ângulo agudo ter senθ=0,6 e cosθ=0,6?

Resolução

Cada número está entre zero e um, mas juntos precisam satisfazer a relação fundamental.
0,6²+0,6²=0,36+0,36=0,72, diferente de um. Portanto não podem ser seno e cosseno do mesmo ângulo.

Não; o par de dados é incompatível.

Identifique o ângulo reto e o ângulo agudo de referência antes de nomear os lados.
Mantenha a unidade dos comprimentos e diferencie distância horizontal, altura e percurso inclinado.
Use uma razão com o dado e a incógnita; isole a incógnita na igualdade antes de substituir.
Guarde os valores exatos quando possível. Em calculadora, confira DEG e arredonde ao final.
Não distribua seno, cosseno ou tangente por somas e diferenças como se fossem fatores algébricos. Por exemplo, sen(30°+30°)=sen60°=√3/2, diferente de sen30°+sen30°=1.
Confira positividade, intervalos das razões, Pitágoras, hipóteses do modelo e significado da resposta.

O próximo tema do roteiro é Arcos e ciclo trigonométrico. Ele dará significado a radianos, voltas e ângulos fora do intervalo agudo. Aqui cada divisão e cada raiz positiva foi justificada nas condições do triângulo retângulo.

30Agora é com você

O banco tem trinta questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Elas cobrem identificação, definições, semelhança, valores exatos, relações, escolha de método, aplicações e condições. Nas discursivas, desenhe ou descreva o triângulo, declare a referência, registre as etapas e confira a resposta.

Questão 1 de 300 conferidas

Fixação · Objetiva

Um triângulo retângulo tem um ângulo agudo de 38°. Quanto mede o outro agudo?

A142°.B52°.C62°.D48°.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

31O que guardar desta aula

O triângulo retângulo não degenerado tem um ângulo de 90° e dois agudos positivos que somam 90°. θ e φ nomeiam esses ângulos.
A hipotenusa se opõe ao ângulo reto e é o maior lado. Oposto e adjacente são catetos identificados em relação ao ângulo agudo escolhido; ao trocar a referência, eles trocam de papel.
Pitágoras dá c²=a²+o². Comprimentos positivos usam a raiz positiva e a mesma unidade.
Triângulos retângulos com o mesmo agudo são semelhantes por AA. Ampliar todos os lados pelo mesmo fator positivo mantém seus quocientes.
Seno é oposto/hipotenusa; cosseno é adjacente/hipotenusa; tangente é oposto/adjacente. sin e tan são as grafias de sen e tg usadas em muitas fórmulas e calculadoras.
As razões não têm unidade. No domínio agudo, seno e cosseno pertencem a (0,1), e a tangente é positiva, podendo ser maior que um.
Tangente=seno/cosseno e seno²+cosseno²=1 vêm das definições e de Pitágoras. O quadrado da razão não é o seno ou cosseno do ângulo ao quadrado.
Uma razão conhecida permite obter as outras por um triângulo de escala conveniente ou pela identidade. O domínio agudo determina os sinais positivos.
O seno de um agudo é o cosseno de seu complemento. As tangentes de complementares são recíprocas.
O isósceles retângulo tem lados ℓ,ℓ,ℓ√2 e agudos de 45°. Cortar o equilátero pela altura dá lados q,q√3,2q e agudos de 30° e 60°.
Os valores notáveis são deduzidos antes da tabela. Conserve radicais em respostas exatas; use ≈ para aproximações.
Com hipotenusa c: o=c senθ e a=c cosθ. Com adjacente a: o=a tgθ e c=a/cosθ. Com oposto o: a=o/tgθ e c=o/senθ.
Um lado positivo e um agudo fixam a escala; só ângulos deixam infinitos triângulos semelhantes. Dados de lados precisam ser compatíveis.
Arcsin, arccos e arctan procuram o ângulo que possui a razão. Aqui escolhemos o agudo; essas operações não são recíprocos. Use DEG para obter graus.
A área é ao/2. A altura relativa à hipotenusa é $h_c=ao/c$ , e não um cateto. As projeções p,q satisfazem p+q=c, a²=cp, o²=cq e $h_c^2=pq$ , com correspondência explicitada.
Escadas e percursos inclinados são hipotenusas nos modelos de parede vertical e chão horizontal. As projeções vertical e horizontal são diferentes do comprimento inclinado.
Inclinação percentual é cem vezes subida/avanço horizontal. Cem por cento corresponde a 45°, não a 90°.
Elevação e depressão são medidas a partir da horizontal. Em um solo no mesmo nível, a altura total é a dos olhos mais d tgθ. Desníveis precisam de identificação própria.
Duas estações do mesmo lado do alvo produzem distâncias d e d+s e compartilham a mesma diferença de altura quando os aparelhos estão no mesmo nível. Outras configurações exigem outras equações.
Duas alturas vistas do mesmo ponto são subtraídas por suas tangentes. Tangente da diferença não substitui a diferença das tangentes.
Figuras gerais podem ser divididas em triângulos retângulos auxiliares. Identifique onde a altura cai antes de somar ou subtrair trechos.
Uma construção com um triângulo de 30° e um isósceles permite deduzir as razões de 15°, sem usar uma identidade ainda não ensinada.
Expressões de lados e parâmetros devem satisfazer positividade e os intervalos das razões. Duas razões individualmente possíveis ainda precisam ser compatíveis entre si.
Confira referência, unidade, operações, domínio, arredondamento e as condições geométricas na resposta final.

Esta é a primeira das sete aulas do roteiro de Trigonometria. Fórmulas e Revisão reúnem os resultados desta aula na matéria; os próximos conteúdos serão acrescentados conforme forem escritos e conferidos.