Arcos e ciclo trigonométrico

1Arco, ângulo central e comprimento não são a mesma coisa

Na aula anterior, seno, cosseno e tangente foram construídos para ângulos agudos de triângulos retângulos. Agora vamos acompanhar um ponto que gira numa circunferência. Esse movimento dará significado a outras medidas, inclusive ângulos retos, obtusos, negativos e maiores que uma volta.

Circunferência é a linha curva formada pelos pontos a uma mesma distância r>0 do centro O. O raio é um segmento do centro até essa linha, ou a medida desse segmento, conforme o contexto. Um arco é uma parte da curva entre extremidades escolhidas. O segmento reto que liga as extremidades é uma corda; seu comprimento não é, em geral, o do arco.

O ângulo central tem vértice no centro e lados que passam pelas extremidades do arco. Dois pontos distintos não diametralmente opostos delimitam um arco menor e outro maior; é necessário indicar qual deles interessa. Se os pontos são extremidades de um diâmetro, os dois arcos são semicircunferências de mesmo comprimento. A medida angular descreve a abertura; o comprimento percorre a curva e depende também do raio.

Retomando a circunferência: seu comprimento é C=2πr. A letra C aqui nomeia o comprimento total; π, lido pi, é a constante comprimento dividido pelo diâmetro, aproximadamente 3,14159. Um arco de 60°, por exemplo, ocupa um sexto desse comprimento total.

As mesmas extremidades A e B delimitam um arco menor de 120° e um arco maior de 240°. Os dois juntos completam a circunferência. O ângulo central correspondente ao arco escolhido precisa acompanhar essa escolha.

Exemplo resolvido · Mesma abertura em tamanhos diferentes

Duas circunferências têm raios 3 cm e 6 cm. Seus arcos correspondem ao mesmo ângulo central de 60°. Eles têm comprimentos iguais?

Resolução

Ambos representam 60/360=1/6 da respectiva volta. A circunferência de raio três tem comprimento 6π cm; a de raio seis tem comprimento 12π cm.
Um sexto desses comprimentos dá π cm e 2π cm. A medida angular é igual, mas o arco da circunferência maior é duas vezes mais comprido.

Os arcos têm a mesma medida de 60°, mas comprimentos π cm e 2π cm.

2Graus, minutos e segundos de ângulo

Uma volta é dividida, por convenção, em 360 partes iguais; cada parte corresponde a um grau. O símbolo ° identifica essa unidade. Meia volta tem 180° e um quarto tem 90°. Essas medidas descrevem um giro, não uma distância.

\begin{gathered}1\text{ volta}=360^\circ\\\tfrac12\text{ volta}=180^\circ\\\tfrac14\text{ volta}=90^\circ\end{gathered}

O grau divide uma volta em 360 partes iguais. O símbolo ° identifica a unidade. Medida angular descreve abertura ou giro; não é comprimento em metros ou centímetros.

Cada grau pode ser dividido em sessenta minutos de ângulo, indicados por ′; cada minuto, em sessenta segundos de ângulo, indicados por ″. Essas divisões são chamadas sexagesimais porque usam sessenta. Não confunda os símbolos com minutos e segundos de tempo. A relação com um relógio dependerá do movimento de seu ponteiro.

\begin{gathered}1^\circ=60',\quad1'=60''\\1^\circ=3600''\\D=d+\frac m{60}+\frac u{3600}\end{gathered}

D é a medida decimal em graus de d° m′ u″. d e m são inteiros não negativos, com m<60; u é real com 0≤u<60. Eles contam graus, minutos e segundos de ângulo. Os símbolos ′ e ″ não são unidades de tempo. Para uma medida negativa, o sinal se aplica ao conjunto inteiro: −(d+m/60+u/3600).

Exemplo resolvido · Um decimal não usa base sessenta

Converta 23,4° para graus e minutos; depois converta 12°24′36″ para graus decimais.

Resolução

Em 23,4°, a parte inteira é 23° e a fração 0,4° vale 0,4·60=24′. Portanto 23,4°=23°24′, e não 23°40′.
Na volta ao decimal: 12+24/60+36/3600=12+0,4+0,01=12,41°. Os segundos são divididos por 3600.

23,4°=23°24′ e 12°24′36″=12,41°.

Exemplo resolvido · Emprestar um grau numa subtração

Calcule 20°15′−7°40′.

Resolução

Como quinze minutos são menores que quarenta, reescreva 20°15′ como 19°75′, pois um grau vale sessenta minutos.
Agora subtraia: 19°−7°=12° e 75′−40′=35′.

20°15′−7°40′=12°35′.

O sinal negativo vale para a medida toda: −12°30′ representa −(12+30/60)°=−12,5°. Não some minutos positivos depois de aplicar o sinal somente à parte inteira.

3O significado de um radiano vem do próprio círculo

Em vez de escolher uma quantidade de divisões da volta, podemos comparar o comprimento do arco com o raio. Um radiano é a medida do ângulo central cujo arco tem comprimento igual ao raio. Se o arco mede duas vezes o raio, a medida é dois radianos. Escrevemos rad para identificar essa unidade.

\theta=\frac sr

r>0 é o raio e s≥0 o comprimento do arco percorrido em um único sentido, na mesma unidade de comprimento. θ≥0 é a medida angular em radianos. Se s=r, θ=1 rad. A orientação do giro será indicada separadamente; comprimento geométrico não é negativo.

Na circunferência de raio dois, o arco destacado também mede duas unidades de comprimento. A razão arco/raio é um; por isso o ângulo central é 1 rad, aproximadamente 57,30°, independentemente do tamanho usado para desenhar a figura.

Essa comparação não depende do tamanho da circunferência. Para a mesma abertura, os arcos ocupam a mesma fração de suas voltas; ampliar o raio também amplia o arco pelo mesmo fator. A razão s/r permanece igual. Usamos s para comprimento de arco, r para raio e θ, lido teta, para medida angular em radianos.

Exemplo resolvido · Calcular a medida diretamente pela definição

Um arco mede 5 cm numa circunferência de raio 2 cm. Qual é sua medida em radianos?

Resolução

As unidades de comprimento são iguais, então θ=s/r=5/2=2,5 rad.
O resultado não é 2,5 cm: os centímetros se cancelam na razão. A escrita rad deixa claro que estamos medindo um ângulo.

θ=2,5 rad.

Exemplo resolvido · O ângulo não se altera quando dobramos tudo

Um arco de 8 m pertence a uma circunferência de raio 4 m. Qual é a medida? E se o arco e o raio forem dobrados?

Resolução

A medida inicial é 8/4=2 rad. Depois da ampliação, a razão é 16/8=2 rad.
Dobrar apenas o arco mantendo o raio seria uma abertura diferente. A igualdade depende de ampliar os dois comprimentos na mesma proporção.

Nos dois tamanhos proporcionais, a medida é 2 rad.

4Converter graus e radianos sem trocar o ângulo

Como uma volta tem comprimento 2πr, dividir esse comprimento por r dá 2π rad. Portanto a mesma volta mede 360° ou 2π rad, e a mesma meia volta mede 180° ou π rad.

\begin{gathered}2\pi\text{ rad}=360^\circ\\\pi\text{ rad}=180^\circ\\1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\end{gathered}

π é a constante comprimento da circunferência dividido pelo diâmetro, aproximadamente 3,14159. Uma volta tem comprimento 2πr e medida 2πr/r=2π rad. Um radiano é aproximadamente 57,30°, e não 180°.

Converter não muda a abertura ou o giro, apenas o número e a unidade usados para representá-los. Se D é o valor numérico em graus e θ o valor numérico em radianos, a proporção é D/180=θ/π. Isolar cada número fornece os fatores de conversão.

\theta=D\frac\pi{180}\qquad D=\theta\frac{180}\pi

\begin{gathered}\theta=D\frac\pi{180}\\D=\theta\frac{180}\pi\end{gathered}

D é o valor numérico em graus e θ o valor numérico em radianos da mesma medida orientada. As fórmulas valem para valores positivos, negativos e zero. Multiplicar por π/180 converte graus para radianos; a operação inversa usa 180/π.

Exemplo resolvido · Converter uma medida maior que um ângulo reto

Converta 135° para radianos e 7π/6 rad para graus.

Resolução

$135\cdot\frac\pi{180}=\frac{3\pi}{4}$ rad. Simplificamos 135/180 para 3/4.
$\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi}=210^\circ$ . O π cancela porque é fator de todo o numerador e de todo o denominador.

$135^\circ=3\pi/4\text{ rad}$ e $7\pi/6\text{ rad}=210^\circ$ .

Exemplo resolvido · Radianos não precisam ser múltiplos racionais de π

Converta 2 rad e π²/6 rad para graus.

Resolução

Para 2 rad, $D=2\cdot180/\pi=360/\pi\approx114{,}59^\circ$ . O número dois não é 2π.
Para $\pi^2/6$ rad, $D=(\pi^2/6)(180/\pi)=30\pi\approx94{,}25^\circ$ . Um fator π permanece; não trocamos cada símbolo π isoladamente por 180°.

2 rad≈114,59° e π²/6 rad=30π°≈94,25°.

Na calculadora, DEG identifica cálculos de ângulos em graus e RAD, em radianos. Um valor escrito sem ° em um contexto trigonométrico costuma ser interpretado em radianos; nesta aula indicaremos a unidade sempre que houver risco de confusão. π é um número, e rad é a identificação da medida angular.

Existe também o grado, identificado por gon: uma volta tem 400 gon, então 1 gon=0,9°=π/200 rad. Se a calculadora oferecer o modo GRAD, ele usa essa terceira unidade. Não confunda GRAD com DEG ou RAD; as contas seguintes usam graus ou radianos, conforme indicado.

5Reconhecer frações usuais da volta

As referências da tabela saem da conversão, não de uma regra diferente para cada ângulo. Por exemplo, 30° é um doze avos de 360°, então corresponde a um doze avos de 2π: π/6.

\begin{array}{c|c}\text{graus}&\text{radianos}\\\hline0&0\\30&\pi/6\\45&\pi/4\\60&\pi/3\\90&\pi/2\\180&\pi\\270&3\pi/2\\360&2\pi\end{array}

Cada linha representa a mesma medida angular em unidades diferentes. As frações com π são exatas. Outros valores são obtidos pela proporcionalidade da conversão, sem decorar uma tabela para cada ângulo.

Exemplo resolvido · Derivar mais referências sem decorar outra tabela

Converta 15°, 225° e 330° para radianos.

Resolução

Multiplicar por π/180 dá 15°=π/12 rad, 225°=5π/4 rad e 330°=11π/6 rad.
Como conferência: 225° fica entre 180° e 270°, e 5π/4 fica entre π e 3π/2. As duas representações indicam a mesma parte da volta.

15°=π/12 rad; 225°=5π/4 rad; 330°=11π/6 rad.

6Usar radianos para encontrar o comprimento de arco

Pela definição θ=s/r, multiplicar por r>0 fornece s=rθ. O comprimento tem a unidade do raio. A medida θ dessa fórmula é em radianos: inserir diretamente um número em graus produz uma conta diferente da medida procurada.

Para contar um percurso com sentido fixo, usaremos também Δθ, lido delta teta, para o giro total, sem retirar voltas. O sinal distinguirá os sentidos de giro, como veremos adiante. As barras | | indicam módulo, isto é, a distância do número até zero: |−2|=2 e |2|=2. Assim |Δθ| fornece a medida não negativa necessária ao comprimento.

\begin{gathered}s=r\theta\quad(\theta\ge0)\\s=r|\Delta\theta|\quad\text{sem inversão de sentido}\end{gathered}

r>0 e os ângulos são medidos em radianos. Δθ, lido delta teta, é o giro orientado total, antes de reduzi-lo à primeira volta. Para um arco simples, 0≤θ≤2π; em várias voltas, o percurso conta as repetições. Se o movimento mudar de sentido, some os comprimentos de cada trecho; o módulo do giro resultante pode não dar a distância total.

Exemplo resolvido · Converter antes de multiplicar pelo raio

Calcule o arco de 120° numa circunferência de raio 6 cm.

Resolução

Converta: 120°=2π/3 rad. Agora s=6·2π/3=4π cm, aproximadamente 12,57 cm.
A volta inteira mede 12π cm; 120° representa um terço dela, confirmando o resultado. O produto 6·120 não usa a medida em radianos.

$s=4\pi\text{ cm}\approx12{,}57\text{ cm}$ .

Exemplo resolvido · Inverter a conta para encontrar o raio

Um arco de medida 3π/4 rad tem comprimento 9π m. Qual é o raio?

Resolução

De s=rθ, isole r=s/θ. Assim r=9π/(3π/4)=12 m.
O divisor é positivo. Conferindo: 12·3π/4=9π m.

O raio mede 12 m.

7Área do setor e da faixa entre dois raios

Um setor circular é a região entre dois raios e o arco escolhido, como uma fatia do disco. Para uma abertura θ entre zero e 2π rad, o setor ocupa a fração θ/(2π) da área πr² do círculo. Multiplicar e simplificar dá r²θ/2. A área usa unidades quadradas; o comprimento de arco usa unidades simples.

A=\frac{r^2\theta}{2}

r>0 e 0≤θ≤2π em radianos descrevem um setor percorrido até uma volta, entre dois raios e o arco escolhido. A é área em unidades quadradas. A fórmula vem de (θ/2π)·πr². Giros maiores que uma volta não representam um novo setor simples com essa área multiplicada.

O setor tem raio seis e abertura de 120°=2π/3 rad. Seu arco mede 4π e sua área 12π. A corda tracejada liga as extremidades em linha reta; ela não coincide com o arco curvo.

Exemplo resolvido · Abertura igual não faz área e comprimento terem a mesma unidade

No setor de raio 6 cm e abertura de 120°, calcule a área.

Resolução

Use θ=2π/3. A=(6²/2)(2π/3)=12π cm², aproximadamente 37,70 cm².
O comprimento do arco, calculado antes, é 4π cm. O número e a unidade de área são diferentes dos de comprimento.

$A=12\pi\text{ cm}^2\approx37{,}70\text{ cm}^2$ .

Uma coroa circular é a região entre duas circunferências de mesmo centro, uma dentro da outra. Um setor de coroa é a parte dessa faixa delimitada pela mesma abertura. Subtraia as áreas dos setores externo e interno, conservando o mesmo ângulo.

A=\frac{(R^2-r^2)\theta}{2}

Os setores têm o mesmo centro e a mesma abertura 0≤θ≤2π em radianos. R>r≥0 são os raios externo e interno na mesma unidade. A diferença das áreas fornece a faixa; a expressão não é (R−r)²θ/2.

Exemplo resolvido · Subtrair áreas, não quadrar a espessura

Um setor de coroa tem raios 5 m e 3 m e abertura de 90°. Encontre a área.

Resolução

A abertura é π/2 rad. A=[(5²−3²)/2](π/2)=(16/2)(π/2)=4π m².
A diferença de quadrados é 25−9=16, não (5−3)²=4. A largura da faixa, sozinha, não informa sua área.

$A=4\pi\text{ m}^2$ .

8Definir uma origem e um sentido para o giro

Para localizar uma medida orientada, precisamos de um lado inicial. O centro O será a origem, e o eixo x será a reta horizontal que passa por ele. No ciclo usaremos o semieixo horizontal positivo, isto é, a parte dessa reta à direita de O. A partir dele, o sentido anti-horário é positivo e o horário é negativo. O sinal registra direção, não um comprimento de arco negativo.

A posição final é a posição inicial mais a variação orientada. Δ, a letra grega delta maiúscula, indica variação: Δθ é a diferença final menos inicial. A expressão $\theta_i$ indica a medida inicial e $\theta_f$ a final; i e f são índices para identificar essas posições. Um objeto não começa necessariamente no lado inicial padrão.

\theta_f=\theta_i+\Delta\theta

θ com índice i e θ com índice f são medidas orientadas inicial e final, usando uma mesma unidade e referência. Δ indica variação: Δθ é a medida final menos a inicial. No ciclo, o lado inicial padrão é o semieixo horizontal positivo. Anti-horário é positivo; horário, negativo. A posição inicial não precisa ser zero.

Um ponteiro de minutos começa no 12, direção de 90° em relação ao semieixo horizontal positivo. Em vinte minutos gira 120° no sentido horário: Δθ=−120°. A posição final é 90°−120°=−30°, equivalente à direção de 330°.

Exemplo resolvido · Giro do ponteiro não é sua posição final padrão

Um ponteiro começa no 12 e avança vinte minutos. Determine o giro e a posição final medidos a partir da horizontal positiva.

Resolução

Uma volta do ponteiro de minutos leva sessenta minutos. Em vinte minutos ele percorre 20/60=1/3 de volta, no sentido horário: Δθ=−120°=−2π/3 rad.
A posição inicial é 90°=π/2. Portanto $\theta_f=90^\circ-120^\circ=-30^\circ$ , ou π/2−2π/3=−π/6 rad.
O giro foi −120°, enquanto a posição final padrão é −30°. A diferença aparece porque o movimento começou no 12, não no 3.

Giro −120°; posição final −30° em relação à horizontal positiva.

9Arcos côngruos: mesma chegada, voltas de diferença

Com o mesmo ponto inicial no ciclo, duas medidas são chamadas côngruas, também ditas coterminais, quando terminam no mesmo ponto. A diferença entre elas precisa ser um número inteiro de voltas: uma, duas, nenhuma, ou voltas no sentido negativo. Isso não afirma que os números ou os percursos sejam iguais.

\begin{gathered}\theta=\alpha+2k\pi\quad(\text{rad})\\D=D_0+360k\quad(\text{graus})\\k\in\mathbb Z\end{gathered}

As medidas usam a mesma origem e orientação no mesmo ciclo. θ e α, lido alfa, são valores em radianos; D e D₀, em graus. ℤ é o conjunto dos inteiros: …,−2,−1,0,1,2,…; k conta voltas algébricas de diferença. O mesmo ponto final ocorre exatamente quando a diferença é um número inteiro de voltas. Medidas e percursos não precisam ser iguais.

ℤ é o conjunto dos números inteiros, positivos, negativos e zero. Na família, k∈ℤ significa que k pode ser …,−2,−1,0,1,2,…; ele não é uma nova medida de ângulo nem um número escolhido apenas entre os positivos. Multiplicar 2π por esse inteiro adiciona voltas completas. Reciprocamente, voltar ao mesmo ponto exige completar voltas inteiras de diferença.

As medidas +210° e −150° partem da mesma direção horizontal positiva e chegam a P no terceiro quadrante. Os sentidos e os arcos percorridos são diferentes; a diferença de medidas é uma volta completa.

Exemplo resolvido · Escrever a família e testar um valor

Escreva todos os arcos côngruos a π/6 rad e verifique se −11π/6 pertence à família.

Resolução

A família é θ=π/6+2kπ, com k inteiro. Para k=0, obtemos π/6; para k=1, 13π/6; para k=−1, −11π/6.
A diferença π/6−(−11π/6)=2π confirma uma volta. Em graus, são 30° e −330°, com a mesma chegada.

θ=π/6+2kπ, k∈ℤ; −11π/6 é um dos representantes.

10Escolher representantes sem perder os casos negativos e o zero

Para localizar um ponto, é conveniente escolher a medida α, lida alfa, no intervalo [0,2π). O colchete inclui zero e o parêntese exclui 2π, porque essas duas medidas chegam ao mesmo ponto e queremos um único representante. Em graus, usamos [0°,360°).

\begin{gathered}\theta=2k\pi+\alpha\\k\in\mathbb Z,\quad0\le\alpha<2\pi\\\gamma=\alpha-2\pi\\-2\pi\le\gamma<0\end{gathered}

Todas as medidas estão em radianos. α, lido alfa, é o único representante em [0,2π). γ, lido gama, é o maior representante estritamente negativo. Quando α=0, γ=−2π; o menor estritamente positivo é 2π. Quando α>0, o menor positivo é α. O coeficiente inteiro k dessa decomposição não é necessariamente a quantidade física de voltas completas já percorridas num movimento negativo.

Subtraia ou some voltas completas até cair nesse intervalo. A escrita θ=2kπ+α conserva o inteiro usado na decomposição. A unicidade é simples: dois representantes dentro de um intervalo de comprimento 2π têm diferença menor que uma volta em módulo; se a diferença também é um múltiplo inteiro de 2π, só pode ser zero.

Exemplo resolvido · Uma medida positiva com voltas excedentes

Reduza 17π/6 rad à primeira volta.

Resolução

17π/6=12π/6+5π/6=2π+5π/6. Portanto k=1 e α=5π/6.
O representante está entre π/2 e π e corresponde a 150°. Seu maior representante estritamente negativo é 5π/6−2π=−7π/6.

α=5π/6 e representante negativo mais próximo de zero −7π/6.

Exemplo resolvido · Uma medida negativa não usa simplesmente o resto com sinal

Reduza −19π/4 rad à primeira volta.

Resolução

Some 6π, isto é, três voltas: −19π/4+24π/4=5π/4. Assim −19π/4=2(−3)π+5π/4.
O representante é α=5π/4, com k=−3. O maior representante negativo é 5π/4−2π=−3π/4.
Esse k é o coeficiente da decomposição que deixa o resto não negativo. Ele não diz que um giro real de −19π/4 completou três voltas negativas: esse giro pode ser descrito como duas voltas negativas e mais −3π/4.

α=5π/4; representante negativo mais próximo de zero −3π/4.

Exemplo resolvido · Representante não negativo não é sempre estritamente positivo

Quais são os representantes de 720° pedidos em [0°,360°), como maior negativo e como menor estritamente positivo?

Resolução

720° são duas voltas; o representante em [0°,360°) é 0°.
O maior representante estritamente negativo é −360°, e o menor estritamente positivo é 360°. Zero não é negativo nem estritamente positivo.
Alguns materiais usam a expressão menor determinação positiva para o representante não negativo, incluindo zero. Aqui o intervalo declarado elimina essa ambiguidade.

Respectivamente: 0°, −360° e 360°.

11Preparar o plano cartesiano antes de ler o ciclo

O plano cartesiano usa dois eixos perpendiculares. O eixo x é horizontal, com sentido positivo para a direita; o eixo y é vertical, positivo para cima. A origem O=(0,0) é o cruzamento. Um ponto P=(x,y) é um par ordenado: primeiro o deslocamento horizontal, depois o vertical, na mesma escala de unidade dos eixos.

O nome abscissa se refere à coordenada x e ordenada à coordenada y. Uma coordenada negativa indica direção contrária à positiva do eixo; não representa um comprimento geométrico negativo. Por exemplo, x=−3 significa três unidades para a esquerda da origem.

Exemplo resolvido · A ordem e o sinal mudam o ponto

Localize P=(−3,4) e Q=(4,−3). Eles são o mesmo ponto?

Resolução

P está três unidades à esquerda e quatro acima da origem. Q está quatro à direita e três abaixo.
Os pontos são distintos. Ambos têm distância cinco da origem, pois (−3)²+4²=4²+(−3)²=25, mas a posição não é determinada apenas pela distância.

P e Q são pontos diferentes, apesar de terem a mesma distância à origem.

12Quatro quadrantes e posições que ficam nos eixos

Os eixos separam o plano em quatro regiões abertas chamadas quadrantes. A numeração I, II, III e IV segue o sentido anti-horário, começando na região à direita e acima da origem. Nos quadrantes I e II, y é positivo; nos III e IV, negativo. Nos I e IV, x é positivo; nos II e III, negativo.

\begin{array}{c|c}\mathrm I&0<\alpha<\pi/2\\\mathrm{II}&\pi/2<\alpha<\pi\\\mathrm{III}&\pi<\alpha<3\pi/2\\\mathrm{IV}&3\pi/2<\alpha<2\pi\end{array}

α é o representante em [0,2π), em radianos. Os quatro intervalos são abertos: as posições nos eixos, como 0, π/2, π e 3π/2, não pertencem a quadrante algum. I, II, III e IV são algarismos romanos.

O ciclo tem raio um e eixos com a mesma escala. Os quatro quadrantes são regiões entre os eixos. As posições 0 ou 2π, π/2, π e 3π/2 estão nos próprios eixos e não pertencem a nenhum quadrante.

Exemplo resolvido · Tratar uma fronteira separadamente

Onde terminam as medidas 225°, 270° e −30°?

Resolução

225° fica entre 180° e 270°: terceiro quadrante. −30° tem representante 330°, entre 270° e 360°: quarto quadrante.
270° fica no semieixo vertical negativo, não dentro de um quadrante. Em radianos, essa posição é 3π/2.

225°: III; 270°: eixo y negativo; −30°: IV.

13Construir a circunferência de raio um

O ciclo trigonométrico é a circunferência de centro na origem e raio um, com uma origem de arcos em A=(1,0) e os sentidos já convencionados. O raio um é uma unidade escolhida de comprimento; não significa que toda circunferência real tenha um metro de raio.

\begin{gathered}x^2+y^2=r^2\\r=1\Longrightarrow x^2+y^2=1\end{gathered}

r>0 é o raio; (x,y) são coordenadas cartesianas reais com a mesma unidade e origem no centro. A relação é Pitágoras para a distância ao centro. O ciclo trigonométrico usa raio um. O ponto (0,0) é o centro, não pertence à circunferência de raio positivo.

Pelo teorema de Pitágoras, a distância de P=(x,y) até O tem quadrado x²+y². Para estar no ciclo essa distância deve ser um, então x²+y²=1. A recíproca também vale: um par real que satisfaz essa igualdade está à distância um da origem. A fórmula continua válida nos eixos, quando uma das coordenadas é zero.

Exemplo resolvido · Conferir antes de usar um par como seno e cosseno

Quais pontos pertencem ao ciclo: (3/5,4/5), (1,1) e (0,0)?

Resolução

No primeiro, 9/25+16/25=1; ele pertence ao ciclo.
Em (1,1), a soma dos quadrados é dois; em (0,0), é zero. Nenhum desses dois está na circunferência de raio um. A origem é o centro.

Somente (3/5,4/5) pertence ao ciclo.

14Ampliar seno e cosseno usando as coordenadas

No primeiro quadrante, a perpendicular de P ao eixo x forma um triângulo retângulo com hipotenusa um. Seu cateto adjacente mede x e seu oposto mede y; portanto cosθ=x/1=x e senθ=y/1=y. A construção coincide com as definições da aula anterior.

Para qualquer medida real, positiva, negativa ou com várias voltas, definimos o cosseno como a coordenada horizontal da chegada no ciclo e o seno como a vertical. Assim podemos usar sinais e zeros sem chamar uma coordenada negativa de comprimento de cateto.

P(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)

θ é qualquer medida real em radianos a partir do semieixo x positivo, com orientação convencionada. O ciclo tem centro (0,0) e raio um. Cosseno é a coordenada horizontal e seno a vertical. No primeiro quadrante isso concorda com as razões do triângulo retângulo; em outros pontos as coordenadas podem ser negativas ou zero.

O ponto P=(−3/5,4/5) está no segundo quadrante e no ciclo. A projeção horizontal é negativa e a vertical positiva. Portanto cosθ=−3/5 e senθ=4/5; os comprimentos do triângulo auxiliar são os módulos dessas coordenadas.

Exemplo resolvido · A coordenada vem antes da escolha de uma fração de lados

Um arco termina em P=(−3/5,4/5) no ciclo. Quais são seu seno e seu cosseno?

Resolução

A ordem é P=(cosθ,senθ), então cosθ=−3/5 e senθ=4/5.
O ponto está à esquerda e acima da origem. Usar apenas os comprimentos positivos do triângulo auxiliar e descartar o sinal do cosseno mudaria o ponto para outro quadrante.

cosθ=−3/5 e senθ=4/5.

15Quais medidas entram e quais valores podem sair

Domínio é o conjunto das entradas permitidas; imagem é o conjunto dos resultados obtidos. Cada medida real em radianos determina uma chegada no ciclo, então seno e cosseno têm domínio real. As coordenadas dessa chegada estão entre −1 e 1, inclusive. Os valores extremos são atingidos nos eixos.

\begin{gathered}\theta\in\mathbb R\\-1\le\sin\theta\le1\\-1\le\cos\theta\le1\end{gathered}

ℝ é o conjunto dos números reais. Toda medida orientada real em radianos determina um ponto do ciclo, por isso seno e cosseno estão definidos para todo θ real. Os valores são coordenadas de pontos de raio um, com os extremos incluídos e atingidos nos eixos. A imagem de cada uma dessas correspondências é [−1,1].

A cada entrada corresponde um valor de seno e um de cosseno: são funções, isto é, correspondências com resultado único para cada entrada. Isso não obriga que entradas diferentes tenham resultados diferentes. A análise detalhada dos gráficos e de suas transformações terá uma aula própria.

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

θ é real, em radianos; a identidade vem de x²+y²=1 e P=(cosθ,sinθ). Os quadrados eliminam sinais das coordenadas. sin²θ significa (sinθ)². A identidade vale também nos eixos e para ângulos negativos, mas sozinha não determina os sinais das razões.

A relação fundamental agora vem da equação do ciclo: substitua x=cosθ e y=senθ em x²+y²=1. A identidade vale para qualquer medida real, inclusive os eixos. Entretanto, ela fornece quadrados e não escolhe sozinha os sinais de seno e cosseno.

Exemplo resolvido · Um par possível não pode ter coordenada maior que o raio

Pode um mesmo ângulo ter cosθ=5/4 e senθ=0? E cosθ=−1 e senθ=0?

Resolução

O primeiro par falha: o cosseno 5/4 está fora de [−1,1] e a soma dos quadrados seria 25/16, não um.
O segundo é o ponto (−1,0), válido no ciclo. A medida π rad, entre outras côngruas, chega ali.

O primeiro par é impossível; o segundo é válido.

16Ler os valores nos eixos sem forçar um triângulo

Nos eixos, o triângulo retângulo auxiliar pode ficar degenerado. A definição por coordenadas permanece válida e é ela que fornece os valores. Não precisamos inventar um cateto positivo onde a coordenada vale zero.

\begin{array}{c|rr}\theta&\cos\theta&\sin\theta\\\hline0&1&0\\\pi/2&0&1\\\pi&-1&0\\3\pi/2&0&-1\end{array}

Os ângulos da tabela estão em radianos. Somar ou subtrair voltas inteiras mantém o ponto e seus valores. Em particular, 2π representa o mesmo ponto de zero. Pontos nos eixos não têm um quadrante associado.

Exemplo resolvido · Conservar os valores depois de voltas completas

Calcule sen(5π/2), cos(−π) e sen(−π/2).

Resolução

5π/2=2π+π/2 chega ao topo (0,1), portanto seu seno vale um.
−π chega a (−1,0), então seu cosseno é −1. −π/2 chega a (0,−1), então seu seno vale −1.

Respectivamente: 1, −1 e −1.

17Tangente no ciclo: um quociente com restrições

Na aula anterior, a tangente de um agudo era seno/cosseno. Mantemos essa definição para qualquer medida em que o cosseno não seja zero. No ponto P=(x,y), isso é y/x. A coordenada x precisa ser não nula; dividir por zero não produz um número real chamado infinito.

\begin{gathered}\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac yx\\\theta\ne\frac\pi2+k\pi,\quad k\in\mathbb Z\end{gathered}

P=(x,y) pertence ao ciclo e x=cosθ deve ser diferente de zero. θ está em radianos e k é inteiro. Nos ângulos π/2+kπ, o quociente divide por zero e não está definido: não recebe o valor infinito. Em θ=kπ, a tangente vale zero.

Exemplo resolvido · Usar as coordenadas com seus sinais

Para o ponto P=(−3/5,4/5) do segundo quadrante, determine tgθ.

Resolução

tgθ=(4/5)/(−3/5)=−4/3. O resultado negativo vem de dividir um número positivo por outro negativo.
A coordenada x=−3/5 é não nula, então a tangente está definida. Seu módulo pode ser maior que um.

tgθ=−4/3.

Exemplo resolvido · Distinguir zero e quociente indefinido

Determine tgπ e diga o que acontece com tg(π/2) e tg(3π/2).

Resolução

Em π, o ponto é (−1,0), então tgπ=0/(−1)=0.
Em π/2 e 3π/2, a coordenada horizontal vale zero, enquanto a vertical é um ou menos um. A divisão por zero não está definida.
A mesma exclusão ocorre em π/2+kπ, com k inteiro. Os zeros da tangente, por outro lado, ocorrem em kπ.

tgπ=0; tg(π/2) e tg(3π/2) não estão definidas.

18Ler a tangente numa reta, inclusive no prolongamento oposto

A reta vertical x=1 toca o ciclo apenas em A=(1,0), pois substituir x=1 em x²+y²=1 exige y=0. Por isso ela é uma reta tangente à circunferência. O valor da razão tangente pode ser visualizado na altura em que a reta inteira OP encontra essa vertical.

T=(1,\tan\theta)

A reta inteira que passa por O e P=(cosθ,sinθ) encontra a reta vertical x=1 quando cosθ≠0. Ela é parametrizada por λP; x=λcosθ=1 dá λ=1/cosθ e y=tanθ. λ, lido lambda, pode ser negativo. Se cosθ<0, a interseção fica no prolongamento oposto à semirreta OP. Se cosθ=0, as retas são paralelas.

Um ponto da reta OP é escrito como λP=(λx,λy), com λ, lido lambda, real. Exigir coordenada horizontal um dá λx=1 e λ=1/x, quando x≠0. A coordenada vertical passa a ser λy=y/x=tgθ. Quando x é negativo, λ também é negativo: a interseção está no sentido oposto à semirreta que sai de O em direção a P. Usar apenas a semirreta perderia esses casos.

Em θ=135°, P está no segundo quadrante. A reta OP, prolongada no sentido oposto, encontra x=1 no ponto T=(1,−1). A coordenada vertical de T é a tangente −1. A parte tracejada explicita o prolongamento; não é a semirreta OP chegando a x=1.

Exemplo resolvido · Uma interseção abaixo do eixo apesar de P estar acima

Explique por que o desenho de 135° fornece uma tangente negativa.

Resolução

A direção de 135°=180°−45° é a reflexão da direção de 45° no eixo y: a altura se conserva e o sinal horizontal se inverte. Como o ponto de 45° é (√2/2,√2/2), o de 135° é (−√2/2,√2/2). O quociente y/x é −1.
O fator λ=1/x é negativo. Multiplicar as coordenadas de P por λ dá T=(1,−1), que fica abaixo do eixo x.
Se x fosse zero, OP seria vertical e paralela à reta x=1; não haveria interseção. Isso reproduz a restrição algébrica.

tg135°=−1, lida na coordenada vertical de T.

19Justificar os sinais por quadrante

O sinal do cosseno vem do lado horizontal do ponto; o do seno, de estar acima ou abaixo do eixo x. Para a tangente, aplique a regra de sinais ao quociente y/x. Não é necessário decorar uma frase sem saber de onde ela vem.

\begin{array}{c|ccc}&\cos&\sin&\tan\\\hline\mathrm I&+&+&+\\\mathrm{II}&-&+&-\\\mathrm{III}&-&-&+\\\mathrm{IV}&+&-&-\end{array}

A tabela trata pontos dentro dos quadrantes, sem os eixos. Cosseno tem o sinal de x; seno, de y; tangente, de y/x. A tangente exige x≠0. Nenhuma entrada + ou − representa um valor numérico fixo.

Exemplo resolvido · Combinar informações de duas razões

Um ponto fora dos eixos tem seno negativo e tangente positiva. Em qual quadrante ele está?

Resolução

Seno negativo significa y<0: o ponto pode estar no III ou no IV.
Tangente positiva exige sinais iguais para x e y. Como y<0, x também é negativo. Portanto o ponto está no III.

Terceiro quadrante.

A tabela só usa pontos dentro dos quadrantes. Nos eixos, uma coordenada é zero e a tangente pode ser zero ou não existir. Esses casos são decididos pela tabela de coordenadas e pelo domínio do quociente, não por um sinal + ou − de uma região vizinha.

20Levar os valores notáveis aos quatro quadrantes

Os valores de 30°, 45° e 60° foram deduzidos com triângulos na aula anterior. Em radianos são π/6, π/4 e π/3. Refletir os pontos do primeiro quadrante nos eixos conserva os módulos das coordenadas e troca os sinais correspondentes. O ângulo agudo entre a direção de um ponto fora dos eixos e o semieixo horizontal mais próximo é seu ângulo de referência. Assim construímos o restante da tabela sem redefinir as razões.

\begin{array}{cc}\begin{array}{c|cc}\theta&\cos\theta&\sin\theta\\\hline\pi/6&\sqrt3/2&1/2\\\pi/4&\sqrt2/2&\sqrt2/2\\\pi/3&1/2&\sqrt3/2\end{array}&\begin{array}{c|cc}\theta&\cos\theta&\sin\theta\\\hline2\pi/3&-1/2&\sqrt3/2\\3\pi/4&-\sqrt2/2&\sqrt2/2\\5\pi/6&-\sqrt3/2&1/2\end{array}\\[1em]\begin{array}{c|cc}\theta&\cos\theta&\sin\theta\\\hline7\pi/6&-\sqrt3/2&-1/2\\5\pi/4&-\sqrt2/2&-\sqrt2/2\\4\pi/3&-1/2&-\sqrt3/2\end{array}&\begin{array}{c|cc}\theta&\cos\theta&\sin\theta\\\hline5\pi/3&1/2&-\sqrt3/2\\7\pi/4&\sqrt2/2&-\sqrt2/2\\11\pi/6&\sqrt3/2&-1/2\end{array}\end{array}

\begin{gathered}\begin{array}{c|cc}\theta&\cos\theta&\sin\theta\\\hline\pi/6&\sqrt3/2&1/2\\\pi/4&\sqrt2/2&\sqrt2/2\\\pi/3&1/2&\sqrt3/2\end{array}\\[1em]\begin{array}{c|cc}\theta&\cos\theta&\sin\theta\\\hline2\pi/3&-1/2&\sqrt3/2\\3\pi/4&-\sqrt2/2&\sqrt2/2\\5\pi/6&-\sqrt3/2&1/2\end{array}\\[1em]\begin{array}{c|cc}\theta&\cos\theta&\sin\theta\\\hline7\pi/6&-\sqrt3/2&-1/2\\5\pi/4&-\sqrt2/2&-\sqrt2/2\\4\pi/3&-1/2&-\sqrt3/2\end{array}\\[1em]\begin{array}{c|cc}\theta&\cos\theta&\sin\theta\\\hline5\pi/3&1/2&-\sqrt3/2\\7\pi/4&\sqrt2/2&-\sqrt2/2\\11\pi/6&\sqrt3/2&-1/2\end{array}\end{gathered}

Todas as medidas são em radianos. Os quatro grupos correspondem aos quadrantes I, II, III e IV. Os valores do primeiro quadrante vêm de 30°, 45° e 60°, deduzidos na aula anterior; os outros são obtidos por reflexões e escolha dos sinais. As posições dos eixos estão em uma tabela própria.

Os pontos A, B, C e D correspondem a 30°, 150°, 210° e 330°, ou π/6, 5π/6, 7π/6 e 11π/6. Eles têm triângulos de referência de 30° com os mesmos comprimentos. As reflexões preservam os módulos e alteram os sinais das coordenadas.

Exemplo resolvido · Segundo quadrante, referência de 60°

Determine seno, cosseno e tangente de 2π/3 rad.

Resolução

2π/3=120° está no II quadrante. O ângulo agudo entre sua direção e o semieixo x negativo é π−2π/3=π/3, ou 60°.
Os módulos são os de 60°; no II, cosseno negativo e seno positivo. Então cos(2π/3)=−1/2 e sen(2π/3)=√3/2.
O quociente fornece tg(2π/3)=−√3.

$\cos(2\pi/3)=-1/2$ , $\sin(2\pi/3)=\sqrt3/2$ e $\tan(2\pi/3)=-\sqrt3$ .

Exemplo resolvido · Terceiro quadrante, referência de 45°

Determine as razões de 5π/4 rad.

Resolução

5π/4=225° tem referência 5π/4−π=π/4, ou 45°.
No III, as duas coordenadas são negativas: cos(5π/4)=−√2/2 e sen(5π/4)=−√2/2.
O quociente de dois números iguais e não nulos é um, portanto tg(5π/4)=1.

$\cos(5\pi/4)=\sin(5\pi/4)=-\sqrt2/2$ e $\tan(5\pi/4)=1$ .

Exemplo resolvido · Quarto quadrante, referência de 30°

Determine as razões de 11π/6 rad.

Resolução

11π/6=330° tem referência 2π−11π/6=π/6, ou 30°.
No IV, cosseno positivo e seno negativo: cos(11π/6)=√3/2, sen(11π/6)=−1/2.
Logo tg(11π/6)=−1/√3=−√3/3.

$\cos(11\pi/6)=\sqrt3/2$ , $\sin(11\pi/6)=-1/2$ e $\tan(11\pi/6)=-\sqrt3/3$ .

21Separar o ângulo de referência da medida original

Fora dos eixos, o ângulo de referência é o agudo entre a direção do ponto e o semieixo horizontal mais próximo. Chamaremos essa medida β, lida beta. β é sempre positivo e menor que π/2; não é necessariamente côngruo ao ângulo original. Ele serve para recuperar os módulos das razões, e o quadrante original fornece os sinais.

Se α é o representante na primeira volta: no I, a referência é α; no II, π−α; no III, α−π; no IV, 2π−α. Essas diferenças medem a abertura aguda até um dos semieixos horizontais. Nos eixos tratamos diretamente as coordenadas, sem tentar criar um triângulo agudo.

Exemplo resolvido · Mesmo tamanho de referência, sinais distintos

Compare 3π/4 e 7π/4 rad.

Resolução

No primeiro caso, π−3π/4=π/4. No segundo, 2π−7π/4=π/4. A referência é 45° nos dois.
Em 3π/4, o ponto está no II: (−√2/2,√2/2). Em 7π/4, está no IV: (√2/2,−√2/2).
Os pontos são opostos, não iguais. Descartar o quadrante e usar somente a referência mudaria os sinais.

A referência é a mesma, mas as coordenadas têm sinais opostos.

22Meia volta e uma volta não têm o mesmo efeito

Pontos diametralmente opostos são as duas extremidades de um diâmetro. Meia volta leva de um ao outro e troca o sinal das duas coordenadas. Uma volta completa retorna ao ponto inicial e preserva ambas.

\begin{gathered}P(\theta+\pi)=-P(\theta)\\\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\\\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta\end{gathered}

θ é real, em radianos. Meia volta leva à outra extremidade do mesmo diâmetro e troca o sinal das duas coordenadas. −P significa trocar (x,y) por (−x,−y), não um comprimento de raio negativo.

\begin{gathered}\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\\\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\\\tan(\theta+\pi)=\tan\theta\end{gathered}

θ está em radianos. Seno e cosseno repetem após uma volta; a tangente já repete após meia volta porque os dois sinais se invertem e o quociente se conserva. Para a tangente, ambas as medidas precisam pertencer ao domínio. Meia volta não torna os pontos do ciclo iguais.

A tangente já se repete com meia volta, porque (−y)/(−x)=y/x quando x≠0. Isso não torna os pontos iguais. Seno e cosseno, considerados juntos, só repetem o ponto após uma diferença de voltas inteiras. A noção de período e os gráficos serão desenvolvidos na aula de funções trigonométricas.

Exemplo resolvido · Uma tangente igual não prova congruência

π/4 e 5π/4 têm tangentes iguais. São arcos côngruos?

Resolução

Os pontos são (√2/2,√2/2) e (−√2/2,−√2/2); ambos têm tangente um.
A diferença é π, meia volta, e não 2kπ com k inteiro. Portanto os pontos são opostos e os arcos não são côngruos.

Tangentes iguais podem ocorrer em pontos opostos.

Exemplo resolvido · Um seno igual também não basta

π/6 e 5π/6 têm seno 1/2. O que distingue seus pontos?

Resolução

As coordenadas horizontais são √3/2 e −√3/2. Os pontos têm a mesma altura, mas lados horizontais diferentes.
A diferença de medidas é 2π/3, que não é uma volta inteira. Para identificar o mesmo ponto, precisamos das duas coordenadas ou da condição de congruência.

Mesmo seno não garante mesmo ponto ou arcos côngruos.

23Ângulos negativos refletem o ponto no eixo horizontal

As medidas orientadas θ e −θ, tomadas a partir de A, têm o mesmo módulo e sentidos opostos quando não nulas; suas chegadas são refletidas no eixo x. Se θ=0, ambas chegam a A. A coordenada horizontal permanece, e a vertical muda de sinal. Isso explica as relações para medidas negativas; elas não são uma mudança arbitrária do sinal de todas as razões.

\begin{gathered}\cos(-\theta)=\cos\theta\\\sin(-\theta)=-\sin\theta\\\tan(-\theta)=-\tan\theta\end{gathered}

θ é real, em radianos. Trocar o sentido do giro reflete P no eixo x: a coordenada horizontal permanece e a vertical troca de sinal. A igualdade das tangentes só se aplica onde o cosseno é não nulo.

Exemplo resolvido · Conferir pelo espelho e pela primeira volta

Calcule seno, cosseno e tangente de −π/3 rad.

Resolução

O ponto de π/3 é (1/2,√3/2). Refletindo no eixo x, obtemos (1/2,−√3/2).
Logo cos(−π/3)=1/2, sen(−π/3)=−√3/2 e tg(−π/3)=−√3.
Como conferência, −π/3+2π=5π/3, uma posição do IV quadrante com esses mesmos sinais e valores.

$\cos(-\pi/3)=1/2$ , $\sin(-\pi/3)=-\sqrt3/2$ e $\tan(-\pi/3)=-\sqrt3$ .

24A raiz e o quadrante precisam ser analisados juntos

Na aula de triângulos, raízes positivas eram escolhidas porque os agudos tinham razões positivas. No ciclo, uma coordenada pode ser negativa. Se conhecemos x=cosθ, a relação fundamental dá y²=1−x², mas o sinal de y=senθ depende da posição. Uma informação de quadrante pode resolver a escolha.

y=\pm\sqrt{1-x^2}

P=(x,y) pertence ao ciclo, então −1≤x≤1. O sinal de y depende da posição; no semiplano superior, y≥0, e no inferior, y≤0. Se x=±1, y=0 e as duas expressões coincidem. Se |x|>1, não existe ponto real do ciclo com essa coordenada.

Exemplo resolvido · Um cosseno negativo e um quadrante declarado

Sabendo que cosθ=−5/13 e que θ termina no II quadrante, encontre seno e tangente.

Resolução

sen²θ=1−25/169=144/169. No II, o seno é positivo, então senθ=12/13.
tgθ=(12/13)/(−5/13)=−12/5. O denominador é não nulo.

senθ=12/13 e tgθ=−12/5.

Exemplo resolvido · Sem a informação de lado, podem existir duas chegadas

É dado apenas cosθ=3/5. Podemos concluir que senθ=4/5?

Resolução

A identidade dá sen²θ=16/25. Há duas possibilidades: senθ=4/5 ou senθ=−4/5.
Os pontos (3/5,4/5) e (3/5,−4/5) pertencem ao ciclo, um no I e outro no IV. O cosseno dado não escolhe entre eles.
Em cosθ=±1, por outro lado, a identidade exige seno zero, e os dois sinais da raiz resultam no mesmo número zero.

Sem outra condição, o seno pode ser 4/5 ou −4/5.

25Entre duas posições: menor ângulo, arco e corda

Dadas duas posições, podemos comparar a abertura nos dois sentidos e escolher a menor. Se α e β estão em [0,2π), a diferença d=|α−β| é uma das aberturas e 2π−d é a outra. O símbolo | | indica módulo, a distância numérica até zero. min pede o menor dos valores.

\begin{gathered}d=|\alpha-\beta|\\\delta=\min(d,2\pi-d)\end{gathered}

α e β são representantes em [0,2π), em radianos. d é a diferença numérica não negativa; δ, lido delta, é o menor ângulo entre as semirretas e pertence a [0,π]. min pede o menor dos dois números. A fórmula compara posições, não mede o giro total já percorrido por um objeto.

Exemplo resolvido · Uma pequena separação que atravessa a origem dos arcos

Qual é o menor ângulo entre as direções 350° e 10°?

Resolução

A diferença direta é 340°, mas o outro caminho mede 360°−340°=20°.
Em radianos: os representantes são 35π/18 e π/18; d=17π/9 e 2π−d=π/9. O menor é π/9, equivalente a 20°.

O menor ângulo é 20°=π/9 rad.

A corda é o segmento reto entre as extremidades. Para um menor ângulo com 0<δ<π, ligue o centro às extremidades: aparece um isósceles de lados r,r. A perpendicular ao ponto médio da corda divide esse triângulo em dois retângulos congruentes e divide o ângulo central ao meio. Num deles, seno de δ/2 é (c/2)/r, de onde vem c=2r sen(δ/2). Os extremos δ=0 e δ=π serão conferidos separadamente.

c=2r\sin(\delta/2)

r>0 e 0≤δ≤π em radianos é o menor ângulo entre os raios. c é a distância retilínea entre as extremidades; não é o comprimento rδ do arco menor. Para 0<δ<π, a perpendicular ao meio da corda divide o isósceles em dois retângulos. Nos extremos δ=0 e δ=π, temos c=0 e c=2r.

Exemplo resolvido · A linha reta não percorre o arco

Na circunferência de raio 6 cm, compare a corda e o arco menor entre pontos separados por 120°.

Resolução

O menor ângulo é δ=120°=2π/3. A corda usa metade desse ângulo: c=2·6 sen60°=6√3 cm≈10,39 cm.
O arco menor mede s=6·2π/3=4π cm≈12,57 cm. O caminho curvo é mais longo que o segmento reto.
Se os pontos coincidirem, a corda é zero; se forem opostos, ela é o diâmetro 2r. Um movimento que fez voltas extras ainda pode percorrer distância positiva e voltar ao mesmo ponto.

Corda $6\sqrt3\text{ cm}$ e arco menor $4\pi\text{ cm}$ .

26Usar o ciclo para outras circunferências

O ciclo guarda proporções em raio um. Para uma circunferência de raio r, multiplicamos as coordenadas por r. Se o centro é (a,b), somamos a e b aos deslocamentos horizontal e vertical. As novas coordenadas X,Y indicam posições reais; não são necessariamente valores de cosseno e seno.

\begin{gathered}X=a+r\cos\theta\\Y=b+r\sin\theta\end{gathered}

O centro da circunferência é (a,b), seu raio r>0 e θ está em radianos, medido a partir da direção horizontal positiva. X,Y são as coordenadas do ponto. Seno e cosseno são adimensionais; r, a, b, X e Y usam a mesma unidade de comprimento. Com centro na origem, cosθ=X/r e sinθ=Y/r.

Exemplo resolvido · Um ponto de raio cinco não é diretamente um ponto unitário

Uma semirreta de origem O=(0,0) passa por P=(−3,4). Encontre seno e cosseno de sua direção.

Resolução

A distância de P à origem é r=√(9+16)=5. Divida as duas coordenadas por esse raio: o ponto correspondente no ciclo é (−3/5,4/5).
Assim cosθ=−3/5 e senθ=4/5. Os números −3 e 4 são coordenadas de P na circunferência de raio cinco, não valores de seno e cosseno.

cosθ=−3/5 e senθ=4/5.

Exemplo resolvido · Centro fora da origem

Uma circunferência tem centro (2,3) e raio 4. Determine o ponto de direção π/6 rad a partir desse centro.

Resolução

O deslocamento horizontal é 4 cos(π/6)=2√3; o vertical, 4 sen(π/6)=2.
Somando as coordenadas do centro: X=2+2√3 e Y=3+2=5.
Conferindo a distância ao centro: (X−2)²+(Y−3)²=(2√3)²+2²=16=4².

$P=(2+2\sqrt3,5)$ .

27Relacionar giro, tempo e distância percorrida

Em movimento circular uniforme, a medida orientada do giro varia proporcionalmente ao tempo. A constante de proporcionalidade é a velocidade angular ω, lida ômega. Seu sinal registra o sentido. Usaremos Δt>0 para o tempo transcorrido; a medida angular é em radianos e não deve perder suas voltas antes da divisão pelo tempo.

\begin{gathered}\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\\\theta_f=\theta_i+\omega\Delta t\end{gathered}

ω, lido ômega, é constante e orientado: positivo no sentido anti-horário, negativo no horário. Δt>0 é o tempo transcorrido e Δθ o giro total, sem reduzir as voltas. Com ângulo em radianos e tempo em segundos, ω é medido em rad/s. Δ significa variação, não multiplicação por uma letra.

A rapidez v informa distância percorrida por tempo e é não negativa. Num círculo de raio fixo, sem inversão de sentido, s=r|Δθ|. Dividir pelo tempo fornece v=r|ω|. A palavra rapidez distingue esse número do vetor velocidade, cuja direção muda durante a volta. Estudamos aqui um círculo com centro fixo.

v=\frac{s}{\Delta t}=r|\omega|

O movimento circular tem raio r>0 e velocidade angular constante ω em radianos por unidade de tempo. s é a distância percorrida no intervalo positivo Δt, e v≥0 é a rapidez, em comprimento por tempo. A direção muda ao longo da curva; v é o módulo da velocidade, não um vetor constante. Se ω=0, v=0.

Exemplo resolvido · Sentido horário sem distância negativa

Um ponto gira uniformemente no sentido horário por 3π rad em seis segundos, num círculo de raio 2 m. Encontre ω, distância e rapidez.

Resolução

O giro orientado é Δθ=−3π, então ω=−3π/6=−π/2 rad/s.
A distância é s=2·|−3π|=6π m. A rapidez é s/6=π m/s, ou r|ω|=2·π/2=π m/s.
Reduzir a posição final à primeira volta não reduziria a distância já percorrida. Os três resultados medem grandezas diferentes.

ω=−π/2 rad/s; distância 6π m; rapidez π m/s.

Exemplo resolvido · Mesmo raio, outro tempo de giro

Um ponto de uma circunferência de raio 0,4 m completa doze voltas anti-horárias em oito segundos, uniformemente. Calcule velocidade angular e rapidez.

Resolução

Doze voltas são 24π rad. Portanto ω=24π/8=3π rad/s.
v=0,4·3π=1,2π m/s≈3,77 m/s. A distância em oito segundos é 9,6π m.
O ponto retorna à posição inicial depois das doze voltas, mas não percorreu distância zero. A posição final, sozinha, não informa todo o percurso.

ω=3π rad/s e v=1,2π m/s.

28Período, frequência e rotações por minuto

O período T de um giro uniforme não parado é o tempo de uma volta. A frequência f é a quantidade de voltas por unidade de tempo, por isso f=1/T. Se o tempo é medido em segundos, f está em voltas por segundo; a unidade hertz, Hz, significa ciclos por segundo. Em uma roda, cada volta completa é um ciclo.

\begin{gathered}T=\frac{2\pi}{|\omega|},\quad f=\frac1T\\|\omega|=2\pi f\\f=\frac N{60}\quad(\mathrm{rev/s})\end{gathered}

O movimento circular é uniforme e ω≠0. T>0 é o tempo de uma volta; f>0, a quantidade de voltas por unidade de tempo. Se N>0 é dado em rotações por minuto, dividir por sessenta fornece f em voltas por segundo e ω em rad/s. A frequência não indica o sentido; o sinal de ω o registra. Movimento parado não tem esse período de uma volta.

Uma volta tem 2π rad, então |ω|T=2π e T=2π/|ω|. A quantidade de rotações por minuto, abreviada rpm, deve ser dividida por sessenta para virar voltas por segundo. O sentido não aparece numa frequência positiva; ele é registrado pelo sinal da velocidade angular.

Exemplo resolvido · Converter rpm em uma medida angular por segundo

Um disco com centro fixo gira no sentido horário a 5 rpm. Um ponto está a 3 m do centro. Encontre frequência, período, ω e rapidez.

Resolução

A frequência é f=5/60=1/12 volta por segundo. Portanto T=12 s.
O módulo da velocidade angular é 2π/12=π/6 rad/s. Como o sentido é horário, ω=−π/6 rad/s.
A rapidez é v=3·π/6=π/2 m/s. O raio é uma distância; cinco rpm não pode ser inserido diretamente em v=r|ω| como se já estivesse em rad/s.

f=1/12 Hz; T=12 s; ω=−π/6 rad/s; v=π/2 m/s.

Se ω=0, o ponto fica parado e a rapidez é zero. Não existe nesse caso um tempo finito para completar uma volta; a fórmula de período com divisão por |ω| exige excluir esse valor.

29Uma aplicação com posição inicial e altura acima do chão

A leitura por coordenadas também dá alturas num movimento circular. A altura do centro é somada ao deslocamento vertical r senθ. É preciso saber de onde o ângulo foi medido e qual era a posição inicial antes de aplicar o giro.

Exemplo resolvido · Uma cabine não começa necessariamente no ponto mais baixo

Uma cabine gira numa circunferência de raio 8 m, com centro 10 m acima do chão. Começa à direita do centro, no mesmo nível dele, e gira anti-horariamente com ω=π/20 rad/s. Qual é sua altura após trinta segundos?

Resolução

A posição inicial padrão é $\theta_i=0$ . O giro em trinta segundos é Δθ=(π/20)·30=3π/2, então $\theta_f=3\pi/2$ .
A coordenada vertical relativa ao centro é 8 sen(3π/2)=−8 m. Somando a altura do centro, a cabine está a 10−8=2 m do chão.
Como conferência, após dez segundos a direção é π/2 e a altura é 18 m. Após trinta segundos, o ponto está embaixo, como esperado.
O percurso em trinta segundos é 8·3π/2=12π m. O arco menor entre as posições inicial e final seria 4π m: são perguntas diferentes.

Após trinta segundos, a cabine está a 2 m do chão.

30Conferir a pergunta antes de reduzir uma medida

Exemplo resolvido · Mesma chegada não apaga uma volta já percorrida

Um ponto parte de A e gira 450° em um único sentido, num círculo de raio 2 m. Qual é o percurso? Podemos tratar esse giro como um único setor simples de 450°?

Resolução

450°=5π/2 rad. O percurso é s=2·5π/2=5π m. Reduzir para 90° serve para localizar a chegada, mas forneceria apenas π m para o arco final de um quarto de volta.
O setor geométrico simples é limitado a uma volta. O giro de 450° percorre regiões novamente e não define uma fatia simples de área r²(5π/2)/2. Se a pergunta for área efetivamente coberta, seria necessário analisar a região e as repetições.

Percurso 5π m; posição final de 90°; o giro não é um setor simples de 450°.

Declare se a pergunta é medida angular, posição, comprimento de arco, distância percorrida, corda ou área.
Converta graus e radianos antes das fórmulas que exigem radianos. Mantenha graus, minutos e segundos de ângulo separados das unidades de tempo.
Use a mesma origem e o mesmo sentido ao comparar medidas. Inclua a posição inicial quando ela não é zero.
Para localizar uma chegada, escolha o representante em [0,2π). Para distância e velocidade, conserve o giro total de cada trecho.
Leia o ponto como (cosseno,seno); confira se está no ciclo ou se precisa ser normalizado pelo raio.
Use quadrantes para os sinais, trate eixos separadamente e exclua cosθ=0 ao calcular tangente.
A raiz obtida da relação fundamental pode ter dois sinais. Um seno ou uma tangente igual não prova, sozinho, que dois arcos são côngruos.
Conserve valores exatos quando possível e indique ≈ nos arredondamentos. Diferencie cm, cm², rad, rad/s e comprimento por tempo.

A próxima aula é Relações fundamentais e redução de arcos. Ela sistematizará as identidades, as reduções e as razões cotangente, secante e cossecante, usando o ciclo que acabamos de construir. A análise completa de gráficos e as equações gerais permanecem nas aulas próprias do roteiro.

31Agora é com você

O banco tem trinta questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Ele cobre medidas e unidades, arcos e setores, orientação, representantes, quadrantes, coordenadas, razões, restrições e aplicações. Nas discursivas, explique o que está sendo medido e confira a resposta no contexto.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

O que caracteriza um ângulo central de 1 rad?

AEle mede exatamente 1°.BSeu arco tem comprimento igual ao raio.CSeu arco tem comprimento igual ao diâmetro.DEle representa uma volta inteira.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

32O que guardar desta aula

Arco é parte da curva; corda é o segmento reto entre suas extremidades. Medida angular e comprimento não são a mesma grandeza. Dois pontos não opostos delimitam um arco menor e outro maior.
Uma volta tem 360°. Cada grau tem sessenta minutos de ângulo e cada minuto, sessenta segundos de ângulo. O sinal de uma medida negativa se aplica a todo o conjunto.
Radiano é a razão entre comprimento de arco e raio na mesma unidade. Um radiano corresponde a um arco com comprimento igual ao raio.
Uma volta mede 2π rad e meia volta, π rad. Um radiano vale 180/π graus, aproximadamente 57,30°, e não 180°.
Converter graus para radianos multiplica por π/180; a conversão inversa usa 180/π. Nem toda medida em radianos é um múltiplo racional de π. Confira DEG ou RAD na calculadora.
Comprimento de arco usa s=rθ com θ em radianos. Em um movimento com sentido fixo, a distância percorrida é r|Δθ|, contando voltas; mudanças de sentido exigem somar os percursos dos trechos.
Setor simples de abertura entre zero e 2π tem área r²θ/2. Setores de coroa usam a diferença R²−r². Área é medida em unidades quadradas.
No ciclo, a origem dos arcos é A=(1,0). Anti-horário é positivo e horário negativo. A posição final é a inicial mais o giro orientado, na mesma unidade.
Arcos côngruos terminam no mesmo ponto e diferem por 2kπ rad, ou 360k graus, com k inteiro positivo, negativo ou zero. Os percursos não precisam ser iguais.
O representante não negativo α pertence a [0,2π). O maior representante estritamente negativo é α−2π. Quando α=0, o menor estritamente positivo é 2π.
P=(x,y) tem coordenadas horizontal e vertical, nessa ordem. A origem é (0,0). Quadrantes são regiões abertas entre os eixos; pontos dos eixos não pertencem a quadrantes.
A circunferência de centro na origem e raio r satisfaz x²+y²=r². O ciclo tem raio um, portanto x²+y²=1; a origem não está nessa circunferência.
No ciclo, P(θ)=(cosθ,senθ). Essa definição concorda com as razões dos agudos e estende seno e cosseno a todas as medidas reais.
Seno e cosseno têm valores em [−1,1], com extremos incluídos. A relação sen²θ+cos²θ=1 vale também nos eixos e em medidas negativas, sem escolher sozinha os sinais.
Nos eixos, os pontos (1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1) fornecem os valores diretamente. Não é necessário forçar um triângulo não degenerado.
Tangente é senθ/cosθ=y/x e exige cosθ≠0. Em π/2+kπ não está definida; em kπ vale zero. Divisão por zero não recebe o valor infinito.
A tangente também é a ordenada da interseção da reta inteira OP com x=1. Com cosθ<0, essa interseção fica no prolongamento oposto à semirreta OP.
Os sinais vêm das coordenadas de cada quadrante. Valores notáveis nos demais quadrantes são construídos pelas reflexões dos pontos de 30°, 45° e 60°.
O ângulo de referência é agudo e fornece os módulos das razões. O quadrante original conserva a informação dos sinais; referência não significa arco côngruo.
Meia volta troca os sinais das duas coordenadas e conserva a tangente onde definida. Uma volta retorna ao mesmo ponto. Seno igual ou tangente igual, isoladamente, não prova congruência.
Trocar θ por −θ reflete o ponto no eixo x: cosseno permanece, seno e tangente trocam de sinal, com o domínio da tangente preservado.
Uma coordenada conhecida permite calcular a outra por uma raiz, mas o sinal depende da posição. Coordenadas de módulo maior que um não pertencem ao ciclo.
O menor ângulo entre representantes α e β é o menor de |α−β| e 2π−|α−β|. A corda correspondente mede 2r sen(δ/2); seu comprimento difere do arco rδ.
Para centro (a,b) e raio r, as coordenadas são X=a+r cosθ e Y=b+r senθ. Não leia coordenadas de uma circunferência qualquer diretamente como seno e cosseno.
Em giro uniforme, ω=Δθ/Δt conserva sentido e voltas; a rapidez na circunferência é v=r|ω| com ω em radianos por unidade de tempo. A velocidade vetorial muda de direção.
O período é o tempo de uma volta e a frequência é seu recíproco. Rotações por minuto devem ser divididas por sessenta para virar voltas por segundo. Movimento parado não tem período finito de uma volta.
Em aplicações, identifique origem angular, sentido, nível do centro, raio e unidade. Redução à primeira volta localiza a chegada, mas não substitui a contagem de distância já percorrida.

Esta é a segunda das sete aulas do roteiro de Trigonometria. Fórmulas e Revisão reúnem seus resultados junto dos da aula de triângulo retângulo. O próximo núcleo é Relações fundamentais e redução de arcos.