EstudaMath

Funções trigonométricas

Aprenda a ler e construir gráficos das seis funções trigonométricas, analisar domínios, períodos, parâmetros e inversas principais, com aplicações e 30 questões comentadas.

1O que significa tratar uma razão como função

Até aqui, escolhíamos um ângulo e calculávamos suas razões. Uma função organiza essa mesma ideia como uma regra de entrada e saída: para cada entrada admitida, a regra fornece exatamente uma saída. Não é preciso já ter estudado a matéria geral de Funções; construiremos a base necessária antes dos gráficos.

Escrevemos y=f(x), lido y é igual a f de x. x é a entrada, y é a saída e f é o nome da regra. Isso não significa multiplicar f por x. Duas entradas diferentes podem produzir a mesma saída; o que não pode acontecer é uma mesma entrada admitida receber duas saídas diferentes nessa regra.

f:D→C,y=f(x)Im⁡(f)={f(x):x∈D}⊆C\begin{gathered}f:D\to C,\quad y=f(x)\\\operatorname{Im}(f)=\{f(x):x\in D\}\subseteq C\end{gathered}

D é o domínio, conjunto das entradas admitidas; C é o contradomínio, conjunto escolhido para receber as saídas. Para cada x de D há exatamente uma saída f(x). A imagem contém só as saídas atingidas. Entradas diferentes podem ter a mesma saída. O símbolo ⊆ significa estar contido, permitindo igualdade.

Exemplo resolvido · Calcular uma saída

Se f(x)=senx, encontre f(π/6) e f(5π/6).

Resolução

  1. Substitua a entrada no argumento: f(π/6)=sen(π/6)=1/2.
  2. A entrada 5π/6=π−π/6 está no II quadrante. A reflexão do ciclo no eixo vertical conserva o seno: f(5π/6)=sen(π/6)=1/2. Cada entrada continua tendo uma única saída.

As duas saídas valem 1/2; isso é permitido para uma função.

Exemplo resolvido · Uma letra pode ter outro nome

Em H(t)=9−7cos(πt/10), o que é entrada e o que é saída?

Resolução

  1. t é a entrada, que poderá representar tempo. H(t) é a saída, que poderá representar uma altura. H é o nome da função.
  2. As letras x e y não são obrigatórias. O significado e a unidade dependem do contexto, que precisa ser declarado.

t é entrada e H(t) é saída.

2Domínio, contradomínio e imagem

Domínio é o conjunto de entradas admitidas para a função, nas quais sua regra precisa existir. Podemos escolher apenas parte das entradas em que uma expressão existe, como um intervalo de tempo de observação. Contradomínio é o conjunto escolhido para receber as saídas. Imagem é o conjunto das saídas realmente atingidas. Podemos declarar seno de ℝ em ℝ, mas ele só atinge valores de −1 a 1. ℝ, lido conjunto dos reais, inclui inteiros, frações e irracionais.

Intervalos com colchetes incluem a extremidade: [−1,1] inclui −1 e 1. Parênteses excluem: (−π/2,π/2) não contém os extremos. Na união de intervalos, o símbolo ∪ reúne as partes. O símbolo ∞ descreve ausência de limite, não um número que possa ser incluído como extremidade.

Exemplo resolvido · Saída impossível e entrada excluída são problemas diferentes

Compare pedir um x com senx=2 e tentar calcular tg(π/2).

Resolução

  1. senx existe para todo x real, mas nunca produz a saída dois: dois não está na imagem do seno.
  2. A tangente não existe na entrada π/2, porque seu cosseno é zero. Aqui a própria entrada está fora do domínio.

O primeiro caso pede saída fora da imagem; o segundo usa entrada fora do domínio.

3Ler um ponto do gráfico e identificar a unidade

O gráfico reúne pares (entrada,saída). No gráfico de seno, um ponto é (x,senx). Já no ciclo trigonométrico o ponto era (cosx,senx). A abscissa do gráfico é a medida do ângulo, não a coordenada horizontal do ciclo. Zero da função é uma entrada onde a curva cruza ou toca o eixo horizontal; a interseção com o eixo vertical é obtida em x=0, quando essa entrada existe.

180∘=π radu=πx180\begin{gathered}180^\circ=\pi\text{ rad}\\u=\frac{\pi x}{180}\end{gathered}

Se x é o valor em graus, u é a mesma medida em radianos. Nas funções e gráficos desta aula, argumento sem ° é medido em radianos. Se a entrada é tempo ou distância, o coeficiente do modelo converte essa entrada em argumento angular.

Exemplo resolvido · O ciclo e o gráfico usam pares diferentes

O que corresponde a x=π/2 no ciclo e no gráfico do seno?

Resolução

  1. No ciclo, o ponto é (cos(π/2),sen(π/2))=(0,1).
  2. No gráfico, registramos a entrada e a saída: (π/2,1). Não colocamos o zero do ciclo no lugar da entrada π/2.

Ciclo: (0,1). Gráfico: (π/2,1).

Nas expressões sem °, usaremos radianos. Assim sen1 significa seno de um radiano, não seno de um grau. Se uma função usa tempo, a entrada pode estar em segundos enquanto o argumento dentro do seno continua em radianos; o coeficiente faz essa conversão.

4Entender repetição e período fundamental

Uma função periódica repete o mesmo padrão após um deslocamento horizontal positivo, conservando também os pontos em que existe. O período fundamental é o menor deslocamento positivo que faz isso para a função inteira. Uma mesma altura em dois pontos não prova que tudo entre eles se repete.

T>0,D+T=D,f(x+T)=f(x) (x∈D)T>0,\quad D+T=D,\quad f(x+T)=f(x)\ (x\in D)

D+T é o conjunto obtido ao somar T a cada entrada do domínio. A igualdade exige repetir valores e pontos admitidos. Período fundamental é o menor T positivo com essa propriedade, quando existe. Uma coincidência isolada não determina período. Constante em toda a reta real aceita todo T>0 e não tem menor período positivo.

Exemplo resolvido · Dois zeros não bastam

Como sen0=senπ=0, podemos dizer que π é período do seno?

Resolução

  1. Teste outra entrada: sen(π/2)=1, mas sen(π/2+π)=sen(3π/2)=−1. A repetição falha.
  2. Uma volta de 2π repete todo o ponto do ciclo. A aula de relações justificou por que esse é o menor período positivo do seno.

O período fundamental do seno é 2π, não π.

Para funções com entradas excluídas, a repetição inclui os furos do domínio. A notação D+T=D diz que transladar o conjunto inteiro de entradas por T não o altera. Num trecho físico de tempo, podemos observar ciclos de uma expressão periódica sem afirmar que o trecho limitado é toda a função na reta real.

5Construir o gráfico do seno pelo ciclo

Imagine um ponto percorrendo o ciclo a partir de (1,0), no sentido positivo. Copie sua coordenada vertical para a altura do gráfico, usando a medida do arco como entrada horizontal. Ela começa em zero, sobe até um, retorna a zero, desce até menos um e retorna a zero em uma volta. Entre referências, o movimento é contínuo: não substituímos a curva por cinco segmentos retos.

f(x)=sin⁡x,D=RIm⁡(f)=[−1,1],T=2π\begin{gathered}f(x)=\sin x,\quad D=\mathbb R\\\operatorname{Im}(f)=[-1,1],\quad T=2\pi\end{gathered}

ℝ é o conjunto dos reais. A entrada é uma medida em radianos e a saída é a coordenada vertical do ponto do ciclo. Uma volta repete todo o movimento. Os extremos −1 e 1 são atingidos e por isso recebem colchetes.

xsin⁡xcos⁡x001π/210π0−13π/2−102π01\begin{array}{c|rr}x&\sin x&\cos x\\\hline0&0&1\\\pi/2&1&0\\\pi&0&-1\\3\pi/2&-1&0\\2\pi&0&1\end{array}

Entradas em radianos. Cada ponto do gráfico do seno é (x,sin x); no cosseno é (x,cos x). Esses pontos não são as coordenadas (cos x,sin x) do ciclo. A curva entre referências vem do movimento contínuo no ciclo, não de ligar apenas cinco pontos por segmentos retos.

y = sen x0π/2π3π/22π−11yx (rad)
Uma volta do seno em radianos. Os pontos de referência pertencem a uma curva contínua que se repete para além do enquadramento.

Exemplo resolvido · Usar o período para ler uma entrada maior

Calcule f(13π/6) para f(x)=senx.

Resolução

  1. 13π/6=2π+π/6. Retirar uma volta mantém a saída.
  2. f(13π/6)=sen(π/6)=1/2. O gráfico está na mesma altura de π/6, embora a entrada seja diferente.

f(13π/6)=1/2.

6Sinal, zeros, extremos e variação do seno

No semicírculo superior, o seno é positivo; no inferior, negativo. O valor máximo é um e o mínimo é menos um. A palavra extremo nomeia a saída; a entrada onde ele ocorre precisa ser informada separadamente. Crescer significa que, ao aumentar a entrada dentro do intervalo, a saída aumenta; decrescer significa que ela diminui.

sin⁡x=0  ⟺  x=kπsin⁡x=1  ⟺  x=π/2+2kπsin⁡x=−1  ⟺  x=3π/2+2kπ\sin x=0\iff x=k\pi\qquad{}\sin x=1\iff x=\pi/2+2k\pi\qquad{}\sin x=-1\iff x=3\pi/2+2k\pi
sin⁡x=0  ⟺  x=kπsin⁡x=1  ⟺  x=π/2+2kπsin⁡x=−1  ⟺  x=3π/2+2kπ\begin{gathered}\sin x=0\iff x=k\pi\\\sin x=1\iff x=\pi/2+2k\pi\\\sin x=-1\iff x=3\pi/2+2k\pi\end{gathered}

k∈ℤ é qualquer inteiro, incluindo negativos e zero. ⇔ significa que as condições são equivalentes. Zero da função é uma entrada cuja saída é zero; máximo/mínimo são valores de saída, atingidos nas entradas indicadas.

sin⁡x>0 (2kπ<x<π+2kπ)sin⁡x<0 (π+2kπ<x<2π+2kπ)↗ [−π/2+2kπ,π/2+2kπ]↘ [π/2+2kπ,3π/2+2kπ]\begin{gathered}\sin x>0\ (2k\pi<x<\pi+2k\pi)\\\sin x<0\ (\pi+2k\pi<x<2\pi+2k\pi)\\\nearrow\ [-\pi/2+2k\pi,\pi/2+2k\pi]\\\searrow\ [\pi/2+2k\pi,3\pi/2+2k\pi]\end{gathered}

k é inteiro. A seta para cima indica crescimento estrito; a seta para baixo, decrescimento estrito. Nos zeros, o sinal não é positivo nem negativo. Ser positivo não significa estar crescendo; são propriedades diferentes.

Exemplo resolvido · Positivo não significa crescente

O seno é positivo e crescente em todo o intervalo (0,π)?

Resolução

  1. Ele é positivo nesse intervalo, mas cresce só até π/2. Depois decresce até zero.
  2. Por exemplo, sen(2π/3)=√3/2 e sen(5π/6)=1/2. As duas saídas são positivas, mas a segunda é menor embora a entrada seja maior.

É positivo em (0,π), mas não crescente no intervalo inteiro.

Exemplo resolvido · Separar valor e localização do máximo

Quais são o máximo e as entradas de máximo do seno?

Resolução

  1. O máximo é a saída um. Ele ocorre quando o ponto do ciclo está no topo.
  2. As entradas são x=π/2+2kπ, com k inteiro. k pode ser negativo, zero ou positivo.

Máximo um, atingido em π/2+2kπ.

7Construir e analisar o gráfico do cosseno

Agora copie a coordenada horizontal do ciclo. Ela começa em um, passa por zero, chega a menos um e volta a um em uma volta. Essa leitura explica o domínio real, a imagem [−1,1] e o período 2π. No semicírculo à direita o cosseno é positivo; à esquerda, negativo.

g(x)=cos⁡x,D=RIm⁡(g)=[−1,1],T=2π\begin{gathered}g(x)=\cos x,\quad D=\mathbb R\\\operatorname{Im}(g)=[-1,1],\quad T=2\pi\end{gathered}

Entrada em radianos; saída é a coordenada horizontal do ciclo. O gráfico passa por (0,1), desce até (π,−1) e volta a (2π,1). O gráfico tem os mesmos extremos e período do seno, mas parte de outra posição.

y = cos x0π/2π3π/22π−11yx (rad)
O cosseno começa no máximo em x=0. Os zeros estão em π/2 e 3π/2 nesta volta, e o mínimo em π.
cos⁡x=0  ⟺  x=π/2+kπcos⁡x=1  ⟺  x=2kπcos⁡x=−1  ⟺  x=π+2kπ\cos x=0\iff x=\pi/2+k\pi\qquad{}\cos x=1\iff x=2k\pi\qquad{}\cos x=-1\iff x=\pi+2k\pi
cos⁡x=0  ⟺  x=π/2+kπcos⁡x=1  ⟺  x=2kπcos⁡x=−1  ⟺  x=π+2kπ\begin{gathered}\cos x=0\iff x=\pi/2+k\pi\\\cos x=1\iff x=2k\pi\\\cos x=-1\iff x=\pi+2k\pi\end{gathered}

k é inteiro. As entradas são radianos. O máximo é um, o mínimo menos um; cada um ocorre infinitas vezes em toda a reta.

cos⁡x>0 (−π/2+2kπ<x<π/2+2kπ)cos⁡x<0 (π/2+2kπ<x<3π/2+2kπ)↘ [2kπ,π+2kπ]↗ [π+2kπ,2π+2kπ]\begin{gathered}\cos x>0\ (-\pi/2+2k\pi<x<\pi/2+2k\pi)\\\cos x<0\ (\pi/2+2k\pi<x<3\pi/2+2k\pi)\\\searrow\ [2k\pi,\pi+2k\pi]\\\nearrow\ [\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]\end{gathered}

k é inteiro. Os intervalos de sinal excluem zeros; os de variação podem incluir extremos. As afirmações descrevem intervalos consecutivos, não crescimento ou decrescimento global.

Exemplo resolvido · Valor positivo enquanto a curva sobe

Em que situação fica x=7π/4 no gráfico do cosseno?

Resolução

  1. A entrada está entre 3π/2 e 2π. A saída é √2/2, positiva.
  2. Nesse trecho o cosseno cresce de zero até um. Isso se distingue do primeiro trecho de saída positiva, em que ele decresce.

cos(7π/4)=√2/2; a curva está crescendo nesse trecho.

8Reconhecer simetria sem depender do desenho

Uma função é par quando entradas opostas têm saídas iguais, e ímpar quando têm saídas opostas. Para fazer essa comparação, o domínio precisa admitir as entradas nos dois sentidos. As reflexões do ciclo demonstradas antes mostram as simetrias abaixo.

cos⁡(−x)=cos⁡x,sec⁡(−x)=sec⁡xF(−x)=−F(x)F∈{sin⁡,tan⁡,cot⁡,csc⁡}\cos(-x)=\cos x,\quad\sec(-x)=\sec x\qquad{}F(-x)=-F(x)\quad F\in\{\sin,\tan,\cot,\csc\}
cos⁡(−x)=cos⁡x,sec⁡(−x)=sec⁡xF(−x)=−F(x)F∈{sin⁡,tan⁡,cot⁡,csc⁡}\begin{gathered}\cos(-x)=\cos x,\quad\sec(-x)=\sec x\\F(-x)=-F(x)\quad F\in\{\sin,\tan,\cot,\csc\}\end{gathered}

O domínio precisa ser simétrico em relação a zero. Função par tem gráfico simétrico no eixo vertical; ímpar, por meia volta em torno da origem. Cada razão é considerada onde está definida. F representa uma das quatro razões da segunda linha. Translações podem alterar essa propriedade.

Exemplo resolvido · Uma translação pode mudar a paridade

A função g(x)=2+senx é par ou ímpar?

Resolução

  1. g(π/2)=3 e g(−π/2)=1. As saídas não são iguais nem opostas.
  2. Portanto ela não é par nem ímpar. Já 2+cosx continua par, porque somar a mesma constante às saídas iguais conserva a igualdade.

2+senx não é par nem ímpar.

9Tangente: ramos e assíntotas verticais

Tangente é senx/cosx. Perto de π/2, o seno está perto de um e o cosseno se aproxima de zero: o quociente pode ter módulo tão grande quanto quisermos. No ponto π/2 ele não existe. Chamamos x=π/2 de assíntota vertical por esse comportamento de aproximação; a linha tracejada não é um trecho da curva e não deve unir os ramos.

y=tan⁡x,x≠π/2+kπIm⁡=R,T=πtan⁡x=0  ⟺  x=kπ\begin{gathered}y=\tan x,\quad x\ne\pi/2+k\pi\\\operatorname{Im}=\mathbb R,\quad T=\pi\\\tan x=0\iff x=k\pi\end{gathered}

k é inteiro. Em cada intervalo (−π/2+kπ,π/2+kπ), a tangente cresce de valores sem limite inferior a valores sem limite superior. As retas x=π/2+kπ são assíntotas verticais e não contêm pontos desse gráfico. A função não tem amplitude nem extremos absolutos; não é crescente globalmente ao atravessar as exclusões.

y = tg x−π/20π/2−11yx (rad)
Um ramo principal cresce entre −π/2 e π/2. As linhas tracejadas são assíntotas; não há ponto do gráfico nelas. As curvas continuam para além da faixa de saídas mostrada.

No ramo principal, a tangente é negativa antes de zero, zera em zero e é positiva depois de zero. Essa sequência repete-se a cada π. Geometricamente, gire a reta que passa pela origem e pelo ponto do ciclo e observe sua interseção com a reta vertical de abscissa um: enquanto a entrada vai de −π/2 a π/2, a altura dessa interseção aumenta continuamente e assume todos os valores reais. Isso explica o crescimento e a imagem de cada ramo.

Exemplo resolvido · A tangente não tem amplitude

Qual é a amplitude de tgx?

Resolução

  1. A tangente assume todos os valores reais: não há máximo e mínimo finitos que delimitem uma oscilação.
  2. Por isso ela não tem amplitude. Um fator que multiplica a tangente é uma escala vertical, não uma amplitude.

A amplitude não está definida para a tangente.

Exemplo resolvido · Crescimento por ramo não é crescimento global

Compare tg(π/3) e tg(2π/3).

Resolução

  1. A primeira vale √3 e a segunda −√3, embora π/3<2π/3.
  2. Entre as entradas está a exclusão π/2. A afirmação de crescimento é válida em cada ramo contínuo, não atravessando a assíntota.

As saídas diminuem nessa comparação entre ramos diferentes.

10Cotangente: outro domínio e ramos decrescentes

Cotangente é cosx/senx e exclui kπ. Em (0,π), o quociente desce de valores positivos sem limite, passa por zero em π/2 e chega a valores negativos sem limite. Esse padrão se repete a cada π. Ela não é decrescente globalmente através das exclusões e não tem extremos absolutos.

y=cot⁡x,x≠kπIm⁡=R,T=πcot⁡x=0  ⟺  x=π/2+kπ\begin{gathered}y=\cot x,\quad x\ne k\pi\\\operatorname{Im}=\mathbb R,\quad T=\pi\\\cot x=0\iff x=\pi/2+k\pi\end{gathered}

k é inteiro. A definição é cos x/sin x. Em cada intervalo (kπ,(k+1)π), ela decresce do sentido positivo sem limite ao negativo sem limite. x=kπ são assíntotas verticais. Cotangente existe e vale zero onde o cosseno zera, mesmo quando a tangente não existe; 1/tan x só coincide no domínio comum.

Entre zero e π/2, seno e cosseno são positivos, então a cotangente é positiva. Entre π/2 e π, o seno é positivo e o cosseno negativo: ela é negativa. As entradas π/2+kπ são seus zeros, e os sinais repetem-se a cada π.

y = cot x0π/2π−11yx (rad)
O ramo entre zero e π é decrescente. O ponto (π/2,0) pertence à cotangente, mesmo que a tangente não exista nessa entrada.

Exemplo resolvido · Não perder o zero da cotangente

Por que não construir todo o domínio de cotx apenas como 1/tgx?

Resolução

  1. Em π/2, cosx/senx=0/1=0, portanto a cotangente está definida.
  2. A tangente nessa entrada não existe. A expressão 1/tgx perde esse ponto e só coincide com cotx onde ambas existem.

A definição cosx/senx preserva o domínio completo.

11Secante: gráfico do recíproco do cosseno

A secante usa 1/cosx. Nos máximos e mínimos do cosseno, o recíproco vale um ou menos um. Onde o cosseno zera, a secante não existe e surgem assíntotas verticais. Como 0<|cosx|≤1 no domínio, o módulo de 1/cosx é pelo menos um. As saídas entre −1 e 1, sem os extremos, não são atingidas.

y=sec⁡x=1cos⁡x,x≠π/2+kπIm⁡=(−∞,−1]∪[1,+∞)T=2π\begin{gathered}y=\sec x=\frac1{\cos x},\quad x\ne\pi/2+k\pi\\\operatorname{Im}=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\\T=2\pi\end{gathered}

k é inteiro. ∪ indica união dos dois intervalos e ∞ não é um valor atingido. As assíntotas verticais estão nos zeros do cosseno. A secante é par, nunca zera, tem mínimo local 1 em 2kπ e máximo local −1 em π+2kπ. Não tem máximo/mínimo absoluto nem amplitude, pois é ilimitada nos dois sentidos.

O recíproco conserva o sinal de todo número não nulo. Assim a secante é positiva onde o cosseno é positivo e negativa onde ele é negativo; nos zeros do cosseno, ela está excluída. Sua imagem contém as duas faixas y≤−1 e y≥1.

y = sec x0π/2π3π/22π−11yx (rad)
Os ramos da secante ficam em y≥1 ou y≤−1. Em x=0 e 2π há mínimos locais positivos; em π há um máximo local negativo.

Exemplo resolvido · Extremo local não é extremo absoluto

O valor −1 é o máximo de toda a secante?

Resolução

  1. Ele é máximo apenas no ramo negativo em torno de π: as saídas vizinhas são menores.
  2. A função inteira também tem saídas positivas arbitrariamente grandes e negativas arbitrariamente pequenas. Não possui máximo nem mínimo absoluto.

−1 é um máximo local, não um máximo absoluto.

12Cossecante: gráfico do recíproco do seno

A cossecante usa 1/senx. Tem a mesma imagem da secante, mas suas assíntotas são os zeros do seno, em kπ. No ramo positivo de (0,π), desce até um em π/2 e volta a crescer. No ramo negativo seguinte, sobe até −1 em 3π/2 e volta a decrescer. Nunca cruza o eixo horizontal.

y=csc⁡x=1sin⁡x,x≠kπIm⁡=(−∞,−1]∪[1,+∞)T=2π\begin{gathered}y=\csc x=\frac1{\sin x},\quad x\ne k\pi\\\operatorname{Im}=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\\T=2\pi\end{gathered}

k é inteiro. As assíntotas verticais estão nos zeros do seno. A cossecante é ímpar e nunca zera. Tem mínimo local 1 em π/2+2kπ e máximo local −1 em 3π/2+2kπ; continua ilimitada e sem extremos absolutos ou amplitude.

A cossecante conserva o sinal do seno: positiva em (0,π), negativa em (π,2π), com repetição a cada 2π. Nos extremos desses intervalos o denominador zera, portanto não atribuímos saída zero à cossecante.

y = csc x0π/2π3π/22π−11yx (rad)
A cossecante tem mínimo local um em π/2 e máximo local menos um em 3π/2. Zero, π e 2π são entradas excluídas.

Exemplo resolvido · Interpretar uma lacuna da imagem

Pode existir x com cscx=1/2?

Resolução

  1. Isso exigiria senx=2, que não ocorre no ciclo.
  2. Já cscx=−2 ocorre onde senx=−1/2. O sinal negativo não torna um valor impossível; a restrição é seu módulo ser pelo menos um.

Não há x com cscx=1/2.

13Mudar altura e amplitude de uma senoide

Uma senoide é uma curva obtida de seno ou cosseno por escalas e deslocamentos. Comece com y=d+a senx, com a e d constantes reais: d soma a mesma quantidade a cada saída e desloca a linha média para y=d. O fator a multiplica o afastamento em relação a essa linha; se for negativo, reflete a curva em torno da linha média. A amplitude é |a|, a metade da distância entre máximo e mínimo.

y = 2 + 3 sen x0π/2π3π/22π−125yx (rad)
Em y=2+3senx, a linha média é dois, o máximo cinco e o mínimo menos um. A amplitude é três, e não cinco nem seis.

Exemplo resolvido · A imagem acompanha a translação

Determine imagem, máximo, mínimo e amplitude de f(x)=2+3senx em domínio real.

Resolução

  1. Como −1≤senx≤1, multiplicar por três e somar dois dá −1≤f(x)≤5. Os dois extremos são atingidos.
  2. A imagem é [−1,5], o máximo cinco, o mínimo menos um e a amplitude três. A linha média é dois.

Imagem [−1,5], amplitude três e linha média dois.

Exemplo resolvido · O sinal do fator não torna a amplitude negativa

Analise g(x)=4−2cosx.

Resolução

  1. O afastamento máximo da linha média quatro é |−2|=2. A imagem é [2,6].
  2. g(0)=2 é o mínimo, porque cos0=1 é multiplicado por −2. A reflexão inverte as posições de máximo e mínimo.

Amplitude dois, imagem [2,6] e valor inicial dois.

14Mudar a escala horizontal e medir frequência

Em sen(bx), b é uma constante real que multiplica a entrada antes de calcular o seno. Considere b≠0; o caso zero será tratado adiante. Para completar uma volta do argumento, a entrada precisa variar 2π/|b|. Um |b| maior encurta o ciclo; um |b| menor o alonga. O sinal negativo de b reflete a orientação horizontal, mas não produz período negativo.

ν=1Tω=∣b∣=2πν\nu=\frac1T\qquad{}\omega=|b|=2\pi\nu
ν=1Tω=∣b∣=2πν\begin{gathered}\nu=\frac1T\\\omega=|b|=2\pi\nu\end{gathered}

A entrada é tempo e a senoide não é constante. T é duração de um ciclo, ν, lido ni, é número de ciclos por unidade de tempo, e ω, lido ômega, é frequência angular em radianos por essa unidade. Se o tempo está em segundos, ν é em Hz e ω em rad/s. O sinal de b não torna a frequência negativa.

Exemplo resolvido · Multiplicar a entrada encurta o período

Compare os períodos de sen(3x) e sen(x/4), com argumento em radianos.

Resolução

  1. Para completar o menor ciclo de sen(3x), a variação positiva T satisfaz 3T=2π, então T=2π/3.
  2. Para sen(x/4), T/4=2π, logo T=8π. A divisão da entrada por quatro alonga o período por quatro.

Os períodos são 2π/3 e 8π.

Exemplo resolvido · Frequência angular e frequência de ciclos

Se y(t)=cos(4πt), com t em segundos, determine período e frequência.

Resolução

  1. O argumento precisa ser em radianos, então |b|=4π rad/s. O período é 2π/(4π)=1/2 s.
  2. A frequência é ν=1/T=2 Hz, isto é, dois ciclos por segundo. Ela não é 4π Hz: 4π é a frequência angular em rad/s.

T=0,5 s, ν=2 Hz e ω=4π rad/s.

15Deslocar a referência horizontal

Em bx+c, c é uma fase angular somada ao argumento. Para descobrir o deslocamento horizontal, coloque b em evidência: bx+c=b(x−h), com h=−c/b. Em x=h, o argumento vale zero. A posição de argumento zero é uma referência útil, mas não precisa ser um zero da função após uma translação vertical.

bx+c=b(x−h)h=−cbbx+c=b(x-h)\qquad{}h=-\frac cb
bx+c=b(x−h)h=−cb\begin{gathered}bx+c=b(x-h)\\h=-\frac cb\end{gathered}

b≠0. h tem a unidade da entrada e é um deslocamento horizontal possível; h>0 move a referência para a direita, h<0 para a esquerda. c é uma fase angular, não o deslocamento h. Para b negativo, a ordem das referências de argumento se inverte. Deslocamentos que diferem por um período podem representar o mesmo gráfico.

Exemplo resolvido · A fase não é o deslocamento da entrada

Qual deslocamento representa sen(2x−π)?

Resolução

  1. 2x−π=2(x−π/2). Portanto h=π/2, para a direita, e o período é π.
  2. O número −π é a fase dentro do argumento; ele não significa deslocar x em π para a direita. Como o período é π, deslocamentos que diferem por π representam o mesmo gráfico.

Um deslocamento possível é π/2 para a direita.

Exemplo resolvido · Somar no argumento desloca para a esquerda

Interprete cos(x+π/3).

Resolução

  1. x+π/3=x−(−π/3), portanto h=−π/3.
  2. A referência do máximo do cosseno vai de x=0 para x=−π/3. Isso é um deslocamento de π/3 para a esquerda.

O gráfico está deslocado π/3 para a esquerda.

16Reunir os parâmetros sem confundi-los

Escreveremos y=d+aF(bx+c), onde F é seno ou cosseno e a,b,c,d são constantes reais. A partir de −1≤F≤1, escalar por a e transladar por d produz a imagem [d−|a|,d+|a|]. Um ciclo do argumento justifica o período 2π/|b|. Para uma senoide não constante, precisamos de a≠0 e b≠0.

y=d+aF(bx+c),F∈{sin⁡,cos⁡}amplitude=∣a∣,T=2π∣b∣Im⁡=[d−∣a∣,d+∣a∣]\begin{gathered}y=d+aF(bx+c),\quad F\in\{\sin,\cos\}\\\text{amplitude}=|a|,\quad T=\frac{2\pi}{|b|}\\\operatorname{Im}=[d-|a|,d+|a|]\end{gathered}

a,b,c,d são constantes reais, com a≠0 e b≠0; D=ℝ e o argumento é em radianos. d é a linha média; a escala e pode refletir as saídas em torno dela; b altera a escala horizontal e pode refletir a orientação; c altera a fase. A amplitude é a distância da linha média a um extremo, metade da distância entre máximo e mínimo.

y = 1 − 2 sen(2x − π/2)0π/43π/45π/4−113yx (rad)
Em 1−2sen(2x−π/2), a linha média é um, a amplitude dois e o período π. A referência x=π/4 cruza a linha média descendo; não é um zero da função.

Exemplo resolvido · Analisar uma expressão completa

Encontre amplitude, imagem, período e um deslocamento de f(x)=1−2sen(2x−π/2).

Resolução

  1. d=1, a=−2, b=2 e c=−π/2. Logo amplitude dois e imagem [1−2,1+2]=[−1,3].
  2. T=2π/2=π e h=−c/b=π/4. Como a é negativo e b positivo, a passagem de argumento zero ocorre descendo pela linha média.
  3. f(π/4)=1, f(π/2)=−1 e f(π)=3 conferem referência, mínimo e máximo.

Amplitude dois, imagem [−1,3], período π e deslocamento π/4 para a direita.

17Construir o gráfico transformando referências

Para transportar um ponto conhecido, resolva u=bx+c para a entrada x e depois aplique a mudança na saída. Não some o deslocamento diretamente ao valor do seno. Esse método funciona também com b negativo; nesse caso as entradas de referência aparecem na ordem inversa.

u=bx+c⟹x=u−cb(u,F(u))⟼(u−cb,d+aF(u))\begin{gathered}u=bx+c\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{u-c}{b}\\(u,F(u))\longmapsto\left(\frac{u-c}{b},d+aF(u)\right)\end{gathered}

b≠0. u é o argumento da função básica F, x a entrada transformada. Para seno/cosseno, use u=0,π/2,π,3π/2,2π como referências de um ciclo. Se b<0, as abscissas obtidas ficam em ordem decrescente e precisam ser lidas/ordenadas corretamente.

Exemplo resolvido · Cinco referências de um ciclo

Use o método em f(x)=1−2sen(2x−π/2).

Resolução

  1. De u=2x−π/2, obtemos x=(u+π/2)/2 e y=1−2senu. Assim u=0 dá x=π/4 e y=1−2sen0=1; u=π/2 dá x=π/2 e saída menos um.
  2. u=π dá x=3π/4 e saída um. u=3π/2 dá x=π e saída três.
  3. u=2π dá x=5π/4 e saída um. A diferença entre a primeira e a última entrada é π, o período.

Pontos: (π/4,1), (π/2,−1), (3π/4,1), (π,3), (5π/4,1).

Exemplo resolvido · Um coeficiente horizontal negativo

Qual é o período de g(x)=sen(−2x) e o que muda no desenho?

Resolução

  1. T=2π/|−2|=π. O período é positivo.
  2. A entrada positiva faz o argumento caminhar no sentido oposto. Como seno é ímpar, sen(−2x)=−sen(2x), então o primeiro movimento após zero é para baixo.

Período π; a orientação horizontal é refletida.

18Conferir os casos que deixam de oscilar

As fórmulas de amplitude e período para uma senoide não constante exigem a e b não nulos. Se a=0, a saída é sempre d. Se b=0, o argumento fica fixo e também há uma constante. A amplitude da função constante é zero; na reta real todo deslocamento positivo repete seus valores, por isso não há um menor período positivo.

a=0⟹d+asin⁡(bx+c)=db=0⟹d+asin⁡(bx+c)=d+asin⁡c\begin{gathered}a=0\Longrightarrow d+a\sin(bx+c)=d\\b=0\Longrightarrow d+a\sin(bx+c)=d+a\sin c\end{gathered}

Vale analogamente para cosseno, em D=ℝ. A amplitude da função constante é zero; a regra 2π/|b| não fornece seu período fundamental. Toda translação positiva repete uma constante na reta real, sem existir menor período positivo. Quocientes ou razões indefinidas exigem preservar seu domínio antes de simplificar.

Exemplo resolvido · Um fator interno não cria oscilação com escala zero

Qual é o período fundamental de 4+0·sen(3x)?

Resolução

  1. A regra é f(x)=4 em toda a reta. O gráfico é uma reta horizontal.
  2. Todo T>0 repete a função. Não existe menor T positivo; aplicar 2π/3 como período fundamental seria ignorar o fator zero.

A função é constante e não tem período fundamental.

Exemplo resolvido · Argumento constante com fator externo não nulo

Analise g(x)=4+3sen(0·x+π/6).

Resolução

  1. O seno é sempre sen(π/6)=1/2. Assim g(x)=4+3/2=11/2.
  2. A imagem tem um único valor, {11/2}, e a amplitude real da função é zero. A expressão 2π/|b| não se aplica com b=0.

g é constante, de valor 11/2.

Com razões que têm exclusões, confira antes o domínio. A expressão 0·tgx ainda contém uma tangente indefinida em π/2+kπ; ela vale zero somente onde a expressão original existe. Estendê-la para a função zero em toda a reta muda seu domínio. Se o argumento for constante em uma exclusão, nem sequer haverá entrada admitida na expressão original.

19Reconstruir uma senoide a partir do gráfico

Quando máximos e mínimos de uma senoide não constante são conhecidos, a média deles dá a linha média e metade da diferença dá a amplitude. O espaçamento entre dois máximos consecutivos dá o período. Um máximo e o mínimo seguinte estão separados por meio período, não por um período inteiro. Ainda é preciso saber onde o ciclo começa ou em que sentido cruza a linha média.

d=M+m2∣a∣=M−m2∣b∣=2πTd=\frac{M+m}{2}\qquad{}|a|=\frac{M-m}{2}\qquad{}|b|=\frac{2\pi}{T}
d=M+m2∣a∣=M−m2∣b∣=2πT\begin{gathered}d=\frac{M+m}{2}\\|a|=\frac{M-m}{2}\\|b|=\frac{2\pi}{T}\end{gathered}

Uma senoide não constante foi observada com máximo M, mínimo m e período fundamental T>0. As letras M,m nomeiam valores de saída. M>m. Falta ainda escolher a fase e, conforme a forma, o sinal de a ou b; um gráfico parcial pode não mostrar os extremos de toda a função.

Exemplo resolvido · Escolher uma regra com o máximo conhecido

Uma senoide tem mínimo 3, máximo 11 e máximos consecutivos em t=2 s e t=10 s. Dê uma expressão possível.

Resolução

  1. d=(11+3)/2=7 e |a|=(11−3)/2=4. O período é 10−2=8 s, então |b|=2π/8=π/4 rad/s.
  2. Como o cosseno tem máximo em argumento zero, uma escolha é y(t)=7+4cos((π/4)(t−2)). Ela atinge máximo em t=2 e t=10 e mínimo em t=6.
  3. Outras expressões podem representar a mesma curva por mudanças equivalentes de fase e sinal. Os dados não impõem uma única escrita algébrica.

Uma expressão possível é y(t)=7+4cos((π/4)(t−2)).

20A imagem depende do domínio realmente usado

A imagem [d−|a|,d+|a|] da senoide usa todo o domínio real. Um intervalo de observação menor pode não atingir ambos os extremos. Analise crescimento, extremos internos e valores de fronteira. Uma fronteira aberta não entra automaticamente na imagem.

Exemplo resolvido · Um trecho que não chega ao máximo da senoide

Encontre a imagem de f(x)=2+3senx para x em [0,π/6]. E para x em (0,π/6]?

Resolução

  1. Nesse trecho o seno cresce de zero até 1/2. A saída cresce de dois até 7/2.
  2. Com as duas entradas extremas incluídas, a imagem é [2,7/2]. Excluir x=0 retira a saída dois, porque ela não se repete nesse pequeno trecho: a imagem passa a (2,7/2].

Respectivamente [2,7/2] e (2,7/2].

21Transformar a tangente sem inventar amplitude

As mudanças no argumento transportam também as assíntotas. Comece pela restrição do argumento, depois encontre período, centros dos ramos e escala vertical. O período básico agora é π, não 2π. Se a e b têm sinais iguais, cada ramo cresce; se têm sinais opostos, decresce. Isso vem da ordem das entradas e da multiplicação das saídas.

y=d+atan⁡(bx+c),T=π∣b∣bx+c≠π/2+kπ,Im⁡=R\begin{gathered}y=d+a\tan(bx+c),\quad T=\frac\pi{|b|}\\bx+c\ne\pi/2+k\pi,\quad\operatorname{Im}=\mathbb R\end{gathered}

a≠0, b≠0 e k inteiro; argumento em radianos. As retas x=(π/2−c+kπ)/b são assíntotas verticais. A linha y=d marca os centros dos ramos, não uma assíntota horizontal. O gráfico cresce em cada ramo se ab>0 e decresce se ab<0. |a| é escala vertical, não amplitude.

y = −1 + 2 tg(2x − π/2)0π/4π/2−3−11yx (rad)
Em −1+2tg(2x−π/2), um ramo está entre zero e π/2. Seu centro é (π/4,−1), e a curva cruza y=0 em outra entrada.

Exemplo resolvido · Domínio, período e centro de um ramo

Analise g(x)=−1+2tg(2x−π/2).

Resolução

  1. O argumento não pode ser π/2+kπ. Assim 2x−π/2≠π/2+kπ, isto é, x≠π/2+kπ/2; como k percorre os inteiros, são todos os múltiplos inteiros de π/2.
  2. T=π/2 e a imagem é ℝ. O argumento zero ocorre em x=π/4 e a saída é −1; esse é o centro do ramo entre zero e π/2.
  3. O centro não é zero da função: sua saída é −1, e não zero. Para zerar a saída, a tangente do argumento precisaria ser 1/2. A translação vertical muda a altura do centro.

Domínio x≠kπ/2, período π/2, imagem real e centro (π/4,−1).

Exemplo resolvido · Reflexão muda o sentido do ramo

Como se comporta 2tg(−3x)?

Resolução

  1. O período é π/3. As exclusões −3x=π/2+kπ dão x=−π/6−kπ/3. Reescrevendo como π/6+(−k−1)π/3 e lembrando que −k−1 percorre todos os inteiros, obtemos o mesmo conjunto x=π/6+kπ/3.
  2. O produto dos fatores externo e interno é negativo, então cada ramo é decrescente. O fator dois é uma escala, não amplitude.

Período π/3 e ramos decrescentes.

22Transformar cotangente, secante e cossecante

O mesmo transporte de entradas vale nas outras razões, mas as restrições vêm de seus próprios denominadores. Cotangente mantém imagem real e usa período básico π. Secante/cossecante usam 2π e têm uma lacuna central na imagem. Uma translação vertical desloca essa lacuna; uma reflexão não a remove.

y=d+aF(bx+c),ab≠0F=cot⁡:T=π/∣b∣, Im⁡=RF∈{sec⁡,csc⁡}:T=2π/∣b∣Im⁡=(−∞,d−∣a∣]∪[d+∣a∣,+∞)\begin{gathered}y=d+aF(bx+c),\quad a b\ne0\\F=\cot:\quad T=\pi/|b|,\ \operatorname{Im}=\mathbb R\\F\in\{\sec,\csc\}:\quad T=2\pi/|b|\\\operatorname{Im}=(-\infty,d-|a|]\cup[d+|a|,+\infty)\end{gathered}

a,b,c,d reais. Cotangente e cossecante excluem bx+c=kπ; secante exclui bx+c=π/2+kπ, k inteiro. As fronteiras da imagem são atingidas, mas o intervalo aberto entre elas não. Essas funções não têm amplitude. Se a=0 ou b=0, analise o domínio original e os casos constantes separadamente.

Exemplo resolvido · Imagem com dois intervalos

Analise y=3−2sec(2x).

Resolução

  1. cos(2x)≠0, então x≠π/4+kπ/2. O período é 2π/2=π.
  2. Se sec(2x)≥1, multiplicar por −2 inverte a desigualdade e dá y=3−2sec(2x)≤1. Se sec(2x)≤−1, obtemos y≥5. Cada ramo percorre toda a faixa correspondente, então a imagem é (−∞,1]∪[5,+∞).

T=π, domínio x≠π/4+kπ/2 e imagem (−∞,1]∪[5,+∞).

Exemplo resolvido · Cotangente alongada

Determine período e domínio de y=−1+(1/2)cot(x/2).

Resolução

  1. O argumento x/2 não pode ser kπ, logo x≠2kπ. O período é π/(1/2)=2π.
  2. O fator externo e a translação não limitam as saídas: a imagem continua sendo ℝ.

Período 2π, domínio x≠2kπ e imagem real.

Exemplo resolvido · A cossecante desloca os limites da imagem

Analise y=2+csc(3x).

Resolução

  1. sen(3x)≠0, então x≠kπ/3. O período é 2π/3.
  2. Somar dois à imagem da cossecante dá (−∞,1]∪[3,+∞). Os extremos um e três são atingidos.

T=2π/3, domínio x≠kπ/3 e imagem (−∞,1]∪[3,+∞).

23Quando uma operação muda o período

Uma expressão contendo seno não tem automaticamente período fundamental 2π. Módulo e quadrado podem eliminar a troca de sinal que uma meia volta produz. Examine a função inteira e seus zeros antes de concluir.

f(x)=∣sin⁡x∣,g(x)=sin⁡2xIm⁡(f)=Im⁡(g)=[0,1]Tf=Tg=π\begin{gathered}f(x)=|\sin x|,\quad g(x)=\sin^2x\\\operatorname{Im}(f)=\operatorname{Im}(g)=[0,1]\\T_f=T_g=\pi\end{gathered}

O domínio é ℝ. A meia volta troca o sinal do seno, mas módulo e quadrado eliminam essa troca. Os zeros são kπ, separados por π, o que impede período positivo menor. Não aplique automaticamente o período da senoide original após uma nova operação.

Exemplo resolvido · Reduzir o ciclo após o módulo

Qual é o período fundamental de |sen(2x)|?

Resolução

  1. Uma variação π/2 na entrada soma π ao argumento. O seno troca de sinal, mas seu módulo permanece igual.
  2. Os zeros ocorrem em x=kπ/2. Qualquer período precisa levar o conjunto de zeros a si mesmo, e não pode ser menor que essa separação. Logo π/2 é fundamental.

O período fundamental é π/2.

24Por que restringir o domínio para criar uma inversa

Uma inversa troca a direção da correspondência: recebe a saída e recupera a entrada. Para isso ser uma função, a regra original precisa dar saídas diferentes para entradas diferentes; chamamos isso de ser injetiva. No seno da reta inteira, 1/2 aparece em π/6,5π/6 e infinitas outras entradas. Não é possível escolher todas como uma única saída da inversa.

Restringimos então a função original a um intervalo em que não repete valores e atinge toda a imagem desejada. O domínio da inversa será a imagem desse trecho, e a imagem da inversa será o intervalo escolhido. As inversas principais estudadas aqui são arco seno, arco cosseno e arco tangente. Seus nomes e intervalos precisam acompanhar os cálculos.

Exemplo resolvido · Inversa e recíproco são operações diferentes

Qual é a diferença entre o arco seno de 1/2 e o recíproco do número 1/2?

Resolução

  1. O arco seno recebe a razão 1/2 e devolve o ângulo principal π/6.
  2. O recíproco do número 1/2 é dois. Ele inverte uma multiplicação numérica, não recupera um ângulo. Para evitar ambiguidade com sin⁻¹, escreveremos arcsin.

arcsin(1/2)=π/6; o recíproco de 1/2 é dois.

No gráfico de uma inversa, os pares (x,y) da função restrita se tornam (y,x). Isso corresponde à reflexão na reta y=x. Não invertemos a altura do gráfico como fazemos com 1/f(x); trocamos os papéis de entrada e saída.

25Arco seno: ramo principal crescente

O seno é estritamente crescente em [−π/2,π/2] e percorre de −1 a 1 sem repetir saídas. Esse é o intervalo escolhido para sua inversa principal. A nova entrada é uma razão u, e a nova saída é uma medida angular em radianos. Os extremos são incluídos.

y=arcsin⁡u  ⟺  sin⁡y=u,−π/2≤y≤π/2D=[−1,1],Im⁡=[−π/2,π/2]\begin{gathered}y=\arcsin u\iff\sin y=u,\quad -\pi/2\le y\le\pi/2\\D=[-1,1],\quad\operatorname{Im}=[-\pi/2,\pi/2]\end{gathered}

A inversa usa o seno restrito ao intervalo em que cresce de −1 a 1 sem repetir saídas. Os extremos são incluídos. arcsin é crescente e ímpar. A entrada é uma razão real entre −1 e 1 e a saída aqui está em radianos.

y = arcsin u−101−π/2π/2yu
Arco seno principal: domínio [−1,1] e imagem [−π/2,π/2]. Os pontos finais preenchidos indicam que as extremidades pertencem ao gráfico.

Exemplo resolvido · Um valor negativo escolhe uma saída negativa

Calcule arcsin(−√3/2).

Resolução

  1. Precisamos de um ângulo em [−π/2,π/2] cujo seno seja −√3/2.
  2. O valor é −π/3. Há outros ângulos no ciclo com o mesmo seno, mas eles não pertencem ao intervalo principal escolhido.

arcsin(−√3/2)=−π/3.

26Arco cosseno: ramo principal decrescente

O cosseno é estritamente decrescente em [0,π], indo de 1 a −1. Inverter esse trecho dá uma função decrescente de domínio [−1,1] e imagem [0,π]. Uma razão entre −1 e zero, sem os extremos, leva a um ângulo obtuso; a razão −1 leva ao ângulo raso π.

y=arccos⁡u  ⟺  cos⁡y=u,0≤y≤πD=[−1,1],Im⁡=[0,π]\begin{gathered}y=\arccos u\iff\cos y=u,\quad0\le y\le\pi\\D=[-1,1],\quad\operatorname{Im}=[0,\pi]\end{gathered}

Usa o cosseno restrito a [0,π], onde decresce de 1 a −1. Os extremos são incluídos. arccos é decrescente; não é par nem ímpar. Entrada em razão real, saída em radianos. Para −1<u<0, a saída é obtusa; para u=−1, é π, um ângulo raso.

y = arccos u−1010π/2πyu
Arco cosseno principal: passa por (−1,π), (0,π/2) e (1,0). Ambos os extremos do domínio e da imagem são atingidos.

Exemplo resolvido · Conservar o ângulo obtuso

Calcule arccos(−1/2).

Resolução

  1. No intervalo [0,π], o cosseno −1/2 ocorre em 2π/3.
  2. A saída π/3 teria cosseno positivo. Escolher só um ângulo agudo perderia o sinal do dado.

arccos(−1/2)=2π/3.

27Arco tangente e extremos que não são atingidos

Um ramo da tangente, em (−π/2,π/2), cresce e assume cada valor real uma vez. Sua inversa principal aceita qualquer real e devolve um ângulo nesse intervalo aberto. Ao aumentar muito o módulo da entrada, a saída se aproxima de π/2 ou −π/2, mas não chega a esses valores com entrada finita.

y=arctan⁡u  ⟺  tan⁡y=u,−π/2<y<π/2D=R,Im⁡=(−π/2,π/2)\begin{gathered}y=\arctan u\iff\tan y=u,\quad-\pi/2<y<\pi/2\\D=\mathbb R,\quad\operatorname{Im}=(-\pi/2,\pi/2)\end{gathered}

Usa um ramo crescente da tangente. arctan é crescente e ímpar. As retas y=±π/2 são assíntotas horizontais; os extremos da imagem não são atingidos. Nenhum número real finito tem arco tangente principal igual a π/2 ou −π/2.

y = arctan u−303−π/2π/2yu
Arco tangente principal com assíntotas horizontais y=±π/2. As linhas tracejadas não pertencem à curva. O gráfico continua além da janela de entradas mostrada.

Exemplo resolvido · Escolher o representante principal

Calcule arctan(−√3). Pode a saída ser 2π/3?

Resolução

  1. A tangente de −π/3 é −√3 e −π/3 está no intervalo principal.
  2. 2π/3 também tem essa tangente, mas está fora de (−π/2,π/2). Portanto não é a saída de arctan.

arctan(−√3)=−π/3.

28Compor sem cancelar fora do intervalo

Compor funções significa usar a saída de uma como entrada da outra. Na ordem função após inversa, recuperamos a razão admitida. Na ordem inversa após função, recuperamos a entrada apenas quando ela pertence ao intervalo escolhido para a inversa. Fora dele, precisamos de um representante com a mesma razão e dentro do intervalo principal.

sin⁡(arcsin⁡u)=u,cos⁡(arccos⁡u)=utan⁡(arctan⁡v)=v\sin(\arcsin u)=u,\quad\cos(\arccos u)=u\qquad{}\tan(\arctan v)=v
sin⁡(arcsin⁡u)=u,cos⁡(arccos⁡u)=utan⁡(arctan⁡v)=v\begin{gathered}\sin(\arcsin u)=u,\quad\cos(\arccos u)=u\\\tan(\arctan v)=v\end{gathered}

u∈[−1,1] e v real. Na ordem inversa, arcsin(sin x)=x apenas para x∈[−π/2,π/2], arccos(cos x)=x apenas para x∈[0,π] e arctan(tan x)=x apenas para x∈(−π/2,π/2). Fora desses intervalos, recupere o representante principal, conservando o domínio.

Exemplo resolvido · Uma composição direta

Calcule sen(arcsin(−1/2)).

Resolução

  1. −1/2 pertence ao domínio de arcsin. Ela fornece o ângulo −π/6.
  2. Aplicar seno devolve a razão original, −1/2. Essa identidade depende de a primeira operação estar definida.

O resultado é −1/2.

Exemplo resolvido · A ordem inversa não devolve qualquer entrada

Calcule arcsin(sen(7π/6)), arccos(cos(7π/4)) e arctan(tg(5π/4)).

Resolução

  1. sen(7π/6)=−1/2; o arco seno principal é −π/6, e não 7π/6.
  2. cos(7π/4)=√2/2; o arco cosseno principal é π/4.
  3. tg(5π/4)=1; o arco tangente principal é π/4. Em cada caso, a saída foi escolhida no intervalo da respectiva inversa.

Os resultados são −π/6, π/4 e π/4.

29Composições mistas e sinais das raízes

Se uma inversa determina o ângulo principal, podemos obter outra razão sem calcular uma aproximação desse ângulo. A relação fundamental encontra o módulo da coordenada; o intervalo principal escolhe o sinal. Isso também indica quando um quociente adicional deixa de existir.

cos⁡(arcsin⁡u)=1−u2sin⁡(arccos⁡u)=1−u2cos⁡(arctan⁡v)=11+v2sin⁡(arctan⁡v)=v1+v2\cos(\arcsin u)=\sqrt{1-u^2}\qquad{}\sin(\arccos u)=\sqrt{1-u^2}\qquad{}\cos(\arctan v)=\frac1{\sqrt{1+v^2}}\qquad{}\sin(\arctan v)=\frac v{\sqrt{1+v^2}}
cos⁡(arcsin⁡u)=1−u2sin⁡(arccos⁡u)=1−u2cos⁡(arctan⁡v)=11+v2sin⁡(arctan⁡v)=v1+v2\begin{gathered}\cos(\arcsin u)=\sqrt{1-u^2}\\\sin(\arccos u)=\sqrt{1-u^2}\\\cos(\arctan v)=\frac1{\sqrt{1+v^2}}\\\sin(\arctan v)=\frac v{\sqrt{1+v^2}}\end{gathered}

u∈[−1,1] e v real. As raízes são principais, não negativas. O cosseno no intervalo principal de arcsin/arctan e o seno no intervalo principal de arccos são não negativos; no arctan o cosseno é estritamente positivo. Outras razões obtidas por quociente exigem conferir também o novo denominador.

Exemplo resolvido · Cosseno de um arco seno negativo

Calcule cos(arcsin(−5/13)).

Resolução

  1. Chame de θ o ângulo principal arcsin(−5/13). Ele tem seno −5/13 e está em [−π/2,π/2], onde o cosseno é não negativo.
  2. cosθ=√(1−25/169)=12/13. Não escolhemos o sinal negativo, pois contrariaria o intervalo principal.

O valor é 12/13.

Exemplo resolvido · Um quociente pode ser negativo

Calcule tg(arccos(−3/5)).

Resolução

  1. O ângulo principal está no II quadrante: cosseno −3/5 e seno positivo √(1−9/25)=4/5.
  2. Tangente é (4/5)/(−3/5)=−4/3. O divisor é não nulo. Se a entrada de arccos fosse zero, a tangente do ângulo π/2 não existiria.

O valor é −4/3.

Exemplo resolvido · Arco tangente fixa o sinal do cosseno

Calcule seno e cosseno de arctan(−3/4).

Resolução

  1. Se θ=arctan(−3/4), seu intervalo principal tem cosseno positivo. De 1+tg²θ=1/cos²θ, escolhemos cosθ=1/√(1+tg²θ)=1/√(1+9/16)=4/5.
  2. senθ=tgθ·cosθ=(−3/4)(4/5)=−3/5. Os dois valores satisfazem a relação fundamental.

Seno −3/5 e cosseno 4/5.

30Conferir o domínio em operações combinadas

Uma função interna precisa existir antes de aplicarmos raiz, divisão ou inversa. A raiz quadrada real exige radicando não negativo. Divisão exige denominador diferente de zero. Arco seno exige entrada entre −1 e 1. Essas condições se acumulam; não se substituem umas às outras.

F(x):x∈DF, F(x)≥01F(x):x∈DF, F(x)≠0arcsin⁡(F(x)):x∈DF, −1≤F(x)≤1\begin{gathered}\sqrt{F(x)}:\quad x\in D_F,\ F(x)\ge0\\\frac1{F(x)}:\quad x\in D_F,\ F(x)\ne0\\\arcsin(F(x)):\quad x\in D_F,\ -1\le F(x)\le1\end{gathered}

D com índice F é o domínio da expressão interna F. Primeiro essa expressão precisa existir; depois aplique a condição da operação externa. Cancelamento ou multiplicação por zero não preenche automaticamente os pontos em que a expressão original era indefinida.

Exemplo resolvido · Uma raiz que inclui os zeros

Qual é o domínio de √(senx)?

Resolução

  1. Seno existe em todo real. A raiz exige senx≥0, que ocorre em [2kπ,π+2kπ], para cada inteiro k.
  2. Os extremos entram: raiz de zero existe e vale zero. A união desses intervalos é o domínio, não toda a reta.

União de [2kπ,π+2kπ], com k inteiro.

Exemplo resolvido · A entrada de uma inversa também pode impor limites

Em [0,2π], onde arcsin(2senx) existe?

Resolução

  1. Precisamos de −1≤2senx≤1, ou −1/2≤senx≤1/2.
  2. Pelo ciclo, isso ocorre em [0,π/6]∪[5π/6,7π/6]∪[11π/6,2π]. As fronteiras são incluídas porque arcsin admite −1 e 1.

Domínio no intervalo dado: [0,π/6]∪[5π/6,7π/6]∪[11π/6,2π].

31Adaptar unidades e conferir a calculadora

Os gráficos anteriores usam argumentos em radianos. Quando o enunciado marca explicitamente graus, uma volta corresponde a 360 na medida angular, e não 2π. A calculadora deve usar DEG nesse caso; para radianos, RAD. Nas inversas, o modo escolhe a unidade da saída. Sempre registre essa unidade ao interpretar o resultado.

sin⁡((bx+c)∘),cos⁡((bx+c)∘): T=360/∣b∣tan⁡((bx+c)∘),cot⁡((bx+c)∘): T=180/∣b∣\sin((bx+c)^\circ),\cos((bx+c)^\circ):\ T=360/|b|\qquad{}\tan((bx+c)^\circ),\cot((bx+c)^\circ):\ T=180/|b|
sin⁡((bx+c)∘),cos⁡((bx+c)∘): T=360/∣b∣tan⁡((bx+c)∘),cot⁡((bx+c)∘): T=180/∣b∣\begin{gathered}\sin((bx+c)^\circ),\cos((bx+c)^\circ):\ T=360/|b|\\\tan((bx+c)^\circ),\cot((bx+c)^\circ):\ T=180/|b|\end{gathered}

b≠0 e a função tem escala vertical não nula. T é medido na unidade da entrada x. Essas fórmulas só se aplicam ao argumento marcado em graus; as fórmulas com π usam radianos. A mudança de unidade não altera o fenômeno, mas altera seus valores numéricos no eixo.

Exemplo resolvido · Uma mesma escrita exige unidade declarada

Compare sen(3x) com x em radianos e sen((3x)°) com x como valor numérico em graus.

Resolução

  1. Na primeira, o período é 2π/3 rad da entrada. Na segunda, aumentar x em 120 graus faz 3x aumentar 360 graus, então o período é 120°.
  2. São duas descrições da mesma variação angular após converter unidades. Misturar 360 com um argumento em radianos alteraria o período calculado.

Períodos 2π/3 rad e 120°, na unidade escolhida para a entrada.

32Interpretar um modelo periódico com tempo

Uma cabine que gira uniformemente pode ter sua altura descrita pela coordenada vertical do movimento. Se começa no ponto mais baixo, usamos um cosseno com sinal negativo: em t=0, cos0=1 e a altura fica d−r. d é a altura do centro, r o raio e T o tempo de uma volta. A hipótese d≥r mantém a cabine no nível do chão ou acima dele.

H(t)=d−rcos⁡(2πtT)H(t)=d-r\cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right)

r>0 é o raio, d≥r a altura do centro em relação ao chão e T>0 o tempo de uma volta. O ponto começa embaixo em t=0 e o movimento é uniforme; t≥0 é o intervalo físico. Alturas mínima e máxima são d−r e d+r. A expressão estendida a t real tem período T; o modelo físico usa sua restrição ao tempo não negativo.

H(t) = 9 − 7 cos(πt/10)051015202916H (m)t (s)
H(t)=9−7cos(πt/10), com t em segundos e H em metros. Uma volta leva vinte segundos; a altura varia de dois a dezesseis metros, em torno de nove.

Exemplo resolvido · Ler parâmetros e valores no contexto

Analise H(t)=9−7cos(πt/10), com t≥0 em segundos e H em metros.

Resolução

  1. O centro está a 9 m e o raio é 7 m. As alturas mínima e máxima são 2 m e 16 m.
  2. O período da expressão estendida é 2π/(π/10)=20 s e a frequência é 1/20 Hz. O sinal negativo coloca a cabine embaixo no início.
  3. H(0)=2, H(5)=9, H(10)=16, H(15)=9 e H(20)=2. O gráfico mostra uma volta, mas o modelo continua para tempos posteriores.
  4. A regra em toda a reta é periódica. O domínio físico usa apenas t≥0; as repetições observadas são ciclos dessa regra restrita ao tempo não negativo.

Alturas entre 2 m e 16 m, ciclo de 20 s e frequência 0,05 Hz.

Exemplo resolvido · A mesma altura pode ocorrer subindo e descendo

Em uma volta, quando H(t)=9 m? E qual imagem é observada somente entre zero e cinco segundos?

Resolução

  1. Faça 9−7cos(πt/10)=9: subtrair nove e dividir por −7 dá cos(πt/10)=0. Em [0,20], o argumento u=πt/10 percorre [0,2π]; u=π/2 ou 3π/2 dá t=10u/π, isto é, t=5 s ou 15 s.
  2. A primeira passagem é subindo e a segunda descendo. Observar só [0,5] mostra alturas de dois a nove metros, imagem [2,9], em vez da imagem [2,16] do modelo em t≥0.

A altura nove ocorre em 5 s e 15 s; no trecho [0,5], a imagem é [2,9] m.

33Agora é com você

São 30 questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Elas cobrem leitura de gráficos, domínio e imagem, sinais, períodos, assíntotas, parâmetros, restrições, inversas e modelos. Nas discursivas, apresente as condições e use pontos de referência para conferir sua resposta.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Para f(x)=senx, temos f(π/6)=f(5π/6)=1/2. Isso contradiz a definição de função?

Escolha uma alternativa

34O que levar desta aula

  • Função associa uma única saída a cada entrada admitida. Domínio reúne entradas; contradomínio é o conjunto de chegada; imagem reúne saídas atingidas.
  • Um ponto do gráfico é (entrada,saída). O gráfico do seno usa (x,senx), diferente do ponto (cosx,senx) no ciclo. Argumento sem ° é em radianos.
  • Período repete valores e domínio; o fundamental é o menor positivo, quando existe. Dois pontos na mesma altura não bastam para determinar esse período.
  • Seno e cosseno têm domínio real, imagem [−1,1] e período 2π. Seus zeros e posições dos extremos são diferentes. Positividade e crescimento são propriedades diferentes.
  • Cosseno e secante são pares; seno, tangente, cotangente e cossecante são ímpares. Translações podem modificar essa simetria.
  • Tangente exclui π/2+kπ e cotangente exclui kπ. Ambas têm imagem real e período π. Seus ramos são, respectivamente, crescentes e decrescentes, sem afirmar monotonia global através das exclusões.
  • Secante e cossecante têm imagem (−∞,−1]∪[1,+∞), período 2π, assíntotas nos zeros dos denominadores e nenhum zero. Seus extremos locais não são máximos ou mínimos absolutos.
  • Senoides d+aF(bx+c), com a e b não nulos, têm amplitude |a|, linha média d, imagem [d−|a|,d+|a|] e período 2π/|b|. F é seno ou cosseno.
  • O deslocamento horizontal é h=−c/b. Transporte referências por x=(u−c)/b e y=d+aF(u); b negativo inverte a ordem das entradas.
  • Frequência de ciclos é 1/T; frequência angular é 2π/T. Com tempo em segundos, as unidades são Hz e rad/s. Período e frequência são positivos.
  • Com a=0 ou b=0, seno/cosseno produzem constantes: amplitude zero e nenhum período fundamental na reta real. Expressões com razões indefinidas mantêm as exclusões antes de qualquer simplificação.
  • Máximo M e mínimo m fornecem linha média (M+m)/2 e amplitude (M−m)/2. Dois máximos consecutivos dão um período; máximo e mínimo seguinte, meio período.
  • Uma imagem calculada para todo real não se aplica automaticamente a um intervalo restrito. Confira extremos internos, fronteiras e se cada extremidade é admitida.
  • Tangente/cotangente transformadas usam π/|b|; secante/cossecante usam 2π/|b|. Não têm amplitude. Assíntotas vêm do argumento e da restrição de cada denominador.
  • Módulo e quadrado podem reduzir o período: |senx| e sen²x têm período π e imagem [0,1]. Analise a expressão inteira.
  • Raiz, divisão e inversa impõem condições extras ao domínio original. Não apague furos por cancelamento ou por multiplicação por zero.
  • Inversa precisa de uma regra original injetiva no trecho escolhido. Ela troca entrada e saída; não significa recíproco do valor ou da função.
  • arcsin tem domínio [−1,1] e imagem [−π/2,π/2]; arccos tem domínio [−1,1] e imagem [0,π]; arctan tem domínio real e imagem (−π/2,π/2).
  • Na composição função após inversa, a razão é recuperada no domínio admitido. Na ordem inversa após função, a entrada só é recuperada dentro do intervalo principal; fora dele, escolha o representante correto.
  • Composições mistas usam a relação fundamental e o sinal imposto pelo intervalo principal. Um quociente posterior pode acrescentar uma exclusão.
  • Em graus, uma volta tem 360°; em radianos, 2π. Confira DEG/RAD e a unidade da entrada e da saída, especialmente em modelos com tempo.
  • No modelo circular, altura do centro, raio, posição inicial e duração do ciclo têm significados distintos. O intervalo físico de tempo pode ser uma restrição da expressão periódica na reta.

A próxima aula será Transformações trigonométricas: vamos demonstrar as fórmulas de adição, subtração, arco duplo e arco metade antes de aplicá-las em identidades e valores exatos.

Seu progresso fica apenas neste navegador.

O que vamos estudar?

    Use Tab para navegar pelos resultados e Esc para fechar.