Razões trigonométricas
Em um triângulo retângulo, as três razões fundamentais relacionam os lados ao ângulo θ.
Definições no triângulo retângulo
- Seno sen(θ) = opostohipotenusa
- Cosseno cos(θ) = adjacentehipotenusa
- Tangente tan(θ) = opostoadjacente
Macete: SOH CAH TOA
SOH-CAH-TOA: Seno = Oposto/Hipotenusa · Cosseno = Adjacente/Hipotenusa · Tangente = Oposto/Adjacente.
Exemplo
Num triângulo retângulo com cateto oposto = 3, hipotenusa = 5. Calcule sen, cos e tan do ângulo θ.
1
Cateto adjacente:
√(5²−3²) = √16 = 42
sen(θ) = 3/5 = 0,63
cos(θ) = 4/5 = 0,84
tan(θ) = 3/4 = 0,75sen=0,6 | cos=0,8 | tan=0,75
Círculo unitário
O círculo unitário (raio = 1) generaliza as razões para qualquer ângulo, positivo ou negativo, além de 90°.
Para um ângulo θ medido a partir do eixo positivo x, o ponto correspondente no círculo tem coordenadas (cos θ, sen θ).
Círculo unitário — seno (vertical) e cosseno (horizontal)
Radianos vs Graus: 180° = π rad | 90° = π/2 rad | 360° = 2π rad. Para converter: graus × π/180 = radianos.
Tabela de valores notáveis
| Ângulo | Radianos | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | indefinida |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | indefinida |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Gráficos de seno e cosseno
Ambas são funções periódicas com período 2π. O seno começa em 0; o cosseno começa em 1.
f(x) = sen(x) — período 2π, amplitude 1
f(x) = cos(x) — período 2π, amplitude 1
Identidades trigonométricas
Identidade fundamental
sen²(θ) + cos²(θ) = 1
Decorre direto do teorema de Pitágoras no círculo unitário
Outras identidades úteis
- Tangente tan(θ) = sen(θ)cos(θ)
- Duplo arco sen(2θ) = 2 · sen(θ) · cos(θ)
- Duplo arco cos(2θ) = cos²(θ) − sen²(θ)
- Soma arcos sen(A+B) = sen A · cos B + cos A · sen B
Transformações trigonométricas
As fórmulas de transformação permitem simplificar expressões, resolver equações e comparar ângulos.
Adição e subtração
- Seno sen(a±b)=sen a cos b ± cos a sen b
- Cosseno cos(a±b)=cos a cos b ∓ sen a sen b
- Tangente tg(a±b)=(tg a ± tg b)/(1 ∓ tg a tg b)
Arco duplo e metade
- Seno duplo sen 2x = 2 sen x cos x
- Cosseno duplo cos 2x = cos²x − sen²x = 1 − 2sen²x = 2cos²x − 1
- Tangente dupla tg 2x = 2tg x/(1 − tg²x)
- Meio arco sen²(x/2) = (1 − cos x)/2
- Meio arco cos²(x/2) = (1 + cos x)/2
Produto-soma
- Soma de senos sen a + sen b = 2sen((a+b)/2)cos((a−b)/2)
- Diferença de senos sen a − sen b = 2cos((a+b)/2)sen((a−b)/2)
- Soma de cossenos cos a + cos b = 2cos((a+b)/2)cos((a−b)/2)
- Diferença de cossenos cos a − cos b = −2sen((a+b)/2)sen((a−b)/2)
Equações e inequações trigonométricas
Resolver equações trigonométricas exige considerar periodicidade e simetrias na circunferência.
Soluções gerais
- sen x = sen a x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ
- cos x = cos a x = ±a + 2kπ
- tg x = tg a x = a + kπ
| Função | Período | Imagem |
|---|---|---|
| sen x | 2π | [-1,1] |
| cos x | 2π | [-1,1] |
| tg x | π | R |
Funções trigonométricas inversas
Para existir inversa, restringimos domínio das funções trigonométricas.
| Função | Domínio da inversa | Imagem da inversa |
|---|---|---|
| arcsen x | [-1,1] | [-π/2, π/2] |
| arccos x | [-1,1] | [0, π] |
| arctg x | R | (−π/2, π/2) |
Exercício
🧠 Teste seu conhecimento
Qual é o valor de cos(60°)?