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Trilha 4

Equações e inversas

Feche trigonometria entendendo periodicidade, soluções gerais, restrições de intervalo, equações transformáveis e funções trigonométricas inversas.

Periodicidade

Equação trigonométrica não termina quando você encontra um ângulo. Como seno, cosseno e tangente se repetem, a resposta costuma ser uma família de ângulos.

Períodos fundamentais
  • Seno sen(x+2kπ)=sen x
  • Cosseno cos(x+2kπ)=cos x
  • Tangente tg(x+kπ)=tg x
!
Ideia central: primeiro encontre o ângulo de referência, depois escolha os quadrantes corretos e só então acrescente a periodicidade.

Soluções gerais

As soluções gerais organizam todas as respostas possíveis. Elas evitam listar infinitos ângulos um por um.

EquaçãoSoluções geraisLeitura
sen x = sen ax = a + 2kπ ou x = π - a + 2kπmesmo seno em quadrantes simétricos
cos x = cos ax = ±a + 2kπmesmo cosseno à direita e à esquerda do eixo
tg x = tg ax = a + kπtangente repete a cada π

Em todos os casos, k∈Z.

Exemplo sem intervalo
Resolva sen x=1/2.
1
Ângulo de referência: π/6.
2
Seno positivo ocorre no 1º e 2º quadrantes.
x=π/6+2kπ ou x=5π/6+2kπ.
Tangente
Resolva tg x=1.
x=π/4+kπ, com k∈Z.

Resolução dentro de intervalos

Quando a questão dá um intervalo, a solução geral precisa ser filtrada. Esse é um ponto em que muitos erros aparecem: a família está certa, mas a resposta final traz ângulos fora do intervalo.

Exemplo resolvido
Resolva 2cos x-1=0 em [0,4π].
1
Isole: cos x=1/2.
2
Em um ciclo: π/3 e 5π/3.
3
Como o intervalo tem dois ciclos completos, repita somando 2π.
S = {π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3}
Tangente em intervalo
Resolva tg x=1 em [0,2π].
S = {π/4, 5π/4}

Transformações algébricas

Nem toda equação aparece pronta como sen x=a. Muitas exigem fatoração, identidade fundamental, produto nulo ou troca temporária de variável.

Forma comumEstratégiaExemplo
produto igual a zerouse fator nulosen x(2cos x-1)=0
seno e cosseno juntosuse identidade ou fatoraçãosen²x+cos²x=1
ângulo duplotroque por identidadesen(2x)=2sen x cos x
quadrática trigonométricafaça substituiçãou=sen x
Produto nulo
Resolva sen x(2cos x-1)=0 em [0,2π].
1
sen x=0 dá x=0,π,2π.
2
2cos x-1=0 dá cos x=1/2, então x=π/3,5π/3.
S={0,π/3,π,5π/3,2π}

Equações quadráticas em seno ou cosseno

Quando aparece sen²x, cos²x ou tg²x, trate a função como uma variável. Depois descarte valores impossíveis, como sen x=2.

Exemplo resolvido
Resolva 2sen²x-sen x-1=0 em [0,2π].
1
Faça u=sen x. A equação vira 2u²-u-1=0.
2
Fatore: (2u+1)(u-1)=0. Logo u=1 ou u=-1/2.
3
sen x=1 dá π/2; sen x=-1/2 dá 7π/6 e 11π/6.
S={π/2,7π/6,11π/6}

Funções trigonométricas inversas

Para seno, cosseno e tangente terem inversa, é preciso restringir o domínio. Por isso, arcsen, arccos e arctg não devolvem qualquer ângulo possível: devolvem o valor principal.

Função inversaDomínioImagem principalLeitura
arcsen x[-1,1][-π/2,π/2]ângulo cujo seno é x
arccos x[-1,1][0,π]ângulo cujo cosseno é x
arctg xR(-π/2,π/2)ângulo cuja tangente é x
Exemplo
Calcule arccos(-1/2).
1
O cosseno vale -1/2 em vários ângulos, como 2π/3 e 4π/3.
2
Mas a imagem principal do arccos é [0,π].
arccos(-1/2)=2π/3.
!
Cuidado: arcsen x não é 1/sen x. Recíproca de seno é cossecante.

Erros comuns

  • esquecer a segunda solução do seno;
  • usar período 2π para tangente;
  • entregar solução fora do intervalo;
  • confundir inversa com recíproca;
  • aceitar seno ou cosseno fora de [-1,1];
  • esquecer de escrever k∈Z nas soluções gerais.

Resumo para revisão

  • Seno e cosseno têm período 2π.
  • Tangente tem período π.
  • Equações sem intervalo geralmente têm infinitas soluções.
  • Dentro de intervalo, filtre as soluções.
  • Substituições como u=sen x podem transformar a equação em quadrática.
  • arcsen, arccos e arctg devolvem valor principal.

Exercícios rápidos

Cheque rápido
Qual é o valor de cos(240°)?
Cheque rápido
Quantas soluções tem sen x=-1/2 em [0,2π]?
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