Gráficos de seno e cosseno
Seno e cosseno são funções periódicas: seus valores se repetem em ciclos. As duas têm amplitude 1, período 2π e imagem entre -1 e 1.
Seno
Começa em 0, sobe até 1 em π/2, volta a 0 em π, desce até -1 em 3π/2 e retorna a 0 em 2π.
Cosseno
Começa em 1, zera em π/2, chega a -1 em π, zera em 3π/2 e volta a 1 em 2π.
f(x)=sen(x). Pontos principais: 0, π/2, π, 3π/2 e 2π.
f(x)=cos(x). O cosseno começa no valor máximo quando x=0.
| x | sen x | cos x |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| π/2 | 1 | 0 |
| π | 0 | -1 |
| 3π/2 | -1 | 0 |
| 2π | 0 | 1 |
Tangente e funções recíprocas
Seno e cosseno são limitadas entre -1 e 1. A tangente, a secante, a cossecante e a cotangente possuem pontos proibidos e assíntotas.
f(x)=tg(x). A tangente tem período π e assíntotas em x=π/2+kπ.
| Função | Período | Pontos de atenção |
|---|---|---|
| sen x | 2π | Imagem entre -1 e 1. |
| cos x | 2π | Começa em 1 quando x=0. |
| tg x | π | Assíntotas em x=π/2+kπ. |
| sec x | 2π | Não existe quando cos x=0. |
| cossec x | 2π | Não existe quando sen x=0. |
| cotg x | π | Não existe quando sen x=0. |
Leitura rápida: se a função tem denominador trigonométrico, procure primeiro onde esse denominador zera.
Leitura de parâmetros
Na forma y=a·sen(b(x-h))+d ou y=a·cos(b(x-h))+d, cada parâmetro altera o gráfico de um jeito diferente.
| Parâmetro | Efeito | Como calcular |
|---|---|---|
| a | amplitude e reflexão vertical | amplitude = |a| |
| b | período | período = 2π/|b| para seno/cosseno |
| h | deslocamento horizontal | aparece em b(x-h) |
| d | eixo médio | eixo médio y=d |
| imagem | valores possíveis de y | [d-|a|, d+|a|] |
Exemplo resolvido
Leia y=2sen(3x)-1.
1
Amplitude: |2|=2.
2
Período: 2π/3.
3
Eixo médio: y=-1.
Imagem: [-3,1].
Deslocamento de fase
O deslocamento horizontal fica mais claro quando a expressão dentro da função é fatorada.
Forma de leitura
y=a·sen(b(x-h))+d
Amplitude |a|, período 2π/|b|, fase h e eixo médio d.
Exemplo guiado
Leia y=3cos(2x-π)+1.
1
Fatore o argumento: 2x-π=2(x-π/2).
2
Amplitude 3, período π e deslocamento π/2 para a direita.
O eixo médio é y=1.
Pegadinha: em sen(2x-π), o deslocamento não é π. Primeiro fatore: 2(x-π/2). O deslocamento é π/2.
Modelagem periódica
Problemas com marés, temperatura, som e movimento circular costumam usar y=a·sen(b(x-h))+d ou y=a·cos(b(x-h))+d.
| Dado do problema | Parâmetro |
|---|---|
| Maior valor e menor valor | amplitude = (máx - mín)/2 |
| Valor médio | d = (máx + mín)/2 |
| Tempo para repetir | período, usado para achar b |
| Instante de pico ou vale | deslocamento horizontal |
Exemplo de modelagem
Uma temperatura varia entre 18°C e 30°C e repete o ciclo a cada 24 horas. Se o pico ocorre em t=0, monte um modelo.
1
Amplitude: (30-18)/2=6.
2
Eixo médio: (30+18)/2=24.
3
Período 24, então b=2π/24=π/12.
Um modelo possível é T(t)=6cos((π/12)t)+24.
Erros comuns
- confundir amplitude com período;
- usar b como período, quando o período é 2π/|b|;
- esquecer o valor absoluto em amplitude e período;
- errar o deslocamento horizontal por não fatorar;
- confundir eixo médio com amplitude;
- achar que tangente tem período 2π.
Resumo para revisão
- Seno e cosseno têm período 2π.
- Tangente tem período π.
- Amplitude em a·sen x ou a·cos x é |a|.
- Período em sen(bx) ou cos(bx) é 2π/|b|.
- Eixo médio é y=d.
- Imagem é [d-|a|,d+|a|].
Exercícios rápidos
Cheque rápido
Qual é o período de f(x)=2sen(3x)?
Intermediário
Em y=4cos(x)-2, qual é o eixo médio?