Redução ao 1º quadrante
Reduzir ao 1º quadrante significa trocar um ângulo por um ângulo de referência agudo, mantendo o valor absoluto da razão trigonométrica e ajustando o sinal pelo quadrante.
- 1º seno, cosseno e tangente positivos
- 2º seno positivo; cosseno e tangente negativos
- 3º tangente positiva; seno e cosseno negativos
- 4º cosseno positivo; seno e tangente negativos
Identidades fundamentais
Identidade trigonométrica é uma igualdade verdadeira para todos os valores em que as expressões fazem sentido. Ela serve para transformar uma expressão em outra equivalente.
No círculo unitário, o ponto associado ao ângulo x é (cos x, sen x). Como esse ponto está em um círculo de raio 1, temos cos²x+sen²x=1².
- Tangente tg x=sen x/cos x, com cos x≠0
- Secante 1+tg²x=sec²x
- Cossecante 1+cotg²x=cossec²x
As duas últimas vêm dividindo sen²x+cos²x=1 por cos²x ou por sen²x.
Ângulo duplo e metade
- Seno duplo sen(2x)=2sen x cos x
- Cosseno duplo cos(2x)=cos²x-sen²x
- Forma equivalente cos(2x)=2cos²x-1
- Forma equivalente cos(2x)=1-2sen²x
- sen²(x/2)=(1-cos x)/2
- cos²(x/2)=(1+cos x)/2
Transformações trigonométricas
As fórmulas de soma e diferença ajudam a calcular ângulos que não estão diretamente na tabela, como 15° e 75°.
- Seno sen(a+b)=sen a cos b+cos a sen b
- Seno sen(a-b)=sen a cos b-cos a sen b
- Cosseno cos(a+b)=cos a cos b-sen a sen b
- Cosseno cos(a-b)=cos a cos b+sen a sen b
- Tangente tg(a+b)=(tg a+tg b)/(1-tg a tg b)
- Tangente tg(a-b)=(tg a-tg b)/(1+tg a tg b)
Produto-soma e soma-produto
Essas fórmulas são mais avançadas. Use quando a expressão mistura soma de senos/cossenos ou quando o objetivo é transformar soma em produto.
- sen a+sen b=2sen((a+b)/2)cos((a-b)/2)
- sen a-sen b=2cos((a+b)/2)sen((a-b)/2)
- cos a+cos b=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
- cos a-cos b=-2sen((a+b)/2)sen((a-b)/2)
Estratégia de simplificação
Identidades ficam menos mecânicas quando você escolhe uma direção. Em geral, comece pelo lado mais complexo da igualdade e tente escrever tudo em seno e cosseno.
| Sinal do problema | Boa tentativa |
|---|---|
| Aparecem tangente, secante ou cossecante | reescreva em seno e cosseno. |
| Aparece sen²x+cos²x | substitua por 1. |
| Aparece 1-sen²x | troque por cos²x. |
| Aparece 1+tg²x | troque por sec²x. |
Erros comuns
- achar que sen(a+b)=sen a+sen b;
- esquecer sinais por quadrante;
- dividir por sen x ou cos x sem considerar que podem ser zero;
- usar tangente quando cos x=0;
- decorar identidades sem saber qual lado transformar.
Resumo para revisão
- Reduzir ao 1º quadrante exige ângulo de referência + sinal do quadrante.
- sen²x+cos²x=1.
- tg x=sen x/cos x, com cos x≠0.
- 1+tg²x=sec²x.
- 1+cotg²x=cossec²x.
- sen(2x)=2sen x cos x.
- cos(2x)=cos²x-sen²x=2cos²x-1=1-2sen²x.