Razões trigonométricas
Em um triângulo retângulo, seno, cosseno e tangente relacionam os lados ao ângulo escolhido. Essa é a porta de entrada da trigonometria.
Primeiro escolha um ângulo agudo θ. A partir dele, identificamos:
- cateto oposto: fica em frente ao ângulo θ;
- cateto adjacente: encosta no ângulo θ;
- hipotenusa: é o maior lado e fica em frente ao ângulo reto.
- Seno sen(θ)=oposto/hipotenusa
- Cosseno cos(θ)=adjacente/hipotenusa
- Tangente tg(θ)=oposto/adjacente
Exemplos no triângulo
Razões recíprocas
Secante, cossecante e cotangente são inversos das razões principais. Elas aparecem mais em identidades, simplificações e gráficos. No começo, priorize seno, cosseno e tangente.
- Secante sec x=1/cos x, com cos x≠0
- Cossecante cossec x=1/sen x, com sen x≠0
- Cotangente cotg x=1/tg x=cos x/sen x, com sen x≠0
Círculo unitário
O círculo unitário é uma circunferência de raio 1 centrada na origem do plano cartesiano. Cada ângulo θ determina um ponto no círculo.
Graus e radianos
Grau e radiano são duas formas de medir ângulos. Em radianos, uma volta completa vale 2π.
| Graus | Radianos |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | π/6 |
| 45° | π/4 |
| 60° | π/3 |
| 90° | π/2 |
| 180° | π |
| 270° | 3π/2 |
| 360° | 2π |
Para converter graus em radianos, multiplique por π/180. Para converter radianos em graus, multiplique por 180/π.
Tabela de valores notáveis
Os valores de 30°, 45° e 60° vêm de triângulos especiais. Não é apenas decoreba: 45° vem do triângulo isósceles retângulo; 30° e 60° vêm do triângulo equilátero cortado ao meio.
Triângulo 45°-45°-90°
Lados proporcionais: 1, 1, √2.
Triângulo 30°-60°-90°
Lados proporcionais: 1, √3, 2.
| Ângulo | Radianos | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | indefinida |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 | indefinida |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Erros comuns
- confundir cateto oposto com cateto adjacente;
- esquecer que a hipotenusa é sempre o maior lado;
- achar que tangente usa hipotenusa;
- confundir graus com radianos;
- trocar a ordem do ponto no círculo unitário: o correto é (cos θ, sen θ);
- decorar a tabela sem entender os triângulos notáveis.
Resumo para revisão
- sen(θ)=oposto/hipotenusa.
- cos(θ)=adjacente/hipotenusa.
- tg(θ)=oposto/adjacente=sen(θ)/cos(θ), se cos(θ)≠0.
- No círculo unitário, o ponto é (cos θ, sen θ).
- 180°=π rad e 360°=2π rad.
- Valores notáveis vêm dos triângulos 30°-60°-90° e 45°-45°-90°.